elipse geometria analitica

Geometria Analítica

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI

CAMPUS DO MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA - ICET

ElipseComponentes:Altamiro J. Mendes SilvaGledsa A. Vieira

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI

CAMPUS DO MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA - ICET

SUMÁRIO

•INTRODUÇÃO•DEFINIÇÃO E ELEMENTOS•PROPRIEDADE DA REFLEXÃO•EQUAÇÃO•APLICAÇÃO•CONCLUSÃO

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO

•OrigemConsiderando um cone circular reto,

utilizaremos um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone.

PARA REFLETIR

Se o plano for paralelo ao plano da base, obteríamos uma circunferência, que também é uma secção cônica.

DEFINIÇÃO E ELEMENTOS•Imaginemos 2 pontos fixos F1 e F2, tal que a

distância entre eles seja 2c. •Proposta: Marcar uma série de pontos tal que

a soma de suas distâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja sempre constante e maior do que 2c.

Assim, definimos que elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, F1 e F2, seja constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a>2c).

DEFINIÇÃO

ELEMENTOS

ELEMENTOS

Do triângulo retângulo (B2CF2) vem

Esta igualdade mostra que b<a e c<a. Excentricidade da elipse é o número real:

A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são “achatadas”.

PROPRIEDADE DA REFLEXÃO NA ELIPSE

•Se t é a tangente no ponto P de uma elipse de focos F1 e F2, são iguais os ângulos α e β formados pela reta tangente e os raios focais F1P e F2P, respectivamente.

PROPRIEDADE DA REFLEXÃO NA ELIPSE

• Imaginando uma superfície obtida girando-se a elipse em torno do eixo maior, e admitindo espelhada a parte interna, se uma fonte de luz for colocada num dos focos, por exemplo F1, os raios que esta fonte irradia serão refletidos todos no outro foco (F2).

EQUAÇÃO DA ELIPSE1º caso: Eixo maior está sobre eixo dos x. Pela definição, tem-se:

EQUAÇÃO DA ELIPSE2º caso: Eixo maior está sobre eixo dos y.

Com procedimento análogo ao anterior, tem-se:

EQUAÇÃO DA ELIPSE•EXEMPLOS:1) A partir da equação, ,

determinar:

a) A medida dos semi-eixos;b) Um esboço gráfico;c) Os focos;d) A excentricidade.

EQUAÇÃO DA ELIPSE1) Uma elipse de centro na origem tem um

foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação.

APLICAÇÃO DA ELIPSE•  A elipse é frequentemente usada na Arquitetura, no

Design e na Engenharia. As superfícies geradas por cônicas elipsóides têm propriedades refletoras que se usam para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas.

Fonte: Àguas Agitadas, M. C. Escher, 1950, linogravura. Fonte: Coliseu de Roma.

CONCLUSÃO

BIBLIOGRAFIA•WINTERLE, P. “VETORES E GEOMETRIA

ANALÍTICA” - São Paulo, 2000.•KINDLE, J.H. “GEOMETRIA ANALÍTICA”

(COLEÇÃO SCHAUM) – México: Mc Graw-Hill, 1970.