conjuntos nebulosos - introdução se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego atribuído a...

Conjuntos Nebulosos - Introdução

Se você tem um martelo, tudo irá parecer um prego

Atribuído a Dinísio de Agapunta (300 AC)

Adriano Joaquim de O Cruz – NCE e IM, UFRJ

©2002 adriano@nce.ufrj.br

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 2

Sumário

Conjuntos Clássicos Função de Inclusão em Conjuntos Clássicos Operações com Conjuntos Clássicos Propriedades de Conjuntos Clássicos Conjuntos Nebulosos Funções de Inclusão em Conjuntos

Nebulosos Terminologia de Conjuntos Nebulosos

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Conjuntos Clássicos

Universo de Discurso– Corresponde ao espaço onde estão

definidos os elementos do conjunto– Por exemplo: alturas de seres humanos: 0 <= alt <= 2.5m temperatura ambiente: -70o<=temp<=70o

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Conjuntos Clássicos

Função de Inclusão – Define se um pertence ou não a um

conjunto

70.1,0

70.1,1(X)A

x

x

1

01,70 altura

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Problemas/Conjuntos Clássicos

Apresentam problemas quando aplicados à uma enorme classe de problemas do mundo real.

O problema da escolha do limiar entre dois conjuntos (alto/não alto) é denominado de paradoxo de Sorites, atribuído ao dialético, Eubulides de Mileto, adversário de Aristóteles

O paradoxo se enuncia com os seguintes termos“Quando um monte de areia deixa de ser um monte de

areia, caso retiremos um grão de areia de cada vez?”

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Operações com conjuntos clássicos

}|{|},|{

}|{}|{

BxAxxBADiferençaXxAxxAoComplement

BxAxxBAInterseçãoBxAxxBAUnião

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Tabelas Verdade

011|11

001|01

101|10

100|00

| xyxyxyx

Que funções matemáticas poderiam ser usadas para representar as operações de união, intercessão, e complemento?

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Propriedades de Conjuntos Clássicos

)()()(

)()()(

)()(

)()(

CABACBA

CABACBAvidadeDistributi

CBACBA

CBACBAidadeAssociativ

ABBA

ABBAdadeComutativi

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Propriedades de Conjuntos Clássicos

AXA

XXA

A

AAIdentidade

AAA

AAAiaIdempotênc

BABA

BABAMorganDe

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Conjuntos Nebulos Introdu₤₧o 10

Leis de Aristóteles

“Tudo deve ser ou não ser, seja no presente ou no futuro.”

A União de um conjunto com seu complemento forma o conjunto Universo.

Esta é chamada de lei da exclusão do meio

XAA

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Leis de Aristóteles

A Intercessão de um conjunto com seu complemento é vazia.

Esta é chamada de lei da não contradição

AA

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Conjuntos Nebulosos

A função de inclusão de elementos em um conjunto nebuloso A é caracterizada por

que mapeia cada elemento do conjunto X em um número real no intervalo [0,1]

1.0

01,70 altura

0.5

1,80

]1,0[:(.) X

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Conjuntos Nebulosos - definição

Um conjunto nebuloso pode ser expresso por um conjunto ordenado de pares:

}|))(,{( XxxxA A

Universo de Discurso

Conjunto Nebuloso

Função de Inclusão

Valor

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Tipos de Inclusão

Inclusão com grau: um elemento pertence a um conjunto com um determinado grau de certeza. Alguns elementos são mais representativos da idéia central do conjunto que outros– alunos excelentes={(Pedro,0.8), (Ana,0.9),

(Paulo,0.9), (Marta,1.0)}–muito altos = {(Oscar,0.95), (Michael

Jordan, 0.95), (Junior Baiano,0.8)}

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Tipos de Inclusão

Inclusão em diversos conjuntos: um elemento pode ser membro parcial de mais de um conjunto– crian₤as={Pedro, Ana, Paulo, Marta}– adolescentes = {Pedro, Mateus, Joaquim}

– crianças(Pedro)=0.2– adolescentes(Pedro)=0.8

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Não é probabilidade

Pertencer ao conjunto das pessoas altas, com um grau de inclusão de 0.25, indica afastamento da definição ideal de uma pessoa alta por uma diferença de 0.75

O grau 0.25 não significa que uma pessoa com esta altura possa ser encontrada com probabilidade 0.25 no conjunto das pessoas altas

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Não é probabilidade

Um líquido em uma garrafa tem 95% de probabilidade de ser veneno puro

Um líquido em uma garrafa pertence a conjunto das garrafas com água pura com grau 0.95, isto é 5% de veneno na água

Veneno nesta concentração não mata, mas você irá passar muito mal.

De qual garrafa você beberia?

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Representando conjuntos nebulosos

Pares ordenados: um conjunto nebuloso pode ser representado por um par ordenado de pares, sendo que o primeiro elemento denota o elemento do conjunto e o segundo o seu grau de inclusão no conjunto

Altos = {(João=1.6, 0.0), (Ana=1.7,0.5), (Oscar=1.8,1.0)}

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Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

9.10

9.17.15.95

7.15.15.75

5.10

)(

altura

alturaaltura

alturaaltura

altura

alturamedia

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Representando Conjuntos Nebulosos

Função de Inclusão: um conjunto nebuloso pode ser representado por uma função que mapeia os elementos do conjunto no intervalo [0,1]

1.71.5 1.9

µ(x)

altura

Alturas médias

1.0

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Função Unimodal

Uma função é unimodal se

Uma função unimodal contém informação de tal maneira que quando (x)>(y) para um conjunto A implica que x está mais perto da definição ideal de A do que y.

)](),(min[))1((:]1,0[,, 212121 xxxxXxx

bimodalunimodal

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Função Singular

Função singular (singleton) quando

xx

xxxx 0

1)(

SvOutPlaceObject

1

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Função Clássica

Funções clássicas são empregadas para definição de conjuntos clássicos

1

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Função Linear

Conjunto nebuloso dos mais simples

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Função Trapezoidal e Triangular

Fáceis de implementar e permitem representar conjuntos complexos. Podem ser representadas por 4 valores (a, b, c, d)

cba d

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Função Trapezoidal e Triangular

Uma função trapezoidal pode ser especificada por 4 parâmetros (a, b, c, d). Triângulos , b=c

dx

dxccdxd

cxb

bxaab

axax

dcbaxtrap

0

1

0

),,,:(

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Função Sigmóide

É definida usando-se três parâmetros: seu valor 0 de inclusão (), seu valor 1 de inclusão () e o ponto de inflexão (), que é o ponto onde o valor da função de inclusão vale 0.5

x

xx

xx

x

xS

1

21

2

0

),,,( 2

2

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Função Sigmóide

0

1

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Função Beta

É definida com dois parâmetros, o valor em torno do qual a curva é construída () e um valor que indica a metade da largura da curva no ponto de inflexão ()

2

1

1),,(

x

xB

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Suporte de um conjunto

O suporte de um conjunto nebuloso A, definido sobre um universo de discurso X, é um conjunto clássico definido como

}0)(|{ xXxS AA

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Suporte compacto

O suporte de um conjunto nebuloso é compacto quando seu tamanho é menor que o Universo de Discurso original.

Caso a função de inclusão não seja compacta várias regras serão ativadas por cada entrada, causando que o sistema seja sobrecarregado.

Suporte não compacto Suporte compacto

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Conjunto Corte Alfa

O conjunto clássico A, , de elementos que pertencem ao conjunto nebuloso A até pelo menos o grau é chamado de conjunto corte . O conjunto é definido como:

O conjunto clássico A’ é chamado conjunto corte forte. Ele é definido como:

}0)(|{ xXxA A

}0)(|{' xXxA A

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Conjunto Corte Alfa

1

0

Nível alfa

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Cardinalidade

A cardinalidade |A| de um conjunto nebuloso finito A é definida como

A cardinalidade relativa de A é definida como

Xx

xA )(||

X

AA

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Cardinalidade - Exemplo

Seja o conjunto

definido no universo de notas de 0 até 10 com notas de 0.5 em 0.5. A cardinalidade de A vale

Então a cardinalidade relativa de A vale

)}25.0,5.9(),5.0,9(),75.0,5.8(

),1,8(),75.0,5.7(),5.0,7(),25.0,5.6{(A

0.425.05.075.0175.05.025.0|| A

2.020

0.4A

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Cardinalidade - cont

Para conjuntos X infinitos, a cardinalidade é definida como

x

A dxxA )(

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Altura de conjunto nebuloso

A altura de um conjunto nebuloso A é definida como

Um conjunto é definido como normal se HA=1 e subnormal no caso contrário

)}({max xH AXxA

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Distância

Mede a distância que um valor está da definição ideal do conjunto. É definida como

0)(1

)(

10)(

),( xx

xxAd

AA

A

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Distância

0

1

Conjunto A(x)

Distância d(A,x)

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Exemplo de Conjuntos

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Exemplo de Conjuntos

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Exemplo de Conjuntos

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Exemplo de Conjuntos