analise dinâmica linear - aula 12
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ADL 12
Procedimentos para construção de diagramas de blocos1) Identificar os sinais (correntes, tensões, deslocamentos, velocidades, forças ou análogos) como:
• Entradas
• Saídas
• Sinais Intermediários: Dar preferência a voltagem em capacitores, corrente em indutores,
velocidade de massas, compressão de molas ou análogos.
2) Escrever as equações dos componentes utilizando apenas os sinais já definidos. Todas as
saídas e sinais intermediários devem ser gerados pelas equações
3) Tomar a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas
4) Montagem dos blocos representativos iniciando pelas entradas à esquerda, sinais
intermediários, pela ordem de geração até as saídas à direita. Fazer todas as interconexões.
Exemplo 1: Circuito RLC
1) Sinais:
• Entrada: v(t)
• Saída: vc(t)
• S. Intermediários: i(t) (observe que a tensão no capacitor já foi considerada)
2) Equações e T. de Laplace (1 equação para cada S. Intermediário, 1 equação para
cada saída)
))()((1
)(
)()()()(
)()()()(
sVsVRLs
sI
sVsVsRIsLsI
tvtvtRidt
tdiL
C
C
C
−+
=
=++
=++
)(1
)(
)()(0
1
sIsC
sV
ditv
C
t
CC
=
= � ττ
4) Montagem
V(s) +
1
Ls + R
I(s) 1
Cs
Vc(s)
_
Exemplo2: Sistema mecânico
1) Sinais:
• Entrada: f(t)
• Saída: x(t)
• S. Intermediários: v(t) (velocidade da massa)
2) Equações e T. de Laplace (1 equação para cada S. Intermediário, 1
equação para cada saída)
{ }
)(1
)(
)()(
)()(1
)(
)()()()(
0
sVs
sX
dvtx
sKXsFbsM
sV
tKxtbvtfdt
tdvM
t
=
=
−+
=
−−=
� ττ
4) Diagrama
F(s) +
V(s) 1
s
1
sM + b
K
X(s)
-
Observe que os diagramas acima podem ser utilizados para gerar um modelo em espaço de estados, bastando apenas associar uma variável de estado à saída de cada bloco integrador. No caso mais geral, qualquer bloco do tipo K/(s + a) pode ter uma variável de estado associada à sua saída, porém, blocos do tipo bs + K não tem variáveis de estado associadas.
No 1o exemplo,
12
2
1
)(1
)(
xC
x
sIsC
sVx C
=
==
�
)(11
)(
))()((1
)(
211
211
1
tvL
xL
xLR
x
tvxRxxL
sVsVRLs
sIx C
+−−=
+−=+
−+
==
�
�
No 2o exemplo,
12
2 )(1
)(
xx
sVs
sXx
=
==
�
{ }
)(1
)()(1
)(
211
1
tfM
xMK
xMb
x
sKXsFbsM
sVx
+−−=
−+
==
�
Exemplo3: Circuito R2CL
1) Sinais:
• Entrada: vi(t)
• Saída: v0(t)
• S. Intermediários: vC1(t), iR(t), iL(t)
2) Equações e T. de Laplace (1 equação para cada S. Intermediário, 1 equação para cada
saída)
[ ]�
�
+=
=
++−=
+=
t
RLC
t
R
RL
LCi
diiC
tv
diC
tv
tvtRidt
tdiL
dttdi
Ltvtv
011
020
0
1
)()(1
)(
)(1
)(
)()()(
0
)()()(
τττ
ττ
[ ]
[ ]
[ ])()(1
)(
)(1
)(
)()(1
)(
)()(1
)(
11
20
0
1
sIsIsC
sV
sIsC
sV
sVssLIR
sI
sVsVsL
sI
RLC
R
LR
CiL
+=
=
−=
−=
_
1
sL IL(s) +
+ 1
sC1
VC1(s) _
1
R IR(s)
1
sC2
V0(s) + Vi(s) +
4) Diagrama
Onde IR(s) foi gerado pela junção das duas primeiras equações
[ ])()()(1
)(
)()()(
01
1
sVsVsVR
sI
sVsVssLI
CiR
CiL
−−=
−=
Exercício para avaliação 3:Utilize os princípios acima para desenhar um diagrama de blocos e o correspondente modelo em espaço de estados do sistema hidráulico abaixo
+
-
+
-
1 s
R(s) C(s) 5 s + 1
1 s + 2
10 s
R1
∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼ ∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼∼
R2
q
q1 q2 h1 h2
Exercício para avaliação 4:Obtenha um modelo em espaço de estados do diagrama de blocos abaixo:
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