aula 2 análise vetorial
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8/17/2019 Aula 2 Análise Vetorial
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Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de Matemática e Estat́ısticaDisciplina: Análise Vetorial IXProfessora: Rosiane Soares CesarAula 2 - 21/03/14
1 Limites e Continuidade de Funções Vetoriais de uma
Variável Real
Definição 1.1 Seja f : A → Rn uma funç˜ ao vetorial de uma vari´ avel real, A ⊂ R. Suponha que
f (t) = (f 1 (t) , f 2 (t) , . . . , f n (t)) .
Dado t0 ponto de acumulaç˜ ao de A, temos que
limt→t0
f (t) = L = (L1, L2, . . . , Ln)
se e somente se limt→t0
f i (t) = Li, ∀i = 1, . . . , n
Exemplo 1.2 Seja f : R − {1} −→ R3 definida por
f (t) =
t2 − 5t + 4
t3 − 1 ,
sen (t2 − 1)
t − 1 ,
e2t−2 − 1
t − 1
.
Vamos calcular limt→1 f (t). Como vimos na definiç˜ ao acima, basta calcular o limite de cada componente da funç˜ ao f . Como
limt→1
t2 − 5t + 4
t3 − 1 = −1, lim
t→1
sen(t2 − 1)
t − 1 = 2, lim
t→1
e2t−2 − 1
t − 1 = 2
Temos que limt→1
f (t) = (−1, 2, 2) .
Proposição 1.3 Sejam f, g : A → Rn duas funç˜ oes vetoriais de uma vari´ avel real, A ⊂ R.Sejam t0 um ponto de acumulaç˜ ao de A e suponha que existam os limites
limt→t0
f (t) = v e limt→t0
g (t) = w,
onde v, w ∈ Rn. Seja também h : A → R uma funç˜ ao real de uma vari´ avel tal que existe olimite
limt→t0
h (t) = a,
com a ∈ R. Valem as propriedades
(1) limt→t0
(f + g) (t) = limt→t0
f (t) + limt→t0
g (t) = v + w
(2) limt→t0
(kf ) (t) = k limt→t0
f (t) = kv, onde k ∈ R.
(3) limt→t0
(hf ) (t) = limt→t0
h (t) limt→t0
f (t) = av
1
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(4) limt→t0
(f · g) (t) = limt→t0
f (t) · limt→t0
g (t) = v · w
(5) Se n = 3, temos limt→t0
(f × g) (t) = limt→t0
f (t) × limt→t0
g (t) = v × w
Exemplo 1.4 Calcular os limites:
(1) limt→3
t2
− 5t + 6t − 3
, cos tπ
+
t2, −2t + 1
= (1, −1) + (9, −5) = (10, −6)
(2) limt→3
4
t2 − 5t + 6t
t − 3 , cos tπ
= 4 (1, −1) = (4, −4)
(3) limt→0
et − 1
t
t2 + 3,
sen t
t ,
cos t − 1
t
= 2 (3, 1, 0) = (6, 2, 0)
(4) limt→2
t,
t2 − 4
t − 2 ,
et−2 − 1
t2 − 4
·
sen(t − 2)
t − 2 , 0, t
=
2, 4,
1
4
· (1, 0, 2) =
5
2
(5) limt→2
t,
t2 − 4
t − 2 ,
et−2 − 1
t2 − 4
×
sen(t − 2)
t − 2 , 0, t
=
2, 4,
1
4
× (1, 0, 2) =
8,
15
4 , −4
Definição 1.5 Uma funç˜ ao vetorial de uma vari´ avel real f : A → Rn, A ⊂ R. Dadot0 ∈ A ∩ A
(A’ conjunto de pontos de acumulaç˜ ao), dizemos que f é cont́ınua em t0 se
limt→t0
f (t) = f (t0) .
Equivalentemente, se f (t) = (f 1 (t) , f 2 (t) , . . . , f n (t)) ,
ent˜ ao f é cont́ınua em t0 se e somente se f i é cont́ınua em t0, ∀i = 1, . . . , n.Dizemos que f é cont́ınua se f for cont́ınua em todo ponto de A.
Exemplo 1.6 (1) f : R → R2, f (t) = (cos t, sen t) é uma funç˜ ao cont́ınua.
(2) Consideremos as funç˜ oes f 1, f 2 : R −→ R, definidas por
f 1 = (t)
t, se t = 05 , s e t = 0
f 2 (t) = 5t + 6
A funç˜ ao vetorial f : R → R2, dada por f (t) = (f 1 (t) , f 2 (t)) n˜ ao é cont́ınua em 0, pois f 1 n˜ ao é cont́ınua em 0, j´ a que
limt→0
f 1 (t) = 0 = 5 = f (0)
2 Derivada de Funções Vetoriais
Definição 2.1 Seja f : A → Rn uma funç˜ ao vetorial de uma vari´ avel real, A ⊂ t. Dizemos que f é deriv ́avel em t quando existe o limite
lim∆t→0
1
∆t [f (t + ∆t) − f (t)]
Neste caso, tal limite é a derivada de f em t, que denotaremos por f (t)
2
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Seja f : A → Rn uma função vetorial de uma variável real. Notemos que se f (t) =(f 1 (t) , . . . , f n (t)), temos
f (t) = lim∆t→0
1
∆t [f (t + ∆t) − f (t)]
= lim∆t→0
1
∆t [(f 1 (t + ∆t) , . . . , f n (t + ∆t)) − (f 1 (t) , . . . , f n (t))]
= lim∆t→0
f 1 (t + ∆t) − f 1 (t)
∆t , . . . ,
f n (t + ∆t) − f n (t)
∆t
=
lim∆t→0
f 1 (t + ∆t) − f 1 (t)
∆t , . . . lim
∆t→0
f n (t + ∆t) − f n (t)
∆t
= (f 1 (t) , . . . f
n (t))
Assim sendo, temos que f é derivável em t se e somente se cada f i é derivável em t e vale
f (t) = (f 1 (t) , . . . f
n (t)) .
Exemplo 2.2 Seja f : (0, +∞) → R3 dada por f (t) = (ln t, cos t, 5t3 − 2t). Temos que
f (t) =
1
t, − sen t, 15t2 − 2
.
Proposição 2.3 Sejam f, g : A → Rn funç˜ oes vetoriais deriv´ aveis e h : A → R deriv´ avel,A ⊂ R. Temos
(1) (f + g) (t) = f (t) + g (t)
(2) (kf ) (t) = kf (t), onde k ∈ R.
(3) (hf ) (t) = h (t) f (t) + h (t) f (t).
(4) (f · g) (t) = f (t) · g (t) + f (t) · g (t).
(5) Se n = 3, (f × g) (t) = f (t) × g (t) + f (t) × g (t).
Exemplo 2.4 Vamos calcular f (1), onde f (t) = (t3 − t)
1
t, sen πt, 2, −t2
. Como
f (t) = 3t2 − 11t
, sen πt, 2, −t2 + t3 − t− 1t2
, π cos πt, 0, −2t ,temos que
f (1) = 2(1, 0, 2, −1) + 0 (−1, −π, 0, −2) = (2, 0, 4, −2) .
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