espalhamento em uma dimensão por um potencial delta
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Espalhamento em uma dimensão por um potencial delta de Dirac
Uma partícula unidimensional está sujeita ao potencial
Calcular a defasagem δ(p)
0( ) ( )V x V l xδ=
A estrutura genérica da função espalhada, em três dimensões, tem a seguinte forma:
Por argumentos de simetria, em uma dimensão:
r
efer
ikrikz ),()( φθψ +=
( ) ik xikxx e feψ = +
( ) , 0
( ) , 0
ikx ikxesquerda esquerda
ikx ikxdireita direita
x e f e x
x e f e x
ψ
ψ
−= + <
= + >
Equação de Schröedinger 1D:
)0()0( direitaesquerda ψψ =
2 2
0
( )( ) ( ) ( )
2
h d xV l x x E x
m dx
ψ δ ψ ψ− + =
Utilizando as condições de contorno na origem (x=0):
)0(2
)0()0( //20''
direitaouesqdireitaesquerdaLmV ψψψ
=−
1 1esquerda direita direita esquerdaf f f f f+ = + ⇒ = =
02
02
0 02 2
02
02
2(1 ) (1 ) (1 )
22 (1 )
( )
( )
mV lik f ik f f
mV likf f
mV l mV lf f
ik ik
mV l
fmV lki
− − + = +
− = +
− = +
∴
=−
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Para a função de espalhamento 3D
,00
1( ) 4 (2 1) ( ) ( )li
l ll
f l sen e Yk
δθ π δ θ∞
=
= +∑Reescrevendo o termo f em notação
complexa:0
2 2 22( )0 0
2 2 2 2 2 20 0 0
2
( / ) /
( / ) ( / )i p
mV lmV l kmV l
f i R emV l k mV l k mV lki
δ= = − − =+ +−
2
0 0
( )pk
tgmV l mV l
δ = =
Apêndice I:
Utilizando a aproximação de Bohr
Para x positivo: (x grande)
Para x negativo: (x grande)
Apêndice II
Apêndice III
Usando as condições de contorno:
Em x=0
Condição de contorno sobre a derivada:
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