espaços vectoriais · 2002-11-20 · por espaços vectoriais complexos. exemplos • espaço...
Post on 09-Nov-2018
214 Views
Preview:
TRANSCRIPT
APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA
Espaços Vectoriais
Sérgio Reis Cunha
Outubro de 2002
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Espaços Vectoriais Definição de Espaço Vectorial 2/22
Definição de Espaço Vectorial
Definição Um espaço vectorial V sobre um corpo de escalares C é um conjunto não vazio de elementos, aos quais se chamam vectores, que possui as seguintes propriedades:
• Está definida uma operação binária de soma de dois vectores de V , da qual resulta um vector de V , tal que o conjunto V relativamente a esta operação é um conjunto abeliano:
o ,u v V u v V∈∀ + ∈ ,
o ,u v V u v v u∈∀ + = + ,
o , , ( ) ( )u v w V u v w u v w∈∀ + + = + + ,
o 10
: 0 0 ( 0)u VVu u u z∈∈
∃ ∀ + = + = = ,
o 1 : 0 ( )u V u V u u u u u u∈ ′∈′ ′ ′∀ ∃ + = + = − .
• Está definida uma operação de multiplicação de um vector de V por um escalar do corpo, da qual resulta um vector de V , com as seguinte propriedades:
o C v V v Vα α∈ ∈∀ ∀ ⋅ ∈ ,
o , ( ) ( )C v V v vα β α β αβ∈ ∈∀ ∀ ⋅ ⋅ = ⋅ ,
o , ( )C v V v v vα β α β α β∈ ∈∀ ∀ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ,
o ( )C u v V u v u vα α α α∈ + ∈∀ ∀ ⋅ + = ⋅ + ⋅ .
• 1v V v v∈∀ ⋅ = , onde 1 é o elemento neutro multiplicativo do corpo C .
Doravante apenas se consideram os espaços vectoriais sobre o corpo dos reais (C = ), designados por espaços vectoriais reais, e sobre o corpo dos complexos (C = ), designados por espaços vectoriais complexos.
Exemplos • Espaço vectorial n sobre o corpo dos reais, onde os vectores são representados por
n-uplos ordenados:
1
2
n
xx
v
x
=
A soma de vectores é dada por:
1
2
n
xx
v
x
=
1
2
n
uu
u
u
=
1 1
2 2
n n
x yx y
v u
x y
+ + + = +
A multiplicação de um escalar por um vector é dada por:
Espaços Vectoriais Definição de Espaço Vectorial 3/22
1
2
n
xx
v
x
=
1
2
n
xx
v
x
αα
α
α
⋅ =
A figura abaixo mostra os seguintes vectores em 3 :
1
1
0
0
v
=
2
0
2
0
v
=
3
0
0
3
v
=
4 1 2
1
2
0
v v v
= + =
5 2 3
01 2 12 3
3
v v v
= + =
• Espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a n e de coeficientes reais: 1
01 1( ) n nn np x a x a x a x a−
−= + + + +
onde cada vector é descrito pelos seus coeficientes:
1
1
0
n
n
aa
paa
−
=
.
A soma de vectores corresponde à soma de polinómios: 1
01 1( ) n na n np x a x a x a x a−
−= + + + +
101 1( ) n n
n nbp x b x b x b x b−−= + + + +
10 01 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
a n n n nbp x p x a b x a b x a b x a b−− −+ = + + + + + + + +
z
y
x
1v 2v
3v
4v
5v
Espaços Vectoriais Definição de Espaço Vectorial 4/22
1
1
0
n
n
a
aa
paa
−
=
1
1
0
n
n
b
b
b
pb
b
−
=
1 1
1 1
0 0
n n
n n
a b
a b
a b
p pa b
a b
− −
+ + + = + +
A operação de multiplicação por um escalar é definida através de: 1
01 1( ) n nn np x a x a x a x a−
−= + + + +
101 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n np x a x a x a x aα α α α α−−⋅ = + + + +
1
1
0
n
n
aa
paa
−
=
1
1
0
n
n
a
aa
paa
αα
ααα
−
⋅ =
Teorema
Em qualquer espaço vectorial verifica-se que 0 0 v Vv ∈⋅ = ∀ , onde 0 é o elemento neutro
aditivo do corpo e 0 é o vector nulo (elemento neutro aditivo do grupo constituído pelo espaço vectorial relativamente à operação de soma de vectores).
Demonstração 0 0 ( (0 )) 0 ( (0 ))v v v v v⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅ , onde (0 )v− ⋅ é o inverso (oposto) de 0 v⋅ relativamente à operação de adição de vectores. Visto que 0 ( (0 )) 0v v⋅ + − ⋅ = (senão não seriam inversos um do outro), obtém-se 0 0 0v⋅ + = , de onde se conclui finalmente que 0 0v⋅ = .
Teorema Em qualquer espaço vectorial, o inverso aditivo do elemento neutro multiplicativo do corpo sobre o qual está definido o espaço vectorial, quando multiplicado por qualquer vector v do espaço, resulta no inverso do vector v relativamente à operação de adição de vectores: ( 1) v Vv v ∈− ⋅ = − ∀ .
Demonstração
( 1) 1 ( 1) (1 ( 1)) 0 0v v v v v v+ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = + − ⋅ = ⋅ = . Como num grupo o inverso é único e ( ) 0v v+ − = , então ( 1) v v− ⋅ = − .
Espaços Vectoriais Subespaços Vectoriais 5/22
Definição de Subespaço Vectorial
Definição Seja V um espaço vectorial e seja V ′ um subconjunto de V tal que V ′ seja também um espaço vectorial relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar que definem V como espaço vectorial. Então diz-se que V ′ é um subespaço vectorial de V .
Teorema Seja V um espaço vectorial e seja V ′ um subconjunto de V . Relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar que definem V como espaço vectorial, V ′ é um supespaço vectorial de V se e só se:
• V ′ é não vazio;
• V ′ é fechado relativamente à operação de adição de vectores:
,u v V u v V′∈′∀ + ∈ .
• V ′ é fechado relativamente à operação de multiplicação por um escalar:
C v V v Vα α∈ ′∈′∀ ∀ ⋅ ∈ .
Demonstração Visto que um subespaço é, ele próprio, um espaço vectorial e que as três condições pertencem à axiomática dos espaços vectoriais, terão necessariamente que ser cumpridas. Resta apenas verificar a suficiência das mesmas para que V ′ seja um espaço vectorial. Assim, verifica-se de seguida que estas condições implicam os restantes axiomas dos espaços vectoriais:
• A comutatividade e a associatividade da soma de vectores são propriedades da operação que, verificando-se no conjunto V , automaticamente se verificam em qualquer subconjunto de V , como seja V ′ ;
• Sendo o conjunto V ′ não vazio, v V ′∈∃ . Sendo fechado relativamente à operação de
multiplicação por um escalar, o elemento neutro da adição de vectores pertence a V ′ , pois 0 0v V ′⋅ = ∈ porque Cv V αα ∈′⋅ ∈ ∀ .
• O inverso de qualquer vector de V ′ também pertence a V ′ porque, como referido num teorema anterior, ( 1) v v− ⋅ = − e ( 1) v V ′− ⋅ ∈ se v V ′∈ .
• As propriedades da operação de multiplicação de um escalar por um vector, verificando-se para o conjunto V , também se verificam para um subconjunto de V , como seja V ′ .
• Verificando-se que 1v V v v∈∀ ⋅ = , também é verdade que 1v V v v′∈∀ ⋅ = , visto que
V V′ ∈ .
Espaços Vectoriais Subespaços Vectoriais 6/22
Exemplo de um subespaço vectorial Dado o espaço vectorial 3 de vectores na forma:
xv y
z
=
,
as soluções da equação: 0x y z+ + =
geram um subespaço V ′ de 3 :
• V ′ ≠ ∅ , pois 0 V ′∈ (0 0 0 0+ + = );
• 1 2
1 2,v v V v v V′∈′∀ + ∈ :
1
1 1
1
xv y
z
=
2
2 2
2
xv y
z
=
1 2
1 2 1 2
1 2
x xv v y y
z z
+ + = + +
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0x x y y z z x y z x y z+ + + + + = + + + + + = + = .
Logo 1 2v v V ′+ ∈ se 1v V ′∈ e 2v V ′∈ ;
• v V v Vα α∈ ′∈′∀ ∀ ⋅ ∈ :
xv y
z
=
x
v yz
αα α
α
⋅ =
( ) 0 0x y z x y zα α α α α+ + = + + = = .
Logo v V v Vα′ ′∈ ⇒ ⋅ ∈ .
z
y
x
V ′
Espaços Vectoriais Dependência e Independência Linear 7/22
Dependência e Independência Linear
Definição Sendo V um espaço vectorial e { }1 2, , , nS v v v= … um conjunto de vectores de V , uma combinação linear dos vectores de S é qualquer vector representável na forma
1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + + onde 1 2, , , nα α α… são quaisquer escalares do corpo sobre o qual está definido V . Pela axiomática dos espaços vectoriais, u V∈ .
Definição Um vector u de um espaço vectorial V diz-se linearmente dependente do conjunto de n vectores também de V , { }1 2, , , nS v v v= … , se e só se existirem n escalares 1 2, , , nα α α… tais que 1 1 2 2 n nu v v vα α α= + + + . Se não existirem escalares que satisfaçam esta igualdade, então diz-se que u é linearmente independente de S .
Uma forma alternativa de definir independência linear é:
Definição Um conjunto { }1 2, , , nS v v v= … de um espaço vectorial V diz-se linearmente independente (ou que os seus vectores são linearmente independentes) se e só se a igualdade
1 1 2 2 0n nv v vα α α+ + + = implicar necessariamente que 1 2 0nα α α= = = = .
Teorema Seja { }1 2, , , nS v v v= … um conjunto de vectores do espaço vectorial V . O conjunto de vectores da forma:
{ }1 11 1 2 2 , , ,: ,
nn n CU u u v v v α α αα α α ∈= = + + + ∀ …
é um subespaço vectorial de V .
Demonstração De acordo com um teorema anterior, basta provar que U é não vazio e que é fechado relativamente às operações de adição de vectores e multiplicação por um escalar:
• U é não vazio, porque, por exemplo, 1v U∈ (este vector é obtido seleccionando
1 1α = e 2 0nα α= = = ).
• Sejam ,u w U∈ quaisquer. Então:
1 2 1 1 2 2, , , :
n n nC u v v vα α α α α α∈∃ = + + +…
e 1 2 1 1 2 2, , , :
n n nC w v v vβ β β β β β∈∃ = + + +…
( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 .
n n n n
n n n
u w v v v v v v
v v v
α α α β β β
α β α β α β
+ = + + + + + + + =
= + + + + + +
Espaços Vectoriais Dependência e Independência Linear 8/22
Conclui-se que u w U+ ∈ porque 1 1 2 2, , , n n Cα β α β α β+ + + ∈… .
• Sejam u U∈ e Cβ ∈ quaisquer. Então:
1 2 1 1 2 2, , , :
n n nC u v v vα α α α α α∈∃ = + + +… e
( )( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2 .
n n
n n
u v v v
v v v
β β α α α
βα βα βα
= + + + =
= + + +
Conclui-se que u Uβ ∈ porque 1 2, , , n Cβα βα βα ∈… .
Definição Ao conjunto de vectores na forma { }1 1 2 2: n nU u u v v vα α α= = + + + de um espaço vectorial ao qual pertencem os vectores do conjunto { }1 2, , , nS v v v= … chama-se espaço (subespaço) gerado pelo conjunto S (ou pelos vectores 1 2, , , nv v v… ). Diz-se ainda que S é um conjunto gerador do espaço U .
Espaços Vectoriais Bases de Espaços Vectoriais 9/22
Bases, Dimensões e Coordenadas
Teorema Sejam 1 2, ,..., nv v v vectores que geram V . Se iv for linearmente dependente dos restantes, então 1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + também gera V .
Demonstração Seja v V∈ .
Então 1 2, ,...,
1:
n
n
j jj
v vα α α α∈=
∃ =∑ ( )∗
No entanto iv é dependente dos restantes. Então:
1 1 1,...., , ,...,1
:ni i
n
i j jjj i
v vβ β β β β− + ∈
=≠
∃ =∑
Substituindo iv em ( )∗ obtém-se:
1 1
1( )
n n
j j i j jj jj i j i
n
j i j jjj i
v v v
v
α α β
α α β
= =≠ ≠
=≠
= +
= +
∑ ∑
∑
Logo v é combinação linear de 1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + . Sendo v V∈ qualquer, então
1 1 1,..., , ,..., ni iv v v v− + gera V .
Definição Base de um espaço vectorial é qualquer conjunto de vectores linearmente independentes que gera o espaço vectorial.
Exemplo:
Base de 3 : 1 2 3
1 01
1 0 1
0 0 1
v v v
= = =
Base de 2 : 1 2
1 1
01v v
= =
1
1
1
xy
z
3v
1v
2v
Espaços Vectoriais Bases de Espaços Vectoriais 10/22
Teorema A representação de qualquer vector de V numa sua base é única.
Seja 1
n
j jj
v vα=
=∑ e 1
n
j jj
v vβ=
=∑
então { }1,....,j j j nα β ∈= ∀
Demonstração
( )
( )
1 1
1 1
1
( ) ( 1) 0
( 1) 0
0
0
n n
j j j jj jn n
j j j jj jn
j j jj
v v v v v v
v v
v v
v
α β
α β
α β
= =
= =
=
− = + − = + − =
+ − =
+ − =
− =
∑ ∑
∑ ∑
∑
Como 1,..., nv v é uma base, então são linearmente independentes. Então verifica-se que
{ }1,...,0j j j nα β ∈− = ∀
Logo { }1,...,j j j nα β ∈= ∀
Teorema Seja { }1 2, ,..., nv v v uma base de V . Sejam 1 2, ,..., mu u u vectores de V linearmente independentes. Então m n≤ .
Demonstração Suponhamos que m n> .
Sendo { }1 2, , , nv v v… uma base de V e porque 1u V∈ , 1u é uma combinação linear de
1 2, ,..., nv v v : 11
n
j jj
u vα=
=∑ .
Como 1 0u ≠ (senão o conjunto 1 2, ,..., mu u u seria linearmente dependente), então 0jα ≠ para algum { }1,...,j n∈ .
Suponhamos 0iα ≠ .
Então pode-se dizer que 11
1 nj
i ji ij
j i
v u vα
α α=≠
= + − ∑ .
O conjunto { }1 1 1 1, ,..., , ,..., ni iu v v v v− + gera V , porque tem ,j j iv ≠ e também gera iv .
1u é linearmente independente de ,j j iv ≠ , senão iv seria linearmente dependente de ,j j iv ≠
Logo { }1 1 1 1, ,..., , ,..., ni iu v v v v− + é uma base de V .
Espaços Vectoriais Bases de Espaços Vectoriais 11/22
O procedimento pode ser repetido com 2u , e assim sucessivamente. Em cada iteração acrescenta-se um dos vectores iu e retira-se um dos vectores iv . Os vectores que saem da base podem não ser os 1 2, ,...u u e sim os iv , porque os iu são linearmente independentes dos que entram. Por outras palavras, a representação de iu como combinação dos vectores
1 1, , iu u −… e dos iv ainda no conjunto tem garantidamente um dos coeficientes de um dos vectores iv não nulo.
Consegue-se por este processo construir uma base constituída por { }1 2, ,..., nu u u , o que é o mesmo que dizer que os n primeiros vectores do conjunto 1 2, ,..., mu u u constituem uma base de V .
Ainda sobram m n− vectores u .
Como os n primeiros são uma base, então os que sobram são dependentes dos primeiros. Logo, se 1 2, ,..., mu u u são linearmente independentes, não é possível que m n> , verificando-se antes que m n≤ .
Corolário Duas bases de V têm o mesmo número de elementos.
Demonstração Se são bases, são conjuntos linearmente independentes. Pelo teorema anterior, se o conjunto com menor número de elementos é uma base, o de maior não poderá ser linearmente independente, não podendo então ser uma base. Assim, ou o primeiro não é base, ou o segundo não é base.
Definição Ao número de elementos de qualquer base de um espaço vectorial chama-se dimensão do espaço vectorial.
Definição
Seja 1
n
i ii
v vα=
=∑ a única representação de v V∈ na base 1,..., nv v de V, de dimensão n .
Aos coeficientes 1 2, ,..., nα α α chamam-se coordenadas de v nessa base.
Exemplo Provar que as soluções da equação 0x y z+ + = formam um subespaço de 3 . Dar exemplos de soluções. Construir uma base para as soluções.
Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 12/22
Norma e Produto Interno
Definição A norma de vectores num espaço vectorial V é uma função que associa a cada vector v V∈ um número real não negativo. É representada por v (ou ainda
Vv ) e satisfaz os
seguintes axiomas:
• 0
0v
v≠
> ∀ e 0 0= ;
• / ,v Vv v αα α ∈ ∈⋅ = ∀ ;
• 1 21 2 1 2 ,v v Vv v v v ∈+ ≤ + ∀ (desigualdade triangular).
Normais usuais As três normas mais usuais em n e n :
• Norma 1: 1 21... nv x x x= + + + onde
1
2
...
n
xx
v
x
=
• Norma 2 ou euclidiana: ( )½2 2 21 22
... nv x x x= + + +
• Norma ∞ : { }1 2max , ,..., nv x x x∞=
Generalização: norma [ [1,p ∈ ∞
1/
1
pnp
ip iv x
=
= ∑
Exemplo
31
2
3
1
v
= − ∈
32
1
1 2
i
v i
i
+ = − ∈ −
1 1
1 2
1
6
14
3
v
v
v ∞
=
=
=
2 1
2 2
2
2 1 5
2 2
5
v
v
v ∞
= + +
=
=
Verifica-se que limpp
v v∞→+∞
=
{ }( ) { }( )1 1
1/ //max max 1
p ppp p
i ipi i pv x v n x n v v v
∞ ∞ ∞ ∞→∞= ≤ ≤ ⋅ = ⋅ → × =
Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 13/22
Definição Seja ⋅ uma norma em V . Uma sucessão de vectores { }iv em V diz-se convergir para v V∈ se e só se a sucessão de números reais iv v− converge para 0 .
Teorema da equivalência de normas Se uma sucessão converge para v numa determinada norma de um espaço vectorial, converge para todas as normas desse espaço vectorial (e sempre para o mesmo valor v ).
Definição de produto interno Seja V um espaço vectorial real. Um produto interno em V é uma função que associa a cada par ordenado de vectores de V um número real, representa-se por ,u v e satisfaz os seguintes axiomas:
• ,, , u v Vu v v u ∈= ∀
• , , ,u v w u w v wα β α β+ = + e
, , ,w u v w u w vα β α β+ = + , , , ,u v w V α β∈ ∈∀
• 0
, 0u
u u≠
> ∀ e , 0u u = se e só se 0u = .
Seja V um espaço vectorial complexo. Um produto interno em V é uma função que associa a cada par ordenado de vectores ,u v V∈ um número complexo, representado por ,u v , e satisfaz:
• , ,u v v u=
• , , ,u v w u w v wα β α β+ = + e
, , ,w u v w u w vα β α β+ = + , , , ,u v w V α β∈ ∈∀
• 0
, e , 0u
u u u u≠
∈ > ∀ e , 0u u = se e só se 0u = .
Exemplos 1) Produto interno usual em n :
1
2
...
n
xx
u
x
=
1
2
...
n
yy
v
y
=
1 1 2 2, ... n nu v x y x y x y= + + +
2
1
3
u
=
0
2
1
v
= −
, 2 0 1 ( 2) 3 1 1u v = × + × − + × =
2) Produto interno entre polinómios:
Considerando o espaço de polinómios ( )p x de grau inferior ou igual a 2 no intervalo [ ]0,1 , um produto interno pode ser definido por:
Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 14/22
1
1 2 1 20( ), ( ) ( ) ( )p x p x p x p x dx= ∫
Teorema Para qualquer produto interno ,u v em V (real ou complexo) verifica-se que
½ ½,, , , u v Vu v u u v v ∈≤ ∀
Demonstração Se , 0u v = , então a desigualdade é trivialmente satisfeita, porque , 0u u ≥ e , 0v v ≥
Se , 0u v ≠ :
0 ,u v u vα α≤ + + , ,u v u u v vα α α= + + +
( ), , , ,u u v u u v v v αα α αα ∈= + + + ∀
Escolhendo ,,
u uu v
α = − (note-se que , 0u v ≠ ):
2
2
2
2
, , ,0 , , , ,, , , ,
,0 , ,,
, ,0 1,
u u u u u uu u v u u v v vv u u v u v u v
u uu u v vu v
u u v vu v
≤ − − +
≤ − +
≤ − +
Logo 1 1
2 2/ /, , ,u v u u v v≤ c.q.d.
Notas:
• , ,,,
u u u uv uu v
α = − = −
• ,u u é real
• 2
, , ,u v u v u v=
Teorema Seja ,⋅ ⋅ um produto interno definido em V . A função que a cada vector v V∈ associa um valor real não negativo através de ½,v v v= é uma norma em V . Designa-se por norma induzida pelo produto interno.
Demonstração • ½, 0v v v= > se 0v ≠ e
12/, 0v v v= = se 0v = (trivialmente satisfeito
pela axiomática do produto interno)
• vα ( ) ( )½ ½ ½, , ,v v v v v vα α α α αα= = =
Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 15/22
( )1
2/2, ,v v v v vα α α= = = ⋅
• 1 2v v+ ½1 2 1 2,v v v v= + +
( )½1 1 2 1 1 2 2 2, , , ,v v v v v v v v= + + + ≤
( )½1 1 2 1 1 2 2 2, , , ,v v v v v v v v≤ + + + ≤
( )½½ ½ ½ ½1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2, , , , , ,v v v v v v v v v v v v≤ + + + =
( )½½ ½1 1 1 1 2 2 2 2, 2 , , ,v v v v v v v v= + + =
( )½2½ ½
1 1 2 2, ,v v v v = + =
½ ½1 1 2 2, ,v v v v= +
1 2v v= +
Logo 1 2 1 2v v v v+ ≤ + c.q.d.
O produto interno usual em n induz a norma euclidiana em n .
1
2
...
n
xx
u
x
=
½
2½21
,n
ii
u u x u=
= = ∑
Exemplo de outro produto interno, não usual:
1
2
xu x
=
1
2
yv y
=
1 1 2 2, 3 2u v x y x y= +
Norma induzida por este produto:
( )½½ 2 21 2, 3 2u u u x x= = +
Espaços Vectoriais Norma e Produto Interno 16/22
θ
v
u
Ângulo entre vectores em n relativamente ao produto interno usual
2 2 2
2 2 2 2 22 cos( )u v u v u v θ− = + −
Substituindo pela norma induizda pelo produto interno obtém-se:
½ ½, , , 2 , , cos( )u v u v u u v v u u v v θ− − = + −
1 1
2 2/ /, , , , , , 2 , , cos( )u u v u u v v v u u v v u u v v θ− − + = + −
( )2 2
1 , , cos( )2
u v v u u v θ+ =
½ ½
2 2
, ,cos( ), ,
u v u vu u v vu v
θ = =
Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 17/22
Ortogonalidade e Projecções
Definição: ortogonalidade • Dois vectores dizem-se ortogonais num espaço vectorial com norma definida por um
produto interno se e só se , 0u v = .
• Um conjunto de vectores no mesmo espaço diz-se ortogonal se e só se quaisquer dois vectores distintos do conjunto forem ortogonais entre si.
Definição: versor • O vector v V∈ , onde V é um espaço vectorial normado, obtido a partir de outro vector
u V∈ tal que 0u ≠ através de uvu
= tem norma 1 e designa-se por “versor” da direcção e sentido definidos por u .
Definição: conjunto ortonormado • Um conjunto de vectores ortogonais num espaço vectorial com produto interno definido e
norma induzida pelo produto interno em que todos têm norma unitária (são versores) diz--se um conjunto ortonormado.
Teorema Um conjunto de vectores não nulos e ortogonal é necessariamente linearmente independente.
Demonstração Suponhamos que { }1,..., nv v é ortogonal, mas que iv é combinação linear dos restantes:
1:
j
n
i j jjj i
v vα α=≠
∃ =∑
Como 0iv ≠ , então pelo menos um dos jα é necessariamente não nulo.
Suponhamos 0kα ≠ , { }1,..., 1, 1,...,k i i n∈ − +
Então 1 1 1
,
, , , , ,n n n
j j ki j j j jk k k k k kj j jj i j i j i k
v v v v v v v v v vα α α α= = =≠ ≠ ≠
= = = +∑ ∑ ∑
Como os vectores são ortogonais, , 0j kv v = se j k≠
No entanto, como 0kv ≠ , , 0k kv v >
Então , , 0ki k k kv v v vα= ≠ , o que contraria a hipótese de iv e kv serem ortogonais.
Logo { }1,..., nv v tem que ser um conjunto linearmente independente.
Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 18/22
Corolário Um conjunto de vectores { }1,..., nv v não nulos e ortogonais num espaço vectorial com produto interno definido é uma base do subespaço vectorial gerado por eles.
Teorema Seja { }1 2, ,..., nB v v v= uma base ortogonal de um espaço vectorial V com produto interno e seja u V∈ qualquer. As coordenadas de u nessa base são dadas pelo produto interno de cada elemento da base com u , dividido pelo produto interno do elemento da base por ele próprio:
1
n
i ii
u vα=
=∑ , onde ,,i
ii i
v uv v
α =
Demonstração
1 1
, , ,N n
i i j j j i jj j
v u v v v vα α= =
= = =∑ ∑
1
, , ,n
j i j i i i i i ijj i
v v v v v vα α α=≠
= + =∑
Logo ,,i
ii i
v uv v
α =
Corolário Seja { }1,..., nB v v= uma base ortonormada de um espaço V normado e cuja norma é induzida por um produto interno. Seja u V∈ qualquer. Então as coordenadas de u nessa base são dadas pelo produto interno de cada elemento da base com u :
1
n
i ii
u vα=
=∑ , onde ,i iv uα =
Demonstração Decorre imediatamente do teorema anterior, notando-se que , 1i iv v = .
Definição: Projecção em subespaço definido por base ortogonal Seja V um espaço vectorial com produto interno. Seja 'V um subespaço gerado pelo conjunto ortogonal { }1,..., nB v v= . À função que a cada vector u V∈ associa um vector de
'V através de:
'1
' ( )m
i iVi
u P u vα=
= =∑ onde ,,i
ii i
v uv v
α =
chama-se projecção sobre o subespaço 'V : '' ( )Vu P u= .
Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 19/22
Propriedades • Se 'u V∈ então ( )
'VP u u=
Demonstração: Verifique-se que, se 'u V∈ , então u é combinação linear dos vectores
de B , sendo as coordenadas definidas da mesma forma: ,,i
ii i
v uv v
α =
• ( )'Vu P u− é ortogonal a qualquer vector de 'V .
Demonstração: ( )
'Vu P u− é ortogonal a cada um dos vectores de B:
( )',i Vv u P u− ( )
', ,i i Vv u v P u= − =
1
, ,m
i j i jj
v u v vα=
= −∑
, ,i i i iv u v vα= −
,
, , , , 0,i
i i i i ii i
v uv u v v v u v u
v v= − = − =
Uma vez que qualquer vector ' 'v V∈ é combinação linear dos vectores de B:
1
'm
j jj
v vβ=
=∑ , obtém-se:
( ) ( )' '
1', , 0
m
j jV Vj
v u P u v u P uβ=
− = − =∑
Logo, diz-se que ( )'Vu P u− é ortogonal ao subespaço 'V .
• A função ( )'VP u é linear:
( ) ( ) ( )1 2 1 2' ' 'V V VP u u P u P u+ = +
( ) ( )' 'V VP u P uα α=
Demonstração:
u ′ v2
v1
V’
u
Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 20/22
Notando que a expressão ,,i
ii i
v uv v
α = é linear relativamente ao produto interno
,iv u e que o produto interno é linear relativamente a u , então ( )'VP u também é
linear relativamente a u .
Teorema Sendo V um espaço normado com norma definida pelo produto interno e 'V o subespaço gerado pelo conjunto ortogonal { }1,..., mB v v= , então para qualquer u V∈ , a projecção ( )
'VP u resulta no vector de 'V que é mais próximo de u no sentido em que:
( )' ' ''v V Vu v u P u∈∀ − ≥ −
Demonstração 2'u v− ', 'u v u v= − −
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '', 'V V V Vu P u P u v u P u P u v= − + − − + −
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )' ' ' '' , 'V V V Vu P u P u v u P u P u v= − + − − + −
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', , 'V V V Vu P u u P u u P u P u v= − − + − − +
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '', ', 'V V V VP u v u P u P u v P u v+ − − + − −
( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', ', 'V V V Vu P u u P u P u v P u v= − − + − −
Esta última igualdade decorre do facto de ( )' 'VP u v V ′− ∈ , o que, pela segunda propriedade
apresentada, implica que ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ', ' ', 0V V V Vu P u P u v P u v u P u− − = − − = .
Sendo também um facto que ( ) ( )' '', ' 0V V v V
P u v P u v ′ ′∈− − ≥ ∀ , obtém-se finalmente:
2
'u v− ( ) ( )2
' ' ', ( )V V Vu P u u P u u P u≥ − − = −
( )'' Vu v u P u− ≥ − c.q.d.
Teorema de Gram-Schmidt “Obtenção de uma base ortogonal (ortonormada)”.
Seja V um espaço vectorial com produto interno (e norma por ele induzida) gerado pelo conjunto de vectores { }1,..., nA v v= .
Pode-se construir uma base ortogonal (ortonormada) de V pelo procedimento seguinte:
• Escolha-se o primeiro vector de A , 1v , e coloque-se na base { }1 1B v= . (Para uma base
ortonormada usa-se 1 11
1B vv
= ).
• Para cada um dos restantes vectores iv , 2,...,i n= , calcula-se ( )ii i iVu v P v= − onde
iV é o subespaço gerado pela base até então construída, iB .
Espaços Vectoriais Ortogonalidade e Projecções 21/22
Se iu for nulo, então iv é dependente dos vectores anteriores e é descartado.
Se iu é não nulo, acrescenta-se iu a base pretendida:
{ }1i iiB B u−= ∪
(Para uma base ortonormada, acrescenta-se i
i
uu
:
1i
i ii
uB B
u−
= ∪ )
Exemplo / Exercício Construir uma base ortogonal para o (sub)espaço gerado por 1 2 3
11 2
0 , 0 , 1
01 2
v v v
− = = = −
• 1 1
1
0
1
u v
= = −
• 1
1
0
1
B
= −
, que gera 1V
• ( )1
1 22 2 2 1
1 1
2 1 2 1 0, 40 0 0 2 0 0
2,02 1 2 1
V
u vv P v v u
u u
− − − − = − = − = + = − −
Logo, 2v é descartado.
• { }2 1
1
0
1
B u
= = −
, que gera ( )2 1V V=
• ( )2
1 33 3 3 1
1 1
1 ½1, 11 0 1 0
2,0 1 ½
V
u vu v P v u
u u
= − = − = − = ≠ −
• { }3 1 3
½1
, 0 , 1
1 ½
B u u
= = −
• Esgotados todos os vectores, obtém-se 3
½1
0 , 1
1 ½
B B
= = −
.
Verifica-se que são ortogonais:
top related