geometria plana - polÍgonos regulares (anglo)

POLÍGONOS REGULARES

Matemática

Dorta

DEFINIÇÃO

Um polígono convexo é regular, se e somente se, tem todos os seus

lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

Assim, o triângulo equilátero é o triângulo regular e o quadrado é o

quadrilátero regular

PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS REGULARES

PROPRIEDADE 1

Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, dado um polígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.

EXEMPLOS DA PROPRIEDADE 2

PROPRIEDADE 2

Todo polígono regular é circunscricritível a uma circunferência.

Assim, dado um polígono regular, existe uma única circunferência inscrita no polígono.

EXEMPLOS DA PROPRIEDADE 2

Elementos notáveis

polígono do lado :l

apótema :r

maior nciacircunferê da raio :R

polígono do centro :O

cêntrico ângulo :a

interno ângulo :a

externo ângulo :a

c

i

e

ALGUMAS DEFINIÇÕES

ÂNGULO EXTERNO

Ângulo externo: é formado pelo lado de um polígono e a

prolongação do lado adjacente

EXEMPLOS DE ÂNGULO EXTERNO

OBSERVAÇÃO 1

A soma dos ângulos externos de um polígono regular qualquer é dada por:

oeS 360

Observe essa soma em um triângulo qualquer:

360 ,

180180180)(180

180180180)()(

180180180)()()(

zyxLogo

zyx

zyxcba

zcybxa

OBSERVAÇÃO 2

Como todos os ângulos externos de um polígono regular são congruentes, a medida de cada um dos n ângulos externos é dada por:

na

o

e360

ÂNGULO INTERNO

Ângulo interno: é ângulo formado

por dois lados de um polígono

qualquer.

EXEMPLOS DE ÂNGULO INTERNO

OBSERVAÇÃO 1

A soma dos ângulos internos de um polígono regular qualquer é dada por:

oi nS 180).2(

OBSERVAÇÃO 2

Como todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, a medida de cada um dos n ângulos internos é dada por:

n

Sa ii

CENTRO DE UM POLÍGONO REGULAR

Centro de um polígono regular é o centro comum

das circunferências circunscrita e

inscrita.

EXEMPLOS

ÂNGULO CÊNTRICO

Ângulo Cêntrico: tem vértice na

origem O e lados passando em dois

vértices consecutivos do

polígono.

EXEMPLOS

OBSERVAÇÃO

Como todos os ângulos cêntricos são congruentes, a medida de cada um dos ângulos cêntricos é dada por:

na

o

c360

APÓTEMA

Apótema de um polígono regular é o

seguimento com uma extremidade no centro

e outra no ponto médio de um lado.

Pode ser definido também como raio da circunferência inscrita.

EXEMPLOS

EXERCÍCIOS DE CLASSE

(p.109)

EXERCÍCIO 1 Dê a medida de um ângulo central de

cada um dos seguintes polígonos:

a) Hexágono regular;b) Quadrado;c) Triângulo equilátero;d) Pentágono regular.

a) Medida do ângulo central do hexágono regular

606

360ca

b) Medida do ângulo central do quadrado

904

360ca

c) Medida do ângulo central do triângulo equilátero

1203

360ca

d) Medida do ângulo central do pentágono regular

725

360ca

EXERCÍCIO 2

Um quadrado tem lado 4cm. Calcule a medida:

a) Do raio da circunferência inscrita (apótema);

b) Do raio da circunferência circunscrita.

EXERCÍCIO 2 - figura

EXERCÍCIO 2 – ITEM A

cma

a

ABMN

2 logo,

42

EXERCÍCIO 2 – ITEM B

cmR

.R

R

R

22

42

44

22

OMC Triângulo

2

222

EXERCÍCIO 3 – p.83

Um triângulo equilátero tem lado 6cm. Calcule a medida:

a) Do raio da circunferência inscrita (apótema);

b) Do raio da circunferência circunscrita.

EXERCÍCIO 3 - figura

EXERCÍCIO 3 – ITEM A

3 33

3

330

aa

atg

OMC

EXERCÍCIO 3 – ITEM B

32R 3

2

3

330cos

R

R

OMC