Apostila Geom Analitica

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<p>GEOMETRIA ANALTICA</p> <p>1</p> <p>NDICE 1 VETORES 03 2 - VETORES EM R2 03 3 - VETORES EM R3 04 4 - VETORES EM Rn 04 EXERCCIOS 04 5 - ADIO E MULTIPLICAO POR ESCALAR 05 EXERCCIOS 05 6 - VETOR UNITRIO NUMA DIREO DADA 05 EXERCCIOS 06 7 - PRODUTO ESCALAR 06 8 - PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 07 9 - PRODUTO VETORIAL 07 10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 08 EXERCCIOS 08 10 - PRODUTO MISTO 09 12 - PRODUTO DUPLO 09 EXERCCIOS: 10</p> <p>CAPTULO 01 - LGEBRA VETORIAL</p> <p>CAPTULO 2 - APLICAES DA LGEBRA VETORIAL</p> <p>1 - DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS 11 2 - REA DE UM TRINGULO 11 3 - PONTO MDIO DE UM SEGMENTO 11 EXERCCIO 12 4. PROJEO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREO DADA 12 5. NGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPPEDO 13 EXERCCIO 13</p> <p>1 - EQUAO DA RETA NO PLANO 14 EXERCCIOS: 15 2 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 16 EXERCCIOS: 17 3 A RETA NO ESPAO R3 17 4 POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. 18 EXERCCIOS 18 5 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R3 19 6 - DISTNCIA DE PONTO A RETA EM R2 20 EXERCCIOS:- 20 CAPTULO 4 MUDANAS DE COORDENADAS 1 INTRODUO 21 2 TRANSLAO DE EIXOS 21 3 ROTAO 22 EXERCCIOS:- 22 CAPTULO 05 ESTUDO DAS CNICAS NO PLANO 1 LUGAR GEOMTRICO 23 2 - AS EQUAES DE ALGUNS LUGARES GEOMTRICOS 23 EXERCCIOS 24 3 AS CNICAS - circunferncia 24 EXERCCIOS 25 5 A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU 26 EXERCCIOS 26 6 POSIO RELATIVA 26 EXERCCIOS 27 7 A PARBOLA 28 EXERCCIOS 30 8 A ELIPSE 30 9 A EQUAO DA ELIPSE 30 EXERCCIOS 32 10 A HIPRBOLE 32 11 - A EQUAO DA HIPRBOLE 33 EXERCCIOS 35 11. A EQUAO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIVEIS 35 12. IDENTIFICANDO A EQUAO 36 13 DEMONSTRANDO AS RELAES DO ITEM 2 36 EXERCCIOS 37 CAPTULO 6 O PLANO 1 EQUAO GERAL DO PLANO 37 EXERCCIOS: 38 2. EQUAES PARAMTRICAS 38 EXERCCIOS 38 3. DETERMINAO DE UM PLANO 39 EXERCCIOS: 39 4. CASOS PARTICULARES 40 5. NGULO DE RETA E PLANO 41</p> <p>CAPTULO 3 - A RETA EM R2 E R3</p> <p>2</p> <p>CAPTULO 01 - LGEBRA VETORIAL 1 VETORES Analisando uma srie de grandezas veremos que algumas so caracterizadas apenas por uma medida ou mdulo. Tais grandezas so chamadas de escalares. Como exemplos podemos citar: o tempo, a massa, a temperatura. No decorrer de nosso curso consideraremos como escalar qualquer nmero real. Um outro grupo de grandezas necessitam de mdulo, direo e sentido para a sua perfeita identificao. Estas grandezas so chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo temos: fora, torque, campos eltricos e magnticos. Para representar graficamente uma grandeza vetorial usa-se um segmento de reta orientado (fig.1) a quem chamamos de vetor. Alertamos o leitor que essa representao nem sempre ser possvel pois veremos que existem elementos que no podem ser representados por um vetor apesar de apresentar propriedades operacionais idnticas s dos vetores.</p> <p>Na figura 1, A a origem e B a extremidade do vetor. Para indicar que um elemento um vetor usamos: i. uma letra minscula encimada por uma seta, ii. indicao da origem e extremidade encimada por uma seta, iii. uma letra minscula em negrito a . Usaremos esta notao em nossos textos por facilidade de editorao. O mdulo do vetor representado pelo comprimento do segmento. A direo definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido determinado pela seta. Indicamos o mdulo do vetor por a (no em negrito) ou | |. 2 - VETORES EM R2 Podemos considerar vetores que pertencem a uma nica reta, um plano e ao espao. Vetores que pertencem a uma nica reta so ditos unidimensional ou vetores do espao R. Vetores que pertencem ao plano so ditos bidimensional ou vetores do espao R2 e vetores no espao tridimensional so vetores de R3. Estas idias podem ser estendidas para um espao n-dimensional, so vetores de Rn. Iniciaremos nosso estudo com os vetores em R2. Os vetores de R2 podem ser representados no plano cartesiano, conforme indicado na fig.2.</p> <p>3</p> <p>A figura 2 mostra o vetor v cuja origem o ponto A = (5, 4) e cuja extremidade o ponto B = (9, 9). Em geral, usa-se na lgebra vetorial substituir o vetor por um vetor equivalente (vetor de mesmo mdulo, mesma direo ou direo paralela e mesmo sentido) cuja origem coincide com a origem dos eixos cartesiano, ou seja, um vetor como v'. Assim, o vetor v' denominado, vetor equivalente a v, localizado na origem. Esse vetor ser indicado por v' = (4, 5) onde (4, 5) so as coordenadas de sua extremidade. IMPORTANTE (1) Pela figura fcil concluir que, se (x1, y1) e (x2, y2) so as coordenadas da origem e da extremidade de um vetor, o equivalente localizado na origem ser (x2 - x1, y2 - y1). (2) O mdulo do vetor v = (x, y), de acordo com o teorema de Pitgoras 3 - VETORES EM R3 No espao tridimensional, cada ponto indicado por trs coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor de R3, localizado na origem ser indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) so as coordenadas de suas extremidades. Assim, o vetor u da fig.3, ser u = (x, y, z).</p> <p>O mdulo do vetor u, de R3 determinado por</p> <p>expresso essa obtida a partir do clculo da diagonal de um paraleleppedo retngulo. 4 - VETORES EM Rn Os conceitos, notaes, mdulos e operaes definidas para vetores em R2 e R3 podem ser estendidos aos vetores no espao Rn. Entretanto, para espaos de dimenso superior a trs no possvel (ainda) uma representao grfica. EXERCCIOS 1. Represente graficamente cada um dos vetores v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1) e v4 = (3, 4, -12). 2. Considere o vetor AB, onde A = (2, -3) e B = (5, 1). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 3. Considere o vetor AB, onde A = (3, -5, 1) e B = (5, -2, 5). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 4. O vetor AB tal que A = (2x + 1, 3y - 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem v = (-4, 12), determine os valores de x e y. 5. Determine o mdulos dos seguintes vetores: v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1), v4 = (3,</p> <p>4</p> <p>4, -12) e v5 = (5, 1, 5). 6. Determine o valor de "m" se o mdulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v| = 13.</p> <p>5 - ADIO E MULTIPLICAO POR ESCALAR Definio 1- Adio de Vetores: Dados os vetores u = (u1, u2, u3, ..., un) e v = (v1, v2, v3, ..., vn), de Rn, define-se o vetor soma s = u + v, tal que s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) A adio de vetores goza das seguintes propriedades: P1) u + v = v + u (comutatividade) Temos: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3, ..., vn + un) (comutatividade da adio de nmeros reais) = v + u. P2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) P3) Vetor nulo, simbolizado por 0 = (0, 0, 0, ...0), tal que 0 + v = v + 0 = v. P4) Vetor simtrico. Para cada vetor v, existe o vetor -v, simtrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. Conseqncia: o simtrico de u = (u1, u2, u3, ..., un) -u = (-u1, -u2, -u3, ..., -un). Os vetores u e -u tm a mesma direo, o mesmo mdulo, porm, seus sentidos so opostos. P5) O mdulo da soma de dois vetores no igual soma dos mdulos dos dois vetores. Definio 2 - Multiplicao por escalar - Sejam: o vetor v = (v1, v2, v3, ..., vn) de Rn e o escalar r R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor rv, tal que rv = (rv1, rv2, rv3, ..., rvn). A multiplicao de um escalar por um vetor goza das propriedades: P6) rv = vr. (comutatividade) P7) r.(u + v) = ru + rv. (distributividade em relao adio de vetores) P8) (r + s).v = rv + sv. (distributividade em relao adio de escalares). P9) 1.v = v P10) 0.v = 0. P11) -1.v = -v. P12) rv paralelo a v, sendo r um nmero real. P13) (r.s)v = r.(s.v) EXERCCIOS 1) Demonstre as propriedades P2 a P8. 2) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: a) x = u + v b) x = 3u + 2w c) x = 2u - v d) x = 2 (u + v) + 3w e) x = 2 (3u + 2w) - 3 (5v) e) u + 2v = x - w f) 3 (u + 2x) = 4x + 2w 3) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine o mdulo do vetor 3u - 4v + 2w. 6 - VETOR UNITRIO NUMA DIREO DADA A partir da multiplicao de um escalar por um vetor, pode-se definir um vetor unitrio, vetor esse que tm o mesmo sentido que um vetor w, tal que w = | w |. , ou seja, = w / | w |. Tomando, por exemplo: w = (3, 4, -12), teramos, e = (3/13, 4/13, 12/13). Costuma-se usar vetores unitrios cujas direes com as direes positivas dos eixos</p> <p>5</p> <p>cartesianos. Para o plano, esses unitrios so indicados por usa-se i e j (fig.1), tais que i = (1, 0) e j = (0, 1). Ao aplicar essa notao para um vetor v = (a, b), teremos v = a.(1, 0) + b.(0, 1) = ai + bj. Em R3, os unitrios so indicados por i, j e k (fig.2), onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Um vetor como v = (a, b, c) indicado como v = ai + bj + ck.</p> <p>EXERCCIOS 1. Escreva o vetor unitrio na direo de: a) (3, 4) b) (-8, 6) c) (1, 2, 3)</p> <p>d) (-3, 12, -4)</p> <p>2. Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 3. Calcule o mdulo dos vetor 3u + v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 4. Calcule o vetor unitrio na direo do vetor 3u + v, determinado no exerccio 3.</p> <p>7 - PRODUTO ESCALAR</p> <p>Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ngulo . Define-se o produto escalar de u por v, que simbolizado por u.v como sendo o escalar (nmero real) | u |.| v |. cos . Observe que esse produto indicado por um ponto. No pode ser usado o sinal X pois este ser utilizado para outro tipo de produto. O produto escalar usado em muitas definies de grandezas fsicas, como por exemplo o trabalho que definido pelo produto (vetor fora) . (vetor deslocamento). Fora e deslocamento so duas grandezas vetoriais, mas o trabalho uma grandeza escalar. Para obter o produto escalar em funo das coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os unitrios: i.j = i.k = j.k = 1.1.cos 90 = 1.1.0 = 0 e i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0 = 1.1.1 = 1. Escrevendo os vetores u e v em termos dos unitrios, o produto u.v fica: (x1i + y1j + z1k).(x2i + y2j + z2k) = x1x1i.i + x1y2i.j + x1z2i.k + y1x2j.i + y1y2j.j + y1z2j.k + z1x2k.i + z1y2k.j + z1z2k.k = x1x1.1 + x1y2.0 + x1z2.0 + y1x2.0 + y1y2.1 + y1z2.0 + z1x2.0 + z1y2.0 + z1z2.1 = x1x2 + y1y2 + z1z2. Esta expresso para o produto escalar pode ser estendida a vetores com qualquer nmero de coordenadas. Assim,</p> <p>6</p> <p>Pela definio | u |.| v |. cos fcil verificar que se u e v so dois vetores perpendiculares, o produto escalar nulo pois cos 90 = 0.</p> <p>Exemplos: (1) Se u = (2, 3, 4) e v = (-2, 4, 5) ento u.v = 2.(-2) + 3.4 + 4.5 = -4 + 12 + 20 = 28 (observe que o resultado um nmero). (2) Os vetores u = (2, -3, 4) e v = (5, 2, -1) so perpendiculares pois u.v = 2.5 + 3.(-2) + 4.(-1) = 10 - 6 - 4 = 0. 8. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Para o produto escalar so vlidas as propriedades: u.v = v.u (comutatividade) u.v = 0 u v. (u.v).w um vetor, pois (u.v) um escalar e (u.v).w o produto de um escalar por um vetor. (u.v).w u.(v.w) pois (u.v).w um vetor na direo de w e u.(v.w) um vetor na direo de s.(u.v) = (s.u).v</p> <p>P1. P2. P3. P4. u. P5.</p> <p>EXERCCIOS 1. Efetue as operaes abaixo para u = (1, 4, 5), v = (3, 3, -2) e w = (-5, 7, 1). a) u.v b) w.u c) 3u.2w d) (3u - 4v).(5w) e) (u.v).w f) u.(v.w)</p> <p>9 - PRODUTO VETORIAL O produto vetorial, como o prprio nome diz, uma multiplicao de dois vetores onde o resultado ser tambm um vetor. Para indicar o produto vetorial de u por v escrevemos u x v ou u v (nesta ltima notao l-se u vec v. Os sinais x ou so usados para o produto vetorial e no podem ser substitudo pelo ponto (.) que usado para o produto escalar.</p> <p>u x v = u v significa um produto vetorial u.v usado para produto escalar. importante observar que quando se tratar de multiplicao de dois nmeros (escalares) ou de escalar por vetor, podem ser usados indistintamente o ponto e o x. Entretanto, no se usa o sinal quando estiver algum escalar envolvido na multiplicao. Algumas grandezas fsicas que apresentam caractersticas vetoriais so resultados de um produto de dois vetores pode resultar em um vetor. Por exemplo: (i) o torque ou momento de uma fora, que definido por M = r x F onde r o raio que define a posio do ponto de aplicao da fora F e (ii) uma corrente em um campo magntico. Sobre o condutor da corrente atuar uma fora F = (i x B).L, sendo i a corrente, B o campo magntico e L o comprimento do condutor inserido no campo magntico. Nestes produtos, M e F so vetores perpendiculares ao plano formado pelos outros dois vetores. O Produto vetorial u x v definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes caractersticas: MDULO: | u |.| v |. sen , onde o ngulo formado pelos dois vetores. DIREO:- perpendicular ao plano formado por u e v. SENTIDO:- determinado pela regra da mo direita, conforme mostra a figura abaixo:</p> <p>7</p> <p>Com a mo direita aberta, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da mo indicar o sentido do produto.</p> <p>O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos. Para isso, vejamos os produtos dos vetores unitrios i, j e k. Veja a fig. 2 (unitrios no espao tri-dimensional) da aula anterior. O ngulo formado por i com j, j com k e i com k 90 e o ngulo de i com i, j com j e k com k 0. Assim, temos: i x j = k; j x i = - k; i x k = - j; k x i = - j; j x k = i ; k x j = -i ; i x i = j x j = k x k = 0. Note que o mdulo de i x j 1.1.sen90 = 1, o sentido de i x j se obtm usando a regra da mo direita. Da mesma forma se obtm, j x i , j x k, k x j, i x k e k x i . Para i x i, j x j, k x k, teremos: 1.1.sen0 = 0. Multiplicando u = x1i + y1 j + z1k por v = x2i + y2 j + z2k, temos: x1x2v(i x i) + x1y2(i x j) + x1z2(i x k) + y1x2( j x i ) + y1y2( j x j) + y1z2( j x k) + z1x2(k x i) + z1y2(k x j) + z1z2(k x k). Aplicando os produtos dos unitrios e isolando os termos com i , j, k, resulta: (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - x1z2) j + (x1y2 - x2y1)k. No indicando os unitrios podemos concluir que:</p> <p>Um algoritmo simples pode ser usado para se obter o produto anterior. (1) Escreve-se as coordenadas do segundo vetor debaixo das coordenadas do 1 vetor. (2) repete-se, frente, as duas primeiras colunas. (3) elimina-se a primeira coluna. (4) efetua-se os produtos conforme indicados pelas linhas. Observe as cores e as posies dos produtos na figura a seguir.</p> <p>10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL Para o produto escalar so vlidas as propriedades: P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa) P2. r.(u x v) = (ru) x v P3. u x v = 0 u = rv u // v. P4. (u x v) x w u x (v x w) (anti-associativa) EXERCCIOS:</p> <p>8</p> <p>1 - Prove que u . v = v . u e (u . v) . w = u . (v . w). 2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial no comutativo e nem associativo. 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) trs vetores. Calcule: (a)u.v (b)uxw ( c ) (u . v) . w ( d ) u x (v . w) ( e ) (u x v) . w ( f ) 2u x 3w ( g ) u . 2w + 3u . 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u . 3w ( k ) u . (v . w) ( m ) u x (v . w) 4 - Determine o co-seno do ngulo formado pelos vetores u e v dados no exercci...</p>