geometria espacial. esfera a esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um...
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Geometria Espacial
Esfera
A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Polos: interseções da superfície com o eixo
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.
Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “ paralela” ao equador.
Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
Elementos da
esfera
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.
Superfície Esférica
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio.
A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.
Área da superfície esférica
A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos.
admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos.
Desta forma, então:
2.4 rAse
Volume da esferaVamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides
A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera.
Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides.O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:
3r..34V
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:
conecilindroesferaamarelosólidoesfera VVVVV 2
O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os volumes dos dois cones:
H = 2RH = 2R
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
3322
3
22
3
1222 RRRRRRVVV conecilindroX 3
3
4R
3
3
4RVesfera
Exemplos:1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm.
2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).
Secção da esfera
Secção da esfera
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.
2 2 2R d r
Secção da esfera
Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.
Secção da esferaQuando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.
Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.
(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
=13=13
planoplano1212
rr
Após devida interpretação, observa-se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras:13²= 12² + r²169 = 144 + r²169 – 144 = r²= 25r = √25r = 5
Exemplo
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco;
não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto;
é coplanar com o arco
Zona Esférica
Calota EsféricaÉ a parte da esfera gerada do seguinte modo:
É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
passa pelo centro da circunferência que contém o arco; passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; é coplanar com o arco
Área da Calota Esférica e da Zona Esférica
calotacalota hRA ...2
zonazona hRA ...2
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
Fuso Esférico
É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Área
fuso0
20
A
r..4360grausem
fuso
2
A
r..42radianosem
2
2
0
Área do fuso esférico
rad 2.R .
.R .graus
90
Cunha Esférica
A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro
O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples:
Ângulo Volume
cunhaV
rgrausem
30 .3
4360
.R32rad
R270
grausV
3
3
cunhaV
rradianosem
3.3
42
Exemplos:1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa superfície esférica de raio 4cm.
2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.
Exemplo:Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º.
60º
Resolução:
60º
Volume:
270
3
RVol cunha
270
6043
cunhaVol
3cm 9
128cunhaVol
Resolução:
60º
Área Total
lfusototal AAA 2
90
6042
fusoA
nciacircunferê-semi da ÁrealA
3
32fusoA
2
2RAl
8lA
3
483282
3
32 totalA
3
80totalA
22
arar
2
332
aRaR
Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera
22
hrhr
rR
Inscrição da Esfera no Cilindro
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