Engrenagens

Compilado por: Victor Franco CorreiaEscola Superior Nautica Infante D. Henrique - 2012

Ref:Shigley , Mischke & Budynas Mechanical Engineering Des ign

Escola Superior Nautica Infante D. Henrique

ORGOS DE M`QUINAS

Engrenagens com rodas dentadascilindricas de dentes direitos

Spur Gears

Engrenagens com rodas dentadascilindricas de dentes helicoidais

Helical Gears

Engrenagens com rodas dentadascnicas com dentes

direitos ou helicoidaisBevel Gears

Engrenagens com rodadentada e parafuso sem-fim

Worm Gears

Nomenclatura

FlancoPasso

Espessura do dente(medida no dimetro primitivo) Crculo de Raz

Dimetro da Raz

Crculo de CoraDimetro da Cora

Folga na Raiz

Conceito de linha de presso:

a - primeiro ponto de contacto do dente da roda motora com o dente da roda movida

b - ltimo ponto de contacto do dente da roda motora com o dente da roda movida

A linha a-b a designada linha de aco

Relao entre o crculo de base e o ngulo de presso

fcosrrB =

ngulo de presso rB raio do crculo e base

r raio do crculo primitivo

Nota:Valor normalizado (sistema mtrico) mais usual para o ngulo de presso: 20

Np numero de dentes da roda motoraNg numero de dentes da roda movida

p passo medido na circunferncia primitiva

Verificam-se as relaes:

logo:

Esta relao define omdulo da engrenagem (sistema mtrico):

expresso apenas em [mm] no SI.

O passo poder ser expresso por:

passo

gg

pp

dNp

dNp

p

p

=

=

g

g

p

p

N

d

N

d=

g

g

p

p

N

d

N

dm ==

2/)( gpd ddc +=

ppp

mN

d

N

dp

g

g

p

p ===

rp raio primitivo da roda motorarg raio primitivo da roda movida p velocidade angular da roda motora g velocidade angular da roda movida

Igualando as velocidades tangenciais no ponto de contacto das circunferncias primitivas:

ou:

i relao de transmisso

igrpr

pg

grgprpv

==

== ww

gNpN

gdpd

grpr

pgi ====

Relaes geomtricas (rodas cilndricas):

ha = m (salincia / adendum) hf = 1.25 m (reentrncia / dedendum) h = 2.25 m (altura do dente) Da = d + 2 ha (diametro de coroa)

= d + 2 m = m(N+2)Df = m(N-2.5) (diametro de raiz)

Dimenses normalizadas dos dentes: (Ref. Shigley)

P : Diametral Pitch (inch-1)

m : mdulo ( mm)

d ou D: dimetro primitivo

dN

P =

Nd

m=

2

1

1

221 N

Ni ==

ww

Trens de engrenagens

2

1

1

221 N

Ni ==

ww

5

1

2

1

3

2

4

3

5

4

1

2

2

3

3

4

4

5

1

551 N

NNN

NN

NN

NN

i ====ww

ww

ww

ww

ww

Veio 1Veio 2

Veio 3 Veio 4Veio 5

Trens de engrenagens

=

=====2468

1357

2

1

4

3

6

5

8

7

1

2

2

3

3

4

4

5

1

551 NNNN

NNNNNN

NN

NN

NN

iww

ww

ww

ww

ww

Veio 1

Veio 2

Veio 3

Veio 4

Veio 5

...0952.05.10

1212

831607920

1

2

2

3

3

4

1

441

===

===

===

B

A

D

C

E

D

NN

NN

NN

iww

ww

ww

ww

Dados: Velocidade de rotao do veio de entrada: 1750 rpm.Numero de dentes das rodas conforme a figura.

Calcular:Velocidade do veio de sada

Velocidade do veio de sada: 1750 / 10.5 = 166.7 rpm

com o sentido da rotao contrrio ao do veio de entrada.

Exemplo:

Os principais factores de projecto que condicionam a capacidade de uma engrenagem, so os seguintes:

Calor gerado durante a operao

por vezes necessrio o arrefecimento forado com leo por forma a dissipar o calor gerado

Falha dos dentes por ruptura

falha esttica devido a flexo falha por fadiga devido a flexo repetida falha por fadiga com corroso por contacto

Falha por desgaste excessivo por abraso das superfcies dos dentes

Rudo resultante de velocidades elevadas, cargas elevadas, desalinhamentos de montagem, etc.

Esforos sobre os dentes (rodas de dentes direitos)

Crculo primitivo

ff

sen

cos

WW

WW

r

t

=

=

O momento de toro T transmitido pela engrenagem pode ser expresso por:

sendo d o dimetro primitivo da roda.A componente radial no contribui para a transmisso de potncia, mas tende a afastar as rodas entre si.

A potncia transmitida P ser:

ou

Logo, a fora tangencial Wt, ser:

tWd

T2

=

602

2nT

fTTPp

pw ===

[ ] [ ] [ ]NmTrpmnWPnP

T ;;260p

=

[ ] [ ] [ ] [ ]NWmdrpmnWPnd

PW tt ;;;

60p

=

Exemplo:Ref: Shigley

Considere o trem de engrenagens de dupla reduo, ilustrado esquematicamente na figura.

Todas as rodas dentadas da engrenagem so cilndricas de dentes direitos. Considere o nmero de dentes de cada roda conforme indicado na figura.Considere que todas as rodas dentadas tm um ngulo de presso de 20. As rodas dentadas 2 e 3 tm um mdulo de 2.5 mm. As rodas dentadas 4 e 5 tm um mdulo de 3 mm.

O pinho motor roda no sentido horrio a 20 rpm e transmite uma potncia de 1.5 kW ao trem de engrenagens.

Calcular:a) Relao de transmisso final do trem de engrenagens.b) Foras radiais exercidas pelo veio b nos respectivos rolamentos. Nota: arbitrar os comprimentos dos veios ou assumir que as foras nas rodas 3 e 4actuam no mesmo plano.

Exemplo numrico: Ref. Ugural

Lewis foi o primeiro a propor uma formulao para o clculo da tenso de flexo nos dentes de uma engrenagem (1892).A tenso de flexo, para o modelo representado na figu ra, dada por:

A tenso mxima ocorre no ponto a na base do dente.Aps um conjunto de manipulaes, possvel escrever:

sendo p o passo (SI) e Y o designado factor de forma de Lewis que pode ser obtido numericamente para uma dada roda dentada.

Esta equao considera apenas cargas estticas, no considera os factores dinmicos prprios da engrenagem e no considera a concentrao de tenses da base do dente.

Dado que p= m , podemos obter a equao alternativa, em funo do mdulo:

com Wt em N e bw e m em mm.

2

6tb

lWI

cM

w

t==s

ps

/YpbW

w

t=

YmbW

w

t=s

Flexo nos dentes (rodas de dentes direitos) - cont.

Tabela com os factores de forma originais de Lewis YShigley Mechanical Enigineering Design, 1st Metric Edition, 1986.

O uso do factor de forma original de Lewis implica que o dente em anlise no partilha a fora tangencial e que a fora mxima aplicada na extremidade do dente.

Na realidade, estas condies so excessivas. Mas por outro lado, como se disse atrs os efeitos dinmicos no estavam considerados e os efeitos da concentrao de tenses da base do dente, tambm no. Tambm os fenmenos de fadiga no so considerados nesta formulao.

Assim, para o projecto efectivo de engrenagens foram propostos, ao longo dos anos, diversos factores de correco e, inclusivamente, equaes alternativas equao original de Lewis.

Efeitos dinmicos

A introduo dos factores dinmicos devem-se origina lmente a Barth, ainda no sec. XIX. Barth exprimiu um factor dinmico , atravs de uma equao do tipo

Para rodas dentadas de dentes rectos usa-se a frmul a (recomendada pela AGMA American Gear Manufacturers Association):

Para rodas dentadas de elevada preciso com cargas dinmicas apreciveis, o factor recomendado pela AGMA do tipo:

Introduzindo o factor dinmico na equao das tense s no dente, temos:

-+

= VV

K v ,66

2/1)200(50

50

VKv

+=

2/1

2/1)200(78

78

+=

VKv

YmbKW

wv

t=s

Dimensionamento da roda dentada

O dimensionamento das rodas dentadas um processo iterativo, pois o momento transmitido e a velocidade dependem, directa ou indirectamente, do mdulo m.

O processo usual, consiste em selecionar um valor estimado para o mdulo m, e efectuar os seguintes clculos, sucessivos:

1. Calcular o dimetro nominal:

2. Calcular a velocidade tangencial no circulo primitivo:

3. Calcular a fora tangencial transmitida:

4. Calcular o factor de velocidade:

5. Calcular a largura da roda dentada:

onde a tenso admissvel para a flexo dos dentes.

Nota importante:Na prtica necessrio efectuar o dimensionamento/verificao fadiga da roda

dentada (ver procedimento especfico, e clculo dos factores de correco, em Shigley, Mischke, Budynas Mechanical Engineering Des ign).

)(10 3 mNmd -=

rpmnsmndV )/(60/p=

)()( WattPcomNVP

Wt =

vK

admv

tw YmK

Wb

s=

)(MPaadms

Geometria das rodas cilndricas de dentes helicoida is

ngulo da hlice:

passo normal: pnpasso transversal: ptpasso axial: px

t

n

tx

tn

pp

pp

ff

y

y

y

tantan

cos

tan

cos

=

=

=

Esforos sobre os dentes (rodas de dentes helicoidais)

Crculo primitivo

axial.cos

radialsen

tangencialcos.cos

yff

yf

senWW

WW

WW

na

r

nt

=

=

=

A fora tangencial Wt, como anteriormente visto, dada por:

Neste caso temos:

Como normalmente Wt dado e as outras foras necessitam de ser calculadas, podemos escrever:

[ ] [ ] [ ]NmTrpmnWPnd

PWt ;;

60p

=

yf

yf

coscos

tan

tan

n

t

ta

ttr

WW

WW

WW

=

=

=

O mtodo dos elementos finitospermite conhecer com preciso a distribuio de tenses nos dentes para as condies reais de engrenamento em condies estticas e dinmicas.

Notas sobre o processo tpico de seleco de um redutor de velocidade (dependente do fabricante)

Exemplo: Redutor industrial David Brownwww.davidbrown.com