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    LAS FUNCIONES COMO MODELO MATEMTICO

    INFORME FINAL DE PRCTICA DOCENTE

    ALVARO DIEGO CARMONA GAVIRIA

    Director de Prctica

    Jorge Mario Ramrez Osorio1

    MSc y PhD en Matemticas

    UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

    FACULTAD DE CIENCIAS

    MAESTRIA EN LA ENSEANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS YNATURALES

    MEDELLN

    2011

    1Profesor Asociado Departamento de Matemticas Universidad Nacional sede Medelln. MSc y PhD en Matemticas de Oregon State

    University, y pos-doctorado de University of Arizona.

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    RESUMEN

    LAS FUNCIONES COMO MODELO MATEMTICO

    La Prctica Docente consisti en una experiencia de aula para la enseanza de las matemticas fundamentada en la

    estrategia metodolgica de la solucin de problemas bajo el enfoque del aprendizaje significativo. El inters del trabajo se

    centra, especficamente, en la enseanza de funciones reales como modelo matemtico, mostrando algunos criterios para

    modelar problemas bajo una propuesta de Solucin de Problemas (Plya, 1957) por medio del razonamiento de tipo

    inductivo (Ausubel, 1968). Es as como se disea e implementa la planeacin, metodologa y evaluacin para el desarrollo

    de habilidades en el campo de las matemticas escolares previas al clculo diferencial.

    Se constat que en la apropiacin de nuevos conocimientos es determinante el estado en que se encuentren los conceptos

    previos para darle significado En la explicacin de ejemplos, tambin se identific que al utilizar el razonamiento inductivo

    se facilita la aprehensin del conocimiento por parte de los estudiantes. De otro lado, sealar la importancia de la

    observacin del docente, a travs del trabajo individual y colaborativo de los estudiantes, para contribuir

    metodolgicamente al proceso de enseanza. Y la pregunta como mtodo conducente a la construccin del conocimiento

    matemtico, que favorece el razonamiento inductivo en el logro de aprendizajes significativos.

    Palabras Claves: funciones reales, modelo matemtico, solucin de problemas, aprendizaje significativo, razonamiento

    inductivo, concepto previo, trabajo colaborativo.

    ABSTRACT

    "Functions as a mathematical model"

    Teaching practice consisted of a classroom experience to mathematics based on the methodological strategy of problem

    solving in the meaningful learning approach. The interest of the work focuses specifically on teaching real functions as a

    mathematical model, showing some criteria for model problems under a proposal of problem solving (Polya, 1957) through

    inductive reasoning (Ausubel, 1968). This is how it designs and implements planning, and evaluation methodology for the

    development of skills in the field of school mathematics precalculus.

    It was found that in the appropriation of new knowledge the status of the previous concepts is fundamental to make it

    meaningful. In the explanation of the examples, it was also identified that the use of the inductive reasoning facilitates the

    apprehension of knowledge by students. On the other hand, it is important point out that the teachers observation, to

    individual and collaborative work of students, contribute methodologically in the teaching process. And the important of thequestion as a method leading to the construction of mathematical knowledge, to favor inductive reasoning to achieve

    significant learning.

    Keywords: real functions, mathematical model, problem solving, meaningful learning, inductive reasoning, previous concept,

    collaborative work.

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    1 CONTENIDO

    2 INTRODUCCIN .............................................................................................. 4

    3 MARCO TERICO ........................................................................................... 8

    3.1 APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO ................................................................ 8

    3.2 SOLUCIN DE PROBLEMAS .................................................................. 13

    3.2.1 ETAPAS EN LA SOLUCIN DE UN PROBLEMA ............................. 15

    4 METODOLOGA ............................................................................................. 16

    4.1 GENERALIDADES DEL CURSO ............................................................. 17

    4.1.1 PROGRAMA ...................................................................................... 18

    4.1.2 EVALUACIN .................................................................................... 204.2 PROPUESTA METODOLGICA ............................................................. 22

    4.2.1 PRIMER MOMENTO: apertura de la clase ........................................ 23

    4.2.2 SEGUNDO MOMENTO: explicacin de ejemplos.............................. 27

    5 RESULTADOS ............................................................................................... 33

    5.1 Seguimiento de clase................................................................................ 33

    5.2 Actividades de clase ................................................................................. 35

    5.3 Evaluaciones ............................................................................................ 37

    6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .................................................. 43

    7 BIBLIOGRAFA ............................................................................................... 45

    8 ANEXOS ......................................................................................................... 46

    8.1 ANEXO A: EJEMPLO PLANEACIONES DE CLASES. ............................ 46

    8.2 ANEXO B: QUICES. ................................................................................. 54

    8.3 ANEXO C: SOLUCIONES DE ESTUDIANTES A ALGUNOSPROBLEMAS ..................................................................................................... 59

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    2 INTRODUCCIN

    La Prctica Docente como Modalidad de Trabajo Final de la Maestra en la

    Enseanza de las Ciencias Exactas y Naturales fue desarrollada en la Escuela de

    Matemticas de la Universidad Nacional sede Medelln, a travs del curso de

    Matemticas Bsicas. A travs de convocatoria abierta y aplicacin de un examen

    selectivo se eligi un equipo de doce docentes participantes para trabajar bajo las

    directrices de la Escuela de Matemticas, divididos en tres grupos y con el

    acompaamiento de un asesor.

    La prctica docente que se detallar en este trabajo consiste en una experiencia

    de aula para la enseanza de las matemticas, fundamentada en la estrategia

    metodolgica de la solucin de problemas bajo el enfoque del aprendizaje

    significativo. Es as como se disea e implementa la planeacin, metodologa y

    evaluacin para el desarrollo de habilidades en el campo de las matemticas

    escolares previas al clculo diferencial.

    El curso de Matemticas Bsicas ofrece al estudiante recin admitido laoportunidad de nivelarse, desarrollando habilidades bsicas para la aplicacin de

    operaciones aritmticas en los diferentes campos numricos, adecuado manejo de

    expresiones algebraicas, repaso de elementos de la geometra euclidiana bsica y

    de la trigonometra elemental y estudio de la nocin de funcin, su representacin

    grfica, interpretacin y uso en la modelacin de situaciones. El curso est

    distribuido en seis captulos a lo largo de 29 clases.

    El inters de este trabajo se centra, especficamente, en la seccin de funciones

    reales mostrando algunos criterios para modelar problemas bajo una propuesta de

    Solucin de Problemas (Plya, 1957). Se pretende establecer cuatro fases que

    contribuyan a discutir los problemas con los estudiantes y favorezcan su trabajo

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    independiente a travs de preguntas y relaciones establecidas en la estructura de

    pensamiento. En primer lugar, se tiene que entender el problema, ver claramente

    lo que se requiere. En segundo lugar, observar cmo los distintos elementos estn

    conectados, cmo lo desconocido est vinculado a los datos, a fin de obtener laidea de la solucin, para disear un plan. En tercer lugar, llevar a cabo el plan. En

    cuarto lugar, mirar hacia atrs en la solucin completa, para revisar y discutir la

    misma.

    Adems, como producto de la experiencia pedaggica, se plantea una propuesta

    de enseanza para el tema de funciones como modelo matemtico que implica

    razonamiento de tipo inductivo. All se tienen en cuenta los preconceptos de laestructura cognitiva para generar aprendizajes que capten el sentido de las ideas

    expresadas en forma de proposiciones. Este tipo de razonamiento se aplica en el

    desarrollo de ejemplos presentados por el docente a partir de preguntas,

    sugerencias y repaso de conceptos previos, para inducir al estudiante a pensar y

    plantear cuestionamientos que le conducen al camino de la solucin.

    Respecto a la solucin de problemas en la enseanza de las matemticas se

    destaca el trabajo de Plya (1957) por su contribucin a clarificar la labor de

    enseanza; al ponerse en el papel del estudiante para tratar de comprender una

    situacin una vez lo ha planteado el profesor, y desde sus capacidades retarle,

    experimentado el gusto por el descubrimiento, al inducirlo a participar en el

    proceso de solucin (Gimnez Joaquim, 2004). De igual manera, a partir de los

    cuatro pasos para modelar la solucin de un problema se desarrolla la habilidad

    del estudiante para resolver problemas futuros y se contribuye a la vinculacin delos preconceptos con la nueva informacin con el fin de lograr aprendizajes

    significativos.

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    Desde el punto de vista de la teora del aprendizaje significativo (Ausubel, 1968)

    se distinguen tres tipos de aprendizaje: representacional, conceptual y

    proposicional. En particular el aprendizaje proposicional, se refiere a los

    significados de las ideas expresadas por grupos de palabras combinadas enproposiciones. De un estudiante inscrito en el curso de Matemticas Bsicas se

    esperara que los elementos de la matemtica escolar estuviesen en un nivel

    proposicional idneo para vincular e interactuar en las diferentes temticas

    abordadas a nivel procedimental, demostrativo o aplicativo. Sin embargo, durante

    el desarrollo del curso se identific una debilidad en el aprendizaje a nivel

    proposicional que traen, dada la simple memorizacin de smbolos o conceptos

    individuales. Al intentar evocarlos de su estructura cognitiva para el uso de lasfunciones como modelo matemtico surge una ruptura de significados para las

    nuevas ideas porque los conceptos o estn aislados o no estn incluidos, dado

    que no han sido aprendidos previamente.

    Teniendo en cuenta la forma en que se vincula la nueva informacin con los

    preconceptos que sirven de anclaje en la estructura cognitiva, se distinguen tres

    formas del aprendizaje significativo: subordinado, superordinado y combinatorio.

    En caso de las funciones como modelo matemtico, interesa el proceso de

    asimilacin superordinado, que implica la vinculacin de la nueva idea ms

    general e inclusiva a los conceptos preexistentes. De esta manera, el

    razonamiento de tipo inductivo involucrado en la manera de explicar y desarrollar

    los ejemplos en las clases, favorece la conexin de los preconceptos en la

    comprensin del enunciado y en la elaboracin mental de la estrategia de

    solucin.

    A partir de la experiencia de aula y de la reflexin pedaggica de la enseanza y

    aprendizaje de las matemticas a nivel del curso de Matemticas Bsicas se

    constat que en la apropiacin de nuevos conocimientos es determinante el

    estado en que se encuentren los conceptos previos para darles significado.

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    Igualmente, se identific en la explicacin de ejemplos sobre funciones como

    modelo matemtico que al utilizar el razonamiento inductivo se facilita la

    aprehensin del conocimiento por parte de los estudiantes. Esto se debe a que al

    aplicar las estrategias de solucin de problemas, se permite recordar conceptos,teoremas, algoritmos, entre otros elementos que el mismo estudiante no reconoce

    o que le cuesta evocar y que debe abarcar para favorecer la comprensin del

    enunciado de una situacin, el planteamiento de un modelo y en la elaboracin de

    un plan de solucin.

    En la primera parte de este informe, marco terico, se explica el referente terico y

    disciplinar que fundamenta la planeacin y ejecucin de las clases bajo laimportancia de los preconceptos en la formacin de la estructura cognitiva para

    propiciar el aprendizaje superordinado a travs del razonamiento inductivo en la

    enseanza de conceptos. Tambin, las etapas bsicas en la solucin de

    problemas para contribuir al anclaje de los saberes previos con la nueva

    informacin en la aplicacin de las funciones como modelos matemticos. La

    segunda parte, metodologa, desarrolla en detalle la manera en que fue planificado

    el curso desde su estructura temtica, secuencia didctica, seguimiento y

    evaluacin. Se aborda en esta parte la propuesta de enseanza sobre los modelos

    matemticos que utilizan funciones aplicando la estrategia de solucin de

    problemas y el razonamiento inductivo para generar aprendizaje significativo. En la

    tercera parte se presentan los resultados con sus respectivos anlisis y

    observaciones y la cuarta parte recoge las conclusiones del trabajo abordado con

    los estudiantes durante el semestre, al igual que algunas recomendaciones a partir

    de la experiencia pedaggica para la enseanza de las matemticas.

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    3 MARCO TERICO

    La revisin temtica acoge como referentes para la enseanza la teora del

    aprendizaje significativo de David Ausubel (1968) y la propuesta para la solucin

    de problemas desarrollada por George Plya (1957). Dentro de la concepcin de

    los procesos de adquisicin de conocimiento, la teora del aprendizaje significativo

    hace parte de la corriente cognoscitivista desde la psicologa abordada por

    Ausubel en su obra Psicologa Educativa: un punto de vista cognoscitivo. Como

    estrategia para abordar las situaciones problema dentro del contexto matemtico

    Plya propone cuatro etapas que incluyen la interpretacin, comprensin,planteamiento, solucin y respuesta de un problema, desarrollada en el libro How

    to solve it .

    3.1 APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO

    La esencia del proceso de aprendizaje significativo reside en que las ideas

    expresadas simblicamente son relacionadas de modo no arbitrario y sustancial(no literal) con lo que el alumno ya sabe. Por relacin sustancial y no arbitraria

    queremos decir que las ideas se relacionan con algn aspecto existente y

    especficamente relevante en la estructura cognitiva (EC) del alumno, como una

    imagen, un smbolo ya significativo, un concepto o una proposicin (Ausubel,

    1968).

    El aprendizaje significativo, es aquel en el que la nueva informacin se incorpora a

    la estructura cognitiva del aprendiz, dando significado a la luz de la red organizaday jerarquizada de conceptos, relaciones e ideas que el individuo ya posee y se

    encuentran vinculados entre s. Segn Ausubel, el xito en la asimilacin de la

    nueva informacin est dado en la medida en que se ajuste bien a la estructura

    conceptual preexistente; la cual resultar modificada como resultado del proceso

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    de asimilacin. Se destacan all, el papel de las nociones ya establecidas en la

    estructura cognitiva, preconceptos; no como simples prerrequisitos que debe

    cumplir el estudiante para cursar el siguiente nivel del saber especfico; si no que

    apunta al estudio de la complejidad de las ideas y relaciones que subyacen a laorganizacin mental del individuo. Esto implica detenernos en el tiempo y a tiempo

    en la planeacin de una clase para comprender los distintos ritmos de aprendizaje

    con el que llegan los estudiantes y establecer las posibilidades de asimilacin de

    las nuevas ideas por el estado de su estructura cognitiva mediado con la

    exploracin de conocimientos previos que refinen los preconceptos.

    Segn Ausubel, la formacin de conceptos que implica la asimilacin define trestipos de aprendizaje: el aprendizaje representacional, que es el aprendizaje del

    significado de smbolos individuales, verbales o escritos que identifican objetos o

    situaciones; el aprendizaje conceptual, aprendizaje de objetos, eventos,

    situaciones o propiedades que poseen atributos definitorios comunes y que se

    designan en una cultura mediante algn smbolo o signos. Al respecto Marco

    Antonio Moreira comentando a Ausubel, precisa distinguir entre aprender lo que

    significa la palabra-concepto, o sea, aprender qu concepto est representado por

    una palabra dada y aprender el significado del concepto. (Moreira, 1997); y el

    aprendizaje proposicional, que va ms all de la simple asimilacin de lo que

    representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige captar el

    significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones. Este ltimo es

    fundamental en los procesos de comunicacin matemtica para comprender la

    aplicacin de propiedades, teoremas, relaciones, demostraciones, deducciones e

    inducciones en la construccin del conocimiento.

    Atendiendo a la manera como se realiza el anclaje en la estructura cognitiva de las

    nuevas ideas, el aprendizaje guarda relacin subordinada, cuando la nueva

    informacin es vinculada al conocimientos preexistente subsumida bajo ideas ms

    abstractas, generales e inclusivas, los subsumidores; es decir, las propiedades de

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    la idea general quedan enriquecidas por la elaboracin particular de lo que se

    aprende. Se distingue por ser un aprendizaje que va desde lo general a lo

    particular. Superordinada, cuando la idea nueva que se aprende es ms general

    que la informacin vinculada a la estructura cognitiva preexistente, produciendouna modificacin en los conceptos subsunsores que sirven de anclaje a la nueva

    informacin. El aprendizaje de este tipo implica razonamiento de tipo inductivo, las

    premisas particulares pasan a ser subordinadas por las ideas generales.

    Combinatorio, caracterizado por que el nuevo material no se relaciona de manera

    subordinada, ni superordinada con la estructura cognitiva previa, sino que es

    potencialmente significativa al relacionar los conceptos preexistentes y los

    contenidos generales en el nuevo aprendizaje.

    Basado en la teora de Ausubel el profesor Edwin Salazar realiza una propuesta

    de organizacin de la enseanza en la fsica que muestra explcitamente como

    aplicar esta teora a la enseanza del rea, sintiendo familiaridad en concepciones

    ausbelianas a partir del relacionamiento del aprendizaje verbal significativo por

    recepcin, que predomina en la disposicin de la enseanza de las aulas de clase

    (Salazar, 2003). Se destaca el papel de la estructura cognitiva preexistente como

    factor que influye en el aprendizaje significativo por su contenido y forma

    organizacional de la informacin, puesto que favorece la labor de los anclajes o

    subsumidores en la articulacin de los nueva aprendizajes: si la estructura

    cognitiva es clara, estable y est adecuadamente organizada, emergen y se

    retienen conceptos precisos y no ambiguos. Esto abre la posibilidad de

    intervencin en la enseanza de una disciplina por medio de la presentacin de

    conceptos, relaciones, propiedades, etc. de una manera general, unificada yprogresiva a la aplicacin de los contenidos.

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    Para facilitar el aprendizaje significativo Salazar plantea cuatro tareas

    fundamentales en el papel del profesor; la primera parte identificada desde la

    planeacin y la otra desde el espacio de interaccin con el estudiante.

    1. Determinacin de conceptos y principios unificadores e inclusivos que se

    vayan a ensear y que tengan mayor poder explicativo, se trata de las

    cualidades del contenido.

    2. La identificacin de los subsumidores, los conocimientos previos que

    debera poseer el estudiante para lograr significativamente lo que se

    pretende ensear, desplegados en propiedades, relaciones, algoritmos y

    conceptos claros y precisos relevantes en la estructura conceptual del

    contenido.

    3. Establecimiento de un diagnstico de los conocimientos que el

    estudiante trae en su estructura cognitiva y que es posible rastrearlos a

    travs de pretest, entrevistas u otros instrumentos.

    4. Ensear empleando recursos y principios que proveen de significado al

    contenido, para que lleguen de manera significativa a la estructura

    cognitiva del estudiante.

    Adicional a lo anterior, la estructura del modelo de organizacin de la enseanza

    plantea la identificacin de los conceptos ms generales, conceptos particulares y

    conceptos especficos para ordenar de manera secuencial los contenidos, dando

    sentido lgico con el uso de organizadores previos, diferenciacin progresiva,

    reconciliacin integradora y las relaciones naturales de dependencia entre los

    tpicos de estudio dentro de los captulos; enseanza del contenido usando

    mtodos, tcnicas y recursos didcticos que faciliten el aprendizaje significativo

    para retener y transferir; la presentacin del contenido de una manera clara yprecisa y en un nivel a la estructura cognitiva del estudiante.

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    Repensar el aprendizaje de las matemticas (Gallego Lzaro Carlos P. G., 2007)

    desde una propuesta que las considere para vivir comprendiendo el mundo,

    buscando que los estudiantes no lo vean como algo abstracto, como un invento

    en el vacoy haciendo que los procesos de la matemtica estn influenciados porel uso de instrumentos, datos de situaciones reales, aplicacin de propiedades y

    fundamentalmente apoyado en el propsito personal de cada estudiante; permiten

    que el aprendizaje est inscrito en un marco que le da sentido porque tiene

    conexin con una situacin real o del contexto y est integrado en el currculo.

    Darle la posibilidad al estudiante en el aula de clase de contextualizar situaciones,

    planificar, evaluar el progreso, escribir sus opiniones, comparar y generalizar,

    promueve la necesidad de crear entornos apropiados para aprender a organizar

    con coherencia juicios sobre situaciones reales, que construyen vnculos entre las

    matemticas y la racionalidad para descubrir, el aporte a la comprensin del

    mundo y la capacidad de actuar de manera sostenible. De esta manera Carlos

    Gallego, Margarida Pons y otros autores plantean que para que sean adecuadas,

    las experiencias matemticas escolares han de ser vlidas desde la perspectiva

    personal de cada uno de nuestros estudiantes, desde la perspectiva del currculo

    coherente y desde la perspectiva de las interacciones sociales que se producen enel aula.

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    3.2 SOLUCIN DE PROBLEMAS

    Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de

    descubrimiento en la solucin de cualquier problema (Plya, How to solve it,

    1957)

    Los elementos expuestos por Plya, pretenden enriquecer la prctica docente al

    proveerle de estrategias de enseanza para la solucin de problemas. Adems

    promueve la ayuda del docente al estudiante como elemento clave para la

    comprensin, solucin y desarrollo de habilidades para abordar problemas

    matemticos. Al respecto menciona:

    Nuestro problema puede ser algebraico o geomtrico, matemtico o no

    matemtico, terico o prctico, un problema serio o un rompecabezas simple, no

    hay diferencia, las preguntas tienen sentido y nos puede ayudar a resolver el

    problema2

    Es razonable pensar que el estudiante producto de la experiencia y el trabajo

    independiente pueda adquirir mucho conocimiento; pero es real que el docente

    tiene la posibilidad de apoyar su progreso en el aprendizaje cuando contribuye a

    estructurar los procesos de pensamiento y desafiar la curiosidad al establecerle

    problemas que se ajusten en proporcin al conocimiento.

    La propuesta pretende contribuir efectivamente con estudiante de manera natural

    y discreta en el aprendizaje de la solucin de problemas a travs de la elaboracin

    2PLYA, George. How to solve it. Princeton University Press. 1957. p. 13

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    de preguntas claves e intencionadas y desarrolladas en cuatro fases. Las cuales

    inducen al estudiante a recuperar los saberes previos, preconceptos, formados en

    su estructura cognitiva para comprender la situacin propuesta. Adems estopermite rastrear las operaciones mentales tpicamente usadas por los estudiantes

    para el planteamiento de un problema, discutir sus estrategias y brindarle

    sugerencias cuando cometen errores.

    Comprender el enunciado de un problema que lleva a una funcin como modelo

    matemtico, implica considerar el problema como texto sintctico que tiene una

    estructura propia. Informa sobre que se desconoce y sobre la importancia que

    podra tener llegar a saberlo. Por eso el texto del problema une datos con

    preguntas. Los datos sitan la pregunta y la ubican en un contexto determinado. Y

    la pregunta hace significativos a los datos. De esta manera, los datos adquieren

    importancia porque permiten llegar a tener nuevas informaciones, y la pregunta

    adquiere sentido al relacionarse con algunos datos determinados. (Gallego

    Lzaro Carlos P. G., 2007). Luego, un modelo tambin puede originarse del

    estudio de datos que muestran la relacin entre variables, una de tipo dependiente

    y otra independiente. Es por ello que las estrategias planteadas por George Plya

    para abordar la solucin a un problema son importantes para ponerse en el papel

    del estudiante e intentar comprender las preguntas que le pueden surgir en su

    mente, una vez se ha propuesto la situacin. De igual manera le vincula en la

    solucin, le ayudan a elaborar un conjunto de estrategias a partir de la

    experiencia y le forma en la habilidad de resolver problemas de manera formal.

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    3.2.1 ETAPAS EN LA SOLUCIN DE UN PROBLEMA

    I. Entender el problema: Qu trato de encontrar? qu datos tengo? heresuelto algn problema similar?. Para esto se debe leer cuidadosamente el

    problema resaltando la informacin ms importante, de ser posible, hacer una

    representacin que ilustre la situacin planteada, indicando las cantidades

    conocidas en el problema o relacionndola mediante una tabla de datos.

    II. Disear un plan: Qu mtodos puedo utilizar para resolver el problema?

    hay algn patrn que relacione la informacin? Definir las variables que se van a

    incorporar en la solucin del problema a partir de la identificacin clara de

    cantidades conocidas y de la pregunta que se plantea. Traducir al lenguaje

    matemtico las relaciones encontradas entre las variables mediante un modelo o

    una ecuacin.

    III. Llevar a cabo un plan: Cul es la manera correcta de aplicar los mtodos

    de solucin? a partir del modelo matemtico o ecuacin se resuelve directamente

    el problema o requiere de procesos implcitos? A partir del modelo o estrategia se

    pretende dar solucin a la pregunta planteada con base en los conceptos y

    procedimientos matemticos acordes a proceso de aprendizaje del estudiante.IV. Verificar las soluciones obtenidas: Revisar la solucin obtenida implica

    devolverse en los pasos anteriores para razonar sobre la coherencia los

    procedimientos aplicados e interiorizar las estrategias aplicadas, puesto que esto

    ayuda a desarrollar en el estudiante la habilidad para resolver problemas futuros.

    El estudiante se cuestionara acerca de la confiabilidad de los mtodos aplicados,

    toda vez que no se comprueba analticamente el resultado obtenido. Es correcta

    la solucin propuesta? parece razonable la solucin?. La verificacin de lasolucin se hace en trminos de la coherencia y el sentido del problema en

    relacin con el contexto involucrado.

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    4 METODOLOGA

    El curso de matemticas bsicas es establecido por la Escuela de Matemticas en

    los parmetros curriculares referentes a objetivos y metodologa para ofrecer al

    estudiante recin admitido, la oportunidad de nivelarse en temas que forman

    parte de los programas oficiales de la educacin secundaria en matemticas. ste

    conocimiento es prerrequisito esencial para la asignatura Clculo Diferencial,

    puesto que desarrolla habilidades bsicas para el manejo de operaciones

    aritmticas, entre conjuntos, expresiones algebraicas y el repaso de elementos de

    la geometra euclidiana bsica y de la trigonometra elemental.

    Para el caso de la propuesta hecha a los profesores de la Maestra en Enseanza

    de las Ciencias Exactas y Naturales, la pretensin del curso a desarrollar en el

    semestre 01 de 2011, apuntaba a realizar la actividad docente con base en los

    conocimientos adquiridos, disciplinares, tericos y pedaggicos bajo las

    orientaciones del asesor. Se disea e implementa la planeacin con una

    metodologa y evaluacin adecuada para los estudiantes, siendo diferente a la

    matemtica bsica que se vive semestre a semestre y que por la experiencia

    misma influencie la enseanza y aprendizaje de la disciplina. Se trata, entonces,

    de un aporte a la transformacin en el currculo y en la didctica del curso, que

    slo los resultados de la experiencia pueden validar.

    A la luz de la estructura del modelo de organizacin de la enseanza basada en

    el aprendizaje significativo, se revisan los contenidos del Curso de Matemticas

    Bsicas establecidos por la Escuela. La propuesta pretende ordenar de manera

    secuencial los contenidos, identificando los conceptos generales y especficos

    fundamentales en la comprensin y aprehensin de teoremas, propiedades,

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    relaciones, procedimientos y modelos, e identificando las relaciones naturales de

    dependencia entre los tpicos de estudio.

    Primero se desarrollan las generalidades del curso para puntualizar la

    distribucin de las diferentes temticas por clase, en especial las relacionadas con

    las funciones reales, y se especifican los parmetros de evaluacin. Luego se

    plantea la propuesta metodolgica llevada a cabo a partir de los diferentes

    momentos de la clase, se explica el tipo de ejemplos, preguntas o ejercicios como

    parte de la apertura de la clase y los desarrollados durante la aplicacin

    conceptual de los contenidos enseados.

    4.1 GENERALIDADES DEL CURSO

    Al curso asistan 27 estudiantes inscritos en el grupo 19 de Matemticas Bsicas

    del semestre I correspondiente al ao 2011. Aunque es ofrecido a distintos

    programas de formacin a nivel de pregrado, la mayora de los estudiantes

    admitidos, alrededor del 90%, pertenecan al programa de Zootecnia. Los

    estudiantes restantes correspondan a los programas de Economa, Ingeniera

    Elctrica e Ingeniera Agrcola.

    Las clases estaban programadas en dos sesiones semanales, martes y jueves en

    el horario de las 18:00 a 20:00, con una duracin de dos horas. Adicionalmente,

    cada estudiante del curso tena la opcin de asistir a una asesora semanal de

    dos horas, programada el da lunes de las 15:00 a las 17:00 y a cargo del docente,

    donde se le permita consultar dudas tericas y recibir orientacin acerca de los

    ejercicios que no pudo resolver en su trabajo personal. El curso de Matemticas

    Bsicas no es necesario aprobarlo por parte del estudiante, aunque tiene

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    implicacin en su desempeo del semestre para el clculo del promedio aritmtico

    ponderado acumulado, dado que la asignatura consta de tres crditos.

    4.1.1 PROGRAMA

    El programa llevado a cabo constaba de seis captulos, que se dictaron de

    acuerdo a la siguiente distribucin de clases por captulo (Tabla 1).

    Respondiendo a la organizacin de la enseanza desde la dependencia de

    conceptos generales y especficos se reubica el captulo sobre geometra

    elemental. De esta manera, el estudio de los campos numricos le facilita al

    estudiante la comprensin de las relaciones y propiedades geomtricas. A su vez,

    al abordar las funciones reales, se provee al estudiante de elementos en la

    estructura cognitiva para transferir el conocimiento numrico, algebraico,

    geomtrico y espacial en la representacin de funciones como modelos

    matemticos y en la explicacin de las relaciones de dependencia entre variables

    de contextos particulares.

    Tabla 1. Distribucin de Clases por Captulo.

    Captulo Distribucin de ClasesI. Conjuntos y Sistemas

    numricos1 y 2

    II. lgebra 3 a 8III. Ecuaciones y Desigualdades 9 a 11IV. Geometra Elemental 12 a 14V. Funciones Reales 15 a 24VI. Trigonometra 25 a 29

    En especial, el captulo sobre funciones reales est distribuido en diez clases que

    abarcan el estudio de los diferentes tipos de funciones desde su estructura

    algebraica, caracterizndole desde su dominio, rango, evaluacin, grfica,

    transformaciones y propiedades. Tambin se abordan algunos criterios para

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    modelar problemas con ecuaciones y funciones reales; de tal manera que se

    evidencie la aplicacin de las funciones para explicar la dependencia entre dos

    variables por medio de la visualizacin en el plano cartesiano, la representacin

    en una expresin algebraica, la descripcin en palabras o la relacin numrica atravs de una tabla de valores. A continuacin se detallan los temas que se

    abordaron en clase:

    Tabla 2. Distribucin de temas por clase en captulo sobre Funciones Reales.

    Clase Tema15 Modelado mediante ecuaciones: Algunos criterios para

    modelar problemas con ecuaciones, ejemplos.

    16 Funciones: definicin, dominio, rango, evaluacin, grfica.

    Prueba de la recta vertical. Funciones lineales (pendiente,

    intercepto, rectas paralelas y rectas perpendiculares).

    17 y 18 Funciones Definidas por Tramos. Funcin Valor Absoluto.

    Funciones de la forma nx , nx /1 .

    Transformacin de Funciones: Traslaciones o

    desplazamientos horizontales y verticales.19 Transformacin de Funciones: Reflexin de grficas.

    Alargamientos y compresiones verticales y horizontales de

    grficas.

    20 y 21 Funciones pares y funciones impares. lgebra de

    funciones: Suma, diferencia, producto, cociente y

    composicin de funciones y sus respectivos dominios.

    22 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.

    Funcin Inversa (Definicin, grfica de la funcin inversa y

    ejemplos).

    23 y 24 Funcin Exponencial. Funcin Logartmica. Propiedades de

    los logaritmos.

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    La modalidad del curso consista de un sistema integrado de clases expositivas,

    talleres de clase y asesoras. Se pretenda desarrollar menos clases expositivas y

    ms participativas a partir de la vinculacin de diversos momentos de aprendizaje

    que favorecieran el trabajo en equipo, individual y la puesta en comn de lasopiniones o argumentos en torno al anlisis de una situacin del contexto

    matemtico o de otras disciplinas. De all que el estudiante sintiera la necesidad

    de involucrarse en la solucin de ejercicios y problemas con salidas al tablero,

    anlisis previo al desarrollo por parte del docente o en la solucin de talleres. De

    esta manera se puede evidenciar en el desarrollo mismo de la clase la diversidad

    de ritmos de aprendizaje, las diferencias en conocimientos previos que traen los

    estudiantes y la dedicacin en hbitos de estudio.

    4.1.2 EVALUACIN

    La estructura de la evaluacin se dividi en dos momentos. El primero

    representaba el 70%, para permitir flexibilidad y diversidad con los instrumentos de

    evaluacin. El segundo aborda el restante 30% y estaba reservado para la

    aplicacin de un parcial final acumulativo.

    En comn acuerdo con el asesor y los docentes del equipo de trabajo se defineque el 70% de la evaluacin se divida de la siguiente manera:

    SEGUIMIENTO DE CLASE

    - TAREAS Y TALLERES (12%): se proponan cada quince das y eran

    diseados por el docente o retomados de los talleres de la Escuela

    de Matemticas.- EJERCICIOS DE ASISTENCIA (10 %): Se aplicaban al inicio de

    clase de manera aleatoria, para estimular la asistencia a clase y

    con el fin de verificar conceptos o procedimientos previos o la

    comprensin de la temtica de una clase anterior.

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    QUICES

    - Se propusieron 6 quices, del 8% cada uno, con el fin de evaluar los

    avances en el aprendizaje al cierre de cada captulo. (Ver tabla 3)

    Tabla 3. Distribucin de quices.

    QUIZ TEMA No DE CLASE FECHA1 Conjuntos y Sistemas

    Numricos4. Febrero 17

    2 lgebra 10 Marzo 10

    3 Ecuaciones yDesigualdades 13 Marzo 22

    4 Geometra Elemental 16 Abril 75 Funciones Reales 26 Mayo 126 Trigonometra 30 Mayo 25

    EVALUACIN FINAL (30%)

    El examen final de curso de Matemticas Bsicas que dicta la Universidad

    Nacional de Colombia y que presentaron los estudiantes de la sede

    Medelln, consiste en un cuadernillo que contiene 30 de preguntas de

    seleccin mltiple con nica respuesta donde se evalan las competencias

    adquiridas a nivel de las matemticas previas al clculo diferencial. Este

    examen es administrado por la Direccin Nacional de Admisiones, quien fija la

    fecha de presentacin, organiza aleatoriamente los estudiantes de los

    diferentes grupos y se encarga de la revisin y reporte de la nota respectiva.

    Los estudiantes en la semana previa a la fecha fijada tienen la posibilidad de

    presentar un preparatorio tipo final a travs de la plataforma tecnolgica con

    que cuenta la universidad.

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    4.2 PROPUESTA METODOLGICA

    La planeacin de clase se estructur tomando en cuenta tres momentos

    circunstanciales. El primero se refiere a la apertura de clase. Tiene como objetivo

    poner en contexto el tema a tratar en la sesin, de manera que se pueda rastrear

    los preconceptos necesarios de la estructura cognitiva del estudiante para darle

    sentido a la nueva informacin. Adems pone de manifiesto la formacin de

    conceptos a nivel del aprendizaje conceptual y proposicional en los estudiantes. El

    segundo, incluye deduccin de conceptos generales, presentacin o demostracin

    de teoremas o leyes y explicacin de ejemplos aplicados en la matemtica o encontextos de otras disciplinas. El tercer momento, da cabida al trabajo

    independiente del estudiante al proponerle ejercicios o problemas donde aplique el

    conocimiento aprehendido. De sta manera es posible verificar el nivel de

    transferencia y comprensin que permite el anclaje de los conocimientos

    prexistentes con los contenidos generales del nuevo conocimiento.

    Se pretende que parte del desarrollo de los elementos enseados en clase se

    realice aplicando razonamiento de tipo inductivo, de tal manera que se conduzca a

    la construccin y aplicacin de los conceptos a travs de la conexin de

    conocimientos nuevos con los que ya poseen; descubran y reflexionen, con

    regulacin del docente, en torno a un objeto de estudio para luego transferirlo a

    otras situaciones o contextos. Es por ello que el rol del docente debe ser activo en

    el desarrollo de la clase, dado que es quien organiza, gua, pregunta, mantiene la

    motivacin y establece las expectativas positivas.

    Dentro del planteamiento de la planeacin de clase se incluyen preguntas

    iniciales, definiciones, ejercicios de ejemplo indicados o referenciados en el libro

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    gua para que los estudiantes realicen en clase, observaciones sobre elementos

    que se vayan a recordar y problemas para realizar en clase. Para mayor

    informacin se puede ver el anexo A, donde se incluyen algunas de las

    planeaciones de clase.

    A continuacin se mostrar la manera en que es desarrollada la propuesta

    metodolgica en dos de los momentos circunstanciales de la clase: apertura de la

    clase y explicacin de ejemplos aplicados; de tal manera que se evidencia la

    aplicacin de la propuesta en solucin de problemas mediada por el razonamiento

    inductivo en la enseanza de un objeto de conocimiento con la implicacin del

    estado de preconceptos en el aprendizaje del nuevo conocimiento.

    4.2.1 PRIMER MOMENTO: apertura de la clase

    En la apertura de una clase se parte de la identificacin del tema o del

    planteamiento de preguntas que buscan evaluar el estado de conocimientos

    previos, hacer seguimiento al aprendizaje de lo tratado en sesiones anteriores o

    indagar acerca de las estrategias o recursos que aplicaran los estudiantes alabordar una situacin nueva.

    Como parte de la introduccin al tema de modelacin matemtica mediante

    ecuaciones y funciones se ha planteado a los estudiantes diversas preguntas y

    situaciones que conducen a establecer el grado de comprensin previa. Por

    ejemplo, en la clase sobre modelacin mediante ecuaciones las preguntas

    iniciales eran qu se entiende por modelo matemtico? Cmo podemos

    representar un modelo?. Las respuestas de los estudiantes permite establecer laasociacin que tienen en su estructura cognitiva de un modelo con una ecuacin;

    pero no se evidencia informacin en torno a comprender a la importancia de los

    modelos matemticos como herramienta para representar diferentes fenmenos

    en diversas ciencias y actividades del hombre. Con respecto a las formas de

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    representacin de un modelo matemtico los estudiantes dejan de lado la

    posibilidad de representacin grfica, descripcin a partir de un enunciado en

    lenguaje natural o la relacin comparativa que involucra variables a travs de una

    tabla de valores.

    En la clase sobre funciones trigonomtricas de nmeros reales se parti de la

    siguiente situacin inicial como ejercicio que hace parte del seguimiento en

    asistencia (ver anexo A):

    Situacin inicial: Rueda de Chicago o Rueda de la fortun a. Si se han subido

    alguna vez a una atraccin mecnica de este tipo, recordarn que el movimiento se repite una y

    otra vez. Desde una de las sillas de la rueda se observa que sta sube y baja, sube y baja...este

    tipo de movimiento se conoce como movimiento peridico, y es comn en situaciones de la

    realidad como por ejemplo: la variacin diaria de los niveles de las mareas, el ciclo rtmico de

    respiracin, las vibraciones de una hoja en el viento, la presin en los cilindros del motor de una

    auto, entre otros.

    Con respecto a la situacin descrita por la rueda de la fortuna, muestre una grfica que describa

    qu tan alto est la persona por arriba del centro de la rueda en el tiempo t.

    La situacin tena como objetivo explorar las nociones que los estudiantes poseen en la estructura

    cognitiva relacionadas con el tema del estudio, no simplemente como prerrequisito, sino como

    complejo de ideas y relaciones que han organizado en su mente mediante el proceso de

    enseanza escolar. De cmo se encuentren stas nociones espontneas depender en parte el

    xito en el aprendizaje de la nueva informacin. A continuacin se muestra de manera detallada

    los elementos tenidos en cuenta para desarrollar la grfica de la situacin en interaccin con los

    aportes de los estudiantes en coherencia con la propuesta en solucin de problemas expuesta en

    el marco terico.

    I. Entender el problema

    Lo primero que se debe hacer es estar seguro, como docente, que el estudiante comprende el

    enunciado guindole mediante preguntas que inducen a la recuperacin de informacin o a la

    formacin de ideas en su mente:

    Qu cantidades estn dadas o se conocen? Cul es la incgnita? Distinguen las variables

    relacionadas? Hay condiciones? Es razonable la situacin? La informacin es suficiente?

    Al inicio los estudiantes plantearon preguntas relacionadas con el sentido en qu gira la rueda,

    dnde ubicar el inicia el recorrido y cul sera el punto de referencia. Se les solicit que

    recurrieran a la imagen mental de la situacin y realizaran una representacin para luego definir

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    4.2.2 SEGUNDO MOMENTO: explicacin de ejemplos

    Los ejemplos pretenden guiar al estudiante en la comprensin de las situaciones a

    travs de la generacin de preguntas y sugerencias que estimulan losconocimientos presentes en la estructura cognitiva. De igual manera permiten

    detectar el estado de los preconceptos que se involucran en el correcto

    planteamiento, proveyendo al docente informacin clave para encaminar las

    explicaciones conexas que se requieren alrededor de la solucin.

    Es por ello que se ha propuesto una caracterizacin de los ejemplos: ejercicios y

    problemas, en tres niveles: ejercicios sencillos, problemas bsicos y ejercicios

    complejos y problemas complejos (Figura 3). La clasificacin en el nivel decomplejidad de las actividades de aprendizaje en el aula, permiten al docente y al

    estudiante ubicarse progresivamente segn el estado de conocimiento previo y la

    implicacin conceptual de las aplicaciones que implican la asimilacin de las

    temticas abordadas.

    Esta manera de clasificar los ejemplos reviste coherencia con el planteamiento de

    Ausubel sobre los niveles de aprendizaje, toda vez que la estructura cognitiva

    tiende a organizarse jerrquicamente en trminos de nivel de abstraccin,generalidad e inclusividad de sus contenidos (Moreira, 1997). Consecuentemente

    la emergencia de los significados para los materiales de aprendizaje tpicamente

    refleja una relacin de subordinacin a la estructura cognitiva que sirve de

    referencia para el diseo de los instrumentos evaluativos. Se reconoce all los

    diferentes ritmos de aprendizaje que tienen los estudiantes y la evolucin de

    conocimientos en la estructura cognitiva sujeto a la generacin de aprendizajes

    significativos en el aula.

    Los ejemplos se realizan utilizando esquemas, representaciones, modelos, casos,

    situaciones problema o ancdotas para que los estudiantes observen, describan,

    comparen, pregunten, analicen conjeturas, encuentren elementos comunes,

    patrones o regularidades que fluyan hacia la construccin del conocimiento.

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    Figura3. Niveles de complejidad en ejemplos de clase.

    A continuacin se ilustrar el uso de la propuesta de solucin de problemas en el

    desarrollo de un ejemplo ubicado en el nivel de complejidad de 70,

    correspondiente a un problema que aplica las funciones como modelo matemtico

    para la explicacin de un fenmeno de optimizacin. Ello implica la comprensin

    de informacin explcita e implcita que ha de ser transformada al lenguaje

    matemtico a partir de conceptos previos como permetro y rea para lograr elmodelo funcional. El ejemplo es planificado a partir del razonamiento inductivo

    para permitir que la nueva informacin sea inclusiva a los conceptos prexistentes

    en el estudiante y que se pueda generar aprendizaje significativo. En el anexo A

    se pueden encontrar otros ejemplos abordados en las clases.

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    Ejemplo.

    Un gr anjero d esea encerrar u n rea rectang ul ar de2

    16m para or ganizar u n c ulti vo . Cules

    sern las dim ensiones del terreno para qu e el permetro cercado sea el m enor pos ible?

    I. Entender el problema

    Verificar que el estudiante comprende el enunciadopermite identificar la capacidad de abstraccin dellenguaje natural, el reconocimiento de conceptosclaves y las condiciones del problema.En principio, al leer el enunciado los estudiantessuponen que la solucin obedece a un casoparticular de un terreno que cumpla con el valor delrea. Por lo tanto es necesario indagar sobre: Hayvalores fijos o cantidades conocidas?Qu variablesse consideran en el enunciado? Cul es la

    incgnita? Qu conceptos se involucran en el

    enunciado? Hay condiciones? Cules? Es razonable la situacin? La informacin es

    suficiente? Se distingue la relacin entre las variables relacionadas? Por qu rea y permetro?

    Es necesario definir variables?

    En este caso es posible hacer una representacin del problema para clarificar la informacin, los

    datos dados y darse cuenta de la necesidad de definir variables.

    Recuerda el rea y el permetro de un rectngulo? Qu relacin tienen?

    II. Disear un plan

    Cuando el estudiante piensa que la solucin inmediata del problema obedece a un caso particularde las dimensiones, se le cuestiona sobre el cumplimiento de la respuesta particular a las

    condiciones dadas, por ejemplo: las dimensiones halladas tienen en cuenta la condicin de reay permetro? Cmo se pude comprobar que el permetro hallado es menor posible a cercar?Para conducir al estudiante a elaborar una estrategia de solucin se puede indagar sobre losiguiente: Cmo se relacionan los datos conocidos con la variable de inters? Hay patrones orelaciones conocidas en el problema? Conocen un problema relacionado?Tiene relacin con

    algn concepto, procedimiento, algoritmo o modelo visto antes? Cules son los conocimientos

    previos necesarios?

    Teniendo claro las cualidades del rectngulo, la informacin que se conoce de l, slo restaestablecer el modelo inicial con el que se va a trabajar. Algunos estudiantes recordaranproblemas similares que les ayudan en su planteamiento; pero lucirn inseguros de los pasos adesarrollar.Si el estudiante an no tiene claridad de lo que necesita para resolver la situacin, el docente

    puede plantearle que es necesario establecer una expresin (modelo) que relacione el permetrodel rectngulo como funcin de la longitud de uno de los lados. Para ello se procede de lasiguiente manera:

    Sea Py A el permetro y el rea del terreno, respectivamente. Sea x la longitud del ancho del

    terreno y y la longitud del largo del terreno.

    Para hallar las dimensiones del terreno para que el permetro cercado sea el menor posible se

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    tiene en siguiente modelo: yxP 22

    Si el permetro depende de dos variables, cmo expresarlo en trminos de una de lasdimensiones? Cmo se pueden relacionar?El problema implica desarrollarlo en dos partes elaborando un razonamiento que apunte a tener

    un modelo del permetro que dependa de una sola variable. Para luego realizar un estudio delcomportamiento de la variable dependiente cuando cambia la independiente a travs de una tabla

    de valores o el estudio de su grfica; dado que an hay elementos analticos que no estn al

    alcance de los estudiantes.

    III. Llevar a cabo el planPara desarrollar la estrategia pensada el estudiante debe tener una buena formacin en laestructura de pensamiento a nivel proposicional. Esto permite que tenga la capacidad de pensaren relacionar a partir de la informacin dada sobre el rea, la longitud del ancho con el largo y deall expresar el permetro en trminos de una sola variable.

    Se sabe yxA y como que el rea del terreno es de

    2

    16m , por lo tanto yx 16 Luego, tenemos que:

    xy

    16

    Retomando la expresin para el permetro, entonces:

    xxP 16

    22 , simplificando se llega a

    x

    xxP

    322 2

    En esta parte le surgen al estudiante otros interrogantes:Qu estrategia usar para el anlisis de la funcin? Qu tipo de funcin es? Qu caractersticas

    tiene? Grfica o tabla de valores?

    Este es un espacio para aprovechar y conectar elementos de aprendizajes anteriores. Si se eligela tabla el estudiante debe razonar los posibles valores que puede tomar la variable x , verificar el

    comportamiento del permetro cuando vara la longitud del ancho del terreno (Tabla 4a) y en ladimensin dnde el valor del permetro sea menor realizar un anlisis ms cercano para verificarque no hay un valor que lo haga menor a este. (Tabla 4b) Por lo tanto a partir de esterazonamiento, no tan preciso, llegar a la solucin del problema.Tabla 4. Permetro del terreno en funcin de la longitud del ancho.

    x P

    0 1 34

    2 203 16.67

    4 16

    5 16.4

    6 17.33

    7 18.57

    4a

    x P

    3.5 16.1428571

    3.9 16.0051282

    3.99 16.00005013.999 16.0000005

    4 16

    4.001 16.0000005

    4.01 16.0000499

    4.1 16.004878

    4b.

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    31

    El estudio de la grfica de la funcin del permetro tambin puede ofrecer al estudiante otraalternativa para intentar llegar a la solucin. (Figura 1)

    Figura3. Grfica del Permetro del terreno en funcin de la longitud del ancho.

    Dado que la longitud del ancho que minimiza el valor del permetro es mx 4 , se procede a

    hallar el valor del largo del terreno, en este caso my 4 . Por lo tanto las dimensiones del terrenopara que el permetro cercado sea el menor posible son las de un terreno cuadrado de lado m4 metros.

    IV. Verificar las soluciones obtenidas

    Como no hay la posibilidad de comprobar la solucin con un procedimiento explcito que seconsidere como prueba, se le deja claro al estudiante que las verificaciones son deseables y quela comprobacin est sujeta a la revisin de los pasos precedentes para evitar posibles errores en

    el planteamiento del modelo, sobre todo en los pasos dnde se sustituye la relacin entre rea ydimensiones. Luego se revisa el comportamiento del permetro en funcin del ancho del terrenocon valores prximos para estar seguros que la solucin obtenida cumple las condiciones de reay de permetro mnimo.

    Finalmente se le expresa al estudiantes que las estrategias y mtodos usados pueden conducir ala generalizacin de un modelo que explique que el cuadrado es la figura plana, dentro de losrectngulos de igual rea con menor permetro. Igualmente se deja abierta la conexin con elclculo diferencial que permite resolver analticamente este tipo de problemas, mejorando laconfiabilidad de los resultados.

    El desarrollo del ejemplo permiti identificar falencias en los estudiantes en

    conceptos simples como: rea y permetro de un rectngulo y rastreo de las

    operaciones mentales tpicamente usadas por los estudiantes para el

    planteamiento de un problema. Al tratar de establecer un plan para resolver el

    problema, a varios estudiantes se les ocurri simplemente que era un cuadrado de

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    4cm de lado porque cumpla con la condicin de rea, dejando de lado las otras

    consideraciones. Otros exploraron soluciones numricas (ver figura). La gran

    dificultad estuvo en cmo relacionar el permetro en trminos de una sola variable.

    En la ejecucin del plan fue necesario inducirlos a pensar qu herramientas comola representacin de la funcin por medio de una tabla de valores o una grfica

    ayudaban a dar solucin al problema planteado.

    De esta manera, como lo afirma Plya la propuesta pretende contribuir

    efectivamente al estudiante de manera natural y discreta al aprendizaje de la

    solucin de problemas a travs de la elaboracin de preguntas claves e

    intencionadas y desarrolladas en cuatro fases, la discusin de sus estrategias y la

    orientacin cuando cometen errores

    Figura 5. Solucin propuesta por un estudiante.

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    5 RESULTADOS

    Con el objeto de presentar los resultados relevantes de la experiencia de aula para

    la enseanza de las matemticas como parte de la prctica docente se divide el

    anlisis de resultados en tres etapas:

    5.1 SEGUIMIENTO DE CLASE

    Como se menciona en seccin 3.1 Generalidades del curso, dentro de la

    metodologa llevada a cabo; el seguimiento de clase consisti en el desarrollo de

    ejercicios de asistencia aplicados al inicio de clase, tareas y talleres propuestos a

    los estudiantes. stos estaban vinculados a la experiencia y a los conocimientos

    previos que traan los estudiantes, en su mayora aprendidos en ciclo de la

    educacin media. As mismo, se asociaba a la formacin de hbitos de estudio,

    puesto que les disciplinaba en el proceso de estudio independiente.

    Respecto al desempeo mostrado en las actividades de seguimiento a clase (Ver

    figura 5.) se encontr regularidad en la presentacin de las actividades

    propuestas, compromiso en la vinculacin al anlisis de situaciones o preguntas

    planteadas al inicio de clase y esfuerzo por abordar los talleres propuestos como

    forma de practicar lo visto en la clase. De los 27 estudiantes inscritos, 25

    mantuvieron regularidad en la asistencia a clase, dado que uno de los inscritos fue

    reportado a Registro Acadmico como ausente en el semestre y otro decidi

    abandonar el curso a mitad del semestre. De los 25 estudiantes,

    aproximadamente el 96% aprob las actividades de seguimiento, con ms de 20estudiantes que obtuvieron notas entre 4.0 y 5.0. Esto reflej un promedio de 4,0

    en la calificacin y una alejamiento promedio con respecto a la media de 0,52; lo

    que muestra poca dispersin en las notas obtenidas.

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    5.3 EVALUACIONES

    En el aparte de evaluacin, seccin 3.1.2, se mencion que dentro de los

    instrumentos de evaluacin que se abordaron en el curso estaban seis quicescorrespondientes a cada uno de los captulos en los que fue dividido el programa.

    Adicionalmente la Universidad Nacional programaba un parcial final acumulativo

    que se valoraba en alrededor de la tercera parte del total del curso. Los

    resultados se muestran en la tabla 5 en la tabla 7, respectivamente.

    Tabla 5. Resultados segn quices evaluados a los estudiantes

    Quiz 1Conjuntosy Sistemasnumricos

    Quiz 2lgebra

    Quiz 3Ecuaciones y

    Desigualdades

    Quiz 4GeometraElemental

    Quiz 5Funciones

    Reales

    Quiz 6Trigonometra

    No aprobado 9 13 14 11 13 17

    Aprobado 16 13 11 14 12 8

    No presentan 1 1 2 2 2 2

    Nota promedio 3.1 2.9 2.8 2.7 2.8 2.3

    Desviacinestndar

    1.0 1.3 1.2 1.3 0.8 1.2

    Los resultados mostrados en la tabla 5 reflejan varios elementos respecto al

    desempeo mostrado en las actividades de tipo quiz. Primero coloca de manifiesto

    que el rendimiento promedio de los estudiantes mostr un patrn similar, con un

    promedio alrededor del 2.8; exceptuando el quiz de trigonometra dnde el

    promedio baj a 2.3. La aprobacin de las evaluaciones se dio en cerca de la

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    Tabla 6. Quiz nmero cinco: funciones reales

    Matemticas Bsicas- Semestre 01/2011Funciones RealesQuiz 5- Mayo 12 de 2011

    NOMBRE: ____________________________________

    1. (Valor 1.5)Considere la funcin, cuya grfica se muestra a continuacin

    Trace la grfica de 112 xfy , aplicando

    transformaciones (describacada una de ellas).

    2. (Valor 1.5) Trazar la grfica de

    xexf 2 a partir de lagrfica de

    xey , utilizando

    transformacin de funciones.Luego escriba el dominio de lafuncin, rango de la funcin y los interceptos con los ejes.

    3. (Valor 1.0) Un ingeniero debe construiruna pista de atletismo con dossegmentos rectos y dos semicirculares(ver figura), El radio de cada segmentosemicircular es r. La longitud de lapista debe ser de un kilmetro.

    a. Exprese el rea limitada por la pista como funcin de r.b. Determina el dominio de la funcin para que el problema tenga sentido.

    4. (Valor 1.0)A partir de las funciones f y gencuentre las funciones gf ,gf / , gf y sus respectivos dominios.

    1

    2

    x

    xf

    1

    x

    xxg

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    El cuarto punto tena el menor nivel de complejidad 30. Porque requera la

    aplicacin de la definicin de cada operacin y su respectivo dominio y por tanto

    se crea que el estudiante en su proceso de estudio lo tendra claro. En la revisinde los exmenes se encontr dificultad en los conocimientos previos, puesto que

    los errores cometidos fueron en simplificacin de expresiones y el establecimiento

    del dominio de la funcin para realizar la interseccin entre ellos.

    El diseo de los quices responde entonces, a los estilos individuales de

    aprendizaje de los estudiantes que varan segn los conocimientos previosadquiridos, el desarrollo de los dispositivos bsicos, la estructuracin del

    pensamiento con estrategias para analizar y resolver problemas y al aprendizaje

    significativo de la nueva informacin.

    Figura 7. Box plot y estadsticos descriptivos de resultados de losestudiantes en el parcial final elaborado por la Universidad Nacional.

    Respecto al examen final los resultados se muestran en la figura 7. En ellos se

    evidencia un promedio aproximado de 1. 8 puntos sobre una escala de cinco, lo

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    7 BIBLIOGRAFA

    ngel, M. (2003). Los ejemplos, ejercicios, problemas y preguntas en las

    actividades de aprenizaje de matemtica. Educacin y Pedagoga, 141-149.

    Ausubel, D. P. (1968). Educational psychology: A cognitive view.Nueva York:

    Rinehart and Winston.

    Friedlander, M. J. (2011). What Can Medical Education Learn From the

    Neurobiology of Learning?Academic Medicine., Vol. 86, No. 4 .

    Gallego Lzaro Carlos, Pons Gomila Margarida y otros. (2007). Repensar el

    Aprendizaje de las Matemticas.Barcelona: GRA.

    Gimnez Joaquim, S. L. (2004). La Actividad Matemtica en el aula.Barcelona:

    GRA.

    Moreira, M. A. (1997). 1997.Recuperado el 07 de 05 de 2011, de

    http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubesp.pdf

    Plya, G. (1957). How to solve it.Princeton University Press. 2edicin

    Salazar, E. (2003). Univesidad Metropolitana de Ciencias de la Educacin.

    Recuperado el 10 de 05 de 2011, de

    www.umce.cl/~esalazar/T_AprendizajeSignificativo.doc

    Smith Stanley, Charles Randall y otros. (1992) lgebra. Addison-Wesley

    Iberoamericana, S. A. Wilmington, Delaware, EUA.

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    8 ANEXOS

    8.1 ANEXO A: PLANEACIONES DE ALGUNAS CLASES.

    MATEMTICAS BSICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLIN

    Semestre 01/2011Clase 15

    PROFESOR: ALVARO DIEGO CARMONA GAVIRIA

    MODELACIN MEDIANTE ECUACIONES

    PREGUNTAS INICIALES

    Qu se entiende por modelo matemtico?Cmo podemos representar un modelo?

    Tanto en matemticas como en otras ciencias, y an en situaciones de la vida real, encontramosproblemas que involucran dos o ms cantidades relacionadas entre s, y entonces debemosplantear y resolver un modelo matemtico, que puede ser una ecuacin, para relacionar yencontrar estas cantidades.Para resolver este tipo de problemas es conveniente proceder de acuerdo con las siguiente guapara resolver problemas, tomando como referente terico el trabajo desarrollado por George Plyaen su libro "How to solve it"

    1. Entender el problema: qu trato de encontrar? qu datos tengo? he resuelto algnproblema similar?. Para esto se debe leer cuidadosamente el problema resaltando la informacinms importante, de ser posible, hacer una representacin que ilustre la situacin planteada,indicando las cantidades conocidas en el problema o relacionndola mediante una tabla de datos.

    2. Disear un plan: qu mtodos puedo utilizar para resolver el problema? hay algn patrnque relacione la informacin? Definir las variables que se van a incorporar en la solucin delproblema a partir de la identificacin clara de cantidades conocidas y de la pregunta que seplantea. Traducir al lenguaje matemtico las relaciones encontradas entre las variables medianteun modelo o una ecuacin.

    3. Llevar a cabo un plan: cul es la manera correcta de aplicar los mtodos de solucin? apartir del modelo matemtico o ecuacin se resuelve directamente el problema o requiere deprocesos implcitos? A partir del modelo o estrategia se pretende dar solucin a la preguntaplanteada con base en los conceptos y procedimientos matemticos acordes a proceso deaprendizaje del estudiante.

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    4. Verificar las soluciones obtenidas: es correcta la solucin propuesta? parece razonable lasolucin?. Se pretende verificar la solucin en trminos de la coherencia y el sentido del problemaen relacin con el contexto involucrado.

    Los ejemplos planteados a continuacin sern desarrollados en clase utilizando las cuatro etapaspara la solucin de problemas.

    Ejemplo 1

    Un alambre de cm36 de longitud, se va a cortar en dos partes. Una de las partes se doblar en

    forma de tringulo equiltero y la otra en forma de rectngulo cuya base es el doble del ancho.Si llamamos x la longitud de la parte que se utilizar para construir el tringulo equiltero, se pide:

    a) Realizar una representacin adecuada del enunciado del problema.b) Escribir una ecuacin, en trminos de x , que permita calcular la suma de las reas de las dos

    figuras.c) Podra predecirse a partir de la ecuacin obtenida, cul es el valor que debe tomar x para que

    la suma de las reas sea mnima?

    Ejemplo 2

    De una larga pieza de hoja de lata de cm25 de ancho se va a hacer un canaln para lluvia,

    doblando hacia arriba sus orillas para formar sus lados. Expresar el rea de la seccin transversaldel canaln para lluvia como una funcin de su altura.

    Ejemplo 3

    Un hombre se aleja caminando de un poste cuya lmpara est .6m por arriba del suelo. El hombre

    tiene una estatura de .2m Cunto mide la sombra del hombre cuando est a 10m del poste?

    Ejemplo 4

    Se tienen 2128cm de hojalata para fabricar un envase cerrado en forma de cilindro circular recto.

    1. Disear un modelo matemtico para expresar el volumen V del envase en trminos del radio r

    de la base del envase.

    2. Para cules valores de rdel volumen V del envase es igual a cero?

    Ejemplo 5: eleccin profesional.

    Un empleado tiene dos opciones a puestos en una gran corporacin. En un puesto le pagan

    500.14$ por hora ms un bono de 750$ por unidad producida. El otro, 200.11$ por hora ms un

    bono de 300.1$ .

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    Si fy gson las relaciones definidas mediante estos diagramas, tenemos que: fasigna a cada

    valor del conjunto A un slo valor del conjunto B ; luego fes una funcin de A en B . En el

    caso de g, asigna al nmero 1 del conjunto C por ejemplo, dos valores distintos 1 y 1 del

    conjunto D , g no es una funcin de Cen D :

    Prueba de la Recta Vertical

    Una curva en el plano xy es la grfica de una funcin si y slo si ninguna lnea vertical corta la

    curva ms de una vez.

    Dominio y Rango de una funcin

    Si A yB son conjuntos y fes una funcin de A en B ; el conjunto A se llama dominio de la

    funcin y se denotafD . El rango de f, denotado fR ; es el conjunto de todos los valores

    posibles de xf cuando x toma todos los valores en el dominio, es decir, AxxfRf /

    Excepciones al dominio y rango de una funcin:

    Radical par: si n xxf , donde n es par, para que fest definido en el sistema de

    los nmeros reales, se requiere que el radicando sea no negativo; por lo tanto 0x

    Denominador con variable: si

    xQxP

    xf , para que fest definido en el sistema de

    los nmeros reales, se requiere que el denominador sea diferente de cero, 0xQ

    Ejemplos

    Encontrar el dominio y el rango de las siguientes funciones:

    1. 2 14 xxf

    2. 42

    53

    x

    xxf

    3. 2 29 xxf

    4. 2 2 43

    1

    xxxf

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    Evaluacin de una Funcin

    Evaluar una funcin en un punto es hallar el valor de la funcin en ese punto. Para ello sereemplaza la variable independiente por el punto dado y se calcula el valor de la variabledependiente, es decir, se encuentra el valor de fen dicho punto.

    Ejemplo

    Sea 22xxxf

    Para evaluar fen 3 escribimos 211833233 2 f .Y entonces fde 3 es igual a 21 es decir, 21 es la imagen de 3 bajo la funcin f.

    Ejemplos

    1. Si 2 14 xxf evalu la funcin en el valor dado si existe:

    a. 4

    1f

    b. 0f

    c. 2

    1f

    2. x

    xxf

    12 evalu la funcin en el valor dado si existe:

    a. 1f

    b. 0f

    c. 2f 3. 255.2 xxf encuentre:

    a. hxf

    b. ? hfxfhxfes

    c.

    h

    xfhxf

    Funcin Lineal

    Una funcin lineal xfy es una funcin de la forma bmxxf , donde Rbm ,

    y no son

    simultneamente iguales a cero. La grfica de una funcin lineal es una lnea recta.

    De la funcin lineal se distinguen dos elementos:

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    La constante m se llama pendiente de la recta, y es la tangente del ngulo de inclinacinde la recta (ngulo que forma la recta con el eje x , medido en sentido antihorario, desde eleje x hasta encontrar por primera vez la recta).

    La constante b es la coordenada del punto donde la recta intersecta el eje y, quecorresponde al punto de la recta para el cual x es 0 .

    Sabemos que en el plano una lnea recta est completamente determinada por dos puntosdistintos.Si una recta pasa por los puntos 11,yxP y 22 ,yxQ , se puede demostrar que lapendiente m de dicha recta (no vertical) est dada por:

    12

    12

    12 , xxxx

    yym

    La pendiente es la razn entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal, cuandopasamos de un punto a otro sobre la recta.

    horizontalentodesplazami

    verticalentodesplazamim

    Recta bmxy

    Pendiente12

    12

    xx

    yym

    ngulo de inclinacin: tanm

    Interseccin con el eje y

    b,0

    Rectas paralelas y perpendiculares

    Sean 21 LyL dos rectas no verticales; con pendientes 21 mym respectivamente

    Decimos que 21 LyL son paralelas y escribimos ; si tienen el mismo ngulo deinclinacin, o, equivalentemente, si tienen la misma pendiente.

    Decimos que 21 LyL son perpendiculares, y escribimos si se cortan formando cuatrongulos rectos, o equivalentemente, si el producto de sus pendientes es igual a 1

    Para las rectas verticales, el paralelismo y la perpendicularidad, se definen slo con las relacionesentre ngulos.

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    Ejercicio

    1. Probar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares. En caso de que seanperpendiculares halle el punto de interseccin y grafquelas.

    a. 53 yx y 010155 xy

    b. 1234 xy y 243 yx

    c. 22 xy y4

    12 xy

    2. Hallar una ecuacin para la recta que pasa por el punto donde se interceptan las rectas

    23 yx

    y2

    35 xy y que sea paralela a la recta cuya ecuacin es

    632 yx . Graficar.

    Ejemplos a Desarrollar en Clase N 16

    1. Producir 50 copias de volantes para publicidad de una empresa cuesta $26 por ejemplar.Producir 250 copias cuesta $22 por ejemplar. Suponiendo que el costo por ejemplar seajusta a una relacin lineal:

    a. Encuentre la funcin lineal e interprete su pendiente.b. Use la funcin para predecir el costo por ejemplar si se producen 500 copias.

    2. Una temperatura de C0 es igual a F32 . Una temperatura de C10 es igual a F50 .

    Utilizar la informacin para encontrar una funcin lineal que represente la relacin entre la

    medida de temperatura en C y F ; luego utilcela para encontrar la medida en grados

    Fahrenheit de la temperatura C100 a la cual se obtiene el punto de ebullicin del agua.

    3. El dueo de un supermercado solicita a una empresa de telefona celular cotizacionessobre sus planes. La empresa enva la siguiente informacin:

    El dueo al leer inicialmente la cotizacin, no pudo establecer cual plan le ofrece lasmejores posibilidades. Analice los planes modelndolos cada uno como funcin lineal yluego establezca un criterio de decisin.

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    Quiz 2 Algebra.

    Matemticas Bsicas- Semestre 01/2011Algebra

    Quz 2- Marzo 10 de 2011

    NOMBRE:____________________________________

    1. (Valor 20 puntos) Determinar el valor de c para que 1 sea raz del polinomio

    26 23 cxxxxQ

    2. (Valor 15 puntos)Los terrenos de dos parcelas miden8

    3 y4

    3 metros cuadrados, respectivamente.

    Judas duda si la primera parcela es el doble que la segunda o no. De no ser el doble, cuntas veces es

    mayor la primera que la segunda?.

    3. (Valor 15 puntos)En una carrera realizada en el Hipdromo Los Comuneros, compiten 10 caballos.Para apostar usted debe indicar el nombre de 1, 2 y 3 de ellos. Cuntas boletas debe llenar para

    asegurar ganar?

    OPCIONAL (VALOR 1.0)

    Un pelota es lanzada desde el piso verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de sm/24 .

    Si la ecuacin de movimiento de la pelota, est dada por la expresin: tttS 249.4 2 ,

    determine:

    a) La distancia de la pelota al piso al final de 1 segundo.

    b) El tiempo que tarda en caer al suelo.

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    Quiz 3 Ecuaciones y Desigualdades

    Matemticas Bsicas- Semestre 01/2011Ecuaciones y Desigualdades

    Quz 3- Marzo 22 de 2011

    NOMBRE:____________________________________

    1. (Valor 20 puntos) Un camin A transporta alimentos desde Antioquia a la frontera de Ecuador, los

    cuales deben ir a una temperatura entre 2 y 10 grados Celsius. En la frontera un camin Brecibelos alimentos. Si la escala de temperatura del nuevo camin est dada en grados Fahrenheit

    32

    5

    9 CF :

    a) Expresar los grados Celsius en trminos de Fahrenheit.

    b) Usar desigualdades para encontrar el nuevo intervalo de temperatura adecuado para la

    conservacin de los alimentos.

    2. (Valor 15 puntos) Graficar y Encontrar una ecuacin de la circunferencia que tenga centro en 4,1

    y radio8 .

    3. (Valor 15 puntos) Hallar el conjunto solucin para la siguiente desigualdad: 6128 x

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    Quiz 6 Trigonometra.

    Matemticas Bsicas- Semestre 01/2011Trigonometra

    Quiz 6- Mayo 25 de 2011

    NOMBRE: ____________________________________

    1. (Valor 1.5)Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos. Despus hace unacorreccin del curso, en direccin 30 a la izquierda de su curso original vuela 30 minutos en la nueva

    direccin. Si mantiene una velocidad constante de ; qu tan lejos est de su punto de partida?

    2. (Valor 2.0) Demuestre las siguientes identidades

    c.

    d.

    3. (Valor 1.0) Halle el valor numrico de la siguiente expresin sin usar calculadora.

    ( ) ( ) (

    )

    4. Valor 0.5) Resuelva unade las siguientes ecuaciones

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    8.3 ANEXO C: SOLUCIONES DE ESTUDIANTES A ALGUNOS PROBLEMAS

    PROBLEMA PROPUESTO EN CLASE SOBRE APLICACIONES DE FUNCIONES

    Un ganadero tiene 200metros de cercado con los cuales delimitados corrales rectangulares adyacentes. Exprese el rea de losdos corrales en trminos del largo x y luego grafique la expresin,considerando el rea en el eje de las ordenadas y el lado x en eleje de las abscisas. Qu observas? Podras determinar lasdimensiones aproximadas de los corrales de tal manera que elrea cercada sea la ms grande posible?

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    PROBLEMA PROPUESTO EN TALLER DE FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARITMICA.

    Supongamos que inicialmente se tiene 20gr de radio. A los t aos, la cantidad que queda se

    modela con la funcin tetA 000418,020 . Calcular la cantidad de radio que quedapasados 100 aos. Qu porcentaje de los 20gr originales ha decado en 100 aos?. Hallar la vidamedia del radio.

    Soluciones de estudiantes: