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FUNCIONES HIPERBÓLICAS

INTEGRANTES DEL GRUPO:

DIEGO VINTIMILLA BYRON LONDA DIEGO PATIÑO

JUAN CARLOS NIETO MIGUEL TORRES

PROFESOR: ING. HERNÁN PESANTEZ.

CURSO:

ANALISIS MATEMÁTICO 2

2

INTRODUCCIÓN:

En el siguiente tema aprenderemos que las funciones hiperbólicas se derivan de una

hipérbola unitaria. Conociendo las funciones logarítmicas y exponenciales, entenderemos

como se dan las fórmulas de las funciones.

Con el debido conocimiento de los temas anteriores seremos capases de entender

correctamente los conceptos y demostraciones de las funciones hiperbólicas, así como

también realizar el cálculo de las derivadas de dichas funciones e integrales respectivas.

En el desarrollo del tema tratado se podrán encontrar ejercicios y ejemplos de dichas

funciones con sus respectivas gráficas.

CONTENIDO:

FUNCIONES HIPERBOLICAS:

1. Definición de la función seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

hiperbólica.

2. Funciones hiperbólicas: gráficas y sus respectivos dominios y recorridos.

3. Identidades hiperbólicas.

4. Derivadas de las funciones hiperbólicas.

5. Integrales de funciones hiperbólicas.

OBJETIVO:

En el estudio de este tema hemos fijado los siguientes objetivos:

a. Obtención de las fórmulas de seno, coseno y tangente hiperbólica.

b. Entender la relación de estas funciones con la hipérbola unitaria.

c. Establecer los dominios, recorridos y las gráficas de cada función.

d. Mediante procesos de derivación ya estudiados, establecer las derivadas de las

funciones hiperbólicas.

e. Conocer las identidades de las funciones hiperbólicas.

3

FUNCIONES HIPERBOLICAS

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares.

Ciertas combinaciones de y aparecen con frecuencia en algunas aplicaciones de

matemáticas, especialmente en ingeniería y física. Estas combinaciones se denominan

funciones hiperbólicas, de las cuales las dos más importantes son el seno hiperbólico y el

coseno hiperbólico

Ahora demostramos que los valores de las funciones y tienen la mima relación

con la hipérbola unitaria que el seno y el coseno con la circunferencia

unitaria . Este hecho justifica el nombre de seno y coseno hiperbólicos,

exactamente como el seno y el coseno reciben el nombre de funciones circulares.

INTERPRETACIÓN

Si en el uso de las funciones circulares el argumento más frecuentemente usado es el “ángulo central AOC = α”, para las funciones hiperbólicas no podemos usar este tipo de argumento porque le faltaría la congruencia geométrica que sí posee en las funciones trigonométricas. Sin embargo, se podría haber tomado como argumento de las funciones trigonométricas un valor “x”, correspondiente al área del sector circular con ángulo central FOC= “2α”, puesto que de la circunferencia trigonométrica se tiene que:

4

Llevando esta idea a la siguiente figura que obtenemos desde la rama derecha de la

hipérbola equilátera , se obtendría: Si llamamos: se tiene la siguiente relación:

Utilizamos proporciones para poder efectuar sustituciones después.

Además el punto B, de coordenadas a la hipérbola,

5

Si ahora calculamos el área X por métodos de cálculo integral, se tiene:

Ahora resolvemos el integral utilizando sustitución trigonométrica.

Ahora calculamos el integral de

Ahora realizamos integral por partes

Por lo tanto

6

Entonces por lo tanto

Ahora sustituimos en …2

Volvemos a reemplazar por la sustitución trigonométrica.

Reemplazamos en …..(*)

También tenemos

Por lo tanto

Aplicando las propiedades de los logaritmos ya estudiados

7

Ahora cambiamos s por c

Por lo tanto

Entonces el valor de t será

De lo anterior se tiene que las fórmulas deducidas para las distancias s, c, g son, precisamente, las definiciones formales de las funciones hiperbólicas.

DEFINICIÓN DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS: Las funciones seno y coseno hiperbólico, denotadas por sinh y cosh respectivamente están

definidas como sigue:

Donde x es cualquier número real

Nota: El seno hiperbólico es una función impar y el coseno hiperbólico es una función par.

Las otras cuatro funciones hiperbólicas se definen en términos del seno y el coseno

hiperbólico. Se observa que cada una satisface una identidad análoga a las que satisfacen

las funciones trigonométricas correspondientes.

8

DEFINICIÓN DE LAS OTRAS CUATRO FUNCIONES HIPERBÓLICAS: Las funciones: tangente hiperbólico, cotangente hiperbólico, secante hiperbólico y

cosecante hiperbólico, denotadas respectivamente por tanh, ctgh, sech, csch, están

definidas como sigue:

Las funciones hiperbólicas de esta definición pueden expresarse en términos de y

RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS:

IDENTIDADES FUNDAMENTALES:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

Algunas de las demostraciones de estas identidades son directas por lo que solo se demostrara las

más adecuadas para el estudio.

9

DEMOSTRACION DEL 2):

DEMOSTRACIÓN DEL 8):

Tenemos:

TEOREMA (DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS): Si es una función diferenciable de , entonces:

DEMOSTRACIONES:

TEOREMA (INTEGRALES DE FUNCIONES HIPERBOLICAS):

11

DEMOSTRACIONES:

Se presenta a continuación las demostraciones de las integrales que no se pueden deducir directamente aunque de la cotangente hiperbólica se la realiza de la misma forma que de la tangente hiperbólica es por eso que no está incluida:

como sabemos tenemos un integral de la forma

por lo tanto

Ahora tenemos un integral de la forma

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GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS:

SENO HIPERBOLICO:

Puntos de corte con los ejes:

Corte con el eje x y ejey

Segunda derivada

Por tanto:

El es una función inyectiva y creciente.

GRAFICA:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

13

COSENO HIPERBOLICO.

Puntos de corte con los ejes:

Con x=0 entonces y=1 corte con el eje y

No existen cortes con el eje x

Igualando a cero

Aplicando logaritmos

La segunda derivada

Por lo que

Por el resultado podemos concluir que es mínimo cuando x=0 por lo tanto su recorrido es

, es decreciente en el intervalo devido a que

, y es creciente en el intervalo porque ,

es una función biyectiva.

Para que la función sea inyectiva se restringe el dominio de la siguiente manera:

En cualquiera de estos intervalos.

14

GRAFICA:

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

x

y

TANGENTE HIPERBOLICA.

CORTES:

X = 0

punto de corte.

Y = 0

Aplicando ln a ambos lados; y despejando el valor de x se tiene que:

P(0,0).

SIMETRÍA.

Si f(x) = f(-x) entonces es una función par. Entonces.

15

Comparando podemos observar que NO ES UNA FUNCION PAR.

Si f (-x) = -f(x) entonces es una función impar.

Al ser Entonces es una función impar. La función es simétrica con el

origen.

DOMINIO.

Para analizar el dominio de la función; entonces analizo si hay valor de x para el cual el

denominador sea igual a 0.

Despejando x se tiene:

Aplico ln a ambos lados.

Al no existir ln de un numero negativo. Entonces no hay valor de x que haga cero el

denominador. Entonces.

RANGO.

Para analizar el rango de esta función lo que hago es despejar x en términos de y.

Entonces:

16

Para despejar x; entonces aplico ln a ambos lados, y se tiene:

Para analizar el dominio entonces se debe cumplir que:

Resolviendo por desigualdades se tiene: R(f)= (-1, 1)

ANALISIS DE PUNTOS CRITICOS.

No hay valor de x para que se cumpla esta relación;

entonces. No hay puntos críticos.

PUNTO DE INFLEXION.

X < 0 = + =+

X = 0 = 0 =1

X > 0 = - =+

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GRAFICA:

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

COTANGENTE HIPERBÓLICA.

CORTES:

X = 0

Y = 0

La función no corta

ninguno de los ejes.

SIMETRÍA.

Si f(x) = f(-x) entonces es una función par. Entonces.

18

Comparando podemos observar que NO ES UNA FUNCION PAR.

Si f (-x) = -f(x) entonces es una función impar.

Comparando podemos observar que NO ES UNA FUNCION IMPAR.

DOMINIO.

Para analizar el dominio de la función; entonces analizo si hay valor de x para el cual el

denominador sea igual a 0.

Despejando x se tiene:

Aplico ln a ambos lados.

El valor x = 0, es un donde la función sufre una indeterminación es decir en x = 0, hay una

asíntota vertical. Entonces.

RANGO.

Para analizar el rango de esta función lo que hago es despejar x en términos de y.

Entonces:

19

Para despejar x; entonces aplico ln a ambos lados, y se tiene:

Para analizar el dominio entonces se debe cumplir que:

Resolviendo por desigualdades se tiene: R(f)= (y> 1 ^ y<-1)

ANALISIS DE PUNTOS CRITICOS.

No hay valor de x para que se cumpla esta relación;

entonces. No hay puntos críticos.

NO EXISTE PUNTO DE INFLEXION.

X < 0 = - = - X = 0 No existe. = No existe X > 0 = + = -

20

GRAFICA:

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

SECANTE HIPERBOLICA.

Cortes con los ejes:

Con x=0 y=1 único punto de corte con el eje y

Igualando acero para hallar los puntos críticos.

21

Por el criterio de segunda derivada

Obtendremos su recorrido mediante límites

Para que la función sea inyectiva se restringe el dominio:

GRAFICA:

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

22

COSECANTE HIPERBOLICA.

Cortes con los ejes:

No existen cortes con los ejes

Calculamos su derivada para ver sus puntos críticos y si es creciente o decreciente

No existen puntos críticos ya que no existe valor alguno para x tal que cosh x=0

Segunda derivada para ver la concavidad

Conclusión:

La función es inyectiva y decreciente.

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GRAFICA:

-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

EJERCICIOS.

a) En los siguientes ejercicios calcule la derivada.

1.

2.

3.

24

4.

5.

6.

7.

8.

25

9.

10.

b) En los siguientes ejercicios calcule la integral indefinida.

1.

Haciendo u = senh x

du = cosh x dx

Entonces se tiene.

26

2.

Haciendo.

A = x =

Se tiene que:

dA = 2x dx

dx =

Reemplazando se tiene que:

3.

Como. Dx (tanh x) =

Entonces:

4.

Haciendo:

u = du =

dx du = tanh(x) dx

dx =

Remplazando se tiene:

27

5.

Haciendo u =

du =

dx =

Remplazando u se tiene:

6.

Como

Entonces:

c) En los siguientes ejercicios evalué la integral definida.

1.

Al ser un integral directo, la respuesta es inmediata.

28

2.

Resolviendo el integral para luego remplazar los limites se tiene:

d) Calcule el área de la región acotada por las funciones.

; x = 0; x = 2.

29

Calcule el volumen del solido de revolución generado por la rotación en el eje x de la

región acotada por las funciones.

Al ser el eje de rotación, el eje x.

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e) Calcule la longitud del arco y = cosh x. Desde A(ln(2),

) hasta B(ln(3);

)

31

BIBLIOGRAFÍA:

1. EL CÁLCULO -7ED. LEITHOLD

2. ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 Y 2 DE EDUARDO ESPINOZA RAMOS

3. TRIGONOMETRÍA HIPERBÓLICA DE CARLOS ENRIQUE PINO

4. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE GRAN VILLE

5. CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA DE SWOKOWSKI

6. CÁLCULO DIFERENCIAL DE TOM APÓSTOL