2010.1 - interpolação por spline cúbica e método de integração de simpson para cálculo de...

Ítalo Rolim Nogueira e Janaína Esmeraldo Rocha

Interpolação por Spline Cúbica e

Método de Integração de Simpson

para Cálculo de Campo Magnético

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC

CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE

PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL - PET

PLANO BÁSICO: MÉTODOS NUMÉRICOS

Orientadores:

Lucas Chaves Gurgel

Janailson Rodrigues Lima

Tutor:

José Carlos Teles Campos

Autores:

Índice

Histórico

Motivação

Interpolação

Interpolação polinomial

Método de Lagrange

Método de Newton

Funções spline • Spline cúbica

Integração numérica

Métodos de integração • Regra do Trapézio

• Regra de Simpson

Aplicação em eletromagnetismo

Histórico

O nascimento do eletromagnetismo se deu no século XIX,

com a clássica experiência do físico dinamarquês Hans

Christian Oersted (1771-1851).

Em 1820, ele verificou que, ao colocar um bussola sob um

fio onde passava uma corrente elétrica, verificava-se um

desvio na agulha dessa bússola. A partir dessa

experiência, Oersted estabeleceu uma relação entre as

propriedades elétricas e magnéticas, dando origem ao

eletromagnetismo.

Histórico

E assim influenciou os futuros trabalhos de seus

contemporâneos como Michael Faraday, Joseph Henry,

André-Marie Ampère, Jean-Baptiste Biot, Félix Savart,

Carl Friedrich Gauss, Samuel Morse, Heinrich Lenz e

James Clerk Maxwell, entre outros.

Hans Christian Oersted

Motivação

Lei de Biot-Savart:

Onde: • é uma constante relacionada ao meio

• i é a corrente constante que percorre o fio

• r é a distância do ponto onde será calculado o campo magnético ao ponto do fio que causa o mesmo

• é um infinitesimal do comprimento do fio por onde passa a corrente

• é um vetor unitário na direção do ponto do fio ao ponto onde será calculado o campo magnético

Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo

finito:

Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio retilíneo

finito:

Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio não-

retilíneo finito:

Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio não-

retilíneo finito:

Onde:

Motivação

Cálculo do campo magnético para um fio não-

retilíneo finito:

Interpolação

Interpolar uma função é aproximá-la por meio de

outra.

Para quê interpolar?

Conhecemos apenas valores numéricos de uma função, e

precisamos calcular valores de pontos não tabelados.

A função estudada é demasiado trabalhosa para certos

cálculos (diferenciação e integração, por exemplo).

Tipos de interpolação

Linear

Polinomial

Trigonométrica

Interpolação polinomial

Conhecendo (n+1) pontos distintos de uma função f(x),

temos os nós da interpolação.

Os nós são base para a função interpoladora g(x), pois

como condição da interpolação tem-se:

Interpolação polinomial

Graficamente, os nós da interpolação serão pontos

coincidentes nas função f e g. Os intervalos entre os nós

não necessariamente coincidem, e o erro depende do

método utilizado.

Formas de obter o polinômio interpolador

Com (n+1) nós, é possível obter um polinômio de grau n

que interpola todos os pontos. A fórmula do polinômio

interpolador é:

(n+1) incógnitas

(n+1) equações suficiente

Formas de obter o polinômio interpolador

Matriz dos coeficientes do sistema linear com

variáveis :

Matriz dos termos independentes:

Funções da base de Lagrange

Polinômio da base de Lagrange para interpolar

(n+1) pontos:

Assim,

quando

Funções da base de Lagrange

O polinômio interpolador na forma de Lagrange

têm a seguinte expressão:

Com a base de Lagrange, sempre teremos:

Método de Newton

O polinômio interpolador de grau n que interpola

(n+1) pontos pelo método de Newton é o seguinte:

Onde representa o operador diferenças

divididas de ordem i entre os pontos ,

com k variando de 0 a i.

Método de Newton

Cálculo do operador diferenças divididas:

Ordem 0:

Ordem 1:

Ordem 2:

Ordem n:

Complexidade dos métodos

Método de Lagrange:

Método de Newton:

Funções spline em interpolação

Dificuldade de interpolar (n+1) pontos em um único

polinômio de grau n.

Na aproximação polinomial por partes, tem-se um

polinômio interpolador para cada intervalo entre nós.

Spline linear

Aproximação de uma função f por uma função

linear por partes:

Funções spline em interpolação

A spline cúbica, usa polinômios cúbicos para

interpolar os nós dois a dois.

Características positivas:

Flexibilidade do polinômio cúbico.

Sem picos ou trocas de curvatura abruptas nos nós.

Spline cúbica

Grafíco de pontos interpolados pro spline cúbica:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

Spline cúbica

Supondo que f(x) esteja tabelada em (n+1) pontos,

o polinômio interpolante é composto de n

polinômios , um para cada intervalo entre

dois nós.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

Spline cúbica

As condições de existência dos polinômios são:

Spline cúbica

Os polinômios , k de 1 a n, são trabalhados a

partir da seguinte expressão, de forma a simplicar

os cálculos:

4n coeficientes

4n equações

Spline cúbica

Número de equações obtidas pelas condições de

interpolação:

(n+1) para interpolar f nos nós

(n-1) para ser contínua nos nós

(n-1) para as derivadas de nos nós

(n-1) para as derivadas segundas de nos nós

Total: 4n-2 equações insuficientes

Spline cúbica

Duas condições em aberto.

Nesta análise as duas equações faltosas foram:

Essa escolha define uma spline natural. Fora do intervalo

delimitado, a spline é linear ou bastante próxima de uma

função linear.

Spline cúbica

Relacionando todas as condições e fazendo as seguintes

substituições:

as seguintes fórmulas para os coeficientes são obtidas:

Spline cúbica

Os valores de e de são constantes e nós

conhecemos, mas ainda é necessário descobrir todos

os .

Pela continuidade das derivadas, monta-se o sistema

linear AX = B tal que:

Spline cúbica

Continuação do sistema linear:

Spline cúbica

Resolvido o sistema, todos os dados necessários à

determinação dos coeficientes foram encontrados.

Os polinômios da função spline são determinados.

Algoritmo:

Exemplo de spline cúbica

Para os pontos (1,2), (3,4), (5,6), (10,20), (12,2), (15,24),

(18,88), (20,38) e (30,1) interpolamos uma função cujo gráfico

é o seguinte:

0 5 10 15 20 25 30-40

-20

0

20

40

60

80

100

Integral de Riemann

A integral de Riemann de uma função f no intervalo

[a, b] é o limite seguinte, desde que ele exista:

Onde satisfazem a =

e onde , para cada i = 1, 2, ..., n e

é arbitrariamente escolhido no intervalo [ ].

Integral de Riemann

Uma função f que é contínua em um intervalo [a, b]

também é integrável, segundo Riemann, em [a, b].

Isso permite escolher, para conveniência de cálculo,

que os pontos sejam igualmente espaçados em

[a, b] e, para cada i = 1, 2, ..., n, escolher .

Nesse caso,

onde .

Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais

Suponha que f C[a, b], que a integral de Riemann de g exista em [a, b] e que g(x) não mude de sinal em [a, b]. Então existe um número c em (a, b) tal que:

Quando g(x) , o teorema acima torna-se o usual Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele fornece o valor médio da função f no intervalo [a, b] como:

Métodos de Integração

Freqüentemente é necessário o cálculo da integral

definida de uma função que não tenha primitiva

explícita ou cuja primitiva não seja fácil de obter.

Para isso, utilizam-se métodos para calcular uma

aproximação da integral.

O método básico envolvido na aproximação é

chamado quadratura numérica. Ele utiliza

polinômios interpoladores de Lagrange.

Métodos de Integração

Sendo o polinômio interpolador de Lagrange:

Pn(x) =

e seu erro de truncamento:

A fórmula de quadratura aproxima o valor da integral por:

onde n é o grau do polinômio interpolador.

Regra do Trapézio

Esta regra utiliza pontos igualmente espaçados

juntamente com o polinômio linear de Lagrange:

P1(x) =

Para utilizar a Regra do Trapézio na aproximação

de fazemos:

Regra do Trapézio

Assim, a fórmula de quadratura fornece:

Como não muda de sinal no intervalo

[ ], podemos aplicar o Teorema do Valor Médio com Peso

para Integrais no termo de erro:

E(f) =

E(f) =

Regra do Trapézio

Portanto, a Regra do Trapézio fica:

Regra do Trapézio

Assim, é aproximada pela área de um trapézio:

Como o termo de erro para a regra do trapézio envolve

f(2), esta regra fornece o resultado exato quando

aplicada a qualquer função cuja segunda derivada seja

identicamente zero, ou seja, qualquer polinômio de grau

menor ou igual a um.

Regra de Simpson

Esta regra resulta da integração em [a, b] do

segundo polinômio interpolador de Lagrange com

pontos igualmente espaçados e com nós:

Regra de Simpson

Da fórmula de quadratura, temos:

Entretanto, ao deduzir a regra de Simpson dessa

forma, obtemos apenas um termo de erro

envolvendo f(3). Abordando o problema de outra

forma, podemos deduzir um termo envolvendo f(4).

Regra de Simpson

Suponha que f seja expandida no polinômio de

Taylor de grau 3 sobre . Então, para cada x

[ ], existe um número em com:

Regra de Simpson

Como nunca é negativo em , o

Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais

implica que:

para algum .

Regra de Simpson

Mas,

Substituindo as equações acima, temos:

Regra de Simpson

Mas,

Portanto,

Pode-se mostrar por métodos alternativos que os valores nesta expressão podem ser substituídos por um valor comum em , resultando na Regra de Simpson:

Regra de Simpson

Como o termo do erro envolve a quarta derivada

de f, a Regra de Simpson fornece resultados exatos

para polinômios de grau menor ou igual a 3.

Assim, é aproximada pela área:

Regra do Trapézio x Regra de Simpson

Cálculo da integral definida no intervalo [0,2] de uma

função f(x):

F(x) X2 X4 Sen(x)

Valor Exato 2,667 6,400 1,099 2,958 1,416 6,389

Trapézio 4,000 16,000 1,333 3,326 0,909 8,389

Simpson 2,667 6,667 1,111 2,964 1,425 6,421

Algoritmo

Cálculo do campo magnético para um fio não-

retilíneo finito desenhado por spline cúbica.

Validação do algoritmo

Para fio retilíneo finito com corrente constante de 2 A:

Pelo método de Simpson:

Campo_Magnetico = 2.677650437111723e-008

Dificuldades Encontradas

A modelagem matemática e o raciocínio lógico

envolvido nas inúmeras tentativas de previsões de

erros.

O sinal envolvido nos cálculos das contribuições

das parcelas dos campos magnéticos.

Conclusões

A curva obtida pela spline cúbica simula

adequadamente todos os tipos de curvas.

Os valores obtidos pelo Método de Simpson se

mostraram bastante próximos aos valores reais

com erros percentuais mínimos.

A partir dos pequenos erros obtidos para fios

retilíneos finitos, pode-se validar o método para

fios não-retilíneos.

Bibliografia

RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da

Rocha. Cálculo numérico. São Paulo: MAKRON Books,

1988;

BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise

Numérica. São Paulo: CENGAGE Learning, 2008.

HAYT Jr., William H.; BUCK, John A. Eletromagnetismo.

Rio de Janeiro: LTC, 2003.

SERWAY, Raymond A.; JEWETT Jr., John W. Princípios de

Física: Eletromagnetismo – Volume 3. São Paulo:

CENGAGE Learning, 2004.

Agradecimentos

A Deus;

À família;

Aos petianos;

A todos os aqui presentes.

Obrigado pela atenção!