1.introdução - ggte.unicamp.br · (* escala reduzida em relação aos sistemas reais)...
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CAPÍTULO VII - ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADE
1.Introdução
Capítulos anteriores Princípios fundamentais
Equações gerais da TQM
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
solução analítica
simples
complicadas
particulares
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
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e I
1
conclusão : simplificações
admissíveis em cada caso
Introdução de Simplificaçõessistema manipulável de
equações diferenciais
estudo experimental prévio
Unic
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EQ
/EQ
541 F
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e T
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
admissíveis em cada caso
Estudos experimentais o cientista ou engenheiro
MODELOS*
(* escala reduzida em relação aos sistemas reais)
extrapolando os resultados obtidos para as dimensões
dos sistemas reais (scale-up) 2
Unic
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p/F
EQ
/EQ
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enôm
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e T
ransport
e I
Dados quantitativos precisos
geométrica, cinemática e dinâmica
Modelo
estudo necessário para que haja semelhança
(ou similaridade)
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
geométrica, cinemática e dinâmica
* Para realizar a escalada, ou scale-up, procura-se estabelecer critérios
que asseguram a “semelhança” de comportamento entre o modelo e o
sistema real .
.
3
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
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e I
Unic
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/EQ
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Equações apresentadas até o momento
Homogeneidade Dimensional
Método: Análise Dimensional
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e I
grupos de variáveis que compõem os
chamados grupos adimensionais
reduzem o número original de variáveis e
número de dados experimentais 4
Unic
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
2. Semelhanças ou Similaridades e Teoria do Modelo
Similaridade Geométrica
T eoria da similaridade (origem)
generalizado de modo a abranger
similaridade de figuras
geométricas
Unic
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e I
generalizado de modo a abranger
outras características do sistema
Dois triângulos ou polígonos com o mesmo no
de lados são geometricamente semelhantes,
quando os ângulos correspondentes são iguais
e os lados correspondentes são proporcionais
A B B'
C
C'
ABAB
ACAC
BCB C′
=′=
′ ′5
Triângulos semelhantesTriângulos semelhantes
Unic
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
y
xO
R Q
S
P
y
x
O
R Q
S
P
'
' '
'
'
''
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
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enôm
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e I
'
Polígonos semelhantesPolígonos semelhantes
6
O´R´
OR
Q´R´
QR
P´Q´
PQ
O´P´
OP===
Unic
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/EQ
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ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Considerando dois sistemas
(real e o seu modelo)
A) Existe uma correspondência biunívoca* ponto a ponto, conjunta entre os
dois sistemas. Curvas, áreas e volumes tomados por pontos são igualmente
correspondentes.
B) Escolhe-se um sistema coordenadas
geometricamente semelhantes , se:
Coordenadas cartesiana
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
541 F
enôm
enos d
e T
ransport
e I B) Escolhe-se um sistema coordenadas
(x, y, z) e (x’, y’, z’)
Coordenadas cartesiana
7
*A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder".
L===zz
yy
xx ´´´
( fator de escala linear)( fator de escala linear)
Unic
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p/F
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
D) Para A e A' áreas de duas curvas correspondentes 2L=
AA´
C) Para l e l’ comprimentos de duas curvas
correspondentesL=
ll
Unic
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/EQ
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e T
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e I
ϕ = ϕ′
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E) Para V e V’ volumes correspondentes 3L=
VV
F) Para ϕ e ϕ’ dois ângulos correspondentes
Unic
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/EQ
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ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
* Similaridade dos movimentos entre os sistemas
* Estabelecida uma correspondência entre as escalas de tempo do
sistema e do modelo
Similaridade Cinemática
Unic
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p/F
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e I
* Se existir uma correspondência biunívoca e
completa entre as partículas de dois sistemas
tal que t e t’ sejam dois tempos
correspondentes
′tt
= λ
partículas
correspondentes
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Unic
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
* Se dois sistemas - o protótipo e seu modelo -
partículas correspondentes ocupam pontos correspondentes
geometricamente semelhantes
Unic
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p/F
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/EQ
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e I
sistemassistemas sãosão cinematicamentecinematicamente correspondentescorrespondentes
tempos correspondentes
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Unic
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EQ
/EQ
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e T
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A semelhança geométrica é uma condição necessária, mas não suficiente
para haver semelhança cinemática dos escoamentos.
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Unic
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p/F
EQ
/EQ
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e I
Unic
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p/F
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/EQ
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enôm
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Então:
′ =′
v xdx
dt´′ =
′v y
d y′ =
′v z
dz
′=
′=
´= ⇒
′=
′=
′=
x
x
y
y
z
zL
dx
dx
dy
dy
dz
dzL
v dx
dt= v dy
dt= v dz
dt= ′ = =t
t
′dt
dtλ λzyx
dt´ dt´
Unic
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e I
Logo: ou
fatorfator dede escalaescala dede velocidadevelocidade
′=
′=
′=
v x v y
v
v zv
L
λvx y z
(x ' , y' , z' , t' ) = L
λV (x, y, z, t)V
fatorfator de de escalaescala de de aceleraçãoaceleraçãoa(x ' , y' , z' , t' ) = L
λ2
a (x, y, z, t) 12
Unic
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Similaridade Dinâmica
* Esta existe, quando sobre volumes correspondentes, atuam forças em direções
correspondentes e módulos proporcionais.
Homogeneidade adimensional uma dada equação que descreve
um dado escoamento
Unic
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EQ
/EQ
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e I
razão entre um e outro termo da equação
seja necessariamente adimensional
cada termo da equação tenha a mesma unidade
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Unic
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/EQ
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Exemplo clássico
cada um dos termos tem um
significado físico
Conhecendo o significado físico de cada um dos termos da equação
interpretação física para os parâmetros adimensionais formados
Equação de Navier-Stokes
DVDt
= g - ∇p
ρ+ ν ∇
2V
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e I
significado físicoDVDt
= g - ∇ρ
+ ν ∇ V
g forçaforça gravitacionalgravitacional, g, g
∇p forçaforça de de pressãopressão, p/, p/ρ L
forçasforças viscosasviscosas, , ν v
L2
forçaforça de de aceleraçãoaceleração ouou de de inérciainércia, v /L2DVDt
= V
t+ vx
V
x+ vy
V
y+ vz
V
z∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
14
v2r∇ν
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
A razão entre dois desses grupos quaisquer será adimensional
Dividido cada um dos termos do
lado direito da equação de N-S
Parâmetros ou grupos adimensionais – análise de escoamento de fluidos
Grupo Razão de forçasrepresentativas
Nome Símbolo
Número de
Reynolds
Re
µ
ρvL viscosaForça
inércia de Força
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e I
pela força de inércia
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Número de
Froude
Fr
Número de
Euler
Eu
gL
v2
nalgravitacio Força
inércia de Força
inércia de Força
pressão de Força
2vp
ρ
Re p/ tubo, o comprimento significativo é o diâmetro
Unic
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p/F
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
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e I
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Se em sistemas geometricamente semelhantes, os números adimensionais
(Fr, Eu, Re) forem iguais
os sistemas são dinamicamente semelhantes
Razão das forças
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p/F
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e I
Estendível ao sistema real
* Similaridade dinâmica é um requisito fundamental para o scale-up
Ex.: Frp = Fr mRep = Re m
17Protótipo – escala anterior a industrial
Modelo – padrão (bancada, laboratório)
Unic
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Exercício 1:
Petróleo a 30°C escoa através de um oleoduto de 0,75m de
diâmetro interno com uma velocidade média de 2,5m/s.
Com que velocidade deve a água (ν = 8 10-7 m2/s) escoar no
interior de uma tubulação com 0,075m de diâmetro interno,
Unic
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p/F
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enos d
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e I
interior de uma tubulação com 0,075m de diâmetro interno,
para que os escoamentos sejam semelhantes. Considere
νpetróleo= 6 10-6 m2/s.
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Método de Buckingham (Π )
Numa situação na qual não há uma equação diferencial que
descreva o sistema
análise dimensional (importante)
Procedimento generalizado
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e I
listar as variáveis significativas
do problema
Procedimento generalizado
Método de Buckingham (Π)
determinar o número de
parâmetros adimensionais
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Unic
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ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Etapas para aplicação da análise dimensional
1. Escolher as variáveis que intervêm no fenômeno. Isto requer um certo
conhecimento do mesmo
2. Escrever a relação funcional, como por exemplo, F (v, D, ρ, µ ,H) = 0
3. Determinar o número de grupos adimensionais, na forma:
Unic
am
p/F
EQ
/EQ
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e T
ransport
e I
3. Determinar o número de grupos adimensionais, na forma:
i = n - k
onde : i = número de grupos adimensionais
n = número de variáveis envolvidas
k = número de dimensões do problema
20
Pro
fa.
Kat
ia T
anno
us
4. Selecionar as grandezas da base
* NãoNão escolhaescolha aa grandezagrandeza dependentedependente parapara formarformar aa basebase. As variáveis devem
contêm todas as dimensões envolvidas. Muitas vezes, escolhe-se condições
cinemáticas, uma variável ligada às forças ou massa do sistema, por exemplo: D,
v, ρ.
OBS: deve-se escolher a maior matriz quadrática, onde obtém-se o maior determinante
não nulo. A matriz dimensional é simplesmente a matriz formada pelos expoentes das
dimensões fundamentais M, L e T que aparecem em cada variável envolvida
Unic
amp
/FE
Q/E
Q5
41
Fen
ôm
eno
s d
e T
ransp
ort
e I
-P
rofa
. K
atia
Tan
no
us
dimensões fundamentais M, L e T que aparecem em cada variável envolvida
21
Π1 = v a Db ρc µd = (LT-1)a (L)b (ML-3)c ML-1 T -1
(grupo independente)
5. Escrever os parâmetros Π em termos dos expoentes
Pro
fa.
Kat
ia T
anno
us
6. Para cada parâmetro Π, escrever as equações lineares de modo que a soma dos
expoentes de cada dimensão seja nula
M0 L0T 0 = 1 = ( Lt -1)a (L)b (ML-3)c ML-1 T-1 (grupo dimensional)
7. Resolver os sistemas de equações lineares.
8. Substituir os expoentes nas expressões do item 5 para obter os parâmetros
adimensionais
Unic
amp
/FE
Q/E
Q5
41
Fen
ôm
eno
s d
e T
ransp
ort
e I
-P
rofa
. K
atia
Tan
no
us
22
9. Estabelecer a relação funcional
φ1 (Π1, Π2 , Π3, ...., Π n-k ) = 0
10. Se for o caso, combinar os parâmetros Π para alterar suas formas,
mantendo inalterado o número de adimensionais independentes
Π2 = f (Π1, Π3, ..., Πn-k )
DIMENSÕES DE ALGUMAS GRANDEZAS
Unic
am
p/F
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enôm
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Pro
fa. K
atia T
annous
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e I
Unic
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ransport
e I -
Pro
fa. K
atia T
annous
Métodos dos Mínimos Quadrados
Os dados obtidos experimentalmente podem visar o dimensionamento de unidades
maiores ou podem ser utilizados para a compreensão de fenômenos ou
comportamento que ocorrem em dada situação.
Nestes dois últimos casos é interessante obter uma equação que relacione os dados
experimentais, de modo a evitar a apresentação dos resultados somente através de
Tabelas.
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Tabelas.
Para o ajuste de curvas, ou seja, funções a partir de dados experimentais existem
vários métodos numéricos, dos quais a mais simples é o método dos mínimos
quadrados.
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e I -
Pro
fa. K
atia T
annousConsidere as seguinte propriedades do fluido (ρ, γ, µ, σ, E), as características
cinemáticas e dinâmicas dos escoamentos (v, ∆p) e características geométricas
e dinâmicas do escoamento (L1,L2,L3 ou diâmetro).
Encontrar os seguintes números adimensionais, que são frequentes na mecânica
Exemplo 2:
Unic
am
p/F
EQ
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enôm
enos d
e T
ransport
e I
Encontrar os seguintes números adimensionais, que são frequentes na mecânica
de fluidos: Froude, Reynolds, Cauchy (ou Mach), Weber, Euler, fatores
geométricos.
Defina as forças envolvidas em cada um destes números.
25
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