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Função Modular

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Função Modular

1.Função definida por várias sentenças abertas

2.Módulo

3.Função modular

4.Equações modulares

5.Inequações modulares

3

Uma função f pode ser definida por váriassentenças abertas, cada uma das quais está ligadaa um domínio D, contido no domínio da f.

1. Função definida por váriassentenças abertas

4

Exemplos preliminares

1o) Seja a função definida por

que também pode ser indicada por

1. Função definida por váriassentenças abertas

:f →ℝ ℝ

( ) 1 para 0

( ) 1 para 0 2

( ) 3 para 2

f x x

f x x x

f x x

= < = + ≤ < = ≥

1 se 0

( ) 1 se 0 2

3 se 2

x

f x x x

x

<= + ≤ < ≥

5

1. Função definida por váriassentenças abertas

f(x) = 1f(x

) = x

+ 1

f(x) = 3

0

1

2

3

4

-6 -4 -2 0 2 4 6

O seu gráfico está representado abaixo

6

2o) Seja a função definida por

que também pode ser indicada por

1. Função definida por váriassentenças abertas

:f →ℝ ℝ

2

( ) para 1

( ) 1 para 1

f x x x

f x x x

= − < −

= − ≥ −

2

se 1( )

1 se 1

x xf x

x x

− < −=

− ≥ −

7

O seu gráfico está representado abaixo

1. Função definida por váriassentenças abertas

f(x) = -x

f(x) =

x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

8

Definição algébrica: Sendo , define-se mó-dulo ou valor absoluto de x, que se indica por |x|,por meio da relação

Isso significa que:

1o) o módulo de um número real não negativo é igualao próprio número;

2o) o módulo de um número real negativo é igual aooposto desse número;

2. Módulo

x ∈ℝ

se 0

se 0

x x x

x x x

= ≥

= − <

9

Assim, por exemplo, temos:

2. Módulo

3 32 2, 7 7, 0 0

5 5+ = + − = + = − = +

2 2, 3 3− = + + = +

10

Definição geométrica: O módulo de um número é adistância da imagem desse número à origem dareta real.

2. Módulo

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

−72 2 2

− = + + = +7 7 2 2 2 2

2 2

11

Propriedades: Decorrem da definição as seguintespropriedades

2. Módulo

2 2

I. 0,

II. 0 0

III. ou ,

IV. ,

V. e 0

VI. e 0 ou

x x

x x

a b a b a b x

x x x

x a a a x a

x a a x a x a

≥ ∀ ∈

= ⇔ =

= ⇔ = = − ∀ ∈

= ∀ ∈

≤ > ⇔ − ≤ ≤

≥ > ⇔ ≤ − ≥

ℝ

ℝ

ℝ

12

Demonstrações:

2. Módulo

�

�

22

22

02 2 2 2 2 2

02 2 2 2 2 2

Se 0, então e daí

Se 0, então - e daí (- ) (- ) , isto é,

0

0 ou

a

a

x x x x x

x x x x x x x x x

x a x a x a x a a x a

x a x a x a x a x a x a

>

>

≥ = =

< = ⋅ = ⋅ =

≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤

≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ≥

13

Uma aplicação de em recebe o nome de

função módulo ou modular quando a cada as-

socia o elemento .

3. Função modular

ℝ ℝ

x ∈ℝx ∈ℝ

( )f x x=

14

Utilizando o conceito de módulo de um

número real, a função modular pode ser definida

também da seguinte forma:

3. Função modular

0( )

0

x se xf x

x se x

≥= − <

15

O gráfico da função modular é a reunião de

duas semi-retas de origem O, que são as

bissetrizes do 1o e 2o quadrantes.

3. Função modular

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

16

A imagem desta função é , isto é,

a função modular somente assume valores reais

não negativos.

3. Função modular

Im += ℝ

17

Lembremos da propriedade do módulo dos

números reais para :

e, utilizando essa propriedade, vamos resolver

algumas equações modulares.

4. Equações modulares

0k >

ou x k x k x k= ⇔ = = −

18

Exemplo 1: Resolver .

4. Equações modulares

2 1 3x − =

2 1 3 2

2 1 3 ou

2 1 3 1

x x

x

x x

− = ⇒ =− = ⇒ − = − ⇒ = −

{ }2, 1S = −

19

Exemplo 2: Resolver .

Lembrando da propriedade

4. Equações modulares

3 1 2 3x x− = +

ou a b a b a b= ⇔ = = −

24,

5S = −

3 1 2 3 4

3 1 2 3 ou

23 1 2 3

5

x x x

x x

x x x

− = + ⇒ =

− = + ⇔ − = − − ⇒ = −

20

Exemplo 3: Resolver .

Devemos ter inicialmente

para que seja possível a igualdade.

4. Equações modulares

1 3 2x x+ = +

23 2 0

3x x+ ≥ ⇒ ≥ −

21

Supondo , temos:

4. Equações modulares

23

x ≥ −

12

S = −

11 3 2

21 3 2 ou

31 3 2 (não convém)

4

x x x

x x

x x x

+ = + ⇒ = −

+ = + ⇔ + = − − ⇒ = −

22

Lembrando das propriedades de módulo dos

números reais para :

e, utilizando essas propriedades, podemos resolver

algumas inequações modulares.

5. Inequações modulares

0k >

1)

2) ou

x k k x k

x k x k x k

< ⇔ − < <

> ⇔ < − >

23

Exemplo 4: Resolver em : .

Então:

5. Inequações modulares

2 1 3x + <

{ }/ 2 1S x x= ∈ − < <ℝ

ℝ

2 1 3 3 2 1 3 2 1x x x+ < ⇒ − < + < ⇒ − < <

24

Exemplo 5: Resolver em : .

Então:

5. Inequações modulares

4 3 5x − >

1/ ou 2

2S x x x = ∈ < − >

ℝ

ℝ

14 3 5

24 3 5 ou

4 3 5 2

x x

x

x x

− < − ⇒ < −

− > ⇒ − > ⇒ >