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Prof.: Joni Fusinatojoni.fusinato@ifsc.edu.brjfusinato@gmail.com 1

PotenciaçãoEquação ExponencialFunção Exponencial

Potenciação ou Exponenciação

• Operação usada para simplificar a multiplicação de números iguais.

Exemplos: 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16

5 x 5 x 5 = 53 = 125

Definições

Todo número elevado à zero é igual a 1 (exceto se a base for zero)

0 0a 1(com a 0) Exemplo : 2 1

Todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo

1 1 1a a Exemplo : 2 2, 0 0

A base 1 elevada a qualquer expoente é igual ao próprio 1

n 31 1 Exemplo :1 1

n 3n 3

1 1 1a com a 0 2a 2 8

m

mn 2n1

a a com n 0. Exemplo : 3 3

Definições

Potência com expoente negativo: inverte-se a base e o sinal do expoente.

Potência com expoente fracionário: pode ser transformada em umradical, ou seja, em uma raiz, onde o numerador e o denominadordo expoente serão respectivamente o índice e o expoente doradicando.

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Propriedades da Potenciação

Multiplicação de potências de mesma base: permanece a base e soma-se os expoentes.

2m 3 2 3 5n m n Exemplo : 2 .2 2 2 32a .a a

Divisão de potências de mesma base: permanece a base e subtrai-se os expoentes.

55 3 2

3

mm n

n

2Exempa a a lo : 2 2 42

0.a

Potência de uma potência: multiplica-se os expoentes.

m n m. 3n 2 3 2. 6Exemplo :(a ) a (2 ) 2 2 64

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Propriedades da Potenciação

Potência de uma divisão: é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente.

2 2

2

m m

m

2 2 4Exema a b 0 plo :3 3

.b b 9

Potência de uma multiplicação: é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente

m m 3 3m 3Exemplo : (2.5) 2 .5 8( x 125 1.00a.b) a .b 0

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Resumo das Propriedades e Definições

8

Aplique as propriedades para resolver as potências:

9 6

9 1 7

3 6

12

5 5 1

0

2

2 2

6 6 6

5 5

36

2 2 2

7

4

a) .b) . .c) .

d)e) . .f )g)

2 6

5

7

2

2 5

3

2 2

33

25

4

23

h)

i)

j)

k) ( )

l)

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Calcule as potências:

Simplifique as expressões numéricas:

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Equação Exponencial

É toda equação que apresenta a variável no expoente com base positiva (a > 0) e a ≠ 1.

Propriedade para resolver as Equações Exponenciais

Se ax = at então x = t (a > 0 e a ≠ 1)

Resolução:

1x 3

1x 2 3

2x 3

2 4

2 2

222

x3

3x - 2 = 34

x – 2 = 4

x = 6

2x = 25

x = 5

2x = 32 3x - 2 = 81 x 32 4

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Atividades

Resolva as equações propostas:

Função onde a variável está no expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente de um. ƒ: R→R+

* / ƒ(x) = ax em que a ∈ R, a > 0 e a ≠ 1

x

x

a) f (x) 2

1b) y2

x

x

c) y 3.4

2d) f (x)5

Exemplos:

Função Exponencial

Gráficos da Função Exponencial

ƒ(x) = ax é crescente se a >1 ƒ(x) = ax é decrescente se 0 < a < 1

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16Função é decrescente

Aplicações das Funções Exponenciais

A função exponencial expressa um crescimento ou umdecrescimento característico de alguns fenômenos da natureza.Vamos estudar algumas dessas aplicações.

Na Matemática Financeira: Cálculo dos Juros Compostos.

Na Biologia: crescimento de determinados seres vivosmicroscópicos como as bactérias e vírus.

Na Química: decaimento radioativo de alguns elementosquímicos.

http://makeagif.com/i/BDbWXw

Fissão Nuclear

Aplicações das Funções Exponenciais

Antônio aplica R$ 15.000,00 sem fazer novos aportes em Títulos do Tesouro Direto Selic a uma taxa anual de 6,50% ao ano.

a) Qual será o saldo no final de 12 meses?b) Qual o montante a ser resgatado após 3 anos?

Mercado Financeiro: Juros Compostos

M = C.(1+ i)t (Fórmula dos juros compostos)

Onde:C = capitalM = montante finali = taxa de juros (em decimais)t = tempo de aplicação

Aplicações das Funções Exponenciaisa) Após 12 meses = 1 ano

ResoluçãoM = ?C = 15.000i = 6,50% a.a = 0,065 (taxa em decimais) t = 12 meses = 1 ano

M = C.(1+ i)t

M = 15.000.(1 + 0,065)1

M = 15.000.(1,065)1

M = 15.975

Saldo após 12 meses = R$ 15.975,00.

b) Montante após 3 anosResoluçãoM = ?C = 15.000i = 6,50% a.a = 0,065t = 3 anos

M = C.(1+ i)t

M = 15.000.(1+ 0,065)3

M = 15.000.(1,065)3

M = 15.000.(1,2079)M = 18.118,50

Após 3 anos ele terá um saldo de R$ 18.118,50

No dia 5 de agosto de 2010, um desmoronamento bloqueou a saídada mina San José, no norte do Chile. Desde então, 33 homens ficarampresos sob a terra, a 622 m de profundidade, recebendo água ecomida por meio de sondas.Os operários bateram recorde de sobrevivência debaixo da terra,foram 69 dias de angústia para as famílias.O resgate, realizado em 14 de outubro de 2010, foi emocionante ecomoveu o mundo. Foi aberto um túnel, pelo qual os mineiros foramiçados um a um, dentro de uma cápsula metálica.

Considere que, após atingir 110 metros de escavação, encontrou-seuma camada diferente de rochas e a perfuradora precisou sertrocada por uma nova máquina, mais adequada ao tipo de trabalho aser feito. Considere também que a profundidade da escavação dotúnel, após a troca da perfuradora, em metros, seja dada pelafunção P(t) = 110 + 2t, em que t representa o número de semanas deescavação com a nova perfuradora.

a) Qual a profundidade do túnel na 5ª semana de escavação com anova perfuradora?R: 142 metros

b) Quantas semanas a nova perfuradora precisou para atingir aprofundidade em que estavam os mineiros?R: 9 semanas

A estimativa do número de bactérias de uma cultura pode ser calculado pela função: N(t) = 1200.20,4t (tempo em horas).

Após quantas horas teremos 19.200 bactérias?

N(t) = 1200.20,4t

N(t) = 19.200

1200.20,4t = 1920020,4t = 19.200/1.20020,4t = 1620,4t = 24

0,4t = 4t = 4/0,4t = 10 h

A cultura terá 19.200 bactérias após 10 h.

O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou naatmosfera grande quantidade de estrôncio (90Sr) radioativo, cujameia-vida é de 28 anos. Supondo que esse isótopo fosse a únicacontaminação radioativa e que o local poderá ser consideradoseguro quando a quantidade de 90Sr se reduzir, por desintegração, a1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá serhabitado novamente a partir do ano de:

a) 2014 b) 2098 c) 2266 d) 2986

A função que relaciona a quantidade de 90Sr presente em função do tempo é dado por:

t28

01N(t) N .2

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https://www.youtube.com/watch?v=JbkngabbeMQ – Conceitos e Propriedades.

https://www.youtube.com/watch?v=KyHQPr7ELF0 – Equações Exponenciais