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GEOMETRIA ANALÍTICA

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ÍNDICE

CAPÍTULO 01 - ÁLGEBRA VETORIAL 1 – VETORES 03 2 - VETORES EM R2 03 3 - VETORES EM R3 04 4 - VETORES EM Rn 04 EXERCÍCIOS 04 5 - ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR 05 EXERCÍCIOS 05 6 - VETOR UNITÁRIO NUMA DIREÇÃO DADA 05 EXERCÍCIOS 06 7 - PRODUTO ESCALAR 06 8 - PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR 07 9 - PRODUTO VETORIAL 07 10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL 08 EXERCÍCIOS 08 10 - PRODUTO MISTO 09 12 - PRODUTO DUPLO 09 EXERCÍCIOS: 10

CAPÍTULO 2 - APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA VETORIAL 1 - DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 11 2 - ÁREA DE UM TRIÂNGULO 11 3 - PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 11 EXERCÍCIO 12 4. PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREÇÃO DADA 12 5. ÂNGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCÍCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 13 EXERCÍCIO 13

CAPÍTULO 3 - A RETA EM R2 E R3 1 - EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 14 EXERCÍCIOS: 15 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 16 EXERCÍCIOS: 17 3– A RETA NO ESPAÇO R3 17 4– POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. 18 EXERCÍCIOS 18 5 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R3 19 6 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R2 20 EXERCÍCIOS:- 20

CAPÍTULO 4 – MUDANÇAS DE COORDENADAS 1 – INTRODUÇÃO 21 2 – TRANSLAÇÃO DE EIXOS 21 3 – ROTAÇÃO 22 EXERCÍCIOS:- 22

CAPÍTULO 05– ESTUDO DAS CÔNICAS NO PLANO 1 – LUGAR GEOMÉTRICO 23 2 - AS EQUAÇÕES DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS 23 EXERCÍCIOS 24 3 – AS CÔNICAS - circunferência 24 EXERCÍCIOS 25 5 – A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU 26 EXERCÍCIOS 26 6 – POSIÇÃO RELATIVA 26 EXERCÍCIOS 27 7 – A PARÁBOLA 28 EXERCÍCIOS 30 8 – A ELIPSE 30 9 – A EQUAÇÃO DA ELIPSE 30 EXERCÍCIOS 32 10 – A HIPÉRBOLE 32 11 - A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE 33 EXERCÍCIOS 35 11. A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIÁVEIS 35 12. IDENTIFICANDO A EQUAÇÃO 36 13 – DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES DO ITEM 2 36 EXERCÍCIOS 37

CAPÍTULO 6– O PLANO 1 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 37 EXERCÍCIOS: 38 2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 38 EXERCÍCIOS 38 3. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO 39 EXERCÍCIOS: 39 4. CASOS PARTICULARES 40 5. ÂNGULO DE RETA E PLANO 41

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CAPÍTULO 01 - ÁLGEBRA VETORIAL

1 – VETORES

Analisando uma série de grandezas veremos que algumas são caracterizadas apenas por uma medida ou módulo. Tais grandezas são chamadas de escalares. Como exemplos podemos citar: o tempo, a massa, a temperatura. No decorrer de nosso curso consideraremos como escalar qualquer número real.

Um outro grupo de grandezas necessitam de módulo, direção e sentido para a sua perfeita identificação. Estas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. Como exemplo temos: força, torque, campos elétricos e magnéticos. Para representar graficamente uma grandeza vetorial usa-se um segmento de reta orientado (fig.1) a quem chamamos de vetor. Alertamos o leitor que essa representação nem sempre será possível pois veremos que existem elementos que não podem ser representados por um vetor apesar de apresentar propriedades operacionais idênticas às dos vetores.

Na figura 1, A é a origem e B a extremidade do vetor. Para indicar que um elemento é um vetor usamos: i. uma letra minúscula encimada por uma seta,

ii. indicação da origem e extremidade encimada por uma seta, iii. uma letra minúscula em negrito a . Usaremos esta notação em nossos textos por facilidade de editoração.

O módulo do vetor é representado pelo comprimento do segmento. A direção é definida pela reta suporte do vetor enquanto que o sentido é determinado pela seta. Indicamos o módulo do vetor por a (não em negrito) ou | |.

2 - VETORES EM R2

Podemos considerar vetores que pertencem a uma única reta, um plano e ao espaço. Vetores que pertencem a uma única reta são ditos unidimensional ou vetores do espaço R. Vetores que pertencem ao plano são ditos bidimensional ou vetores do espaço R2 e vetores no espaço tridimensional são vetores de R3. Estas idéias podem ser estendidas para um espaço n-dimensional, são vetores de Rn. Iniciaremos nosso estudo com os vetores em R2. Os vetores de R2 podem ser representados no plano cartesiano, conforme indicado na fig.2.

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A figura 2 mostra o vetor v cuja origem é o ponto A = (5, 4) e cuja extremidade é o ponto B = (9, 9). Em geral, usa-se na álgebra vetorial substituir o vetor por um vetor equivalente (vetor de mesmo módulo, mesma direção ou direção paralela e mesmo sentido) cuja origem coincide com a origem dos eixos cartesiano, ou seja, um vetor como v'. Assim, o vetor v' é denominado, vetor equivalente a v, localizado na origem. Esse vetor será indicado por v' = (4, 5) onde (4, 5) são as coordenadas de sua extremidade.

IMPORTANTE

(1) Pela figura é fácil concluir que, se (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas da origem e da extremidade de um vetor, o equivalente localizado na origem será (x2 - x1, y2 - y1).

(2) O módulo do vetor v = (x, y), de acordo com o teorema de Pitágoras é 3 - VETORES EM R3

No espaço tridimensional, cada ponto é indicado por três coordenadas (x, y, z). Assim, todo vetor de R3, localizado na origem será indicado por (x, y, z) onde (x, y, z) são as coordenadas de suas extremidades. Assim, o vetor u da fig.3, será u = (x, y, z).

O módulo do vetor u, de R3 é determinado por

expressão essa obtida a partir do cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo.

4 - VETORES EM Rn

Os conceitos, notações, módulos e operações definidas para vetores em R2 e R3 podem ser estendidos aos vetores no espaço Rn. Entretanto, para espaços de dimensão superior a três não é possível (ainda) uma representação gráfica. EXERCÍCIOS 1. Represente graficamente cada um dos vetores v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1) e v4 = (3, 4, -12). 2. Considere o vetor AB, onde A = (2, -3) e B = (5, 1). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 3. Considere o vetor AB, onde A = (3, -5, 1) e B = (5, -2, 5). Determine o vetor equivalente a AB, localizado na origem dos eixos cartesianos. Represente no plano cartesiano os vetores AB e seu equivalente. 4. O vetor AB é tal que A = (2x + 1, 3y - 2) e B = (x, y). Se o vetor equivalente, localizado na origem é v = (-4, 12), determine os valores de x e y. 5. Determine o módulos dos seguintes vetores: v1 = (2, -3), v2 = (-3, 4), v3 = (2, 2, 1), v4 = (3,

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4, -12) e v5 = (5, 1, 5). 6. Determine o valor de "m" se o módulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v| = 13.

5 - ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Definição 1- Adição de Vetores: Dados os vetores u = (u1, u2, u3, ..., un) e v = (v1, v2, v3, ..., vn), de R

n, define-se o vetor soma s = u + v, tal que s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) A adição de vetores goza das seguintes propriedades: P1) u + v = v + u (comutatividade) Temos: u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, ..., un + vn) = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3, ..., vn + un) (comutatividade da adição de números reais) = v + u. P2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade) P3) Vetor nulo, simbolizado por 0 = (0, 0, 0, ...0), tal que 0 + v = v + 0 = v. P4) Vetor simétrico. Para cada vetor v, existe o vetor -v, simétrico a v, tal que v + -v = -v + v = 0. Conseqüência: o simétrico de u = (u1, u2, u3, ..., un) é -u = (-u1, -u2, -u3, ..., -un). Os vetores u e -u têm a mesma direção, o mesmo módulo, porém, seus sentidos são opostos. P5) O módulo da soma de dois vetores não é igual à soma dos módulos dos dois vetores. Definição 2 - Multiplicação por escalar - Sejam: o vetor v = (v1, v2, v3, ..., vn) de Rn e o escalar r ∈ R. Define-se o produto do escalar r pelo vetor v, como sendo o vetor rv, tal que rv = (rv1, rv2, rv3, ..., rvn).

A multiplicação de um escalar por um vetor goza das propriedades: P6) rv = vr. (comutatividade) P7) r.(u + v) = ru + rv. (distributividade em relação à adição de vetores) P8) (r + s).v = rv + sv. (distributividade em relação à adição de escalares). P9) 1.v = v P10) 0.v = 0. P11) -1.v = -v. P12) rv é paralelo a v, sendo r um número real. P13) (r.s)v = r.(s.v)

EXERCÍCIOS 1) Demonstre as propriedades P2 a P8.

2) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal que: a) x = u + v b) x = 3u + 2w c) x = 2u - v d) x = 2 (u + v) + 3w e) x = 2 (3u + 2w) - 3 (5v) e) u + 2v = x - w f) 3 (u + 2x) = 4x + 2w 3) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine o módulo do vetor 3u - 4v + 2w.

6 - VETOR UNITÁRIO NUMA DIREÇÃO DADA A partir da multiplicação de um escalar por um vetor, pode-se definir um vetor unitário, vetor esse que têm o mesmo sentido que um vetor w, tal que w = | w |. , ou seja, = w / | w |. Tomando, por exemplo: w = (3, 4, -12), teríamos, e = (3/13, 4/13, -12/13). Costuma-se usar vetores unitários cujas direções com as direções positivas dos eixos

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cartesianos. Para o plano, esses unitários são indicados por usa-se i e j (fig.1), tais que i = (1, 0) e j = (0, 1). Ao aplicar essa notação para um vetor v = (a, b), teremos v = a.(1, 0) + b.(0, 1) = ai + bj. Em R3, os unitários são indicados por i, j e k (fig.2), onde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1). Um vetor como v = (a, b, c) é indicado como v = ai + bj + ck.

EXERCÍCIOS 1. Escreva o vetor unitário na direção de: a) (3, 4) b) (-8, 6) c) (1, 2, 3) d) (-3, 12, -4) 2. Determine o vetor w, tal que w = 3u + 2v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 3. Calcule o módulo dos vetor 3u + v, se u = 3i - 2j + 5k e v = -5i + 6j - 3k. 4. Calcule o vetor unitário na direção do vetor 3u + v, determinado no exercício 3.

7 - PRODUTO ESCALAR

Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) dois vetores, que formam um ângulo θ. Define-se o produto escalar de u por v, que é simbolizado por u.v como sendo o escalar (número real) | u |.| v |. cos θ. Observe que esse produto é indicado por um ponto. Não pode ser usado o sinal X pois este será utilizado para outro tipo de produto. O produto escalar é usado em muitas definições de grandezas físicas, como por exemplo o trabalho que é definido pelo produto (vetor força) . (vetor deslocamento). Força e deslocamento são duas grandezas vetoriais, mas o trabalho é uma grandeza escalar. Para obter o produto escalar em função das coordenadas dos vetores, multipliquemos inicialmente os unitários: i.j = i.k = j.k = 1.1.cos 90º = 1.1.0 = 0 e i.i = j.j = k.k = 1.1.cos 0º = 1.1.1 = 1. Escrevendo os vetores u e v em termos dos unitários, o produto u.v fica: (x1i + y1j + z1k).(x2i + y2j + z2k) = x1x1i.i + x1y2i.j + x1z2i.k + y1x2j.i + y1y2j.j + y1z2j.k + z1x2k.i + z1y2k.j + z1z2k.k = x1x1.1 + x1y2.0 + x1z2.0 + y1x2.0 + y1y2.1 + y1z2.0 + z1x2.0 + z1y2.0 + z1z2.1 = x1x2 + y1y2 + z1z2. Esta expressão para o produto escalar pode ser estendida a vetores com qualquer número de coordenadas. Assim,

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Pela definição | u |.| v |. cos θ é fácil verificar que se u e v são dois vetores perpendiculares, o produto escalar é nulo pois cos 90º = 0.

Exemplos: (1) Se u = (2, 3, 4) e v = (-2, 4, 5) então u.v = 2.(-2) + 3.4 + 4.5 = -4 + 12 + 20 = 28 (observe que o resultado é um número). (2) Os vetores u = (2, -3, 4) e v = (5, 2, -1) são perpendiculares pois u.v = 2.5 + 3.(-2) + 4.(-1) = 10 - 6 - 4 = 0. 8. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Para o produto escalar são válidas as propriedades: P1. u.v = v.u (comutatividade) P2. u.v = 0 ⇔ u ⊥ v. P3. (u.v).w é um vetor, pois (u.v) é um escalar e (u.v).w é o produto de um escalar por um vetor. P4. (u.v).w ≠≠≠≠ u.(v.w) pois (u.v).w é um vetor na direção de w e u.(v.w) é um vetor na direção de u. P5. s.(u.v) = (s.u).v EXERCÍCIOS 1. Efetue as operações abaixo para u = (1, 4, 5), v = (3, 3, -2) e w = (-5, 7, 1). a) u.v b) w.u c) 3u.2w d) (3u - 4v).(5w) e) (u.v).w f) u.(v.w)

9 - PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial, como o próprio nome diz, é uma multiplicação de dois vetores onde o resultado será também um vetor. Para indicar o produto vetorial de u por v escrevemos u x v ou u ∧ v (nesta última notação lê-se u vec v. Os sinais x ou ∧ são usados para o produto vetorial e não podem ser substituído pelo ponto (.) que é usado para o produto escalar.

u x v = u ∧ v significa um produto vetorial

u.v é usado para produto escalar.

É importante observar que quando se tratar de multiplicação de dois números (escalares) ou de escalar por vetor, podem ser usados indistintamente o ponto e o x. Entretanto, não se usa o sinal ∧ quando estiver algum escalar envolvido na multiplicação. Algumas grandezas físicas que apresentam características vetoriais são resultados de um produto de dois vetores pode resultar em um vetor. Por exemplo: (i) o torque ou momento de uma força, que é definido por M = r x F onde r é o raio que define a posição do ponto de aplicação da força F e (ii) uma corrente em um campo magnético. Sobre o condutor da corrente atuará uma força F = (i x B).L, sendo i a corrente, B o campo magnético e L o comprimento do condutor inserido no campo magnético. Nestes produtos, M e F são vetores perpendiculares ao plano formado pelos outros dois vetores. O Produto vetorial u x v é definido como sendo um vetor que apresenta as seguintes características: MÓDULO: | u |.| v |. sen θθθθ, onde θθθθ é o ângulo formado pelos dois vetores. DIREÇÃO:- perpendicular ao plano formado por u e v. SENTIDO:- determinado pela regra da mão direita, conforme mostra a figura abaixo:

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Com a mão direita aberta, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da mão indicará o sentido do produto.

O produto vetorial pode ser calculado a partir das coordenadas dos mesmos. Para isso, vejamos os produtos dos vetores unitários i, j e k. Veja a fig. 2 (unitários no espaço tri-dimensional) da aula anterior. O ângulo formado por i com j, j com k e i com k é 90º e o ângulo de i com i, j com j e k com k é 0º. Assim, temos: i x j = k; j x i = - k; i x k = - j; k x i = - j; j x k = i ; k x j = -i ; i x i = j x j = k x k = 0. Note que o módulo de i x j é 1.1.sen90º = 1, o sentido de i x j se obtém usando a regra da mão direita. Da mesma forma se obtém, j x i , j x k, k x j, i x k e k x i .

Para i x i, j x j, k x k, teremos: 1.1.sen0º = 0. Multiplicando u = x1i + y1 j + z1k por v = x2i + y2 j + z2k, temos: x1x2v(i x i) + x1y2(i x j) + x1z2(i x k) + y1x2( j x i ) + y1y2( j x j) + y1z2( j x k) + z1x2(k x i) + z1y2(k x j) + z1z2(k x k). Aplicando os produtos dos unitários e isolando os termos com i , j, k, resulta: (y1z2 - y2z1)i + (z1x2 - x1z2) j + (x1y2 - x2y1)k. Não indicando os unitários podemos concluir que:

Um algoritmo simples pode ser usado para se obter o produto anterior. (1) Escreve-se as coordenadas do segundo vetor debaixo das coordenadas do 1º vetor. (2) repete-se, à frente, as duas primeiras colunas. (3) elimina-se a primeira coluna. (4) efetua-se os produtos conforme indicados pelas linhas. Observe as cores e as posições dos produtos na figura a seguir.

10. PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL Para o produto escalar são válidas as propriedades: P1. u x v = -(v x u) (anti-comutativa) P2. r.(u x v) = (ru) x v P3. u x v = 0 ⇔ u = rv ⇔ u // v. P4. (u x v) x w ¹ u x (v x w) (anti-associativa) EXERCÍCIOS:

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1 - Prove que u . v = v . u e (u . v) . w = u . (v . w). 2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial não é comutativo e nem associativo. 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule: ( a ) u . v ( b ) u x w ( c ) (u . v) . w ( d ) u x (v . w) ( e ) (u x v) . w ( f ) 2u x 3w ( g ) u . 2w + 3u . 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u . 3w ( k ) u . (v . w) ( m ) u x (v . w) 4 - Determine o co-seno do ângulo formado pelos vetores u e v dados no exercício 3. 5 - Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores (3, -4, -6) e (8, 5, 0). 6 - Calcule o módulo de (3, -4, -6) x (8, 5, 0). 7 - Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y. 8 - A operação u . v + u x v é possível ou não. Justifique sua resposta. 9 - A operação u. [(v + u) x v] é possível ou não. Justifique sua resposta. O resultado é um vetor ou um escalar?

10 - PRODUTO MISTO O produto misto de três vetores consiste na combinação de produtos escalares e vetoriais. Podemos ter as seguintes formas: (1) u.(v x w) e (2) (u.v) x w. Na forma (1), ao efetuar o produto (v x w) o resultado será um vetor que ao multiplicar escalarmente por u resultará em um escalar. Temos para essa forma: quando u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3), v x w = (y2z3 - z2y3, z2x3 - x2z3, x2y3 - y2x3) e u.(v x w) = x1.y2z3 - x1z2y3 + y1z2x3 - y1x2z3 + z1x2y3 - z1y2x3 que é um escalar igual ao determinante da matriz

Para a forma (2), u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2 que é um escalar. Assim, (u.v) x w = (x1x2 + y1y2 + z1z2).(x3, y3, z3) que é um vetor. No caso de (u.v) x w, o sinal x pode normalmente ser substituído pelo ponto. 11. ALGUMAS OBSERVAÇÕES SOBRE O PRODUTO u.(v x w) I. u.(v x w) ≠ (u.v) x w o primeiro um escalar e o segundo um vetor. II. u.(v x w) = (u x v).w III. Permutações circulares dos três vetores não modifica o produto, isto é: u.(v x w) = v.(w x u) = w.(u x v). IV. A troca da ordem de dois vetores modifica o sinal do produto, isto é: v.(u x w) = u. (w x v) = w.(v x u) = -u.(v x w).

12. PRODUTO DUPLO Dois são os casos em que ocorrem um triplo produto: (1) (u.v).w = (u.v) x w que, conforme visto anteriormente, é um vetor. (2) (u x v) x w - denominado duplo produto vetorial, que resulta em um vetor perpendicular ao plano formado por (u x v) e w. Para o duplo produto vetorial, (u x v) x w ≠ u x (v x w), pois o primeiro é perpendicular ao plano formado por (u x v) e w e o segundo é perpendicular ao plano formado por u e (v x w). Como (u x v) é um vetor perpendicular ao plano formado por u e v, (1) se w é paralelo ao plano de u e v então: (u x v) . w = 0, pois ele é perpendicular a u x v. (2) se w é perpendicular ao plano formado por u e v, então w = k.(u x v), k é um número real, pois w é paralelo a u x v.

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EXERCÍCIOS: 1. Considere os vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), w = (-3, -4, 1). Calcule: a) (u.v).w b) u.(v.w) c) w.(u.v) d) u x (v.w) e) u x (v x w) f) (u x v) x w g) w x (u x v). 2. Sabe-se que w = (2, 3, a) é paralelo ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5). Calcule o valor de "a". 3. Se w = (x, 2x + 1, 3) é perpendicular ao plano formado pelos vetores u = (6, 6, 1), v = (2, 3, 5), calcule o valor de x.

EXERCÍCIOS: 1 - Prove que u . v = v . u e (u . v) . w = u . (v . w). 2 - Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial não é comutativo e nem associativo. 3 - Sejam u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1) três vetores. Calcule: ( a ) u . v ( b ) u x w ( c ) (u . v) . w ( d ) u x (v . w) ( e ) (u x v) . w ( f ) 2u x 3w ( g ) u . 2w + 3u . 4v ( h ) u x (w x v) ( i ) (u x w) x v ( j ) 2u . 3w ( k ) u . (v . w) ( m ) u x (v . w) 4 - Determine o co-seno do ângulo formado pelos vetores u e v dados no exercício 3. 5 - Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores (3, -4, -6) e (8, 5, 0). 6 - Calcule o módulo de (3, -4, -6) x (8, 5, 0). 7 - Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) é paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x, e y. 8 - A operação u . v + u x v é possível ou não. Justifique sua resposta. Se possível, o resultado é um vetor ou um escalar? 9 - A operação u. [(v + u) x v] é possível ou não? Justifique sua resposta. Se possível, o resultado é um vetor ou um escalar? 10 - Calcule o vetor unitário na direção de (u.v) x w, se u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1).

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CAPÍTULO 2 - APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA VETORIAL

1 - DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos no espaço R

3. A distância entre os pontos A e B é igual ao módulo do vetor AB, que, conforme visto no capítulo 1, se determina por

, onde x = x2 - x1, y = y2 - y1 e z = z2 - z1.

No plano a distância entre os pontos (x1, y1) e (x2, y2) é .

2 - ÁREA DE UM TRIÂNGULO A área do triângulo é determinada por: A = b.h/2, que para o triângulo PQR torna-se A = (1/2)PR.QS.

No triângulo PQR, tem-se: h = PQ.sen θ. Assim, a área é A = (1/2)PR.PQ.sen θ.

Ora, PR é o módulo do vetor u e QS o módulo do vetor v. Portanto, A = (1/2).| u |.| v |.sen θ. O produto | u | . | v | . sen θ é exatamente o módulo do produto vetorial de u por v. Portanto, temos A = (1/2). | u x v |. Exemplo:- Calcular a área do triângulo de vértices A = (1, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). Façamos u = B - A e v = C - A. Desta forma teremos: u = (5 -1, -3 - 2, 7 - 5) e v = (0 -1, -4 - 2, -2 - 5) ==> u = (4, -5, 2) e v = (-1, -6, -7). Calculando u x v obtém-se: u x v = (47, 26, -29) cujo módulo é . A área do triângulo é então: . Obs.1 - Para encontrar a área do triângulo A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3), onde os lados são pontos do plano, complete as coordenadas com z1 = z2 = z3 = 0 e aplique o mesmo raciocínio anterior. Obs. 2 - A área do quadrilátero ABCD equivale à soma das áreas dos triângulos ABC e ACD. 3 - PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Dados os pontos A (x1, y1) e B (x2, y2), o ponto médio é aquele que divide o segmento em dois segmentos cujas medidas são iguais á metade da medida do segmento AB. Na figura a seguir, M(xm, ym) é o ponto médio do segmento AB.

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Pela semelhança dos triângulos ABB' e AMM' podemos escrever: AM / AB = AM' / AB' ==> 1 / 2 = (xm - x1) / (x2 - x1) ==> 2xm - 2x1 = x2 - x1 ==> 2xm = x2 + x1 ==> xm = (x2 + x1)/2. Pela semelhança dos triângulos BAB' e BMM' tira-se BM / BA = BM' / BB' ==> 1 / 2 = (y2 - ym) / (y2 - y1) de onde se conclui ym = (y2 + y1)/2. Portanto, o ponto médio do segmento AB, com A (x1, y1) e B (x2, y2), é [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2]. O raciocínio pode ser estendido para o espaço R3, sendo [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2] as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2). EXERCÍCIO 1. Calcule a área do triângulo formado pelos pontos médios dos lados do triângulo ABC sendo A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). 2. Calcule a área e o perímetro do triângulo ABC se A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2). 3. Note que o triângulo ABC dos exercícios 1 e 2 é o mesmo. Compare as áreas obtidas nos dois exercícios. Que conclusão se pode tirar a respeito da área de um triângulo e da área do triângulo formado pelos pontos médios desse triângulo? 4. Calcule as medidas das medianas do triângulo de vértices A = (3, 2, 5), B = (5, -3, 7) e C = (0, -4, -2).

4. PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREÇÃO DADA Consideremos o vetor v = (x1, y1, z1), que faz um ângulo θ com a reta r, conforme indicado na figura 1 abaixo. O módulo da projeção de v sobre a reta é |w| = |projr v| = |v|.cos θ. O vetor w é então w = |w|.u, onde u é o vetor unitário que define a direção da reta r. Temos então: w = |v|.cos θ.|u|.u, pois |u| = 1. Como |v|.cos θ.|u| = |v.u|, pode-se concluir que: |projr v| = |v.u| e projr v = |v.u|.u.

Aplicação: Seja v = (6, -9, 8) um vetor e u = (3, 4, 12) um vetor que define a direção de uma reta. A projeção de v sobre a reta é projr v = |v.uu|.uu, onde uu é o unitário na direção de u. O módulo do vetor u é |u| = (32 + 42 + 122)1/2 = 13. Portanto, uu = (3/13, 4/13, 12/13). Temos então v.u = 6.3/13 -9.4/13 + 8.12/13 = 108/13. De onde se tira finalmente: projr v = (108/13).(3/13, 4/13, 12/13) = (324/13, 432/13, 1286/13). 5. ÂNGULO DE DOIS VETORES Sejam u e v dois vetores que formam um ângulo θ, conforme indicado na figura 2 acima. Pela definição do produto escalar: u.v = |u|.|v|.cos θ. Desse produto tiramos cos θ = u.v/|u|.|v|. EXERCÍCIOS 1. Mostre que, se v = (x1, y1, z1) e u = (x2, y2, z2), a projeção de v na direção definida por u é dada por (x1x22 + y1y2x

2 + z1z2x2, x1x2y22 + y1y2

2 + z1z2y2,x1x2z2 + y1y2z2 + z1z2

2)/(x22 + y2

2 + z22).

2. Calcule o módulo da projeção do vetor (2, 3, 4) sobre a reta definida pela direção (1, 1, 1).

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3. Determine a projeção do vetor (-9, 3, 7) sobre a reta definida pelo unitário (3/13, 4/13, 12/13). 4. Calcule o menor ângulo formado pelo vetores (5, 4, -1) e (2, 3, 4). 5. Calcule o menor ângulo formado pelos vetores (2, 1, 2) e (6, 3, 6). 6. Calcule o menor ângulo formado pelos vetores (5, 7, 6) e (2, 2, -4). 7. Calcule os ângulo do triângulo de vértices A = (1, 2, 3), B = (-5, 1, 2) e C = (7, -3, 6).

6. VOLUME DO PARALELEPÍPEDO

Consideremos os vetores u, v e w que definem as direções das arestas de um paralelepípedo e cujos módulos são iguais às medidas destas arestas. O produto u x v é um vetor perpendicular ao plano formado por u e v. Conforme já foi visto, o produto (1/2) |u x v| é igual à área do triângulo formado pelas duas arestas AB e AC. Assim, |u x v| é igual à área do paralelogramo que constitui a base do paralelepípedo. A altura do paralelepípedo é igual ao módulo da projeção da aresta AD sobre a direção definida pelo vetor u x v.

O volume do paralelepípedo é então V = |u x v|.h = |u x v|.|w|.cos θ = |(u x v).w|

Portanto, V = |(u x v).w|. Obs.: Use o aplicativo para produto misto no cálculo do volume. EXERCÍCIO 1. Três arestas de um paralelepípedo são determinadas pelos vetores u = (2, 3, 4), v = (5, -2, 4) e w = (4, 10,-3). Calcule o seu volume. 2. Quatro vértices consecutivos de um paralelepípedo são A = (1, 4, 12), B = (6, -8, 14), C = (-5, 12, 6) e D = (9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelepípedo. 3. Mostre que os pontos (2, 3, -1), (0, 3, 4), (4, -1, 2) e (-2, 4, 7) são co-planares (pertencem ao mesmo plano). Sugestão: verifique que o volume do paralelepípedo onde os quatro pontos são vértices consecutivos é nulo. 4. Os vértices de uma pirâmide de base triangular são os pontos A = (1, 4, 12), B = (6, -8, 14), C = (-5, 12, 6) e D = (9, 18, 15). Se o volume da pirâmide é um terço do volume do prisma de igual base e igual altura, calcule o volume da pirâmide. 5. Um prisma de base triangular tem base ABC, onde A = (6, 6, 1), B = (2, -10, 11) e C = (-4, 9, 7). O vértice D da aresta AC é D = (18, 7, 15). Calcule o volume desse prisma.

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CAPÍTULO 3 - A RETA EM R2 E R3

1 - EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO A reta tem como equação uma função de primeiro grau, podendo se apresentar sob diversas formas. Entre as formas iremos analisar: as paramétricas, a reduzida, a geral e a segmentária. Seja então a reta apresentada na figura abaixo:

(1) Equações paramétricas Uma reta fica perfeitamente definida se conhecermos um de seus pontos e uma direção paralela a ela. Sejam então: A(xo, yo) um ponto da reta, u = (a, b) um vetor paralelo à reta e P(x, y) um ponto genérico dessa reta. (fig. 1) Como a reta r é paralela ao vetor u, podemos escrever: P - A = λ .u ⇔ ⇔ (x - xo, y - yo) = λ.(a, b) ⇔ x - xo = λa e y - yo = λb ⇒

que são as equações paramétricas da reta.

Exemplos:- 1 - Escrever a equação da reta que passa pelo ponto (2, -4) cuja direção é definida pelo vetor (5, 3). Solução:- A solução é imediata de acordo com o que foi visto acima. Resposta: x = 2 + 5λ e y = -4 + 3λ.

2 - Verifique se o ponto (3, - 8) pertence ou não à reta x = -2 + λ e y = 4 + 2λ. Solução:- Para que (3, -8) pertença à reta, estas coordenadas devem verificar as duas equações. Na primeira equação: 3 = -2 + λ ⇒ λ = 5. Levando esse valor para a segunda equação resulta: y = 4 + 2.5 = 14. Como y deve ser igual a -8, o ponto não pertence à reta.

3 - Construa o gráfico da reta x = -2 - 3λ e y = 7 + 2λ. Solução:- Para construir o gráfico basta determinar dois pontos da mesma. Para isso, atribui-se valores para λ e calcula-se os valores de x e y. Assim, para λ = 0, temos: x = -2 - 3.0 = -2 e y = 7 + 2.0 = 7. Para λ = -1, x = -2 - 3.(-1) = 1 e y = 7 + 2.(-1) = 5. Temos assim dois pontos (-2, 7) e (1, 5). Marcando esses pontos no sistema de eixos cartesianos, e ligando-os por uma reta teremos o gráfico construído.

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4 - Dê um vetor v da forma (9x, 12) que seja paralelo à reta x = -2 + 3λ e y = 7 - 2λ. Solução:- Um vetor paralelo à reta é u = (3, -2), tirado da própria equação. Ora, se v é paralelo à reta então v é paralelo a u. Assim v = ku ⇒ (9x, 12) = k(3, -2) ⇒ -2k = 12 e 3k = 9x. De -2k = 12 tira-se k = -6 que levado em 3k = 9x ⇒ -18 = 9x ⇒ x = -2. O vetor é então (-18, 12). .

(2) Equação segmentária Eliminando o valor de nas equações paramétricas obtém-se:

que é a equação segmentária da reta.

Nesta forma, (a, b) é um vetor paralelo à reta e (x0, y0) é um ponto conhecido. (3) Equação reduzida Da equação segmentária da reta, tiramos bx - bxo = ay - ayo ⇒ ay = bx - bxo + ayo ⇒ y = (b/a)x + (ayo - bxo). Fazendo b/a = m e ayo - bxo = h, resulta: y = mx + h . Esta forma de apresentação da equação da reta é chamada de forma reduzida. Observe que m = b/a é a tangente do ângulo que o vetor (a, b) forma com o eixo positivo dos x. O coeficiente m (= b/a) é chamado de inclinação, ou coeficiente angular ou declividade da reta. Além disso, se fizermos x = 0, resulta y = h, de onde se conclui que (0, h) é o ponto onde a reta corta o eixo vertical. O parâmetro h é chamado de parâmetro linear da reta. Com relação ao vetor que define a direção da reta, podemos escrever (1, b/a) = (1, m) é paralelo a a.(1, b/a) = (a, b). Ou seja, o vetor (1, m) é paralelo à reta y = mx + h. (4) Equação geral Da expressão bx - bxo = ay - ayo podemos obter bx + (-a)y + ayo - bxo = 0. Substituindo b por A, (-a) por B e ayo - bxo por C, a igualdade anterior fica Ax + By + C = 0. Esta forma é chamada equação geral da reta. Se considerarmos dois vetores (A, B) e (a, b), seu produto escalar é Aa + Bb. Como foi feito A = b e B = -a, teremos Aa + Bb = ba + (-a)b = ba - ab = 0 ⇒ (A, B) é perpendicular a (a, b). Como (a, b) é paralelo à reta, podemos concluir que (A, B) é um vetor perpendicular à reta Ax + By + C = 0. EXERCÍCIOS: 1 - Seja x = 3 + 4λ e y = -5 + 2λ as equações paramétricas da reta. Escreva as equações simétricas, reduzida e geral para essa mesma reta.

2 - Seja y = 2x - 7 e 4x + 3y + 2 = 0 as equações reduzida e geral de duas retas. Escreva as demais formas de equações dessas retas.

3 - Dê um vetor paralelo à cada uma das retas abaixo: (a) x = -5 + 6λ e y = 8 - 3λ (b) (x - 2)/5 = (y + 7)/3 (c) y = 2x + 5 (d) 3x + 4y + 5 = 0

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4 - Construa o gráfico de cada uma das retas citadas no exercício 3.

5 - Dê um vetor perpendicular a cada uma das retas citadas no exercício 3.

6 - O vetor (k + 1, 7) é perpendicular à reta (i) 3x + 4y + 5 = 0, (ii) y = 2x - 5 (iii) (x - 2)/5 = (y + 7)/3 (iv) x = -5 + 6λ e y = 8 - 3λ . Determine, para cada caso, o valor de k.

7 - Escreve, na diferentes formas da reta, a equação da reta que satisfaça as condições: (a) passa pelo ponto (-8, 9) e é paralela ao vetor (4, -2) (b) passa pelo ponto (5, -4) e é perpendicular ao vetor (7, -1)

8 - Calcule a área e o perímetro do triângulo cujos lados são segmentos das retas y = 2x - 9, 3x + 4y - 1 = 0 e (x - 1)/2 = (x + 1)/3.

2 – PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2

As condições de paralelismo e perpendicularismo de duas retas podem ser analisadas a partir dos vetores paralelos ou perpendiculares às retas.

Lembrando: (i) Dadas as equações x = xo + aλ e y = yo + bλ, (a, b) é um vetor paralelo à reta. (ii) Na forma Ax + By + C = 0, (A, B) é um vetor perpendicular à reta. (iii) Na forma y = mx + h, m = a/b, sendo (a, b) o vetor paralelo à reta. (iv) Para duas retas paralelas, seus vetores (a, b) e (a’, b’) são da forma (a’, b’) = k(a, b) onde k é um número real. (v) Para duas retas perpendiculares, os vetores (a, b) e (a’, b’) também serão perpendiculares. Neste caso, o produto escalar é nulo, ou seja aa’ + bb’ = 0.

Usando as condições acima, é simples verificar se duas retas são paralelas ou perpendiculares, bem como encontrar uma reta que seja paralela ou perpendicular a outra reta dada.

Exemplo 1 – Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2, 7) e que seja paralela à reta cujas equações paramétricas são: x = 4 - 2λ e y = 5 + 3λ. Solução:- Como a reta é paralela à reta dada, o vetor que define a direção de ambas é (-2, 3). Temos então: x = 2 - 2λ e y = 7 + 3λ.

Exemplo 2 – Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 5) e é paralela à reta y = 4x + 3. Solução:- Como m = 4, temos 4 = a/b. Como a reta passa pelo ponto (-2, 5), teremos: 5 = 4.(-2) + h � h = 13. Portanto, a equação da reta será y = 4x + 13.

Exemplo 3 – Determine a equação da reta paralela à 3x – 2y + 4 = 0, que passa pelo ponto (1, 7). Solução:- (3, – 2) é um vetor perpendicular à reta dada. Como se quer uma reta paralela à primeira, este vetor também será perpendicular à reta cuja equação se quer determinar. Assim, 3.1 – 2.7 + C = 0 � C = 11 � 3x – 2y + 11 = 0.

Exemplo 4 – Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto (2, -1), que seja perpendicular à reta r: 3x + 2y + 5 = 0. Solução:- O vetor (3, 2) é perpendicular à reta r, portanto, é paralelo à reta s. Assim, a equação da reta é x = 2 + 3λ e y = -1 + 2λ..

Exemplo 5 – Escreva a equação da reta s que passa pelo ponto (2, -1), perpendicular à reta x = 2 + 4λ e y = 5 - 3λ. Solução:- O vetor (4, -3) é paralelo à reta dada. Portanto, perpendicular à reta pedida. O vetor paralelo à reta pedida (a, b) deve ser tal que (a, b).(4, -3) = 0. Quaisquer valores de a e b que satisfaçam o produto, pode ser usado como vetor paralelo à reta. Pode-se então fazer a = 3 e b = 4, pois 3.4 + 4(-3) = 0. Assim, a equação da reta pedida é x = 2 + 3λ e y = -1 + 4λ.

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EXERCÍCIOS: 1. Considere a reta r, dada por suas equações paramétricas: x = 3 - 2λ e y = -5 + 4λ. Escreva, nas formas reduzida e segmentária, a equação da reta que passa pelo pontos (-2, 3), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 2. Considere a reta r, dada sob a forma reduzida y = (2/3)x - (4/5). Escreva, na forma geral e paramétrica, a equação da reta que passa pelo ponto (-1, -5), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 3. Considere a reta r, dada sob a forma geral, 3x - 2y + 6 = 0. Escreva nas formas geral, reduzida e paramétrica, a equação da reta que passa pelo ponto (2, 5), sendo a mesma: a) paralela a r b) perpendicular a r. 4. Uma reta r passa pelo ponto (-4, 1) e tem sua direção definida pelo vetor (4, 5). Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1, -2) se a mesma é: a) paralela a r b) perpendicular a r.

3– A RETA NO ESPAÇO R3

Para o espaço tridimensional são consideradas três coordenadas (x, y, z). A determinação da equação de uma reta nesse espaço tem as mesmas características que a equação da reta no espaço R2, diferenciando apenas no número de coordenadas. Sejam então, (1) um ponto (x0, y0, z0) conhecido, (2) o vetor v = (a, b, c) paralelo à reta r e (3) (x, y, z) um ponto genérico da reta r, conforme indicados na figura abaixo.

O vetor u = (x - x0, y - y0, z - z0), por ser paralelo a v = (a, b, c), é tal que u = λv, o que permite escrever: (x - x0, y - y0, z - z0) = λ.(a, b, c) = (aλ, bλ, cλ). Aplicando a definição de igualdade de vetores, conclui-se: x - x0 = aλ ⇔ x = x0 + aλ; y - y0 = bλ y = y0 + bλ e z - z0 = cλ z = z0 + cλ. As equações: x = x0 + aλλλλ y = y0 + b λλλλ z = z0 + cλλλλ, são denominadas equações paramétricas da reta.

Explicitando λ nas equações pode-se também escrever

que constituem as equações segmentárias da reta.

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É importante não esquecer que (a, b, c) é um vetor paralelo à reta enquanto que (x0, y0, z0) é um ponto da reta. 4– POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. A figura a seguir mostra diversas retas no espaço tridimensional, ou seja, em R3.

Na figura o vetor u define as direções de retas como u e t, enquanto que r define a direção da reta r. O vetor u é perpendicular ao vetor v. Assim, o produto escalar u.v é nulo. Entretanto, as retas r e u são perpendiculares enquanto que as retas r e t são ortogonais. Para que as retas sejam perpendiculares, além do produto u.v ser nulo, o sistema formado pelas equações das duas retas deve ter solução única. No caso de serem ortogonais, não concorrentes, a solução do sistema formado pelas duas retas não deve ter solução. Para retas paralelas, os vetores que definem suas direções também serão paralelos. Assim, se s e w são os vetores que definem as direções das retas, deve-se ter s = k.w. Quando, as retas não são paralelas e o produto escalar dos vetores que definem suas direções não for nulo, as retas serão concorrentes obliquas se o sistema apresentar solução única ou serão reversas oblíquas se o sistema não tiver solução.

EXERCÍCIOS

1 - Escreva a equação da reta cuja direção é definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo ponto (-2, 3, 4).

2 – Escreva, na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto (3, 4, 2), paralela à reta: x = 3 + 2λ y = -4 + 7λ z = -5 - 3λ.

3 – Considere os pares de retas abaixo. Informe a posição de uma em relação à outra. a) (x – 3)/2 = (y + 2)/-3 = (z – 5)/4 e [x = 4 – 8λ ; y = 10 + 12λ ; z = 15 – 16λ] b) [x = 1 + 2λ ; y = 4 + 3λ ; z = - 3 + 4λ] e [x = 9 + 3λ ; y = -7 + 2λ ; z = 2 - 3λ] c) [x = 1 + 2λ ; y = 4 + 3λ ; z = - 3 + 4λ] e [x = 2+ 3λ ; y = 5 + 2λ ; z = (-5/3) - 3λ]

4 – Ache o valor de a para que as retas (x – 3)/2 = (y + 2)/-3 = (z – 5)/4 e [x = 1 + 2λ ; y = 4 + 3λ ; z = a + 4λ] sejam concorrentes. 5 - Dê um vetor na forma (20, n, m) que seja paralelo à reta (x - 2)/4 = (y - 1)/3 = (z + 4)/(-2).

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6 - Dê um vetor na forma (a, b, 15) que seja paralelo à reta x = -3 + 4λ, y = 2 - 3λ, z = 5 + 2λ. 7 - Dê um ponto que pertença à reta do exercício 05 e outro que pertença à reta do exercício 6. 8 - Determine um vetor na forma (5, 2a - 1, a) que seja perpendicular à reta do exercício 5. 9 - Determine um vetor na forma (2a + 2, 3a, 1), que seja perpendicular à reta do exercício 6. 10 - Determine a equação da reta, nas formas paramétricas e segmentária, que passa pelos pontos (2, 1, 2) e (5, -1, 7). 11 - Verifique se o ponto (6, -1, 0) pertence à reta que passa pelos pontos (4, -2, 3) e (5, 1, 5). 12 - Sejam A = (7, -13, 6), B = (4, -4, 5) e C = (9, -19, 2). Entre eles, qual (ou quais) passa (ou passam) pela reta que contém os pontos (3, -1, 2) e (2, 2, 1). 13 - Determine a equação da reta suporte da mediana relativa ao lado AB do triângulo de vértices A = (7, -13, 6), B = (4, -4, 5) e C = (9, -19, 2).

5 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R3 Consideremos: (1) a reta r: x = x0 + aλ, y = y0 + bλ, z = z0 + cλ onde P = (x0, y0, z0) é um ponto da reta e v = (a, b, c) o vetor que define a direção dessa reta, e (2) o ponto Q = (x1, y1, z1), conforme figura a seguir:

Seja então, determinar a distância do ponto Q = (x1, y1, z1) à reta r.

A distância do ponto à reta equivale ao módulo do vetor QR, tal que QR ⊥ r. Do triângulo retângulo PQR tiramos |QR| = d = |PQ|. sen θ.

Sendo u o unitário na direção de v, temos que d = |u|.|PQ|. sen θ, pois |u| = 1. Como u = v/|v|, resulta, para a igualdade acima: d = |v/|v||.|PQ|. sen θ = (1/|v|).|v|.|PQ|.sen θ. Da álgebra vetorial vimos que |v|.|PQ|.sen θ é o módulo do produto vetorial v x PQ.

Desta forma podemos escrever:

Exemplo: Calcular a distância do ponto (2, -5, 7) à reta x = 4 + 3λ, y = -6 + λ, z = 2 - 4λ. Temos, de acordo com o exposto acima: ponto da reta P = (4, -6, 2), vetor que define a direção da reta v = (3, 1, -4) e ponto fora da reta Q = (2, -5, 7).

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Calculando o vetor PQ = Q - P = (2 - 4, -5 + 6, 7 - 2) = (-2, 1, 5). O produto v x PQ é (-9, 7, 5).

6 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R2

A reta em R2 tem formas como y = mx + h e os pontos são dados na forma (x1, y1) ou seja, com apenas duas coordenadas. Podemos entretanto, considerar ambos como do espaço tridimensional onde z = 0. Assim, a reta seria indicada pelas equações y = mx + h e z = 0 enquanto o ponto seria indicado por (x1, y1, 0). Para obter o ponto da reta e o vetor que define sua direção podemos escrever a equação da reta na forma: x = 0 + λ y = h + mλ z = 0. (0, h, 0) é o ponto da reta enquanto que v = (1, m, 0) é o vetor que define a direção da mesma. Considerando P = (x1, y1, 0), ponto fora da reta, Q = (0, h, 0) ponto da reta, tiramos: PQ = (-x1, h - y1, 0) e em conseqüência: u x PQ = (0, 0, h - y1 - mx1) cujo módulo é |u x PQ | = |h - y1 - mx1| = |mx1 + y1 - h|.

EXERCÍCIOS:-

1 - Determinar a distância do ponto (3, -5) a cada uma das retas abaixo: a ) x = 2 - 3λ e y = 1 + λ b ) x + y – 1 = 0 c) y = 2x + 1 d) (x – 3)/2 = (y + 1)/1

2 – Determinar a distancia do ponto (1, 1, -1) à reta: a) x = 1 + λ, y = -1 + 2λ, z = 2 - λ b) (x – 3 )/1 = (y – 4)2 = (z + 1)/2

3 – Prove que a distancia da reta Ax + By + C = 0 ao ponto (xo, yo) pode ser determinada por

4 – Determine a distância do ponto P(1, 1, 2) à reta que passa pelos pontos (-1, 0, 1) e (3, 1, 0).

5 - Determine a distância do ponto P(1, 2) à reta que passa pelos pontos (-1, 1) e (3, 1).

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CAPÍTULO 4 – MUDANÇAS DE COORDENADAS

1 – INTRODUÇÃO

Consideremos a equação x2 + y2 – 4x + 2y - 25 = 0. Esta equação pode ser simplificada se substituirmos x por (x’ + 2) e y por (y’ – 1), conforme segue: (x’ + 2)2 + (y’ – 1)2 – 4(x’ + 2) + 2(y’ – 1) - 25 = 0 � � x’2 + 4x’ + 4 + y’2 – 2y’ + 1 – 4x’ – 8 + 2y’ – 2 + 5 = 0 � � x´2 + y’2 – 25 = 0 Esta transformação corresponde a deslocar uma circunferência cujo centro é o ponto (2, -1) e raio igual a 5 unidades para a origem dos eixos (ou deslocar os eixos coordenados para o centro da circunferência). Como veremos, equações de superfícies e curvas, seja no espaço ou seja no plano podem ser bastante complexas. Entretanto, se modificarmos o sistema de eixos (ou coordenadas) podemos, muitas vezes, obter uma equação mais simples cujo gráfico será mais facilmente construído. Neste capítulo pretendemos estudar algumas transformações que permitirão simplificar o estudo de curvas e superfícies. 2 – TRANSLAÇÃO DE EIXOS

Consideremos os dois sistemas de coordenadas S(x, y) e S’(x’, y’), de modo que a origem de S’(x’, y’) seja o ponto (a, b) em relação ao sistema S. Seja P um ponto de uma curva, conforme indicado na figura.

Da figura podemos tirar: OA = OF + FA = OF + O’B � x = a + x’ OD = OE + ED = OE + O’C � y = b + y’ Estas relações transformam as coordenadas (x’, y’) nas coordenadas (x, y). Isto corresponde a um deslocamento do sistema de eixos S’ (x’, y’), cuja origem é o ponto (a, b) para o sistema de eixos S(x,y). Tal transformação é chamada de translação. Aplicação: Considerando a equação 3x2 – 12x + 2y + 10 = 0, eliminar o termos em x. Reescrevamos a equação na forma 3x’2 – 12x’ + 2y’ + 10 = 0 e apliquemos a transformação x’ = x – a e y’ = y – b, onde a e b será a origem do novo eixo. Temos, então: 3(x – a)2 – 12(x – a) + 2(y – b) + 12 = 0 � 3x2 – 6ax + 3a2 – 12x + 12 + 2y – 2b + 12 = 0 � 3x2 – (6a + 12)x + 2y – 2b + 3a2 + 8 + 12 = 0. Para eliminar o termo em x, devemos ter 6a + 12 = 0 � a = - 2. Devemos observar que o valor de b não influenciará no desaparecimento de x. Portanto, devemos tomar a = -2 e b qualquer. Fazendo b = 0, resultará: 3x2 + 2y – 2.0 + 3.(-2)2 + 8 + 12 = 0 � 3x2 + 2y + 8 = 0. Se fizéssemos -2b + 3a2 + 8 + 12 = 0 � -2b + 3(-2)2 + 8 + 12 = 0 � b = 16, teríamos uma equação mais simples: 3x2 + 2y = 0. EXERCÍCIOS 1. A equação de uma curva é y = 3x2 - 6x + 4 em relação ao sistema normal de eixos cartesianos

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XOY. Considere um sistema X'OY' cuja origem é o ponto (1, 1) em relação a XOY. Determine a equação da curva em relação ao sistema X'OY. 2. Elimine o termo em x na equação y = x2 - 5x + 6 usando um sistema conveniente de eixos. 3. Se x2 + y2 - 8x - 6y + 9 = 0 é a equação de uma curva em relação ao eixos convencionais, determine a equação dessa curva em relação a um sistema de eixos cuja origem é o ponto (4, 3). 4. Qual será a nova equação da curva x2 - 2xy + y2 - 4x + 6y - 7 = 0 se lhe for aplicada a transformação x' = x - 4, y' = y - 3?

3 – ROTAÇÃO

No item anterior vimos que aplicando uma translação podemos eliminar termos de primeiro grau (termos em x ou em y). Na rotação é possível eliminar termos onde estas duas variáveis aparecem multiplicadas, ou seja, eliminar termos em xy.

Na rotação, um sistema de eixos S’(x’, y’) é girado de um ângulo θ, transformando num sistema de eixos S(x, y). Vejamos isto em um gráfico. As coordenadas em relação a S(x, y) são x = OB e y = OA. Do triângulo OB’P, tiramos: OB' = x’ = OPcosθ e OA’ = PB' = y’ = OPsen θ. v Com o triângulo POB obtemos: (1) OB = x = OP.cos(θ - α) = OP(cosθcosα + senανεσθ) = = (OPcosθ)cosα + (OPsenθ)senα = x'cosα + y'senα (2) PB = OA = y = OPsen(θ - α) = OP(senθcosα - senασοχθ) = = (OPsenθ)cosα - OP(cosθ)senα = y'cosα - x’senα Assim, a rotação θ, transforma as coordenadas (x’,

y’) nas coordenadas (x, y) tais que: x = x'cosαααα + y'senαααα y = y'cosαααα - x’senαααα que pode ser expresso pelo produto matricial abaixo

Exemplo:- Aplicando a translação x = x’ – 3, y = y’ + 5 seguida de uma rotação de 90º nos eixos o ponto (x’, y’) = (5, 4), esse ponto passaria a ter as coordenadas (9, -2) conforme determinado abaixo Aplicando a translação em (5, 4), temos: x = 5 – 3 = 2 e y = 4 + 5 = 9 - o ponto (5, 4) passará a ter coordenadas (2, 9) Aplicando a rotação em (2, 9), resulta: x = 2.cos90º + 9.sen90º = 2.0 + 9.1 = 9 e y = - 2sen90º + 9cos90º = – 2.1 + 9.0 = -2. Assim, o ponto (5, 4) é transformado para (9, -2) EXERCÍCIOS:- 1 – Elimine os termos em x e y na equação 2x2 + 4y2 + 4x - 8y – 31 = 0. 2 – Se for aplicada uma rotação de 45º em um sistema de eixos, quais serão as novas coordenadas do ponto (5, -3)? 3 - Elimine o termo em xy na equação x2 – xy + y2 = 5 por meio de uma rotação. 4 – Calcule as novas coordenadas do ponto (1, 3) ao aplicar uma translação x’ = x – 1, y’ = y + 2 e a seguir uma rotação de 60º no sistema de eixos original (xy). 5 – Um ponto tem coordenadas (-5, 8) em relação a um sistema de eixos. Qual será a origem de um novo sistema de eixos, se as coordenadas desse ponto forem transformadas em (0, 2)?

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CAPÍTULO 05– ESTUDO DAS CÔNICAS NO PLANO

1 – LUGAR GEOMÉTRICO

Algumas regiões do plano ou do espaço apresentam propriedades que caracterizam todos os seus pontos. Por exemplo: (1) em uma circunferência, por exemplo, todos os seus pontos são eqüidistantes de um mesmo ponto que é o centro da circunferência; (2) as distâncias de cada ponto da mediatriz de um segmento aos extremos do segmento são iguais; (3) o cilindro é um conjunto de pontos eqüidistantes do eixo do cilindro. Conjuntos de pontos como os citados nos exemplos constituem um "lugar geométrico", ou seja, um conjunto de pontos que apresentam uma propriedade comum. No plano estes lugares geométricos são curvas ou regiões do plano definidos por funções com duas variáreis, do tipo f(x, y) = 0, enquanto que no espaço são superfícies ou regiões do espaço tridimensional, definidas por funções com três variáveis, expressas por f(x, y, z) = 0. A maioria dos lugares geométricos são definidos em termos de distância entre pontos ou de distância de ponto à reta. É interessante que estes conceitos sejam revistos para melhor entendimento do conteúdo a seguir. 2 - AS EQUAÇÕES DE ALGUNS LUGARES GEOMÉTRICOS 2.1 - Lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de dois pontos conhecidos pertencentes ao mesmo plano (mediatriz) - (figura 1) Sejam A = (x1,y1) e B = (x2, y2) os dois pontos conhecidos e P = (x, y) os pontos que constituem o lugar geométricos definido acima. Temos PA = PB ⇔ PA2 = PB2 (quadrados das distâncias) ⇔ (x - x1)

2 + (y - y1)2 = (x - x2)

2 + (y - y2)

2. x2 - 2xx1 + x1

2 + y2 - 2yy1 + y12 = x2 - 2xx2 + x2

2 + y2 - 2yy2 + y22 ⇔

(2x2 - 2x1)x + (2y2 - 2y1)y + (y22 - y1

2 + x22 - x1

2 = 0. Como x1, x2, y1, y2 são constantes, a expressão tem a forma ax + by + c = 0, que é a equação de uma reta.

2.2 - Lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de duas retas concorrentes pertencentes ao mesmo plano (bissetriz) (figura 2) Sejam A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0 as equações das retas r e s, respectivamente e (x, y) as coordenas do ponto P. Aplicando a fórmula da distância de ponto a reta tem-se:

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(NA1 + MA2)x + (B1N + B2M)y + (C1N + C2M) = 0

Desta (NA1 + MA2)x + (B1N + B2M)y + (C1N + C2M) = 0 são as equações das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas duas retas. 2.3 - Lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de um ponto e uma reta dados Seja, calcular a equação do lugar geométrico cujos pontos são eqüidistantes da reta x = -4 e do ponto (4, 1). A figura a seguir mostra a curva representativa do lugar geométrico nas condições descritas.

Sejam P = (x, y) os pontos do lugar geométrico. Tomando o ponto Q da reta, suas coordenadas são (-4, y) teremos: QP = RP � (x + 4)2 + (y – y)2 = (x – 4)2 + (y – 1)2 � � x2 + 8x + 16 = x2 – 8x + 16 + y2 – 2y +1 � y2 – 16x – 2y + 1 = 0. (veremos mais tarde que esta equação se refere a uma parábola) EXERCÍCIOS 1. Determine a equação dos seguintes lugares geométricos: a) conjunto de pontos eqüidistantes dos pontos (2, 5) e (2, 9); b) conjunto de pontos eqüidistantes dos pontos (-1, 3) e (7, 4); c) conjunto dos pontos cuja distância ao ponto (-2, 4) é igual a 3. d) conjunto dos pontos cuja distância à reta x + y - 4 = 0 é igual à distância ao ponto (5, 1). e) conjunto dos pontos cuja distância à reta 3x - 2y + 1 = 0 é igual à 4 vezes a distância ao ponto (0, 0). f) conjunto dos pontos cuja distância à reta y = 5 é igual à metade da distância ao ponto (3, 1). 2. Para cada um dos itens do exercício 1, esboce o gráfico. 3. Escreva a equação do lugar geométrico cujos pontos eqüidistam duas unidades do eixo horizontal.

4. Escreva a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância à reta y = 2x é igual ao dobro da distância ao ponto (1, 5).

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3 – AS CÔNICAS

Se tomarmos um cone duplo, através de cortes no mesmo por diferentes planos podemos obter as curvas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. Tais curvas são por esta razão denominadas de cônicas. Todas elas são lugares geométricos que apresentam propriedades características que serão definidas nos próximos itens. A parábola e a elipse são curvas que podem gerar, por rotação em torno de um eixo, superfícies que apresentam propriedades que as permitem usar na área tecnológica. Quanto a hipérbole, esta tem fundamental importância na área algébrica, principalmente facilitando cálculos de integrais e definições da função logaritmo. Estas três curvas podem ser definidas como lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo, denominado, foco é igual a uma constante positiva vezes a distância a uma reta fixa chamada diretriz. Esta constante é denominada excentricidade, que simbolizaremos por e. Para a parábola teremos e = 1, para a elipse 0 < e < 1 e para a hipérbole e > 1. Quanto à circunferência sua definição é : lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de um ponto fixo chamado centro. Vejamos inicialmente como são obtidas as cônicas a partir do cone duplo. (fig. 1)

– A CIRCUNFERÊNCIA

A circunferência é definida como o lugar geométrico dos pontos (x, y) eqüidistantes de um ponto fixo (a, b) chamado centro. A distância dos pontos ao centro é chamada de raio (R). A partir desta definição e aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, pode-se obter a equação da circunferência. Tem-se então:

A forma (x - a)2 + (y - b)2 = R2 é denominada equação reduzida da circunferência onde (a, b) são as coordenadas do centro é R é a medida do raio. Ao desenvolver a equação reduzida da circunferência obtém-se: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2 � x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0. A última equação pode ser escrita na forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, onde C = 0, A + B e F = A.(a2 + b2 - R2). A forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 é denominada equação geral do segundo grau e será uma circunferência nas condições descritas. Aplicação 1 - Escrever, na forma geral, a equação da circunferência de raio 5 e centro (2, 3). Na forma reduzida, a equação da circunferência é (x - 2)2 + (y - 3)2 = 52. Desenvolvendo a igualdade, tem-se: x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 25 ⇔ x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, que é a equação pedida.

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Aplicação 2 - Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência cuja equação é 2x2 + 2y2 - 12x + 4y - 10 = 0. Neste caso devemos inicialmente eliminar os coeficientes de x2 e y2. Isto é possível pois basta dividir todos os termos da equação por 2, o que irá resultar: x2 + y2 - 6x + 2y - 5 = 0. Procuremos completar os quadrados para x2 - 6x e y2 + 2y, lembrando que (x + a)2 = x2 + 2xa + a2. Desta forma [x2 - 6x + (6/2) 2] + [y2 + 2y + (2/2) 2] = 5 + 32 + 22 ⇔ (x - 3) 2 + (y + 1) = 16 ⇒ as coordenadas do centro são (3, -1) e cujo raio é √16 = 4. EXERCÍCIOS 1. Esboce o gráfico da circunferência cuja equação é: a) (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4; b) x2 + y2 + 4x - 6y + 5 = 0. 2. Escreva, nas formas reduzida e geral, as equações das circunferências: a) de centro (-3, 1) e raio 7. b) se (2, -5) e (8, 1) são os extremos de um de seus diâmetros. c) que passa pelos pontos (1, 2), (0, 0) e (4, 1). d) tangente ao eixo dos y sendo (4, 5) o seu centro. e) tangente ao eixo dos x se (-2, 7) é o centro. f) que passa pelo ponto (2, 5) e tangente aos eixos cartesianos. g) com centro em (9, 3) e tangente à reta x = 6. h) com centro em (9, 3) e tangente à reta y = 6. 3. Determine o centro e o raio da circunferência 3x2 + 3y2 - 9x - 18y - 21 = 0.

5 – A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU A equação geral do segundo grau tem a forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Se compararmos com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 veremos que a equação geral do segundo grau refere-se a uma circunferência se e somente se: (1) A = B (2) C = 0 (3) Se dividirmos todos os termos por A, resulta: x2 + y2 + (D/A)x + (E/A)y + F/A = 0. Comparando com a equação (2), tiramos a = -D/2A, b = -E/2A e F/A = a2 + b2 – R2. Se substituirmos os valores de a e b nesta última tiramos R2 = (D/2A)2 + (E/2A)2 – (F/A) �

A equação que fornece o raio exige que D2 + E2 – 4AF > 0. Esta é a terceira condição para que uma equação de segundo grau seja uma equação de circunferência. Como D2 + A2 e A são sempre positivos, é evidente que, satisfeitas as condições (1) e (2), a equação será de uma circunferência se F for negativo. Entretanto, quando F for positivo, a equação poderá ser ou não equação de uma circunferência. Quando a equação de uma circunferência for dada na forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, pode-se determinar o seu centro (a, b) e o seu raio R, a partir das igualdades

ou usando o processo de completar os quadrados descrito no item anterior. EXERCÍCIOS

1. Entre as equações abaixo, informe quais não são equações de circunferência. Justifique. Aquelas que forem equações de circunferência, determine as coordenadas do centro e o raio

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a) 3x2 + 3y2 – 12x + 18y + 19 = 0 b) x2 + y2 – 12x + 18y – 21 = 0 c) 5x2 - 5y2 – 12x + 18y – 9 =0 d) 2x2 + 2y2 – 6xy– 12x + 18y – 9 = 0 e) x2 + y2 – 12x + 18y – 9 = 0

6 – POSIÇÃO RELATIVA

6.1 - Ponto e circunferência Seja (x - a)2 + (y - b)2 = R2 ⇔ (x - a)2 + (y - b)2 - R2 = 0, a equação da circunferência e P um ponto de coordenadas (x0, y0). A expressão (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 determina o quadrado da

distância do ponto ao centro da circunferência. Se (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 = R2 ou (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 - R2 = 0, o ponto P = (x0, y0) pertence à

circunferência pois a distância do ponto ao centro é igual ao raio. Se (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 > R2 ou (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 - R2 > 0, a distância ao centro é maior que o raio.

Neste caso o ponto é exterior à circunferência. Se (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 < R2 ou (x0 - a)

2 + (y0 - b)2 - R2 < 0, a distância ao centro é maior que o raio.

Neste caso o ponto é exterior à circunferência.

Considerando a função f(x, y) = (x - a)2 + (y - b)2 - R2 ,que também pode ser escrita na forma f(x, y) = Ax2 + By2 + Cxy + dx + Ey + F, com A = B e C = 0, pode-se concluir, a partir das relações acima que: (1) f(x0, y0) = 0 o ponto pertence à circunferência, (2) f(x0, y0) > 0 o ponto é exterior à circunferência, e (3) f(x0, y0) < 0 o ponto é interior à circunferência.

6.2 - Reta e circunferência

Sejam (x - a)2 + (y - b)2 = R2 uma circunferência e Ax + By + C = 0 uma reta. As posições da reta em relação à circunferência podem ser vistas na figura abaixo.

Para determinar a posição da reta podemos utilizar dois caminhos: (1) resolver o sistema formado pelas duas equações:(x - a)2 + (y - b)2 = R2 e Ax + By + C = 0. (2) usar a fórmula da distância de ponto a reta

Neste segundo caso, tem-se: (i) se D > 0 o ponto é exterior à circunferência, (ii) se D = 0 o ponto pertence à circunferência, (iii) e D < 0 o ponto é interior à circunferência. 6.3 - Duas circunferências Consideremos duas circunferências: C1, de centro (a1, b1) e raio R1 e C2 de centro (a2, b2) e raio R2. Seja a distância entre os centros das duas circunferências. A posição de uma das circunferências em relação à outra depende de D e dos raios. Na figura estão indicadas as relações entre os raios e a distância entre os centros, a partir das quais são identificadas as posições de uma circunferência em relação à outra.

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EXERCÍCIOS 1 – Dê a posição de cada um dos pontos abaixo em relação à circunferência x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0; (a) (1, -4) (b) (4, 5) (c) (1, 1) Justifique as respostas. 2 – De a posição de cada uma das retas abaixo em relação à circunferência x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 (a) 3x + y + 2 = 0 (b) 4x + 3x + 5 = 0 (c) 4x – y – 8 = 0 Justifique as respostas. 3 – Sabe-se que a reta 3x + 2y + C = 0 é tangente à circunferência x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0. Determine o valor de C. 4 – Para que valores de m, a reta 4x – 2y + m = 0 é secante à circunferência x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0. 5 – De a posição relativa dos pares de circunferências. a) x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0 e x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 b) x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 e x2 + y2 – 6x + 2y – 10 = 0 c) ( x – 3)2 + (y – 2) 2 = 9 e (x – 7) 2 + (y – 5) 2 = 4 d) x2 + y2 – 6x - 6y – 7 = 0 e x2 + y2 – 10x - 6y + 12 = 0 e) x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0 e x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 6 – Para cada um dos itens dos exercícios 1 a 5, construa um gráfico e verifique se sua resposta está correta ou não.

7 – A PARÁBOLA Definida como o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). A distância VF é denominada distância focal e será representada pela letra “c”. F é o foco, cujas coordenadas são (c, 0). A reta QV’ é a diretriz. A distância VV’ = VF pois a distância de qualquer

ponto da parábola ao foco é igual a distância do mesmo ponto à diretriz. Assim, a equação da diretriz é y = - c. Se (x, y) são as coordenadas do ponto P da parábola, as coordenadas do ponto Q serão ( -c, y).

Aplicando a definição da parábola devemos ter PF = PQ. Assim,

Elevando as duas expressões ao quadrado e desenvolvendo os termos entre parênteses, resulta: x2 – 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2 ⇒ y2 = 4cx.

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Se considerarmos um sistema de eixos x’y’ e a parábola com vértice na origem desse sistema, sua equação será então y’2 = 4cx’. Sendo (h, k) as coordenadas da origem desse sistema em relação ao sistema xy, teremos: x’ = x – h e y’ = y – k. Em conseqüência, a mesma parábola em relação ao sistema xy será então (y – k)2 = 4c(x – h). Neste caso, as coordenadas do foco serão (h + c, k) e a diretriz terá equação x = h – c.

Quando a diretriz estiver à direita do foco, a concavidade da parábola ficaria virada para a esquerda. Deduz-se para esse caso: (y – k)2 = -4c(x – h) onde o foco será o ponto (h – c, k) e a diretriz x = h + c. (FIG 1)

Para a parábola com diretriz horizontal e concavidade para cima, de modo semelhante ao anterior demonstra-se que a equação é (x – h)2 = 4c(y – k) com vértice (h, k), foco (h, k + c) e diretriz y = h – c. (FIG.2)

Para o caso da parábola com concavidade para baixo, a equação torna-se (x – h)2 = -4c (y – k), sendo o vértice (h, k), foco (h, k – c) e diretriz y = h + c. (FIG.3)

Resumindo: Vértice (h, k) Distância focal = c. (1) Parábola com diretriz vertical e eixo horizontal, concavidade para a direita: Equação: (y – k)2 = 4c(x – h) Diretriz x = h - c Eixo y = k Foco (h + c, k) (2) Parábola com diretriz vertical e eixo horizontal, concavidade para a esquerda: Equação: (y – k)2 = -4c(x – h) Diretriz x = h + c Eixo y = k Foco (h - c, k) (3) Parábola com diretriz horizontal e eixo vertical, concavidade para cima: Equação: (x – h)2 = 4c(y – k) Diretriz y = k - c Eixo x = h Foco (h , k + c) (4) Parábola com diretriz horizontal e eixo vertical, concavidade para baixo: Equação: (x – h)2 = - 4c(y – k) Diretriz y = k + c Eixo x = h Foco (h , k - c) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 – Determinar as coordenadas do vértice, a distância focal, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola, cuja equação é 2x2 – 4x + y – 8 = 0 (ou y = -x2 + 2x + 8). Para obter os elementos pedidos, devemos escrever a equação em uma das formas (x – h)2 = + 4c(y – k) (y – k)2 = + 4c(x – h).

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Como a equação tem um termo em x2, a forma própria será a primeira. Temos então: Separando os termos em x: 2x2 – 4x = -y + 8 Dividindo todos os termos por 2 x2 – 2x = -(1/2)y + 4 Completando o primeiro membro para obter um quadrado perfeito, x2 – 2x + 12 = -(1/2)y + 4 + 12 Formatando a equação: (x – 1)2 = -(1/2)y + 5 � (x – 1)2 = -(1/2)(y – 10) � (x – 1)2 = -4.(1/8)(y – 10). Da equação tira-se h = 1, k = 10, c = 1/8. Portanto, vértice (1, 10), distância focal = 1/8, foco (h , k - c) = (1, 10 – 1/8) = (1, 79/8), diretriz y = k + c � y = 10 + 1/8 � y = 81/8. Note que foi usada a forma (x – h)2 = - 4c(y – k) o que implica uma concavidade dirigida para baixo.

2 – Escreva a equação da parábola de vértice (2, 5) e diretriz x = - 8. A diretriz é uma reta vertical e está à esquerda do vértice pois a abscissa x desse vértice é 2. Isto implica numa concavidade voltada para a direita. A distância focal é igual a distância entre o vértice e a diretriz, portanto, c = | -8 – 2| = 10. Considerando os valores acima e a concavidade, teremos (y – k)2 = 4c(x – h) � (y – 5)2 = 4.10.(x – 2) � (y – 5)2 = 40.(x – 2) ou y2 – 10y – 40x + 55 = 0.

EXERCÍCIOS 01 – Escreva a equação da parábola, conhecidos: a) O vértice (5, -1) e o foco (5, 7) b) O foco (4, -1) e a diretriz x = - 7 c) O vértice (3, 4) e a diretriz y = 8 02 – Para cada caso acima informe a orientação da concavidade. 03 – Determine o foco, o vértice e a diretriz da parábola, cuja equação é: a) x2 – 4y = 0 b) 8x2 – 16x + 24y – 32 = 0 c) 4y2 – 12y + 3x – 16 = 0 04 – Determine as coordenadas dos pontos onde a reta 3x + 2y – 5 = 0 intercepta a parábola x2 – 4y = 0. 05 – Você deve ter aprendido em Cálculo que a primeira derivada é a declividade da tangente à curva f(x). Aplique isso para determinar a tangente á parábola 8x2 – 16x + 24y – 32 = 0 no ponto de abscissa x = 2. 06 – Determine a distância do ponto (1, 6) ao foco da parábola y = x2 – 5x + 6. 07 – Calcule a distância focal da parábola y = x2 – 5x + 6.

8 – A ELIPSE

Pode-se definir a elipse das seguintes formas: (1) lugar dos pontos cuja distância a um ponto fixo (foco) é igual à uma constante (excentricidade) multiplicada pela distância a uma reta fixa (diretriz), sendo a excentricidade positiva e menor que 1. (2) lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. Usaremos esta segunda definição para deduzir a equação da elipse. Graficamente a elipse tem a forma indicada na figura a seguir:

Elementos da elipse C - centro, F e F’ - focos, A, A’, B, B’ - vértices. FC = F’C - distância focal (c). CA = CA’ – semi-eixo maior (a) CB = CB’ – semi-eixo menor (b) c/a = e - excentricidade (distância focal/semi-eixo maior)

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De acordo com a segunda definição podemos relacionar os elementos “a”, “b” e ”c”, observando: 1 – PF + PF’ = AF + AF’ � PF + PF’ = AF + A’F’ = 2a � a soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é constante e igual ao eixo maior. 2 – BF’ + BF = 2a � 2BF = 2a � BF = a � Por Pitágoras BF2 = DF2 + CF2 � a2 = b2 + c2

9 – A EQUAÇÃO DA ELIPSE

Consideremos inicialmente a situação da figura acima, onde o semi-eixo maior é horizontal e o centro da elipse é a origem (0, 0) dos eixos cartesianos. Por definição: PF + PF’ = 2a. Sejam (x, y) as coordenadas de P, um ponto qualquer da elipse. As coordenadas do foco são: (c, 0) e (-c, 0). Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, tem-se:

⇔a4 + 2a2cx + c2x2 = a2(x2 + 2cx + c2 + y2 ⇔ a4 + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 . Como a2 = b2 + c2, temos a2(b2 + c2) + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 ⇔ ⇔ a2b2 + a2c2 + 2a2cx + c2x2 = a2x2 + 2a2cx + a2c2 + a2y2 ⇔ ⇔ a2b2 = a2x2 – c2x2 + a2y2 ⇔ a2b2 = (a2 – c2)x2 + a2y2 ⇔ ⇔ b2x2 + a2y2 = a2b2. Dividindo todos os termos por a2b2, resulta

Para eixo maior na vertical e centro na origem a elipse terá a forma indicada na figura ao lado. Neste caso os focos serão ( 0, c) e ( 0, -c). Deve ser observado que agora, a relação entre os semi-eixos e a distância focal é b2 = a2 + c2, sendo e = c/b a excentricidade. Aplicando a mesma seqüência anterior, veremos que a equação permanece na forma acima, sendo que b > a.

Considerando a elipse com centro no ponto (h, k), tem-se:

As coordenadas do ponto P em relação ao sistema X’O’Y’ são (x’, y’) sendo então x’2/a2 + y’2/a2 = 1 a equação da elipse em relação a este sistema de eixos. Em relação ao sistema de eixos XOY, as coordenadas dos pontos

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da elipse são x = x’ + h e y = y’ + k ⇔ ⇔ x’ = x – h e y’ = y – k.

Substituindo estes valores na equação x’2/a2 + y’2/a2 = 1, resulta:

que é a equação geral da elipse, com centro (h, k). Resumindo: Equação:

Coordenadas do centro: (h, k), Coordenadas dos vértices: (h + a, k) e (h, k + b). Se a > b, os focos estarão sobre o eixo horizontal e neste caso teremos - relações a2 = b2 + c2 e e = c/a - focos (h + c, k) - semi-eixo maior = a e semi-eixo menor = b Se b > a, os focos estarão sobre o eixo vertical e neste caso teremos - relações b2 = a2 + c2 e e = c/b - focos (h, k + c) - semi-eixo maior = b e semi-eixo menor = a. EXERCÍCIOS

1 – Nas equações abaixo, informe se o eixo maior é vertical ou horizontal a) 4x2 + 9y2 = 36 b) 16x2 + 9y2 – 4x + 12y – 80 = 0

2 – Para cada equação acima determine: I) os dois semi-eixos; II) a distância focal; III) as coordenadas do centro; IV) as coordenadas dos vértices e V) as coordenadas do foco.

3 – Escreva a equação da elipse sendo dados: a) focos (8, 3) e (2, 3) e semi-eixo menor = 4. b) Centro (5, 4) e distância focal = 5 e semi-eixo maior = 13 (vertical). c) Centro ( 7, 12), semi-eixo maior vertical, semi-eixo menor = 4, excentricidade e = 3/5.

4 – Escreva a equação da elipse de centro na origem cujo eixo maior vale 10 e distância focal igual a 8. Sabe-se que os dois focos estão numa mesma vertical.

5 – Abaixo estão indicadas três equações que têm como representação: uma circunferência, uma parábola e uma elipse. Identifique a que tipo de curva pertence cada uma e justifique sua escolha. a) 12x2 + 15x2 – 16x + 12y – 20 = 0 b) y2 + 4x – 6y + 12 = 0 c) 3x2 + 3y2 – 16x + 4y – 12 = 0

6 – Usando as equações acima, determine: a) para a circunferência: o centro e o raio b) para a parábola, as coordenadas do vértice e do foco, a equação da diretriz c) para a elipse, os semi-eixos, a distância focal, coordenadas do centro e dos focos.

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10 – A HIPÉRBOLE

Como na elipse podemos definir a hipérbole de duas formas: (1) lugar dos pontos cuja distância a um ponto fixo (foco) é igual à uma constante (excentricidade) multiplicada pela distância a uma reta fixa (diretriz), sendo a excentricidade positiva e maior que 1. (2) lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante e igual ao à distância entre os vértices (eixo real). A figura abaixo mostra a hipérbole com eixo horizontal, centrada na origem:

Elementos da hipérbole: V, V' - vértices O - centro F, F' - focos VV' - 2a - eixo real BB' - 2b - eixo imaginário r, s - assíntotas e - excentricidade = c/a (relação entre distância focal e semi-eixo real). BV = OF - c - distância focal Obs. Alguns autores definem a distância focal como a distância entre os dois focos, ou seja, f = 2c. Relação: c2 = a2 + b2

11 - A EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE Considerando a hipérbole da figura acima, cujo eixo real é horizontal e centrada na origem, de acordo com a definição (2) e tomando um ponto do ramo direito da hipérbole, pode-se escrever PF' - PF = 2a. Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos na última igualdade, resulta:

c2x2 – 2cxa2 + a4 = a2(x2 – 2xc + c2 + y2) ⇔ ⇔ c2x2 – 2cxa2 + a4 = a2x2 – 2xc a2 + c2 a2 + y2 a2 ⇔ ⇔ (c2 – a2)x2 + y2a2 = c2a2 – a4.

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Fazendo c2 = a2 + b2, resulta b2x2 + y2a2 = (c2 – a2)a2 ⇔ ⇔ b2x2 + y2a2 = b2a2 . Dividindo todos os termos por b2a2, tem-se:

Considerando a hipérbole com eixo real 2b na vertical, os focos seriam os pontos (0, c) e (0, -c).

Elementos da hipérbole: V, V' - vértices O - centro F, F' - focos VV' - 2b - eixo real AA' - 2a - eixo imaginário r, s - assíntotas e - excentricidade = c/b (relação entre distância focal e semi-eixo real). AV = OF - c - distância focal Obs. Alguns autores definem a distância focal como a distância entre os dois focos, ou seja, f = 2c. Relação: c2 = a2 + b2

Neste caso, ter-se-ia: PF’ – PF = 2b. Usando a fórmula da distância: . Aplicando as mesmas transformações usadas para a hipérbole com eixo real horizontal, resultará:

Se o vértice da hipérbole fosse deslocado para o ponto (h, k), usando o mesmo raciocínio aplicado à parábola, obtém-se as equações gerais:

Resumindo: Centro (h, k) Distância focal c Assíntotas y = (b/a)x e y = -(b/a)x Relação c2 = a2 + b2 (1) Eixo real horizontal Equação

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Semi-eixo real - a Semi-eixo imaginário - b Excentricidade e = c/a Focos (h + c, k), (h - c, k) Vértices: (h + a, k), (h - a, k) Equação

Semi-eixo real - b Semi-eixo imaginário - a Excentricidade e = c/b Focos (h, k + c), (h, k - c) Vértices: (h, k + b), (h, k - b) EXERCÍCIOS

1 – Para as equações abaixo, determine: I) semi-eixos real e imaginário; II) distância focal; III) excentricidade; IV) coordenadas dos focos; V) coordenadas dos vértices; VI) equações das assíntotas. a) 4x2 – 9y2 = 36 b) 25y2 – 16y2 + 50y – 48x – 10 = 0

2 – Escreva a equação da hipérbole, sendo dados: a) Coordenadas dos focos (-5, 3) e (9, 3), vértices (-1, 3) e (5, 3) b) Semi-eixo real vertical = 12, centro (5, 9), excentricidade = 13/12 c) Semi-eixo real horizontal = 8, semi-eixo imaginário = 6, centro (-2, 4) d) Coordenadas dos vértices (-3, 12) e (15, 12). Excentricidade 5/3.

11. A EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

A parábola, a elipse e a hipérbole são cônicas que podem ser definidas como o lugar geométrico dos pontos onde a razão entre as distâncias a um ponto fixo (foco) e a uma reta (diretriz) é constante. Isto é, se d1 é a distância à reta e d2 é a distância ao ponto fixo, tem-se d2/d1 = e. A constante e é denominada excentricidade. Se e = 1, a curva é uma parábola; se e > 1 a curva é uma hipérbole e se 0 < e < 1 a curva é uma elipse. De acordo com a definição dada para as cônicas, considerando os elementos da figura e as fórmulas das distâncias de ponto a reta e de ponto a ponto, podemos escrever:

Elevando os dois termos ao quadrado e desenvolvendo a igualdade tem-se:

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e2.(A2x2 + B2y2 + C2 + 2ABxy + 2ACx + 2BCy) = (A2 + B2).(x2 – 2x0x + x02 + y2 – 2y0y + y0

2) ⇔ (A2 + B2 - e2A2)x2 - 2Abxy + (A2 + B2 - e2B2)y2 - (2AC +2A2x0 + 2B

2x0)x - (2BC + 2A2y0 +

2B2y0)y - (C2 – A2x0

2 – B2x02 – A2y0

2 – B2y02).

Fazendo: (A2 + B2 + e2A2) = a; - 2AB = b; (A2 + B2 - e2B2) = c; - (2AC +2A2x0 + 2B2x0) = d;

- (2BC + 2A2y0 + 2B2y0) = e ; - (C

2– A2x02 – B2x0

2 – A2y02 – B2y0

2) = f, resulta na forma ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, que é a equação geral do segundo grau com duas variáveis. As cônicas são obtidas a partir de cortes em um cone duplo por um plano. Dependendo da forma em que o plano corta o cone pode-se também obter um ponto (fig.1), uma reta (fig. 2) ou duas retas (fig. 3). Estes casos particulares são denominados de cônicas degeneradas.

12. IDENTIFICANDO A EQUAÇÃO Conforme já estudado anteriormente, a equação: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 é uma circunferência se: (1) a = c, (2) b = 0 e (3) d2 + e2 – 4af > 0. Sendo e = 1 a curva é uma parábola. Comparando os coeficientes a, b e c, tem-se: (1) a = A2 + B2 - 12.A2 = B2 e (2) c = A2 + B2 - 12.B2 = A2. Como b = - 2AB, resulta: b2 – 4ac = 4A2B2 – 4.(B2)(A2) = 4A2B2 – 4B2A2 = 0. Temos então uma parábola quando b2 – 4ac = 0. Sendo e > 1 a curva é uma hipérbole e, nesse caso: (1) e2A2 > A2 ⇒ (A2 - e2A2) < 0 ⇒ a = A2 + B2 - e2A2 < B2 ⇒ (2) e2B2 > B2 ⇒ (B2 - e2A2) < 0 ⇒ c = A2 + B2 - e2A2 < A2. (3) b = - 2AB ⇒ b2 = 4A2B2 (4) Se a < B2 e c < A2 então 4ac < 4B2A2 . Portanto, b2 > 4ac ⇔ b2 – 4ac > 0. Para a elipse, sendo 1 < e < 1 , (1) e2A2 < A2 ⇒ (A2 - e2A2) > 0 ⇒ a = A2 + B2 - e2A2 > B2 ⇒ (2) e2B2 > B2 ⇒ (B2 - e2A2) < 0 ⇒ c = A2 + B2 - e2A2 > A2. (3) b = - 2AB ⇒ b2 = 4A2B2 (4) Se a > B2 e c > A2 então 4ac > 4B2A2 . Portanto, b2 < 4ac ⇔ b2 – 4ac < 0. RESUMINDO Dada a equação ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, (1) - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 – 4af > 0, a curva é uma circunferência; - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 – 4af = 0, a representação da equação é um ponto. - Se a = c, b = 0 e d2 + e2 – 4af < 0, a equação representa um conjunto vazio. (2) - Se b2 – 4ac > 0 e d2 – 4af > 0 e e2 – 4cf > 0 a equação é representada por duas retas; - Se b2 – 4ac = 0 e d2 – 4af = 0 e e2 – 4cf = 0 a equação é representada por uma reta; (3) - Se b2 – 4ac > 0 e (d2 – 4af < 0 ou e2 – 4cf < 0) a equação é uma hipérbole; - Se b2 – 4ac < 0 e (d2 – 4af > 0 ou e2 – 4cf > 0) a equação é uma elipse. 13 – DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES DO ITEM 2 Sejam as retas Ax + By + C = 0 e A’x + B’y + C’ = 0. Multiplicando as duas equações tem-se: AA’x2 + (A’B + B’A)xy + B’By2 + (A’C + C’A)x + (B’C + BC’)y + CC’ = 0. Comparando com a equação ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, resulta: (1) AA’ = a; (2) A’B + B’A = b; (3) B’B = c; (4) A’C + AC’ = d; (5) B’C + BC’ = e; (6) C’C = f. Resolvendo o sistema obtém-se:

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(7) (A/B)c + (B/A)a – b = 0. Fazendo (A/B) = m, mc + (1/m)a – b = 0 ⇔ cm2 – bm + a = 0. A e B existem se m existir, ou seja b2 – 4ac > 0. (8) (C/A).c + (A/C)f – d = 0. Fazendo C/A = n, nc + (1/n)f – d = 0 ⇔ cn2 – dn + f = 0. C e A existem se n existir, ou seja d2 – 4cf > 0. (9) (C/B)c + (B/C)f – e = 0. Fazendo C/B = p, cp + (1/p)f – e = 0 ⇔ cp2 – pe + f = 0. C e B existem se p existir, ou seja e2 – 4cf > 0. Assim, é possível obter as razões A/B, C/A e C/B e em conseqüência, decompor a equação geral do segundo grau com duas variáveis no produto de duas equações de primeiro grau obtendo as duas retas ou em um produto de duas equações iguais obtendo a reta. Se pelo menos uma das razões não for possível a equação geral não poderá ser decomposta em um produto de equações de primeiro grau e a equação será uma circunferência, uma elipse ou uma hipérbole.

EXERCÍCIOS 1. Identifique cada uma das equações abaixo: a) x2 - y2 + 2x - 6y + 10 = 0 b) x2 - 2y + 4x - 20 = 0 c) 3x2 - 2xy + 6y2 - 4x + 2y - 10 = 0. d) x2 + 12xy + 2y2 - 10x + 6y - 6 = 0. e) 4x2 - 24xy + 6y2 - 12x + 4y - 6 = 0. f) 3x2 + 3y2 - 6x + 12y + 15 = 0. g) x2 + 2xy + y2 + 4y + 4x + 4 = 0. h) 3x2 + 7xy + 2y2 - 7x + y - 6 = 0. CAPÍTULO 6– O PLANO

1 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Consideremos o plano π indicado na figura. O plano fica perfeitamente determinado quando são conhecidos: um vetor v = (a, b, c) normal (perpendicular) ao mesmo e um de seus pontos P = (x0, y0, z0). Como v é perpendicular ao plano ele é ortogonal a qualquer vetor PQ do plano. Seja então Q = (x, y, z), um ponto genérico do plano. Temos assim: QP = Q – P = (x – x0, y – y0, z – z0).

A condição de ortogonalidade permite escrever: v.QP = 0 ⇔ ⇔ a.(x – x0) + b.(y – y0) + c.(z – z0) = 0. Desenvolvendo a igualdade tem-se: ax + by + cz + (-ax0 – by0 – cz0) = 0. Fazendo (-ax0 – by0 – cz0) = d, pode-se expressar a equação de um plano em R3 por: ax + by + cz + d = 0.

EXEMPLOS 1. Dada a equação 3x - 2y + 4z - 12 = 0,

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a) escrever um vetor perpendicular ao plano Conforme visto acima, os coeficientes das variáveis são as componentes do vetor perpendicular ao plano. Portanto, v = (3, -2 , 4). b) escrever um vetor na forma (3k, 2k - 1, 8), paralelo ao plano. O vetor paralelo ao plano é ortogonal ao vetor normal ao plano. Neste caso, o produto escalar é nulo. Tem-se então: (3, -2, 4).(3k, 2k - 1, 8) = 9k -4k + 2 + 32 = 0 ⇔ 5k = 34 9k ⇒ k = 34/5. O vetor pedido é: (3.34/5, 2.34/5 - 1, 8) = (102/5, 63/5, 8). c) um ponto do plano. Para se obter as coordenadas de um ponto, não sendo dada nenhuma condição, basta atribuir valores arbitrários a duas variáveis e calcular o valor da terceira. Para x = 0, y = 0, ter-se-á 0 + 0 + 4k - 12 = 0 ⇒ k = 3. O ponto é então (0, 0, 3). 2. Escrever a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, 3) sendo u = (-4, 5, -1) um vetor normal ao plano. 1º processo: usando a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 tem-se: -4.(x - 1) + 5.(y - 2) + (-1).(z - 3) = 0 ⇔ -4x + 5y - z + 4 - 10 + 3 = 0 ⇔ 4x - 5y + z + 3 = 0. 2º processo: substituindo os valores de a, b, c, x, y e z na equação do plano e calculando d. Neste caso, -4.1 + 5.2 - 1.3 + d = 0 d = -3. A equação é então, -4x + 5y - z - 3 = 0 ou 4x - 5y + z + 3 = 0. EXERCÍCIOS: 1. Escreva a equação do plano que passa pelo ponto (-4, 5, 0) e perpendicular ao vetor (2, 1, -3). 2. Dê um vetor, na forma (6, a, b), perpendicular ao plano 3x + 5y - 2z + 17 = 0. 3. Escreva a equação do plano paralelo ao plano 2x - y + 2z + 5 = 0, que passa pelo ponto (7, 2, -1). 4. Entre os pontos abaixo, qual ou quais pertence(m) ao plano 6x - 2y + z - 10 = 0. a) (1, 3, 2), b) (0, 0, 5) c) (0, 0, 10) d) (1, 4, 12). 5. O ponto (3, 2k + 1, k) pertence ao plano x + y + z - 12 = 0. Determine as coordenadas do ponto. 6. Os pontos (3, a, 2) e (b, 5, 1) pertencem ao plano 2x - y + 3z + 5 = 0. Calcule a) a distância entre os pontos b) a equação da reta que passa pelos pontos. 7. Dê três pontos do plano x + y + z - 2 = 0, não pertencentes à mesma reta e determine a área do triângulo cujos vértices são estes pontos.

2. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Se u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) são dois vetores do plano, qualquer vetor do plano é uma combinação linear de u e v. Isto é, para todo vetor w de π, w = ru + sv. com r e s reais. Sejam então os pontos P = (x0, y0, z0) conhecido e Q = (x, y, z) genérico que pertencem ao plano. Para PQ = w, pode-se escrever (x – x0, y – y0, z – z0) = r.(a1, b1, c1) + s.(a2, b2, c2). Aplicando o princípio da igualdade de vetores: x – x0 = ra1 + sa2 ⇒ x = x0 + ra1 + sa2 y – y0 = rb1 + sb2 ⇒ y = y0 + rb1 + rb2 z – z0 = rc1 + sc2 ⇒ z = z0 + rc1 + rc2 As equações x = x0 + ra1 + sa2 y = y0 + rb1 + rb2 z = z0 + rc1 + rc2

são chamadas de equações paramétricas do plano, onde (x0, y0, z0) é um ponto conhecido do plano, r e s são dois parâmetros e (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2) são dois vetores que pertencem (ou são paralelos) ao plano. EXERCÍCIOS

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1. Dê três pontos do plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s. 2. Dê dois vetores que pertençam ao plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s. 3. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto (1, -3, 5) sendo u = (2, 1, 2) e v = (3, -4, -1) dois vetores paralelo ao mesmo. 4. Escreva a equação do plano x = 2 - 4r + 2s; y = -4 + r + s; z = 2 - 3r + 3s na forma ax + by + cz + d = 0 (forma geral). 5. Dê um conjunto de equações paramétricas para o plano 2x - 5y + 4z - 12 = 0.

3. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

Nos itens anteriores vimos que um plano fica definido por: (1) um ponto e um vetor normal; (fig.1) (2) um ponto e dois vetores paralelos ao plano. (fig. 2) Entretanto, existem outras condições para que um plano fique perfeitamente determinado. São elas: (3) três pontos não colineares; (fig. 3) (4) uma reta e um ponto fora dessa reta; (fig. 4) (5) duas retas paralelas; (fig. 5) e (6) duas retas concorrentes. (fig. 6)

Vejamos como obter a equação da reta nos 4 últimos casos.

(3) – Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) três pontos não colineares conhecidos. Destes três pontos podemos obter os vetores AB e AC, tais que AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) e AC = (x3 – x1, y3 – y1, z3 – z1). O produto AB x AC é um vetor perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Com o ponto A e o vetor AB x AC teremos o ponto e o vetor normal, de onde se pode obter a equação do plano conforme visto no item 1, deste capítulo. Seja por exemplo, determinar o plano que contenha os pontos A = (2, 3, 4), B = (-1, 0, 2) e C = (4, 7, -3). Calculando os dois vetores: AB = (-1 – 2, 0 – 3, 2 – 4) = (-3, -3, -2); AC = (4 – 2, 7 – 3, -3 – 4) = (2, 4, -7) Ponto A = (2, 3, 4). AB x AC = (29, -25, -6). (deixamos a cargo do leitor calcular o produto) Equação do plano: 29.(x – 2) - 25.(y – 3) – 6.(z – 4) = 0 ou 29x - 25y – 6z + 41 = 0. Poder-se-ia também resolver o sistema em função de “d” (ou atribui-se um valor qualquer ao termo independente d), obtido pela substituição de x, y e z dos três pontos na equação ax + by + cz + d = 0. Nesse caso teríamos o sistema: 2a + 3b + 4c + d = 0 -a + 0b + 2c + d = 0 4a + 7b – 3c + d = 0. Em função de d, a solução do sistema é: c = -6d/41, b = -25d/41 e a = 29d/41. Escrevendo a equação do plano: (29d/41)x + (-25d/41)y + (-6d/41)z + d = 0 que, dividindo todos os termos por d é multiplicando por 41, resulta: 29x – 25y – 6z + 41 = 0.

(4) Da reta pode-se obter dois pontos. Com estes dois pontos e o ponto dado aplica-se o mesmo raciocínio do item anterior. Exemplo: Seja escrever a equação do plano que contém a reta x = 2 + 3λ, y = 3 + 3λ, z = 4 + 2λ e o ponto (4, 7, -3). Da reta temos os pontos: para λ = 0, x = 2, y = 3, z = 4 e para λ = -1, x = -1, y = 0, z = 2. Portanto, o plano contém os pontos (2, 3, 4), (-1, 0, 2) e (4, 7, -3), que são os mesmos pontos do exemplo anterior.

(5) De uma das retas obtém-se um ponto e da outra reta obtém-se dois pontos. O problema recai na situação descrita anteriormente.

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(6) Neste caso pode-se obter a interseção das duas retas (um ponto). Com este ponto comum e os vetores que definem a direção da reta teremos dois vetores e um ponto do plano. O problema recai no caso 3. Pode-se também obter um ponto de uma reta e dois pontos da outra. Aplica-se então o raciocínio usado para o caso de três pontos.

EXERCÍCIOS: Determine, para cada uma das condições abaixo, a equação do plano: 1. Dados os pontos (1, -3, 2), (2, 2, 1), (5, -4, 1). 2. Dada a reta (x - 1)/2 = (y + 3)/4 = (z + 2)/-1 e o ponto (1, 10, -9). 3. Dadas as retas paralelas (x + 3)/2 = (y - 1)/5 = (z + 2)/3 e x = 1 + 2λ, y = 4 + 5λ, z = 4 + 3λ. 4. Dado o ponto (-3, 4, -1) e os vetores u = (4, 1, 4) e v = (-3, 7, 2) paralelos ao plano.

4. CASOS PARTICULARES

Vejamos alguns tipos de planos em condições especiais: (1) Planos cartesianos

(2) Planos paralelos aos planos cartesianos

(3) Paralelo aos eixos

(4) Contendo os eixos

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5. ÂNGULO DE RETA E PLANO

O ângulo formado por uma reta e um plano é determinado pela reta e sua projeção sobre o plano, que é uma reta do plano. Na figura, o ângulo está indicado por θ. Sendo u = (a, b, c) o vetor normal ao plano : ax + by + cz + d = 0 e v = (A, B, C) o vetor que define a direção da reta r : x = x0 + Aλ, y = y0 + Bλ, z = z0 + Cλ, O ângulo formado por u e v é o complemento de θ. Tem-se então: sen θ = cos (90º - θ) = |u.v|/|u|.|v| conforme definição do produto escalar. Convém notar que o ângulo θ entre uma reta e um plano é tal que 0 < θ < 90º.

6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS

O ângulo formado por dois planos é avaliado pelo ângulo formado por duas retas, uma em cada plano, perpendiculares à interseção dos planos, ângulo esse compreendido entre 0º e 90º.

Sejam os planos ππππ1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e ππππ2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0.

Os vetores v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2), são perpendiculares às retas r1 e r2 dos planos por serem perpendiculares aos planos. Assim, o ângulo formado pelas retas r1 e r2 (ângulo formado pelos planos) é igual ao ângulo formado pelos vetores v1 e v2 por serem formados por lados

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perpendiculares. Usando o produto escalar temos cos θ = v1.v2/|v1|.|v2|. Como 0º < θ < 90º, resulta cos θ = |v1.v2|/|v1|.|v2|

EXERCÍCIOS 1. Determine o ângulo formado: (pode ser informado o seno ou o co-seno do ângulo). a) pelos planos 3x - 2y + 4z - 10 = 0 e x - y + z + 7 = 0. b) pelo plano x + 2y - 3z + 12 = 0 e a reta x = 2 - 3λ; y = -3 + 2λ; z = 6 + λ. c) pelo plano 2x - 2y + 3z - 5 = 0 e a reta (x - 1)/2 = (y - 9)/-4 = z/3. 2. Determine o ângulo formado pelo plano definido pelos pontos (2, -1, 7), (6, 1, 6) e (4, 3, -3) e a reta que passa pelos pontos (0, 1, 1) e (2, 1, 3). 3. Determine os valores de m e n para que a reta x = 2 - 3λ, y = 5 - λ, z = 4 - 4λ esteja contida no plano mx + ny - 4z + 1 = 0.

7. POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS

Dois planos podem ser: a) paralelos (fig.1); b) coincidentes c) perpendiculares (fig.2); d) concorrentes não perpendiculares (fig.3).

Sejam: π1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 os dois planos. Os vetores normais a tais planos são u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2), respectivamente.

Para os planos paralelos, figura 1, os vetores normais também serão paralelos. Deste modo: v = ku ⇒ a2 = ka1, b2 = kb1, c2 = kc1 ⇒ a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = k. Se também d1/d2 = k, os planos serão coincidentes. Portanto, Se a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ≠ d1/d2 os planos são paralelos e se a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 = d1/d2 os planos serão coincidentes.

Para os planos perpendiculares, figura 2, os vetores normais também serão perpendiculares. Neste caso, u.v = 0 ⇒ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 Assim, se a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0, os planos serão perpendiculares.

Na figura 3, não serão verificadas as relações a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 e a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.

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8. POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS E PLANOS

Uma reta, em relação a um plano, pode: (1) ser paralela ao plano, (r) (2) ser perpendicular ao plano, (s) (3) oblíqua em relação ao plano, e (t) (4) estar contida no plano. (v)

Para a reta r e o plano, que são paralelos, o vetor r que define a direção da reta é perpendicular ao vetor u, normal ao plano. Desta forma, r.u = 0. Entretanto, a reta v, que pertence ao plano também leva a v.u = 0.

Para verificar se a reta é paralela ao plano ou está contida no plano, devemos verificar se v.u = 0 e se um ponto qualquer da reta pertence também ao plano. Se o ponto da reta pertencer ao plano então a reta está contida no plano, caso contrário ela é paralela ao plano.

Pode-se também resolver o sistema formado pela equação da reta e equação do plano. Se o sistema apresentar infinitas soluções (sistema indeterminado) a reta estará contida no plano e se o sistema não apresentar solução (sistema impossível) a reta é paralela ao plano.

Para a reta s, perpendicular ao plano, os vetores u e s são paralelos. Neste caso s = k.u.

No caso da reta t, oblíqua ao plano, t ≠ ku e t.u ≠ 0. EXERCÍCIOS Para os conjuntos abaixo, dê a posição relativa da reta ou do plano em relação ao plano. 1. 3x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - 4y + 12 z - 2 = 0. 2. x + y - z + 3 = 0 e 2x + 2y + 4z - 5 = 0. 3. 3x - 2y + 6z - 10 = 0 e 6x - 4y + 12 z - 20 = 0. 4. 2x - y + 3z - 5 = 0 e x + 3y - 2z - 10 = 0. 5. x + 2y + 3z - 12 = 0 e (x - 3)/2 = (y + 1)/4 = (z - 3)/6. 6. x + 2y - 3z + 1 = 0 e (x - 1)/5 = (x + 2)/2 = z/3. 7. x + 2y - 3z + 1 = 0 e [x = 1 + 3λ, y = 1 + 3λ, z = 2 + 3λ.]

9. TRAÇOS DE RETAS E PLANOS Os pontos onde uma reta ou as retas onde um plano intercepta os planos cartesianos são chamados de traços da reta ou traços do plano. Na figura 1 apresentada acima, os traços da reta são os pontos A, B e C. Na figura 2, os traços do plano ABC são as retas AB, AC e BC.

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Sendo x = x0 + aλ, y = y0 + bλ, z = z0 + cλ as equações paramétricas de uma reta, ao calcular as coordenadas dos pontos A, B e C ter-se-á: (1) ponto A: z = 0 ⇒ λ = -z0/c. Substituindo λ nas equações de x e y, resulta: x = x0 - a.(z0/c) e y = y0 - b.(z0/c). Assim, as coordenadas de A são: (x0 - a.z0/c, y0 - b.z0/c, -z0/c). (2) ponto B: y = 0 ⇒ λ = -y0/b. Substituindo λ nas equações de x e z, resulta: x = x0 - a.(y0/b) e z = z0 - b.(y0/b). Assim, as coordenadas de B são: (x0 - a.y0/b, -y0/b, z0 - c.y0/b). (3) ponto C: x = 0 ⇒ λ = -x0/a. Substituindo λ nas equações de y e z, resulta: y = y0 - b.(x0/a) e z = z0 - c.(x0/a). Assim, as coordenadas de C são: (-x0/a, y0 - b.x0/a, z – c.x0/a).

Considerando o plano ax + by + cz + d = 0, figura 2, os traços são as retas r, s e t. Quando o plano intercepta os três planos cartesianos (não paralelo a nenhum deles) as equações dos traços obtidas fazendo x = 0 (reta r), y = 0 (reta t) e z = 0 (reta s). Assim, os traços têm equações: (1) com o plano YOZ, reta r: x = 0; by + cz + d = 0; (2) com o plano X0Z, reta t: y = 0; ax + cz + d = 0; (3) com o plano YOX, reta s: z = 0; ax + by + d = 0.

Para planos paralelos aos planos cartesianos temos as situações da figura abaixo.

As equações dos traços são: Na figura 3 Reta r: x = 0, z = d; reta s: y = 0, z = d. Na figura 4 Reta r: x = d, z = 0; reta s: x = d, z = 0. Na figura 5 Reta r: x = 0, y = d; reta s: z = 0, y = d. EXERCÍCIOS

1. Determine os traços das retas abaixo com os planos cartesianos: a) x = 3 - 2λ; y = -4 + 2λ; z = 5 + 3λ. b) (x + 3)/-1 = (x - 4)/5 = (x + 2)/1. 2. Determine os traços do plano 3x - 2y + 4z - 10 = 0 com os planos cartesianos.

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3. Dê a posição do plano y + x - 3 = 0 em relação aos planos cartesianos. 4. Dê a equação dos traços do plano x + y - 3 = 0 com os planos cartesianos.

CAP. 07 – COORDENADAS POLARES

1. INTRODUÇÃO

No sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas um ponto é localizado a partir das coordenadas (x, y). Entretanto, outros sistemas de coordenadas podem ser utilizados no estudo dos pontos, retas, superfícies, etc. Entre estes sistemas pode-se dar destaque aos sistemas de: coordenadas polares, coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas. Para um sistema de coordenadas polares, usado no espaço R2 (plano), cada ponto P é localizado a partir da distância r do ponto à origem O dos eixos cartesianos e do ângulo que o vetor OP forma com a direção positiva do eixo horizontal. Pode-se considerar também r < 0. Nesse caso, o ponto será simétrico ao ponto (|r|, θ).

Neste sistema, as coordenadas do ponto P serão indicadas por (r, θ). Na notação indicada, r é o módulo ou distância radial e θ, um ângulo polar ou argumento. A indicação “um ângulo polar” se justifica pois θ pode ser qualquer ângulo da forma θ + 2kπ. Observando a figura pode-se relacionar as coordenadas cartesianas (x, y) com as coordenadas polares (r, θ).

Costuma-se representar um sistema de coordenadas polares com os eixos cartesianos e um conjunto de círculos centrados na origem. Nesse circulo são marcados alguns ângulos, conforme indicado na figura.

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Vejamos como são plotados alguns pontos no plano acima. P (6, 5π/6) – este ponto estará na circunferência de raio 6 e sobre o eixo referente ao ângulo 5π/6. Q (-4, 5π/3) – como r é negativo, Q será simétrico ao ponto Q’ (4, 5π/3).

2. CONVERTENDO COORDENADAS

Usando as relações indicadas no item anterior pode-se transformar coordenadas ortogonais em coordenadas polares e vice-versa. Vejamos alguns exemplos: (1) Coordenadas polares em coordenadas ortogonais. Converter (3, 4π/3) em coordenadas retangulares Tem-se: x = r.cos 4π/3 = 3.(-1/2) = - 3/2 e y = r.sen 4π/3 = 3.(-√3/2) = -3√3/2. Portanto (3, 4π/3) = (-3/2, - 3√3/2).

(2) Coordenadas ortogonais em polares Converter (4, - 4) em coordenadas polares.

Cos θ = x/r = 4/4.√2 = √2/2 e sen θ = y/r = -4/4.√2 = - √2/2 ⇒ θ = 315º = 5π/6. Portanto, (4, - 4) = (4.√2, 5π/6). EXERCÍCIOS

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1. Represente em um sistema de coordenadas polares os pontos: a) (2, π) b) (5, 3π/2) c) (-4, π/3) d) (6, 2π + 7π/6) 2. Transforme em coordenadas polares: a) (5, 5√2) b) (4, 0) c) ( 0, 3) d) (5√3, - 5). 3. Converta em coordenadas retangulares: a) (2, 360º) b) (5, 315º) c) (-2, 600º).