condução de calor estacionária...
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CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE
Condições variam com o tempo problema transiente ocorre quando as
condições de contorno variam.
Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no
interior do sólido começa a variar
Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de
temperatura estacionária
A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do
sistema e condução no interior do sistema
O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises
considerando:
1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação
com a posição) e somente há variação com o tempo: T(t)
2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo: T(x,t)
O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no
sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e
resfriamento:
- tratamento térmico
- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma
corrente de ar frio
- produção de novos materiais com propriedades melhoradas
- congelamento de alimentos
1) MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL - T(t) (sólido com resistência interna desprezível)
Sólido submetido a uma variação térmica repentina
Ex:
Em t=0 uma peça metálica aquecida e na temperatura Ti é imersa em
um banho líquido na temperatura T (Ti>T)
Para t>0 a temperatura do metal diminui até alcançar T.
Isto se deve à convecção na interface sólido-líquido
Considerando que:
1) a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer
instante durante o processo, o que implica que o gradiente de
temperatura dentro do sólido é desprezível
2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência
de uma condutividade térmica, k, infinita.
Admite-se que:
A resistência interna à transferência de calor por condução dentro do
sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a superfície e
o meio (convecção).
Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área
superficial e o volume, ex: placas finas e fios.
Desprezando os gradientes de temperatura no interior d sólido a análise não
pode ser feita com a equação do calor.
A resposta transiente da temperatura é determinada por:
BALANÇO GLOBAL DE ENERGIA NO SÓLIDO
Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna
acsai EE
Ws
J
s
K
kgK
Jm
m
kg
p
WKmKm
W
sdt
)t(dTVc)T)t(T(hA
3
3
2
2
Por conveniência se define:
T)t(T)t(
Substituindo resulta:
tlnhA
Vc i
Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para
atingir a temperatura T.
Também pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t.
Vc
hAtexp
TTi
T)t(T
i
O termo
Vc
hA
1
massa do sólido
onde é denominada de constante de tempo térmica, em s, e representa
o tempo que levará um objeto à responder a qualquer variação no seu
conteúdo térmico.
1texp
TTi
T)t(T
i
Por analogia:
RhA
1
Resistência à T.C. por convecção
e
CmcVcρ == Capacitância térmica do sólido
então =RC
Qualquer aumento de R ou C causará uma resposta mais lenta do sólido às
mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o
equilíbrio térmico.
- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.
- Quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, maior e, por
tanto, mais tempo leva para aquecer ou resfriar.
A energia total transferida Q é:
t0
t0 dthAqdtQ
substituindo
dt)tVc
hAexp(hAQ t
0 i
t
Vc
hAexpVcQ i
1 (J)
ou
–Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna
Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido)
Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado
O método apresentado caracteriza-se por sua simplicidade e conveniência
para a solução de problemas transientes de aquecimento ou de
resfriamento.
A questão que surge é: quais as condições em que o método pode ser
aplicado com precisão satisfatória?
Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra
exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície:
)TT(hA)TT(L
kA 221
Bik
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond
12
21
Número adimensional de Biot – Bi:
Razão entre as resistências interna e externa.
Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à
diferença de temperatura entre a superfície e o fluido.
Bi=hL/k
Se:
Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura uniforme
no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente.
(T(x,t)T(t))
Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é
significativo T(x,t).
Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre
a superfície e o fluido.
Para aplicá-lo testar se:
Bi = hLct/k < 0,1
onde Lct é o “comprimento da condução ou comprimento característico”,
que é definido para considerar outras formas geométricas, Lct=V/A
Se essa condição for satisfeita, o erro associado à utilização do método da
capacitância global é pequeno.
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria
geométrica e térmica
- Parede plana de espessura 2L:
Lct = L
- Cilindro longo: Para um cilindro de raio r e altura
H o eixo de simetria está também em r = 0
Lct = r/2
- Esfera:
Para uma esfera de raio r, o eixo de simetria está em
r = 0:
Lct = re/3
Número adimensional de Fourier – Fo
Denominado tempo relativo
2ctL
tFo
Difusividade térmica pc
k
(m²/s)
Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo:
Fo.BiexpTTi
T)t(T
i
A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para
diversos tipos geométricos.
Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.
Exemplo:
Em um processo de fabricação esferas de bronze de 50 mm de diâmetro estão
inicialmente a 120ºC e são submetidas a um processo de têmpera, que consiste em fazê-
las passar através de um banho de água a 50ºC por um período de 2 min a uma taxa de
110 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo é de 240
W/m²K, determine:
a) A temperatura das esferas após o processo.
b) A taxa de calor que deve ser removida do banho de água para manter sua
temperatura em 50ºC.
c) A temperatura na superfície das esferas é diferente da temperatura no centro?
R:
Bi=0,023 – método Capacidade concentrada (T(t))
Fo=44,32
Lc=0,0083
Se as esferas fossem de aço inoxidável (cp=502 J/kgK, k=14,5 W/mK, =8003 kg/m³,
=3,6x10-6m²/s) e 150 mm de diâmetro, calcule os mesmos parâmetros.
Bi=0,41- método espacial (T(r,t)
Lc=0,025
Fo=?
Esferas 120ºC
Banho de água 50ºC
Análise geral do MCG
Outros processos induzem a condição térmica transiente no interior do
sólido:
- sólido pode estar separado da vizinhança por um gás ou pelo vácuo
se a temperatura do sólido e da vizinhança forem diferentes a
radiação pode causar variação da energia interna no sólido e na sua
temperatura
- fluxo térmico na superfície
- início de um processo de geração de calor no interior do sólido (passagem
de corrente elétrica por exemplo)
dt
dTVcρA)"q"q(qA"q )r,c(sradconvg)a(ss =++
dt
dTVcρA)]TT(εσ)TT(h[qA"q )r,c(s
4viz
4g)a(ss =++ ∞
Vizinhança
Tv
-
- - -
Solução: 1) ou por diferenças finitas
2) ou solução exata para condições simplificadas:
Exemplo 1: sem q”, sem qg, sem convecção
dt
dTVcρA)TT(εσ r,s
4viz
4
T
Ti44
viz
t
0
r,s
)TT(
dTdt
Vcρ
σAε
vizvizviz
viz
viz
viz
vizrs T
Ti
T
T
TiT
TiT
TT
TT
TA
Vct 11
__3
,
tantan2lnln4
Exemplo 2: sem q” e sem qg, mas com convecção e radiação
dt
dTVcρA)]TT(εσ)TT(h[ s
4viz
4 =+∞
RradRconv
RcondBi
+=
- - -
C)RradRconv(τ +=
Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis
- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como
uma função do tempo e da posição
Problema da condução transiente unidimensional adimensionalizado
Equação diferencial cuja solução envolve: séries infinitas e equações
transcendentais.
Parede plana de espessura 2L: unidimensional, k constante e sem geração
Equação diferencial
)t,x(t
T
x
T
1
2
2
Condições inicial e de contorno
Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti
Cond. de contorno x=0 0
x
T (simetria)
x=L ]T)t,L(T[hdx
dTk
T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)
Parede exposta a um meio a T∞<Ti em t=0
Transferência de calor da parede para o meio
Gradiente de temperatura na parede
-L x +L
Simetria em x = 0 basta analisar: 0 x L
Adimensionalizar as equações e condições permite:
diminuir a dependência da temperatura
arranjar as variáveis em grupos
Temperatura adimensional
TTi
TT
i
*
0 θ* 1
Coordenada espacial ou posição adimensional
L
xx* L = semi-espessura da parede plana 0 x* 1
Tempo adimensional: nº de Fourier, Fo 2
*
L
tFot
Equação diferencial torna-se:
Fox
*
*
*
2
2
Condição inicial: 10 ),x( **
Condições de contorno: 0x
)Fo,0(*
*
)Fo,1(Bi
x
)Fo,1( **
*
)Bi,Fo,x(f **
Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma
função de x*, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares.
A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo:
- transformada de Laplace; - método de separação de variáveis; -método
das diferenças finitas e dos elementos finitos.
1) Soluções analíticas: parede plana, cilindro longo e esfera
Fox
*
*
*
2
2
Método de separação de variáveis: consiste em expandir a função
arbitrária da série de Fourier.
A variável dependente é o produto de uma série de funções, cada uma
sendo função de uma única variável independente reduz a equação
diferencial parcial em uma série de equações diferenciais ordinárias.
*(x*,Fo) = f(x*)g(Fo) equações diferencias ordinárias uma função
de x* e outra de Fo
A solução exata é na forma de uma série infinita:
∑=∞
=1n
*1
21n
* )xξcos()Foξexp(Cθ
O coeficiente Cn é:
)ξ2(senξ2
ξsen4C
nn
nn +
=
e n são os valores discretos (autovalores) (raízes da equação
característica ou auto função).
Biξtanξ nn
A solução exata da equação é válida para qualquer tempo, 0 Fo ∞.
- n n
Solução aproximada: para Fo > 0,2 a solução pode ser aproximada pelo
primeiro termo da série (erro menor que 2%)
Considerando o comprimento característico: Lct=V/A
Parede Plana de espessura 2L: Lct= L
Cilindro longo: raio externo: Lct = re
Esfera: raio externo: Lct=re
k
hLcBi 2Lc
tFo
A) Parede plana
- Temperatura
)xcos()Foexp(C **1
211
ou )xcos( **o
*1 onde
TTi
TTo)Foexp(C*
o2
11
C1 e 1 (em rad) são constantes tabeladas para cada geometria em função de
Bi
- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de
tempo t
*o
o
sen
Q
Q
1
11
Qo - Energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido
ou quantidade máxima de transferência de calor para tempo infinito.
)TTi(cVQo
B) Cilindro infinito – raio re
Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na
direção radial. Razoável para L/re 10
Solução exata:
1n
*n
2nn
* )rξ(Jo)Foξexp(Cθ
2r
tαFo
)ξ(J)ξ(J
)ξ(J
ξ
2C
n2
1n2
o
n1
nn
Bi
)ξ(J
)ξ(Jξ
n0
n1n
Solução aproximada – 1º termo da série
)rξ(Jo)Foξexp(Cθ *1
211
*
Jo= função de Bessel tabelada e re
rr*
ou )r(Jo **o
*1 onde
TTi
TTo)Foexp(C*
o2
11
)(JQ
Q*o
o11
1
21
J1= função de Bessel tabelada
C) Esfera – raio re
)rsen(r
)Foexp(C *
*
*1
1
211
1
ou )rsen(r
*
*
*o
*1
1
1
onde
TTi
TTo)Foexp(C*
o2
11
re
rr*
)cos()sen(Q
Q*o
o1113
1
31
Coeficientes usados nas soluções aproximadas (um termo das soluções em
série) para condução transiente unidimensional
Parede plana Cilindro longo Esfera
Bi = hL/k para parede plana e Bi=hre/k para cilindro e esfera
Exemplos:
1. No estágio de reaquecimento do processo de têmpera uma
placa de aço de 100 mm de espessura que está inicialmente
a 200ºC deve ser aquecida até a temperatura máxima de
550ºC.
O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde
os produtos de combustão a 800ºC e mantêm um coeficiente
de transferência de calor de 250 W/m²K em ambas as
superfícies da placa.
a) Quanto tempo a placa deve ser deixada no forno?
b) Qual a energia total transferida, por unidade de área?
2. Um eixo cilíndrico longo de 30 mm de diâmetro
inicialmente a 1000 K, é subitamente resfriado pela imersão
em um grande banho de óleo que se encontra a uma
temperatura constante de 350 K.
k=1,7 W/mK, c=1600 J/kgK e =400 kg/m³.
O coeficiente de transferência de calor convectivo é de 50
W/m²K.
a) Qual o tempo necessário para que a superfície do cilindro
atinja 400 K? Qual seria a temperatura no centro e na
metade do raio neste tempo?
b) Represente a variação de temperatura da superfície do
cilindro no intervalo de tempo 0 <=t<= 300 s. Se o óleo
fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de
200 W/m²K como ficaria a variação de temperatura no
cilindro com o tempo de resfriamento?
Sólido semi-infinito
- Idealização útil para muitos problemas
práticos: simples superfície plana que se
estende ao infinito em todas as outras
direções
- Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície
do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde
nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi
afetada pelas alterações superficiais
Por curtos períodos de tempo, a maioria dos corpos pode ser modelada
como sólidos semi-infinitos, já que o calor não tem tempo suficiente para
penetrar profundamente no corpo, e a espessura do corpo não entra na
análise de transferência de calor.
Por exemplo: - uma peça de aço de qualquer forma pode ser tratada como
um sólido semi-infinito quando é submetido a um tratamento térmico
(têmpera) rápido;
- um corpo cuja superfície é aquecida por um pulso de laser.
Considere um sólido semi-infinito com propriedades termofísicas
constantes, sem geração interna de calor, condições térmicas uniformes em
sua superfície exposta, e inicialmente uma temperatura uniforme de Ti por
toda parte.
A transferência de calor neste caso ocorre apenas na direção normal à
superfície (a direção x) e, portanto, é unidimensional.
Equações diferenciais são independentes das condições de contorno e
condições iniciais, portanto, para condução transiente unidimensional em
coordenadas cartesianas:
)t,x(t
T
x
T
1
2
2
Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti
Condições de contorno
No interior do sólido: a profundidade do sólido é grande (x∞) em
comparação com a profundidade que o calor pode penetrar, e esses
fenômenos podem ser expressos matematicamente como uma condição de
contorno como:
T (x∞, t) = Ti
Na superfície:
Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts
Temperatura aumenta gradualmente dentro do sólido a medida que o calor
penetra mais fundo no sólido
Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: dx
dTkq
Calor é continuamente fornecido ao sólido aumentando a Ts e do interior
do mesmo
Caso 3 – Convecção na superfície: ))t,(TT(hdx
dTk 0 e T(,t)=Ti
Soluções analíticas aproximadas: resposta dentro do sólido diferente para
cada situação:
Para resolver: )t,x(t
T
x
T
1
2
2
a técnica de separação de variáveis não funciona neste caso, uma vez que a
meio é infinito. Se utiliza uma abordagem que converte a equação
diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária, combinando as
duas variáveis independentes x e t em uma única variável , chamada de
variável de similaridade:
De modo que a equação diferencial ordinária é expressa somente em
função somente da variável .
E:
Obs: todo o desenvolvimento para encontrar as soluções desta equação se
encontram nas referências bibliográficas.
Caso 1 - Temperatura constante na superfície
t
xerf
TsTi
Ts)t,x(T
2 t em segundos e x em metros
erf é função erro de Gauss
e
t
)TiTs(kq
Caso 2 - Fluxo de calor constante na superfície
t
xerfc
k
qx
t
xexp
k
/tqTi)t,x(T
24
2 2
Sendo erfc(w)=1-erf(w) função erro complementar de erf (w)
Caso 3- Convecção
k
Th
t
xerfc
k
th
k
hxexp
t
xerfc
TiT
Ti)t,x(T
22 2
2
ou
Exemplo:
Na instalação de adutoras deve haver a preocupação com a possibilidade de
ocorrer congelamento durante períodos de baixa temperatura ambiente, em
locais de clima frio.
Considerando a temperatura da superfície constante ao longo de um
período prolongado de tempo frio, qual é a profundidade mínima que seria
recomendado para evitar o congelamento em condições nas quais o solo
está a uma temperatura inicial uniforme de 20ºC e é submetido a uma
temperatura constante na superfície de -15ºC por 60 dias?
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