4563526 tema iii funciones

8/4/2019 4563526 TEMA III Funciones

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IUFRONT Sede MridaAv. Principal Los Prceres

Sector Santa Brbara

IUFRONT SEDE MERIDA

Realizada Por:

Ing. Marjorie J. Uzctegui S.

Mrida, JULIO de 2008


2/34

Si es funcin No son funcin.

Antecedentes:

La definicin moderna del concepto de funcin se debe al matemtico francs Agustn-LouisCauchy (1789-1857). Cauchy inicio la sistematizacin de la teora de grupos, imprescindiblesen el lgebra moderna, y fue uno de los precursores de rigorismo en Matemticas.

1. Funcin Real de variable real.

Llamamos funcin a cualquier aplicacin donde:

RRf : o bien RDf : siendo D un subconjunto de Rmediante una funcin, a cada elemento dexde R( o de un subconjunto de R) le asociamosun nico elemento y = f(x)de R.

)(xfyx =

xes la variable independiente e yla variable independiente.

Ejemplo

La expresin xxxf 3)( 2 = define la funcin para la que

;0)0( =f ;4)1( =f ;4

5

2

1=

f ..........

Ejemplo

Para la funcin xxg1

2)(=

, se tiene que:

;2)1( =g ;2)2( =g )0(g no existe puesx

1

2no es un nmero real;...

Ejemplo

La funcin 2)( xxf = que asigna a cada nmero su cuadrado tiene por grfica:

Ing. Marjorie Uzctegui.Funciones.

2

2

0

-1

5

x

0

3

5

A B2

0

-1

5

0

3

5

A B2

0

-1

5

0

3

5

A B


3/34

Llamemos dominio (0 campo de existencia) de la funcin al conjunto de todos

los valoresxpara los cualesy = f(x) est definida (sea un nmero real). Se le suele escribir por

la letra maysculaD

012

3

45

67

89

10

-4 -2 0 2 4

De las siguientes grficas, solo la segundas representa a una funcin (puede observarsecomo en la primera, se tendra hasta tres imgenes).

1.1 Dominio de una Funcin.

Sea y = f(x) una funcin.

Para el clculo del dominio de una funcin dada por una frmula, hemos de tener en cuenta

que:

1. No es posible la divisin por 02. No es posible extraer races cuadradas, cuartas, sextas, etc, cuando el

radicando es negativo (esto es posible si la raz es impar)3. No es posible calcular el logaritmo de un nmero negativo, ni tampoco de 0

Ejemplo

El dominio de cualquier funcin Polinmica es todo R

;23)( RDxxf == RDxxxg =+= 284

1)( 23

Ejemplo

Halla el dominio de la funcin4

1)(

2

=

xxf


3

y = x2

Puesto que, en una funcin, cada elementox R puede

tener a lo sumo una imagen y = f(x), la grafica de una

funcin nunca puede volver hacia atrs


4/34

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 - 1 0 1 2 3 4

Solucin: f(x) slo ser un nmero real si x2- 4 no es 0.

Resolviendo la ecuacinx2- 4 = 0 x2 = 4 x = 2que son los valores que anulanal denominador. Por lo tanto el dominio es D = R - { -2 , 2 }.

Ejemplo Halla el dominio de la funcin 93)( += xxg

Solucin: La funcin est definida slo cuando3x+ 9sea mayor o igual a cero.

Resolviendo la ecuacin 3x + 9 0 3x - 9 x = - 3 de donde deducimos que. eldominio es D = [ -3 , ). Ejemplo Halla el dominio de la funcin xxxh += 11)(

Solucin: h(x) est definida para aquellosx

Rque hagan los dos resultados no negativos.01 x y 01 x x 1 y x 1 x = 1

Por lo tanto el dominio de la funcin esta formado por los puntos del eje 0xencima o debajode los cuales hay grfica.

Ejemplo

Para la funcin cuya grfica es la siguiente:

Por lo tanto el dominio es

D = (- , - 3 ) [ - 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) ( 1, )1.2 Caractersticas de una Funcin.

Una funcin f: A B, el conjunto A se denomina dominio de fcomo se dijo anteriormente,mientras que el conjunto B se denominar contra dominio o Rango de f.


4

2

0

-1

5

x

0

3

5

Dominio f{ 2 , 0 , -1 , 5 }

Rango f { x, 0 , 3 , 5 }


5/34

Seaf: A B una funcin. Diremos que f es Inyectiva si f( a1) = f( a2) implicaue a1 = a2 ara todo a1 a2 A

Una funcin f: A B se llama uno a uno o Inyectiva s dados dos elementos a1, a2 deldominio de f, tales que a1 a2entonces se tiene que f( a1) f( a2)

Una funcin f: A B se dice que es Sobreyectiva s cada uno de los elementos de B esimagen de algn elemento de A. En otras palabras, si f(A) = rango f = B. Es decir, fessobreyectiva si para todo b B, existe a A tal que f(a) = b.

Una funcin f: A B se dice que es biyectiva si es a la vez Inyectivay sobreyectiva.

Ejemplo

a) f1 : A1 B1

b) f2: A2 B2

c) f3 : A3 B3

d) f4 : A4 B4

1.3 Operaciones con Funciones.Ing. Marjorie Uzctegui.

Funciones.

5

B11

2

3

a

b

A1 No es inyectiva porque los

elementos 1,2 de A1

tienen

una misma imagen.B

21

2

3

4

a

b

c

A2

Es sobreyectivaporque el rangof2

=B2, pero no es inyectiva porque

13 y sin embargof2(1) = f

2(3) =

c

B3

1

2

3

4

1

2

3

4

A3

Es Inyectiva porque cada

elemento de A3

tiene una imagen

distintas enB3, no es sobreyectiva

rangof3 B

3

Es Inyectiva, sobreyectiva y por

lo tanto biyectiva de modo que

f4(A

4) = B

4

B4

7 8

A4


6/34

Una funcin es montona creciente cuando a originales mayores corresponden

imgenes mayores (o iguales).

Supongamos dos funciones y = f(x)e y =g(x) definidas sobre un mismo dominio D. De unmodo completamente natural, se definen la sumay multiplicacin de ambas funciones:

);()())(( xgxfxgf +=+ )()())(.( xgxfxgf =

que, evidentemente, son dos nuevas funciones definidas

en el dominio D.

Ejemplo

Dadas las funciones 4)( 2 = xxf y 2)( += xxg , calcula las funciones f + g y f*g

Solucin:842)2)(4())((

224)()())((

232

22

+=+=

+=++=+=+

xxxxxxgf

xxxxxgxfxgf

La suma y multiplicacin de funciones tienen las propiedades que se sintetizan en el

siguiente cuadro:

PROPIEDADES SUMA MULTIPLICACINASOCIATIVA (f + g) + h = f + (g + h) (f *g) *h = f*(g*h)CONMUTATIVA f + g = g + f f * g = g* f

ELEMENTO NEUTROEs la funcin cero x 0,

Pues f(x) + 0 = f(x)Es la funcin x 1,Pues f(x) * 1 = f(x)

ELEMENTO SIMTRICOOpuesta de f : (-f)(x) = - f(x)

Pues f(x) - f(x) = 0 No existe la funcin inversaDISTRIBUTIVA DE LAMULTIPLICACIN RESPECTO DELA SUMA.

(f + g) *h = (h *f) + (h *g)

Por cumplir estas propiedades, llamando F(D) al conjunto de las funciones definidas sobreel subconjunto D, se tiene que (F(D), + , ..) es un anillo conmutativo con elemento unidad.

1.4 Funciones Crecientes y Decrecientes.

De manera parecida a las sucesiones, se definen las funciones montonas.

Es decir, y = f(x) es creciente si, y solo s, para cada parx1,x2, del dominio:

)()( 2121 xfxfxx 1

f(x) = a x

f(x) = a

0 < x < 1

f(x) = loga

< 1

Obsrvese quef(0) = a y f(1)

= x. es decir ( 0 , 1 ) , ( 1 ,

x ) son dos puntos que siempre

pertenecen a la graficaf.

Obsrvese que elloga a =1, loga1 =

0. es decir, los puntos ( a , 1) , ( 1 , 0

) siempre estn en la grfica.

Si a = e entonces logex se llama

logaritmo neperiano de x y los

denotaremos lnx


25/34

Problemas Resueltos

1. Dada ,2

1)(

2 +

=x

xxf hallar

a) f(0);2

1

20

10)0( =

+

=f

b) f(-1);3

2

21

11)1( =

+

=f

c) f(2a); =+

=

24

12)2(

2a

aaf

d) f(1/x); 2

2

2212

1

11

)1

(x

xx

x

xx

f+

=

+

=

e) f(x+h);22

1

2)(

1)(

222 +++

+=

++

+=+

hxhx

hx

hx

hxhxf

2. Si f(x) = 2x, probar que

a) )(2

15)2

12(222f(x)2

15)1-xf(-)3xf(

313xxf

xx

===+ +

b) )4(22

2)4(

)1(

)3( 41

3

ffxf

xfx

x

===+

+

3. Determinar los dominios de las Funciones

a) 24 xy = , como y ha de ser un nmero real, 04 2 x , o sea 42 x . El

dominio por lo tanto ser el intervalo 22 x .

b) 162 = xy . Ahora 0162 x , o sea 162 x . El dominio ser el intervalo

44 x .

c)2

1

=x

y . La funcin esta definida para todo x excepto 2=x .


25


26/34

d)9

12

=x

y La funcin esta definida para 3x .

e)42 +

=

x

xy . Como 042 +x para todo x, el dominio es el conjunto de todos los

nmeros reales.

4. Dibujar el grafico de la funcin definida por:

f(x) = 05 cuando 10 < x f(x) = 10 cuando 21 < xf(x) = 15 cuando 32 < x f(x) = 20 cuando 43 < x etc.

Determinar el dominio y el recorrido de la funcin

5. Dibujar el grafico de la funcin f(x) = 24 x ; hallar el dominio y el rango.

6. Sea f(x) =x

x

2

35; Determine el dominio y el rango.

La funcin esta definida para todo x excepto 2=x . Dominio Dom f = R- {2}.Para calcular la imagen o rango despejamos x de la ecuacin.

x

xy

=2

35, quedando

35)2( = xyx ; es decir, 352 = xyxy . Por lo tanto: 32)5( = yyx

y

yx

=5

32. Entonces: Rango Rang f = R- {5}


26

1 2 3 4 5 6

25

20

15

10

5

El dominio es todo los nmeros reales

positivos. {R+

}

El rango el conjunto de enteros

{5, 10,15,20}

-2 0 2

2

El grfico defes el grfico de la funcin y =. Para

este grfico, y2 = 4 x2; esto es x2+ y2 = 4 . El grfico

de la ltima ecuacin es el circulo con centro en el

origen y radio 2. Como y = 0, el grfico requerido es

la mitad superior de ese circulo. La figura muestra que

el dominio es el intervalo y que el rango esta en el

intervalo


27/34

7. Hacer un estudio completo de cada una de las siguientesfunciones.

a) 322 = xxy ; En donde 3;2;1 === cba .

El calculo de las races:

112

2

2

42

332

6

2

42

2

162

2

1242

)1(2

)3)(1(4)2()2(

2

4

22

11

22

==

=

=

===+

==

=+

=

=

=

xx

xxx

a

acbbx

El calculo del vrtice:

4

43213)1(2)1(1

;32

112

2

)1(2

2

2

2

2

=====

=

==

=

==

y

yxpara

xxy

xa

b

x

Como a = 1 > 0 es cncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mnimo cuyascoordenadas son (1,-4)

Desde - hasta 1 la funcin es estrictamente decreciente y desde 1 hasta + esestrictamente creciente.

El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [- 4 , ). La curva corta al ejexen los puntos1 y3 y al eje yen el punto 3b) 122 += xxy En donde 12;1;1 === cba .

Resolviendo la ecuacin resulta:

3

4

2

491

2

4811

)1(2

)12)(1(4)1()1(

2

4

2

1

22

==

=

=+

=

=

=

x

xx

a

acbbx



x f(x)

-2 5

-1 0

0 -3

1 -4

3 0

4 5

x f(x)

-6 -8

-4 0

0 12

3 0

4 8

27

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-4 -2 0 2 4 6

- 10

-5

0

5

10

- 10 - 5 0 5


28/34

25,1225,124

49

122

1

4

112)

2

1()

2

1(

2

1

;12

2

1

2

1

2

1

)1(2

1

2

2

2

===

++=+==

+=

==

=

==

y

yxpara

xxy

xa

bx

Como a = -1 < 0 es cncava hacia abajo, por lo tanto, tiene mximo cuyas

coordenadas son

4

49;

2

1

Desde - hasta 1/2la funcin es estrictamente creciente y desde 1/2hasta + es estrictamente decreciente.

El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [49/4 , ). La curva corta al ejexen los puntos4 y3 y al eje yen el punto 12

c) 962 += xxy En donde 9;6;1 === cba .


2

1

2

1

2

01

2

36366

)1(2

)9)(1(4)6()6(

2

4

2

1

22

=

==

=

=

=

=

x

xx

a

acbbx


00

91899)3(6)3(3

;96

332

6

)1(2

6

2

2

2

==+=+==

+=

==

=

==

y

yxpara

xxy

xa

bx

Como a = 1 > 0es cncava hacia arriba, por lo tanto, tiene mnimo cuyascoordenadas son ( 3 , 0 )

Desde - hasta 3 la funcin es estrictamente decreciente y desde 3 hasta + esestrictamente creciente.

El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo [0 , ). La curva es tangente alejexen el punto 3 y corta al eje yen el punto 9

d) 92 = xy En donde 9;0;1 === cba .Ing. Marjorie Uzctegui.

Funciones.

x f(x)

0 9

3 0

6 9

28

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 2 4 6


29/34


i3

i3

2

360

2

3600

)1(2

)9)(1(4)0()0(

2

4

2

1

22

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

a

acbbx

Como las races son imaginarias la curva no corta al ejex


9

99)0(0

;9

002

0

)1(2

0

2

2

2

=

===

=

==

=

==

y

yxpara

xy

xa

bx

Como a =- 1 < 0es cncava hacia abajo, por lo tanto, tiene mximo cuyascoordenadas son ( 0 , -9 )

Desde - hasta 0 la funcin es estrictamente creciente y desde 0hasta + esestrictamente decreciente.

El dominio es el conjunto Ry el rango es el intervalo (- ; -9 ). La curva no corta alejexpero si corta al eje yen el punto - 9

8. Sea la funcin G en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que

392

=

xxy . Encontrar el dominio y el rango de G y trazar la grfica.

Parax = 3el denominador se hace cero, por lo que la funcinpara este punto no esta definida. Factorizando el numerador en (x - 3)(x + 3) tenemos:

)3()3)(3(

+=

xxxy o 3+= xy ,

suponiendo quex3.El rango de Gconsiste en Rang g = R {6}. La grfica consiste en todos los puntospertenecientes a la recta real excepto el ( 3 , 6 )


x f(x)

-2 -13

0 -9

2 -13

x f(x)

-3 0

0 3

3 6

29

-15

-12

-9

-6

-3

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4

Como se observa, hay un valorde y para cada valor de x,

excepto cuando x = 3, por lo

que el dominio de G ser

Dom g = R { 3}.


30/34

9. Sea la funcin H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que

)12)(3(

)9)(43(2

22

++

+=

xxx

xxxy . Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la grfica.

Como se observa ell denominador se hace cero, para cuando x = - 4 , - 3 y 3 por lo que

la funcin Hno esta definida para estos tres valores de x. Para valores de xdistintospodemos dividir el numerador y denominador entre los factores comunes ytenemos. 1= xy s x - 4, - 3, 3Por lo tanto el Dom h = R { - 4, - 3, 3 }, el Rang h = R { - 5 ,- 4, 2} que son aquellosvalores que se obtuvieron al sustituir x = - 4, - 3, 3. La grfica consiste en todos lospuntos pertenecientes a la recta real 1= xy excepto el ( - 4 ; - 5 ), (- 3; - 4) y ( 3 ; 2).

10.Sea la funcin H en el conjunto de todas las parejas ordenadas (x,y) tales que)2( = xxy . Encontrar el dominio y el rango de H y trazar la grfica.

Esta desigualad ser satisfecha cuando se cumpla uno de los siguientescasos:

x 0 y x 2 0; x 0 y x 2 0.Caso I: x 0 y x 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. [ 2 , )Caso II: x 0 y x 2 0. Esto se simple cuando x 0 y x 2 sol. ( - , 0 ]Combinando ambas soluciones tenemos, obtenemos como Dom h = ( - , 0 ] [ 2, ) = R {( 0 , 2 )}, mientras que el Rang h = [ 0 , ]


x f(x)-4 -5

-3 -4

2 3

5 4

x f(x)

-4 4.89-3 3.87

0 0

2 0

4 2.82

30

-4

-3

-2

-

3

0

Factorizando el numerador y el

denominador nos queda:

)3)(3)(4(

)3)(1)(3)(4(

++++

=xxx

xxxxy

0

1

Ya que )2( = xxy , no es un

nmero real cuando 0)2(


31/34

Problemas Propuestos.

1. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones:a. 12)(2 +xxxf

b.3

6)(

2 +xxfc. 86)( 2 +xxxfd.

2

1)(

2

2

= xxxxfe. xxf =)(f.

1

1)(

2 xxf

g. 4)( 2 +xxfh. xxf =)(i. 3)( +xxf

j.9

2)(

2 +x xxf2. Consideramos las funciones polinmicas f y g dadas por f(x) = x2 + 1, y

g(x) = x3, se pide:

a. f gb. g fc. f / g d. f g e. g f

3. Estudiar los dominios de las funciones del ejercicio anterior.

4. Se considera las funciones f y g definidas porx

xgxxf1

)(y,)( 2 == , se pide:

a. f f

b. g gc. f gd. g f

5. Estudia los dominios de las funciones del ejercicio 4.


31


32/34

6. Expuesta la funcin f dada por:1

2)(

=

xxf , halla las funciones opuestas (-

f ) e inversa

f

1, y sus dominios respectivos.

7. Sea las funciones f, g y h dadas por

1

2)(;

1)(;3)(

2

2 +x xxhxxgxxf Calcula las funciones ( f + g ) + h y f + (g + h). Cmo son ambas

funciones?

8. Con las funciones f y g del ejercicio anterior, calcula las funciones (f +g) y(g + f). Cmo son ambas funciones?

9. Dadas las funciones ,12)(,1)( +xxgxxf se pide:a. ( f g )( 1 ); ( g f )( -1 ); ( f g )( 2 ); ( g f )( -2 )b. ( f g )( x )c. El dominio de f g

10. Hallar el dominio de existencia de la funcin32

4)( += xxxf

11. Si f(x) = x2 - x, comprueba que f( x + 1 ) = f( - x).

12. Si1

1)( += xxxf , comprueba que )(1 xfxf

13. Hallar el campo de existencia de las siguientes funciones

1. 43 2 += xxy 2.x

xY

2

63 = 3. 2

12

+

=x

xY

4.9

322

2

+=

x

xxY 5.

145

12 +

=

xx

xY 6.

1243

223 +

=xxx

Y

7. xy 3= 8. 93 = xy9. 2+= xy

10. 1452 ++= xxy 11. 42 = xy 12.2

425 xy =

13.4

3

=

xy 14.

164

4

+

=x

y 15.x

xy

63 =

16.62

2

+

=x

xy 17.

3

872

+

=x

xxy 18.

45

1282

2

+

++=

xx

xxy

19. )3lg( = xy 20. )20lg( 2 ++= xxy 21.

++

=4

63lg

x

xy


32


33/34

14. Dada la funcin hallar:

1.2(

2

12)1()

2)( 2

fd)fc))f(-b)fa

xxxf

+=2.

x

xxfc))

xx

xxf(b)

a

aafa

xxxxf

2

1

2

1)

2

1()

21)(

2

24

2

22

2

+

+

++

+

+=

3.2)2()

32)( 2

+++=f(x)b)xfa

xxxf4.

)(

2)

2()

12

12)(

)xf

f(b)x

fa

x

xxf

+

=

5. ( ) )6(0)

2()

2cos)(

fd)fc))f(b)fa

xxf =

6. ))(() 12

23)(

xffax

xxf

+=

7.))f(f(ffa

x

xxf

2

1))2(()

3

32)(

=

8.))f(f(ffa

xxFxxf

2

1))2(()

3

2)(y23)(

==

9.

)

1

,())

1

,(c).)),()

3),(

xyfdxxfy)f(ybxxfa

yx

xxyyxf

++

=10.

)0,1())2,3())2,1()

32)( 22

+=

fcfbfa

yxyxxf

15. Graficar las siguientes funciones:

1. 158 23 += xxy 2. 01=yxy

3.

=+=

0113

042

yx

yx4. 0223 = yxyx


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4563526 tema iii funciones

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