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Resistência dos Materiais
Aula 2 – Tensão Normal Média e
Tensão de Cisalhamento Média
Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
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Tópicos Abordados Nesta Aula
Definição de Tensão.
Tensão Normal Média.
Tensão de Cisalhamento Média.
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Resistência dos Materiais
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Conceito de Tensão
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Resistência dos Materiais
Representa a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por um determinado ponto.
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Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento
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Resistência dos Materiais
Tensão Normal: A intensidade da força ou força por unidade de área, que atua nosentido perpendicular a ∆ A, é definida como tensão normal, σ (sigma). Portanto pode-se escrever que:
A
F
A ∆
∆=
→∆
lim0
σ
Tensão de Cisalhamento: A intensidade da força ou força por unidade de área, queatua na tangente a ∆ A, é definida como tensão de cisalhamento, τ (tau). Portantopode-se escrever que:
A
F
A ∆
∆
=→∆lim0
τ
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Unidades de Tensão no SI
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No Sistema Internacional de Unidades (SI), a intensidade tanto da tensãonormal quanto da tensão de cisalhamento é especificada na unidade básica de
newtons por metro quadrado (N/m²).
Esta unidade é denominada pascal (1 Pa = 1 N/m²), como essa unidade émuito pequena, nos trabalhos de engenharia são usados prefixos como quilo(10³), mega (106) ou giga (109).
²m / N10Pa10MPa1 66==
²m / N10Pa10GPa1 99 ==
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Tensão Normal Média
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Hipóteses de simplificação1) É necessário que a barra permaneça
reta tanto antes como depois de acarga ser aplicada, e, além disso, aseção transversal deve permanecerplana durante a deformação.
2) A fim de que a barra
possa sofrer deformaçãouniforme, é necessárioque P seja aplicada aolongo do eixo docentróide da seção
transversal e o materialdeve ser homogêneo eisotrópico.
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Tensão Normal Média - Simplificações
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Material Homogêneo: Possui as mesmas propriedadesfísicas e mecânicas em todo o seu volume.
Material Isotrópico: Possui as mesmas propriedadesfísicas e mecânicas em todas as direções.
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Distribuição da Tensão Normal Média
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∫ ∫ = AdAdF σ
AP ⋅=σ
A
P=σ
onde:
σ = Tensão normal média em qualquer ponto da área daseção transversal.
P = resultante da força normal interna, aplicada no centróideda área da seção transversal.
A = área da seção transversal da barra.
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Exercício 1
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1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e
BC como mostra a figura. Se AB tem diâmetro de 10 mm e BC tem diâmetro de 8 mm. Determinar a tensão normalmédia em cada haste.
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Solução do Exercício 1
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Diagrama de corpo livre: Determinação das forças em AB e BC :
∑ = 0 yF
060cos5
4=°⋅−⋅ BA BC F F
08,7846053 =−°⋅+⋅ senF F BA BC
∑ = 0 xF
(I)
(II)
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Solução do Exercício 1
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De (I)
060cos5
4=°⋅−⋅ BA BC F F
08,784605
360cos
4
5=−°⋅+⋅°⋅⋅ senF F BA BA
Substituindo-se (III) em (II), tem-se que:
Em (III)
4
60cos5 °⋅⋅=
BA BC
F F (III)
08,7846060cos20
15=−°⋅+°⋅⋅
senF F BA BA
08,7846060cos20
15=−
°+°⋅⋅ senF BA
°+°⋅
=
6060cos2015
8,784
sen
F BA
4
60cos38,6325 °⋅⋅= BC F
38,632= BAF N
23,395= BC F N
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Solução do Exercício 1
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Resistência dos Materiais
4
2d
ACIRC
⋅=π
Área do Circulo
22
4
4d
F
d
F
A
F
⋅
⋅
=⋅== π π σ
Tensão Normal
86,78
23,3954 2 =⋅
⋅==π
σ
BC
BC BC
AF
Cabo BC
05,810
38,6324 2=
⋅⋅==π
σ
BA
BA BA
AF
Cabo BA
MPa
MPa
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Tensão de Cisalhamento Média
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A
V méd =τ
onde:
τ méd = Tensão de cisalhamento média na seção.
V = Resultante interna da força de cisalhamento.
A = Área da seção transversal.
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Cisalhamento em Juntas
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Cisalhamento Simples:
Cisalhamento Duplo:
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Exercício 2
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2) A barra mostrada na figura tem seção transversal quadradapara a qual a profundidade e a largura são de 40 mm. Supondo
que seja aplicada uma força axial de 800 N ao longo do eixo docentróide da área da seção transversal da barra, determinar atensão normal média e a tensão de cisalhamento média queatuam sobre o material (a) no plano da seção a-a e (b) no planoda seção b-b.
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Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenasna força axial P = 800 N.
Tensão normal média:
0=méd τ 2l
P
A
P==σ kPa
204,0
800=σ 500=σ
Tensão de cisalhamento:
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Solução do Exercício 2
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Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre dosegmento esquerdo será como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a força normal Ncomo a força de cisalhamento V atuarão sobre a área seccionada.
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Solução do Exercício 2
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Resistência dos Materiais
0´ =∑ xF
030cos800 =°⋅− N
°⋅= 30cos800 N
N82,692= N
0´ =∑ yF
030800 =°⋅− senV
N
°⋅= 30800 senV
400=V
Utilizando como referência os eixos x´ e y´:
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Solução do Exercício 2
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04618,004,0 ⋅=⋅= hb A
Área da seção transversal:
40=b mm
18,466040 =°
=sen
h mm
Tensão normal média:
04618,004,0
82,692
⋅==
A
N σ
06,375=σ kPa
Tensão de cisalhamento média:
04618,004,0
400
⋅
==
A
V τ
49,216=τ kPa
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Exercícios Propostos
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1) O elemento AC mostrado na figura está submetido a uma força vertical de 3 kN.Determinar a posição x de aplicação da força de modo que o esforço de compressãomédio no apoio C seja igual ao esforço de tração no tirante AB. A haste tem umaárea de seção transversal de 400 mm², e a área de contato em C é de 650 mm².
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Exercícios Propostos
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2) O mancal de encosto está submetido as cargas mostradas. Determinar a tensão normalmédia desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B, C e D. Fazer o
desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizadoem cada seção.
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Exercícios Propostos
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3) O eixo está submetido a uma força axial de 30 kN. Supondo que o eixo passe pelo furode 53 mm de diâmetro no apoio fixo A, determinar a tensão do mancal que atua sobre ocolar C . Qual é a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do
colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 mm de diâmetro.
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Exercícios Propostos
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4) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste deaço de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga
vertical de 5 kN, calcular a tensão de cisalhamento média da haste e aolongo das duas áreas sombreadas da escora, uma das quais está identificadacomo abcd .
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Exercícios Propostos
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5) A viga é apoiada por um pino em A e um elo curto BC . Se P = 15kN, determinar a tensão de cisalhamento média desenvolvida nos
pinos A, B e C . Todos os pinos estão sob cisalhamento duplo e cadaum deles tem 18 mm de diâmetro.
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