curso introdutÓrio de matemÁtica para...

Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção

Vitor Bruno - Engenharia Civil

Geometria Euclidiana Plana Parte II

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2

Introdução

Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática.

Na aula de hoje você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas.

Área do Retângulo

Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm² de área, observamos que cabem 12 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 12cm².

1cm²

1 cm

1 cm

3 cm

4 cm

Área do retângulo

Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado.

4 cm . 3 cm = 12 cm²

Portanto, a área da superfície de um retângulo

é igual ao produto das medidas da base b e

da altura h.

Aretângulo = b . h

Em que: b e h são números reais positivos.

. A h

b

Área do quadrado

Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos :

A a

a Aquadrado = a . a ou Aquadrado = a²

Em que: a é um número real positivo.

Exercício

O comprimento de um terreno retangular tem 28 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 112 m, determine:

a) As dimensões desse terreno.

b) A área desse terreno.

Resolução

Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões

Como o perímetro de um

polígono plano é a soma

das medidas de todos os

seus lados, somamos

seus lados e igualamos

ao perímetro fornecido

pela questão, que é 112.

x

x

x + 28 x + 28

112)28()28( xxxx

Resolução

144

56564

561124112564

112)28()28(

xxx

xx

xxxx14

14

14 + 28 14 + 28

a)

Substituímos o valor encontrado

para x nas dimensões do

retângulo.

Verificamos que o terreno mede 14 m

de frente e 42 m de comprimento.

Resolução

b)

Sabemos as dimensões do retângulo e

queremos saber sua área. Vimos que a área

do retângulo é dada pelo produto das medidas

da base e da altura, no caso, a base e a altura

valem, respectivamente, 14 m e 42 m. Logo:

²58842.14 mmmA

Exercício

(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L.

L

L

CALÇADA

JARDIM

L

L

Resolução

De acordo com

as medidas

fornecidas do

jardim, sabemos

que a área do

terreno pode ser

escrita em

função de L da

seguinte forma:

L

L

4 4

L 9 L

)24).(29( LLA

A = Largura x Altura

Resolução

Como a questão nos fornece o valor da área

total, igualamos esse valor dado à equação que

montamos anteriormente para determinar L:

03413²2²21334

²42668²42636104

²481836104

)2(2)4(2)2(9)4(9104

104)24).(29(

LLLL

LLLL

LLL

LLLL

LLA

Resolução

Resolvemos a equação de segundo grau e

acharemos possíveis valores para L:

5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

441272169)34)(2(4²13

03413²2

L

L

LL

Resolução

Depois de resolvermos a equação, achamos

2 e -8,5 como possíveis valores para L,

porém, o valor L é referente a medida,

dimensão, e como não existem medidas

negativas, desconsideramos o valor de -8,5.

Então, o valor de L é de 2 m.

5,84

34

4

2113

)2(2

44113''

24

8

4

2113

)2(2

44113'

L

L

Área do paralelogramo

Cortando um pedaço do paralelogramo,

podemos encaixá-lo do outro lado,

transformando-o num retângulo. Veja:

h b

Então, podemos definir que a área do

paralelogramo é igual à área do retângulo: Aparalelogramo = b . h

Em que: b e h são números reais positivos.

Área do triângulo

Toda região triangular é metade da

região limitada por um paralelogramo

de mesma base e altura.

Como dividimos um

paralelogramo em dois

triângulos iguais, a área

de cada um dos triângulos

é igual à metade da área

do paralelogramo:

h

b

Atriângulo = 2

h . b

Exercício

A vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 25% de verde e o restante de branco.

a) Qual a área da parte azul?

b) Qual a área da parte verde? E da branca?

Resolução

Sabemos que a área do triângulo é a metade

do produto da base pela altura. Como temos

esses valores, apenas aplicamos a definição:

²102

20

2

5.4

2

.m

hbA

a)

Como 35% dessa área será pintada de azul,

multiplicamos 35/100 pelo valor da área total

para saber a área azul que será pintada:

²5,3100

35010.

100

35mAazul

Resolução

b) 25% da vela será pintada de verde, então:

²5,2100

25010.

100

25mAverde

Já foi pintada 60% da área da vela (35% de

azul e 25% de verde). Como o restante será

pintado de branco, esse restante será de

40% da área da vela (100% – 60%):

²4100

40010.

100

40mAbranco

Exercício

Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, ela fez 240 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?

Resolução

Para calcular a área total, achamos a área de

uma bandeira, e depois multiplicamos pelo

numero n de bandeiras.

4 cm

4 cm 4 cm

2 cm

4 cm

Aplicamos o teorema de

Pitágoras para achar a

altura h do triângulo.

3212²12

²416²²2²4

hhh

hh

Resolução

4 cm

2 cm

32 cm

Agora acharemos a área da

metade de uma bandeira, já

que temos sua base e altura:

²322

32.2cmA Como achamos a metade

da área de uma bandeira,

a área da bandeira será o

dobro dessa área:

²3432.2.2 cmAAbandeira

Resolução

Achamos a área de uma bandeira, a área total

será o número de bandeiras multiplicado por

essa área. Como o número de bandeiras é

240, multiplicamos esse valor pela área de

uma bandeira e acharemos a área total:

²396034.240.240 cmAA bandeiratotal

A área total de papel necessário para Carol

fazer suas bandeirinhas foi cm². 3960

Área do trapézio

Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases.

Vamos decompor a

região limitada por um

trapézio para encontrar

sua área.

Área do trapézio

Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos).

Primeiro, decompomos

a região traçando uma

de suas diagonais.

a

b

B

Observe que temos agora 2 regiões triangulares: b

a a

B

Área do trapézio

A área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos:

2

).(A

2

..A

2

.

2

.A

AAA

T

T

T

21T

aBb

aBab

aBab

A1

A2

b

B

a

2

)(AT

abB

Exercício

Determine a área do terreno plano abaixo usando as

medidas dadas.

Resolução

6m

4m

12m

5m

9m

11m

Modelo matemático:

decomposição do

terreno em três

regiões.

Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos

que:

²127A2

4)119(

2

65)612(A

2

)(

2)(A

AAAA

terrenoterreno

terreno

trapéziotriânguloretânguloterreno

m

hbBbhbh

Área do Losango

Todo losango pode ser transformado num retângulo

equivalente, com altura D e base d/2.

Assim, a área da região limitada

por um losango é dada pela

metade do produto das medidas

das diagonais.

2

dD.Alosango

Em que D e d são números reais positivos.

Exercício

(Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (Ar) e a do losango (AL)?

a) ½

b) 2

c) 1/3

d) 4/3

Resolução

Temos a seguinte figura:

A partir disso, calculamos a área de cada figura:

e , logo a razão Ar/AL é: DdAr 2

DdAL

22

1

2

A

A

L

r Dd

Dd

Dd

Dd

Área de um triângulo equilátero

Área de um triângulo equilátero

Área de um triângulo equilátero

Área de um Hexágono regular

Um hexágono regular é formado por seis regiões

triangulares equiláteras.

Como a área de uma região

triangular equilátera é dada por:

4

3²6

4

3²6Ahexágono

ll

2

3²3Ahexágono

l

4

3²A quiláterotriânguloe

l

Ou seja:

A área do hexágono é dada por:

Área de um polígono regular

Um polígono regular é aquele que tem todos os

lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele

pode sempre ser inscrito em uma circunferência.

Exemplos:

Área de um polígono regular

Pode-se perceber que se o polígono regular tem n

lados, a região limitada por ele pode ser decomposta

em n regiões limitadas por triângulos isósceles.

Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o

apótema (a). Logo:

2

anA

l

Em que l : lado

a: apótema

n: número de lados, (valores reais positivos).

Exercício

Na figura, ABCD é um quadrado de

lado a. Tomando-se E e G nos

prolongamentos da diagonal AC e

F e H nos prolongamentos da

diagonal BD, com EA=AC=CG e

FB=BD=DH, determine a área do

octógono AFBGCHDE em função de

a.

Resolução

Podemos perceber que o octógono é formado por 4 triângulos congruentes:

Logo, a área total equivale a soma das áreas de cada triângulo.

Sendo assim, vamos encontrar as

medidas, calcular a área de um

triângulo e multiplicar por 4.

Resolução

Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a, x e x.

E note que o valor de x

corresponde a base dos

triângulos maiores.

Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a),

aplicando o teorema de Pitágoras:

2

ax

2

ax2xaxxa

2222222

Resolução

Sabendo o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores.

Para descobrir a altura do triângulo, voltamos para o enunciado da questão, que diz que DB=DH, por exemplo. Logo a altura do triângulo é o triplo de sua base.

x3

x

2x

x

Resolução

Como ,a base do triângulo é igual a e a altura é

. 2

ax

2

a

2

3a

Por fim a área de cada triângulo é dada por:

E a área do octógono:

4

3a

2

2

3a

2

2

3a

2

a

2

alturaBaseA

2

2

triângulo

22

total 3a4

3a4A

2

3a

2

a

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