8/17/2019 Aula 2 Análise Vetorial

1/3

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto de Matemática e Estat́ısticaDisciplina: Análise Vetorial IXProfessora: Rosiane Soares CesarAula 2 - 21/03/14

1 Limites e Continuidade de Funções Vetoriais de uma

Variável Real

Definição 1.1   Seja  f   : A  → Rn uma fun瘠ao vetorial de uma vari´ avel real, A ⊂ R. Suponha que 

f  (t) = (f 1 (t) , f 2 (t) , . . . , f  n (t)) .

Dado  t0  ponto de acumula瘠ao de  A, temos que 

limt→t0

f  (t) = L  = (L1, L2, . . . , Ln)

se e somente se limt→t0

f i (t) = Li,   ∀i = 1, . . . , n

Exemplo 1.2   Seja  f   : R − {1} −→ R3 definida por 

f  (t) =

t2 − 5t + 4

t3 − 1  ,

 sen (t2 − 1)

t − 1  ,

 e2t−2 − 1

t − 1

.

Vamos calcular  limt→1 f  (t). Como vimos na defini瘠ao acima, basta calcular o limite de cada componente da fun瘠ao  f . Como

limt→1

t2 − 5t + 4

t3 − 1  = −1,   lim

t→1

sen(t2 − 1)

t − 1  = 2,   lim

t→1

e2t−2 − 1

t − 1  = 2

Temos que limt→1

f  (t) = (−1, 2, 2) .

Proposição 1.3   Sejam  f, g :  A  →  Rn duas fun瘠oes vetoriais de uma vari´ avel real,  A ⊂  R.Sejam   t0  um ponto de acumula瘠ao de  A  e suponha que existam os limites 

limt→t0

f  (t) = v e   limt→t0

g (t) = w,

onde  v, w  ∈  Rn. Seja também  h :  A →  R  uma fun瘠ao real de uma vari´ avel tal que existe olimite 

limt→t0

h (t) = a,

com  a ∈ R. Valem as propriedades 

(1) limt→t0

(f  + g) (t) = limt→t0

f  (t) + limt→t0

g (t) = v  + w

(2) limt→t0

(kf ) (t) = k  limt→t0

f  (t) = kv, onde  k  ∈ R.

(3) limt→t0

(hf ) (t) = limt→t0

h (t) limt→t0

f  (t) = av

1

8/17/2019 Aula 2 Análise Vetorial

2/3

(4) limt→t0

(f  · g) (t) = limt→t0

f  (t) · limt→t0

g (t) = v · w

(5) Se  n = 3, temos limt→t0

(f  × g) (t) = limt→t0

f  (t) × limt→t0

g (t) = v × w

Exemplo 1.4  Calcular os limites:

(1)   limt→3

t2

− 5t + 6t − 3

  , cos tπ

 +

t2, −2t + 1

 = (1, −1) + (9, −5) = (10, −6)

(2)   limt→3

4

t2 − 5t + 6t

t − 3  , cos tπ

 = 4 (1, −1) = (4, −4)

(3)   limt→0

et − 1

t

t2 + 3,

 sen t

t  ,

 cos t − 1

t

 = 2 (3, 1, 0) = (6, 2, 0)

(4)   limt→2

t,

 t2 − 4

t − 2 ,

 et−2 − 1

t2 − 4

·

sen(t − 2)

t − 2  , 0, t

 =

2, 4,

 1

4

· (1, 0, 2) =

 5

2

(5)   limt→2

t,

 t2 − 4

t − 2 ,

 et−2 − 1

t2 − 4

×

sen(t − 2)

t − 2  , 0, t

 =

2, 4,

 1

4

× (1, 0, 2) =

8,

 15

4  , −4

Definição 1.5   Uma fun瘠ao vetorial de uma vari´ avel real   f   :   A   →   Rn,   A   ⊂   R. Dadot0  ∈  A ∩ A

(A’ conjunto de pontos de acumula瘠ao), dizemos que  f   é cont́ınua em  t0   se 

limt→t0

f  (t) = f  (t0) .

Equivalentemente, se f (t) = (f 1 (t) , f 2 (t) , . . . , f  n (t)) ,

ent˜ ao  f   é cont́ınua em  t0  se e somente se  f i   é cont́ınua em  t0,  ∀i = 1, . . . , n.Dizemos que  f   é cont́ınua se  f   for cont́ınua em todo ponto de  A.

Exemplo 1.6   (1)   f   : R → R2,  f  (t) = (cos t, sen t)   é uma fun瘠ao cont́ınua.

(2) Consideremos as fun瘠oes  f 1, f 2  : R −→ R, definidas por 

f 1 = (t)

  t, se t = 05   , s e t = 0

  f 2 (t) = 5t + 6

A fun瘠ao vetorial  f   :  R →  R2, dada por  f  (t) = (f 1 (t) , f 2 (t))  n˜ ao é cont́ınua em  0, pois f 1  n˜ ao é cont́ınua em  0, j´ a que 

limt→0

f 1 (t) = 0 = 5 = f  (0)

2 Derivada de Funções Vetoriais

Definição 2.1   Seja  f   : A  → Rn uma fun瘠ao vetorial de uma vari´ avel real,  A ⊂  t. Dizemos que  f   é deriv  ́avel em  t  quando existe o limite 

lim∆t→0

1

∆t [f  (t + ∆t) − f  (t)]

Neste caso, tal limite é a derivada de  f   em   t, que denotaremos por  f  (t)

2

8/17/2019 Aula 2 Análise Vetorial

3/3

Seja   f   :   A   →   Rn uma função vetorial de uma variável real. Notemos que se   f  (t) =(f 1 (t) , . . . , f  n (t)), temos

f  (t) = lim∆t→0

1

∆t [f  (t + ∆t) − f  (t)]

= lim∆t→0

1

∆t [(f 1 (t + ∆t) , . . . , f  n (t + ∆t)) − (f 1 (t) , . . . , f  n (t))]

= lim∆t→0

f 1 (t + ∆t) − f 1 (t)

∆t  , . . . ,

 f n (t + ∆t) − f n (t)

∆t

=

 lim∆t→0

f 1 (t + ∆t) − f 1 (t)

∆t  , . . .   lim

∆t→0

f n (t + ∆t) − f n (t)

∆t

= (f 1 (t) , . . . f  

n (t))

Assim sendo, temos que  f   é derivável em t  se e somente se cada  f i  é derivável em t  e vale

f  (t) = (f 1 (t) , . . . f  

n (t)) .

Exemplo 2.2   Seja  f   : (0, +∞) → R3 dada por  f  (t) = (ln t, cos t, 5t3 − 2t). Temos que 

f  (t) =

1

t, − sen t, 15t2 − 2

.

Proposição 2.3   Sejam   f, g   :  A →  Rn  fun瘠oes vetoriais deriv´ aveis e  h   :  A →  R  deriv´ avel,A ⊂ R. Temos 

(1)   (f  + g) (t) = f  (t) + g (t)

(2)   (kf ) (t) = kf  (t), onde  k ∈ R.

(3)   (hf ) (t) = h (t) f  (t) + h (t) f  (t).

(4)   (f  · g) (t) = f  (t) · g (t) + f  (t) · g (t).

(5) Se  n = 3,  (f  × g) (t) = f  (t) × g (t) + f  (t) × g (t).

Exemplo 2.4  Vamos calcular  f  (1), onde  f  (t) = (t3 − t)

1

t, sen πt, 2, −t2

. Como

f  (t) = 3t2 − 11t

, sen πt, 2, −t2 + t3 − t− 1t2

, π cos πt, 0, −2t ,temos que 

f  (1) = 2(1, 0, 2, −1) + 0 (−1, −π, 0, −2) = (2, 0, 4, −2) .

3