desenho técnico (constr geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Desenho Tecnico - Aula02

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

27 de fevereiro de 2008

eek.up@hotmail.com (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 1 / 29

1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais

2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

SUMARIO

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta

Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

1 Tracar umacircunferencia comcentro em P e raio rmaior que a distancia doponto a reta a;α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 a circunferenciaintercepta a reta nospontos A e B;α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

β2β1

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 tracar 2 circunferencias

com centro nos pontosA e B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

β2β1

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 as 2 circunferencias seinterceptam no ponto I;I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que

passa por P e por I, quee a procurada;r3 ⊂ {P, I};

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.Determine a bissetrizdo angulo formado por elas.

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 Tracar um arco de circunferencia,γ,com centro em O eraio r qualquer; γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 γ = �{O, r};2 o arco intercepta as retas nos

pontos A e B;γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 Traca-se dois arcoscom centro em A e em B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 a interseccao das2 circunferenciasdefine o ponto I;I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que

passa por O e por I,que e a procurada;r1 ⊂ {O, I};

Bissetriz

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo

Dado duas retas a e b, distintas

Problema no4 - transporte de angulo

Dado duas retas a e b, distintasDeseja-se transportaro angulo θ formado por elas,para uma terceira reta c em seu ponto P.

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

1 Tracar um arco decircunferencia, γ,com centro em O e raioqualquer r ;γ = �{O, r}, ∀r ;

2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

67 PD;

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 o arco intercepta

as retas no pontos A e B;γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

67 PD;

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 Tracar o arco β1 com centroem P eraio r ;β1 = �{P, r};

4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 A interseccao do arco

com a reta c e o ponto C;C = β1 ∩ c;

5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

dist (A,B)

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 Transportar o arco AOB para

CPD ; dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

dist (A,B)

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D esta sobre o arco β1 a uma

distancia AB do ponto C;D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));

dist (A,B)

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 A reta definida por P e D e a

reta procurada;PD;

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 PD;

Angulo em 4 partes

Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais

O processo consiste em repetir a construcao da bissetriz 3 vezes:para dividir o angulo em duas partes iguais;para dividir cada uma das partes obtidas;

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.Deseja-se tracar uma segunda reta bparalela a a pelo ponto P.

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

Reta paralela

1 Trace um arco de circunferencia,γ1, com centro em P eraio r maior quea distancia do ponto P a reta a;γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);

2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸

∩a = {B};

Reta paralela

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 intercepta a reta a no ponto A;γ1 ∩ a = {A};

3 �(A,dist(a,P))︸︷︷︸γ2

∩a = {B};

Reta paralela

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 γ2 arco com centro em A e raio AP

intercepta a no ponto B;�(A,dist(a,P))︸︷︷︸

∩a = {B};

Reta paralela

γ3 γ4

∩a = {B};

4 o arco centro em B eabertura BP e transderido para A;γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

Reta paralela

∩a = {B};

5 a direcao definidapelos pontos P e Csuporta a reta procurada;PC;

Reta paralela

∩a = {B};

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta

aDado uma reta a, e uma distancia d .

Problema no6 - Paralela de uma reta

Dado uma reta a, e uma distancia d .Deseja-setracar uma segunda reta bparalela a a e distante de d .

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;

1 Escolha 2 pontos distintosquaiquer, A e B;A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 Trace as perpendiculares a

a por A e por B;a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 Transfira

a distancia dsobre a1 esobre a2;a1 ∩ �{A, d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 a reta que

contem os pontos C e D e aresposta;{C,D} ∈ b;

b 1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento

A DDado um segmento de reta AD,dividi-la em tres partes iguais.

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

Divisao de segmento

1 Trace um segmento de reta bcom extremidade na reta dada;b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};

2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

Divisao de segmento

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 Marque tres pontos equidistantes

sobre b:B,C,D;�{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

Divisao de segmento

3 Trace D1D;D1D;

4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;

Divisao de segmento

3 D1D;4 Trace as parelelas a D1D:

C1C, B1B;C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;

Divisao de segmento

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 o segmento AD e dividido em

tres partes iguais pelos pontos Be CAB = BC = CD;

Divisao de segmento

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

SUMARIO

Triangulo inscrito

Problema no8 - Triangulo inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um triangulo equilatero.

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

α1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Triangulo inscrito

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um quadrado.

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

α1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Quadrado inscrito

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um pentagono.

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Pentagono inscrito

AE ,EF ,FG,GH,HA;

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um hexagono.

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

α 1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

Hexagono inscrito

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

Hexagono inscrito

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

Hexagono inscrito

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

Hexagono inscrito

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

Hexagono inscrito

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um heptagono.

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

Heptagono inscrito

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um octogono.

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

Octogono inscrito

CH,HD,DG,GA;

Octogono inscrito

CH,HD,DG,GA;

Octogono inscrito

CH,HD,DG,GA;

Octogono inscrito

CH,HD,DG,GA;

Octogono inscrito

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