geometria plana · encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, ... está apoiada no chão...

GEOMETRIA PLANA

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:“Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razãoentre quaisquer dois segmentos determinados em uma das transversais é igual à razãoentre os segmentos correspondentes da outra transversal.”Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

TEOREMA DE TALES

ExemploAplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo . A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o grau, representado pelo símbolo °, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”.Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).

Ângulos

Tipos de Ângulo• Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a

soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

Na ilustração temos que:

α + β = 90°

• Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.

Na ilustração temos que:

α + β = 180°

• Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

Na ilustração temos que:

α + β = 360º

1. Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças abaixo ( ) 80º e 10º são suplementares. ( ) 30º e 70º são complementares. ( ) 120º e 60º são suplementares. ( ) 20º e 160º são complementares. ( ) 140º e 40º são complementares. ( ) 140º e 40º são suplementares.

Dadas duas ou mais retas paralelas, cada reta transversal a essas retas formam ângulosopostos pelo vértice.

2. As retas r e s são interceptadas pela transversal "t", conforme a figura. O valor de x paraque r e s sejam paralelas é:a) 20°b) 26°c) 28°d) 30°e) 35°

Ângulos de um Polígono A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:

Diagonais de um polígono

Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão:

3. Dada a figura abaixo , analise as sentençasI. O triângulo CDE é isósceles.II. O triângulo ABE é equilátero.III. AE é bissetriz do ângulo BÂD.

é verdade que(A) somente a I é falsa. (B) somente a II é falsa.(C) somente a III é falsa. (D) são todas falsas.(E) são todas verdadeiras.

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. Assim podemos equacionar

Teorema de Pitágoras

ExemploCalcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a:

Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS

4. Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros.(A) 7.(B) 5.(C) 8.(D) 6.(E) 9.

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados.A soma dos ângulos internos é sempre 180°.

• Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

üA, B e C são os vértices.üOs lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c.üOs triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.

•Quanto à medida do seu ladoTriângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida.

Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida.

Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes,ou seja, três lados de tamanhos diferentes.

•Quanto à medida dos ângulosTriângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos.

Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90º ou obtuso.

Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90o.

TRIÂNGULO RETÂNGULO

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

Área de Triângulos

5. Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 12 metros.

6. A área do triângulo sombreado da figura abaixo é

TRIGONOMETRIA no

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Composição do Triângulo Retângulo

• Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto.• Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o

maior lado do triângulo retângulo.

Relações Trigonométricas

PRINCIPAIS ÂNGULOS

Casos EspeciaisØCaso : “Coisa” , “2Coisa” e “Coisa

ØCaso : Triangulo Retângulo IsóscelesCasos Especiais

ExemploConsiderando o triângulo retângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.

ExemploEncontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.

ExemploNo triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas .(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)

7. Uma escada utilizada para ajustar o ar condicionado de uma sede da Secretaria da Fazenda tem 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:a) 0,5 mb) 1 mc) 1,5 md) 1,7 me) 2 m

QUADRILÁTEROS

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.

Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos internos também diferentes.

Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360°.

Quadriláteros

Algumas Propriedades dos quadriláteros:

1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.

2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.

3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.

Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios.

ØParalelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos. Exemplos:

§Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado.§Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais.§Losango, paralelogramo.

Classificação

ExemploObserve os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: a) MN e NP b) x e y

ØTrapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos.

Exemplos:Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas.Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos.Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

Principais QuadriláterosTrapézio

Características: Apresenta 2 lados paralelos apenas.

Paralelogramo

Características: Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.

Losango

Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seuspontos médios e são perpendiculares entre si.

Retângulo

Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.

Quadrado

Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.

FIGURAS CIRCULARES

De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio, de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a ilustração a seguir:

DEFINIÇÃO

A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio, que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:

E O FAMOSO π ? • E o famoso valor Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π:Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a

razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale aproximadamente 3,14.

Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação:• π rad = 180°

CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA

ExemploCalcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:

SETOR CIRCULAR

COROA CIRCULAR

8. Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.

Comprimento ou Perímetro

1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO

2 – TRIÂNGULO EQUILÁTERO

3 – QUADRADO

4 - RETÂNGULO

5 - LOSANGO

6 - CÍRCULO

ÀREA• Área é um conceito matemático que pode ser definida

como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.• Para não haver erro , lembre-se:

“Área é o que eu posso pintar”

Exemplo

Exemplo

9.No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1 justapostos. A área do quadrado ABCD é:(A) 4. (B) 5.(C) 6. (D) 7. (E) 8.

10. Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:(A) 98.(B) 102.(C) 108.(D) 112.(E) 120.