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Engrenagens

Prof. Marcelo Braga dos SantosFaculdade de Engenharia MecânicaUniversidade Federal de Uberlândia

Engrenagem Cilindrica de Dentes RetosEngrenagem Cilindrica de Dentes Helicoidais

Engrenagens Cônicas Parafuso Sem fim e Coroa

Nomenclatura

Nomenclatura• Diametral Pitch- É a razão entre o número de dentes da engrenagem e

o diâmetro primitivo.

• Módulo- É a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes.

Ambos os termos definem um número padrão as engrenagens, isto è, somente

engrenagens que possuem o mesmo número poderão engrenar.

Sistema Inglês P-Diametral Pitch

Sistema Internacional m-módulo

Nomenclatura

Ação Conjugada• O contato ocorre sempre no

ponto onde as superfícies são tangentes.

• A linha “ab” è chamada de linha de ação da força.

• A intersecção entre a linha de centros “AB” e a linha “ab” define o ponto tangente dos circulos primitivos das engrenagens.

• A relação de transmissão de velocidade será constante somente se o ponto “P” se mantiver fixo sobre a linha de centros.

Perfil de Dentes

1. Dividir o circulo base em ângulos iguais.

2. Traçar retas perpendiculares aos raios nos pontos “A”

3. Traçar um arco com centro em Ai e raio AiAi-1 determinando os pontos B quando estes interseptam as linhas perpendiculares.

Relações Fundamentais

1 1 2 2pV r r 1 2

Relações Fundamentais20

ângulo de pressão 25

1 1.25a b

Engrenagens

Razão de Contato

• Início do contato entre dois dentes.• Fim do contato entre dois dentes.

Razão de Contato

1 mais de um par de dentes em contato

1 um par de dentes em contato cm

Interferência

• A cabeça do dente de uma engrenagem toca a raiz do dente de utra engrenagem.

• Provoca desgaste dos dentes.

• Em engrenagens geradas pelo processo de fresagem não há interferência porém pode-se gerar enfraquecimento dos dentes.

Interferência

• O número mínimo de dentes é definido como:

21 1 3sin

• K=1 para dentes completos• K=0.8 para dentes com altura

reduzida

21 2 sin

1 2 sinp

kN m m m

Para sistema métrico

Interferência

Fabricação

Engrenagens Cônica

Engrenagens Cilindricas de Dentes Helicoidais

A engrenagem de dentes helicoidais causa carregamentos axiais, exceção é feita as engrenagens tipo espinha de peixe.

2 2 2 2

tancos

tantan

2 cos1 1 3sin menor de dentes

2 cos1 2 sin

1 2 sin

sin 4 cos

4 cos 2 sin

kN m m m

Engrenagens Tipo Parafuso Sem-Fim e Coroa

0.875 0.875

Sistema de Dentes

Sugestão de Uso de Rolamentos

Trens de Engrenagens

2 3 56 2

produto do n de dentes das eng. motoras

produto do n de dentes das eng. movidas

Trens de Engrenagens

Planetários

rotação da eng. solar

rotação da eng. planeta mais externa

rotação do braço

nn n n n

e nn n n n

Análise de Forças

H T W d

Análise de Forças

tan cos

tan sin

Análise de Forças

cos cos

cos sin

cos cos

Análise de Forças

xWt Ga

yWr Gr

zWa Gt

cos sin cos

cos cos sin

sin cos cos

cos sin cos

sin cos cos

s/ atritocos tan

cos cot c/ atrito

nWt Gt

Análise de Forças

Velocidades Rendimento

Análise de Forças

Projeto de Engrenagens• Modos de falha:

– Fadiga por flexão: Ocorre por repetição da flexão do dente em torno de sua raiz. O dente é considerado como uma viga engastada e livre.

– Fadiga por contato: Ocorre por repetição do contato entre os dentes. Desde que as tensões máximas ocorrem abaixo da superfície do dente, este tipo de falha forma pequenas crateras no superfície do dente (Pitting).

• Normas internacionais: AGMA, DIN, ABNT, etc.

• Cálculos baseados em gráficos e tabelas normatizados pelas associações técnicas citadas.

Projeto de EngrenagensFlexão

Formulação de Lewis

Momento Fletor

Momento de Inércia /

Distância da linha neutra a fibra mais externa

t l tx

x t l Por semelhança de triângulos:

2 2 2 46

6 1 1 1

/ 6 / 4

t t tW l W W

Ft F t l F t l 2

circular pitch

largura da face

t pW p

P Y yp

tW P xPY

Projeto de EngrenagensFator de Velocidade

• Fatores dinâmicos– Desvios do perfil envolvental– Velocidade– Deformações decorrentes do contato– Tenacidade do material da engrenagens, etc.

• O ruído no engrenamento significa que existem impactos sobre os dentes das engrenagens.

vtWK P

Projeto de EngrenagensFator de Velocidade

• Fatores dinâmicos perfil cicloidal ( Século XIX ):600

Engrenagem de FoFo obtida por fundição600

1200Perfis cortados em fresas

• Fatores dinâmicos perfil envolvental (Século XX):

50 Engrenagem obtida por processo de corte em fresa

78Perfil retificado

Sistema Inglês de Unidades

Projeto de EngrenagensFadiga Superficial

Raio de curvatura do dente Raio do cilindro

Largura do dente Comprimento do cilindro

• Teoria de Hertz para contato entre cilindros:

1 1 2 2

max1 2

2Força de contato nos cilindros

comprimento dos cilindros 1 12

Pressão máxima nas superfícies1 1

pbl d d

• Aplicação da teoria de Hertz em engrenagens:

2 21 1 2 2

sin1/ 1/ 2

cos sin1 / 1 /2

drr rW

F dE E r

Projetos de EngrenagensEquações de Tensão de Flexão da Norma AGMA

(Imperial Units)

1 (Unidades Métricas)

força tangêncial

fator de sobrecarga

fator de velocidade ou fator dinâmico

fator de tamanho

diametra

t d m Bv s

t H Bv s

P K KW K K K

F JK K

W K K Kbm Y

l pitch transversal

largura da face

fator distribuição de carga

fator de espessura do anel

fator geométrico (inclui a concentração de tensão na raiz)

módulo

Projetos de Engrenagens Equações de Tensão de Flexão da Norma AGMA

• Os fatores da equação consideram:– Amplitude do carregamento– Efeito dinâmicos que resultam no aumento da

amplitude do carregamento– Sobrecarga– Tamanho– Geometria: passo e largura da face– Suporte do dente na engrenagem– Concentração de tensão na raiz

Projetos de Engrenagens Equações de Tensão de Contato da Norma AGMA

(Imperial Units)

(Unidades Métricas)

fator distribuição de carga

coeficiente elástico, / /

fator de acabamento superfícia

ft mP v s

t H RE v s

CKC W K K K

K ZZ W K K K

C Z lbf in N mm

diametro primitivo do pinhão

fator de geometria para o contato

Projetos de EngrenagensEquações de Tensão de Contato da Norma AGMA

• Os fatores da equação consideram:– Amplitude do carregamento– Efeito dinâmicos que resultam no aumento da

amplitude do carregamento– Sobrecarga– Tamanho– Geometria: passo e largura da face– Acabamento superficial

Projetos de EngrenagensEquações de Resistência a Flexão da Norma AGMA

(Imperial Units)

(Unidades métricas)

Tensão admissível devido a flexão / /

fator de repetição para a tensão de flexão

fator d

F T Rall

S lbf in N mm

e temperatura

fator de confiabilidade

Fator segurança da norma AGMAR z

Projetos de EngrenagensEquações de Resistência ao Contato da Norma AGMA

(Imperial Units)

Tensão admissível ao contato / /

fator de repetição para a tensão de contato

H T Rc all

S lbf in N mm

de relação de durezas

fator de temperatura

fator de confiabilidade

Fator segurança da norma AGMA

Projetos de EngrenagensEquações de Resistência ao Contato da Norma AGMA

Projetos de EngrenagensFator de Geometria

• O fator de geometria J è calculado pela norma AGMA 908-B89, o fator de concentração Kf foi obtido a partir da análise fotoelástica nos anos 50.

t d m Bv s

t H Bv s

P K KW K K K

W K K Kbm

t d m Bv s

t H Bv s

P K KW K K K

W K K Kbm

t d m Bv s

t H Bv s

P K KW K K K

W K K Kbm

ft mP v s

t H RE v s

CKC W K K K

K ZZ W K K K

cos sin

Projetos de EngrenagensCoeficiente Elástico

ft mv s

v sw I

CKW K K K

K ZW K K KZ

Projetos de EngrenagensCoeficiente Elástico

ft mv s

v sw I

CKW K K K

K ZW K K KZ

Projetos de EngrenagensFator de Velocidade

• Imperfeições dos dentes das engrenagens durante a fabricação:– Espaço entre os dentes.– Perfil dos dentes.– Rugosidade.

• Vibração dos dentes.• Amplitude da velocidade sobre o diâmetro primitivo.• Desbalanceamento.• Desgaste e deformações plásticas.• Atrito entre os dentes.

Projetos de EngrenagensFator de Velocidade

[ / min]

200[ / ]

50 56 1

0.25 12

A VV ft

A VV m s

3 / min

3 200 /

A Q ftV

A Q m s

Projetos de EngrenagensFator de Sobrecarga

Projetos de EngrenagensFator de Acabamento da Superfície

• A norma AGMA ainda não definiu um valor ou uma

equação para o calculo do valor.

• Uma regra, “bom senso”, seria considerar quanto mais

rugoso maior o valor deste fator.

• Este fator representaria a redução da área real de

contato em relação a área aparente dentre outros

fatores.

Projetos de EngrenagensFator distribuição de carga

• Montagem da engrenagem

• Deformações do eixo e da engrenagem

• Largura da face

• Relação largura da face e diâmetro primitivo.

1m mc pf pm ma eK C C C C C

1m pf pmmc ma eK C CC C C

1 Dentes não coroados

0.8 Dentes coroados mcC

1 pfm mc pm ma eK C C C CC

0.025 110

0.0375 0.0125 1 1710

0.1109 0.0207 0.000228 17 4010

0.05 0.0510

F F indC

FF F F

1m mc pf pm ma eK C C C CC

1 / 0.175

1.1 / 0.175pm

1m mc pf pm emaK C C CCC

2maC A BF CF

1m mc pf pm emaK C C CCC

1m mc pf pm emaK C CC C C

0.8 para engrenagens montadas e ajustadas no local

1 para outros casos eC

Projetos de EngrenagensFator de Relação de Dureza

1.0 ' 1.0 relação de transmissão

8.98 10 8.29 10 1.2 1.7

' 0 1.2

0.00698 1.7

C A m m

(Imperial Units)

H T Rc all

Projetos de EngrenagensFator de Relação de Dureza

Projetos de EngrenagensFator para o número de ciclos

F T Rall

Projetos de EngrenagensFator para o número de ciclos

T Rc all

Projetos de EngrenagensFator de confiabilidade

H RTc all

F Tall

0.658 0.0759ln 1 0.5 0.99

0.5 0.109ln 1 0.99 0.9999R

Projetos de EngrenagensFator Temperatura

• A temperatura limite é dada pelo óleo que se degenera

quando aquecido. Em geral os óleos possuem ponto de

fulgor próximo à 150 OC. A norma AGMA recomenda que

os redutores quando trabalharem abaixo de 120 OC

utilizem este fator igual à 1.

Projetos de EngrenagensFator de Espessura do Anel

2.2421.6 ln 1.2

Projetos de EngrenagensResumo

Projeto de Engrenagens

• Decisões Iniciais do Projeto:

– Carregamento, velocidade, confiabilidade, vida desejada e fator de sobrecarga.

– Fator de segurança: Quanto maior a incerteza do projeto maior deve ser este.

– Sistema de dentes: ângulo de pressão e ângulo de helice.

– Relação de transmissão, números de dentes da coroa e do pinhão.

• Variáveis de projeto:

– Qualidade (Qv).

– Módulo (diametral pitch).

– Largura da face.

– Material do pinhão, dureza do núcleo e superficial.

– Material da coroa, dureza do núcleo e superficial.

Projeto de EngrenagensSugestão de procedimento de cálculo

1. Escolha o módulo (diametral pitch).2. Examine as implicações na largura da face, nos

diâmetros primitivos, nas propriedades dos materiais e se não for factível altere o valor.

3. Escolha o material do pinhão definindo as durezas do núcleo e da superficie.

4. Repita o passo 3 para a coroa.5. Repita os passos anteriores até que a variáveis

de projeto não se alterem mais.

Projeto de EngrenagensSugestão de procedimento de cálculo

• Critério de flexão do pinhão:– Selecione um valor inicial de F=4π/P– Encontre as tensões limites– Encontre o material e as durezas necessárias para atender as tensões limites– Ajuste o valor da largura da face caso necessário– Verifique o coeficiente de segurança

• Critério de flexão da coroa:– Encontre as tensões limites– Encontre o material e as durezas necessárias para atender as tensões limites– Ajuste o valor da largura da face caso necessário– Verifique o coeficiente de segurança

• Critério de desgaste do pinhão:– Encontre as tensões limites– Encontre o material e as durezas necessárias para atender as tensões limites– Ajuste o valor da largura da face caso necessário– Verifique o coeficiente de segurança

• Critério de desgaste do coroa:– Encontre as tensões limites– Encontre o material e as durezas necessárias para atender as tensões limites– Ajuste o valor da largura da face caso necessário– Verifique o coeficiente de segurança

Engrenagens CônicasProjeto

Imperial Units

1000Sistema Internacional

C P O v m s xcp

H E A v H X XCI

WC K K K C C

WZ K K K Z Z

Imperial Units

t d O vx

tx HA v

K KWP K K

Y KK KW

b m Y Y

Tensão de Contato

Tensão de flexão

Engrenagens CônicasProjeto

Imperial Units

Sistema Internacional

ac L HC all

H NT WHP

Imperial Units

Sistema Internacional

at Lwt

FLIM NTFP

Limite de resistência ao contato

Limite de resistência a flexão

Engrenagens CônicasFator de Sobrecarga

Imperial Units

C P v m s xcp

H E v H X XCI

WC K K C C

WZ K K Z Z

1/21000

C P O m s xcp

H E A H X X

WC K K C C

WZ K K Z Z

t d Ox

K KWP K

1/21000

C P O m s xcp

H E A H X X

WC K K C C

WZ K K Z Z

Imperial Units

50 56 1

0.25 12

t d Ox

K KWP K

Engrenagens CônicasFator de Tamanho para Resistência ao Contato

1/21000

C P O v m xcp

H E A v H XCI

WC K K K C

WZ K K K Z

0.5 0.5

0.125 0.4375 0.5 4.5 Imperial Units

0.5 12.7

4.92 10 0.4375 12.7 114.3 Sistema Internacional

1 114.3

C F F in

Z b b mm

t d O vx

tx HA v

K KWP K K

Y KK KW

b m Y Y

Engrenagens CônicasFator de Distribuição de Carga

1/21000

C P O v m s xcp

H E A v H X XCI

WC K K K C C

WZ K K K Z Z

0.0036 Imperial Units

5.6 10 Sistema Internacional

1.00 Ambas engrenagens bi-apoiadas

1.10 Uma engrenagem em balanço

1.25 Ambas engrenagens em balanço

d O vx

KWP K K

b m Y Y

Engrenagens CônicasFator de Coroamento

1/21000

C P O v m sp

E A v H XI

WC K K K C

WZ K K K Z

1.5 dente coroado adequadamente

2.0 dente não coroado xc xcC Z

t d O vx

tx HA v

K KWP K K

Y KK KW

b m Y Y

Engrenagens CônicasFator de Geometria para o Contato

1/21000

C P O v m s xcp

H E A v H X CI

WC K K K C C

WZ K K K Z Z

Engrenagens CônicasFator de Geometria para a Flexão

t d O vx

tx HA v

K KWP K K

Y KK KW

Engrenagens CônicasFator para Número de Ciclos de Carregamento

0.0602 4 10

0.1182 3 6

0.0323 6 10

2 10 10

3.4822 10 10

2.7 10 10

6.1514 10 3 10

1.6831 3 10 10 caso geral

N NK Y

0.0323 6 101.3558 3 10 10 situações críticasL LN N

ac HC all

SS K K

ac H H WC HPall

NTC Zs C Z

S K C S K Z

at FLIMwt FP

F T R F

S K K S K Y

Engrenagens CônicasFator para Relação de Durezas

8.9810 / 8.2910

C Z B N n

ac L H NTC HPall

Ws C Z

S K C S K Z

7.510 exp 0.0122 Imperial units

7.510 exp 0.52 Sistema Internacional

Rugosidade superficial do pinhão

Menor dureza Brinell

H W BG

C Z B H

1.2 / 1.7PB BGH H

48 e 180 400PB BH HRC H

ac L H NTC HPall

Ws C Z

S K C S K Z

ac L H NTC HPall

Ws C Z

S K C S K Z

Engrenagens CônicasFator para Temperatura

1 32 250

460 / 710 250

1 0 120

273 / 392 120

F t FK

ac L HC all

H NT WHP

at Lwt

FLIM NTF

Engrenagens CônicasFator de Confiabilidade

2 2 0.5 0.25log 1 0.99 0.999

0.7 0.15log 1 0.90 0.99Z Z R R

R RY Z K C

Engrenagens CônicasTensões Admissíveis

Engrenagens CônicasResumo

• Decisões iniciais:– Função– Fator de segurança– Sistema de dentes– Número de dentes

• Variáveis de projeto– Passo e largura da face– Fator de qualidade– Materiais e durezas para o pinhão e a coroa.

min 0.3 ,10 /

2sin 2sinGP

F A Pd

Sugestão para escolha da largura da Face

Parafuso Sem-Fim e Coroa

0.875 0.875

fator relativo ao material

diametro da engrenagem

largura de face efetiva (não exceder 0.67 )

fator de correção para a relação de transmissão

fator de correção para a v

ts m e m vall

W C D F C C

elocidade

cos cos

coeficiente de atrito

ângulo de avanço do parafuso sem fim

ângulo de pressão normal

12cosw m

Força tangencial Velocidade de escorregamento

Força atrito Torque no parafuso sem fim

Parafuso Sem-Fim e CoroaFator de Material

Engrenagens fundidas em caixa de areia

1000 3, 2.5

1412 456log 3, 2.5

Engrenagens fundidas

1000 3, 8

1412 456log 3, 8

Engrenagens fundidas por centrifugação

1000 3,

C d inC

d C d in

C d inC

d C d in

1251 180log 3, 25G G

d C d in

Fator para relação de velocidades

46 0.02 40 76 3 20

0.0107 56 5145 20 76

1.1483 0.00568 76

Fator de velocidade

0.659exp 0.0011 700 / min

13.31 700 3000 / min

m G G G

C m m m

V V ft

C V V ft

5.52 3000 / min

Coeficiente de atrito

0.15 0

0.124exp 0.074 0 10 / min

0.124exp 0.110 0.012 10 / min

V V ft

f V V ft

V V ft

Parafuso Sem-Fim e CoroaGeometria

Parafuso Sem-Fim e CoroaEficiência

Com atrito Sem atrito

Parafuso Sem-Fim e CoroaEficiência

Parafuso Sem-Fim e CoroaProjeto

• Decisões iniciais:

– Potência, velocidade e relação de transmissão

– Fator de projeto ou de segurança

– Sistema de dentes

– Materiais e processos de fabricação

• Variáveis de projeto:

– Número de entradas do parafuso sem fim: Nw

– Passo axial do parafuso: px

– Diâmetro primitivo do parafuso: dw

– Largura da face da coroa: FG

– Sistema de troca de calor

Parafuso Sem Fim com mais de uma Entrada

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