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8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Trigonometria e
Números ComplexosDisciplina na modalidade a distância
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa CatarinaUnisulVirtual - Educação Superior a Distância
Campus UnisulVirtualRua João Pereira dos Santos, 303Palhoça - SC - 88130-475Fone/fax: (48) 3279-1541 e3279-1542E-mail: cursovirtual@unisul.brSite: www.virtual.unisul.br
Reitor UnisulGerson Luiz Joner da Silveira
Vice-Reitor e Pró-ReitorAcadêmicoSebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da ReitoriaFabian Martins de Castro
Pró-Reitor AdministrativoMarcus Vinícius Anátoles da SilvaFerreira
Campus SulDiretor: Valter Alves Schmitz NetoDiretora adjunta: AlexandraOrsoni
Campus NorteDiretor: Ailton Nazareno SoaresDiretora adjunta: Cibele Schuelter
Campus UnisulVirtualDiretor: João VianneyDiretora adjunta: JucimaraRoesler
Equipe UnisulVirtual
AdministraçãoRenato André LuzValmir Venício Inácio
BibliotecáriaSoraya Arruda Waltrick
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Coordenação dos CursosAdriano Sérgio da CunhaAloísio José Rodrigues
Ana Luisa MülbertAna Paula Reusing PachecoCátia Melissa S. Rodrigues(Auxiliar)Charles Cesconetto
Diva Marília FlemmingItamar Pedro BevilaquaJanete Elza FelisbinoJucimara RoeslerLilian Cristina Pettres (Auxiliar)Lauro José BallockLuiz Guilherme BuchmannFigueiredoLuiz Otávio Botelho LentoMarcelo CavalcantiMauri Luiz HeerdtMauro Faccioni FilhoMichelle Denise Durieux Lopes
DestriMoacir HeerdtNélio HerzmannOnei Tadeu DutraPatrícia AlbertonPatrícia PozzaRaulino Jacó BrüningRose Clér E. BecheTade-Ane de Amorim(Disciplinas a Distância)
Design GráficoCristiano Neri Gonçalves Ribeiro(Coordenador)
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Gerência de Relacionamentocom o MercadoWalter Félix Cardoso Júnior
Logística de EncontrosPresenciaisMarcia Luz de Oliveira(Coordenadora)Aracelli AraldiGraciele Marinês LindenmayrGuilherme M. B. PereiraJosé Carlos TeixeiraLetícia Cristina BarbosaKênia Alexandra Costa HermannPriscila Santos Alves
Logística de MateriaisJeferson Cassiano Almeida daCosta (Coordenador)Eduardo Kraus
Monitoria e SuporteRafael da Cunha Lara(Coordenador)Adriana SilveiraCaroline MendonçaDyego RachadelEdison Rodrigo ValimFrancielle ArrudaGabriela Malinverni BarbieriJosiane Conceição LealMaria Eugênia Ferreira CeleghinRachel Lopes C. PintoSimone Andréa de Castilho
Tatiane SilvaVinícius Maycot Serafim
Produção Industrial eSuporteArthur Emmanuel F. Silveira(Coordenador)Francisco Asp
Projetos CorporativosDiane Dal MagoVanderlei Brasil
Secretaria de Ensino aDistânciaKarine Augusta Zanoni(Secretária de Ensino)Ana Luísa MittelztattAna Paula PereiraDjeime Sammer BortolottiCarla Cristina SbardellaFranciele da Silva BruchadoGrasiela MartinsJames Marcel Silva RibeiroLamuniê SouzaLiana PamplonaMarcelo Pereira
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Secretária ExecutivaViviane Schalata Martins
TecnologiaOsmar de Oliveira Braz Júnior(Coordenador)Ricardo Alexandre Bianchini
Rodrigo de Barcelos Martins
Equipe Didático-pedagógica
Capacitação e ApoioPedagógico à TutoriaAngelita Marçal Flores(Coordenadora)Caroline BatistaEnzo de Oliveira MoreiraPatrícia MeneghelVanessa Francine Corrêa
Design InstrucionalDaniela Erani Monteiro Will(Coordenadora)Carmen Maria Cipriani PandiniCarolina Hoeller da Silva BoeingDênia Falcão de BittencourtFlávia Lumi MatuzawaKarla Leonora Dahse NunesLeandro Kingeski PachecoLigia Maria Soufen TumoloMárcia LochViviane BastosViviani Poyer
Núcleo de Avaliação da
AprendizagemMárcia Loch (Coordenadora)Cristina Klipp de OliveiraSilvana Denise Guimarães
Pesquisa e DesenvolvimentoDênia Falcão de Bittencourt(Coordenadora)
Núcleo de Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manuel
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Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria eNúmeros Complexos.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma,abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando umalinguagem que facilite seu estudo a distância.
Por falar em distância, isso não significa que você estarásozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplinatambém será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentirnecessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ouEspaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipeterá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nossoprincipal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
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Rosana Camilo da Rosa
Eliane Darela
Paulo Henrique Rufino
Palhoça
UnisulVirtual
2007
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
2ª edição revista e atualizada
Trigonometria eNúmeros Complexos
Livro didático
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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Copyright © UnisulVirtual 2007Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
Edição --- Livro Didático
Professores ConteudistasRosana Camilo da Rosa
Eliane DarelaPaulo Henrique Ru.no
Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes
ISBN 978-85-60694-32-7
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
DiagramaçãoFernando Roberto Dias Zimmermann
Revisão OrtográficaB2B
516.24R69 Rosa, Rosana Camilo da
Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo
da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional KarlaLeonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007.
326 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-60694-32-7
1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino,
Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
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Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 – Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
UNIDADE 3 – Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95
UNIDADE 4 – Estudando as Relações, Equações e InequaçõesTrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Sumário
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Palavras dos professores
Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntosapresentados são de fundamental importância para suaformação profissional e são abordados de forma clarae objetiva, sempre salientando aspectos da História daMatemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógicodo Curso de Matemática Licenciatura.
É indiscutível que o uso das tecnologias deve estarpresente na sala de aula, logo a formação de umprofissional com competência para desenvolver atividadesdidáticas num contexto informatizado torna-senecessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwaresmatemáticos.
Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamosinseridos num contexto de Educação a Distância, e umalinguagem mais técnica poderia prejudicar o andamentodas atividades.
Você terá a oportunidade de desenvolver atividades eleituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobreaspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudadoscom a utilização de recursos tecnológicos.
Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho,e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanarsuas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia econte conosco.
Profª. Eliane Darela, Msc.Prof . Paulo Henrique Rufino.
Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.
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Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimentoda disciplina. Nele, você encontrará elementos queesclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas deorganizar o seu tempo de estudos.
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual
leva em conta instrumentos que se articulam e secomplementam. Assim, a construção de competências se dásobre a articulação de metodologias e por meio das diversasformas de ação/mediação.
São elementos deste processo:
o livro didático;
o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
as atividades de avaliação (auto-avaliação, adistância e presenciais).
Carga Horária
60 horas – 4 créditos.
Ementa
Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relaçõestrigonométricas. Equações e inequações trigonométricas.Números Complexos. Operações e representações dosnúmeros complexos. Trigonometria e os números complexos.
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Objetivo(s)
Geral
A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentosno contexto da Trigonometria e dos Números Complexos,propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar,observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resoluçãode problemas, formando uma visão ampla e científica darealidade.
Específicos
Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triânguloretângulo.
Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre asrazões trigonométricas.
Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos naresolução de triângulos.
Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para
radianos e vice-versa.Introduzir o conceito das funções circulares.
Reduzir arco ao 1º quadrante.
Construir, ler e interpretar gráficos das funçõestrigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos eferramentas tecnológicas.
Resolver equações e inequações trigonométricas.
Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando asrelações trigonométricas.
Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
Compreender o conceito de números complexos.
Identificar um número complexo na sua forma algébrica erepresentá-lo no plano de Argand-Gauss.
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Trigonometria e Números Complexos
Compreender os conceitos de módulo e argumento de umnúmero complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.
Operar com números complexos na forma algébrica etrigonométrica.
Conteúdo programático/objetivos
Os objetivos de cada unidade definem o conjunto deconhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento dehabilidades e competências necessárias a sua formação. Nestesentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didáticodesta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.
Unidades de estudo: 5
Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos
triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenosem triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite aresolução de problemas que envolvem situações reais.
Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos àtrigonometria na circunferência. Estes conceitos sãofundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferênciatrigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.
Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também conhecidas como funçõescirculares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando aleitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursostecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representaçõesgráficas.
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Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
O estudo das relações e transformações trigonométricasserá abordado nesta unidade, salientando-se que as relações
trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco,estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade,abordando equações e inequações trigonométricas.
Unidade 5 - Números Complexos
Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamadoconjunto dos números complexos. Serão abordadas as operaçõesna forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação
gráfica desse número.
Agenda de atividades/ Cronograma
Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessarperiodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nosseus estudos depende da priorização do tempo para aleitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e
da interação com os seus colegas e tutor.Não perca os prazos das atividades. Registre as datas noespaço a seguir, com base no cronograma da disciplinadisponibilizado no EVA.
Use o quadro para agendar e programar as atividadesrelativas ao desenvolvimento da Disciplina.
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Trigonometria e Números Complexos
Atividades
Avaliação a Distância
Avaliação Presencial
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
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UNIDADE 1
Estudando a Trigonometria nosTriângulos
Objetivos de aprendizagem Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no
triângulo retângulo.
Resolver problemas aplicando as relações fundamentaisentre as razões trigonométricas.
Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senosna resolução de triângulos.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução à Trigonometria
Seção 2 Definindo as razões trigonométricas notriângulo retângulo
Seção 3 Relações trigonométricas em um triânguloqualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
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Para início de conversa
Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente,
outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala,por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimentode uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetroinstalado em um automóvel que percorra a estrada do inícioao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de mododireto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida demodo indireto.
A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução
de problemas que envolvem grandes distâncias como os deengenharia, navegação e astronomia.
Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triânguloretângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulosquaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de sumaimportância, será abordada no desenvolvimento das atividades.
SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria
O que é trigonometria?
Tri = três
gonos = ângulos
metria = medição
Logo, trigonometria significa medição de três ângulos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Você sabia...
Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ânguloreto (90º).
O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidadede evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já queas dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. Oastrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foium dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra,a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos
lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos.Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu como astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.),também conhecido como o Pai da Trigonometria por terestudado e sistematizado algumas relações entre os elementosde um triângulo.
A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com asmedidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição dedistâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas,torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.
Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia,na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até naMúsica.
Para compreender, acesse
o site sugerido na seção
‘saiba mais’ ao final desta
unidade.
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SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas notriângulo retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento datrigonometria está associado à descoberta de constantes nasrelações entre os lados de um triângulo retângulo.
Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pistade skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:
Quando o skatista percorre 50 m sobre a rampa, o mesmofica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na
horizontal é de 40 metros;Quando o skatista percorre 75 m sobre a rampa, o mesmofica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento nahorizontal é de 60 metros;
Quando o skatista percorre 100 m sobre a rampa,o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seudeslocamento na horizontal é de 80 metros.
Figura 1.1: Representação da situação problema
Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT eADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que oskatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os trêsmomentos considerados.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura
Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
Logo: BS AS CT AT DU AU = = → = = =30
504575
60100
0 6, (valor
constante).
Você pode observar que, em qualquer um dos triângulosretângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS,CT e DU , opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e
AU , opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente dasmedidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamospor sen α.
Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento nahorizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista,para os três momentos considerados.
Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal
Temos: AB
AS
AC
AT
AD
AU = = → = = =
40
50
60
75
80
1000 8, (valor
constante).
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Você pode observar que, em qualquer um dos triângulosretângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB,
AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS , AT e
AU , opostos ao ângulo reto é igual a 0,8 , independentemente dasmedidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α esimbolizamos por cos α.
Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: arazão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seudeslocamento na horizontal.
Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal
Temos: BS
AB
CT
AC
DU
AD= = → = = =
30
40
45
60
60
800 75, (valor
constante).
Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer umdos triângulos retângulos, a razão entre a medida doslados BS , CT e DU , opostos ao ângulo α, e a medida doslados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75,independentemente das medidas dos lados considerados.
Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α esimbolizamos por tg α.Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ânguloagudo α, são denominados razões trigonométricas do triânguloretângulo.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Generalizando, tem-se:
Figura 1.5: Triângulo retângulo
Na figura, 1.5 tem-se:O triângulo ABC é retângulo em A;
O lado oposto ao ângulo reto denomina-sehipotenusa (a);
Os lados b e c denominam-se catetos;
O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α;
O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.Você lembra do Teorema de Pitágoras?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dosquadrados dos catetos:
a2=b2+c2
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Desta forma, tem-se:
senb
aβ
β
= =
=
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotecos
nnusa
cateto oposto
cateto adjacente
=
= =
ca
tg b
cβ
De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.
Que tal você rever agora alguns aspectos quecaracterizaram a vida de Pitágoras e a história da
matemática?
Retrospectiva histórica
Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obrasescritas. O que se sabe de sua biografia e de suasidéias é uma mistura de lenda e história real.
Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos,por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que tambémesteve no Egito e, por desavenças com o tiranoPolícrates, de Samos, mudou-se para Crotona aosul da Península Itálica onde fundou uma sociedade
voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturaise da Matemática, chamada Escola Pitagórica.Rapidamente, os membros desta sociedade passarama ver números por toda a parte concluindo que oUniverso era regido por uma inteligência superioressencialmente matemática.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.6 – PitágorasFonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-
ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm.
Capturado em 09/04/2006
Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmaçãode que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da maisantiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dosbabilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam tersuas origens em outras épocas bem mais remotas.
O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dosirracionais, mas seu mérito máximo consiste em haveremprovocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática,que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.
Saiba mais
Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo:Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.
Ângulos notáveis
Os ângulos de 30º , 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria.Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e datangente do ângulo de 45º . Os outros dois ângulos você mesmo
fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação aofinal da unidade.
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Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveisem uma única tabela:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Considerando as definições das razões trigonométricas eutilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulose segmentos, podemos construir uma tabela de valorestrigonométricos para consultar quando encontrarmos situações
que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se umatabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a89º.
Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricosutilizando as funções de uma calculadora científica ou softwaresmatemáticos.
Você sabia...
Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen éidentificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricaspara descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Seráum bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até
o presente momento.
1) Calcule o valor de x :
Figura 1.7: Triângulo retângulo
Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde aocateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizarserá a tangente.
tg
tg
55
553
1 4283
4
º
º
,
,
=
=
=
=
cateto oposto
cateto adjacente
x
x
x 2284cm
2) Determine o valor de x:
Figura 1.8: Triângulo retângulo
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29
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é ocateto oposto ao ângulo de 30 º e a hipotenusa vale16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para
encontrar a medida x.
sencateto oposto
hipotenusa
sen
30
3016
1
2 16
2 16
8
º
º
=
=
=
=
=
x
x
x
x cmm
3) Encontre o valor de x:
Figura 1.9: Triângulo retângulo
Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos arazão cosseno para descobrir o valor de x.
coscateto adjacente
hipotenusa
cos
60
6010
1
2
10
20
º
º
=
=
=
=
x
x x cm
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30
Universidade do Sul de Santa Catarina
E então?
Você sentiu dificuldade para compreender osexemplos?
Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas.Caso não compreenda, entre em contato com o(a)professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual deAprendizagem).
Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos,observe os problemas abaixo:
P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendoque quando o ângulo de elevação do sol é de 68º , a sombra domesmo projetada no solo, mede 2,4 m.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1
Solução:
A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentadano problema P1 e perceber que a solução será encontrada por
meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura doposte, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º ea medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, quecorresponde a sombra do poste.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
tg cateto oposto
cateto adjacente
tg
68º
68º
=
=
x
2 4
2 475
,
, ==
=
x
x
2 4
5 94
,
, m
Lembre-se:
A tg 68º = 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabelatrigonométrica.
Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.
P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim desemana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo poruma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitudeesta família estará?
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2
Solução:
Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentadano problema P2 e percebe que a solução será encontrada pormeio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a famíliase encontra, está representada por x, sendo denotada por
cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, quecorresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
sencateto oposto
hipotenusa
sen
36º
36º80
=
=
=
=
x
x
x
0 58880
,
447 04, m
Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.
P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresade telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisãoutilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma
distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º .
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3
Solução:
A situação apresentada no problema P3 está representada na
figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontradapor meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre estárepresentada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de
20º . A medida do cateto adjacente, que corresponde a distânciaentre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.
tg 20ºcateto oposto
cateto adjacente
tg50
=
=
=
20
0 364
º
,
x
x x
x50
18 20= , m
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros,logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 +1,50 = 19,70 metros.
Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.
Você sabia...
Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medirângulos horizontais e verticais.
Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitasvezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindotrês elementos desses triângulos, sendo que pelo menos umdeles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensõesnecessárias para uma aplicação prática.
Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...
Retrospectiva Histórica
Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com oastrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Estegrande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever oseclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração decalendários mais precisos e maior segurança na navegação.
Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os
elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabelatrigonométrica.
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Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, emdata desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.
No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecidoum preconceito meramente especulativo: o de que os astrosdescrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também opreconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corposcelestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos comofenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundoimperfeito e não da eterna impassividade celeste.
Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nasobservações efetuadas ao longo de uma carreira científica de
mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C.No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novocampo da matemática, a trigonometria.
Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenhasido importante, pela influência que exerceu sobre cientistasposteriores.
SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triânguloqualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadasem triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostraroutras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, vocêestudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.
Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste
momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos aparte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.
Você sabia...
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte desua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocardois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagemdo fio.
Para fazer este projeto é necessário saber a distância entreos postes, e a presença do rio impede a sua medição direta.Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiroposicionou-se em um local em que era possível visualizar os doispostes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre alinha de visão dele e os postes foi de 120º . Seu ajudante mediu a
distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste maispróximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º .
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado
Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos otriângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB éa resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamosestudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.
Teorema
Em todo o triângulo, as medidas dos lados sãoproporcionais aos senos dos ângulos opostos:
a b c
sen A sen B sen C^ ^ ^= =
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14:
Figura 1.14: Lei dos senos
Agora observe a resolução do problema!100
45 120
100
2
2
3
2
2
2
100 3
2
100 32
100 3
2
2
2
100
sen
d
send
d
d
d
d
º º
.
=
=
=
=
=
=66
4
100 6
2
50 6122 47
d
d d m
=
== ,
Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente122,47 metros.
Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Osoutros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura1.15:
Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração
Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e ACrespectivamente.
No triângulo retângulo AH1C, temos que
sen C sen C^
1^
= ⇒ =h
bh b1 . . [1]
No triângulo retângulo AH1B, temos que
sen B sen B^
1^
= ⇒ =h
ch c1 . . [2]
Comparando [1] e [2], temos:
b.senC
^
= c.sen B
^
⇒ = sen B senC
^ ^
b c
[A]
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Universidade do Sul de Santa Catarina
No triângulo retângulo BH2C, temos que
sen C sen C^
2^
= ⇒ =h
ah a2 . . [3]
No triângulo retângulo AH2B, temos que
sen A sen A^
2^
= ⇒ =h
ch c2 . . [4]
Comparando [3] e [4], temos:
a.senC
^
= c.sen A
^
⇒ = senA senC^ ^
a c
[B]
De [A] e [B] podemos concluir que:a b c
sen A sen B sen C^ ^ ^
= =
Lei dos cossenos
Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, énecessário a construção de uma ponte que una os pontos A eB conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pelaobra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30 m, BC=50 m e amedida do ângulo entre esses lados 120º . Ele necessita descobrirqual a extensão da ponte.
Modelo real Modelo matemático
Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Perceba agora que, no modelo matemático temos o triânguloABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir amedida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da
lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz oteorema:
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um ladoé igual à soma dos quadrados das medidas dos outrosdois lados, menos duas vezes o produto das medidasdesses dois lados pelo cosseno do ângulo opostoàquele lado, ou seja:
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
= + −
= + −
= + −
. . .cos
. . .cos
. . .cos
^
^
C C ^
Figura 1.17: lei do cossenos
Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo nafigura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamosencontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos:
AB AC BC AC BC d
d
2 2 2
2 2 2
2
2 12030 50 2 30 50 0 5
900
= + −= + − −
=
. . .cos º. . .( , )
++ +
=
=
=
2500 1500
4900
4900
70
2d
d
d m
Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Existem três casos a considerar:
O triângulo ABC é retângulo;
O triângulo ABC é obtusângulo;O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo.Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá aatividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  éreto e  é obtuso respectivamente.
Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura
1.18:
Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração
Demonstração:
O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB dotriângulo ABC , logo CH é perpendicular a AB.
Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em doistriângulos retângulos de acordo com a figura1.19.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.
Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,temos:
b2 = m2 + h2 a2 = h2 +(c-m)2
h2 = b2 - m2 [1] a2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]
Substituindo [1] em [2], temos:
a2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2
a2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
Note no triângulo A H C^
que temos: cosAm
b
^
=
Logo m = b.cos [4]
Substituindo [4] em [3], temos:
a2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ
De forma análoga, você demonstra que:
b2 = a2 + c2 -2.a.c. cos B^
.
c2 = a2 + b2 -2.a.b. cos C^
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastantepara o avanço do estudo da trigonometria. A formaatual da expressão do teorema dos cossenos foiestabelecida por ele.
Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.Capturado em 16/04/06.
Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
O uso de softwares no ensino é importante. No ensino datrigonometria pode ser muito interessante no que diz respeitoà visualização de vários conceitos explorados no triânguloretângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamoso software ales.
Síntese
Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leisdo seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter
observado que os conteúdos abordados são muito úteis paracalcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os
Você poderá encontrar o software
acessando o site:
http://www.unifra.br/cursos/
downloads.asp?curs=25&grad=M
atem%C3%A1tica&endereco=ma
tematica
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidascom o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próximaunidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.
Atividades de auto-avaliação
1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valoresdo seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º .
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
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Universidade do Sul de Santa Catarina
b)
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:
5) Observando a seguinte figura, determine:
a) O valor de a;
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é40 cm, encontre a medida do lado BC.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C , na outramargem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e amedida do ângulo seja 60º . Determine a largura do rio.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formandoum ângulo de 45º . Um posto de gasolina se encontra na rodovia A,a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto degasolina a rodovia B, indo através de C?
11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISULde Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sobum ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmonível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a quedistância está o estudante do mesmo.
12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se amedida do lado AC é 3 3cm .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm;med( )=60º e med( )=75º.
14) Determine o valor de x na figura abaixo:
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º . Se o lado oposto aomenor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado opostoao ângulo de 60º do triângulo?
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17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menorângulo que eles formam mede 60º . Calcule a medida em cm da menordas diagonais deste paralelogramo.
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto.
b) o ângulo  for obtuso.
Desafios na Trigonometria
1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual ovalor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a
cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 1
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. Adistância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixad’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º . Se pretendemos bombear
água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros deencanamento são necessários?
Saiba mais
Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenasa estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia,Mecânica, etc.
Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:
http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você
verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Luae também a aplicação da trigonometria na construção de umtúnel.
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UNIDADE 2
Conceitos Básicos daTrigonometria
Objetivos de aprendizagem Expressar e converter a medida de um ângulo de graus
para radianos e vice-versa.
Calcular a primeira determinação positiva de arcosmaiores que 360º.
Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de0º a 360º.
Reduzir arco ao 1º quadrante.
Seções de estudo
Seção 1 Arcos e Ângulos
Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica
Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência
TrigonométricaSeção 4 Simetrias
Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante
2
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A
Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar todauma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidadeé definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente,na circunferência trigonométrica, também conhecida comocircunferência unitária.
Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria como objetivo de resolver problemas utilizando os triângulosretângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a
qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir,serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada,trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual daMatemática.
SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos
Considere a circunferência na figura 2.1.
Figura 2.1: Arco de circunferência
Observe que os pontos A e B dividem a circunferênciaem duas partes. Estas partes são denominadas arcos decircunferência.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Temos:
O arco , em que o ponto A é a origem e B é aextremidade do arco;
o arco , em que o ponto B é a origem e A é aextremidade do arco.
Você sabia...
Arco nulo é o ponto;Arco de uma volta é acircunferência.
Ângulo Central
Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro dacircunferência.
Observe a figura 2.2:
Figura 2.2: Ângulo Central
A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.
A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Note que a medida de um arco não representa a medida docomprimento desse arco.
Observe a figura 2.3:
Figura 2.3: Arcos de circunferência
Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuemcomprimentos diferentes, m e n respectivamente.
Unidades de medida de arcos e ângulos
Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos eângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.
Grau
Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partesiguais. O grau é uma dessas 360 partes:
11
360º = da circunferência.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Você sabia...
Existe uma terceira unidade de medida de arco que é ogrado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arcocompleto da circunferência na qual estamos medindo o arco.
Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.1
1̀60
= do grau.
11̀ `
60= do minuto.
Radiano
Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio dacircunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura2.4:
Figura 2.4: Radiano
Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtidoserá igual à do raio.
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Relação entre grau e radiano
Lembre-se que o comprimento de uma circunferênciaé calculado pela fórmula 2C r π= , onde r é o raio dacircunferência.
Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad . Então, tem-se aseguinte relação:
360 º → 2π rad ou 180 º → π rad
É possível estabelecer os seguintes resultados entre as trêsunidades:
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano π/2 π 3π/2 2π
Observação:
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e oradiano:
1) Vamos converter300
º em radianos.
180
300
180
300
18
30
3
53 5
5
3
rad
x
rad
xrad
xrad
x x rad
x rad
π
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
=
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Note que você deverá usar a simplificação até transformar afração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na formade fração e não em forma decimal.
2) Transforme3
4rad
πem graus.
Como já se viu que π rad → 180 º, tem-se:
3 3.180 540135
4 4 4rad
π= = =
3) Vamos transformar 15º 30 ’ em radianos.Primeiro, transforma-se 15º 30 ’ em minutos:
1º = 60’
15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’
Agora, transforma-se 180 º também em minutos:
180º = 180.60’ = 10800’
Então, tem-se:
10800
930
10800
930
1080
93
360
31
360 31
31
360
'
'
'
rad
x
rad
' xrad
x
rad x
x rad
x rad
π
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
=
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Tudo com você!
Vá até a página de auto-avaliação e resolva asatividades referentes a este assunto.
Comprimento de arco de circunferência
Como você estudou anteriormente, a medida de um arco nãorepresenta o seu comprimento, pois este depende do raio dacircunferência em que esteja contido.
Por exemplo, um arco 1 de 60 º tomado sobre umacircunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que umarco 2 também de 60 º, tomado sobre uma circunferência de7 cm de raio.
Então, tem-se:
Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco decomprimento , pode-se estabelecer:
Comprimento do arco Medida do arco
r _________________________ 1 rad _________________________ α rad
que fornece a relação =α . r
Essa relação permite calcular o comprimento de um arcode circunferência em função do raio e do ângulo centralcorrespondente, medido em radianos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento dearco de circunferência.
1) Considere a circunferência representada na figura 2.5:
Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência
Determine, em cm, o comprimento do arco , sabendo queα =3 rad .
Resolução:
=α.r
=3.6
=18 cm
2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m deraio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
34 5
3
1 5
.r
4,5 . ,
, rad
α
α
α
α
=
==
=
3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm,executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6.Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade
do pêndulo. Use π=3,14 .
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Figura 2.6: Pêndulo
Resolução:
O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.
O ângulo α =2.35º = 70º.
Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como vocêsabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possívelutilizar a medida em graus.
180
70
180
70
18
7
18 7
7
18
º rad
º x
º rad
º xrad
x x rad
x rad
π
π
π
π
π
→
→
=
=
=
=
Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .
=α.r7
2518
175
18
175 3 14
18
30 53
.
. ,
, cm
π
π
=
=
=
=
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Verifique se você realmente compreendeu esta seção,resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação.Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde seráabordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeudificuldade em resolver os exercícios, procuresanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seçãonovamente.
SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesmacircunferência que conhecemos, só que com característicasespecíficas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raiounitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Eleé orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe afigura 2.7:
Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico
O centro da circunferência é O(0,0).
O raio da circunferência é unitário, r = 1.
O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos sãomedidos a partir de A.
O sistema de coordenadas cartesianas divide acircunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual seencontra sua extremidade.
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Veja alguns exemplos:
1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidassão:
a) 130 º
Como você pode observar, o arco de 130 º, partiu do ponto A nosentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, elepertence a este quadrante.
b) -120 º
Agora, observe que o arco de -120 º partiu do ponto A, nosentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, elepertence a este quadrante.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
c) 5
3rad
π
Neste exemplo, você observa que o arco de 53
rad π partiu
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4 º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.
Arcos Côngruos
Observe as circunferências representadas na figura 2.8:
Figura 2.8: Arcos Côngruos
Você pode observar que o arco permanece com a mesmaextremidade, independentemente do número de voltas completasna circunferência.
Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como:
Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem,apenas, pelo número de voltas completas na
circunferência.
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Na figura 2.9, marcamos um arco de 60 º.
Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º
É fácil observar que os arcos de 60 º, 420 º e 780 º têm a mesmaextremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outrosarcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, bastadescrevermos voltas completas na circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
60 º = 60 º + 0.360 º
420 º = 60 º + 1.360 º
780 º = 60 º + 2.360 º
Assim:
Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos aele é:
α + k. 360º, k ∈ Z
Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcoscôngruos a ele é:
α +2kπ, k ∈ Z
É importante que você saiba que, se o arco for negativo, bastafazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-áinfinitos arcos côngruos com medidas negativas.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Faça a mesma representação gráfica 2.9 paraeste caso. É uma boa forma de verificar se vocêcompreendeu o assunto. Não esqueça que o sentidonegativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.
Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estarassociados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, deprimeira determinação positiva de um arco, a medida α do arcocôngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360 º ou 0 ≤ α < 2 π rad.
Acompanhe alguns exemplos:
1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a 1240 º.
Solução:
Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltascompletas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240 º por360 º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e asua primeira determinação positiva.
Logo, 160 º é a primeira determinação positiva e 3 representa onúmero de voltas completas.
A expressão geral dos arcos côngruos a 1240 º será:
β = 160º+ k. 360 º, k ∈ Z
2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressãogeral dos arcos côngruos a -1352º.
Solução:
Daí, -272º + 360º = 88º.
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Logo, 88 º é a primeira determinação positiva de -1352º.
A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:
β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z
3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a11
3rad
π.
Solução:
Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco consideradodesmembrando-o de forma conveniente:
Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, énecessário pensar em um número que seja imediatamente menorque o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte emum número par.
Logo,5
3rad
π é a primeira determinação positiva de11
3rad
π.
A expressão geral dos arcos côngruos a11
3rad
πserá:
β = 5
3
π + 2k π, k ∈ Z.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadranteonde está a extremidade dos seguintes arcos:
a) 1720 º
Solução:
Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o númeroapresentado no problema por 360 º. Assim, você encontrará o arcode 280 º, que é côngruo ao arco de 1720 º.
Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessaforma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois
270 º < 280 º < 360 º.
b) 19
4
π
Solução:
Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação
positiva do arco, que é3
4rad
π.
Como você percebe, este arco é côngruo a 19
4
π rad e, portanto,
ambos possuem a mesma extremidade.Logo, o arco de 19
4
π rad está é no 2º quadrante.
Para entender melhor, note que 3
4rad
π é equivalente a 135 º.
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Você sabia...
Normalmente, as pessoas justificam que o raio dacircunferência é r=1, porque nas definições dadas paratangente e secante, bem como nas definições de seno ecosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador.Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.
Tal explicação deve ser complementada com a observaçãode que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimentodo raio como unidade de medida. Como todas as linhastrigonométricas são quocientes entre duas medidas, ovalor de cada uma delas se mantém inalterado quando elaspassam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante
convencionar r=1.
(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo,Ática, 2004)
SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência
TrigonométricaNa unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidosapenas para ângulos agudos, ou seja, para 0
2
πα< < .
Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou
ângulos maiores que2
π rad , algo impensável quando se trabalhava
com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com
senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!
Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Considere a figura 2.10:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência
Então:
Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M ,ou seja: senx=OM” ;
Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M , ou seja: cosx=OM’ .
Veja por que:
Figura 2.11: Seno e Cosseno
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Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Nestetriângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadasna unidade 1.
Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico paramelhor visualização. Observe a figura 2.12:
Figura 2.12: Triângulo Retângulo
Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
'
'
1
'
''
cateto oposto sen x
hipotenusa
MM sen x OM MM
sen x
sen x MM
sen x OM
=
=
=
=
=
cos
'cos
'cos
1
cos '
cateto adjacente x
hipotenusa
OM xOM
OM x
x OM
=
=
=
=
Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM” .
Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é aordenada do ponto que representa a extremidadedeste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.
Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maioresque 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulosretângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos deângulos negativos.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são consideradosnotáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,
são eles: 30º ou6
π rad , 45º ou4
πrad e 60º ou
3
π rad . Observe a
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:
1sen
6 2
3
6 2cos
π
π
=
=
2sen
4 2
2cos
4 2
π
π
=
=
3sen
3 2
1cos
3 2
π
π
=
=
Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem serconsiderados notáveis: 0 º ou 0 rad , 90 º ou
2
π rad , 180 º ou π rad ,
270 º ou 3
2
π rad e 360 º ou 2π rad . Geometricamente, cada um
deles, representa o seno e o cosseno. Observe:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno ecosseno representados geometricamente.
Tabela 2.1: Valores Notáveis
x 0 (30º)6
π(45º)
4
π(60º)
3
π(90º)
2
π(180º)π
3(270º)
2
π2 (360º)π
senx 01
2
2
2
3
21 0 -1 0
cosx 13
2
2
2
1
2 0 -1 0 1
Você sabia...
Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu noséculo XVII como sendo o seno do complemento de umângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento”e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno
tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.
Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos ecossenos de arcos maiores que 360 º.
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1) Calcule o valor de sen1845º.
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:
Então, sen1845º = sen45º =2
2.
Logo, 21845º
2 sen = .
2) Calcule o valor de cos(-900 º).
Solução:
Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900 º).
Perceba que -180 º é a primeira determinação negativa, e precisa-se da primeira determinação positiva.
Assim: -180º + 360º = 180º.
Logo, a primeira determinação positiva é 180 º.
Tem-se, então, que:
cos(-900 º)=cos180 º=-1Logo, cos(-900 º)=-1
3) Calcule o valor de 19sen
3
π .
Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.19 18
63 3 3 3
π π π ππ= + = +
Assim, temos que3
πé a primeira determinação positiva de
19
3
π.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Dessa forma, 19 3sen sen
3 3 2
π π= = .
Logo, 19 3sen
3 2
π= .
Que tal conhecer mais sobre a história do seno?
Retrospectiva histórica
Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a“Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entreum arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram umatrigonometria que relacionava a metade da corda e a metade doângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno dametade do arco correspondente, pois a metade do comprimentoda corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o
comprimento da corda subtendida por um ângulo x é x2sen
2
.
Observe a figura 2.13:
Figura 2.13: Meia corda
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^
2
2
2 2
OB r
AO B x
AB x sen
r x AB
senr
=
=
=
=
Os hindus chamaram esta meia corda de jiva.
O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500,elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente,
são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar deseno. Não é incrível?
Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpgAcesso em 28/06/06.
Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre oAlmagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao finalquando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotoua Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - ocírculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06)
A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida
para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo somque jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavraárabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, quesignifica a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo dascordas de arcos numa circunferência que originou o seno.
O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva,cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fatode o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas,na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, quesignifica dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não temnada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de umatradução defeituosa que dura até hoje.
SEÇÃO 4 - Simetrias
Considere a circunferência trigonométrica representada na figura2.16:
Figura 2.16: Simetria
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Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retânguloM1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A.
Os pontos M2
, M3
e M4
, são ditos simétricos de M1
, no 2º, 3º e4º quadrantes, respectivamente.
Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medidaα, em grau ou radiano.
Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetriaexistente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e2.18.
Em Grau:
Figura 2.17: Simetria em graus
Em Radiano:
Figura 2.18: Simetria em radianos
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Utilizando as unidades indicadas em cadacircunferência trigonométrica, determine as medidasdos arcos trigonométricos simétricos na primeira voltapositiva:
a)
Solução:
Veja que o arco mede 60º, e que os pontos C, D
e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , , e
são congruentes de medida 60º.
Logo, os arcos , e , serão determinadosdo seguinte modo:
=180º - 60º
=120º.
= 180º + 60º
= 240º.
= 360º - 60º
= 300º.
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b)
Solução:
Veja que o arco é17
12
π rad , e que os pontos B, C
e E são simétricos a D. Portanto, os arcos , e
são congruentes de medida17
12
πrad .
Logo, os arcos , e serão determinados doseguinte modo:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante
Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria
estudada, poderá determinar os valores do seno e cossenode arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiroquadrante.
Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha comos sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e2.20:
Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno
Observe a tabela 2.2:
Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno
Quadrante cos α sen α1º + +
2º - +
3º - -
4º + -
Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependemdo quadrante a que pertence a extremidade do arco.
Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante,estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo senoe o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do
arco dado.
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82
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como se faz esta redução:
Redução do segundo quadrante para o primeiroquadrante:
Figura 2.21: 2º Quadrante
Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º . Logo, podemosafirmar que x e (180 º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos.
Redução do terceiro quadrante para o primeiroquadrante:
Figura 2.22: 3º Quadrante
Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180 º+x) têm senos ecossenos simétricos.
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83
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante:
Figura 2.23: 4º Quadrante
Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senossimétricos e cossenos iguais.
De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos.
Acompanhe os exemplos a seguir:
1) Calcule sen150 º e cos150 º.
Solução:
O arco de 150 º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeirocaso da redução:
x = 180º - 150º
x = 30º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.
Como 150 º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:1
150º 30º
2
sen sen= =
3cos150º cos30º
2= − = −
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 1150º
2 sen = e 3
cos150º2
= −
2) Obtenha sen 240 º e cos 240 º.
Solução:
O arco de 240 º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundocaso da redução:
x = 240 º - 180 º
x = 60 ºLembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.
Como 240 º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:3
240º 60º2
sen sen= − = −
1cos 240º cos60º
2= − = −
Logo,
3240º
2 sen = − e 1
cos240º2
= − .
3) Determine sen 315 º e cos 315 º.
Solução:
O arco de 315 º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceirocaso da redução:
x = 360º - 315º
x = 45º.
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia aobter o seno e cosseno procurado.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Como 315 º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, tem-se:2
315º 45º2
sen sen= − = −
2cos315º cos 45º
2= =
Logo,2
315º2
sen = − e2
cos315º2
= .
4) Determine 7 7sen e cos
6 6
π π .
Solução:
O arco de 7
6
π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo
caso da redução:7
6
xπ
π= −
7 6
6 x π π−=
6 x
π= .
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nosauxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados.
Como 7
6
π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do
seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:7 1
6 6 2 sen sen
π π= − = −
7 3cos cos
6 6 2
π π= − = −
Logo: 7 1 7 3cos6 2 6 2
sen eπ π= − = − .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Determine 2460º sen e cos2460º.
Solução:
É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º .
O arco de 300 º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução:
x = 360º - 300º
x = 60º
Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxiliaa obter o seno e cosseno procurado.
Como 300 º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal doseno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2.
Assim, temos:
32460º 300º 60º2
sen sen sen= = − = −
1cos2460º cos300º cos 60º
2= = =
Logo, 32460º
2 sen = − e 1
cos2460º2
= .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
6) Calcule o valor de45 90 135
270 2. 315
sen º sen º sen º M
sen º sen º
+ +=
+.
Solução:
Calcula-se, separadamente, cada um dos senos.
245º
2
90º 1
2135º 45º
2
270º 1
2315º 45º
2
sen
sen
sen sen
sen
sen sen
=
=
= =
= −
= − = − .
Substituindo os valores encontrados na expressão M , tem-se:
2 2 2 21 1
2 12 2 2
1 2 1 221 2.
2
M + + + +
= = = − − − −
− + −
.
Racionalizando o denominador, tem-se:2 1 1 2 2 2 1 2 1
. 11 2 11 2 1 2
M + − + − + − +
= = = = −− −− − − +
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de auto-avaliação
1) Expresse em graus (º):
a)5
3
π rad
b)4
3
π rad
c)7
6
π rad
d)9
π rad
2) Expresse em radianos (rad ):
a) 20º
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote
π = 3,14.
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido14,13 km.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é:
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
b) 95
6
πrad
c) –
65
6
πrad
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcoscôngruos a:
a) -760º
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
b) 3120º
c)15
2
π rad
d) 25
4
πrad
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk , calcule a 2ª determinaçãopositiva e a 3ª determinação negativa.
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a15
2
π rad.
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos:
a)3
π rad e 30
3
π rad
b) – 30º e 330º
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Universidade do Sul de Santa Catarina
c) 2º e 1082º
11) Determine:
) 390º
) cos1845º
5)
3
) 600º
) cos 480º
a sen
b
c sen
d sene
π
=
=
=
==
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
b) B= sen 3 x + cos 8 x - cos 2 x para x = 2
π.
c) C =
7sen cos 3
313
sen6
ππ
π
−
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 2
Desafio na Trigonometria
Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o
arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio.Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo aramedetermina na polia?
Síntese
Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maioresque 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria
foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triânguloretângulo.
Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano,que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, vocêestudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhadosterão que estar inseridos no radiano.
Saiba mais
Sugerimos que você utilize o software ales para visualizar,com maior precisão, as projeções do seno e cosseno nacircunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos.
Você poderá encontrar
o software Thales
acessando o site:
http://www.unifra.
br/cursos/downloads.
asp?curs=25&grad=Mat
em%C3%A1tica&endere
co=matematica
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UNIDADE 3
Estudando as FunçõesTrigonométricas
Objetivos de aprendizagem Definir as funções trigonométricas seno, cosseno,
tangente, cotangente, secante e cossecante.
Aplicar as funções seno e cosseno em diferentessituações problemas.
Construir o gráfico das funções trigonométricas.
Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas.
Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas paraa construção dos gráficos das funções trigonométricas.
Desenvolver leituras gráficas envolvendo funçõestrigonométricas inversas.
Seções de estudo
Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno
Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente,Secante e Cossecante
Seção 3 Estudando as funções trigonométricas inversas
3
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que
as funções circulares são periódicas e que elas podem representarfenômenos naturais periódicos, como as variações da temperaturaterrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressãosangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc.
Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficosdenominados senóides e cossenóides, que serão abordados naseção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los.
Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demaisfunções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno,bem como das funções trigonométricas inversas.
O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidadena construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade.É importante que você reconheça a tecnologia, tão presenteno nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia nodesenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficose cálculos sistemáticos.
SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno
Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno nacircunferência trigonométrica. Estas funções são periódicasde variáveis reais, por isso, são adequadas para descreveremfenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória.
As aplicações destas funções não se restringem apenas aosestudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramosda Física que analisam os movimentos, são utilizadas nadecomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicarmovimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimentodo corpo num plano inclinado, entre outros.
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97
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Você sabia...
Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditosperiódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vezque transcorre um intervalo de tempo determinado.
Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar asondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas.
Função Seno
Observe a figura 3.1:
Figura 3.1: Função Seno
A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco demedida x∈ IR, associa a ordenada y do ponto P.
f(x) = senx
O domínio da função seno é D(f)=IR
A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Cosseno
Observe a figura 3.2:
Figura 3.2: Função Cosseno
A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arcode medida x∈ IR associa a abscissa x do ponto P.
f(x) = cos x
O domínio da função cosseno é D(f)=IR.
A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1].
Gráfico da Função Seno: Senóide
Seja f(x) = sen x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.1: Valores do seno
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
sen x 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
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99
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observe o gráfico na figura 3.3:
Figura 3.3: f(x) = senx
Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo[-2π ,2π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2π , pois a função repeteos seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja,toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x,a função seno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os
valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é ointervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2 π ,2π ].
Nos intervalos ] [2 ,π π− − e ] [0; π , a função f(x)=sen x assume valores positivos.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Nos intervalos ] [, 0π− e ] [; 2π π , a função f(x)=sen x assume valores negativos.
A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos
32 ;
2
ππ
− − , ,
2 2
π π − e 3
;22
ππ
.
A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos
3;
2 2
π π− −
e 3;
2 2
π π
.
A função f(x)=sen x é ímpar pois f (x) = -f(-x).
A função f(x)=sen x possui valor máximo quando
3
2 x
π−= rad e
2 x
π= rad .
A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando2
xπ−
=
rad e 3
2 x
π= rad .
Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possívelestender a senóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1] .
A função f(x)= sen x possui valor máximo para
| 2 ,2 x IR x k k Z π
π
∈ = + ∈ .
A função f(x)= sen x possui valor mínimo para3
| 2 ,2
x IR x k k Z π
π ∈ = + ∈
.
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101
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Você lembra?
Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da MatemáticaElementar I’ cada uma das características das funções
y=sen x e y=cos x , citadas. Assim, você deve lembrar dasdefinições formais de função periódica, função par e ímpar.Então:
Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica seexiste um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo
x ∈D(f).
Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x noseu domínio temos f(x)=f(-x).
Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temosf(x)=-f(-x).
Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide
Seja f(x) = cos x
Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [- 2π, 2π].
Tabela 3.2: Valores do cosseno
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
cos x 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora observe o gráfico na figura 3.4:
Figura 3.4: f(x) = cos x
Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo[- 2π ,2π ], tem-se que:
A função é periódica de período 2π , pois a função repeteos seus valores nos intervalos [-2π ,0] e [0,2π ], ou seja,toda vez que somamos 2π a um determinado valor de x,a função cosseno assume o mesmo valor.
O estudo da variação nos mostra que f (x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os
valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é ointervalo Im=[-1,1].
O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2π ,2π ].
Nos intervalos 32 ,
2
ππ
− − , ,
2 2
π π − e 3
; 22
ππ
a
função f (x)=cos x assume valores positivos.
Nos intervalos 32 2
,π π − − e 3;
2 2π π
, a função
f (x)=cosx assume valores negativos.
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103
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
A função f (x)=cos x é crescente nos intervalos [ ];0π− e[ ], 2π π .
A função f (x)=cos x é decrescente nos intervalos
[ ]2 ;π π− − e [ ]0;π .
A função f (x)=cos x é par, pois, f (x) = f (-x).
A função f (x)=cos x possui valor máximo quando0 x = rad .
A função f (x)=cos x possui valor mínimo quando x π= − rad e x π= rad .
Generalizando algumas características da função f(x)= cos x
tem-se:
O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estendera cossenóide ao longo do eixo x.
O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1] .
A função f(x)= cos x possui valor máximo para{ }| 2 , x IR x k k Z π∈ = ∈ .
A função f(x)= cos x possui valor mínimo para{ }| 2 , x IR x k k Z π π∈ = + ∈ .
1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir,determinando o domínio, a imagem e o período.
) ( ) 2
) ( ) 1
a f x sen x
b f x sen x
= +
= −
a) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração dográfico:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x
x sen x y=2+sen x y
0 sen0=0 y=2+0 2
2
π sen
2
π=1 y=2+1 3
π senπ =0 y=2+0 2
3
2
π sen 3
2
π =-1 y=2+(-1) 1
2π sen 2π =0 y=2+0 2
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado
na figura 3.5.
Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x
D=IR;
Im=[1,3];
P=2π .
b) Solução:
Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1
x senx y=senx - 1 y
0 sen0=0 y=0-1 -1
2
π sen
2
π=1 y=1-1 0
π senπ =0 y=0-1 -1
3
2
π sen
3
2
π=-1 y=-1-1 -2
2π sen 2π =0 y=0-1 -1
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representadona figura 3.6.
Figura 3.6: f(x) = sen x -1
D=IR;
Im=[-2,0];
P=2π .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tabela 3.5: Valores de ( )2
x f x sen=
2
xx y=sen
2 x y
0 0 y=sen0 0
2
ππ
y=sen2
π 1
π 2π y=senπ 0
3
2
π3π y=sen
3
2
π -1
2π 4π y=sen 2π 0
Note como é calculado o valor de x:
02
2.0
0
x
x
x
=
=
=
2 2
2 2.
x
x
x
π
π
π
=
=
=
2
2.
2
x
x
x
π
π
π
=
=
=
3
2 2
2 2.3
3
x
x
x
π
π
π
=
=
=
22
2.2
4
x
x
x
π
π
π
=
=
=
Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7.
Figura 3.7: ( )2
x f x sen=
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108
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir,determinando o domínio, a imagem e o período.
) cos 2
) cos 4
a y x
b y x
=
=a) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração dográfico.
De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função
y= cos 2x.
Nesta função k=2, logo:2 2
2 P
k
π ππ= = =
Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x
2x x y=cos 2x y
0 0 y=cos 0 1
2
π
4
π y=cos
2π 0
π2
π y=cos π -1
3
2
π 3
4
π y=cos
3
2
π0
2π π y=cos 2π 1
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109
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano,representado na figura 3.8.
Figura 3.8: f(x) = cos 2x
D = IR;
Im = [-1,1];
P = π.
b) Solução:
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração dográfico.
Calculando o período da função y= cos4x, tem-se:
Nesta função k=4 , logo:
2 2
4 4 2 P
π π π= = = .
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110
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x
4x x y=cos4x y
0 0 y=cos0 1
2
π
8
π y=cos
2
π 0
π4
π y=cos π -1
3
2
π 3
8
π
y=cos3
2
π 0
2π 2
π y=cos 2π 1
Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representadona figura 3.9.
Figura 3.9: f(x) = cos 4x
D = IR;
Im = [-1,1];P =
2
π.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidassobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes.
Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, ocoeficiente de x, menor é o período da função.
4) Determine apenas o sinal de cos 34
5
π .
Solução:
cos 34
5
π = cos 4
5
πpois,
4
5
πé a primeira determinação positiva de
34
5
π , que é um arco do segundo quadrante.
Logo, o sinal de cos 34
5
π será negativo.
5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que estaigualdade seja verdadeira?
Solução:
Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter
1 1 sen x− ≤ ≤ .
Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequaçãosimultânea:-1 5 +1 1
-1-1 5 1-1
-2 5 0
2 0
- 5 5
2- 0
5
k
k
k
k
k
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
Logo, a solução desse problema será 2| 0
5S k IR k
= ∈ − ≤ ≤
.
Fique de olho nas aplicações
As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideaispara descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam otempo como variável independente.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritospor senóides.
O movimento harmônico simples é um tipo de movimentoperiódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento deum corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de umponto de equilíbrio.
Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funçõestrigonométricas nestes fenômenos.
1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita
pela função ( ) 0, 9 0, 7 6 6h t sen t
π π
= + + , cuja representaçãográfica é mostrada na figura 3.10:
Figura 3.10: Altitude do mar
Pergunta-se:
a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas?
b) Na maré alta, qual a altitude do mar?
c) Na maré baixa, qual a altitude do mar?
Alguns exemplos foram extraídos
e adaptados do livro ‘Quanta
Matemática em fascículos para o
ensino médio’. Fascículo 4. Autores:
Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi
Filho. Editora Saraiva. Ano 2000.
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113
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
d) Qual é a amplitude da onda?
e) Qual o período dessa senóide?
Solução:
Analisando o gráfico, pode-se concluir que:
a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marésbaixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas.
b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros.
c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marésbaixas.
d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros.
A amplitude foi calculada da seguinte forma:1,6 0,2 1,4
0,72 2
−= = .
Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é
identificar o coeficiente do seno na função ( ) 0, 9 0, 76 6
h t sen t π π = + +
.
e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maioresaltitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é:
P = 14 - 2
P = 12 horas
2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, umgaroto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação
para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por:( ) 80 20.cos .
2 y t t
ππ
= + −
em que y é o deslocamento vertical da onda
em cm e t é o tempo em segundos.
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De posse desses dados, responda:
a) Qual o gráfico da função?
b) Qual é o período da função?
c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função?
d) Qual é a amplitude do movimento?
Solução:
a)
Figura 3.11: Movimento da corda
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assimsendo, o período dessa cossenóide é:
P = 2,5 - 0,5
P = 2 horas
c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo éP(1,5;60).
d) A amplitude é de 20 centímetros.
A amplitude foi calculada da seguinte forma:100 60 40
202 2− = = .
Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóideé identificar o coeficiente do cosseno na função
( ) 80 20.cos .2
y t t π
π = + −
.
3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração
e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo,tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmõesde um adulto, em condições físicas normais e em repouso, podeser descrito por:
y(t) 2,5 0,5.cos t.3
π2 = +
em que y é o volume em litros para um
ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos.
A partir dos dados, determine:
a) A representação gráfica desta situação;
b) O volume médio do pulmão desse adulto;
c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude;
d) O período de um ciclo inspiração/expiração.
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Solução:
a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12:
Figura 3.12: Respiração pulmonar
b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando ográfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros.Fazendo a média, tem-se 2,5 litros.
c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros
ou 500 ml, pois, 3 2 10 5 500 l
2 2 , litros m
−= = = .
d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontradofazendo a diferença entre as duas cristas.
SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente,secante e cossecante
Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas
decorrentes do seno e cosseno. São elas:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Tangente;
Cotangente;
Secante e cossecante.Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir.
Função Tangente
Observe a figura 3.13:
Figura 3.13: Função tangente
Geometricamente, definimos tangente do arco aordenada do ponto T , ou seja:
tg x =AT.
Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, nadisciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆OM´M .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os ladoscorrespondentes, o que permite escrever:
1 cos
cos
cos 0cos
AT OM"
OA OM' tgx senx
xtgx. x senx
senxtgx ; ( x )
x
=
=
=
= ≠
Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulosnotáveis.
Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada umdesses valores.
Observe as figuras 3.14 e 3.15:
Figura 3.14: Tangente dos arcos de , .6 4 3
rad rad e rad π π π
Figura 3.15: Tangente de
3
0 , , , 22 2rad rad rad rad e rad π π
π π .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela3.8 com os valores notáveis da tangente.
Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente
x 0 6
π
4
π
3
π
2
π π
3
2
π2π
tgx 03
31 3
Nãoexiste
0Não
existe0
Gráfico da Função Tangente: Tangentóide
Seja f(x) = tg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π].
Tabela 3.9: Valores da tangente
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
tg x 0Não
existe0
Nãoexiste
0Não
existe0
Nãoexiste
0
Figura 3.16: f(x)=tg x
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo[-2π ,2π ], representada na figura 3.16, tem-se que:
A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [π ,2π ], ou seja, toda vez quesomarmos π a um determinado valor de x, a função tangenteassume o mesmo valor.
Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráficoda tangente tende ao infinito positivo ou negativo.
O estudo da variação nos mostra que, no intervalo[-2π ,2π ], f(x)=tg x é sempre crescente.
O domínio da função f(x)=tg x é:3 3 3 3( ) 2 , , , , , 2
2 2 2 2 2 2 2 2 D f
π π π π π π π ππ π
= − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
Nos intervalos3 3
2 , , , , 0, ,2 2 2 2
eπ π π π
π π π − − − −
, a
função f(x)=tg x assume valores positivos.
No intervalo 3 3, , ,0 , , , 2
2 2 2 2e
π π π ππ π π
− − − , a
função f(x)=tg x assume valores negativos.
A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.)
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=tgx é
D( f ) x IR|x k , k Z 2
ππ
= ∈ ≠ + ∈
.
A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Veja alguns exemplos:
1) Determine o valor de11
.3
tg π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de11
.3
π
Então,11 5
3.3 3 3
tg tg tg π π π
= = − = −
Lembre-se que 5
3rad
π é um arco do 4º quadrante. Tem-se,
então, que fazer a redução ao primeiro quadrante.
Logo, 113.
3tg
π= −
2) Determine o valor de 13.
4tg
π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 13 .4π
Então,13 5
1.4 4 4
tg tg tg π π π
= = =
Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiroquadrante.
Logo,13
1.4
tg π
=
3) Encontre o valor de 11 .tg π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π.
Então, 11 0.tg tg π π= =
Logo, 11 0.tg π =
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4) Calcule o valor de 25
3tg
π .
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 25
3
π rad .
25 24
3 3 3
π π π= + .
Assim, a primeira determinação positiva é3
π rad .
Temos, então, que tg 25
3
π =tg 3
π = 3 .
Logo, tg
25
3
π
=3
.
5) Qual é o domínio da função 2 ?3
y tg xπ = −
Como o domínio da função y=tgx é
D( f ) x IR|x k , k Z 2
ππ
= ∈ ≠ + ∈
, tem-se:
2
22 3
52
6
5
12 2
x k 2
2x- k 3
x k
x k
k x
π π
π ππ
π ππ
ππ
π π
≠ +
≠ +
≠ + +
≠ +
≠ +
Logo, o domínio da função 23
y tg xπ = −
é
5 k D( f ) x IR|x , k Z
12 2
π π = ∈ ≠ + ∈
.
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Unidade 3
Função Cotangente
Observe a figura 3.17:
Figura 3.17: Função Cotangente
Geometricamente, definimos cotangente do arco aabscissa do ponto C, ou seja:
cotg x =BC .
Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M ésemelhante ao ∆ OBC .
Assim, pode-se escrever:' '
' "
cos
1
cos, 0
OM MM
BC OBOM OM
BC OB x sen x
BC x
BC sen x sen x
=
=
=
= ≠
Logo, tem-secos
cot , ( 0) x
g x sen x sen x
= ≠ .
Uma outra relação que representa a cotangente é:
1cot 0 gx , (tgx )
tgx= ≠ .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Gráfico da Função Cotangente
Seja f(x) = cotg x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relaçãocos
cot , ( 0) x
g x sen x sen x
= ≠ , com x variando [- 2π, 2π].
Tabela 3.10: Valores da cotangente
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
cotgx Nãoexiste
0 Nãoexiste
0 Nãoexiste
0 Nãoexiste
0 Nãoexiste
Figura 3.18: f(x)=cotg x
Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo[-2π ,2π ], representada na figura 3.18, tem-se que:
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
A função é periódica de período π .
Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe,o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ounegativo.
O estudo da variação nos mostra que no intervalo[-2π ,2π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente.
O domínio da função f (x)=cotg x é] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2 D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR.
Nos intervalos 32 , , , ,2 2π ππ π − − − −
0;2π
e 3;2ππ
,
a função f(x)=cotg x assume valores positivos.
No intervalo 3, , 0 ,
2 2
π ππ
− − − ;
2
ππ
e 3;2
2
ππ
a
função f(x)=cotg x assume valores negativos.
A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x).
Generalizando, tem-se:O domínio da função f(x)=cotg x é
{ }( ) | , k Z D f x IR x k π= ∈ ≠ ∈ .
A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR .
Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente.
1) Determine o valor de 37cot
6 g
π .
Solução:Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 37
6
π :37 36
6 6 6
π π π= +
Temos que
6rad
π é a primeira determinação positiva de 37.
6
π
Então:
3cos
37 3 26 2cot cot 316 6 2 1
6 2
g g . sen
π
π ππ= = = = =
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Logo, 37cot 3
6 g
π= .
2) Calcule o valor de 13cot
4 g π .
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de13
4
π rad .
13 8 5
4 4 4
π π π= + .
Assim, a primeira determinação positiva é 5
4
π rad .
Tem-se, então, que
2cos
13 5 4 2cot cot cot 14 4 4 2
4 2
g g g sen
ππ π π
π= = = = = .
Observe que:
Fizemos a redução ao primeiro quadrante.
O arco 5
4
π rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a
cotangente é positiva.
Logo, 13cot 1
4 g
π= .
3) Determine o valor de 7cot .
4 g
π
Solução:
Lembre-se que 7
4
π é um arco do 4º quadrante e, neste, a
cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se:
72
4 4
π ππ − =
2cos
7 4 2cot cot 14 4 2
4 2
g g sen
ππ π
π= − = − = − = −
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Logo, 7cot 1.
4 g
π= −
4) Qual é o domínio da função cot 2
4
y g xπ = +
?
Como o domínio da função cot y gx= é
{ } D( f ) x IR|x k , k Z π= ∈ ≠ ∈ , tem-se:
Nesta função, o arco é 2 ,logo:4
2 .4
2 .4
.4
2
8 2
x k
x
x k
x k
k x
k x
π
π
π π
ππ
ππ
π π
≠
+
+ ≠
≠ − +
− +≠
≠ − +
k D x IR|x - , k Z 8 2
π π = ∈ ≠ + ∈
Conheça a origem da tangente e da cotangente.
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128
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva histórica
A função tangente era a antiga função sombra, quetinha idéias associadas a sombras projetadas por umavara colocada na horizontal. A variação na elevação doSol causava uma variação no ângulo que os raios solaresformavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho dasombra.
Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminhodiferente daquele das cordas que geraram o seno. Foramconceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente,associados a ângulos, sendo importantes para calcular o
comprimento da sombra que é produzida por um objeto. Ocomprimento das sombras foi também de importância norelógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras paracalcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança detriângulos.
As primeiras tabelas de sombras conhecidas foramproduzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nometangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583.O termo cotangente foi, primeiramente, usado por EdmundGunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino
“cotangente de A”, que significa “tangente do complementarde A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” paracotangente.
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129
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Secante e Função Cossecante
Observe a figura 3.19:
Figura 3.19: Secante e Cossecante
Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência,interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo dasordenadas no ponto D.
Geometricamente, define-se:
secante do arco o segmento OS, ou seja, sec x=OS ;
cossecante do arco o segmento OD, ou seja,cosec x=OD.
Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS ésemelhante ao ∆ OM´M .
Dessa forma:
cos 1
1
. cos 11
cos
' OM OM
OM OS x
OS
OS xOS
x
=
=
==
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130
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
1sec , (cos 0)
cos x x
x= ≠
Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o∆OM’M é semelhante ao ∆OMD.
1
1
11
OD OM
OM MM' OD
sen x
OD . sen xOD
sen x
=
=
==
Logo:
1cos , ( 0)ec x sen x
sen x= ≠
Gráfico da Função Secante
Seja f(x) = sec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação
1sec
cos x
x= , com x variando [ ]2 , 2π π− .
Tabela 3.11: Valores da secante
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
secx 1Não
existe-1
Nãoexiste
1Não
existe-1
Nãoexiste
1
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131
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Figura 3.20: f(x)=sec x
Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura3.20, no intervalo [ ]2 ,2π π− , tem-se que:
A função é periódica de período 2π .
O domínio da função f(x)=secx é:3 3 3 3
( ) 2 , , , , , 22 2 2 2 2 2 2 2
D f π π π π π π π π
π π = − − ∪ − − ∪ − ∪ ∪
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos3 3
2 , , , , 0, , .2 2 2 2eπ π π π
π π π − − − −
A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos
3 3, , ,0 , , , 2
2 2 2 2e
π π π ππ π π
− − − .
Nos intervalos3
2 , , ,2 2 2
eπ π π
π − − −
3;2
2
ππ
, temossec x ≥ 1.
Nos intervalos3
,2 2
π π − − e
3;
2 2π π , sec x ≤ -1.A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x).
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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132
Universidade do Sul de Santa Catarina
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=sec x é
D( f ) x IR | x k , k Z 2π π = ∈ ≠ + ∈
.
A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
Gráfico da Função Cossecante
Seja f(x) = cosec x
Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação
1cosecx
senx= , com x variando [-2π , 2π].
Tabela 3.12: Valores da cossecante
x -2π3
2
π− -π
2
π− 0
2
ππ
3
2
π2π
cosecx Nãoexiste
1 Nãoexiste
-1 Nãoexiste
1 Nãoexiste
-1 Nãoexiste
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133
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Figura 3.21: f(x)=cosec x
Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo[- 2π , 2π ], representada na figura 3.21’, temos que:
A função é periódica de período 2π .
O domínio da função f(x)=cosec x é:
] [ ] [ ] [ ] [( ) 2 , ,0 0, , 2 D f π π π π π π= − − ∪ − ∪ ∪ .
A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos3 3
2 2 2 2 , , , , , e , .
π π π ππ π π π − − − −
A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos
3 32 , , , 0 , 0, , 2
2 2 2 2e
π π π ππ π
− − − .
Nos intervalos ] [ ] [2 , 0,eπ π π− − , temos cosecx ≥ 1.
Nos intervalos ] [;0π− e ] [, 2π π , cosecx ≤ -1.A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x.
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134
Universidade do Sul de Santa Catarina
Generalizando, tem-se:
O domínio da função f(x)=cosec x é
{ } D(f) x IR | x k , k Z π= ∈ ≠ ∈.
A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)= ] ] [ [; 1 1;−∞ − ∪ +∞ .
Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante ecossecante.
1) Determine o valor de9
sec .2
π
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 92
rad π .9 8
2 2 2
π π π= +
A primeira determinação positiva de 9
2rad
π é2
rad π .
Então:9
sec sec2 2
não existeπ π
= →
Logo, 9sec
2não existe
π→ .
2) Determine o valor de59
cos .4
ecπ
Solução:
Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 59.
4
π
Tem-se que3
4rad
πé a primeira determinação positiva de
59
.4 rad
π
Assim, 59 3cos cos cos 2
4 4 4ec ec ec
π π π= = = .
Logo: 59
cos 24
ecπ
= .
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135
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
3) Qual é o domínio da função sec2
y xπ = −
?
Como o domínio da função sec y x= é
( ) x |x , k Z2
D f IR k π π = ∈ ≠ + ∈ , tem-se:
2
Nesta função, o arco é x ,logo:2
.2 2
.2 2
2
2
x k
x k
x k
x k
x k
ππ
π
π ππ
π π π
ππ
π π
≠ +
−
− ≠ +
≠ + +
≠ +
≠ +
{ }( ) | , D f x IR k k Z π π= ∈ + ∈ .
4) Qual é o domínio da função cos 3
2
y ec xπ = −
?
Nesta função, o arco é 3
2 x
π −
, logo:
32
32
6 3
x k
x k
x k
ππ
ππ
π π
− ≠
≠ +
≠ +
Logo, ( ) | ,6 3
D f x IR x k k Z π π = ∈ ≠ + ∈
.
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136
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Acredita-se que, por volta do final do século IX, asseis funções trigonométricas comuns já estavam bemestabelecidas e as identidades que as relacionavam estavamem plena aplicação.
O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998),figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicando-se à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas,usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente,bem como as funções secante e cossecante, estas últimas
inventadas por ele próprio.
Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomiean-tique/arabe.htm (acesso em 28/06/06).
SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricasinversas
Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar afunção inversa para as funções trigonométricas, pois, comosão funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não sãoinversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos geraruma nova função que possua uma inversa.
Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funçõestrigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversapara cada caso.
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137
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Arco Seno
Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio ,2 2
π π −
e,
tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, esomente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1−
corresponde ,2 2
yπ π ∈ −
.
Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura3.23:
Figura 3.23 : Função y = arc sen x
A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintescaracterísticas da função
y = arc sen x:
o domínio da função é D = [-1,1];
a imagem da função é , ;2 2
π π − é crescente em todo seu domínio.
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138
Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Arco Cosseno
Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o
domínio [0,π].A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈[ ]1,1− corresponde [ ]0, y π∈ .
Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura3.24:
Figura 3.24: Função y = arc cos x
A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintescaracterísticas da função
y = arc cos x:
o domínio da função é D = [-1,1];
a imagem da função é [ ]0,π ;
é decrescente em todo seu domínio.
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139
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Função Arco Tangente
A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x,
se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde,
2 2 y
π π ∈ − .
Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura3.25:
Figura 3.25: Função y = arc tg x
A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc tg x:
o domínio da função é D = IR;
a imagem da função é ;2 2
π π − ;
é crescente em todo seu domínio.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Função Arco Cotangente
A função inversa da função cotangente é definida como
y = arc cotg x =2
arc tgxπ − , onde, para cada x real, corresponde] [0, y π∈ .
Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura3.26:
Figura 3.26: Função y = arc cotg x
A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc cotg x:
o domínio da função é D = IR;a imagem da função é ] [0, π ;
é decrescente em todo seu domínio.
Função Arco Secante
A função inversa da função secante é definida como1
sec cos y arc x ar x
= =
, onde, para cada x real, tal que 1 x ≥ ,
corresponde [ ]0, y π= com y ≠2
π .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura3.27:
Figura 3.27: Função y = arc sec x
A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc sec x:
o domínio da função é { }| | | 1 ; D x IR x= ∈ ≥
a imagem da função é [ ]0, ;2
e yπ
π ≠
é crescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .
Função Arco Cosecante
A função inversa da função cossecante é definida como
1arccos y x arsen
x = =
, onde, para cada x real, tal que, 1 x ≥ ,
corresponde ,2 2
yπ π = −
com y ≠ 0.
Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura
3.28:
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142
Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 3.28: Função y = arc cosec x
A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintescaracterísticas da função y = arc cosec x:
o domínio da função é { }| | | 1 ; D x IR x= ∈ ≥
a imagem da função é , 0;2 2
e yπ π − ≠
é decrescente em todo o seu domínio, ] ] [ [, 1 1,−∞ − ∪ +∞ .
Que tal alguns exemplos?
Exemplos:
1) Qual o valor de 1sec2
2 y arcsen =
?
Solução:
1sec2
2 y arcsen =
.
Fazendo 1
2 x arcsen= , deve-se procurar um arco cujo seno é igual
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
a 1
2.
Então, o arco procurado deve ser6
x rad π
= , pois, de acordo com
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo ,2 2π π − .
Dessa forma, substituindo x em1
sec22
y arcsen =
, pode-seescrever:
1 1 1sec 2 sec 2 sec 2.
12 6 3cos
3 2
arcsenπ π
π = = = = =
Logo, o valor de 1sec2
2
y arcsen =
é 2.
2) Qual o valor de 210. arccos
2 E sen
−=
?
Solução:
210. arccos
2 E sen
−=
Fazendo 2cos2
x ar −= , deve-se procurar um arco cujo cosseno é
igual a 2
2
− .
Então, o arco procurado deve ser 3
4 x rad
π= , pois, de acordo com
a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [ ]0,π .
Dessa forma, substituindo x em2
10. arccos2
E sen −
= , pode-
se escrever:
210. arccos
2
310.
4
210.
2
5 2.
E sen
E sen
E
E
π
−=
=
=
=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Lembre-se que 3
4rad
π é um arco do 2º quadrante e foi necessário
fazer redução ao primeiro quadrante.
Logo, o valor de2
10. arccos2
E sen −
= é 5 2 .
3) Sabendo que 0,125tg θ = , determine o valor de θ .
Solução:
Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica.Veja:
Tem-se que:
0,125tg θ = .
Pode-se escrever:
0,125arctg θ = .
Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125 .
Você deverá programar sua calculadora no modo rad .
Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora,tecle tan-1.
Você obtém: 0,124θ =
Logo, o ângulo procurado é 0,124θ = rad .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Pesquise
Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria
No ensino da Trigonometria, o uso de softwaresmatemáticos pode ser muito interessante para auxiliarna construção dos gráficos das funções circulares.
Nesta unidade, os gráficos foram construídos nosoftware GRAPH 4.1, que está disponível paradownload em http://www.padowan.dk/graph/.
Você conheceu e aprendeu a utilizar esse softwarena disciplina ‘Informática Aplicada à EducaçãoMatemática’.
Como sugestão, indicamos novamente o softwareThales, que possui um ambiente de trabalho bastanteinteressante, no estudo das funções trigonométricas.Com ele, é possível visualizar simultaneamente ocomportamento das funções no ciclo trigonométricoe no plano cartesiano.
Atividades de auto-avaliação
1) Determine:
37)
6a tg
π=
7) cot 2b g
π=
5)sec
4c
π − =
31) cos
6d ec
π=
5)
3e tg π
=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Qual o sinal da expressão:
3. 0
3 45
.
3 6
tg tg tg y
tg tg
π π
π π
−=
− −
.
3) Determine o valor da expressão:
a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= 2π .
b)
7sen cos 3
313
tg
6
B
ππ
π
−= .
4) Que número é maior:3 5
?4 6
tg ou tg π π
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedadesdas funções:
) 2
) 2.cos4
) 3 2
a y sen x
xb y
c y sen x
= − +
=
= −
6) Analisando os gráficos:
2 y sen x=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 cos y x= +
2
x
y tg
=
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
Responda os itens a seguir:
a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?
b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?
c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa?
d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva?
e) Qual o período da função y= tg(x/2)?
7) Determine o valor de k , sabendo-se que sen x = 3k - 7 .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x ?
9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação
horária y(t) 4 3.cos t4
ππ
= + +
, em que t é o tempo transcorrido,
em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo àparede, conforme ilustração a seguir:
a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;
b) Qual o ponto de partida do corpo?
c) Qual o seu período de oscilação?
d) Qual a amplitude do movimento?
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
10) Determine o domínio de cada uma das funções:
( )
) 54
) cot2
) sec 3
) cos 23
a y tg x
b y g x
c y x
d y ec x
π
π
π
π
= −
= +
= −
= +
11) Qual o valor de1
2. arccos2
y tg =
?
12) Encontre o valor de3
2. arcsen2
y tg
=
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Determine o valor de3
3 .3
y arctg arctg = +
Desafios na Trigonometria
1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da
temperatura (emo
C) do solo em uma determinada região, durante trêsdias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a serfeita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horasdepois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função
315 5
12 2 y(t) sen t
π π = + +
, onde t indica o tempo (em horas)
decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) noinstante t . Determine:
a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);
b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperaturaocorreu, no primeiro dia de observação.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 3
2) (Mack-SP) O valor de 3 1 35
3 4 2tg arctg arcsen
−
pode ser dado
por:
a) 0
b) 1
c) 1
2
d) -1
e)1
2−
3) O valor de1 1
2 3 arcsen arccos2 2
arctg + + é:
a)5
6
π
b)2
π
c)6
π
d) 7
6
π
e) π
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154
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôdeconhecer suas características, bem como perceber suas váriasaplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nosfenômenos que envolvem periodicidade.
Você constatou que as funções trigonométricas podem terseus domínios restringidos, de modo que gerem uma funçãoinversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções
resultantes tornam-se parte de suas definições.Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguirmodelar situações práticas que as envolvem.
Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidadestrigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequaçõestrigonométricas, que são conhecimentos importantes para umfuturo professor de matemática.
Saiba mais
Para que você aprofunde seu conhecimento na história datrigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de Históriada Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor
é Edward Kennedy.Com relação à periodicidade das funções, característica bastanteimportante das funções circulares, uma boa idéia é acessarum site de busca e analisar textos referentes a esse assunto naInternet.
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UNIDADE 4
Estudando as Relações,Equações e InequaçõesTrigonométricas
Objetivos de aprendizagem
Reconhecer as relações trigonométricas.
Resolver e simplificar expressões trigonométricas,aplicando as relações trigonométricas.
Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
Resolver equações e inequações trigonométricas.
Seções de estudo
Seção 1 Relações Trigonométricas
Seção 2 Adição e Subtração de Arcos
Seção 3 Arco DuploSeção 4 Equações Trigonométricas
Seção 5 Inequações Trigonométricas
4
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156
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar
com as relações entre os valores das funções trigonométricas,denominadas relações trigonométricas.
As transformações trigonométricas serão abordadas e vocêtambém irá resolver, ainda nesta unidade, as equações einequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, torna-se necessário o uso das relações e transformações trigonométricasna resolução dessas equações.
São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentosdentro da Trigonometria.
SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas
Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para
qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricasfundamentais.
Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricasfundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funçõestrigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seçãoanterior.
É importante saber que as relações trigonométricasfundamentais recebem este nome por serem distintase completamente independentes umas das outras.
Elas também permitem que, dado o valor de uma das funçõescirculares de um arco qualquer, encontremos, se existirem,os valores das demais funções circulares do mesmo arco.Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação deexpressões.
As cinco relações trigonométricas fundamentais maisimportantes são:
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157
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
1ª Relação
Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental
Observando a figura 4.1, tem-se:
1OM =
cosOM' x=
MM' OM" senx= =Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M ,tem-se:
( ) ( ) ( )2 2 2
OM OM' OM" = +
( ) ( ) ( )2 2 21 cos x senx= +
2 2cos 1 sen x x+ =
2ª Relação
cos
senxtgx
x=
Esta relação só será válida para todo x ≠2
k π
π+ e k é um númerointeiro.
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158
Universidade do Sul de Santa Catarina
3ª Relação
coscot
x gx
senx=
Esta relação só será válida para todo x k π≠ e k é um númerointeiro.
4ª Relação
1sec
cos x
x=
Esta relação só será válida para todo x ≠ 2 k
π
π+ e k é um númerointeiro.
5ª Relação
1cossec x
senx=
Esta relação só será válida para todo x k π≠ e k é um número
inteiro.Existem outras relações trigonométricas derivadas das relaçõesfundamentais, importantes para simplificar a resolução de algunsproblemas. Acompanhe:
1ª relação
Como
sen
cos
xtgx
x=
e
coscot
sen
x gx
x=
, pode-se obter a seguinterelação 1
cot gxtgx
= , válida para todo x k π≠ .
2ª relação
Você já viu que sen 2x + cos 2x = 1.
Assim, se dividir a equação por cos 2x, tem-se:2 2
2 2 2
sen cos 1
cos cos cos
x x
x x x+ = , como sen
cos
xtgx
x= e 1
seccos
x x
= .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Logo, 2 2sec 1 x tg x= + , válida para todo x ≠2
k π
π+ .
3ª relação
Sabe-se que sen 2x + cos 2x = 1.
Assim, dividindo a equação por sen 2x, tem-se:2 2
2 2 2
sen cos 1
sen sen sen
x x
x x x+ = .
Como coscot x gx senx
= e 1cossecsen
x x
= .
Logo, 2 21 cot cos g x ec x+ = , válida para todo x k π≠ .
Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir.
1) Sabendo que 1
3 senx = e que
32
2 x
ππ< < , determine o valor do
cosx.
Solução:
Aplicando-se a relação sen 2x+cos 2x=1, tem-se:2 2
2
2
2
2
2
2
cos 1
1cos 1
3
1cos 1
9
1
cos 1 9
9 1cos
9
8cos
9
8cos
9
2 2cos .
3
sen x x
x
x
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −−
=
=
= ±
= ±
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160
Universidade do Sul de Santa Catarina
Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante,tem-se que o cosseno é positivo.
Logo, 2 2cos
3 x = .
2) Se secx= 4, com 02
xπ
≤ ≤ , qual o valor da tgx?
Solução:
Sabendo que 1sec
cos x
x= , então:
sec 4
1 4cos
4cos 1
1cos
4
x
x x
x
=
=
=
=
Substituindo 1cos
4 x = na relação 2 2cos 1 sen x x+ = , tem-se:
2 2
2
2
2
2
2
2
cos 1
1 14
11
16
11
16
16 1
16
15
16
15
16
15
4
sen x x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
senx
senx
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno épositivo.
Logo, 15
4 sen x = .
Seguindo ao valor da tangente:
cos
15
41
4
15 4.
4 1
15.
senxtgx
x
tgx
tgx
tgx
=
=
=
=
3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente
as equações1
3
k senx
+= e cosx=-k, determine o valor de k.
Solução:
Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen 2x+cos 2x=1 tem-se:
( )
2 2
32
22
2 2
2 2
2
cos 1
11
3
2 11
92 1 9 9
9 9
2 1 9 9
10 2 8 0
sen x x
k k
k k k
k k k
k k k
k k
+ =
+ + − =
+ ++ =
+ + +=
+ + + =
+ − =
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se:
k’ = -1 e k” = 45
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Como k é um número real positivo, a solução do problema será:
k = 4
5.
4) Simplifique a expressão2
2
2
cot
1 cot
g x sen x
g x+
+.
Solução:
Fazem-se as seguintes substituições na expressão:
21 cot g x+ por 2cosec x.
2cot g xpor
2
2
cos x
sen x .2
2
2
22
2
2
2 2
2
2 22
2
2 2
cot
1 cot
cot
cos
cos
1
cos
1
cos 1.
g x sen x
g x
g x sen x
ec x
x
sen x sen x
sen x
x sen x. sen x
sen x
x sen x
++
+
+
+
+ =
A forma simplificada da expressão2
22cot
1 cot g x sen x g x ++ é 1.
SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos
Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo quesen 60º+sen 30 º.
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163
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Tem-se que:
(60º 30º ) 90º 1 sen sen+ = = e
3 1 3 160º 30º2 2 2
sen sen ++ = + = .
Vê-se então que esses valores são diferentes.
Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e dadiferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir:
( ) .cos .cos
( ) .cos .cos
cos( ) cos .cos .
cos( ) cos .cos .
( )1 .
( )1 .
sen a b sen a b senb a
sen a b sen a b senb a
a b a b senb sen a
a b a b senb sen a
tga tgbtg a b
tgatgb
tga tgbtg a b
tgatgb
• + = +
• − = −
• + = −
• − = +
+• + =
−
−• − =
+
Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja:cos( ) cos .cos .a b a b senb sen a− = + .
Demonstração:
Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre doispontos A(xA, y A) e B(xB, y B), do plano, é dada por:
Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 2 2( , ) ( ) ( ) B A B Ad A B x x y y= − + −
2 2( , ) B A B Ad A B (x x ) (y y )= − + − .
Seja a figura 4.3:
Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos
Na circunferência trigonométrica tem-se:
os arcos a e b;
o arco a-b;
M representa a extremidade do arco a;
N representa a extremidade do arco b;
P representa a extremidade do arco a-b;
A representa a extremidade do arco nulo.
Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontosP e A, M e N são iguais.
Escreve-se então: 2 2( , ) ( , )d P A d M N =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
P A P A M N M N X X Y Y X X Y Y − + − = − + − [1]
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Note que:
as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b));
as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena);as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb);
as coordenadas do ponto A são: A(1,0 ).
Assim substituindo em [1] tem-se:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2cos( ) 1 ( ) 0 cos cosa b sen a b a b sena senb− − + − − = − + −
Desenvolvendo a equação e sabendo que:
2 2( ) cos ( ) 1 sen a b a b− + − = ;
2 2cos 1 sen a a+ = ;
2 2cos 1 sen b b+ = .
Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membrosA e B, então:
( ) ( ) [ ] [ ]2 2 2 2
cos 1 0 cos cos A a b sen a b e B a b sen a senb = − − + − − = − + − .
Desenvolvendo A, tem-se:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
cos 1 0
cos 2cos 1
2 2cos
A a b sen a b
A a b a b sen a b
A a b
= − − + − −
= − − − + + −
= − −
Desenvolvendo B, tem-se:
[ ] [ ]
( )
2 2
2 2 2 2
cos cos
cos 2.cos .cos cos 2. .
2 2 cos .cos .
B a b sen a senb B a a b b sen a sen a senb sen b
B a b sen a senb
= − + −= − + + − +
= − +
Como A=B, tem-se:
( )2 2cos( ) 2 2 cos .cos .a b a b sen a senb− − = − +
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para simplificar a equação, divide-se por (-2):
1 1cos( ) 1 (cos .cos . )
:
cos( ) cos .cos .
a b a b sen a senb
Logo
a b a b sen a senb
− + − = − + +
− = +
As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida.
cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = −
Demonstração:
Substituindo b por –b tem-se:( )cos ( ) cos .cos( ) . ( )a b a b sen a sen b− − = − + − [2]
Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo, tem-se:
( ) sen b senb− = − .
cos( ) cosb b− = .
Substituindo em [2] tem-se:
cos( ) cos .cos .a b a b sen a senb+ = − .
Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e doseno da soma:
Seno da diferença: ( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb− = − .
Demonstração:
Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar:
Para todo x real, tem-se:
cos2
cos .2
x senx
sen x x
π
π
− =
− =
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Dessa forma:
( ) ( )( )
( )
( )
( ) .cos cos .
cos 2
cos2
cos .cos .2 2
.cos cos . .
sen a b sen a b a senb
sen a b a b
sen a b a b
sen a b a b sen a senb
sen a b sena b a senb
π
π
π π
− = −
− = − − − = − +
− = − − −
− = −
Seno da soma: ( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb+ = + .Demonstração:
Substituindo b por –b, tem-se:
( )( ) ( ) .cos ( ) cos . ( ) sen a b sen a b sen a b a sen b+ = − − = − − − [3]
Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par.
Logo:
( ) sen b senb− = − .
cos( ) cosb b− = .
Substituindo em [3], tem-se:
( ) .cos cos . sen a b sen a b a senb+ = + .
Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e dadiferença de dois arcos.
( )1 .
tga tgbtg a b
tgatgb
−− =
+.
Demonstração:
Você já conhece a relação fundamentalcos
senxtgx
x= .
Na demonstração a seguir, ela será utilizada.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Então, tem-se que: ( ) ( ) .cos cos .
cos( ) cos .cos .
sen a b sena b a senbtg a b
a b a b sena senb
− −− = =
− +.
Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo
diferente de zero, encontra-se:( )
( )cos( )
.cos cos .
cos .cos( )cos .cos .
cos .cos
cos cos( ).
1cos .cos
( ) .1 .
sen a btg a b
a b
sena b a senb
a btg a ba b sena senb
a b
sena senb
a btg a b sena senb
a b
tga tgbtg a b
tgatgb
−− =
−
−
− =+
−− =
+
−− =
+
De forma análoga, demonstra-se que:1
tga tgbtg(a b)
tga.tgb
++ =
−
.
Retrospectiva Histórica
Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm(acesso em 28/06/06).
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno ecosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser consideradoo prenúncio da conhecida relação fundamental 2 2cos 1 sen x x+ = .
Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia aspropriedades que, em linguagem atual, são:
( ) .cos .cos
( ) .cos .cos
cos( ) cos .cos .
cos( ) cos .cos .
sen x y sen x y sen y x
sen x y sen x y sen y x
x y x y sen y sen x
x y x y sen y sen x
• + = +
• − = −
• + = −
• − = +
Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos.
1) Calcule cos75º .
Solução:
Para calcular cos75º pode-se escrever 75º 30º 45º= + .
cos75º cos(30º 45º)
cos75º cos30º .cos45º 30º . 45º
3 2 1 2cos75º . .
2 2 2 2
sen sen
= +
= −
= −
6 2cos75º
4 4= −
6 2cos75º .
4
−=
2) Determine 15º sen .
Solução:
Faz-se 15º = 45º - 30º.
15º (45º 30º )
15º 45º .cos30º 30º .cos45º
2 3 1 215º . .
2 2 2 2
sen sen
sen sen sen
sen
= −
= −
= −
6 215º
4 4 sen = −
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Universidade do Sul de Santa Catarina
6 215º .
4 sen
−=
Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Issose deve ao fato de serem arcos complementares.
3) Escreva na forma simplificada a expressão
( ) cos2
A sen x xπ
π = + + −
, para todo x∈ IR.
Solução:
( ) cos2
cos cos cos cos2 2
0 cos 1 0 cos 1
0.
A sen x x
A sen . x senx. . x sen .senx
A . x senx.( ) . x .senx
A senx senx
A
ππ
π ππ π
= + + −
= + + +
= + − + +
= − +
=
4) Qual o valor da tg15º ?
Solução:
Pode-se fazer 15º=60º-45º.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
t1
60 45
60 45 1 60 45
3 115
1 3 1
3 1 1 315
1 3 1 3
3 9 1 315
1 9
2 3 4151 3
4 2 315
2
15 2 3.
tga tgb g(a b)
tga.tgb
tg º tg º tg( º º ) tg º .tg º
tg º .
tg º .
tg º
tg º
tg º
tg º
−− =
+
−− = +
−=
+
− −=
+ −
− − +=
−
−= −
− +=
−
= −
SEÇÃO 3 - Arco duplo
Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funçõestrigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas.
Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem serutilizadas as seguintes identidades:
2 2 .cos sen x sen x x=2 2cos2 cos x x sen x= −
2
22
1
tgxtg x
tg x=
−Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando asfórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadasna seção anterior.
2 2 .cos sen x sen x x=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Demonstração:
2 ( )
2 .cos .cos2 2. .cos .
sen x sen x x
sen x sen x x sen x x sen x sen x x
= +
= +=
2 2cos2 cos x x sen x= −
Demonstração:
2 2
cos 2 cos( )
cos 2 cos .cos .
cos 2 cos .
x x x
x x x sen x sen x
x x sen x
= +
= −
= −
2
22
1
tgxtg x
tg x=
−
Demonstração:
2
2
22
1
2
21
22 .
1
tgxtg x
tg x
tg x tg(x x)
tgx tgxtg x
tgx.tgx
tgxtg x
tg x
=−
= +
+=
−
=−
Retrospectiva Histórica
Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: 2 2 cos sen x sen x . x= , embora issopudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu
cos cos sen(x y) sen x . y sen y . x+ = + , fazendo x = y.
Acompanhe os exemplos!!!
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Universidade do Sul de Santa Catarina
2 2
2 2
cos2 cos
2 2 1cos2
3 3
4 2 1cos2
9 9
7cos 2 .
9
b) x x sen x
x
.x
x
= −
= −
= −
=
2) Dado 3
2 senx = , com
2 x
ππ< < , determine a tg 2x.
Solução:Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x paradescobrir o valor da tg x.
Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen 2x+cos 2x=1,tendo então:
2 2
2
2
2
2
2
2
cos 1
3cos 1
2
3cos 1
4
3cos 1
4
4 3cos
4
1cos
41
cos4
1cos
2
1cos .
2
sen x x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ =
+ =
+ =
= −
−=
=
= ±
= ±
= −
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, poisse está trabalhando com um arco do 2º quadrante.
Calculando o valor da tg x, tem-se:
cos
3
21
2
3 2.
2 1
3
senxtgx
x
tgx
tgx
tgx
=
=−
= −
= −
Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema propostoutilizando-se a identidade tg2x.
( )( )2
2. 32
1 3
2 32
1 32 3
22
2 3
tg x
tg x
tg x
tg x
−=
− −
−=
−−
=−
=
Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e,para isso, será necessária a utilização de todas as transformaçõestrigonométricas estudadas nesta unidade.
SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas
Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como suaimportância na resolução de vários problemas.
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176
Universidade do Sul de Santa Catarina
As diferentes equações possuem nomes específicos em funçãode suas características específicas. Por exemplo: 2 4 9 x − = édenominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob
o radical.Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas querecebem este nome porque são equações em que figuram asfunções trigonométricas com um arco desconhecido.
Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizarartifícios e transformações que nos permitam chegar a equaçõesbásicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma,podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a.
Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas:
2
) 0
) 1 cos 0
) 2 2.cos
a senx
b x sen x
c sen x x
=
− + =
=
Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o
conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem aequação dada.
Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equaçõestrigonométricas:
1) Resolver a equação1
2 senx = no intervalo [ ]0,2π .
Solução:
Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundoquadrante.
O arco cujo seno corresponde a 1
2é
6
π no primeiro quadrante e,
utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo
quadrante: 5
6 6
π ππ − = .
Observe a representação da solução na figura 4.5.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Figura 4.5:1
2 sen x = ; [ ]0;2π
Logo, a solução desta equação é5
,6 6
S π π =
.
2) Resolver a equação 1
2 sen x = , com x ∈ 0,
2
π
.
Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com
intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa asituação do problema.
Figura 4.6:1
2 senx = ;x ∈ 0,
2
π
Logo, como 1
6 2 sen
π= , então a solução é S =
6
π
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Resolver a equação 1
2 senx = .
Solução:
Note que, novamente, é a mesma equação que está sendotrabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe afigura 4.7:
Figura 4.7:1
2 sen x =
Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerartodas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, acongruência de arcos.
Logo, a solução geral será:
5S x IR|x 2k ou x 2k , k Z
6 6
π ππ π
= ∈ = + = + ∈
.
Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou aexpressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seututor.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
4) Resolver a equação 2 sen 2x – 5 senx + 2 = 0 , com x ∈ 0,2
π
.
Solução:
Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva.
Os coeficientes da equação são:
a = 2
b = - 5
c = 2
O discriminante da equação é:
2
2
4
( 5) 4.2.2
9
Assim:
2
( 5) 9
2.2
5 3
4
Obtemos, portanto, que:
2
1 .2
b ac
b senxa
senx
senx
senx
senx
∆ = −
∆ = − −
∆ =
− ± ∆=
− − ±=
±=
=
=
Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2.
Logo, busca-se a solução para 1
2 sen x = .
Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2.
Portanto, x =6
π e se escreve a solução S = 6
π
.
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180
Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [ ]0; 2π .
Solução:
Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se:2 2cos
2. .cos 2cos
sen x x
sen x x x
=
=
Resolvendo a equação:2. .cos 2.cos 0
2.cos .( 1) 0.
sen x x x
x senx
− =
− =
Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quandoum dos fatores for zero. Dessa forma:
2.cos 0 1 0. x ou sen x= − =
Assim, tem-se duas equações para resolver:2.cos 0
cos 0
x
x
=
=ou
1 0
1
sen x
sen x
− =
=
Encontrando a solução para cos x = 0 , no intervalo dado tem-se:
2 x
π= ou 3
2 x
π= .
Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se:
2 x
π
= .
Logo, a solução da equação 2 2cos sen x x= no intervalo [ ]0, 2π é
S = 3,
2 2
π π
.
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181
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas
Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações
também possuem nomes específicos em função de suascaracterísticas.
Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas querecebem este nome por serem desigualdades nas quais figuramfunções trigonométricas com arcos desconhecidos.
Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma formaque nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações quepermitam chegar a inequações básicas do tipo
sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR.
É importante observar que as desigualdades > e < podem ser≥ e ≤, não interferindo no método de resolução.
Por exemplo, são inequações trigonométricas:1
1)2
32) cos2
3) 1
sen x
x
tg x
>
≤
>
Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental aconstrução da circunferência trigonométrica representando asituação do problema.
Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequaçõestrigonométricas:
1) Resolver a inequação 1
2 senx ≥ , com 0 < x < 2π.
Solução:
Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto
cuja distância do centro é 1
2.
Faz-se a análise para valores acima de 1
2tendo em vista que
12
senx ≥ .
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182
Universidade do Sul de Santa Catarina
Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 1
2.
Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que
compõem a solução desta inequação estão entre 5e
6 6
π π (partedestacada na circunferência).
Figura 4.8: 1
2 sen x ≥
Logo, a solução será:5|
6 6S x IR x
π π = ∈ ≤ ≤
.
2) Resolver a inequação cos x < - 2
2, com 0 < x < 2π.
Solução:
Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto
cuja distância do centro é - 2
2.
Faz-se a análise para valores menores que - 2
2tendo em vista
que cos x < - 2
2.
Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 2
2.
Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que
compõem a solução desta inequação estão entre 3 5e4 4π π
(parte destacada na circunferência).
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183
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Figura 4.9:
2
cos 2 x < −
Logo, a solução será:3 5
|4 4
S x IR xπ π = ∈ < <
.
3) Qual é a solução da inequação 3tg x > no intervalo [ ]0,2π ?
Solução:
Figura 4.10: tgx 3>
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184
Universidade do Sul de Santa Catarina
Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe:
Para os valores reais de x tais que2
xπ
≠ e 3
2 x
π≠ a tg x existe.
Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a
tg 3
π .
Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o
arco 4
3
π para o qual a tangente também é 3 .
Tem-se que: 3tg x > .
Logo, a solução será:4 3
3 2 3 2S x IR | x ou x
π π π π = ∈ < < < <
.
Síntese
Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações eidentidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equaçõestrigonométricas que são conhecimentos importantes para umfuturo professor de matemática.
Você pôde observar que não existe um modo único de resolverequações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equaçõesdo tipo sen x = a , cos x = b ou tg x.
Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, paraencontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-sedas equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos quesatisfazem a desigualdade do problema.
Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos,mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades deauto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Atividades de auto-avaliação
1) Sabendo que1
2 sen x = e que
3 x2
ππ < < , determine o valor de
cos x .
2) Sabe-se que3
5 senx = − e
32
2 x
ππ< < . Qual o valor da cotg x ?
3) Sabendo que3
2 sen x = e
2 x
ππ< < , determine o valor da expressão
2 2sec cos . x x+
4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cos sen x x= − e que
2 x
ππ< < ?
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Se5
sec3
x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
( )2 216 cot cos A g x ec x= + .
6) Se 1
3 sen x = , com 0 ≤ x ≤
2
π , calcule o valor da expressão
cot
sec cos
tgx gx y
x x
+=
−.
7) Calcule o valor de2cos cos sec .sec
1
ec x x x y
tgx
−=
−, dado
1
4 senx = .
8) Se5
sec3
x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
2 225.cos 16.cot . A x g x= −
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
9) Determine:
) 105º
) 75º
)cos15º
a sen
b tg
c
=
=
=
10) Sabendo que3
5 senx = e que
2 x
ππ< < , calcule o valor de
cos3
xπ +
.
11) Calcule o valor numérico da expressãocos( 30º ) cos( 30º )
cos( 30º ) (30º )
x x y
x sen x
+ + −=
+ + −.
12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º ) y x x= + + − .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x
14) Sabendo que1
cos3
x = , calcular cos2 . x
15) Se1
cos2
sen x x− = , calcule o valor de 2 . sen x
16) Sendo1
cot2
g x = , calcule 2 .tg x
17) Sendo 21 cos2 2.cos E x x= − + , calcular 2 3 E E E + + .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?
19) Se cot 4tg x g x+ = , quanto vale 2 sen x?
20) Sendo 45ºa b+ = e2
3tg a = , calcule tg b .
21) Resolver a equação 2 2 0 sen x sen x+ − = para 0 2 x π≤ ≤ .
22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
23) Determine o conjunto solução da equação 2 0 sen x sen x− = sendo
0 x .π≤ ≤
24) Resolva em IR a equação:
2
3 3 2 sen x sen x
π π + + − =
.
25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintesinequações:
1
2
2cos
2
1
3cos
2
a) sen x
b) x
c) tg x
d) x
< −
≥ −
≤
<
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 4
Desafios na Trigonometria
1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x , 0 2 x π≤ ≤ , tais que
( )2
cos 1 sen x x+ = é:a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) maior que 5
2) No intervalo 0 2 x π≤ < , a equação2cos
1
x sen x
sen x=
+, apresenta
exatamente:
a) Uma única solução.
b) Duas soluções.
c) Três soluções.
d) Quatro soluções.
e) Cinco soluções.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você ficou interessado em conhecer outras equaçõestrigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet.Como sugestão, acesse o site:
http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Titulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es%20Trigonom%C3%A9tricas%5D
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UNIDADE 5
Números complexos
Objetivos de aprendizagem
Compreender o conceito de números complexos.
Identificar um número complexo na sua forma algébricae representá-lo no plano de Argand-Gauss.
Compreender os conceitos de módulo e argumento deum número complexo z , bem como a sua representaçãogeométrica.
Apresentar a forma trigonométrica de z .
Operar com números complexos na forma algébrica e
trigonométrica.
Seções de estudo
Seção 1 Introdução
Seção 2 A álgebra dos números complexos
Seção 3 A forma trigonométrica dos números
complexos
5
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de conversa
Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números
complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seusconhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudadospor você.
Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicadose também possibilitam a extração da raiz quadrada de umnúmero negativo.
Com esta característica (extração da raiz quadrada de númeronegativo) é possível resolver equações que não possuem soluçãodentro do conjunto dos reais.
Os números complexos são da forma a+bi , sendo a e b reais e i achamada unidade imaginária, para qual i 2 =-1.
O papel desses números é de fundamental importância nosdiversos ramos da matemática além de ser instrumentosnecessários em campos da ciência e da tecnologia.
SEÇÃO 1 - Introdução
Os números complexos se originaram no século XVII, quandoDescartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativoque o matemático italiano Cardano utilizava na resolução deequações de 3º grau.
Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza dessesnovos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu queequações do tipo x 2 + a = 0 , só poderiam ser resolvidas com essasraízes.
Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com umanotação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dosNúmeros Complexos representado por .
A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande
história na área de matemática, tem inúmeras aplicaçõesna engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a
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195
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, arepresentação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação tambémse estende em áreas próprias da matemática, da computação
gráfica e da topologia.
SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos
Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexose, para isso, deve conhecer de que forma são expressos essesnúmeros.
Conhecendo o “i”
Inicia-se este estudo com a resolução da equação x 2+1=0 tendocomo universo o conjunto dos reais:
2
2
1 0
1
1
x
x
x
+ =
= −
= ± −Logo, o conjunto solução é S =∅.
Você sabia...
Quem utilizou o símbolo i para 1− pela primeira vez foiLeonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso porGauss em 1801.
Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual seadmita a existência da 1− , que será substituída por i, a equaçãopassará a ter solução não vazia.
Veja que a solução da equação será:2
2
1 0
1
1
x
x x
x i
+ =
= −= ± −
= ±
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196
Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação.
Dessa forma, o conjunto solução será: { },S i i= − .
Vejamos, agora, outro exemplo: x 2 - 6x +13=0 .
Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação:
x 2 - 6x +13=0
( )
2
2
4. .
6 4.1.13
16
b a c∆ = −
∆ = − −
∆ = −
Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente.
Então vamos considerar como universo um conjunto no qual seadmita a existência 1− , que será substituída por i .
( )
2.
6 162
6 16. 1
2
6 4 1
2
6 4
2
' 3 2
" 3 2
b x
a
x
x
x
i x
x i
x i
− ± ∆=
± −=
± −=
± −=
±=
= −
= +
Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação.
Dessa forma, o conjunto solução será: { }3 2 ;3 2S i i= − + .
Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados númeroscomplexos.
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198
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébricade um número complexo, onde a é a parte real e b é a parteimaginária.
Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i 2=-1 oui= 1− .
Observe o diagrama representado na figura 5.2:
Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos
Como todo número natural é inteiro, todo inteiroé racional, todo racional é real e, finalmente, todonúmero real é um número complexo em que b=0 naforma a+bi.
Note que, como um número complexo é dividido em parte real eparte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi ,podemos considerar as seguintes situações:
z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 eb ≠ 0;
z é real quando z = a, onde b=0 .
Você sabia...
Os termos real e imaginário foram empregados pela
primeira vez por René Descartes em 1637.
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199
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Exemplos:
a) z= -5+7i
Note que:
-5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5;
7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7 ;
b)3
4
i z =
Re( z) = 0
Im( z)=3
4
Pode-se concluir que z é um imaginário puro.
c) z = -4,6
Re( z) = -4,6
Im( z)= 0
Pode-se concluir que z é um número real.d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4 )i seja umnúmero real?
Solução:
Note que para que z seja um número real é necessário que suaparte imaginária seja igual a zero, assim tem-se:
Im( z) = 0 k+4 = 0
k = - 4
Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4.
e) Determine o valor de x de modo que z = (x 2 - 25) + (2y - 8)i sejaimaginário puro.
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201
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Re( z1) = Re( z
2) e Im( z
1) = Im( z
2)
-3 = 6y x = -8
y = 36−
y = 1
2−
Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e 1
2− .
2) Dados os números complexos z1
= (3x + y) + 5i e z
2= 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z
1seja
igual a z2.Solução:
Como z1= z
2tem-se que:
Re( z1) = Re( z
2) e Im( z
2)= Im( z
1)
3x + y = 8 e x - 2y = 5
Note que há um sistema de duas equações para resolver:
Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistemapelo método da adição.
O sistema equivalente será:6 2 16
2 5
x y
x y
+ =
− =Somando as equações tem-se:7 21
3
x
x
=
=
Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1.
Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1.
Você sabia...
No conjunto dos números complexos não existe relação deordem, isto é, um número complexo não é maior nem menorque outro.
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202
Universidade do Sul de Santa Catarina
Operações entre números complexos
Adição
A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1+z
2= (a+c) + (b+d)i
Exemplo:
Sendo z1=3+5i e z
2=-4+10i, determine z
1+z
2.
Solução:Sendo z
1= a + bi e z
2= c + di, z
1+z
2= (a+c) + (b+d)i
z1+z
2=(3+5i)+(-4+10i)
z1+z
2= 3+5i-4+10i
z1+z
2= (3-4)+(5+10)i
z1+z
2= -1+15i
Logo, z1+z
2= -1+15i.
Subtração
A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di
é estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1-z
2= (a-b) + (b-d)i
Exemplo:
Considere 1
1z 7i
2= − e
2
2 1z i
3 4= + e calcule z
1- z
2.
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203
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Solução:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 17
2 3 4
1 2 17
2 3 4
1 2 17
2 3 4
3 4 28 1
6 4
1 29
6 4
z z i i
z z i i
z z i
z z i
i z z
− = − − +
− = − − −
− = − + − −
− − − − = +
− = − −
Logo,1 2
1 29
6 4
i z z− = − − .
Multiplicação
O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida da seguinte forma:
Sendo z1= a + bi e z
2= c + di, z
1.z
2= (ac-bd) + (ad+bc)i
Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicaçãode binômios no conjunto dos reais e considerando que i 2 = -1.
z1.z
2= (a+bi).(c+di)
z1.z
2= ac+adi+bci+bdi2
z1.z
2= ac+adi+bci+bd (-1)
z1
.z2
= ac+adi+bci-bd
z1.z
2= ac-bd+adi+bci
z 1 .z
2= (ac-bd)+(ad+bc)i
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204
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo:
Sendo z1= 1+5i e z
2= 6-3i, determine z
1.z
2.
Solução: z
1.z
2=(1+5i).(6-3i)
z1.z
2= 6-3i+30i-15i2
z1.z
2= 6+27i-15.(-1)
z1.z
2= 21+27i
Logo, z1.z
2= 21+27i.
Você sabia...
O produto de um número complexo pelo seu conjugado éum número real não negativo.
Conjugado
Sendo z = a+ bi , o número z = a- bi representa o conjugado de z.Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z.
Exemplo:
Dê o conjugado dos seguintes números complexos:
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205
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Vale ressaltar que, sendo { z, z1 , z
2} ⊂ , tem-se as seguintes
propriedades:
1) z ∈ IR ∴ z = z
2)1 2 1 2 z z z z+ = +
3) 1 2 1 2 z z z z− = −
4)1 2 1 2 z . z z . z=
5) 1 12
2 2
z, z 0
z
z
z
= ≠
6) ( ) ( )n
n
z z ,n Z = ∈
Divisão
A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z
2= c + di é
estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugadodo divisor desde que o divisor seja diferente de zero.
Pode-se escrever da seguinte forma:
21 12
22 2
. , 0 z z z
z z z z
= ≠
Exemplo:
Sendo z1= 1+i e z
2= 4-3i, calcule:
1
2
)z
a z
Solução:1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
(1 ) (4 3 ).
(4 3 ) (4 3 )
4 3 4 3
16 12 12 9
4 7 3.( 1)
16 9.( 1)
4 7 3
16 9
1 7
25
z i i
z i i
z i i i
z i i i
z i
z
z i
z
z i
z
+ +=
− +
+ + +=
+ − −
+ + −=
− −
+ −=
+
+=
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206
Universidade do Sul de Santa Catarina
2
1
)z
b z
Solução:2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
(4 3 ) (1 ).
(1 ) (1 )
4 4 3 3
1
4 7 3.( 1)
1 ( 1)
4 7 3
1 1
1 7
2
z i i
z i i
z i i i
z i
z i
z
z i
z
z i
z
− −=
+ −
− − +=
−
− + −=
− −
− −
= +−
=
Potências de i
Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-seobter um critério.
Observe a tabela 5.1:
Tabela 5.1: Potências de i
Expoente (n) Potências de i (i n)0 i0= 1
1 i1= i
2 i2= -1
3 i3
= i2
.i=(-1).i=-i4 i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1
5 i5= i4.i=1.i=i
6 i6= i5.i=i.i=i2=-1
7 i7= i6.i=(-1).i=-i
8 i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1
9 i9= i8.i=1.i=i
Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das
potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um númeronatural n ≥ 4 , dividindo n por 4 temos:
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207
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Logo, pode-se escrever n = 4.q + r , com r ∈ {0,1,2,3}.
Dessa forma, i n = i 4q+r =(i 4 )q .i r =1q .i r =i r .
Veja que para calcular as potências de i (in) cujoo expoente é maior ou igual a 4, basta dividir oexpoente n por 4 e elevar i ao valor que correspondeao resto da divisão, ou seja, o valor de r .
Exemplo:
Calcular o valor de:
a) i 27
Solução:
Agora se escreve: i 27 = i 3=-i
b) i 529
Solução:
Logo: i 529= i 1=i
Que tal resolver alguns exercícios para reforçara aprendizagem das operações estudadas até omomento?
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208
Universidade do Sul de Santa Catarina
1) Considere os números complexos z1= 2-2i e z
2= 1+3i e efetue
as seguintes operações:
a) (z1
+z2
)2
Solução:
(z1+z
2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2
(z1+z
2)2 = (3+i)2
(z1+z
2)2 = 32+2.3.i+i2
(z1+z
2)2 = 9+6i+(-1)
(z1+z
2)2 = 8+6i
b) ( )2
2 1. z z
Solução:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 1
2 2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
. 1 3 . 2 2
. (1 6i 9 ). 2 2
. (1 6i-9) . 2 2
. 8 6 . 2 2
. 16 16 12 12
. 16 4 12.( 1)
. 28 4
z z i i
z z i i z z i
z z i i
z z i i i
z z i
z z i
= + +
= + + += + +
= − + +
= − − + +
= − − + −
= − −
2) Determine o número complexo z, tal que i.z (z z) 1 2i+ + = + .
Solução:
Sabe-se que z=a+bi e , logo, substituindo na igualdade
i.z (z z) 1 2i+ + = + temos:
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209
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i
ai+bi2+2a = 1+2i
2a - b +ai = 1+2i
Utilizando-se a igualdade entre dois números complexosobtém-se:
2a b 1
a 2
− =
= Substituindo, tem-se:
Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i.
3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja umimaginário puro.
Solução:
Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i) 2 tem-se:
( 2x+3i)2 = 4x 2 + 12xi +9i 2
( 2x+3i)2 = 4x 2 + 12xi - 9
( 2x+3i)2 = (4x 2 -9) + 12xi Você já sabe que para que um número complexo seja imagináriopuro deve ter Re( z)=0 e Im( z) ≠ 0.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
Re( z)=0 Im( z) ≠ 0
4x 2 -9 = 0 12x ≠ 0
4x 2 = 9 x ≠ 0
x 2 =9
4
x =3
2±
Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja
imaginário puro deve ter 3
2 x = ± .
4) Determine o valor de92 45
311
i i
i
+ .
Solução:92 45 0 1
311 3
i i i i 1 i
i i i
+ + += =
−.
Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão.
Agora será feita a divisão de 1 i
i
+−
, multiplicando a expressão pelo
conjugado do denominador. Observe:2
2
1 i i i i 1 i. 1 i
i i i 1
+ + − += = = − +
− −
Portanto, a expressão92 45
311
i i
i
+ corresponde a 1 i− + .
5) Determine o conjugado do complexo1
1 i.
1 i
−−
+ Solução:
Lembre que, uma potência de expoente negativoequivale ao inverso da base com o expoente positivo,
desde que o denominador seja diferente de zero.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Assim, o número complexo1
1 i
1 i
−−
+ pode ser escrito da seguinte
forma 1 i
1 i
+ −
.
Efetuando a divisão do número complexo temos:2
2
1 i 1 i 1 i 1 i i i 1 2i 1 2i. i
1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2
+ + + + + + + − = = = = = − − + − +
Logo, z i e z i= = − .
SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos númeroscomplexos
O Plano de Argand-Gauss
Você já estudou que qualquer número real está associado a umponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde
um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjuntonumérico que também tem sua representação geométrica.
Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi estáassociado a um par de números reais (a,b).
Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto doplano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).
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Observe a figura 5.3:
Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi
Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesianoortogonal para representar o conjunto dos números complexos.
O plano em que são representados os elementos de é chamadoplano de Argand-Gauss.
Que tal conhecer um pouco da história do plano de Argand-Gauss?
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Retrospectiva Histórica
Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticosCaspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand,descobriram que os números complexos admitiamuma representação geométrica. Gauss imaginava essarepresentação por meio dos pontos de um plano enquantoque Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetorescoplanares.
Como Wessel e Argand tinham pouca representatividadeseus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na
época.Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação decomo os números complexos poderiam ser desenvolvidossegundo uma teoria exata, apoiada na representaçãodesses números no plano cartesiano.
Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegouao final dessas descobertas reconhecendo os númeroscomplexos como um par ordenado de números reais (a,b)e reescreveu as definições geométricas de Gauss na formaalgébrica.
Figura 5.4: Hamiltonwww.at-mix.de/hamilton.htm
Capturado em 23/07/06
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Módulo e Argumento
Agora que você já sabe que um número complexo pode ser
representado no plano, estudará a seguir o significado destarepresentação.
Observe a figura 5.5:
Figura 5.5: Módulo e argumento
A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada demódulo do número complexo z=a+bi, que se denota por | z|=ρ.
Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula:2 2a bρ = + .
Demonstração:
No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras,pois, trata-se de um triângulo retângulo:
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
2 2
OP OA AP
a b
a b
ρ
ρ
= +
= +
= +
Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações:
acosθρ= e b sen θ
ρ= .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-seargumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z).
O argumento θ pertence ao intervalo de
[ [0 2; π .
Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de algunsexercícios envolvendo módulo e argumento.
1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos erepresente-os geometricamente.
a) z=1+i
Solução:
Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:
Re( z)=a=1 e Im( z)=b=1.
Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
Agora, calcula-se o argumento θ:
1 2
2 2
2
2
acos
cos .
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
1 2
2 2
2
2
b sen
sen .
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem
2
2é 45
4rad ou
π o .
Logo,θ
= 454 rad ou
π
θ =
o
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i
Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é
θ =4
rad π e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica.
b) z=3i
Solução:
Identifica-se o valor de a e b:Re( z)=a=0 e Im( z)=b=3
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:2 2
2 20 3
0 9
93
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= +
= +
==
Calcula-se o argumento θ:
0
3
0
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
3
3
1
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é
902
rad ouπ o .
Logo, 902
rad ouπ
θ θ= = o .
Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i
Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é
θ =2
rad π e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica.
c) z=-3
Solução:
Inicialmente, identifica-se o valor de a e b:
Re( z)=a=-3 e Im( z)=b=0
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:
( )
2 2
2 23 0
9 0
93
a bρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= − +
= +
==
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Agora, calcula-se o argumento θ:
3
3
1
acos
-cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
= −
0
3
0
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é 180rad ouπ o .
Logo, 180rad ouθ π θ= = o .
Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3
Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento éθ = rad π e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica.
d) z= 3 i− +Solução:
Identifica-se o valor de a e b:
Re( z)=a=- 3 e Im( z)=b=1.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se:
( )
2 2
22
3 1
3 1
4
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= +
= − += +
=
=
Agora, calcula-se o argumento θ:
32
acos
-cos
θρ
θ
=
=
12
b sen
sen
θρ
θ
=
=
O ângulo cujo cosseno é 3
2− e o seno 1
2pertence ao 2o
quadrante, cujo arco simétrico no 1º quadrante é x=6
rad π
, logo,deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante.
Fazendo a redução tem-se:
6
5
6
x
-
rad
θ ππ
θ π
πθ
= −
=
=
Desta forma 5
6rad
πθ = .
Figura 5.9: Representação geométrica de z= 3 i− +
Você deve lembrar que já
estudou esta redução na
Unidade 2.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Portanto, sendo z= 3 i− + , seu módulo ρ = 2, o argumento é5
6rad
πθ = e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica.
2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento 5
3rad
πθ = determine
o número complexo na forma a+bi.
Solução:
Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores doseno e cosseno do argumento:
5 33 2
5 1
3 2
sen sen
cos cos
πθ
πθ
= = −
= =
Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco
5
3rad
πθ = ao primeiro quadrante.
Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma:
1
2 3
2 3
3
2
acos
a
a
a
θρ
=
=
=
=
3
2 3
2 3
3
2
b sen
b
b
b
θρ
=
− =
= −
= −
Logo: 3 3
2 2 z i= − .
Forma trigonométrica ou polar de um número complexo
Agora que você já conhece o módulo e o argumento de umnúmero complexo, poderá representá-lo numa forma denominadatrigonométrica ou polar.
Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo pontoP(a,b).
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Você já sabe que acosθ
ρ= e b
sen θρ
= .
Isolando a e b nas respectivas relações tem-se:a cos e b .senρ θ ρ θ= =
Substituindo em z=a+bi:
( ) z cos sen .i
z . cos isen
ρ θ ρ θ
ρ θ θ
= +
= +
Portanto, ( ) z . cos isenρ θ θ= + é a forma trigonométrica ou polardo complexo z.
Exemplos:
1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i.
Solução:
Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular omódulo e o argumento do complexo.
Cálculo do módulo:
2 2
2 22 2
4 4
8
2 2
a bρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
=
Cálculo do argumento:
2
2 2
1
2
22
acos
cos
cos
cos
θρ
θ
θ
θ
=
=
=
=
2
2 2
1
2
22
b sen
sen
sen
sen
θρ
θ
θ
θ
=
=
=
=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo, 454
rad ouπ
θ θ= = o .
Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é:
( )2 2
4 4
z . cos isen
z . cos isen
ρ θ θ
π π
= +
= +
2) Escreva na forma algébrica o número complexo
z=5.(cos270º + i sen270º ).
Solução:
Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º.
cos270º = 0 e sen270º = -1
Agora se substitui esses valores no complexo5.(cos 270º . 270º)
5.[0 .( 1)]
5.(0 )
5
z i sen
z i
z i
z i
= +
= + −
= −
= −
Portanto, a forma algébrica de 5.(cos270º 270º) z isen= + é z=-5i .
Operações na forma trigonométrica ou polar
Multiplicação
Sejam os números complexos z
1= ρ
1(cosθ
1+ isenθ
1) e
z2
= ρ2(cosθ
2+ isenθ
2)
Efetuando a multiplicação entre z1
e z2, tem-se:
z1. z
2= ρ
1(cosθ
1+ isenθ
1) . ρ
2(cosθ
2+ isenθ
2)
z1
. z2
=ρ1
. ρ2
(cosθ1
. cosθ2
+ icosθ1
. senθ2
+ isenθ1
. cosθ2
+ i2senθ1
.senθ2
)
z1. z
2=ρ
1. ρ
2[(cosθ
1.cosθ
2-senθ
1.senθ
2) + i(cosθ
1.senθ
2+ senθ
1.cosθ
2)]
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223
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade4, tem-se:
z1
. z2
=ρ1
. ρ2
[cos(θ1
+θ2
)+isen(θ1
+θ2
)]
Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos esomar os argumentos dos complexos.
Exemplo:
Efetue z1. z
2, sendo 1 3 z . cos i.sen
3 3
π π = +
e
2
2 22.(cos . )
3 3 z i sen
π π= + .
Solução:
Dos complexos retira-se os seguintes dados:
1 1
2 2
33
22
3
e
e
πρ θ
πρ θ
= = = =
Substituindo-se esses dados em z1. z
2 =ρ1. ρ 2[cos( θ1+θ 2 )+isen( θ1+θ 2)]
tem-se:
( )
1 2
1 2
1 2
2 23 2
3 3 3 3
3 36
3 3
6
z .z . . cos isen
z .z . cos isen
z .z . cos isen
π π π π
π π
π π
= + + +
= +
= +
Divisão
Sejam os números complexos
z1
= ρ1(cosθ
1+ isenθ
1) e z
2= ρ
2(cosθ
2+ isenθ
2) com z
2≠ 0
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224
Universidade do Sul de Santa Catarina
Efetuando a divisão entre z 1 e z 2, tem-se:
( )( )
( )( )
( )( )
1 1 1 2 2 21 1 2
2 2 2 2 2 2 2 22
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 21
2 2 22 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 21
2
. cos isen cos isen z z z. .
z z cos isen cos isen z
. . cos .cos cos .isen isen cos i sen sen z
z . . cos i .sen
. cos .cos sen sen i sen cos co z
z
ρ θ θ ρ θ θ
ρ θ θ ρ θ θ
ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ
ρ ρ θ θ
ρ θ θ θ θ θ θ
+ −= =
+ −
− + −=
−
+ + −=
( )
( ) ( )
1 2
2
1 11 2 1 2
2 2
s .sen
z. cos i.sen
z
θ θ
ρ
ρθ θ θ θ
ρ
= − + −
Como você observa, novamente utilizam-se as transformaçõestrigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que:
( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
z. cos i.sen
z
ρθ θ θ θ
ρ = − + −
Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrairos argumentos dos complexos.
Exemplo:
Sendo z1
= 12(cos40º+isen40º) e z2
= 2(cos10º+isen10º), calcule 1
2
z
z.
Solução:
Dos complexos retira-se os seguintes dados:
1 1
2 2
12 40
2 10
e º
e º
ρ θ
ρ θ
= =
= =
Substituindo esses dados em ( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
z. cos i.sen
z
ρθ θ θ θ
ρ
= − + − ,
tem-se:( ) ( )
( )
1
2
1
2
12cos 40 10 40 10
2
6 cos30 30
z. º º i.sen º º
z
zº isen º
z
= − + −
= +
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225
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Potenciação
Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ).
Tem-se que: z2 = z.z
z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ)
Lembre-se que na multiplicação de númeroscomplexos, na forma trigonométrica, basta multiplicaros módulos e somar os argumentos.
Então, se escreve:
z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ)
Para z3 pode-se escrever:
z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ)
z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ)
Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado aoexpoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente.
É possível generalizar estes resultados por meio do teoremademonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre:
Teorema:
Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número
complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ).
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226
Universidade do Sul de Santa Catarina
Retrospectiva Histórica
Figura 5.10: Moivrewww.swlearning.com/.../bio8.2.html
Acesso em 25/07/06.
Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667em Vitry-le-François, em Champagne na França. Eraum matemático famoso pela fórmula de Moivre, querelaciona os números complexos com a trigonometria epelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das
probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreuem 27 de novembro de 1754 em Londres.
Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre”Acesso em 25/07/06.
Exemplos:
1) Determine (1+i )8 .
Solução:
Inicialmente devemos escrever o complexo na formatrigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e oargumento.
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227
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Cálculo do módulo:
2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= += +
=
Cálculo do argumento:
1
2
2
2
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
1
2
2
2
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo, θ = 45º ou θ =4
rad π
.
Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica:
( )2 cos 45 45 z . i sen= +
Logo:
( ) ( )
( )( )
88
8 4
8
8
2 cos 8 45 8 45
2 cos 360 360
16 1 0
16
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . i.
z
= +
= +
= +
=
Dessa forma, (1+i )8 = 16.
2) Qual é o valor de ( )10
3 i− ?
Solução:
Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se omódulo e o argumento.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Cálculo do módulo:
( ) ( )
2 2
2 2
3 1
3 1
4
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
ρ
= +
= + −= +
=
=
Cálculo do argumento:
3
2
acos
cos
θ ρ
θ
=
=
1
2
b sen
- sen
θ ρ
θ
=
=
Logo, θ = 330º ou θ = 11
6rad
πpois, como você observa, fez-se a
redução ao primeiro quadrante.
Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica:( )2 cos 330 330 z . i sen= +
.
Logo:
( )( )( )
10 10
10
10
10
10
2 cos 10 330 10 330
1024 cos 3300 3300
1024 cos 60 60
1 310242 2
512 512 3
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . º i sen º
z i
z i
= +
= +
= +
= +
= +
Dessa forma, ( )10
3 i− =512 512 3 i+ .
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Radiciação
Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo,
tal que: ( zk)n
= z.Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z.
Veja alguns exemplos:
1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4.
Solução:
Deve-se mostrar que ( zk
)4 = z.
Tem-se que:
( zk)4 = (1+i )4
Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência.
Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.
Cálculo do módulo:2 2
2 21 1
1 1
2
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +
= +
=
Cálculo do argumento:
1
2
2
2
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
1
2
2
2
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo, θ = 45º ou θ = 4 rad π
.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica:
( )2 cos 45 45k z . i sen= +
Logo:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
44
4 2
4
4
2 cos 4 45 4 45
2 cos180 180
4 1 0
4
k
k
k
k
z . . º i sen . º
z . º i sen º
z . - i.
z -
= +
= +
= +
=
Então, 1+i é a raiz quarta de -4 .
2) Encontre as raízes quadradas de z 4 4 3 i= + .
Solução:
Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica.
Para isso, calcula-se o módulo e o argumento.
Cálculo do módulo:
( )
2 2
224 4 3
16 16 3
648
a b
.
ρ
ρ
ρ
ρρ
= +
= +
= +
==
Cálculo do argumento:
4
8
1
2
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
4 3
8
3
2
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
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231
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Logo, θ = 60º ou θ = 3
rad π
.
Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica:
83 3
z . cos i senπ π = +
Note que o problema é encontrar z
k ∈ tal que ( z
k ) 2 = z.
Escrevendo-se zk =ρ.(cosθ + i senθ).
Logo:
( zk )2 = z
( )2 8
3 3. cos i sen . cos i senπ πρ θ θ + = +
Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem:
( )2 2 2 83 3
. cos i sen . cos i senπ π
ρ θ θ + = +
Essa igualdade se estabelece quando:
2
8
2 2ρρ
==
e 2 23
6
k. , k Z
k. , k Z
πθ π
πθ π
= + ∈
= + ∈
Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros
para k:
Se k=0,6
πθ = , pois temos 0
6 6.
π πθ π= + = .
Logo:
0
0
0
2 26 6
3 12 2
2 2
6 2
z cos isen
z i.
z i
π π = +
= +
= +
Se k=1,7
6
πθ = , pois
716 6 6.
π π πθ π π= + = + = .
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Logo:
1
1
1
7 7 z 2 2 cos isen
6 6
3 1 z 2 2 i.
2 2
z 6 2 i
π π = +
−= −
= − −
Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fez-se redução ao primeiro quadrante.
Se k=2, temos que 132
6 6
.π π
θ π= + = .
Perceba que 13
6
π é um arco côngruo a6
π e, dessa forma, o
número complexo que seria encontrado coincidiria com ocomplexo z0 , a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessárioatribuir outros valores para k.
Finalizando, as duas raízes quadradas de 4 4 3 z i= + são0 6 2 z i= + e
1 6 2 z i= − − .
Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula:
.2 .2cos .n
k
k k z i sen
n n
θ π θ πρ
+ + = +
, onde n é o índice da raiz
procurada.
Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre.
Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou
seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão.Note o exemplo a seguir:
3) Determinar as raízes cúbicas de z=8.
Solução:
Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é:.2 .2
cos .nk
k k z i senn n
θ π θ πρ
+ + = +
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Cálculo do módulo:
2 2
2 28 0
64
8
a bρ
ρ
ρ
ρ
= +
= +=
=
Cálculo do argumento:
8
8
1
acos
cos
cos
θρ
θ
θ
=
=
=
0
8
0
b sen
sen
sen
θρ
θ
θ
=
=
=
Logo 0θ = .
Portanto a forma trigonométrica do complexo é8(cos 0 0) z isen= + .
Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma:
3
.2 .2cos .
0 2 0 28 cos .
3 3
2 22. cos .
3 3
nk
k
k
k k z i senn n
k k z i sen
k k z i sen
θ π θ πρ
π π
π π
+ + = +
+ + = +
= +
O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe:
( ) ( )0
1
2
0 2. cos 0 0 2. 1 .0 2
2 2 1 31 2. cos 2. 1 3
3 3 2 2
4 4 1 32 2. cos 2. 1 3
3 3 2 2
k z isen i
k z isen i i
k z isen i i
π π
π π
= ⇒ = + = + = = ⇒ = + = − + = − +
= ⇒ = + = − − = − −
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Representação geométrica:
Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8
Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre umacircunferência, pois temos que as imagens das n raízes de umnúmero complexo, para 3,n ≥ são vértices de um polígonoregular de n lados, inscritos numa circunferência de centro naorigem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que
3
8 2r = = .
A Física com os Números Complexos
Os números complexos são muito úteis para realizar operaçõesgeométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha comgrandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, acorrespondência entre as operações com os números complexos e
as transformações geométricas são muito úteis.
Representação Vetorial
Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo donúmero complexo z=a+bi . Este ponto individualiza um vetor comorigem em z = 0.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi
O número complexo z pode ser concebido como o segmentoorientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pelatranslação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i.
Figura 5.13: Representação do complexo z = 3+3i
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236
Universidade do Sul de Santa Catarina
As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais.Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7).
Figura 5.14: Adição de números complexos
Multiplicar um número complexo por i , corresponde a girar90 º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem dessecomplexo.
Acompanhe o exemplo:
(5+2i ).i = 5i + 2i 2 = -2 +5i
Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15:
Figura 5.15: Representação do complexo z = -2+5i
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
Conheça agora como surgiram os númeroscomplexos.
Retrospectiva Histórica
Os números complexos surgiram em meados do século XVIcom o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando afórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações dotipo 3 0 x ax b+ + = .
A equação resolvida foi 3 15 4 0 x x− − = , que aplicando afórmula de
Cardano3 2 3 2
3 3
2 27 4 2 27 4
b a b b a b x = − + + + − − + ele
obteve o seguinte resultado:
3 32 121 2 121 x = + − + − − .
A existência de um radicando negativo era um sinal de
que o problema que gerou essa equação não teria solução.Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação3 15 4 0 x x− − = , que x=4 era uma solução.
Embora considerando impossível a existência de 121− ,Bombelli teve que admitir a utilidade desse número comoferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever
121− de outra forma: ( )121 121. 1 11. 1− = − = − .
Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízesquadradas de números negativos; fazendo
( )2
1− =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardanofuncionava perfeitamente em qualquer caso, o que odeixava seguro de seus resultados.
Assim, passou a desenvolver regras para operar com essesnovos entes matemáticos, chamando-os de “númerosfictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou“números imaginários”.
Foi Euler, mais tarde, que substituiu 1− pela letra i,dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto
numérico: O conjunto dos números complexos.
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238
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece umnovo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos.
É importante que você tenha percebido que, no conjuntoestudado, os números apresentam duas representações: algébricae trigonométrica.
Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidassão adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação,
enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adiçãoe subtração, mas trabalha-se com a radiciação.
Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, comcerteza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão parao desenvolvimento de suas atividades como profissional daeducação.
É importante que você verifique, no EVA, se suas atividadesestão todas prontas e revisadas.
Atividades de auto-avaliação
1) Resolva as equações no universo dos números complexos:
a) x 2 + 4 = 0
b) x 2 – 4 x + 5 = 0
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ .
3) Determine x e y, para que o número complexo
z = (4 x – 2) + ( y2 – 4) i seja:
a) um número real.
b) Um número imaginário puro.
4) Calcule:
a) (2 + 3i) + (2 – i)
b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i)
c) ( )2 1
4 23 2i i i
+ − − + −
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Universidade do Sul de Santa Catarina
5) Efetue:
a) (2 – i).(1 + 3i)
b)1 1
.2 2
i i + −
c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i)
6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi:
( )2
2)
2
4 2)2 2
1)
2
ia
i
ibi
ic
i
− +
+−
+
−
7) Qual o conjugado do número complexo3
1 2 z
i=
+?
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i).[18 + ( x – 2).i] seja também um número real.
9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e oproduto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .
11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N *.
12) Simplificando101 50
100 49
(2 ) .(2 )
( 2 ) .( 2)
i i
i i
+ −− − −
, obtém-se:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
13) Se38 3
2
(10 ).
(1 )
i i i z
i
+ −=
−, determine 2ρ .
14) Se k é um número real e o argumento dek 2i
z3 2i
+=
−é 45º, então
calcule | z|.
15) Seja o número complexo z = ( x – 2i)2, no qual x é um número real. Se
o argumento de z é 270º, então calcule 1
z.
16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5 , sendo z = i – 1.
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Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
17) Sendo z1=
4.(cos10º + i.sen10º ) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º )
determine z1.z
2.
18) Sendo z1
= 2(cos30º + i sen30º ) e z2
= 4(cos60º + i sen60º ), qual o
valor de 2
1
z
z?
19) Calcule:
a) (1 – i)6
b)
100
1 3
2 2i
− +
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244
Universidade do Sul de Santa Catarina
20) Calcule:
a) As raízes quadradas de 2 3 z i= + .
b) As raízes quartas de z=-4.
Desafios em números complexos
1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é aunidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo quei2 = - 1, então o valor da expressão (-i )200 + (2 + i ) .(2 – i ) + i 3 , é:
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245
Trigonometria e Números Complexos
Unidade 5
3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujosvértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono?
Saiba mais
Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre osconteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa naInternet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Paraisso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações deNúmeros Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações.Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meioda ferramenta Exposição.
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Para concluir o estudo
Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar umamensagem para você, futuro professor de Matemática,realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados,no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula.
O exercício de sua futura profissão requer o
conhecimento de todos os conteúdos de Matemáticaestudados no seu curso, porém, você deve ir além dosconteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereçaao aluno oportunidades para uma educação de qualidade.
Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégiasmetodológicas, relacionadas com o uso de diferentesmídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessadisciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática
precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modogeral, em especial softwares educacionais. O uso desoftwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma,inova o ensino da Matemática.
Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para suaformação.
Sucesso!!!
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Sobre os professores conteudistas
Eliane Darela
Mestre em Engenharia de Produção pela UniversidadeFederal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada emMatemática pela UFSC. É professora horista naUNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas
atividades com alunos das Engenharias, Administraçãoe Matemática. É, também, professora de Matemática doEnsino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989.
Paulo Henrique Rufino
Especialista em Matemática Superior pela FundaçãoEducacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela UniversidadeFederal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista
na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suasatividades com alunos da Matemática, Licenciatura emQuímica, Administração, Tecnologia em Gestão deAgronegócios e Gestão Estratégica das Organizações.É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplinaMatemática Financeira. Atua, também, como professorde Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede PúblicaEstadual, desde 1991.
Rosana Camilo da Rosa
Mestre em Engenharia de Produção pela UniversidadeFederal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada emMatemática pela UFSC. É professora horista naUNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suasatividades com alunos das Engenharias, QuímicaIndustrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência daComputação e Matemática. É professora do Ensino
Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISULe, também, atua como professora de Matemática noEnsino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989.
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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Respostas e comentários das
atividades de auto-avaliação
Unidade 1
1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza osvalores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.
Solução:
Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é
retângulo, tem-se 30o  = , , AC a= ,2a HC = e AH h= .
No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras paraobtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razõestrigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º.
2
2 2
22 2
22
2
43
4
3
2
aa h
aa h
ah
ah
= +
− =
=
=
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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252
Universidade do Sul de Santa Catarina
. 12sen30º2
3. 32cos30º
2
. 1 1 3 3230º .. 33 3 3 3
2
acat oposto
hipotenusa a
acat adj
hipotenusa a
acat oposto
tg cat adj a
= = =
= = =
= = = = =
3. 3
2sen 60º 2
. 12cos60º2
3. 260º 3
.
2
acat oposto
hipotenusa a
acat adj
hipotenusa a
acat oposto
tg acat adj
= = =
= = =
= = =
2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?
Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se:
30o B∧
= , . 18cat oposto = , . .cat adj c= e hipotenusa a= .
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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253
Trigonometria e Números Complexos
Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidassolicitadas no problema.
18 1 18sen 30º 36
23
cos30º 2 36 3 18 336 2 36
a
a ac c
c c
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)
Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidassolicitadas x e y , tem-se:
9cos60º
1 9
218
x
x x
=
=
=
sen 60º
3
2 18
9 3
y
x
y
y
=
=
=
b)
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254
Universidade do Sul de Santa Catarina
Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidassolicitadas x e y , dessa forma, tem-se:
2 3sen 60º
3 2 3
2
4
y
y
y
=
=
=
2 360º
2 33
2
tg x
x
x
=
=
=
4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas:
Reescrevendo o trapézio, tem-se:
Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe:
1345º
2 13
2
26 2.
2 213 2
cos x
x
x
x
=
=
=
=
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255
Trigonometria e Números Complexos
Agora, para encontrar o valor de y tem-se:
45º13
113
13
ytg
y
y
=
=
=
5) Observando a seguinte figura, determine:
a) O valor de a;
b) O valor de b;
c) A medida do segmento AD.
a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja:
25º100
0,466100
46,6
atg
a
a
=
=
=
b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente:
46,670º
46,62,75
46,6
2,75
17
tg b
b
b
b
=
=
=
=
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256
Universidade do Sul de Santa Catarina
c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma:
AD = AB – DB
AD = 100 - b
AD = 100 – 17
AD = 83
6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo:
Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão
cosseno no ∆ADB:
4cos 45º
2 4
2
2 8
8 2.
2 2
4 2
DB
DB
DB
DB
DB
=
=
=
=
=
Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC.
2 230º
3 2 2
3
3 6 2
6 2 3.
3 3
2 6
tg y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
30º4 2
1
2 4 2
2 4 2
2 2
x sen
x
x
x
=
=
=
=
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257
Trigonometria e Números Complexos
7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é40 cm, encontre a medida do lado BC.
Observando a figura, tem-se que:
A DC 120º , logo C 30º
dessa forma o ADC é isósceles.
∧ ∧
= =
∆
Assim, pode-se escrever que 40cm AD DC = = .
Logo, o BDC ∆ é retângulo.
Portanto,
sen 60º40
3
2 40
20 3
x
x
x
=
=
=
8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outramargem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e amedida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.
De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa
a largura do rio:
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258
Universidade do Sul de Santa Catarina
O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos:
60 360º
60 33
60
tg d
d d m
=
=
=
Logo, a largura do rio é de 60 metros.
9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?
Note que, de acordo com a figura para resolver este problema,usaremos a razão tangente:
64º30
2,0530
30.2,05
61,50
htg
h
h
h m
=
=
=
=
Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros.
10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formandoum ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodoviaA, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilíneaC, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto degasolina a rodovia B, indo através de C?
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259
Trigonometria e Números Complexos
De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representaa distância procurada:
Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para aresolução do problema:
sen 45º4
2
2 4
2 4 2
2 2
x
x
x
x km
=
=
=
=
A distância procurada é de 2 2 km .
11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISULde Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sobum ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmonível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a quedistância está o estudante do mesmo.
A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura doprédio e x a distância do estudante ao prédio:
Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se:
^
120º log
30º
B D C o
B
∧
=
=
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260
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, 20CD DB m= = .
O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno parao cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x :
60º20
3
2 20
2 20 3
10 3
h sen
h
h
h
=
=
=
=
cos60º
20
1
2 20
10
x
x
x
=
=
=
Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m dedistância do prédio.
12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se amedida do lado AC é 3 3cm .
Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC éum triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e amedida de um de seus lados.
3 3
sen 45º sen 60º
.sen 60º 3 3.sen 45º
3 3 3. 2.
2 2
3 2
x
x
x
x
=
=
=
=
13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que:MP=10 2 cm; med(
^
M )=60º e med(^
P )=75º.
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261
Trigonometria e Números Complexos
Usando o teorema angular de Tales, temos:
^ ^ ^ ^ ^
180º 60º 75º 180º 45º R M P R R+ + = ⇒ + + = ⇒ =
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
10 2
sen 45º sen 60º
.sen 45º 10 2.sen 60º
2 3. 10 2.
2 2
10 3
x
x
x
x
=
=
=
=
14) Determine o valor de x na figura abaixo:
Usando o teorema angular de Tales, temos:
^ ^ ^
^
^
^
180º
105º 30º 180º
180º 135º
45º
A B C
B
B
B
+ + =
+ + =
= −
=
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
5 2sen 45º sen 30º
.sen 30º 5 2.sen 45º
1 2. 5 2.2 2
10
x
x
x
x
=
=
=
=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?
No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer,onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo.
2 2 2
2
2
2
1 2 2.1.2.cos60º
1
1 4 4. 2
5 2
3
3
x
x x
x
x
= + −
= + −= −
=
=No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC,para podermos calcular o perímetro.
30º3
3
3 3
3 9
1
3cos30º
3 3
2
2
1 2 1 2
6
atg
a
a
a
b
bb
P AD DC CB BA
P
P
=
=
=
=
=
=
=
= + + +
= + + +
=
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263
Trigonometria e Números Complexos
16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto aomenor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado opostoao ângulo de 60º do triângulo?
Usando o teorema angular de Tales, temos:
180º
60º 75º 180º
45º
A B C
C
C
∧ ∧ ∧
∧
∧
+ + =
+ + =
=
Aplicando a Lei dos senos, temos:
18 2
60º 45º
. 45º 18 2. 60º
2 3. 18 2.
2 2
18 3
x
sen sen
x sen sen
x
x
=
=
=
=
17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menorângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menordas diagonais deste paralelogramo.
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264
Universidade do Sul de Santa Catarina
Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos:
2 2 2
2
2
2
8 8 2.8.8.cos60º
164 64 128.
264 64 64
64
8
x
x
x
x
x cm
= + −
= + −
= + −
=
=
18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo  for reto
Demonstração
b) o ângulo  for obtuso
Demonstração
19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo  for reto
Demonstração
b) o ângulo  for obtuso
Demonstração
Desafios na Trigonometria
1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual ovalor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede acm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c ?
73 7 3
83 8
3
ca c a
cb c b
= ⇒ =
= ⇒ =
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265
Trigonometria e Números Complexos
Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se:
^2 2 2
2 2
2
2 2 22
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2. . .cos
7 8 82. . .cos3 3 3
49 64 16 .cos
9 9 3
49 64 9 48 .cos
49 73 48 .cos
24 48 .cos
24cos
48
1cos
2
60º
a b c b c A
c c cc c A
c c c Ac
c c c c A
c c c A
c c A
A
A
A
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
∧
= + −
= + −
= + −
= + −
− = −
− = −
=
=
=
2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada ebombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distânciada caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bombae caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água domesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamentosão necessários?
De acordo com o enunciado do problema, temos:
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
2 2 2
2
2
2
50 80 2.50.80.cos60º
1
2500 6400 8000. 2
8900 4000
4900
70
x
x x
x
x m
= + −
= + −= −
=
=
Unidade 2
1) Expresse em graus (º):
a)5
3
π rad
b) 4
3
π rad
c)7
6
π rad
d) 9
πrad
Solução:
Para transformar de radiano para graus, basta substituir rad π por180º .
1.a) 5
3
5.180º5.60º 300º3
rad π
= =1.b) 4 4.180º
4.60º 240º3 3
rad π
= = =
1.c) 7 7.180º7.30º 210º
6 6rad
π= = =
1.d) 180º20º
9 9rad
π= =
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267
Trigonometria e Números Complexos
2) Expresse em radianos(rad):
a) 20º
b) 315º
c) 120º
d) 67º30´
Solução:
Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por180º
rad π
.
2.a) 20º
20º.
180º 9rad rad π π=
2.b) 315º
35 7315º.
180º 20 4rad rad rad
π π π= =
2.c) 120º
2120º.
180º 3rad rad
π π=
2.d) 67º30´
1º 60́
67º x
→
→
´67º.604020
1º x
′′= =
Logo, 67º30́ 4020́ 30́ 4050́= + = .
1º 60́
180º y
→
→
180º.6010800
1º y
′′= =
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Universidade do Sul de Santa Catarina
Portanto,
10800´
4050´
rad
z
π→
→
4050 .10800
81
216
9
24
3
8
z rad
z rad
z rad
z rad
π
π
π
π
′= ′
=
=
=
3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adoteπ = 3,14.
10
3,14
2
2.3,14.10
62,8
r cm
C r
C
C cm
π
π
=
=
=
=
=
4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o númerode voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km.
Como o diâmetro vale:
d= 100cm
Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m
A distância a ser percorrida é de 14,13 14130km m= e o comprimentode uma roda de bicicleta é igual a
2. . 2.3,14.0,5 3,14C r C C mπ= ⇒ = ⇒ = .
Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e ocomprimento da roda.
Número de voltas =14130
45003,14
= .
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269
Trigonometria e Números Complexos
5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é:
Dados do problema:
3
60º?
Aplicando a fórmula,temos:
2. . .
360º
. .
180º
3,14.60º.3
180º
3,14
r cm
l
r l
r l
l
l cm
α
π α
π α
=
==
=
=
=
=
6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco:
a) 1550º
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeiradeterminação positiva do mesmo:
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550ºé 110º , que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que aextremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante.
b) 95
6
π rad
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeiradeterminação positiva do mesmo:
95
6
π 84 11 11
146 6 6
π π π
π= + = +
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270
Universidade do Sul de Santa Catarina
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de95
6rad
πé
11
6rad
πque é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se
concluir que a extremidade do arco de95
6
rad π
está no 4o quadrante.
c) -65
6
πrad
Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeiradeterminação positiva do mesmo:
-65
6
π 60 5 410
6 6 6
π π ππ= − − = − −
Tem-se que2
3rad
π− é a primeira determinação negativa do arco e
devemos achar a primeira determinação positiva:
2 42
3 3rad
π ππ − =
Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de65
6rad
π− é
4
3rad
πque é um arco do 3o quadrante, logo pode-
se concluir que a extremidade do arco de65
6rad
π− está no 3o
quadrante.
7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcoscôngruos a:
a) -760º
Vamos dividir 760ºpor 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva−
Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim aprimeira determinação positiva é 360º-40º=320º.
Logo, a expressão geral será:
EG=320º+k.360º, k ∈ Z
b) 3120º
Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinaçãopositiva
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271
Trigonometria e Números Complexos
Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º.
Logo, a expressão geral será:
EG=240º+k.360º, k ∈ Z
c)15
2
πrad
15 15 3Vamos representar onúmero rad por 6
2 2 2
3é 1ªdeterminação positiva
2
32 , .
2 EG k k Z
π π ππ
π
ππ
= +
= + ∈
d) -25
4
πrad
25 25Vamos representar o número por 6
4 4 4
Como - rad é a primeira determinação negativa, vamos encontara1ª determinação positiva:4
8 72 .4 4 4
7 25rad é 1ªdeterminação positiva de rad
4 4
Assim, a e
Logo
π π ππ
π
π π π ππ
π π
− − = − −
−− = =
−
xpressão geral será:
7EG 2k , k Z.
4
ππ= + ∈
8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação
positiva e a 3ª determinação negativa.
Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva.
Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º
Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa.
Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º.
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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272
Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15
2
π rad.
Vamos representar o número por
é a primeira determinação positiva
Logo a expressão geral é
32
2
15 15 36
2 2 23
rad .2
:
EG k ,k Z.
π π ππ
π
ππ
= +
= + ∈
10) Identifique quais pares de arcos são côngruos?
a)3
πrad e
30
3
πrad
Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de30
3
πrad
que é 0 rad, pois .
3010 0
3rad
ππ= + .
Logo, esse par de arcos não é côngruo.
b) – 30º e 330º
Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é360º-30º=330º.
Logo, esse par de arcos é côngruo.
c) 2º e 1082º
Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, queé 2º, pois,
Logo, esse par de arcos é côngruo.
11) Determine:
1) sen 390º sen(360º 30º ) sen 30º
2
2) cos1845º cos(1800º 45º ) cos 45º
2
5 5 3) 2
3 3 3 2
3) sen 600º sen(360º 240º) sen 240º sen(240º 180º) sen 60º
2) cos 480º cos(360º 120º) cos120º cos(180
a
b
c sen sen sen
d
e
π π ππ
= + = =
= + = =
= − = − = −
= + = = − = =
= + = =1
º 120º) cos60º2
− = =
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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273
Trigonometria e Números Complexos
Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcoscôngruos e a redução ao 1º quadrante.
12) Determine o valor da expressão:
a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º
( )330º 2.cos0º 60º
360º 330º 2. cos0º 60º
30º 2.cos0º 60º
1 32.1
2 2
5 3 .2
A sen sen
A sen sen
A sen sen
A
A
= − +
= − − +
= − − +
= − − +
− +=
b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2 x para x =2
π.
Substituindo x por2
π, tem-se:
3 cos8 cos 22
3. cos8. cos 2.
2 2 23
cos4 cos2
3cos2 cos
2
1 1 ( 1)
1
B sen x x x para x
B sen
B sen
B sen
B
B
π
π π π
ππ π
ππ π
= + − =
= + −
= + −
= + −
= − + − −
=
c) C =7
sen cos 3
3 13 sen
6
ππ
π
−
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274
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcoscôngruos.
( )6sen cos 2
3 312
sen6 6
sen cos3
sen6
3 3 2( 1)
2 2 3 2.
1 12 2
C
C
C
π ππ π
π π
ππ
π
+ − +
= +
−=
+− −
= = = +
Desafios na Trigonometria
Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e oarame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é oângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina napolia?
Dados do problema:
r1=9cmr
2=2cm
Calcula-se o comprimento da circunferência C2:
2
2
2. . r
2. .2 4
C
C cm
π
π π
=
= =
Observe a figura:
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275
Trigonometria e Números Complexos
1
1
2. .
2. .9 18
Agora encontra-se o valor do arco x:
18 360º
4
360º.4 20º .480º
18 1
C r
C
x
x
π
π π
π
π
π
π
=
= =
→
→
= = =
Logo, o valor do ângulo central é 80º.
Unidade 3
1) Determine:37 36 3
)6 6 6 6 3
a tg tg tg π π π π = + = =
7 4 3 3) cot cot cot 0
2 2 2 2b g g g
π π π π = + = =
5 5 3 3 12 2
4 4 4 4 4 2
2
c )sec sec sec sec secπ π π π π
π π − = − = = − = − = − = −
31 24 7 7 7 12
16 6 6 6 6 6
2
d ) cos ec cos ec cos ec cos ec cos ecπ π π π π π
π = + = = − = − = − = −
5 52 3
3 3 3e ) tg tg tg
π π ππ
= − = − = −
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276
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Qual o sinal da expressão:
3. 0
3 45
.3 6
tg tg tg y
tg tg
π π
π π
−=
− −
.
( )
3. 03 4
5.
3 6
. 03 4
5 7.
3 6
3. 1 0
1.
3 6
3
33.
3
3
tg tg tg ytg tg
tg tg tg y
tg tg
ytg tg
y
y
π π
π π
π π
π π
π π
−= − −
− − =
− −
=−
−=
−
=
3) Determine o valor da expressão:
a) A = sen3 x + cos8 x - tg2 x para x =2
π .
Substituindo x por2
π , temos:
3 8 2sen cos
2 2 2
3sen cos 4
2
1 1 0 0
A tg
A tg
A
π π π
ππ π
= + −
= + −
= − + − =
b)
7 sen cos 3
3 B13
tg 6
ππ
π
−=
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6) Analisando os gráficos:
2 y sen x=
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Trigonometria e Números Complexos
2 cos y x= +
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2
x y tg =
Responda os itens a seguir:
a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas?
b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas?
c) Em que intervalo a função 2 y sen x= é negativa?
d) Em que intervalo a função 2 cos y x= + é positiva?
e) Qual o período da função2
x y tg
=
?
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Trigonometria e Números Complexos
[ ]
2
2
22
2 1 1
2 1 3
2
32
2 2
0 2
2
a ) y sen x D R
y cos x D R
x
y tg D { x R / x k }b ) y sen x Im [ , ]
y cos x Im [ , ]
x y tg Im ] , [
c ) ; e ,
d ) ;
e ) P
π π
π ππ π
π
π
= =
= + =
= = ∈ ≠ + = = −
= + =
= = − ∞ ∞
=
7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7.
Sabe-se que 1 sen 1 x− ≤ ≤ , tem-se:
( )
1 1
1 3 7 1
7 1 3 7 7 1 7
6 3 8 3
6 3 8
3 3 3
82
3
senx
k
k
k
k
k
− ≤ ≤
− ≤ − ≤
− ≤ − + ≤ +
≤ ≤ ÷
≤ ≤
≤ ≤
Logo:8
| 23
k R k ∈ ≤ ≤
8) Qual a imagem da função f( x
) = 5 + cos x
?
( ) 5 cos
5
1
5 1 4
5 1 6
Im [4,6]
f x x
a
b
a b
a b
= +
=
=
− = − =
+ = + =
=
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Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação
horária y(t) 4 3.cos t 4
ππ
= + +
, em que t é o tempo transcorrido,
em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo àparede, conforme ilustração a seguir:
a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH;
b) qual o ponto de partida do corpo?
O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0:
(0) 4 3.cos .04
(0) 4 3.cos
(0) 1
y
y
y
ππ
π
= + +
= +
=
A extremidade a estava a 1cm da parede.
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Trigonometria e Números Complexos
c) qual o seu período de oscilação?
2 28 segundos
4
P m
π π
π= = =
d) Qual a amplitude do movimento?
Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela funçãodo valor mínimo:
7-1 = 6cm.
10) Determine o domínio de cada uma das funções:
( )
) 54
54 2
20 2 4
4 4
20 3 4
3 4
20 20
3
20 5 3{ / }
20 5
) cot2
2
2
{ / }2
) sec 3
32
6 2 2
2 2
6 3 2
{2 3
a y tg x
x k
x k
x k
k x
x k
D x IR x k
b y g x
x k
x k
D x IR x k
c y x
x k
x k
x k
x k D x I
π
π ππ
π π π
π π
π π
π π
π π
π
ππ
ππ
π π
π
ππ π
π π π
π π
π π
= −
− ≠ +
− +≠
≠ +
≠ +
≠ +
= ∈ ≠ +
= +
+ ≠
≠ − +
= ∈ ≠ − +
= −
− ≠ +
− +≠
≠ +
≠ + = ∈ / }2 3
) cos 23
R x k
d y ec x
π π
π
≠ +
= +
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284
Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Qual o valor de1
2. arccos2
y tg =
?
Para encontrarmos o valor de y , vamos considerar1
arccos e usar a definição.2 x=
Logo, o arco cujo cosseno vale 1
2é
3 x rad
π= .
Portanto,2
2 33 3
y tg tg π π = = = −
.
12) Encontre o valor de 32. arcsen2 y tg
=
.
Para encontrarmos o valor de y , vamos considerar
3e usar a definição.
2arcsen x=
Logo, o arco cujo seno vale 3
2é
3 x rad
π= .
Portanto,2 2
2 33 3 3 3
y tg tg tg tg π π π π
π = = = − = − = −
.
13) Determine o valor de3
3 .3
y arctg arctg = +
Para calcular o valor de y , vamos considerar:
33
3
33 .3
, .3 6
arctg a e arctg b
tg a e tg b
Logo a e bπ π
= =
= =
= =
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285
Trigonometria e Números Complexos
Portanto,3 6 2
yπ π π
= + = .
Desafios na Trigonometria
1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados datemperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante trêsdias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a serfeita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horasdepois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função
315 5
12 2 y(t) sen t
π π = + +
onde t indica o tempo (em horas)
decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) noinstante t . Detemine:
a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH);
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286
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperaturaocorreu no primeiro dia de observação.
A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se:
315 512 2
312 15 5 12
12 2
512 15 5
2
12 15 5 1
12 20
y(t) sen t
y( ) sen .
y( ) .sen
y( ) .
y( )
π π
π π
π
= + +
= + +
= +
= +
=
A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-seàs 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15.
2) (Mack-SP) O valor de3 1 3
5 arcsen3 4 2
tg arctg
−
pode ser dadopor:
a) 0
b) 1
c) 12
d) -1
e)1
2−
3 3Vamos considerar arctg a e arcsen b e aplicando a definição das funções circulares
3 2
3 3inversas teremos tga e senb .
3 2
Logo, a e b .6 3
1 5 3 3Portanto, tg 5. . tg tg tg - tg 1.
6 4 3 6 12 4 4 4
π π
π π π π π π ππ
= =
= =
= =
− = − = = = − = −
3) O valor de1 1
2 3 arcsen arccos2 2
arctg + + é:
a) 5
6
π
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287
Trigonometria e Números Complexos
b)2
π
c)6
π
d) 7
6
π
e) π
Vamos considerar e e aplicando a definição das funções
circulares inversas, tem - se : e
Logo,3 6 3
Portanto,6 3
1 1arctg 3 a,arcsen b arccos c
2 21 1
tg a 3 ,senb cosc .2 2
a ,b e c .
7 2. rad
3 6
π π π
π π π π
= = =
= = =
= = =
+ + =
Unidade 4
1) Sabendo que
1
sen 2 x = − e que3
2 xπ
π < < , então determine o valorde cos x .
Para determinarmos o valor do cos x , vamos usar a 1ª relaçãofundamental da trigonometria.
2
2 2 2 2 2 2
2
1 3cos ?
2 2
1 1cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
2 4
3 3cos cos4 4
Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos:
3cos .
2
senx com x x
sen x x x sen x x x
x x
x
ππ= − < < =
+ = ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒
= ⇒ = ±
= −
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288
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Sabe-se que3
5 senx = − e
3 x 2
2
ππ< < . Qual o valor da cotg x ?
Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relaçãofundamental da trigonometria:
2 2
2
2
2
3 32
5 2
1
31
5
91
25
16
25
16
25
4
5
4
4 553 5 3
5
x
senx com x cot gx ?
cos x sen x
cos x
cos x
cos x
cos x
cos x
cos xUsaremos, agora, a relação cot gx para encontrar o valor da cotg x :
senx
cos xcot gx . senx
ππ= − < < =
= −
= − −
= −
=
= ±
=
=
= = = −−
43
. = −
3) Sabendo que3
2 sen x = e x
2
ππ< < , determine o valor da expressão
2 2sec cos . x x+
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289
Trigonometria e Números Complexos
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
3sec cos ?
2 2
Calcularemos, primeiramente, o cos :
cos 1
cos 1
3cos 1
2
3cos 1
4
1cos
41
cos4
Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que:
1cos
2
Na seqüênci
senx com x x x
x
x sen x
x sen x
x
x
x
x
x
ππ= < < + =
+ =
= −
= −
= −
=
= ±
= −
2
2 2 2
1a, utilizando sec , tem se:
cos
1sec
cos
1sec
1
2
sec 2
Substituindo os valores encontrados na expressão:
1 1 16 1 17sec cos ( 2) 4 .
2 4 4 4
x x
x x
x
x
x x
= −
=
=−
= −
+ + = − + − = + = =
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290
Universidade do Sul de Santa Catarina
4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que 2cos sen x x= − e que
2 x
ππ< < ?
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
?cos ?
2cos2
Substituindo -2cos na relação trigonométrica fundamental tem-se:
cos 1
2cos cos 1
4cos cos 1
5cos 1
1cos
5
1cos
5
Observando o quadrante do arco tem
senx x
senx x com x
x
sen x x
x x
x x
x
x
x
x
ππ
==
= − < <
+ =
− + =
+ =
=
=
= ±
-se:
5cos
5
52.cos 2.
5
2 5.
5
x
senx x senx
senx
= −
= − ⇒ = − −
=
5) Se5
sec3
x = , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
( )2 2
16 cot cos A g x ec x= + .
2 25sec 1º 16.(cot cos ) ?
3
1Inicilamente calcula-se o valor do cos utilizando a relação sec :
cos
5sec
3
1 5
cos 35cos 3
3cos
5
x x quadrante A g x ec x
x x x
x
x x
x
= ∈ = + =
=
=
=
=
=
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291
Trigonometria e Números Complexos
2 2
2 2
Agora, calcularemos o sen :
sen cos 1
sen 1 cos
x
x x
x x
sen
+ =
= −2
2
2
2
31
5
91
25
16
25
16
25
4
5
Conhecendo-se o valor do sen e cos , pode-se calcular a cotg e a cossec :
coscot
3
3 5 35cot .4 5 4 4
5
1cos
1 5cos
4 4
5
Substituindo os
x
sen x
sen x
senx
senx
x x x x
x gx
senx
gx
ecx senx
ecx
= −
= −
=
= ±
=
=
= = =
=
= =
valores encontrados na expressão tem-se:
2 2
2 2
16.(cot cos )
3 516.
4 4
9 2516.
16 16
4116.
16
41.
A g x ec x
A
A
A
A
= +
= +
= +
=
=
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292
Universidade do Sul de Santa Catarina
6) Se1
3 sen x = , com 0 ≤ x ≤
2
π, calcule o valor da expressão
cot
sec cos
tgx gx y x x+= − .
Inicialmente, simplifica-se a expressãocot
sec cos
tgx gx y
x x
+=
−utilizando as
relações trigonométricas estudadas:
2 2
2
sen cos
cos sen1
coscos
sen cossen .cos
1 cos
cos
x x
x x y x
x
x x x x y
x
x
+=
−
+=
−
Como 2 2sen cos 1 x x+ = e 2 21 cos sen x x− = , tem-se:
2
2
3
3
1
.cos
cos
1 cos.
.cos
1
Substituindo o valor do sen , tem-se:
1 127.
11
273
senx x y
sen x x x
y senx x sen x
y sen x
x
y
=
=
=
= = =
7) Calcule o valor de2cos cos sec .sec
1
ec x x x y
tgx
−=
−, dado
1
4 sen x = .
Inicialmente, simplifica-se a expressão2cos cos .sec
1
ec x ecx x y
tgx
−=
−
utilizando as relações trigonométricas estudadas:
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293
Trigonometria e Números Complexos
2
2
2
2
22
1
1 1 1
1
1 1 1
11164
cos ec x cos ecx.sec x y
tgx
. sen x senx cos x y
senxcos x
cos x senx sen x.cos x ycos x senx
cos xcos x senx cos x
y . sen x.cos x cos x senx
Substituindo o valor do sen x, tem-se:
y sen x
−=
−
−=
−
−
=−
− = −
= = = =
16.
8) Se5
sec3
x = , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão
2 225.cos 16.cot . A x g x= −
2 2
2 2
2 2
5
sec 1º 25.cos 16.cot3
1Utilizando a relação secx calcula-se o cosx:
cosx
5sec
3
1 5
cos 3
5cos 3
3cos5
Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen cos 1:
sen cos 1
x x quadrante A x g x
x
x x
x
x x
x x
= ∈ = −
=
=
=
=
=
+ =
+ =2
2
2
3sen 1
5
16
25
1625
x
sen x
senx
+ =
=
= ±
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Universidade do Sul de Santa Catarina
9) Determine:
) 105º
3 2 2 1 6 2105º (60º 45º ) 60º .cos 45º 45º .cos60º . . .
2 2 2 2 4
) 75º
3 3 31
45º 30º 3 3 3 3 12 6 33 375º (45º 30º ) . 2 3.1 45º. 30º 63 3 3 3 3 3 3
1 1.3 3
)cos15º
cos15º cos(45º 30º ) co
a sen
sen sen sen sen
b tg
tg tg tg tg
tg tg
c
+= + = + = + =
+++ + + +
= + = = = = = = +− − − +
−
= − =2 3 2 1 6 2
s 45º .cos30º 45º . 30º . . .2 2 2 2 4
sen sen+
+ = + =
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Trigonometria e Números Complexos
10) Sabendo que3
5 senx = e que
2 x
ππ< < , calcule o valor de
3cos x
π +
.
2 2
2 2
2
2
2
2
3 cos ?5 2 3
Inicialmente calcula-se o valor do cosx:
sen cos 1
cos 1
3cos 1
5
9
cos 1 25
16cos
25
16cos
25
4cos
5
Utilizando a fórmula da adição cos cos co
senx com x x
x x
x sen x
x
x
x
x
x
(a b) a.
π ππ = < < + =
+ =
= −
= −
= −
=
= ±
= −
+ = s :
cos cos .cos .3 3 3
1 4 3 3cos . .
3 2 5 2 5
4 3 3cos .
3 10
b-sena.senb
x x sen senx
x
x
π π π
π
π
+ = −
+ = − −
− − + =
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Universidade do Sul de Santa Catarina
11) Calcule o valor numérico da expressão
cos( 30º ) cos( 30º )
cos( 60º ) sen(30º )
x x y
x x
+ + −=
− + −.
cos( 30º ) cos( 30º )
cos( 60º ) (30º )
cos .cos 30º . 30º cos .cos 30º . 30º
cos .cos 60º . 60º 30º.cos .cos30º
2cos .cos30º
cos . 30º cos . 30º
2cos .cos30º
2cos .
x x y x sen x
x senx sen x senx sen y
x senx sen sen x senx x
y x sen x sen
x y
x sen
+ + −=− + −
− + +=
+ + −
=+
=30º
321
2
3.
y
y
=
=
12) Simplifique a expressão: cos(120º ) cos(120º ) y x x= + + − .
Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se:
cos(120º ) cos(120º )
cos120º.cos 120º cos120º .cos 120º.
2cos120º.cos
Reduzindo 120º ao primeiro qu
y x x
y x sen senx x sen senx
y x
= + + −
= − + +
=
( )adrante tem-se:
2. cos 60º .cos
12. .cos
2
cos
y x
y x
y x
= −
= −
= −
13) Sendo 5tg x = , calcular 2 .tg x
2
2
5 2 ?
22
1
2.5 10 102
1 5 1 25 24
52 12
tgx tg x
tgxtg x
tg x
tg x
tg x
= =
=−
= = =− − −
= −
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Trigonometria e Números Complexos
14) Sabendo que1
cos3
x = , calcular cos2 . x
2
2 2
2
2
2
2
2 2
Calcula - se o valor do utilizando relação trigonométrica :
11
11
3
11
9
8
9
89
8
3
Utilizando a fórmula do arco duplo tem- se :
2
2
2
senx
sen x cos x sen x cos x
sen x
sen x
sen x
senx
senx
cos x cos x sen x
cos
+ == −
= −
= −
=
= ±
=
= −22
1 8
3 3
1 82
9 9
72
9
x
cos x
cos x .
= −
= −
= −
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15) Se1
cos2
sen x x− = , calcule o valor de 2 . sen x
( )2
2
2 2
2 2
12
2
Pode -se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe :
1
2
12
4
12
4
Pela relação fundamental tem - se :
senx cos x sen x ?
senx cos x
sen x senx.cos x cos x
sen x cos x senx.cos x
s
− = =
− =
− + =
+ − =
2 2 1 e
pela transformação do arco duplo tem - se logo pode-se escrever :
11 2
4
11 2
4
32
4
en x cos x
2senx.cosx sen2x,
sen x
sen x
sen x
+ =
=
− =
− =
=
16) Sendo1
cot2 g x = , calcule 2 .tg x
2
2
1cot 2 ?
2
1cot
2
1 1
2
2
221
2.22
1 2
42
1 4
42
3
gx tg x
gx
tgx
tgx
tgxtg xtg x
tg x
tg x
tg x
= =
=
=
=
=−
=−
=−
= −
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Trigonometria e Números Complexos
17) Sendo 21 cos2 2.cos E x x= − + calcular 2 3 E E E + + .
( )
2 2 3
2 2 2
2 2 2
2 2
2 3 2 3
1 cos 2 2cos ?
Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:1 cos 2cos
1 cos 2cos
1 cos
Pela relação fundamental, tem-se:
1 1 2
2 2 2 2 4 8 14.
E x x E E E
E x sen x x
E x sen x x
E sen x x
E
E E E
= − + + + =
= − − +
= − + +
= + +
= + =
+ + = + + = + + =
18) Qual o valor de ( )10º cot 10º . 20ºtg g sen+ ?
Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas:
( )
( ) ( )
( )2 2
10º cot 10º . 20º
10º cos10º10º cot 10º . 20º . 2.10º
cos10º 10º
Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se:10º cos 10º
10º cot 10º . 20º10º.cos10º
tg g sen
sentg g sen sen
sen
sentg g sen
sen
+ =
+ = +
++ =
( )
( )( )
.2 10º.cos10
110º cot 10º . 20º .2. 10º.cos10º
10º.cos10º
10º cot 10º . 20º 1.2
10º cot 10º . 20º 2.
sen
tg g sen sen sen
tg g sen
tg g sen
°
+ =
+ =
+ =
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19) Se cot 4tg x g x+ = , então quanto vale 2 sen x?
Utilizando as relações trigonométricas tem-se:
2 2
2 2
cot 4 2 ?
cos4
cos
cos 4. .cos
.cos .cos
cos 4. .cos
Pela relação trigonométrica tem-se:
1 4. .cos
1.cos
4Sabendo que 2 2. .cos , pode-se
tgx gx sen x
senx x x senx
sen x x senx x
senx x senx x
sen x x senx x
senx x
senx x
sen x senx x
+ = =
+ =
+=
+ =
=
=
= substituir o resultado obtido acima:
12 2.
4
12 .
2
sen x
sen x
=
=
20) Sendo 45ºa b+ = e2
3tg a = , calcule tg b .
( )
Utilizando a fórmula tg(a b), tem-se:
1 .
2
345º2
1 .3
2
3
1 21 .3
2 21 .
3 3
3 2 2 3
3 3
3 2 2 3
3 2 3 2
5 1
1.
5
tga tgbtg a b
tgatgb
tgbtg
tgb
tgb
tgb
tgb tgb
tgb tgb
tgb tgb
tgb tgb
tgb
tgb
++
+ =−
+=
−
+
= −
− = +
− +=
− = +
− = +
=
=
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Trigonometria e Números Complexos
21) Resolver a equação 2 2 0 sen x sen x+ − = para 0 2 x π≤ ≤ .
( )
2
o
2
2 0 0 2
Observe que esta equação representa uma equação do 2 grau cuja a incógnita é portanto pode -se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação :
1 4 1 2
1 8 9
1
sen x senx x
sen x,
. .
senx
π+ − = ≤ ≤
∆ = − −
∆ = + =
− ±=
9
2 1
1 3
2
4 22 12 2
Como 1 1 então 1
Portanto,2
2
.
senx
sen x e sen x
senx senx
x
S
π
π
− ±=
= − = − = =
− ≤ ≤ =
=
=
22) No intervalo [ ]0,π , qual a solução da equação 1 0tg x − = .
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23) Determine o conjunto solução da equação 2 0 sen x sen x− = sendo0 x .π≤ ≤
( )
2 0 0
2 0
Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se:
2 .cos 0
Colocando-se senx em evidência, tem-se:
. 2cos 1 0
Aplicando a lei do anulamento,tem se:
0
2cos 1 0 cos
sen x senx x
sen x senx
senx x senx
senx x
senx
x x
π− = ≤ ≤
− =
− =
− =
−
=
− = ⇒ =1
2
Observando o intervalo de definição, tem-se:
0 0 ou
1cos
2 3
0, , .3
senx x x
x x
S
π
π
ππ
= ⇒ = =
= ⇒ =
=
24) Resolva em IR a equação:
2
3 3 2 sen x sen x
π π + + − =
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Trigonometria e Números Complexos
25) Sendo x ∈ [ [0,2π encontre o conjunto solução das seguintesinequações:
1
2a) sen x < −
7 11{ / }
6 6S x IR x
π π= ∈ < <
2cos2
b) x ≥ −
3 5{ / 0 2 }
4 4S x IR x ou x
π ππ= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤
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Universidade do Sul de Santa Catarina
1c) tg x ≤
5 3{ / 0 2 }
4 2 4 2S x IR x ou x ou x
π π π ππ= ∈ ≤ ≤ < ≤ < <
3cos
2d) x <
11{ / }
6 6S x IR x
π π= ∈ < <
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305
Trigonometria e Números Complexos
Desafios na Trigonometria
1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x , 0 2 x π≤ ≤ , tais que
( )2
cos 1 sen x x+ = é:a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) Maior que 5
( )
( )
2
2 2
2 2
0 2 cos 1
Desenvolvendo o quadrado da soma, temos:
2 .cos cos 1
cos 2. .cos 1
1 2 .cos 1
2 .cos 0
2 0 cos 0
0
onde tem-se 0, 2
cos 0
3tem-se
2 2
Logo
x senx x
sen x senx x x
sen x x senx x
senx x
senx x
senx ou x
senx
x x e x x
x e x
π
π π
π π
≤ ≤ + =
+ + =
+ + =
+ =
=
= =
=
= = ==
= =
3a solução é 0, , , , 2 .
2 2
Portanto o número de soluções é 5.
S π π
π π =
2) No intervalo 0 2 x π≤ < , a equação2cos
1
x sen x
sen x=
+, apresenta
exatamente:
a) uma única solução.
b) duas soluções.
c) três soluções.
d) quatro soluções.
e) cinco soluções.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
( ) ( )( ) ( )
2
2
2
cos
1
Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se:
1
1
Como1 sen x é uma diferença de dois quadrados, temos: 1 senx . 1 senx
1 . 1
1
simplificando o fator comum tem
x senx
senx
sen x senx
senx
senx senx senx
senx
=+
− =+
− − +
− +=
+os :
1
1 2
1
2
5Logo, os valores que satisfazem a igualdade são e .
6 6
Portanto, são duas soluções.
senx senx
senx
senx
π π
− =
=
=
Unidade 5
1) Resolva as equações no universo dos números complexos:
a) x 2 + 4 = 0
a = 1, b = 0, c = 4
( )
2
2
4. .
0 4.1.4
0 16 16
2.
0 16
2.1
0 16. 1
2
16. 1
2
b a c
b x
a
x
x
x
∆ = −
∆ = −
∆ = − = −− ± ∆
=
− ± −=
± −=
± −
=
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Trigonometria e Números Complexos
1
2
4.
2
2
2
{2 , 2 }
i x
x i
x i
S i i
±=
= +
= −
= −
b) x 2 – 4 x + 5 = 0
( )2
1, 4, 5
4 4.1.5
16 20
4
( 4) 4
2.1
4 4.( 1)
2
4 4. 1
2
4 2.
2
2
{2 , 2 }
a b c
x
x
x
i x
x iS i i
= = − =
∆ = − −
∆ = −
∆ = −
− − ± −=
± −=
± −=
±=
= ±= + −
2) Resolva a equação z 2 – 3iz = 0 com z ∈ .
2z - 3iz 0
( 3 ) 0
Ultizando a Lei do Anulamento, tem se :
0
3 0
3
{0, 3 }
z z i
z
ou
z i
z i
S i
=
− =
−
=
− =
=
=
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308
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Determine x e y , para que o número complexo
z = (4 x – 2) + ( y 2 – 4) i seja:
a) Um número real.
2
2
Im( ) 0
4 0
4
4
2
z
y
y
y
y
=
− =
=
= ±
= ±
b) Um número imaginário puro.
2
2
Re( ) 0 Im( ) 04 2 0
4 2
2
4
1
2
4 0
44
2
z e z x
x
x
x
y
y y
y
= ≠− =
=
=
=
− ≠
≠≠ ±
≠ ±
4) Calcule:
a) (2 + 3i ) + (2 – i )
(2 3i) (2- i) 2 3 2 4 2i i i+ + = + + − = + .
b) (6 – i ) + (5 – 2i ) – (4 + 2i )(6 – i ) + (5 – 2i ) – (4 + 2i ) = 6 5 2 4 2 7 5i i i i− + − − − = − .
c) ( )2 14 2
3 2i i i + − − + −
( )2 14 2
3 2i i i + − − + −
=
2 1 2 1 4 3 24 25
4 2 43 2 3 2 6 6
i i i− +
+ − + + − = − + = = .
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309
Trigonometria e Números Complexos
5) Efetue:
a) (2 – i ).(1 + 3i )
2(2 ).(1 3 ) 2 6 3 2 6 3 5 5i i i i i i i i− + = + − − = + − + = + .
b)1 1
.2 2
i i + −
21 1 1 1 1 1 1 4 5. 1
2 2 4 2 2 4 4 4i i i i i
+ − + = − + − = + = =
.
c) (1 + i ).(2 – i ).(1 + 2i )
( ) [ ] ( )2
2
1 .(2 ) .(1 2 ) 2 2 .(1 2 ) 2 2 1 .(1 2 ) 3 .(1 2 )
3 6 2 3 6 2 1 7 .i i i i i i i i i i i ii i i i i i
+ − + = − + − + = − + + + = + + = + + + = + + − = +
6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
2
2
22
2
2 2 2
2
22 2 4 2 4 2 1 2) . .
2 2 2 4 4 2
4 2 2 2 8 4 2 2 2 24 2 8 6 2 2 6 6 2) . 1 2 .
4 2 62 2 2 2 2 2 4 2
1 1 2 1 2 1 2 (2 ) 4 2 4 2 2 4) . .
2 2 2 (2 ) (2 ) 4 4 1 5 5
ii i i i i ia
i i i i
i i i i ii i ib i
i i i i
i i i i i i i i ic i
i i i i i i
− +− + − − + += = = =
− −
+ + + + ++ + − += = = = = +
+− − + −
+ + + + − + + −= = = = = = − +
− − − − + − +
7) Qual o conjugado do número complexo3
1 2 z
i=
+?
( )( ) 2
Inicialmente coloca-se z na forma a bi:
1 23 3 6 3 6 3 6
.(1 2 ) 1 2 1 4 1 4 5 5
3 6 3 6Como .
5 5 5 5
i i i z ii i i
z i z i
+
− − −= = = = −+ − − +
= − ⇒ = +
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310
Universidade do Sul de Santa Catarina
8) Determine o valor real de x para que o produto
(12 – 2i ).[18 + ( x – 2).i ] seja também um número real.
Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
212 2 . 18 2 216 12 .( 2) 36 2 . 2
12 2 . 18 2 216 12 24 36 2 4
12 2 . 18 2 212 (12 60)
i x i i x i i x
i x i xi i i x
i x i x i
− + − = + − − − −
− + − = + − − + −
− + − = + −
Dessa forma tem-se:
Im( ) 0 12 60 0
12 60
60
125
z x
x
x
x
= ⇒ − =
=
=
=
9) Dado o complexo z = a + bi . A soma de z com seu conjugado é 18 e oproduto de ambos é 145. Determine o módulo de ab.
Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se:
( )
22
2 2 2
2
2
2
18
. 145
Se , tem se que z .Substituindo no sistema, tem-se:
18
18
2 18
9
. 145
( ).( ) 145
145
9 145
81 145
145 81
64
64
8
Portanto, o módulo d
z z
z z
z a bi a bi z z
a bi a bi
a
a
z z
a bi a bi
a bi
b i
b
b
b
b
b
+ =
=
= + − = −+ =
+ + − =
=
=
=
+ − =
− =
− =
+ =
= −
=
= ±
= ±
e a.b 9.( 8) 72.= ± =
8/3/2019 AP a Numeros Complexo
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311
Trigonometria e Números Complexos
10) Calcule a e b reais de modo que 250 104 372i i i a bi+ + = + .
( ) ( )
250 104 37
125 522 2 1
2
125 52
2
Aplicando propriedade de potência, tem-se:
2
Sabe-se que i 1,logo:
( 1) ( 1) 2
1 1 2
2
Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se:
i i i a bi
i i i a bi
i a bi
i a bi
i a bi
a
+ + = +
+ + = +
= −
− + − + = +
− + + = +
= +
0 2e b= =
11) Calcule a potência de i para i 8 n + 3, tal que n ∈ N *.
Aplicando as propriedades de potência, tem-se:
( )
( )
8 3
42 3
4
Sabe-se que 1 e tem-se
1
Observe que sempre será positivo, pois representa um número par
1
8n 3 n
n8n 3
2 3
n8n 3
4n
8n 3
8n 3
i i .i
i i .i
i i i, :i .( i )
(-1) 4n .
i .( i )
i i.
+
+
+
+
+
=
=
= − = −= − −
= −
= −
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312
Universidade do Sul de Santa Catarina
12) Simplificando101 50
100 49
(2 ) .(2 )
( 2 ) .( 2)
i i
i i
+ −− − −
, obtém-se:
Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência demesma base:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
101 50101 50
100 100 49 49100 49
101 50101 50
100 49100 49
101 100 50 49101 50
100 49
101 50
2 . 2(2 ) .(2 )
( 2 ) .( 2) 1 . 2 . 1 . 2
2 2(2 ) .(2 ).
( 2 ) .( 2) 2 1. 2
2 . 2(2 ) .(2 )
( 2 ) .( 2) 1
(2 ) .(2 )
i ii i
i i i i
i ii i
i i i i
i ii i
i i
i i
− −
+ −+ −=
− − − − + − −
+ −+ −=
− − − + − −
+ −+ −=
− − − −
+ − ( ) ( )100 49
101 502
100 49
101 50
100 49
101 50
100 49
2 . 2( 2 ) .( 2)
(2 ) .(2 )(4 2 2 )
( 2 ) .( 2)
(2 ) .(2 )(4 1)
( 2 ) .( 2)
(2 ) .(2 )5.
( 2 ) .( 2)
i ii i
i ii i i
i i
i i
i i
i i
i i
= − + −− − −
+ −= − − + −
− − −
+ −= − +
− − −
+ −= −
− − −
13) Se38 3
2
(10 ).
(1 )
i i i z
i
+ −=
−, determine 2ρ .
Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa formadeve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi :
( )
( )
38 3
2
2 3 4
2
2
2
(10 ).
1
101 2
1 10.( ) 1
1 2 1
( 2 10 ) 2.
2 2
4 20
4
4 204
i i i z
i
i i i zi i
i z
ii i
zi i
i i z
i
i z
+ −=
−
+ −=− +
− + − −=
− −− −
=−
− −=
−
− +=
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Trigonometria e Números Complexos
2 2 2
2 2 2
2
2
5
5 1, logo:
z 5 - i
5 ( 1)
25 1 26
Portanto, 26.
z i
a e b
a bρ
ρ
ρ
ρ
= −
= = −
== +
= + −
= + =
=
14) Se k é um número real e o argumento dek 2i
z3 2i
+=
−é 45º, então
calcule | z |.
Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:
( )( )
( )( )
2
2
2 3 2 3 2 6 4 (3 4) (2 6).
3 2 3 2 9 4 9 4
3 4 2 6
13 13
Como o argumento principal é 45 , tem se : Re( ) Im( )
3 4 2 6
13 13
3 4 2 63 2 6 4
10
Substituindo o valor de k em z, tem-se:
z
k i i k ki i i k k i z
i i i
k k z i
z z
k k
k k k k
k
°
+ + + + + − + += = =
− + − +
− += +
− =
− +=
− = +− = +
=
=2 2
2 2
2 2i
z
2 2
8 2 2
Portanto, z 2 2
a b
z
z
+
= +
= +
= =
=
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314
Universidade do Sul de Santa Catarina
15) Seja o número complexo z = ( x – 2i )2, no qual x é um número real. Se o
argumento de z é 270º, então calcule1
z.
Inicialmente escreve-se z na forma a + bi:
2
2 2
2
2
2
4 4
4 4
Como o argumento principal é tem -se que é um número imaginário puro e negativo
Logo e
4 0
4
4
2
Para tem -se
4 4 2 4 4
2
2
z ( x i )
z x xi i
z ( x ) xi
270 , z .
, Re(z) 0 Im(z) 0
x
x
x
x
, x 2, :
z (2 ) . i ( )
= −
= − +
= − −
= ≠
− =
=
= ±
= ±
=
= − − = − −
o
2
8 8
Para tem -se
4 4 2 4 4 8 8
Portanto 8
Logo1 1 8 8 8
8 8 64 64 8
2
i i
, x -2, :
z ((-2) ) .( )i ( ) i i
, z i.
i i i i. .
z i i i
= −
=
= − − − = − + =
= −
= = = =− −
16) Determine o valor de f(z) = 2 z 2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1.
2
2
2
( ) 2 4 5
( 1) 2( 1) 4( 1) 5
( 1) 2( 2 1) 4 4 5
( 1) 2( 1 2 1) 4 1
( 1) 2.( 2 ) 4 1
( 1) 4 4 1
( 1) 1.
f z z z
f i i i
f i i i i
f i i i
f i i i
f i i i
f i
= + +
− = − + − +
− = − + + − +
− = − − + + +
− = − + +
− = − + +
− =
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315
Trigonometria e Números Complexos
17) Sendo z 1=4.(cos10º + i.sen10º ) e z
2= 2.(cos20º + i.sen20º ) determine z
1.z
2.
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
4 10
2 20
. . cos .
. 4.2 cos(10 20 ) . (10 20 )
. 8. cos30 . 30
3 1. 8. .
2 2
8 3 8.
2 2. 4 3 4 .
z e
z e
z z i sen
z z i sen
z z i sen
z z i
z z i
z z i
ρ θ
ρ θρ ρ θ θ θ θ
⇒ = =
⇒ = =
= + + +
= + + +
= +
= +
= +
= +
18) Sendo z 1
= 2(cos30º + i sen30º ) e z 2
= 4(cos60º + i sen60º ), qual o valor
de 2
1
z
z?
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
2 22 1 2 1
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 30
4 60
460 30 60 30
2
2 30 30
3 12
2 2
2 3 2
2 2
3
z e
z e z. cos i.sen
z
z. cos( ) i.sen( )
z
z. cos i.sen
z
z. i.
z z
i z
zi.
z
ρ θ
ρ θρ
θ θ θ θρ
⇒ = =
⇒ = = = − + −
= − + −
= +
= +
= +
= +
o
o
o o o o
o o
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19) Calcule:
a) (1 – i )6
( ) ( ) [ ] ( )3 36 2 3 32 3
1 1 1 2 1 2 1 2 8 8.( ) 8i i i i i i i i i − = − = − + = − − = − = − = − − =
b) 100
1 3
2 2i
− +
[ ]
( )
2 2
22
100 100
100
1 3
2 2
1 31002 2
1 3 1 31
2 2 4 4
112
1 2
332
1 2
120
1 100 120 100 120
12000 12000
n n
z i
n , a ,b
a b
acos cos
b sen sen
z . cos( n ) i.sen( n )
z . cos . i.sen( . )
z cos i.sen
ρ
ρ
θ θρ
θ θρ
θ
ρ θ θ
= − +
= = − =
= +
= − + = + =
−= ⇒ = = −
= ⇒ = =
=
= +
= +
= +
o
o o
o o
100
100
100
120 120
60 60
1 3
2 2
o
o
Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 :
z cos i.sen
Faz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120
z cos i.sen
z i.
= +
= − +
= − +
o o
o o
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Trigonometria e Números Complexos
20) Calcule:
a) As raízes quadradas de 1 3 z i= + .
( )
2 2
22
1 3
1 3
1 3
1 3 4 2
1
23
2
3
23 3
2 23 322 2
k
z i
a e b
a b
acos cos
b sen sen
Logo, 60 rad
z .(cos i.sen )
As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula:
k k z . cos i.sen com k {0,
ρ
ρ
ρ
θ θ
ρ
θ θρ
πθ
π π
π ππ π
= +
= =
= +
= +
= + = =
= ⇒ =
= ⇒ =
= =
= +
+ + = + ∈
o
0
1
3 1 6 20 2 2
6 6 2 2 2 2
7 7 3 1 6 21 2 2
6 6 2 2 2 2
1}
k z . cos i.sen . i. i.
k z . cos i.sen . i. i.
π π
π π
= ⇒ = + = + = +
= ⇒ = + = − − = − −
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318
Universidade do Sul de Santa Catarina
b) As raízes quartas de z =-4.
( )
2 2
2 2
4k
0
4
4 0
4 0
16 0 4
4cos cos 1
4
00
4
Logo,
4.(cos . )
As raízes quartas de z são dadas pela fórmula:
2 2z 4. cos . com k {0,1, 2, 3}
4 4
k 0 z 2
z
a e b
a b
a
b sen sen
z i sen
k k i sen
ρ
ρ
ρ
θ θρ
θ θρ
θ π
π π
π π π π
= −
= − =
= +
= − +
= + =
−= ⇒ = = −
= ⇒ = =
== +
+ + = + ∈
= ⇒ =
1
2
3
2 2. cos . 2. 1
4 4 2 2
3 3 2 21 2. cos . 2. 14 4 2 2
5 5 2 22 2. cos . 2. 1
4 4 2 2
7 7 2 23 2. cos . 2. 1
4 4 2 2
i sen i i
k z i sen i i
k z i sen i i
k z i sen i i
π π
π π
π π
π π
+ = + = +
= ⇒ = + = − + = − +
= ⇒ = + = − − = − −
= ⇒ = + = − = −
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Trigonometria e Números Complexos
Desafios em números complexos
1) (ITA) O número natural n tal que (2i )n + (1 + i )2n = - 16i , onde i é a unidade
imaginária do conjunto dos números complexos, vale:Aplicando as propriedades de potência:
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
3
3
3 3
3
2 (1 ) 16
2 1 16
2 1 2 16
2 1 2 1 16
2 2 16
2. 2 16
2 8
2 2 .( )
Lembrando que -i i , tem-se:
2 2 .
2 (2 ) 3
n n
nn
nn
n n
n n
n
n
n
n
n
i i i
i i i
i i i i
i i i
i i i
i i
i i
i i
i i
i i n
+ = −
+ + = −
+ + + = −
+ + − = −
+ = −
= −
= −
= −
=
=
= ⇒ =
2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo quei2 = - 1, então o valor da expressão (-i ) 200 + ( 2 + i ).( 2 – i ) + i 3 , é:
( )
( )
1002 2
1002
100
4 2 2
4 1
1 5
1 5
200 3
200 3
200 3
200 3
200
(-i) (2 i).(2 - i) i i ( i i i ) ( i )
(-i) (2 i).(2 - i) i i i
(-i) (2 i).(2 - i) i i
(-i) (2 i).(2 - i) i i
(-i) (2 i)
+ + + = − + + − − + −
+ + + = + + −
+ + + = − + −
+ + + = + −
+ + 63.(2 - i) i i.+ = −
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320
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujosvértices são as soluções da equação z 6=1. Qual a área deste polígono?
6
6
0
1
2
1
1
1
Calcula-se o módulo e o argumento de z:
1 0
Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se:
cos .3 3
Então:
k 0 z cos0 . 0 1
1 31 cos .
3 3 2 2
2 2 1 32 cos .
3 3 2 2
3
k
z
z z
k k z i sen
i sen
k z i sen i
k z i sen i
k
ρ θ
π π
π π
π π
=
==
= ⇒ =
= +
= ⇒ = + =
= ⇒ = + = +
= ⇒ = + = − +
=
3
4
5
cos . 1
4 4 1 34 cos .
3 3 2 2
5 5 1 35 cos .
3 3 2 2
Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus:
1 3 1 3(1,0); , ; , ;
2 2 2 2
z i sen
k z i sen i
k z i sen i
π π
π π
π π
⇒ = + = −
= ⇒ = + = − −
= ⇒ = + = −
−
( ) 1 3 1 3
1,0 ; , ,2 2 2 2
e
− − − −
Observe a figura:
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321
Trigonometria e Números Complexos
Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular olado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos noplano.
Vamos escolher dois vértices consecutivos:(1,0) e 1 3
,2 2
( ) ( )2 2
2 1 2 1
22
22
1 31 0
2 2
1 3
2 2
1 3
4 4
1.
d x x y y
d
d
d
d
= − + −
= − + −
= +
= +
=
Cálculo da Área do hexágono:
2
2
3 3
2
Tem-se que d , onde é a medida do lado do hexágono, logo:
3.1 3
2
3 3. .
2
A
A
A u a
=
=
=
=
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Referências
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1ª edição. São Paulo: Ática,2004.
FLEMMING, D.M. e GONÇALVES, M.B. - Cálculo A -Funções Limite
Derivação Integração. São Paulo: Makron Books, 1992, 617 p.
FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER,Christian – Tópicos de Matemática Elementar . Palhoça: UnisulVirtual, 2005, 246p.
FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. , volume 1/ RossL. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano; tradução PauloBoschcov. Saão Paulo: Addison Wesley, 2002.
GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José R., GIOVANNI Jr, José R.Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD,2002.
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IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar:
Trigonometria. Vol 3. São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar: Complexos, polinômios e equações. Vol 6. São Paulo: Atual, 1993.
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KENNEDY, Edward S. Tópicos de História da Matemática para usoem sala de aula: Trigonometria. São Paulo: Atual, 1994.
NETTO, Scipione Di Pierro e ORSI, Sérgio Filho. Quanta
Matemática em Fascículos para o Ensino Médio. Fascículo 4. SãoPaulo: Saraiva, 2000.
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