geometria espacial - cones (daniel oliveira)

Geometria Espacial Cones

Apresentação, planificação, demonstração de fórmulas e exemplos

Daniel OliveiraDanrley MoreiraJoão RobsonMatheus MarcelinoSamuel FerreiraTamires Nobre

Introdução - ConesDaniel Oliveira

Introdução – Conhecendo a Figura

Arquitetura

Introdução – Cones no dia a dia

Catedral Metropolitana de São Sebastião do Rio de Janeiro

Trânsito

Introdução – Cones no dia a dia

Natureza

Introdução – Cones no dia a dia

Recuperação

Introdução – Cones no dia a dia

Colar Elizabetano

Culinária

Introdução – Cones no dia a dia

Apresentando a figuraDaniel Oliveira

Apresentação da Figura

h: altura

g: geratriz

a: eixo(Cone Reto)(Cone Oblíquo)

r: raio

Planificação do coneJoão Robson

Planificação do Cone

Por Pitágoras temos:g² = h² + r²

Comprimento de uma circunferênciaC = 2πr

Fórmulas (Área e Volume)Danrley Moreira e Samuel Ferreira

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

AT = π.r(r+g)raio

geratriz

Como chegar nesta fórmula?

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

Devemos ter em mente que a área total é a soma da área da base e a área da lateral.

AT = AL + AB

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

Primeiro precisamos obter a área da base:Como a base de um cone é uma circunferência, é dada pela seguinte expressão:

Abcirc = π. r²

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

Logo depois precisamos obter a área lateral:Note que a planificação da superfície lateral do cone resulta em um setor circular que possui os seguintes elementos:

raio: g (geratriz do cone)

comprimento do arco: 2πr (perímetro da base do cone)

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

Para encontrarmos a área da superfície lateral, devemos calcular a área do setor circular. Utilizando uma regra de três simples:

Comprimento do arco             Área do setor    2πg         ------------          πg²    2πr  ------------      Alateral

2πg . Alateral = 2πr . πg²

Alateral = πrg

Fórmula da Área

Demonstração de Fórmulas

Finalmente, para encontrarmos a área total de um cone, basta somarmos a área lateral e a área do circunferência:

Ab = πr² Al = πrg área da base

área lateral

At = Ab + Al At = πr² + πrg

At = πr(g + r)

Fórmula do Volume

Demonstração de Fórmulas

O volume do cone é dado pelo produto da área da base pela altura divido por três. 

Por que é dividido por três (um terço) ?

Relação de áreas (Cilindro e Cone)Tamires Nobre

Fórmula do Volume

Demonstração de Fórmulas

V = πr²h

Por que é um terço ?Sabemos que a fórmula para encontrarmos o volume de um cilindro é dada pela expressão:

E a fórmula para encontrar o volume do cone é:

V = πr²h 3

Fórmula do Volume

Demonstração de Fórmulas

V = πr²h

Portanto, colocando as fórmulas lado a lado:

Podemos afirmar que:

V = πr²h 3

“O volume do cone é a terça parte do volume do cilindro, de mesma base e de mesma altura.”

Fórmula do Volume - Experiência

Demonstração de Fórmulas

Se enchermos o cone com areia, será necessário despejar três vezes seu conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo completamente.

Fórmula do Volume

Demonstração de Fórmulas

Logo, teremos a expressão do volume de um cone:

V = πr²h 3

π = 3,14

r = raio da circunferência

h = altura do cone

Samuel Ferreira

Exercícios \o/ – Área e Volume de conesDaniel e Matheus

1) Calcule a área total de um cone de 8cm de altura, sabendo que o raio da base mede 6cm.

Exemplos - Exercícios

h = 8cm g = ?rbase = 6cm At = ?

6

8 g

Por Pitágoras:g² = h² + r²

h

r

1) Calcule a área total de um cone de 8cm de altura, sabendo que o raio da base mede 6cm.

Exemplos - Exercícios

g² = h² + r²

g² = 8² + 6²

g² = 64 + 36

g² = 100

g = √ 100

g = 10

Utilizando a fórmula da área do cone:

AT = πr(r+g)AT = 3,14.6.(6+10)

AT = 18,84.16

AT = 301,44 cm²

2) Deseja-se construir um cone circular reto, utilizando para isso papel. Sabendo que o cone deve apresentar 20 cm de altura e que a geratriz terá 25 cm de comprimento, quantos centímetros quadrados de papel serão gastos para confeccionar esse cone? (Use π= 3,14).

Exemplos - Exercícios

h = 20cm r = ?g = 25cm At = ?

r

20 g

Por Pitágoras:g² = h² + r²

h

25

Agradecemos a atenção!