estatistica aplicada e probabilidade para engenheiros montgomery cap 1 e 2
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Resumo dos Procedimentos dos Testes de Hipteses para Uma Amostra
Curva COHiptese
Critrios paraParmetro deApndiceCaso
Hiptese NulaEstatstica de TesteAlternativaRejeioCurvaCOGrfico VI
1.
H'o: I.l. = IJ-o x - I.l.oH): I.l. "" I.l.oIZol> Zal2d = II.l. - l.l.ol/ IJ-oto> ta,n-)d = (IJ- - I.l.o)/
-
ResumodosProcedimentosparaIntervalodeConfianaparaUmaAmostra
EstimativaCaso
Tipo deProblemaPontual
1.
Mdia JJ., comvarincia0"2conhecida x
2.
Mdia JJ. deumadistribuionormalcom xvarincia0"2desconhecida
3.
Varincia0"2deumadistribuionormal s2
4.
Proporoouparmetrodeumapdistribuiobinomialp
IntervaloBilateralde
Confianade 100(1 - a)%
x - Zaf20"/v/;z :S JJ. :S x + Zaf20"/v/;z
x - taf2.n_ I s/v/;z :S JJ. :S x + taf2.n-1 s/v/;z
(112- l)s2 :S 0"2:s ~ - l)s2Xa/2,n- I X j-af2,n-j
A Jp(l - fi) A Jfi(l - p)p - Zaf2 11 :SP :SP +Zaf2
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EstatsticaAplicadaeProbabilidadeparaEngenheiros
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EstatsticaAplicada eProbabilidadeparaEngenheiros
SegundaEdio
DouglasC. MontgomeryArizonaStateUniversity
GeorgeC. RungerArizonaStateUniversity
Traduo:
Profa. VernieaCalado,D. Se.Praf. Adjunto- DepartamentodeEngenhariaQumicaEscolade Qumica/UFR]
LTCEDITORA
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No interessededifusodaculturaedoconhecimento,osautoreseoseditoresenvidaramomximoesforoparalocalizar os detentoresdosdireitosau~oraisdequalquermaterialutilizado,dispondo-seapossveisacertosposteriorescaso,inadvertidamente,aidentificaodealgumdelestenhasidoomitida.
U Vooo 3&973 LJAppliedStatisticsandProbabilityfor Engineers,2ndeditionCopyright 1999John Wiley&Sons,Jnc.All rightsreserved.AuthorizedtranslationfromtheEnglishlanguageeditionpublishedby John Wiley &Sons,Jnc.
Direitosexclusivosparaa lnguaportuguesaCopyright2003byLTC - Livros Tcnicose CientficosEditora S.A.TravessadoOuvidor,11Rio deJaneiro,RJ - CEP 20040-040Tel.: 21-3970-9480Fax: 21-2221-3202Itc@ltceditora.com.brwww.1tceditora.com.br
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Para:
Meredith,Neil, Colin e Cheryl
Taylor,George,Elisae Rebecca
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Prefcio
A indstriaamericana*temdecontinuaramelhoraraqualida-dede seusprodutose serviossequisercontinuara competirefetivamentenosmercadosinternoeexterno.Umaporosigni-ficantedesseesforodemelhoriadaqualidadesercomandadaporengenheirosecientistas,porqueessessoosindivduosqueprojetamedesenvolvemnovosprodutosesistemaseprocessosdfabricao,sendotambmaquelesquemelhoramossistemasexistentes.Mtodosestatsticossoumaimportanteferramentanessasatividades,porqueelesprovemos engenheiroscommtodosdescritivose analticosparalidarcoma variabilidadenosdadosobservados.
Esteumlivro introdutrioparaumprimeirocursoemesta-tsticaaplicadaeprobabilidadeparaestudantesdegraduaoemengenhariaecinciasfsicasouqumicas.Enquantomuitosdosmtodosqueapresentamossofundamentaisparaanliseesta-tsticaem outrasdisciplinas,taiscomonegciosou gesto,ascinciasdavidaeascinciassociais,elegemosfocalizaro pbli-co voltadoparaengenharia.Acreditamosqueessaabordagemservirmelhoraosestudantesdeengenhariaeospermitircon-centrar-senasmuitasaplicaesdeestatsticanessasdisciplinas.Trabalhamosarduamentedemodoaassegurarquetodososnos-sosexemploseexercciosestivessembaseadosemengenhariae,emquasetodososcasos,usamosexemplosdedadosreais- to-madosdefontepublicadaoubaseadosemnossasexperinciascomoconsultores.
Acreditamosqueosengenheirosdetodasasreasdeveriamcursarestatstica.Infelizmente,porcausadeoutrasnecessidades,muitosengenheirosfazemapenasumcursodeestatstica.Escre-vemosestelivrodemodoqueelepudesseserusadoparaumnicocurso,emboratenhamosfornecidomaterialsuficienteparadoiscursos,na esperanadequemaisestudantesdeengenhariave-jam asaplicaesimportantesdeestatsticaemseustrabalhosdiriose faamumsegundocurso.Acreditamosqueestelivrotambmsirvacomoumarefernciatil. .
ORGANIZAO DOLIVROMantivemoso nvelrelativamentemodestodematemtica,usa-donaprimeiraedio.Percebemosqueosestudantesdeengenha-ria,quetenhamcompletadoumoudoisseme_stresdeclculo,noterodificuldadeemlerquasetodoo texto.E nossaintenodaraoleitornoateoriamatemtica,masumentendimentodame-todologiaecomoaplic-la.Fizemosumcertonmerodemelho-riasnestaedio,incluindoareorganizaodealgummaterialereescrevendograndesporesdevrioscaptulos.
O Capo1 umaintroduoaocampodaestatsticae comoos'engenheirosusama metodologiaestatsticacomopartedo
*Isto va'lenosparaosEUA, comoderestoparatodosospasesdeeconomiaaberta.(N.R.)
processodesolucionarproblemasdeengenharia.Discutimoseilustramosmtodossimplespararesumiredescreverdados.Estecaptulointroduztambmo leitoremalgumasaplicaesdees-tatsticaem engenharia,incluindo a construode modelosempricos,o planejamentodeexperimentosemengenhariaeomonitoramentodeprocessosdefabricao.Estestpicosserodiscutidosemmaisdetalhesnoscaptulossubseqentes.O Capo2 continuaa apresentaodadescriodedadose focaosdia-gramasderamoefolhas,oshistogramas,osdiagramasdecaixaevriostiposdegrficosdesriestemporais.
Os Caps.3,4, 5 e6 cobremosconceitosbsicosdeprobabi-lidade,variveisaleatriascontnuasediscretas,valoresespera-dos,distribuiesconjuntasdeprobabilidadeedeindependn-cia. Demosumtratamentorazoavelmentecompletodessest-picos,pormevitamosmuitosdosdetalhesmatemticosoumaistericos.
O Capo7comeao tratamentodainfernciaestatsticacomestimaodeparmetros.Estecaptulointroduztambmoscon-ceitosdeamostragemaleatria,algumasdasimportantespropri-edadesdosestimadores,o mtododamximaverossimilhana,distribuiesamostraiseo teoremacentraldolimite.Introduzi-mostambmo bootstrapcomoumatcnicaparaencontraroerro-padrodeumaestimativa.
OsCaps.8e9discutemainfernciaestatsticaparaumanicaamostrae paraduasamostrasrespectivamente.O materialfoiextensivamentereescritoe reorganizado.Testedehipteseseintervalosdeconfianaparamdias,varinciaseproporessoapresentados,juntamentecominformaesdetalhadaseexem-plosdemtodosparadeterminaros tamanhosapropriadosdasamostras.Queremosqueosestudantessetornemfamiliarizadoscomo modocomoessastcnicassousadaspararesolverpro-blemasdeengenhariadomundorealeconseguiralgumenten-dimentodosconceitosportrsdeles.Damosumdesenvolvimen-to lgicoeheursticodosprocedimentos,emvezdeumdesen-volvimentotericoformal.
Os Caps. 10e 11 apresentama regressolinear simplesemltipla.Usamoslgebramatricialemtodoomaterialderegres-somltipla(Cap. 11),porque,bemfrancamente, a nicamaneirafcildeentenderosconceitosapresentados.Apresen-taesdearitmticaescalarpararegressomltiplaso,name-lhor dashipteses,inconvenientesenotamosqueosalunosdegraduaoem engenhariaestoexpostos bastantelgebramatricialparaentenderaapresentaodestematerial.
OsCaps.12e13lidamcomexperimentoscomumnicofatorecommltiplosfatoresrespectivamente.Enfatizam-seasnoesdealeatoriedade,blocagem,planejamentosfatoriais,interaes,anlisegrficadosdadoseplanejamentosfatoriaisfracionrios.O Capo14forneceumabreveintroduoaosmtodoseaplica-esdeestatsticanoparamtrica.O Capo15introduzo leitorno controleestatsticodaqualidade,enfatizandoascartasdecontrolee osfundamentosnocontroleestatsticodeprocesso.
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nii PREFCIO
Em adio coleousualdetabelase grficosestatsticos,fornecemostambmalgummaterialtcnicocomplementarnosApndices.Essematerialincluiumaintroduoafunesgera-dorasdemomentos,mudanadetcnicasdevariveis,aper-mutaesemtodosdecontagem,aodesenvolvimentodasdis-tribuiest eF, estimaodeBayeseaoprincpiodara:odeverossimilhana.Essematerialpodeserde interesseparaal-gunsprofessoreseestudanreseo temosfornecidocomoumare-ferncia.
Cadacaptulotemumacoleoextensivadeexerccios,in-cluindoexercciosdefinal de seo,queenfatizamo materialdaquelaseo,exercciossuplementaresnofimdocaptulo,quecobremo escopodostpicosdocaprulo,e exercciosparaex-pandira mente,quefreqentementerequeremqueo estudanteestendadealgummodoo materialtextoouo apliqueemumanovasituao.
USANDO O LIVRO
Esteumlivro-textomuitoflexvel,porqueasidiasdosprofes-soresvariammuitoacercadoquedeveriaestaremumprimeirocursodeestatsticaparaengenheiros,assimcomoashabilidadesdediferentesgruposdeestudantes.Conseqentemente,hesita-mosemdarumnmerodemasiadodeconselhos,explicaremospormcomousamoso livro.
Acreditamosqueumprimeirocursodeestatsticaparaenge-nheirosdeveriaserprincipalmenteumcursodeestatsticaaplica-daenoumcursodeprobabilidade.Em nossocursodeumse-mestre,cobrimostodoo Capo1eo 2 (emtrsouquatroaulas),revisamosomaterialdeprobabilidade,colocandomaisnfasenadistribuionormal(seisaoitoaulas),discutimosamaiorpartedosCaps.8 e 9 sobreintervalosdeconfianae testes(dezau-las), introduzimososmodelosderegressodo Capo10 (quatroaulas),damosumaintroduoaoplanejamentodeexperimen-tosdosCaps.12e 13(seisaulas)e apresentamososconceitosbsicosdecontroleestatsticodeprocesso,incluindoascartasdecontroleShewartdoCapo15(seisaulas).Issonosdeixacercadetrsaquatroperodosparaexamesereviso.Vamosenfatizarqueafinalidadedestecurso introduzirosengenheirosno modocomoa estatsticapodeserusadapararesolverproblemasdeengenhariado mundoreale noparaafugentarosestudantesmenosagraciadosmatematicamente.Esteno umcurso"in-fantildematemtica-estatstica",quetofreqentementedadoaengenheiros.
Sehouverdisponibilidadedeumsegundosemestre,entopossvelcobriro livro inteiro,incluindoalgummaterialdosapn-dices,seapropriadoparaosestudantes.Seriapossveltambm
designare trabalhar,na aula,muitosdosproblemaspropostosparareforaroentendimentodosconceitos.Obviamente,regres-somltiplae maisplanejamentodeexperimentosseriamostpicosmaisimportantesemumsegundocurso.
USANDO O COMPUTADOR
Na prtica,engenheirosusamcomputadoresparaaplicarmto-dosestatsticoscoma finalidadederesolverproblemas.Logo,recomendamosfortementequeo computadorsejaintegradonaaula.Atravsdetodoo livro,apresentamossadasdoMinitab eSAS comoexemplostpicosdoquepodeserfeitocompacotesestatsticosmodernos.Paraensinar,usamosnosomenteessespacotescomooutros,taiscomoEXCEL, STATGRAPHICS,DESIGN-EASE, JMP eSPSS.No saturamoso livrocomexem-plosdemuitospacotesdiferentes,porquea formacomoo pro-fessorintegrao pacoteemsaladeaulamuitomaisimportantedoquequalpacoteusado.Todososdadosno textoestodis-ponveisnaformaeletrnica.Emalgunscaptulos,hproblemasquesentimosquedeveriamsertrabalhadosusandopacotenocomputador.Marcamosessesproblemascomumsmboloespe-cial namargem.
Em nossasprpriasaulas,levamosum notebookPC e ummostradordecristallquido,paraquasetodasasaulas,emostra-moscomoa tcnica implementadano computador,to logoelasejadiscutidaemclasse.Muitospacotesestatsticosoferecem,abaixocusto,versesparaestudantes,quepodemcomprarsuaprpriacpiaouusarosprodutosdisponveisnasredeslocaisdecomputadores.Percebemosque issomelhorougrandementeoandamentodocursoeo entendimentodomaterialporpartedoestudante.
AGRADECIMENTOS
Gostaramosdeexpressarnossagratidoa muitasorganizaese indivduosquecontriburamparaestelivro. Muitosprofesso-resqueusaramaprimeiraedioforneceramexcelentessuges-tesqueincorporamosnestareviso.SomostambmgratosaoDI. SmileyChengpelapermissoparaadaptarmuitasdastabe-las estatsticasde seuexcelentelivro (com Dr. JamesFu),StatisticalTablesfor ClassroomandExamRoam.SomosgratostambmaJohn Wiley andSons,PrenticeHall, o InstiruteofMathematicalStatisticse oseditoresdaBiometricspornosper-mitiremusaro materialcomdireitosautorais.
DouglasC. MontgomeryGeorgeC. Runger
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Sumrio
CAPTULO 1oPapeldaEstatsticanaEngenharia 1
1.1 O MtododeEngenhariaeoJulgamentoEstatstico 11.1.1 EngenhariaeResoluodeProblemas1.1.2 JulgamentoEstatstico5
1.2 ColetandoDadosdeEngenharia 61.3 ModelosMecansticoseEmpricos 71.4 PlanejandoInvestigaesExperimentais 81.5 ObservandoProcessosaoLongodoTempo 10
ExercciosSuplementares 13ExercciosparaExpandira Mente 13
CAPTULO 2 SumrioeApresentaodeDados 14
2.1 ImportnciadoSumrioeApresentaodeDados 14
2.2 DiagramasdeRamoeFolhas 142.3 DistribuiesdeFreqnciae
Histogramas 182.4 DiagramadeCaixa (Box Plot) 202.5 GrficosSeqenciaisdeTempo 22
ExercciosSuplementares24ExercciosparaExpandira Mente 26
CAPTULO 3 Probabilidade 27
3.1 EspaosAmostraiseEventos 273.1.1 Introduo273.1.2 EspaosAmostrais283.1.3 Eventos 29
3.2 InterpretaesdeProbabilidade 333.2.1 Introduo333.2.2 AxiomasdeProbabilidade35
3.3 RegrasdeAdio 373.4 ProbabilidadeCondicional 39
3.5 RegrasdaMultiplicaoedaProbabilidadeTotal 42
3.5.1 RegradaMultiplicao423.5.2 RegradaProbabilidadeTotal 42
3.6 Independncia 443.7 T eoremadeBayes 473.8 VariveisAleatrias 48
ExercciosSuplementares49ExercciosparaExpandiraMente 50
CAPTULO 4 VariveisAleatriasDiscretaseDistribuiesdeProbabilidades51
4.1 VariveisAleatriasDiscretas 51
4.2 DistribuiesdeProbabilidadeseFunesdeProbabilidade 52
4.3 FunesdeDistribuioCumulativa 544.4 MdiaeVarinciadeumaVarivel
AleatriaDiscreta 55
4.5 DistribuioUniformeDiscreta 574.6 DistribuioBinomial 584.7 DistribuiesGeomtricae BinomialNegativa 62
4.7.1DistribuioGeomtrica624.7.2DistribuioBinomialNegativa 63
4.8 DistribuioHipergeomtrica 654.9 DistribuiodePoisson 68
ExercciosSuplementares71ExercciosparaExpandiraMente nCAPTULO 5 VariveisAleatriasContnuase
DistribuiesdeProbabilidade 735.1 VariveisAleatriasContnuas 73
5.2 DistribuiesdeProbabilidadeseFunesDensidadedeProbabilidade 73
5.3 FunesdeDistribuioCumulativa 765.4 MdiaeVarinciadeumaVarivel
AleatriaContnua 77
5.5 DistribuioUniformeContnua 785.6 DistribuioNormal 795.7 GrficosdeProbabilidade 85
5.8 AproximaesdasDistribuiesBinomialedePoissonpelaNormal 87
5.9 DistribuioExponencial 895.10DistribuiesdeErlange Gama 93
5.10.1DistribuiodeErlang 935.10.2DistribuioGama 94
5.11DistribuiodeWeibull 95ExercciosSuplementares96ExercciosparaExpandiraMente 97
CAPTULO 6 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 98
6.1 DuasVariveisAleatriasDiscretas 98
6.1.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 986.1.2 DistribuiesdeProbabilidadesMarginais99
-
X SUMRIO
6.1.3 DistribuiesdeProbabilidadesCondicionais1006.1.4 Independncia101
6.2 MltiplasVariveisAleatriasDiscretas 1046.2.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjumas 1046.2.2 DistribuioMultinomialdeProbabilidades105
6.3 DuasVariveisAleatriasContnuas 107
6.3.1 DistribuiesdeProbabilidadesConjuntas 1076.3.2 DistribuiesdeProbabilidadesMarginais 1086.3.3 DistribuiesdeProbabilidadesCondicionais1096.3.4 Independncia111
6.4 MltiplasVariveisAleatriasContnuas 1136.5 CovarinciaeCorrelao 1156.6 DistribuioNormalBidimensional 1186.7 CombinaesLinearesdeVariveisAleatrias 1206.8 DesigualdadedeChebyshev 122
ExercciosSuplementares 123ExercciosparaExpandiraMente 124
CAPTULO 7 EstimaodeParmetros 1267.1 InfernciaEstatstica 126
7.2 AmostragemAleatria 1277.3 PropriedadesdeEstimadores 128
7.3.1 EstimadoresNoTendenciosos1287.3.2 VarinciadeumEstimador129
7.3.3 ErroPadro:ReportandoumaEstimativa1307.3.4 EstimativaBootstrapdoErroPadro1307.3.5 ErroMdioQuadrticodeumEstimador131
7.4 MtododaMximaVerossimilhana 1327.5 DistribuiesAmostrais 1367.6 DistribuiesAmostraisdasMdias 1367.7 IntroduoaIntervalosdeConfiana 139
ExercciosSuplementares 140ExercciosparaExpandiraMente 140
CAPTULO 8 InfernciaEstatsticaparaumanica Amostra 142
8.1 TestedeHipteses 1428.1.1 HiptesesEstatsticas1428.1.2 TestesdeHiptesesEstatsticas1438.1.3 HiptesesUnilateraiseBilaterais1478.1.4 ProcedimentoGeralparaTestesdeHipteses148
8.2 InfernciasobreaMdiadeumaPopulaocomVarinciaConhecida 1498.2.1 TestesdeHiptesesparaaMdia 1498.2.2 Valoresp nosTestesdeHipteses1508.2.3 O ErroTipoII eaEscolhado
TamanhodaAmostra 150
8.2.4 TesteparaAmostrasGrandes 1528.2.5 AlgunsComemriosPrticossobre
TestesdeHipteses1528.2.6 IntervalodeConfianaparaaMdia 1538.2.7 MtodoGeralparaDeduzirum
IntervalodeConfiana 1558.2.8 IntervalosdeConfianaBootstrap155
8.3 InfernciasobreaMdiadeumaPopulaocomVarinciaDesconhecida 157
8.3.1 TestesdeHiptesesparaaMdia 1578.3.2 Valorp paraumTestet 1598.3.3 SoluoComputacional1598.3.4 EscolhadoTamanhodaAmostra 160
8.3.5 IntervalodeConfiananaMdia 1618.4 InfernciasobreaVarinciadeuma
PopulaoNormal 1638.4.1 TestesdeHiptesesparaaVarinciadeuma
PopulaoNormal 1638.4.2 Erro[3eEscolhadoTamanhodaAmostra 1648.4.3 IntervalodeConfianaparaaVarinciadeuma
PopulaoNormal 1648.5 InfernciasobreaProporodeumaPopulao 166
8.5.1 TestesdeHiptesesparaumaProporoBinomial 166
8.5.2 ErroTipoII eEscolhadoTamanhodaAmostra 1668.5.3 IntervalodeConfianaparauma
ProporoBinomial 1678.6 TabelacomResumodosProcedimentosdeInferncia
sobreumanica Amostra 169
8.7 TestandoaAdequaodoAjuste 1698.8 TestesdaTabeladeContingncia 172
ExercciosSuplementares 174ExercciosparaExpandiraMente 177
CAPTULO 9 InfernciaEstatsticaparaDuasAmostras 179
9.1 Introduo 1799.2 InfernciasobreumaDiferenanasMdiascom
VarinciasConhecidas 179
9.2.1 TestesdeHiptesesparaumaDiferenanasMdiascomVarinciasConhecidas180
9.2.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 1819.2.3 IdentificandoCausaeEfeito 182
9.2.4 IntervalodeConfianaparaumaDiferenanasMdiascomVarinciasConhecid~s182
9.3 Infernciasobrea DiferenanasMdiasdeDuasDistribuiesNormaiscomVariaesDesconhecidas 185
9.3.1 TestesdeHiptesesparaaDiferenanasMdias,comVarinciasDesconhecidas185
9.3.2 EscolhadoTamanhodaAmostra 187
9.3.3 IntervalodeConfianaparaaDiferenanasMdias 187
9.3.4 SoluoComputacional1899.4 Testet Emparelhado 1919.5 InfernciassobreasVarinciasde
DuasPopulaesNormais 1959.5.1 TestesdeHiptesesparaaRazodeDuasVarincias1959.5.2 Erro~eEscolhadoTamanhodaAmostra 1979.5.3 IntervalodeConfianaparaaRazode
DuasVarincias1979.6 InfernciasobreProporesdeDuasPopulaes 198
-
9.6.1 TesteparaAmostrasGrandes,ConsiderandoHo: Pl =P2 198
9.6.2Erro13 eEscolhadoTamanhodaAmostra 1999.6.3IntervalodeConfianaparaPl - P2 200
9.7 Tabelacomo ResumodosProcedimentosdeInfernciasobreDuasAmostras 201
ExercciosSuplementares201ExercciosparaExpandiraMente 204
CAPTULO 10RegressoLinearSimpleseCorrelao 205
10.1 ModelosEmpricos 20510.2 RegressoLinearSimples 20710.3 PropriedadesdosEstimadoresdeMnimosQuadradose
Estimaodecr 21110,4 AbusosComunsnaRegresso 21210.5 TestesdeHiptesesnaRegressoLinearSimples 213
10.5.1UsodeTestest 213
10.5.2AnlisedeVarincia:UmaAbordagemparaTestaraSignificnciadaRegress~214
10.6 IntervalosdeConfiana 21610.6.1IntervalosdeConfianaparaaInclinao
eaInterseo21610.6.2IntervalodeConfianaparaaRespostaMdia 217
10.7 PrevisodeNovasObservaes 21810.8 ClculodaAdequaodoModelodeRegresso 219
10.8.1AnliseResidual219
10.8.2CoeficientedeDeterminao(R2) 22110.8.3FaltadeAjuste 221
10.9 TransformaesparaumaLinha Reta 22410.lOCorrelao 224ExercciosSuplementares227ExercciosparaExpandiraMente 229
CAPTULO 11RegressoLinearMltipla 230
11.1 ModelodaRegressoLinearMltipla 23011.2 EstimaodeParmetrospeloMtododosMnimos
Quadrados 23211.3 AbordagemMatricialparaaRegressoLinear
Mltipla 23311.4 PropriedadesdosEstimadoresdeMnimos
QuadradoseEstimaodecr 24011.5 TestesdeHiptesesparaaRegresso
LinearMltipla 24111.5.1 TesteparaSignificnciadaRegresso24111.5.2TesteparaosCoeficientesIndividuaisdeRegressoe
SubconjuntosdeCoeficientes24211.6 IntervalosdeConfianaparaaRegresso
LinearMltipla 24511.6.1IntervalosdeConfianaparaosCoeficientes
IndividuaisdeRegresso24511.6.2IntervalodeConfianaparaaRespostaMdia 245
11.7 PrediodeNovasObservaes 24611.8 MedidasdaAdequaodoModelo 247
SUMRIO xi
11.8.1CoeficientedeDeterminaoMltipla(R2) 24711.8.2AnliseResidual 24811.8.3ObservaesInfluentes249
11.9 ModelosdeRegressoPolinomial 25111.10VariveisIndicativas 252
11.11SeleodeVariveisnaRegressoMltipla 25511.11.1ProblemadeConstruiroModelo 255
11.11.2ProcedimentosComputacionaisparaaSeleodeVariveis 255
11.11.3SadaComputacionalparaaRegressoemEtapas 260
11.12Multicolinearidade 263
ExercciosSuplementares264ExercciosparaExpandiraMente 266
CAPTULO 12PlanejamentoeAnlisedeExperimentoscomumnico Fator:A AnlisedeVarincia 268
12.1 A EstratgiadeExperimentao 26812.2 ExperimentoCompletamenteAleatorizado
comumnico Fator 269
12.2.1UmExemplo 26912.2.2A AnlisedeVarincia 270
12.2.3SadaComputacional27312.2.4AnliseResidualeVerificaodoModelo 275
12.3 TestesparaMdiasIndividuaisdeTratamento 27812.3.1ComparaoGrficadasMdias 27812.3.2ContrastesOrtogonais27812.3.3MtododeFisherdaMnima
DiferenaSignificativa27912,4 ModelocomEfeitosAleatrios 28112.5 PlanejamentoAleatorizadocom
BlocosCompletos 28412.5.1PlanejamentoeAnliseEstatstica28412.5.2TestesparaasMdiasIndividuais
dosTratamentos287
12.5.3AnliseResidualeVerificaodoModelo 28812.5.4PlanejamentoAleatorizadocomBlocosCompletos
ecomFatoresAleatrios 288
12.6 DeterminaodoTamanhodaAmostraemExperimentoscomumnico Fator 29012.6.1O CasodosEfeitosFixos 29012.6.2O CasodosEfeitosAleatrios 291
ExercciosSuplementares292ExercciosparaExpandiraMente 293
CAPTULO 13PlanejamentodeExperimentoscomVriosFatores 295
13.1 Introduo 29513.2 AlgumasAplicaesdasTcnicasde
PlanejamentodeExperimentos 29513.3 ExperimentosFatoriais 29713.4 ExperimentosFatoriaiscomDoisFatores 299
13.4.1AnliseEstatsticadoModelodeEfeitosFixos 300
-
xii SUMRIO
13,4.2VerificaodaAdequaodoModelo 30313,4.3SadaComputacional30313,4,4UmaObservaoporClula 30313,4.5FatoresAleatrios304
13.5 ExperimentosFatoriaisGerais 30613.6 PlanejamentoFatorial2k 309
13.6.1Planejamento22 31013.6.2Planejamento2k parak ~ 3Fatores31313.6.3RplicanicadoPlanejamento2k 31813.6,4AdiodePontosCentraisaum
Planejamento2k 32013.7 BlocagemeSuperposiono Planejamento2k 32313.8 ReplicaoFracionriadoPlanejamento2k 327
13.8.1UmaMeiaFraodoPlanejamento2k 32713.8.2FraesMenores:O FatorialFracionrio2k-p 331
13.9 MtodosePlanejamentosdeSuperfciedeResposta 33613.9.1MtododaAscendentedeMaiorInclinao
(SteepestAscent) 33713.9.2AnlisedeumaSuperfciedeRespostade
SegundaOrdem 339ExercciosSuplementares343ExercciosparaExpandira Mente 346
CAPTULO 14EstatsticaNo Paramtrica 347
14.1 Introduo 34714.2 TestedosSinais 348
14.2.1DescriodoTeste 34814.2.2TestedosSinaisparaAmostrasEmparelhadas35014.2.3ErroTipoII paraoTestedosSinais 35014.2,4ComparaocomoTestet 351
14.3 TestedeWilcoxon do PostocomSinais 352
14.3.1DescriodoTeste 35314.3.2AproximaoparaAmostrasGrandes35314.3.3ObservaesEmparelhadas35314.3,4ComparaescomoTestet 354
14.4 TestedeWilcoxon daSoma:1osPostos 355
14,4.1DescriodoTeste 35514,4.2AproximaoparaAmostrasGrandes35614,4.3ComparaocomoTestet 356
14.5 MtodosNo ParamtricosnaAnlisedeVarincia 35714.5.1TestedeKruskal-Wallis357
14.5.2TransformaodePosto 358ExercciosSuplementares358ExercciosparaExpandiraMente 359
CAPTULO 15ControleEstatsticodaQualidade 360
15.1 MelhoriaeEstatsticadaQualidade 36015.2 ControleEstatsticodaQualidade 36115.3 ControleEstatsticodeProcesso 36115.4 IntroduoaosGrficosdeControle 361
15,4.1PrincpiosBsicos36115,4.2ProjetodeumGrficodeControle 36415,4.3SubgruposRacionais36415,4,4AnlisedePadresdeComportamentopara
GrficosdeControle 365
15.5 GrficosdeControle X e R 36715.6 GrficosdeControleparaMedidas
Individuais 371
15.7 CapacidadedeProcesso 37415.8 GrficosdeControleparaAtributos 377
15.8.1GrficoP (GrficodeControleparaPropores377
15.8.2GrficoU (GrficodeControleparaDefeitosporUnidade) 378
15.9 DesempenhodoGrficodeControle 38015.10GrficodeControledaSoma
Cumulativa 382
15.11OutrasFerramentasparaResolverProblemasdeCEP 386
15.12Implementandoo CEP 388ExercciosSuplementares389ExercciosparaExpandiraMente 391
AP~NDICES 393
A TabelaseGrficosEstatsticos 395
B MaterialTcnicoSuplementar 426I TcnicasdeContagem 426
II FunoGeradoradeMomento 429III FunesdeVariveisAleatrias 432IV DesenvolvimentodasDistribuies
te F 436
V AbordagemBayesianaparaEstimao 437VI TestesdaRazodaVerossimilhana 439
VII FatoresAleatriosemExperimentosFatoriais 440
C Bibliografia 445D RespostasdosExercciosSelecionados 447
NDICE 460
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oPapeldaEstatsticanaEngenharia
ESQUEMA DO CAPTULO
1.1 oMTODO DE ENGENHARIA E O JULGAMENTOESTATSTICO
1.1.1EngenhariaeResoluodeProblemas
1.1.2JulgamentoEstatstico1.2 COLETANDO DADOS EM ENGENHARIA
1.1O MTODO DE ENGENHARIA E OJULGAMENTO ESTATSTICO
1.1.1EngenhariaeResoluodeProblemas
Um engenheiroalgumqueresolveproblemasdeinteressedasociedade,pelaaplicaoeficientedeprincpioscientficos.Osengenheirosexecutamissoatravsdorefmamentodoprodutoouprocessosexistentes,oupeloprojetodeumnovoproduto,ouprocessoqueencontreasnecessidadesdos consumidores.Omtodode engenhariaou cientfico a abordagemparafor-mulare resolveressesproblemas.As etapasno mtododeen-genhariasodadasa seguir:
1. Desenvolverumadescrioclaraeconcisadoproblema.2. Identificar,no mnimotentar,os fatoresimportantesque
afetamesseproblemaou quepossamdesempenharumpapelemsuasoluo.
3. Proporummodeloparaoproblema,usandoconhecimentocientficooudeengenhariadofenmenoestudado.Esta-belecerlimitaesousuposiesdomodelo.
4. Conduzirexperimentosapropriadose coletardadosparatestarouvalidaro modelo-tentativaou conclusesfeitasnasetapas2 e 3.
5. Refinaro modelo,combasenosdadosobservados.
1.3 MODELOS MECANICISTAS E EMPRICOS
1.4 PLANEJANDO INVESTIGAESEXPERIMENTAIS
1.5 OBSERVANDO PROCESSOS AO LONGO DO TEMPO
6. Manipularomodelodemodoaajudaro desenvolvimentodasoluodoproblema.
7. Conduzirumexperimentoapropriadoparaconfirmarquea soluopropostaparao problema efetivaeeficiente.
8. Tirarconclusesoufazerrecomendaesbaseadasnaso-luodoproblema.
As etapasno mtododeengenhariasomostradasnaFig. 1.1.Notequeomtododeengenhariacaracterizaumaforterelaorecprocaentreoproblema,osfatoresquepodeminfluenciarsuasoluo,ummodelodofenmenoeaexperinciaparaverificaraadequaodomodeloedasoluopropostaparaoproblema.As etapas2-4,naFig. 1.1,socolocadasemumretngulo,in-dicandoquevriosciclosou iteraesdessasetapaspodemserrequeridosparaobtera soluofinal. Conseqentemente,en-genheirostmdesabercomoplanejar,eficientemente,osexpe-rimentos,coletardados,analisare interpretarosdadose enten-dercomoosdadosobservadosestorelacionadosaomodeloqueelespropuseramparao problemasobestudo.
O campodaestatsticalida coma coleta,a apresentao,aanlisee o usodosdadosparatomardecises,resolverproble-maseplanejarprodutoseprocessos.Devidoa muitosaspectosdaprticadeengenhariaenvolveremotrabalhocomdados,ob-viamentealgumconhecimentodeestatstica importanteparaqualquerengenheiro.Especificamente,tcnicasestatsticaspo-demserumaajudapoderosanoplanejamentodenovosprodu-
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2 O PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA
Definio
Seasn observaesemumaamostraforemdenotadasporXI' X2, ... , X,,, ento,amdiadaamostraser
12,6+12,9+... +13,18
EXEMPLO 1.1A mdiadaamostradaforaderemooparaasoitoobserva-escoletadasnosprottiposdosconectores
8
2: XiX = Xl +Xl +... Xn =;=I
n 8
(1.1)
n
2: Xi;=1
nx = XI +Xl +... +Xn
n
A Fig. 1.2apresentaumdiagramadepontosdessesdados.O diagramadepontosumgrficomuitotilparaexibirumpe-quenoconjuntodedados,isto,cercade20observaes.Essegrficonospermitirverfacilmenteduascaractersticasdosda-dos;a localizaoouomeio,eo espalhamentoouavariabili-dade.Quandoo nmerodeobservaespequeno,geralmentedificil identificarqualquerpadroespecficonavariabilidade,emborao diagramadepontossejaumamaneiraconvenientedeverquaisquercaractersticasincomunsnosdados.
Podemostambmdescrevernumericamenteascaractersti-
casdosdados.Por exemplo,podemoscaracterizara localiza-ooutendnciacentralnosdadosatravsdamdiaaritmticacomum.Porquequasesemprepensamosemnossosdadoscomosendoumaamostra,referir-nos-emosmdiaartmticacomoa mdiada amostra.
tosesistemas,melhorandoosprojetosexistenteseplanejando,desenvolvendoemelhorandoosprocessosdeproduo.
Mtodosestatsticossousadosparanosajudara entenderavariabilidade.Por variabilidade,queremosdizerquesucessi-vasobservaesdeumsistemaoufenmenonoproduzemexa-tamenteo mesmoresultado.Todosnsencontramosvariabili-dadeemnossodia-a-diaeojulgamentoestatsticopodenosdarumamaneiratil paraincorporaressavariabilidadeemnossosprocessosdetomadadedeciso.Por exemplo,considereo de-sempenhodeconsumodegasolinade seucarro.Voc sempreconsegueomesmodesempenhodeconsumoemcadatanquedecombustvel?Naturalmente,no-na verdade,algumasvezesodesempenhovariaconsideravelmente.Essavariabilidadeobser-vadano consumode gasolinadependedemuitosfatores,taiscomoo tipodeestradamaisusadarecentemente(cidadeoues-trada),asmudanasnacondiodoveCuloaolongodotempo(quepoderiamincluir fatorescomodesgastedopneuou com-pressodomotoroudesgastedavlvula),amarcae/ounmerodeoctanagemdagasolinausada,oumesmo,possivelmente,ascondiesclimticas.Essesfatoresrepresentamfontespoten-ciaisdevariabilidadenosistema.A Estatsticanosforneceumaestruturaparadescreveressavariabilidadee paraaprenderso-brequaisfontespotenciaisdevariabilidadesomaisimportan-tesou quaistmo maiorimpactono desempenhodeconsumode gasolina.
Encontramostambmvariabilidadeemproblemasdeenge-nharia.Por exemplo,suponhaqueumengenheiroestejaproje-tandoumconectordenilonparaserusadoemumaaplicaoautomotiva.O engenheiroestconsiderandoestabelecercomoespecificaodoprojetoumaespessuradeparedede3/32pole-gada,masest,dealgummodo,inseguroacercadoefeitodessadecisonaforaderemoodoconector.Seaforaderemoofor muitobaixa,o conectorpodefalharquandoelefor instaladonomotor.Oitounidadesdoprottiposoproduzidasesuasfor-asderemoosomedidas,resultandonosseguintesdados(emlibras-p):12,6;12,9;13,4;12,3;13,6;13,5;12,6;13,1.Comoantecipamos,nemtodososprottipostmamesmaforadere-moo.
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o PAPEL DA EsTA TfsTICA NA ENGENHARIA 3
Definio
Fig. 1.3A mdiadaamostracomoum pontodeequilibrioparaum sistemadepesos.
SeXI, X2, .. , Xn forumaamostraden observaes,entoavarincia da amostraser
tir emtodososconectoresqueserovendidosaosconsumido-res.Algumasvezes,existeumapopulaofsicareal,tal comoumaporodepastilhasdesilcioproduzidasemumafbricadesemicondutores.Podemospensartambmemcalcularo valormdiodetodasasobservaesemumapopulao.Essamdiachamadademdiapopulacional,sendodenotadapelaletragre-gafL(mi).
Quandohouverumnmerofinitodeobservaes(isto,N)napopulao,entoa mdiapopulacionalser
Xi Xi - X(Xi - X)2
1
12,6 -0,40,162
12,9 -0,10,013
13,4 0,40,164
12,3 -0,70,495
13,6 0,60,366
13,5 0,50,257
12,6 -0,40,168
13,1 0,10,01------
1"04,0 0,01,60
assim,avarinciadaamostra
Tabela 1.1ClculodosTermosparaaVarinciaeDesvio-PadrodaAmostra
2 1,60 1,60 02286(l'b ,)2s =8 _ 1 =-7-=, I ras-pe
e o desvio-padrodaamostra
EXEMPLO 1.2A Tabela1.1apresentaasquantidadesnecessriasparacal-cularavarinciae o desvio-padrodaamostraparaos dadosdaforaderemoo.EssesdadossograficadosnaFig. 1.4.O numeradordeS2
8
L (Xi - x)2 = 1,60i=1
s = v'0,2286=0,48libras-p
dadosdaforaderemoodoconector.Quantomaioravariabi-lidadenosdadosdaforaderemoo,maiorserovalorabsolu-todealgunsdosdesviosXi - X. UmavezqueosdesviosXi - Xsomarozero,temosdeusarumamedidadevariabilidadequetransformeosdesviosnegativosemquantidadesnonegativas.Elevar ao quadradoos desvios uma abordagemusadanavarinciadaamostra.Conseqentemente,seS2forpequeno,ha-ver,relativamente,poucavariabilidadenosdados;porm,seS2forgrande,avariabilidadeserrelativamentegrande.
(1.2)
(1.3)
N
L Xii=1f..L=--N
n
L (Xi - X)2S2 = _i=_I _
n - 1
i; 13
L
I
I
12 1415
Forade remoo
A mdiada amostra,X, umaestimativarazovelda mdiapopulacional, fL. Logo, o engenheiroduranteo projeto doconectorusandoumaespessuradeparedede3/32polegadacon-cluiria,combasenosdados,queumaestimativadaforadere-moomdiaseria13,0libras-p.
Nos captulosseguintes,discutiremosmodelosparapopula-esinfinitase issonos levara urnadefmiomaisgeraldemdiapopulacional,fL. Muitosproblemasimportantesdeenge-nhariaenvolvemfazerrefernciasoutomardecisessobreumamdiapopulacional.
Emboraamdiadaamostrasejatil, elanotransmitetodaa informaoacercadeumaamostradedados.A variabilidadeou dispersonosdadospodeserdescritapelavarincia ou odesvio-padroda amostra.
odesvio-padrodaamostra,s,araizquadradapositi-va davarinci
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4 O PAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA
EXEMPLOl.3Calcularemosavarinciaeo desvio-padrodaamostra,usan-do o mtododoatalho,Eq. IA. A frmulafornece
n Il
2: X? +n:x2 - 2:X 2: Xii=1 i=1
n - 1
NotequeaEq. IA requerquesecalculeo quadradodecadaXi'levando-se,ento,aoquadradoasomadeXi' subtraindo('i,xY/ndeI x;,efinalmentedividindoporn - I. Algumasvezes,issochamadodemtodoabreviadoparaclculodeS2 (ous).
n
e,j quex =(l/n) I,Xi' essaltimaequaosereduzai = 1(X.)2
X?- i=1 I (104)2 i=1 ns =--------
n - 1
(1.6)r = mx(xi) - mn(xi)
Umadefiniomaisgeraldavarinciacr serdadaadiante.Observamos,previamente,queamdiadaamostrapoderiaserusadacomoumaestimativadamdiapopulacional.Similarmen-te,avarinciadaamostraumaestimativadavarinciadapo-pulao.
Note queo divisordavarinciadaamostra o tamanhodaamostramenosum(n - I), enquantoparaavarinciadapopula-o,o divisor o tamanhoN dapopulao.Sesoubssemosovalor verdadeirodamdiapopulacional]L, entopoderamosencontrara varinciadaamostracomoa mdiadosquadradosdosdesviosdasobservaesdaamostraemtomode]L. Na pr-tica,ovalorde]L quasenuncaconhecidoe,dessaforma,asomadosquadradosdosdesviosemtomodamdiax daamostratemdeserusada.No entanto,asobservaesXi tendema sermaisprximasdeseuvalormdio,x, doqueamdiapopulacional,]L.Por conseguinte,paracompensarisso,usamosn - 1 comoodivisoremvezden.Seusssemosn comoodivisornavarincia
daamostra,obteramosumamedidadevariabilidadequeseria,emmdia,consistentementemenorqueavarinciaverdadeiracrdapopulao.
Umaoutramaneiradepensaracercadissoconsiderarava-rinciaS2 daamostra,comoestandobaseadaemn - I grausdeliberdade.O termograusdeliberdaderesultadofatodequendesviosXl - x, X2 - x, ..., Xn - x sempresomamzeroe,as-sim,especificarosvaloresdequaisquern - I dessasquantida-desdeterminaautomaticamenteaquelerestante.Isso foi ilus-tradonaTabela1.1.Dessaforma,somenten - I dosn desvios,Xi - x,estolivrementedeterminados.
Almdavarinciaedodesvio-padrodaamostra,aamplitu-deda amostra,ouadiferenaentreamaioreamenorobserva-o,umamedidatildevariabilidade.A amplitudedaamostradefinidacomosegue.
Definio
SeasnobservaesemumaamostraforemdenotadasporXI' X2, ... , x," entoaamplitudedaamostraser13536 _ (104f, 8
7
Il
2: (X? +:x2 - 2ix;)i=1
n-
n
2: (xi -:xi2 i=1S =-----
n - I
( n )2n 2: Xi2:x?- i=1
2 i=I nS =--------n - 1
Cmputode 52O cmputodeS2 requero clculodex, n subtraesen opera-esdeelevaraoquadradoesomar.SeasobservaesoriginaisouosdesviosXi - x noforeminteiros,podesertediosotraba-lharcomosdesviosXi - X evriosdecimaispodemterdesercarregadosparaassegurara exatidonumrica.Uma frmulacomputacionalmaiseficienteparaavarinciadaamostraobti-dacomosegue:
e
s =VO,2286 =0,48libras-p
Essesresultadosconcordamexatamentecomaquelesobtidospreviamente.
= 1,;0 =0,2286(libras-p)2 Paraosdadosdaforaderemoo,aamplitudedaamostrar =13,6- 12,3=1,3.Geralmente,medidaqueavariabilidadenos dadosda amostraaumenta,a amplitudeda amostraau-menta.
A amplitudedaamostrafcildecalcular,masignoratodaainformaocontidanosdadosentreosvaloresmaiore menor.Por exemplo,asduasamostras1,3,5,8 e9 e 1,5,5,5,9 tmamesmaamplitude(r =8).Entretanto,odesvio-padrodaprimei-ra amostra SI =3,35,enquantoo desvio-padrodasegundaamostraS2 =2,83.A variabilidaderealmentemenornasegun-daamostra.
Algumasvezes,quandoo tamanhodaamostraforpequeno,isto,n
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oPAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA 5
mir os dados.Outrosmtodosparadescreveros dadosseroapresentadosno Capo2.
Osengenheirosestofreqentementeinteressadosemdesen-volverummodelodosistemaouprocessoquegerouosdados.Essesmodelosenvolvemconceitosdeprobabilidadequeserointroduzidosno Capo3.Veremosqueanoodeumadistribui-odeprobabilidade,comoummodeloquedescreveavaria-bilidadeemum sistemaou processo, muito importantenoambientedeengenharia.Os Caps.4-6exploraroessesconcei-tosemdetalhes.
1.1.2JulgamentoEstatstico
A necessidadedeumjulgamentoestatsticoaparecefreqente-mentenasoluodeproblemasdeengenharia.Considereo en-genheiroprojetandoo conector.A partirdetestesemprottipo,elesabequeumaestimativarazoveldaforamdiaderemo-oseria13,0lb-ft. Entretanto,elepensaqueessevalorpodesermuitobaixoparaa aplcaopretendida;assim,eledecideconsiderarumprojetoalternativocomumaespessuramaiordeparede,1/8polegada.Oitoprottiposdesseprojetosoconstru-doseasmedidasobservadasdaforaderemooso:12,9;13,7;12,8;13,9;14,2;13,2;13,5e 13,1.A mdiae o desvio-padrodaamostraso 13,4e 0,50,respectivamente.ResultadosparaambasasamostrassograficadoscomodiagramadepontosnaFig. 1.5.Essegrficoeosclculosprecedentesdoaimpressodequeo aumentodaespessuradaparedelevouaumaumentonaforaderemoo.No entanto,halgumasquestesbviasaperguntar.Por exemplo,comosabemosqueumaoutraamostradeprottiposnodarresultadosdiferentes?A amostradeoitoprottipos adequadaparafornecerresultadosconfiveis?Seusarmos.osresultadosobtidosdostestesatagoraparaconcluirqueaumentandoa espessuradaparedeaumentaa resistncia,quaisosriscosqueestoassociadoscomessadeciso?Porexem-plo, serpossvelqueo aumentoaparentenaforaderemooobservadanosprottiposmais espessossejaapenasdevidovariabilidadeaparenteno sistemae queo aumentodaespessuradaparte(e seucusto)realmentenoafetea foraderemoo?
Freqentemente,as leis fisicas(taiscomoa lei deOhm e alei degsideal)soaplicadasparaajudarnoprojetodeprodu-tose processos.Estamosfamiliarizadoscomesseraciocnioapartirdeleis geraisparacasosespeciais.Porm,tambm im-portanteraciocinarapartirdeumasrieespecficademedidasparacasosmaisgeraispararespondersquestesprvias.Esseargumento a partirdeumaamostra(talcomoos oito conec-tores)paraumapopulao(talcomoos conectoresqueserovendidosaos consumidores).O raciocnio referido comoinferncia estatstica.Ver Fig. 1.6.Historicamente,medidasforamobtidasdeumaamostradepessoasegeneralizadasparaumapopulao,mantendo-sea terminologia.Claramente,oraciocniobaseadonasmedidasdealgunsobjetosparamedidasemtodososobjetospoderesultaremerros(chamadosdeerrosdeamostragem).No entanto,sea amostrafor selecionadaade-quadamente,essesriscospoderoserquantificadoseumtama-nhoapropriadodeamostrapodeserdeterminado.
=f2 polegada
o= ~ polegada
Fig. 1.6Infernciaestatisticaumtipoderaciocnio.
Populaofutura
?
Tempo.
1- - - - - - - - - - - ,IIIIIIIII I, J
Estudoanaltico
Estudoenumerativo
1- - - - - - - - - - - ,II PopulaoI ?
: (:::):!_-~---jxl' X2"'" xn.
Em algunscasos,aamostrarealmenteselecionadaapar-tir dapopulao.A amostraumsubconjuntodapopulao.Por exemplo,umaamostradetrspastilhaspodeserselecio-nadade um lote de produodepastilhasna fabricaodesemicondutores.Baseadonos dadosda amostra,queremosconcluiralgumacoisaarespeitodolote.Por exemplo,amdiadasmedidasderesistividadena amostra(:X) no esperadaparaigualarexatamentemdiadasmedidasderesistividadeno lote (f.L). Entretanto,se :x for alta,devemosestarpreocu-padoscomque f.L sejamuitoalta.A infernciaestatstica apartirde :x para f.L.
Em outroscasos,apopulaonoexisteainda,masdeveserpensadacomofuturasrplicasdosobjetosnaamostra.Parares-pondersquestesprvias,os oito prottiposdosconectorestmdeserrepresentantivos,decertomodo,daquelesqueserovendidosaosconsumidores.Geralmente,osoitoconectoressovistoscomoumaamostradapopulaodeconectoresqueserovendidosaosconsumidores.Claramente,essaanliserequeral-gumanoodeestabilidadecomoumasuposioadicional.Porexemplo,deveserconsideradoqueasfontesdevariabilidadenafabricaodeprottipos(taiscomotemperatura,pressoetem-po decura)soasmesmasqueaquelasparaosconectoresqueserovendidosaosconsumidores.
O exemplodepastilhasapartirdeloteschamadodeestudoenumerador.Umaamostrausadaparafazerumainfernciapopulaodaqualaamostraselecionada.O exemplodoconectorchamadodeestudoanaltico.Umaamostrausadaparafazerumainfernciaaumapopulaofutura.As anlisesestatsticassogeralmenteasmesmasemambososcasos,pormumestudoanalticorequer,claramente,umasuposiodeestabilidade.VerFig.1.7.
I
15
o 00 00 o o o I13 14Forade remoo
12
Fig. 1.5Diagramadepontosdaforaderemooparaduasespessurasdeparede. Fig. 1.7Estudoenumerativoversusestudoanaltico.
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6 O PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA
1.2COLETANDO DADOS DE ENGENHARIA
Na seoprvia,ilustramosalgunsmtodossimplespararesu-mirdados.No ambientedeengenharia,osdadossoquasesem-preumaamostraquefoi selecionadaapartirdealgumapopula-o.Geralmente,essesdadossocoletadosemumadasduasmaneirasaseguir.
A primeiramaneirapelaqualosengenheirosfreqentementecoletamdadosapartirdeumestudoobservacional.Nessasitu-ao,o processoou sistemaqueestsendoestudadopodeserobservadosomentepelo engenheiroe os dadossoobtidosmedidaquesetomamdisponveis.Porexemplo,suponhaqueumengenheiroestejaavaliandoo desempenhodeumprocessodefabricaodecomponentesplsticosatravsdainjeoemmol-de.Pode-seobservaro processo,selecionarcomponentesmedidaquesofabricadosemedirimportantescaractersticasdeinteresse,taiscomoaespessuradaparede,o encolhimentoouaresistnciadapea.O engenheiropodemedirtambmeregistrarasvariveisdeprocessopotencialmenteimportantes,taiscomoatemperaturadomolde,o contedodeumidadedamatria-pri-maeotempodociclo.Freqentemente,emumestudoobserva-dor,o engenheiroestinteressadoemusarosdadosparacons-truir um modelodo sistemaou processo.Essesmodelossofreqentementechamadosdemodelosempricos,sendointrodu-zidose ilustradosemmaioresdetalhesnaprximaseo.Umaoutramaneira queos dadosobservadossoobtidosatravsdaanlisededadoshistricosdosistemaouprocesso.Porexem-plo, nafabricaodesemicondutores,razoavelmentecomummanterregistrosextensosdecadabateladaou lotedepastilhasquefoi produzido.Essesregistrosincluiriamdadosdetestedecaractersticasfisicase eltricasdaspastilhas,assimcomoascondiesdeprocessamentosobasquaiscadabateladadepas-tilhasfoi produzida.Se apareceremquestesrelativasa umamudanaemumaimportantecaractersticaeltrica,ahistriadoprocessopodeserestudadaemum esforoparadeterminaropontono tempoondea mudanaocorreue paraganharalgumdiscernimentoemrelaosvariveisdoprocessoquedevemserresponsveispelamudana.Freqentemente,essesestudosenvolvemumconjuntomuitograndededadose requeremumfirmedomniodosprincpiosestatsticos,seoengenheiroquiseralcanaro sucesso.
A segundamaneirapelaqualosdadosdeengenhariasoob-tidosatravsdeumexperimentoplanejado.Em umexperi-mentoplanejado,oengenheirofazvaraespropositaisnasva-riveiscontrolveisdealgunssistemasouprocessos,observaosdadosdesadadosistemaresultantee,ento,fazumainfernciaoudecisosobreasvariveisquesoresponsveispelasmudan-
asobservadasnodesempenhodesada.O exemplodoconectordeplsticonaseoprviailustrouumexperimentoplanejado;ouseja,umamudanadeliberadafoi feitanaespessuradapare-dedoconector,como objetivodedescobrirseumaforadere-moomaiorpoderiaserounoobtida.O planejamentodeex-perimentostemumpapelmuitoimportantenoprojetoedesen-volvimentodeengenhariaenamelhoriadosprocessosdefabri-cao.Geralmente,quandoprodutoseprocessossoplanejadosedesenvolvidoscomexperimentosplanejados,elestmmelhordesempenho,maisaltaconfiabilidadeemenorescustosglobais.Experimentosplanejadostambmdesempenhamum papelcrucialnareduodotempodeconduodeumprojetodeen-genhariaedodesenvolvimentodeatividades.Na Seo1.4,ilus-traremosvriostiposdeexperimentosplanejadosparao exem-plo doconector.
Na Seo 1.1, introduzimos os conceitos de estudosenumeradorese analticos.A maioriadosproblemasde enge-nhariaenvolveosestudosanalticos.Os dadosprovenientesdeobservaoeosdadosprovenientesdeexperimentosplanejadospodemserobtidosemambosos tiposdeestudos,masfreqen-tementeelesenvolvemestudosanalticos;isto,ainfernciaoudecisodaanlisesobrecomoo sistemaouo processosede-sempenharno futuro.
A habilidadedepensareanalisar,estatisticamente,osdadosamostraisnoscapacitara responderquestessobreo sistemaouo processoemestudo.Por exemplo,considereo problemaarespeitodaescolhadaespessuradaparededoconectordeni-lon.Uma abordagemquepoderiaserusadanaresoluodesseproblemacompararasmdiasdaforaderemoopara3/32polegada,JkJI32, epara1/8polegada,J.LU8, usandoatcnicadetesteestatsticodehipteses.Os Caps.8 e9 discutiroo testedehi-pteseseoutrastcnicasrelacionadas.Emgeral,umahipteseumaafirmaosobrealgumaspectodo sistemaemquetenha-mosinteresse.Por exemplo,o engenheiropodeestarinteressa-do emsabersea foramdiaderemoode3/32polegadaex-cedeacargamximatpicaaserencontradanessaaplicao,ouseja,12,75libras-p.Assim sendo,estaramosinteressadosemtestarotestedehiptesesemquearesistnciamdiaJ.L3132 exce-deria12,75libras-p.Isso chamadodeproblemadetestedehiptesescomumanicaamostra.O Capo8 apresentartcni-casparaessetipodeproblema.Alternativamente,o engenheiropodeestarinteressadoemtestarahiptesedequeumaumentodaespessuradaparedede3/32para1/8depolegadaresultaemumaumentodaforamdiaderemoo.Claramente,esseumexemplodeestudoanalticoetambmumexemplodeumpro-blemaenvolvendotestedehiptesesparaduasamostras.Pro-blemasdessetiposerodiscutidosno Capo9.
---------EXERCCIOS PARA AS SEES 1.1E 1.2---------1.1. Foramfeitasoitomedidasdodimetrointernodeanisdepis- 7099;6930;6992;7518;7100;6935;7518;7013;6800;7041
toforjadosdeummotordeumautomvel.Osdados(emmm) e 6890.Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.Cons-so:74,001;74,003;74,015;74,000;74,005;74,002;74,005e truaumdiagramadepontosdosdados.74,004.Calculeamdiaeodesvio-padrodaamostra,construa 1.4. Um artigono Journal o/ StructuralEngineering(Vol. 115,umdiagramadepontosecomenteosdados. 1989)descreveumexperimentoparatestara resistnciaresul-
1.2. Em AppliedLi/e DataAnalysis(Wiley, 1982),WayneNelson tanteemtuboscircularescomcalotassoldadasnasextremida-apresentao tempodeesgotamentodeumfluido isolanteentre des.Osprimeirosresultados(emkN) so:96;96;102;102;102;eletrodosa 34 kV. Os tempos,emminutos,so:0,19;0,78; 104;104;108;126;126;128;128;140;156;160;160;164e0,96;1,31;2,78;3,16;4,15;4,67;4,85;6,50;7,35;8,01;8,27; 170.Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.Construa12,06;31,75;32,52;33,91;36,71e 72,89.Calculea mdiae umdiagramadepontosdosdados.o desvio-padrodaamostra. 1.5. Um artigoemHumanFactors (junhode1989)apresentouda-
1.3. A ediodejaneirode 1990deArizona Trendcontmum su- dossobreaacomodaovisual(umafunodomovimentodoplementodescrevendoos 12"melhores"camposde golfedo olho),reconhecendoumpadrodemanchaemumvdeoCRTestado.Os comprimentosdessescamposemjardasso:6981; de altaresoluo.Os dadosso:36,45;67,90;38,77;42,18;
-
o PAPEL DA EsTATSTlCA NA ENGENHARIA 7
1.6.
26,72; 50,77; 39,30e 49,71. Calcule a mdia e o desvio- 1.7.padro da amostra.Construaum diagramade pontos dosdados. 1.8.Os seguintesdadossomedidasde intensidadesolar direta(watts/m2), emdiasdiferentes,emumalocalizaono sul daEspanha:562;869;708;775;775;704;809;856;655;806;878;909;918;558;768;870;918;940;946;661;820;898;935;952;957;693;835;905;939;955;960;498;653;730e 753.Calculeamdiae o desvio-padrodaamostra.
ParacadaumdosExerccios1.1a 1.6,discutaseosdadosresul-tamdeumestudoobservadooudeumexperimentoplanejado.A ediode22 deabrilde 1991deAviation WeekandSpaceTechnologyreportaque,duranteumaoperaodeguerranodeserto,pilotosdaforaareaamericana(F-117A)realizaram1270vos decombate,comumtotalde6905horas.Qual foia duraomdiadeumamissoF-117A duranteessaopera-o?Por queo parmetroquevoccalculoufoi a mdiapo-pu1aciona1?
1.3MODELOS MECANICISTAS E EMPRICOS
em que aforma da funof desconhecida.Talvez, um modelode trabalho pudesse ser desenvolvido a partir de uma expansoem srie de Taylor, considerando apenas o termo de primeiraordem, produzindo assimum modelo da forma
Mn = 130 + 131V + !32C + !33T (1.10)sendo f3's os parmetrosdesconhecidos.Agora, assim como nalei deOhm, essemodelo no descreverexatamenteo fenmeno,
de modo que devemosconsiderar outrasfontes de variabilidade
Os modelos desempenhamum importante papel na anlise depraticamentetodos os problemas de engenharia.Muito da edu-cao formal de engenheiros envolve o aprendizado sobre osmodelos relevantes a campos e a tcnicas especficos para apli-car essesmodelos na formulao e soluo deproblemas. Comoum simples exemplo, suponhaqueestejamosmedindo a corren-te em um fio fino de cobre.Nosso modelo para essefenmenopode ser a lei de Ohm
Corrente =voltagem/resistncia
(1.11)
Tabela 1.2Dadossobrea ResistnciadeTraodaCola no Arame
Resistncia
ComprimentoNmero da
Traodo ArameAltura do MoldeObservao
yXI X,
I9,95250
224,458110
331,7511120
435,0010550
525,028295
616,864200
714,382375
89,60252
924,359100
1027,508300
1117,084412
1237,0011400
1341,9512500
1411,662360
1521,654205
1617,894400
1769,0020600
1810,301585
1934,9310540
2046,5915250
2144,8815290
2254,1216510
2356,6317590
2422,136100
2521,155400
Esse o modelo queusaremospararelacionaro pesomolecularsoutrastrsvariveis.Essetipochamadomodelo emprico; ou seja,eleusaanossaengenhariae o conhecimentocientfico do fenme-no,pormnodiretamentedesenvolvidoapartirdenossoconheci-mentoterico ou dosprimeiros princpios do mecanismobsico.
Com o objetivo de ilustraressasidias comum exemploespe-cfico, considereos dadosna Tabela 1.2.Essa tabelacontm da-
dos dastrsvariveis, que foram coletadosem uma plantade fa-bricao de semicondutores.Nessa planta, o semicondutor[mal um aramecolado a uma estrutura.As variveis reportadassoa resistncia trao (uma medida da quantidade de forarequeridapararomper a cola), o comprimentodo aramee a alturada matriz. Gostariamos de encontrarum modelo relacionando a
resistncia trao,ao comprimentodo aramee alturadamatriz.Infelizmente, no h mecanismofisico quepossamosfacilmenteaplicar aqui. Por conseguinte,no pareceprovvel quea aborda-gem de modelo mecanicistapossa ser usada com sucesso.Notequeesse um exemplode um estudoobservador(ver Seo 1.2).
quepossam afetar o peso molecular. Desse modo, adicionamosum outro termo ao modelo resultando
(1.9)
(1.8)
(1. 7)1= E/R
I=E/R+E
Mn =I(V, C, T)
sendo E um termo adicionado ao modelo para considerar o fatode que os valores observados da correnteno seguemperfeita-menteo modelo mecanicista.Podemos pensarE como sendoumtermo que inclui os efeitos de todas as fontes no modeladas devariabilidade que afetamesse sistema.
Algumas vezes, os engenheiros trabalham com problemaspara os quaisno h modelo mecanicista simples ou bem enten-dido, queexplique o fenmeno.Por exemplo, suponhaque este-jamos interessados no peso molecular mdio (Mil) de umpolmero. Agora, sabemos que Mil est relacionado viscosi-dade (V) do material e tambm depende da quantidade decatalisador (C) e da temperatura(1)no reatorde polimerizao,quando o material fabricado. A relao entreMil e essasvari-veis
Chamamos esse tipo de modelo mecanstico, porque ele construdo a partir denosso conhecimento do mecanismo fisicobsico,querelacionaessasvariveis.No entanto,sefizermosesseprocesso de medio mais de uma vez, talvez em tempos dife-rentes,ou mesmo em dias diferentes, a con"enteobservadapo-derdiferir levementepor causadepequenasmudanasou vari-aesemfatoresqueno estejamperfeitamentecontrolados,taiscomo mudanasnatemperaturaambiente,flutuaesno desem-penho do medidor, pequenasimpurezaspresentesem diferenteslocalizaes do fio e impulsos na voltagem. Logo, um modelomais realista da corrente observadapode ser
ou
-
8 o PAPEL DA Esr ATSTICA NA ENGENHARIA
Fig. 1.8Grficotridimensionaldosdadosdoarameedaresistnciatrao.
Fig. 1.9Grfico devaloresprevistosdaresistnciatrao,apartirdomodeloempriconaEq. 1.12.
Muito doquesabemosemengenhariaenascinciasfisico-qu-micasdesenvolvidoatravsdetestesouexperincias.Freqen-temente,engenheirostrabalhamemreasproblemticas,emquenenhumateoriacientficaou de engenharia completamenteaplicvel.Assim,aexperinciaeaobservaodosdadosresul-tantesconstituemasnicasmaneiraspelasquaisoproblemapodeserresolvido.Mesmoquehajaumaboateoriacientficabsicaemquepossamosconfiarnaexplicaodofenmenodeinteres-se, quasesemprenecessrioconduzirtestesou experimentosparaconfirmarqueateoria,naverdade,operativanasituaoouno ambienteno qualelaestsendoaplicada.Julgamentoes-tatsticoe mtodosestatsticosdesempenhamumpapelimpor-tantenoplanejamento,conduoe anlisededadosapartirdeexperimentosdeengenharia.
A Seo1.1continhaumbreveexemploenvolvendoumen-genheiroqueestavainvestigandoo impactodoaumentodaes-pessuradaparededeum conectornaforaderemoo.Lem-bre-sedequeo engenheiroconstruiuoito prottiposde cadaprojeto(3/32e 1/8polegada),testoucadaunidadee calculouamdiae o desvio-padrodaamostradaforaderemooparacadaprojeto.Notamosqueotesteestatsticodehiptesesfoiumaestruturapossvelparainvestigarqueo aumentodaespessuradaparedeno projetoconduziriaa nveis maisaltosda foramdiaderemoo.Essaumailustraodousodojulgamentoestatsticoparaajudarnaanlisededados,apartirdeumsim-plesexperimentocomparativo.
Julgamentoestatsticopodetambmseraplicadoa proble-masexperimentaismaissrios.Parailustrar,reconsidereopro-blemadaespessuradaparededoconector.Suponhaque,quan-dooconectorforarranjadonaaplicao,eleserprimeiroimersoemumadesivo,sendoentocuradoo arranjo,pelaaplicaodecaloraolongodealgumperododetempo.A foraderemoo medidano arranjofinal. O engenheirosuspeitaque,emadi-oespessuradaparede,o tempoe atemperaturadecurapo-deriamteralgumefeitonodesempenhodoconector.Dessafor-ma,necessrioplanejarumexperimentoquenospermitirin-vestigaro efeitodetodosos trsfatoresnaforaderemoo.
Quandovrios fatoressopotencialmenteimportantes,amelhorestratgiada experincia planejaralgumtipo deex-perimentofatorial. Um experimentofatorial aqueleemqueos fatoressovariadosconjuntamente.Parailustrar,suponhaque,noexperimentodoconector,ostemposdecuradeinteres-sesejam1e 24 h e queosnveisdetemperaturasejam70F e100F.Agora,umavezquetodosostrsfatorestmdoisnveis,umexperimentofatorialconsistiriadasoitocombinaesdetes-temostradasnosvrticesdocubonaFig. 1.10.Duastentativas,ourplicas,seriamfeitasemcadavrtice,resultandoemumex-perimentofatorialcom16corridas.OsvaloresobservadosdaforaderemooestomostradosentreparntesesnosvrticesdocubonaFig. 1.10.Notequeesseexperimentousaoitoprottiposde 3/32polegadae oito prottiposde 1/8polegada,o mesmonmerousadonoestudocomparativosimplesdaSeo1.1,po-rmagoraestamosinvestigandotrsfatores.Geralmente,experi-mentosfatoriaissoamaneiramaiseficientedeestudarosefei-tosde interaodosvriosfatores.
1.4PLANEJANDO INVESTIGAESEXPERIMENTAIS
binaesdecomprimentodearamee alturadamatrizquefos-semdeinteresse.Essencialmente,omodeloempricopoderiaserusadoporumengenheiroexatamentedamesmamaneiraqueummodelomecanicistapoderiaserusado.
600500
400 .300 ~\~
200 o~O 100 ~20 ~y>\~
16
8
8
12 16Comprimento do arame
12Comprimento do arame
o O
080"ti
~ 60Ctl
Ctl
g 40
-
o PAPEL DA ESTATSTICA NA ENGENHARIA 9
14,8(14,6, 15,0)
15,1(14,9, 15,3)
13,6(13,4, 13,8)
12,9(12,6, 13,2)
e
-
10 O PAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA
Tipo de adesivo
I
I ./, ./, ./
------"--Velho
'\Novo ~
::o
" 100'O>Q.
E 70'~
If:'
-
oPAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA 11
. I IIIIIX
80,584,087,591,094,598,0
Concentrao
Fig. 1.14O diagramadepontosilustraavariao,masnoidentificaoproblema. Alvo
.~
Bolinhas de gude
100
o
'lUo-~ 90c Q)uco80
10 20 30
Nmero da observao
Fig. 1.15 Um grfico temporal de concentraoprov mais informaesdo que o diagramade pontos.
ximadamenteduasvezesmaiorqueparaaestratgia1.Osajus-tesno funil aumentaramos desviosato alvo.A explicaoqueo erro(odesviodaposiodaboladegudeato alvo)paraumaboladegudenoprovinformaosobreo erroqueocor-rerparaaprximabola.Conseqentemente,osajustesno fu-nil nodiminuemerrosfuturos.Em vez disso,elestendemamovero funil paramaislongedo alvo.
Fig.1.16 O experimentodofunil deDeming.
Esseexperimentointeressantemostraqueosajustesemumprocesso,baseadosemperturbaesaleatrias,podemrealmen-te aumentara variaodo processo.Isso conhecidocomosobrecontroleoucontroledemasiado.Ajustesdevemserapli-cadossomenteparacompensarmudananoaleatrianopro-cesso- ento,elespodemajudar.Uma simulaocompu-tacionalpodeserusadaparademonstrarasliesdoexperimen-to dofunil. A Fig. 1.17(a)apresentaumgrficodotempo,com50medidas(denotadaspory) deumprocessoemquesomenteperturbaes!fleatriasestopresentes.O valoralvoparaopro-cesso de 10unidades.A Fig. 1.17(b)apresentaos mesmosdadosdepoisdosajustesseremaplicadosmdiadoprocesso,emumatentativade produzirdadosmaisprximosao alvo.Cada ajuste igual e opostoao desviodamedidaprviaemrelaoaoalvo.Porexemplo,quandoamedidafor 11(umauni-dadeacimado alvo),a mdiaserreduzidaporumaunidadeantesquea prximamedidasejagerada.O sobrecontroleau-mentouosdesviosemrelaoaoalvo.
A Fig. 1.18(a)apresentaosmesmosdadosdaFig. 1.17(a),excetoqueasmedidasdepoisdaobservaodenmero25so
14
1312
11
y 109
87
6
10 20 30 40 50
Nmero da observao
Fig.1.17(a)Dadosdoprocessosomentecomdistrbiosaleatrios.
1413
12
11
y 109
87
6
10 20 30 40 50
Nmero da observao
Fig. 1.17(b)Ajustesaplicadosaosdistrbiosaleatrioscontrolamemdemasiaoprocessoeaumentamosdesviosemrelaoaoalvo.
-
12 O PAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA
14
1312
11
y 10
9
8
7
6
10 20 30Nmerodaobservao
40 50
Fig. 1.18(a)A mdia do processomuda (paracima, por duasunidades)depoisda observaode nmero25.
14
1312
11
y 10
9
87
6
A mudan a na mdia doprocesso detectada
10 20 30 40 50
Nmerodaobservao
Fig. 1.18(b)A mudananamdiadoprocessodetectadanaobservaodenmero28easmedidasseguintessodiminudasporduasunidades.
Fig. 1.19Um grfico(carta)decontroleparaosdadosdeconcentraodeproces-soquimico.
tesestoabaixodalinha centrale duasdelasrealmentecaemabaixodolimiteinferiordecontrole.Esseumsinalmuitofortedequeumaaocorretivanecessrianesseprocesso.Sepu-dermosencontrareeliminaracausabsicadessedistrbio,po-demosmelhorar,consideravelmente,o desempenhodo pro-cesso.
Grficosdecontrolesoumaaplicaomuitoimportantedeestatsticaparamonitorizar,controlare melhorarumprocesso.O ramodaestatsticaquefazusodascartasdecontrole cha-madodecontroleestatsticode processoou CEP. Discutire-mosCEP e grficosdecontroleno Capo15.
Nmerodaobservao
30252015105
Limiteinferiordecontrole=82,54
Limitesuperiordecontrole=100,5
o
100
80
o1(1)
~c 90~c:o
aumentadasemduasunidadesparasimularo efeitodeumamu-dananamdiadoprocesso.Quandohouverumamudanaver-dadeiranamdiadeumprocesso,umajustepodersertil. AFig. 1.18(b)apresentaosdadosobtidosquandoumajuste(dimi-nuioemduasunidades)for aplicadomdiadepoisdeamu-danatersidodetectada(naobservaodenmero28).Notequeesseajustediminuiosdesviosemrelaoaoalvo.
A questodequandoaplicarajustes(eporqualquantidade)comeacomumentendimentodostiposdevariaoqueafetamumprocesso.Umgrficooucartadecontroleumamaneiraines-timveldeexaminaravariabilidadeemdadosaolongodotempo.A Fig. 1.19mostraumgrficodecontroleparaosdadosdecon-centraodoprocessoqumicodaFig. 1.15.A linhacentralnacartadecontroleapenasamdiadasmedidasdeconcentraoparaasprimeiras20amostras(x =91,5g/l),quandooprocessoestiverestvel.O limitesuperiordecontrolee o limiteinferiordecontrolesoumparde limites,estatisticamentededuzidos,querefletea variabilidadeinerenteounaturalnoprocesso.Es-seslimitesestolocalizadosacimaeabaixodalinhacentral,porumadistnciacorrespondentea trsdesvios-padrodosvalo-resdeconcentrao.Seoprocessoestiveroperandocomodeve,semquaisquerfontesexternasdevariabilidadepresentesnosis-tema,asmedidasdeconcentraodeveroflutuaraleatoriamen-teemtomodalinhacentralequasetodaselasdeverocairentreoslimitesdecontrole.
No grficodecontroledaFig. 1.19,aestruturavisualdere-ferncia,providapelalinhacentralepeloslimitesdecontrole,indicaquealgumtranstornoou distrbioatingiuo processo,emtomodaamostra20,porquetodasasobservaesseguin-
-
ExercciosSuplementares
1.9. A prevenodapropagaodafraturaporfadigaemestruturasdeaeronavesumimportanteelementodasegurana.Um estu-dodeengenhariaparainvestigara fraturapor fadigaemn =9asascarregadasciclicamentereportouosseguintescomprimen-tos(emmm)defratura:2,13;2,96;3,02;1,82;1,15;1,37;2,04; 1.13.2,47;2,60.(a) Calculea mdiada amostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.
1.10. ConsidereosdadosdeintensidadesolamoExerCcio1.6.Comessesdados,prepareum diagramadepontos.Indiqueondeamdiadaamostracaino diagrama.D umainterpretaopr-ticadamdiadaamostra. 1.14.
1.11. O ExerCcio1.5descreveos dadosdeum artigoemHumanFactors emacomodaovisual, a partirdeum experimentoenvolvendoum vdeoCRT dealtaresoluo.(a) A partirdosdados,prepareum diagramadepontos.(b) Os dadosdeum segundoexperimento,usandoumvdeo
combaixaresoluo,foramreportadosnoartigo.Elesso:8,85;35,80;26,53;64,63;9,00;15,38;8,14e 8,24.Pre-pareum diagramadepontosporessasegundaamostraecompare-ocomo diagramaparaa primeiraamostra.OquevocpodeconcluiracercadaresoluodeCRT nes-sa situao?
1.12. O pH deumasoluo medidooitovezesporumaoperadorausandoo mesmoinstrumento.Ela obtmos seguintesdados:7,15;7,20;7,18;7,19;7,21;7,20;7,16e 7,18.
oPAPEL DA EsTATSTICA NA ENGENHARIA 13
(a) Calculea mdiadaamostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) Quaissoasmaioresfontesdevariabilidadenesseexpe-
rimento?
Um artigonoJournal ofAircraft (1988)descreveo clculodecoeficientesdearrasteparao aeroflioNASA 0012.Diferen-tesalgoritrnosdeclculoforamusadosparaM~=0,7,comosseguintesresultados(oscoeficientesdearrasteestoemuni-dadesdecounts,ou seja,1count equivalentea um coefici-entede arrastede 0,0001):79; 100;74; 83; 81; 85; 82; 80 e84.Calculeamdia,avarinciae o desvio-padrodaamostrae construaum diagramadepontos.Os dadosa seguircorrespondemstemperaturasdasjunesdosanis(grausF), paracadalanamentorealou detestedeummotordeum fogueteespacial(daPresidentialCommissi-onon theSpaceShuttleChallengerAccident,VoI. 1,pp. 129-131):84;49;61;40;83;67;45;66;70;69;80;58;68;60;67;72;73;70; 57;63;70;78;52;67; 53;67;75;61;70; 81;76;79;75;76;58;31.(a) Calcule a mdia, a varincia e o desvio-padro da
amostra.(b) Construaum diagramadepontoscomos dadosdetem-
peratura.(c) Semconsiderara menorobservao(31F),recalculeas
quantidadesdo item(a).Comenteo queencontrou.Quo"diferentes"soasoutrastemperaturasemrelaoaesseltimovalor?
EXERCCIOS PARA EXPANDIR A MENTE
1.15. Considereosdadosdo aerofliono ExerCcio1.13.De
cadavalor,subtraia30e entomultipliqueasquantida-desresultantespor 10.Agora,calculeS2 paraosnovosdados.ComoestessaquantidaderelacionadaaS2 paraosdadosoriginais?Expliqueporqu.
11
1.16. Considerea quantidade~ (Xi - a)20 Qualo valordea1=1queminirnizaessaquantidade?
1.17. UsandoosresultadosdoExerCcio1.16,qualdasduas11 n
quantidadesI (Xi - X )2 eI (Xi - fL)2 seramenor,i=1 ;=1desdequex * fL?
1.18. Codificando osdados.FaaYi=a +bx;,i=1,2, ..o, n,emquea ebsoconstantesdiferentesdezero.Encontreumarelaoentre.x ey e entreSx esr
1.19. Umaamostra,commedidasdetemperaturaemumafor-nalha,resultouemumamdia(OF)de835,00eumdes-vio-padrode 10,50Usandoosresultadosdo Exerccio1018,quaissoa mdiae os desvios-padroexpressosemC?
1.20. Considerea amostraXI' x2, .. o Xn, commdiadaamos-traX e desvio-padroso FaaZi= (Xi - x )/s, i= 1,2,.. o, no Quais so os valoresda mdiae do desvio-pa-drodeZ,?
-
SumrioeApresentaodeDados
ESQUEMA DO CAPTULO
2.1 IMPORT ANCIA DO SUMRIO E APRESENTAODEDADaS
2.2 DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS
2.3 DISTRIBUIES DE FREQtNCIA EHISTOGRAMAS
2.1IMPORTNCIA DO SUMRIO EAPRESENTAO DE DADOS
No Capo1,introduzimosamdia,avarinciaeo desvio-padrodaamostraeodiagramadepontoscomotcnicasparasumarizardados.Sumrioseapresentaesdedadosbemconstitudossoessenciaisaobomjulgamentoestatstico,porquepermitemaoengenheirofocarascaractersticasimportantesdosdadosouterdiscemimentoacercado tipo demodeloquedeveriaserusadonasoluodoproblema.
O computadorsetomouumaferramentaimportantenaapre-sentaoenaanlisededados.Enquantomuitastcnicasesta-tsticasnecessitamsomentedeumacalculadoraporttil,essaabordagempoderequerermuitotempoeesforo,sendoneces-srioum computadorpararealizaras tarefasde formamuitomaiseficiente.
A maioriadaanliseestatsticafeitausandoumabibliotecadeprogramasestatsticos,escritosapriori. O usurioentracomos dadose, ento,selecionaos tipos deanlisese apresenta-esde sadaquesode interesse.Pacotesestatsticosestodisponveistantoparacomputadoresdegrandeportecomoparacomputadorespessoais.Entreospacotesmaispopularese lar-gamenteusadosestoo SAS (StatisticalAnalysisSystem),paraservidorese computadorespessoais(PCs), e o StatgraphicseMinitabparaPc. Apresentaremosalgunsexemplosdesadadevriospacotesestatsticosemtodoo livro.No discutiremosa
2.4 DIAGRAMA DE CAIXA
2.5 GRFICOS SEQENCIAIS DE TEMPO
facilidadedeusodospacotescomrelao entradae ediodedadosouaousodoscomandos.Vocencontraressespaco-tes,ousimilares,disponveisnasuainstituio,juntamentecompessoasexperientesemmanipul-los.
2.2DIAGRAMAS DE RAMO E FOLHAS
O diagramadepontosumaapresentaotildedados,nocasodeamostraspequenas,atcercade20observaes.No entanto,quandoo nmerodeobservaesfor moderamentealto,outrasapresentaesgrficaspodemsermaisteis.
Por exemplo,considereosdadosnaTabela2.1.Essesdadossoaresistnciacompresso,emlibrasporpolegadaquadra-da(psi),de80corposdeprovadeumanovaliga dealumnio-ltio, submetidaavaliaocomoumpossvelmaterialparaele-mentosestruturaisdeaeronaves.Os dadosforamregistradosmedidaqueostestesiamsendorealizadose,nesseformato,elesno contm muita informao a respeito da resistnciacompressiva.Questescomo"Quepercentagemdoscorposdeprovacai abaixode120psi?"nosofceisderesponder.Por-queexistemmuitasobservaes,a construodeumdiagramadepontos,usandoessesdados,seriarelativamenteineficiente;apresentaesmaisefetivasestodisponveisparaconjuntoscommuitosdados.
Um diagramaderamo efolhasumaboamaneiradeobterumaapresentaovisualinformativadeumconjuntodedados
-
XI,X2, .. , x,,,emquecadanmeroXi consisteem,nomnimo,doisdgitos.Paraconstruiro diagramaderamoefolhas,dividimoscadanmeroXi emduaspartes:umramo, consistindoemumou maisdgitosiniciais,e umafolha, consistindonosdgitosrestantes.Parailustrar,seosdadosconsistirememinformaespercentuais,entreOe 100,dosdefeitosnoslotesdepastilhasdesemicondutores,entopoderemosdividiro valor76 noramo7e nafolha6. Em geral,devemosescolher,relativamente,pou-cosramosemcomparaoaonmerodeobservaes. geral-mentemelhorescolherentreSe20ramos.Umavezqueumcon-juntoderamostenhasidoescolhido,elessolistadosaolongodamargemesquerdadodiagrama.Ao ladodecadaramo,todasasfolhascorrespondentesaosvaloresobservadossolistadasnaordememqueelasforamencontradasnoconjuntodedados.
EXEMPLO 2.1Parailustraraconstruodeumdiagramaderamoefolhas,considereosdadosnaTabela2.1,sobrearesistnciacom-pressodeumaliga. Como valoresdosramos,selecionare-mososnmeros7,8,9, ...,24. O diagramaresultantederamoe folhas apresentadonaFig. 2.1. A ltimacolunano dia-gramaafreqnciadonmerodefolhasassociadasacadaramo.Uma inspeodessediagramarevelaimediatamentequeamaioriadasresistnciascompressoestentre110e200psi equeumvalorcentralestemalgumlugarentreISOe 160psi.Alm disso,asresistnciasestodistribudasapro-ximadamentedeformasimtricaemtomodovalorcentral.O
SUMRIO E ApRESENTAO DE DADOS 15
diagramaderamoe folhasnoscapacitaa determinarrapida-mentealgumascaractersticasimportantesdosdados,quenoforamimediatamentebviasquandodaapresentaooriginalnaTabela2.1.
Emalgunsconjuntosdedados,podeserdesejvelprovermaisintervalosouramos.UmamaneiradefazerissoseriadividiroramoS (porexemplo)emdoisnovosramos,SL eSD. O ramoSL temfolhas0,1,2,3 e4eoramoSUtemfolhasS,6,7,8 e9.Issodobra-ronmeroderamosoriginais.Poderamosaumentarquatrovezeso nmeroderamosoriginais,definindocinconovosramos:SzcomfolhasOe 1,St (paradoisetrs)comfolhas2 e 3,Sf (paraquatroecinco)comfolhas4 eS,Ss(paraseisesete)comfolhas6e7,eSecomfolhas8e9.
EXEMPLO 2.2A Fig. 2.2ilustrao diagramaderamoefolhaspara25observa-essobreos rendimentosdeumabateladadeum processoqumico.Na Fig. 2.2(a),usamos6,7, 8e9 comoosramos.Issoresultaemmuitospoucosramoseo diagramaderamoefolhasnoprovmuitainformaosobreosdados.NaFig.2.2(b),divi-dimoscadaramoemduaspartes,resultandoemumaapresenta-omaisadequadadosdados.A Fig. 2.2(c)ilustraumdiagramaderamoefolhas,comcadaramodivididoemcincopartes.Humnmeroexcessivoderamosnessegrfico,resultandoemumdi-agramaquenonosdiz muitoacercadaformadosdados.
Ramo FolhaFreqncia
7
6 1
8
7 1
9
7 1
10
5 1 2
11580 3
12103 3
13
4 1 353 5 6
14
29583169 815
471340886808 12
16
3073050879 10
17
8544162106 10
18
0361410 7
19
960934 6
20
7 108 4
218 1
221 89 3
237 1
245 1
Fig. 2.1 Diagrama de ramo e folhas paraos dadosde resistncia compressona Tabela 2.1.
Tabela2.1ResistnciaCompressode80 CorposdeProvadaLigadeAluITnio-Ltio
105
22118318612118118014397
154153174120168167141245
228174199181158176110163
131154115160208158133207
180190193194133156123134
17876167184135229146218
157101171165172158169199
151142163145171148158160
17514987160237150135196
201200176150170118149
-
16 SUMRIO E APRESENT AAo DE DADOS
Ramo Folha
6 1345567 0113578898 13447889 235
(a)
Ramo Folha RamoFolha
6L
134 6z16U
556 6t37L
01 13 6f4557U
57889 6568L
1344 6e8U
788 7z0119L
23 7t39U
5 7f5
(b)
7s77e
8898z
18t
38f
448s
78e
889z 9t
239f
59s ge
(c)
Fig. 2.3Diagramaderamoe folhasdoMinitab.
Diagramade Caracteresem Ramoe Folhas
Ramo e Folhas da ResistnciaN =80 Unidade da Folha =1,0
q3' temaproximadamentetrsquartos(75%)dasobservaesabaixodeseuvalor.Comono casodamediana,osquartispo-demnosernicos.Os dadosderesistnciacompresso,naFig. 2.3,contmn =80observaes.O pacoteMinitab calcu-la o primeiroeo terceiroquartiscomosendoas(n +1)/4e3(n+1)/4observaesordenadas,interpolandoquandonecess-rio. Por exemplo,(80 +1)/4=20,25e 3(80+ 1)/4=60,75.
Fig. 2.2Diagramaderamoe folhasparao Exemplo2.2.
A Fig. 2.3mostraumdiagramaderamoefolhasdosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1,produzidopeloMinitab.O pacoteusaosmesmosramosqueadotamosnaFig. 2.1.Notetambmqueocomputadorordenaasfolhasdamenorparaamai-or, emcadaramo.Essaformadogrfico geralmentechamadadediagramaordenadode ramo e folhas.Por causadotempodemandado,isso geralmenteno feito quandoo diagramaconstrudomanualmente.O computadoradicionaumacolunaesquerdadosramosqueprovumacontagemdasobservaes,tantonoramocomoacimadelenametadesuperiordodiagrama,eumacontagemdasobservaes,tantonoramocomoabaixodelenametadeinferiordodiagrama.No ramointermedirio16,aco-lunaindicao nmerodeobservaesnesseramo.
.O diagramaordenadoderamoe folhastomarelativamentefcil encontrarcaractersticasdosdados,taiscomoospercentis,osquartiseamediana.A medianadeumaamostraumamedi-dadetendnciacentral,quedivideosdadosemduaspartesiguais,metadeabaixodamedianaemetadeacima.Seonmerodeobser-vaesfor par,amedianaestarnametadedadistnciaentreosdoisvalorescentrais.Da Fig. 2.3,encontramoso 40.0e o 41.0valoresdaresistnciacomo160e163;logo,amediana(160+163)/2=161,5.Seonmerodeobservaesformpar,amedianasero valorcentral.A modadaamostraovalordaobservaoqueocorrecommaisfreqncia.A Fig. 2.3indicaqueamoda158;essevalorocorrequatrovezesenenhumoutrovalorocorretofreqentementenaamostra.
Podemostambmdividir os dadosem mais de duaspar-tes.Quandoum conjuntoordenadode dados dividido emquatropartesiguais, os pontosde diviso sochamadosdequartis. O primeiro quartil ou quartil inferior, qj, um va-lor quetemaproximadamenteumquarto(25%)dasobserva-esabaixo delee aproximadamente75% dasobservaesacima.O segundoquartil, q2,temaproximadamentemetade(50%)dasobservaesabaixodeseuvalor.Osegundoquartilexa-tamenteigual mediana.O terceiroquartilouquartilsuperior,
12358
11172537
(10)332316106521
789
101112131415161718192021222324
6771 505801 3133455123568990013446788880003357789011244566800113460346990178818975
-
Conseqentemente,o Minitab interpola entrea 20.3 e a 21.3 ob-servaoordenada,de modo a obterql =143,50e entrea 60.3ea 61.3observao ordenada, de modo a obter q3 = 181,00.Emgeral,o 100k.opercentil o valor demodo queaproximadamente100k%dasobservaesestonesseou abaixodessevalor e apro-ximadamente100(1- k)% deles estoacima dele. Finalmente,podemos usar a faixa interquartil definida como IQR =q3 -qI,como uma medida de variabilidade. Em relao faixa ordi-nma da amostra,a faixa interquartil menos sensvel a valoresextremosna amostra.
Muitos pacotes estatsticos computacionais provem sum-rios dedadosqueincluem essasquantidades.A sadaobtidapara
SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS 17
os dados da resistncia compressona Tabela 2.1, a partir doMinitab, mostradana Tabela 2.2.
Tabela 2.2 ResumodasEstatsticasparaos Dadosde ResistnciaCompresso,Provenientesdo Minitab
Erro-padroVarivel
NMdiaMedianaDesvio-padroda mdia80
162,66161,5033,773,78
Mn
MxQ1Q376,00
245,00143,50181,00
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Um artigoemTechnometrics(VaI. 19,1977,p.425)apresenta 34,233,633,834,7osseguintesdadossobretaxasdeoctanagemdecombustvelpara
33,134,734,233,6motor,devriasmisturasdegasolina:
34,535,033,432,535,6
35,434,734,136,3
36,234,635,188,5
87,783,486,787,5 35,136,835,236,894,7
91,191,094,287,8 34,735,135,037,984,3
86,788,290,888,3Q33,6 35,334,936,490,1
93,488,590,189,2 37,832,635,834,689,0
96,193,391,892,3 36,633,137,633,689,8
89,687,488,488,9 35,434,637,334,191,6
90,491,192,689,8 34,635,934,634,7Q
90,3 91,690,593,792,7 33,834,735,535,790,0
90,7100,396,593,3 37,133,632,836,891,5
88,687,684,386,7 34,032,932,134,389,9
88,392,793,291,0 34,133,534,532,798,8
94,287,988,690,988,3
85,393,088,789,990,4
90,194,492,791,82.4.Os dadosmostradosa seguirrepresentamo rendimentode9091,2
89,390,489,389,7 bate1adasconsecutivasdeum substratode cermica,no qual90,6
91,191,291,092,2 umrevestimentodemetalfoi aplicadoporumprocessodede-92,2
92,2 posioa vapor.Construaumdiagramaderamoe folhasparaessesdados.
Construaum diagramaderamoe folhasparaessesdados.
2.2.Os seguintesdadossoosnmerosdeciclosatfalhardecor- 94,187,394,192,484,685,4
posdeprovadealumnio,sujeitosa umatensoalternadare-93,284,192,190,683,686,6
petida,de21.000psi e 18ciclospor segundo:90,690,196,489,185,491,7
91,495,288,288,889,787,5
11151567122317821055 88,286,186,486,487,684,2
1310188337515221764 86,194,385,085,185,185,1
15401203226517921330O95,193,284,984,089,690,5
15021207191010001608e=o90,086,778,393,790,095,6
12581015101818201535 92,483,089,687,790,188,3
Q1315 845145219401781 87,395,390,390,694,384,1
10851674189011201750 86,694,193,189,497,383,7
798101621009101501 91,297,894,688,696.882,9
10201102159417301238 86,193,196,384,194,487,3
86516052023110299090,486,494,782,696,186,4
2130706131515781468 89,187,691,183,198,084,5
1421221512697581512
1109785126014161750
14818851888156016422.5.Encontrea medianae os quartisparaos dadosdeoctanagemQ
do combustveldo motorno Exerccio2.1.2.6.
Encontrea medianae os quartisparaos dadosde fraturano(a)
Construaumdiagramaderamoe folhasparaessesdados.QExerCcio2.2.(b)
Voc achaqueo corpode prova"sobreviver"almde2.7.Encontrea mediana,a modae a mdiadaamostradosdados2.000ciclos? Justifiquesuaresposta.
QnoExerccio2.3.Expliquecomoessastrsmedidasdelocali-23.
A percentagemdealgodonomaterialusadoparafabricarca- zaodescrevemdiferentescaractersticasdosdados.misasdehomens dadaa seguir.Construaum diagramade
2.8.Encontrea medianae osquartisparaos dadosderendimentoramoe folhasparaessesdados.
Dno Exerccio2.4.e=o
-
18 SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS
2.3DISTRIBUIES DE FREQNCIA EHISTOGRAMAS
Umadistribuiodefreqnciaumsumriomaiscompactodosdados,emrelaoaodiagramaderamoefolhas.Paraconstruirumadistribuiodefreqncia,temosdedividirafaixadedadosemintervalos,quesogeralmentechamadosdeintervalosdeclasseouclulas.Sepossvel,osintervalosdevemserdeiguaislargurasdemodoaaumentarainformaovisualnadistribuiodefreqncias.Algumjulgamentotemdeserusadonaseleodonmerodeintervalosdeclasses,demodoqueumaapresen-taorazovelpossaserdesenvolvida.O nmerodeintervalosdependedo nmerodeobservaese daquantidadededisper-sodosdados.Umadistribuiodefreqncianoserinforma-tivaseusarumnmeromuitobaixooumuitoaltodeintervalos
de classe.Geralmente,achamosque 5 a 20 intervalos sosatisfatriosnamaioriadoscasose queo nmerodeintervalosdevecrescercomn.Naprtica,trabalha-sebemseonmerodeintervalosdeclassefor aproximadamenteigualraizquadradado nmerodeobservaes.
UmadistribuiodefreqnciaparaosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1mostradanaTabela2.3.Umavezqueoconjuntodedadoscontm80observaese .j8O =9,sus-peitamosdequecercade8 ou9 intervalosdeclasseforneceroumadistribuiosatisfatriadefreqncia.O maiore o menorvaloresdosdadosso245e76,respectivamente;assim,osinter-valostmdecobrirumafaixadenomnimo245- 76=169uni-dadesnaescaladepsi.Sequisermosqueo limiteinferiorparao primeirointervalodeclassecomeceumpoucoabaixodome-norvalordosdadosequeo limitesuperiorparao ltimointer-valodeclassecomeceumpoucoacimadomaiorvalordosda-dos,entopodemoscomearadistribuiodefreqnciaem70 e termin-Iaem250.Esse umintervalooufaixa de 180
unidadesdepsi.Nove intervalos,cadaumcom20 psi delar-gura,fornecemumarazoveldistribuiodefreqncia.Logo,adistribuiodefreqnciasnaTabela2.3baseadaemnoveintervalosde classe.
A quartacolunadaTabela2.3contmuma distribuiodefreqnciasrelativas.As freqnciasrelativassoencontra-dasdividindoafreqnciaobservadaemcadaintervalopelon-merototalde observaes.A ltimacolunadaTabela2.3ex-pressaasfreqnciasrelativasnabasecumulativa.Distribuiesdefreqnciassogeralmentemaisfceisdeinterpretardoqueastabelasdedados.Por exemplo,naTabela2.3muitofcilverqueamaioriadoscorposdeprovatemresistnciascom-
pressoentre130e190psieque97,5%doscorposdeprovacaemabaixode230psi.
tambmtil apresentaradistribuiodefreqncianafor-magrfica,conformemostradonaFig. 2.4.Tal grfico cha-madodehistograma.Paradesenharumhistograma,useo eixohorizontalpararepresentaraescalademedidasedesenheosli-mitesdosintervalos.O eixoverticalrepresentaa escaladefre-qncia(oufreqnciarelativa).Seosintervalosdeclassetive-remigual largura,entoasalturasdos retngulosdesenhadosnoshistogramasseroproporcionaiss freqncias.Se os in-tervalosdeclassetiveremlargurasdesiguais,ento costumedesenharretnguloscujasreasseroproporcionaissfreqn-cias.Entretanto,os histogramassomaisfceisde interpre-tar quandoos intervalosde classetma mesmalargura.Ohistograma,comoo diagramaderamoe folhas,forneceumaimpressovisualdaformadadistribuiodasmedidas,assimcomoinformaosobreadispersodosdados.NaFig. 2.4,noteadistribuiosimtricaemformadesinodasmedidasderesis-tncia.
Duranteapassagemdosdadosoriginaisoudo diagramaderamo e folhas paraum diagramade freqnciaou paraumhistograma,perdemosalgumainformaoporquenotemosmaisasobservaesindividuais.Entretanto,essaperdade informa-opequenacomparadaaoganhodeconcisoe defacilidadedeinterpretaoaousaradistribuiodefreqnciaehistograma.
A Fig. 2.5 mostraumhistograma,obtidono Minitab, dosdadosderesistnciacompresso.Os nmeros"padres"fo-ramusadosnessehistograma,levandoa 17intervalosdeclas-se.Notamosque os histogramaspodemser, relativamente,
0,3125 25
'"
0,2500 20> ~ '"~ 0,1895
'15' ':J
-
SUMRIO E APRESENTAO DE DAOOS 19
140 160 180 200 220 240
o
20
250200100
10
,:;> 5r:r ~u..
O
150
Resistncia
Fig. 2.5 Histogramados dadosde resistncia compresso,provenientedoMinitab com 17 intervalos de classe.
Resistncia
Fig. 2.6 Histogramados dadosde resistncia compresso,provenientedoMinitab com 9 intervalosde classe.
Fig. 2.7 Grfico de distribuiocumulativados dadosde resistncia com-presso,provenientedo Minitab.
coincidiro.Usualmente,encontraremosquemoda mediana>mdia,seadistribuiofor distorcidaparaaesquerda.
Distribuiesdefreqnciasehistogramassotambmusa-doscomdadosqualitativosouporcategorias.Em algumasapli-caes,haverumaordemnaturaldascategorias(taiscomoca-louro,segundo,terceiroequartanistanauniversidade),enquan-to emoutras,a ordemdascategoriasserarbitrria(taiscomomachoefmea).Quandousamosdadosporcategoria,osinter-valosdevemteramesmalargura.
250200150Resistncia
100
10
o
80
~ 60:;>
~ 50u.~ 40c;~30~ 20u..
sensveisaonmeroe larguradeseusintervalos.Paracon-juntospequenosdedados,oshistogramaspodemmudardra-maticamentenaaparncia,seonmeroe/oua larguradosin-tervalosmudarem.Histogramassomaisestveisparacon-juntos grandesde dados,preferencialmentecom70, 100oumaisdados.A Fig. 2.6mostrao histograma,comnoveinter-valos,feitopeloMinitab paraosdadosderesistncia com-presso.Ele similar ao histogramaoriginal, mostradonaFig. 2.4. Umavezqueonmerodeobservaesmoderamentegrande(n =80),aescolhado nmerodeintervalosno es-pecialmenteimportantee ambas(Figs. 2.5e2.6)conduzemainformaosimilar.
A Fig. 2.7mostraumavariaodehistograma,disponvelno Minitab,o grfico de freqnciacumulativa.Nessegr-fico, a alturade cadabarra o nmerototalde observaesque menorou igual ao limite superiordo intervalo.Distri-buiescumulativasso tambmteis na interpretaodedados;porexemplo,podemosler diretamentedaFig. 2.7 queexistem,aproximadamente,70 observaesmenoresqueouiguaisa 200psi.
Histogramassomaisefetivoscomoaapresentaodedados,paraamostrasrelativamentegrandes,tipon 2:75a 100oumaior.Quandoo tamanhodaamostrafor grande,o histogramapoderserumindicadorconfiveldaformageraldapopulaodemedi-dasdaqualaamostrafoi retirada.A Fig. 2.8apresentatrscasos.Geralmente,seosdadosforemsirntricog;-comonaFig.2.8b,entoamdiaeamedianacoincidiro.Se,almdisso,osdadostiveremapenasumamoda(dizemosqueosdadossounimodais),entoamdia,amedianaeamodacoincidiro.Seosdadostiveremdes-viodesimetria(assirntricos,comumalongacaudaparaumlado),comonasFigs.2.8aec,entoamdia,amedianae amodano
Desvioparaa esquerdaou negativo Simtrico Desvioparaa direitaou positivo
(a) (b) (e)
Fig. 2.8Histogramasparadistribuiessimtricasedeslocadas.
-
20 SUMRIO E ApRESENTAO DE DAOOS
EXEMPLO 2.3
I A Fig. 2.9apre"otaap
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SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS 21
A linha se estende, apartir do primeiro quartil, ato menor ponto dado que estejana faixa de 1,5 interquarti.
A iinha se estende, a partirdo terceiro quartil, at omaior ponto dado que estejana faixa de 1,5 interquarti.
o o'\/Outliers
o/Outlierextremo
f.+--l,5 rQR 1 1,5rQR I :( raR 01< 1,5IQR 01c-Q)'OQ) 90u '..E80
100
15020025070Resistncia
23Planta
Fig. 2.11DiagramadecaixaparaosdadosderesistnciacompressonaTabela2.1. Fig. 2.12Diagramasdecaixacomparativosdeumindicedequalidadeemtrsplantas.
495150
464649
504950
524448
485150
514644
475245
Calculea mdiae a medianada amostra.Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.Construaumdiagramadecaixadosdadosecomentesobreainformaonessediagrama.Encontreos percentis5% e 95% datemperatura.
(a)(b)(c)
(d)
As novemedidasqueseguemsotemperaturasde fornalha,registradasembateladassucessivasdeum processodefabri-caodesemicondutores(unidadesemF):953;950;948;955;951;949;957;954e 955.(a) Calculeamdia,avarinciaeo desvio-padrodaamostra.(b) Encontreamediana.Dequantoamaiormedidadetempe-
raturapoderiaaumentar,semmudaro valordamediana?(c) Construaum diagramadecaixadosdados.O Exerccio 1.13 apresentacoeficientesde arrastepara oaeroflio0012daNASA. Voc calculoua mdia,a varinciae o desvio-padrodaamostradetodosaquelescoeficientes.(a) Encontreos quartisinferior e superiordoscoeficientes
de arraste.(b) Construaum diagramadecaixadosdados.(c) Isolea maiorobservao(100)erefaaos itens(a)e (b).
Comentesuaresposta.Os seguintesdadossoastemperaturas,emdias consecuti-vos,doefluentenadescargadeumaunidadedetratamentodeesgoto:
434549
2.20.D""'"
2.19.
EXERCCIOS PARA A SEO 2.4 ----------2.18.oExerccio 1.14apresentouastemperaturasnajuno dos
anis (grausFahrenheit)paracadalanamentode testeourealdo fogueteespacial.Naqueleexerccio,desejava-seen-contrara mdiae o desvio-padroda amostrade tempera-tura.(a) Encontreos quartisinferiore superiordetemperatura.(b) Encontrea mediana.(c) Isoleamenorobservao(31F)erecalculeasquantida-
desdaspartes(a)e (b).Comenteo queencontrou.Quodiferentessoas outrastemperaturasemrelaoa essemenorvalor?
(d) Construa,apartirdosdados,umdiagramadecaixae co-mentea possvelpresenade outliers.
Um artigono Transactionsof the!nstitutionof ChemicalEn-gineers(Vol. 34,1956,pp.280-293)reportoudadossobreumexperimento,investigandoo efeitodemuitasvariveisdepro-cessosna oxidao,emfasevapor,denaftaleno.Uma amos-tra da conversopercentualmolar de naftalenoemanidridomalicoresultaem:4,2; 4,7;4,7; 5,0;3,8;3,6; 3,0; 5,1;3,1;3,8;4,8;4,0; 5,2;4,3; 2,8;2,0;2,8;3,3;4,8e 5,0.(a) Calculea mdiada amostra.(b) Calculea varinciae o desvio-padrodaamostra.(c) Construaum diagramadecaixadosdados.O "tempode igniofria" deum motorde carroestsendoinvestigadopor umfabricantedegasolina.Os seguintestem-pos(emsegundos)foramobtidosemumveculodeteste:1,75;1,92;2,62;2,35;3,09;3,15;2,53e 1,91.(a) Calculea mdiae o desvio-padrodaamostra.(b) Construaumdiagramadecaixadosdados.
2.17.
2.16.
2.15.
Q
-
22 SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS
2.5GRFICOS SEQENCIAIS DE TEMPO
Fig. 2.13 Vendas da companhiapor ano (a) e por quadrimestre(b).
1982 1983 19841985 1986 1987 1988 1989 19901991 Anos
(a)
2341991 Quadrimestres
2 3 41990
(b)
2 3 41989
ramoEssediagramaapresentaefetivamenteavariabilidadeglo-balnosdadosderesistnciacompressoemostra,simultane-amente,a variabilidadenessasmedidasao longodo tempo.Aimpressogeralquearesistnciacompressovariaemtomodovalormdiode162,67,nohavendopadrobviofortenessavariabilidadeaolongodotempo.
O grficodigipontonaFig. 2.15noscontaumfatodiferente.Essegrficoresume30observaesdeconcentraonoprodu-
>
As apresentaesgrficasquetemosconsiderado,comohisto-gramas,diagramasderamoe folhase diagramasdecaixa,somtodosvisuaismuitoteisparamostrara variabilidadenosdados.Entretanto,notamosnaSeo1.5queo tempo umfa-torimportantequecontribuiparaavariabilidadedosdadoseosmtodosgrficosacimamencionadosnolevamissoemconsi-derao.Umasrietemporalouseqnciatemporalumcon-juntodedadosemqueasobservaessoregistradasnaordememqueelasocorrem.Um grfico de srietemporal aqueleemqueoeixoverticaldenotaovalorobservadodavarivel(porexemplo,x) eo eixohorizontaldenotao tempo(quepoderiaserminutos,dias,anos,etc.).Quandoasmedidassoplotadascomoumasrietemporal,freqentementevemostendncias,ciclosououtrascaractersticasgeraisdosdadosquenopoderiamservis-tosdeoutraforma.
Porexemplo,considereaFig. 2.13(a),queapresentaumgrfi-co desrietemporaldasvendasanuaisdeumacompanhia,du-ranteosltimos10anos.A impressogeraldessegrficoqueasvendasmostraramumatendnciaparacima.Existealgumavariabilidadeemtomodessatendncia,comalgumasvendasanuaisaumentandosobreaquelasdoltimoanoealgumasven-dasanuaisdiminuindo.A Fig. 2.13(b)mostraosltimostrsanosdevendasregistradasnotrimestre.Essegrficomostraclaramentequeasvendasanuaisnessenegcioexibemumavariabilidadecclica no trimestre,comasvendasno primeiroe no segundotrimestressendo,geralmente,maioresdoqueasvendasduranteo terceiroeo quartotrimestres.
Algumasvezes,podesermuitotil combinarumgrficodesrietemporalcomalgumasoutrasapresentaesgrficasqueconsideramospreviamente.J. StuartHunter (TheAmericanStatiscian,VoI. 42, 1988,p. 54)sugeriucombinaro diagramaderamoefolhascomogrficodesrietemporalparaformarumgrficodigiponto.
A Fig. 2.14mostraumgrficodigipontoparaasobservaesderesistncia compressodaTabela2.1,considerandoqueessasobservaessoregistradasnaordememqueelasocorre-
Folha Ramo Grfico de srie temDoral
.. \ .. ...
'.vf~.'..~~fr
-
Folha Ramo Grlicodesrietemporal
SUMRIO E APRESENTAO DE DADOS 23
8ge
69s
f\459f
f\ 23339t ._e e\
0010000
9z
IV J.J'v \~ .999988e
~. / /\/v666778s
4581 li
23
8t
1 8z
Fig.2.15Grficodigipontodasleiturasdeconcentraodeumprocessoqumico,observadasdehoraemhora.
to na sada de um processo qumico, em que as observaessoregistradasemintervalosdeuma hora. Esse diagramaindica queduranteasprimeiras 20 horas de operao,esseprocessoprodu-ziu concentraesgeralmenteacimade85g/l; porm,depoisdesse
tempo, alguma coisa pode ter ocorrido no processo, que resul-tou emconcentraesmais baixas. Se essavariabilidade na con-centraode sada do produto puder serreduzida, entoa opera-o desseprocesso poder ser melhorada.
EXERCCIOS PARA A SEO 2.52.21. O CollegeofEngineeringandAppliedSciencenaArizonaState
Universitytemum sistemaVAX de computadores.Os tem- )1;1,posderespostapara20tarefasconsecutivasforamregistrados,sendomostradosabaixoeemordem(leiaparabaixoe,ento,da esquerdaparaa direita).
225248203195249
195255245235220
199183213236245
190175178175190
(a) Construaum diagramada srietemporaldosdados.(b) Construaeinterpreteumgrficod
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