geometria plana - polÍgonos regulares (anglo)

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POLÍGONOS REGULARES Matemática Dorta

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Page 1: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

POLÍGONOS REGULARES

Matemática

Dorta

Page 2: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

DEFINIÇÃO

Um polígono convexo é regular, se e somente se, tem todos os seus

lados congruentes e todos os seus ângulos internos congruentes.

Page 3: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

Assim, o triângulo equilátero é o triângulo regular e o quadrado é o

quadrilátero regular

Page 4: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS REGULARES

Page 5: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

PROPRIEDADE 1

Todo polígono regular é inscritível em uma circunferência.

Assim, dado um polígono regular, existe uma única circunferência que passa pelos seus vértices.

Page 6: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS DA PROPRIEDADE 2

Page 7: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

PROPRIEDADE 2

Todo polígono regular é circunscricritível a uma circunferência.

Assim, dado um polígono regular, existe uma única circunferência inscrita no polígono.

Page 8: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS DA PROPRIEDADE 2

Page 9: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

Elementos notáveis

polígono do lado :l

apótema :r

maior nciacircunferê da raio :R

polígono do centro :O

cêntrico ângulo :a

interno ângulo :a

externo ângulo :a

c

i

e

Page 10: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

ALGUMAS DEFINIÇÕES

Page 11: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

ÂNGULO EXTERNO

Ângulo externo: é formado pelo lado de um polígono e a

prolongação do lado adjacente

Page 12: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS DE ÂNGULO EXTERNO

Page 13: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

OBSERVAÇÃO 1

A soma dos ângulos externos de um polígono regular qualquer é dada por:

oeS 360

Page 14: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

Observe essa soma em um triângulo qualquer:

360 ,

180180180)(180

180180180)()(

180180180)()()(

zyxLogo

zyx

zyxcba

zcybxa

Page 15: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

OBSERVAÇÃO 2

Como todos os ângulos externos de um polígono regular são congruentes, a medida de cada um dos n ângulos externos é dada por:

na

o

e360

Page 16: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

ÂNGULO INTERNO

Ângulo interno: é ângulo formado

por dois lados de um polígono

qualquer.

Page 17: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS DE ÂNGULO INTERNO

Page 18: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

OBSERVAÇÃO 1

A soma dos ângulos internos de um polígono regular qualquer é dada por:

oi nS 180).2(

Page 19: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

OBSERVAÇÃO 2

Como todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, a medida de cada um dos n ângulos internos é dada por:

n

Sa ii

Page 20: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

CENTRO DE UM POLÍGONO REGULAR

Centro de um polígono regular é o centro comum

das circunferências circunscrita e

inscrita.

Page 21: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS

Page 22: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

ÂNGULO CÊNTRICO

Ângulo Cêntrico: tem vértice na

origem O e lados passando em dois

vértices consecutivos do

polígono.

Page 23: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS

Page 24: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

OBSERVAÇÃO

Como todos os ângulos cêntricos são congruentes, a medida de cada um dos ângulos cêntricos é dada por:

na

o

c360

Page 25: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

APÓTEMA

Apótema de um polígono regular é o

seguimento com uma extremidade no centro

e outra no ponto médio de um lado.

Pode ser definido também como raio da circunferência inscrita.

Page 26: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXEMPLOS

Page 27: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIOS DE CLASSE

(p.109)

Page 28: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 1 Dê a medida de um ângulo central de

cada um dos seguintes polígonos:

a) Hexágono regular;b) Quadrado;c) Triângulo equilátero;d) Pentágono regular.

Page 29: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

a) Medida do ângulo central do hexágono regular

606

360ca

Page 30: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

b) Medida do ângulo central do quadrado

904

360ca

Page 31: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

c) Medida do ângulo central do triângulo equilátero

1203

360ca

Page 32: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

d) Medida do ângulo central do pentágono regular

725

360ca

Page 33: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 2

Um quadrado tem lado 4cm. Calcule a medida:

a) Do raio da circunferência inscrita (apótema);

b) Do raio da circunferência circunscrita.

Page 34: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 2 - figura

Page 35: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 2 – ITEM A

cma

a

ABMN

2 logo,

42

Page 36: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 2 – ITEM B

cmR

.R

R

R

22

42

44

22

OMC Triângulo

2

222

Page 37: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 3 – p.83

Um triângulo equilátero tem lado 6cm. Calcule a medida:

a) Do raio da circunferência inscrita (apótema);

b) Do raio da circunferência circunscrita.

Page 38: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 3 - figura

Page 39: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 3 – ITEM A

3 33

3

330

aa

atg

OMC

Page 40: GEOMETRIA PLANA - POLÍGONOS REGULARES (ANGLO)

EXERCÍCIO 3 – ITEM B

32R 3

2

3

330cos

R

R

OMC