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11. Circuitos de corrente alternada

No fim da dcada de 1880 viveu-se nos Estados Unidos da Amrica um perodo conhecidocomo a Guerra das Correntes. Nessa poca j existia uma rede eltrica pblica, usadaprincipalmente para alimentar lmpadas incandescentes e motores eltricos. A exploraodessa rede eltrica revertia grandes benefcios a Thomas A. Edison que tinha obtidovrias patentes pela inveno da lmpada e de vrios dispositivos para gerar correntecontnua. Outras pessoas tentaram entrar nesse novo negcio milionrio com as suasinovaes; George Westinghouse, que j tinha tido sucesso comercial com as suas prpriaspatentes, contratou Nicola Tesla, um cientista brilhante, imigrante da Crocia. Tesla obteveuma patente pelo dispositivo esquematizado acima, utilizado para produzir e distribuircorrente alternada. A guerra das correntes acabaria por ser ganha pelo sistema de correntealternada de Tesla e Westinghouse; uma das principais vantagens sobre o sistema decorrente contnua de Edison a facilidade de poder aumentar ou diminuir a tenso pormeio de transformadores.

As perdas de energia na transmisso de corrente em grandes distncias so tanto menoresquanto maior for a tenso usada. Usa-se alta tenso para transportar a corrente desde scentrais eltricas at as localidades onde consumida e a tenso reduzida antes de serdisponibilizada para consumo domstico, de modo a reduzir os riscos de segurana.

170 Circuitos de corrente alternada

11.1. Circuito LC

No circuito do lado esquerdo da figura 11.1, o interruptor S1 est fechado (h muito tempo)e o interruptor S2 aberto. Num instante, t = 0, abre-se o interruptor S1 e, simultaneamente,fecha-se o interruptor S2. Assim, para t 0 o circuito equivalente o representado no ladodireito da figura 11.1, denominado circuito LC.

S1

S2 C

L

R

C

L

Figura 11.1.: Circuito LC, em t < 0 (lado esquerdo) e circuito equivalente para t 0 (ladodireito) em que S1 est aberto e S2 fechado.

A impedncia do condensador 1/(C s) e a do indutor Ls. A lei de Ohm generalizada,V = Z I deixa de ser vlida para o indutor, porque no instante t = 0 a corrente que opercorre no nula. Lembrando que a lei de Ohm foi obtida transformando a expressopara os indutores:

V = Ld Id t

(11.1)

conclui-se que, para os indutores, a relao mais geral entre as transformadas da tenso eda corrente

V = L(s I I0

)(11.2)

Com o condensador no h problema, porque neste caso se admite que a sua cargainicial nula, pelo que a transformada da tenso nas armaduras Z I = I/(C s). Outradiferena em relao aos circuitos estudados anteriormente que, quando no h fontes,os condensadores e os indutores deixam de ser elementos passivos que respondem smudanas na fonte; neste exemplo, em cada instante um dos elementos passivo (perdeenergia) e o outro ativo (absorve energia). Consequentemente, as tenses no condensadore no indutor so iguais em valor absoluto, mas com sinais opostos e a equao do circuito:

L(s I I0

)=

IC s

= s2 I s I0 = ILC (11.3)

Esta equao algbrica a transformada de Laplace da equao diferencial do circuito:

I = ILC

(11.4)

11.2 Funes sinusoidais 171

que a equao de um oscilador harmnico simples, estudado no livro de Dinmica eSistemas Dinmicos[14] (seces 5.3 e 9.5). A matriz jacobiana dessa equao linear temdois valores prprios imaginrios i1/(LC) e a soluo da equao

I(t) = I0 cos( t) (11.5)

em que a frequncia angular do circuito,

=1LC

(11.6)

A carga no condensador, em funo do tempo,

Q(t) =CV =C L d Id t

=I0

sin( t) (11.7)

e como tal, a corrente e a carga oscilam com frequncia f = /(2pi), desfasadas 180, deforma que quando uma delas nula, a outra tem o seu valor absoluto mximo (figura 11.2).

t

I0

I0

Qmx

Qmx

I

Q

Figura 11.2.: Corrente e carga no circuito LC (Qmx = I0/).

A corrente (11.5) chama-se corrente alternada e a carga (11.7) uma carga alternada.No captulo sobre induo eletromagntica tambm se estudou um gerador que produztenso alternada (equao (9.10)). Em geral, uma funo alternada uma funo peridicacom valor mdio igual a zero; a carga e a corrente no circuito LC, assim como a tenso dogerador de tenso alternada, so 3 exemplos particulares em que a funo alternada oseno ou cosseno.

11.2. Funes sinusoidais

Uma funo sinusoidal F(t) uma funo alternada que oscila entre dois valores Fmxe Fmx e tem a mesma forma da funo seno ou cosseno, como mostra a figura 11.3. Bastasaber os valores das 3 distncias T , Fmx e tmx referidas na figura, para caraterizar cadauma dessas funes.

O intervalo T entre dois mximos ou dois mnimos sucessivos o perodo da funo e oseu inverso, f = 1/T , a frequncia.

172 Circuitos de corrente alternada

t

F

T

Fmx

tmx

Figura 11.3.: Funo sinusoidal com perodo T e valor mximo Fmx.

Designando por tmx o valor absoluto da coordenada t onde a funo atinge o seu valormximo Fmx, pela ltima vez antes de t = 0, define-se a fase da funo como:

= 2pi(tmx

T

)(11.8)

Uma funo sinusoidal tambm pode ser caraterizada pelo seu valor mximo Fmx (tambmchamado amplitude), a sua fase e a sua frequncia angular: , definida por:

=2piT

(11.9)

Assim sendo, as funes sinusoidais tm todas a forma geral:

F(t) = Fmx cos( t+) (11.10)

Note-se que possvel representar a mesma funo de vrias formas. Pode-se substituir ocosseno por seno e subtrair pi/2 fase, sem alterar o resultado. Pode-se tambm inverter ossinais da frequncia angular e da fase, simultaneamente, e ainda somar ou subtrair qualquermltiplo de 2pi fase. No entanto, para facilitar a identificao vista, utilizam-se apenasa funo cosseno, frequncias angulares positivas e fases no intervalo [0,2pi[. Essas 3escolhas so arbitrrias, mas so habituais.

Duas funes sinusoidais que no tenham o mesmo valor mximo, fase e frequncia angular,so necessariamente diferentes. E duas funes sinusoidais com a mesma frequnciaangular tero, necessariamente, a mesma frequncia e o mesmo perodo.

11.3. Fasores

As funes sinusoidais com a forma (11.10) podem ainda ser escritas usando a frmula deEuler e a funo Re(z) que extrai a parte real de um nmero complexo z:

Fmx cos( t+) = Re(

Fmx ei( t+))= Re

(Fmx ei ei t

)(11.11)

11.3 Fasores 173

Esta forma facilita a identificao de uma propriedade importante na soma de duas funessinusoidais com diferentes valores mximos e fases, mas com a mesma frequncia:

Re(

Fmx ei ei t)+Re

(Gmxei ei t

)= Re

(Fmx ei ei t +Gmx ei ei t

)= Re

((Fmx ei +Gmx ei

)ei t

)(11.12)

Nomeadamente, a soma de duas funes sinusoidais com a mesma frequncia tambmuma funo sinusoidal com a mesma frequncia.

Quando se trabalha com vrias funes sinusoidais, todas com a mesma frequncia, pode-seadmitir implicitamente a funo Re() e a parte que depende do tempo, ei t , representandocada funo pelos nmeros complexos que multiplicam essa exponencial:

F= Fmx ei , G= Gmx ei , H= Hmx ei . . . (11.13)

Essas expresses complexas que definem o valor mximo e a fase das funes sinusoidaisso denominadas fasores. Adoptaram-se letras especiais para lembrar que essas expressespodem ser somadas mas no multiplicadas como nmeros complexos ordinrios, j querepresentam s uma parte da expresso completa da funo.

O fasor correspondente soma de duas funes sinusoidais de igual frequncia a somados fasores das duas funes, como foi demonstrado na equao (11.12). No entanto,o fasor do produto de duas funes sinusoidais de igual frequncia no existe, j que oresultado no outra funo sinusoidal.

Outra forma til de representar os fasores consiste em escrever o seu valor mximo e afase separados pelo smbolo de ngulo: F= Fmx . tambm til a representao grfica, em que o fasor uma seta no plano complexo (verfigura 11.4). Podem-se imaginar essa seta a rodar, no sentido anti-horrio, com velocidadeangular ; o resultado de multiplicar por ei t e obter a parte real, corresponde no grficoa projetar a seta no eixo real. Como tal, a projeo no eixo real do fasor no grafico 11.4indica o valor da respetiva funo sinusoidal em t = 0 e enquanto a seta roda para t > 0, aessa projeo indica a variao da funo em ordem ao tempo.

Real

Imag.

Fmx cos()

Fmx sin()Fmx

Figura 11.4.: Representao grfica de um fasor F.

174 Circuitos de corrente alternada

Exemplo 11.1Num n num circuito de corrente alternada entram duas correntes e saem outras duascorrentes. Sabendo que as expresses das correntes que entram so

2 sin( t+pi/4)

e 2

2 cos( t + pi/4), e uma das correntes que sai (33) cos( t), calcule aoutra corrente que sai, indicando o seu valor mximo e a sua fase.

Resoluo. Em termos matemticos, o que est a ser pedido o clculo de

2 sin( t+pi/4)+2

2 cos( t+pi/4) (3

3) cos()

de forma a obter uma nica funo cosseno.

Comeando por escrever os fasores das 3 correntes, no caso da primeira corrente neces-srio subtrair pi/2 fase, para substituir o seno por cosseno. O fasor da quarta corrente asoma dos dois primeiros fasores, subtrado do terceiro:

I4 = I1+ I2 I3 =(

2 pi/4)+(

2

2 pi/4)(

3

3 0)

Em seguida, calculam-se as partes real e imaginria de cada fasor, tarefa que facilitadausando a representao grfica (lado esquerdo na figura 11.5).

Real

Imag.

II1

II2

II3Real

Imag.

2 2

2 II1II2

II3II4

Figura 11.5.: Soma de fasores.

Assim, o fasor da quarta corrente :

I4 = (1 i)+(2+ i2) (3

3) =

3+ i

O valor mximo desse fasor a hipotenusa do tringulo retngulo com catetos de

3 e 1unidades, nomeadamente Imx = 2. A fase o ngulo oposto ao cateto de comprimento 1nesse tringulo retngulo, = arctan(1/

3) = pi/6. O resultado obtido :

I4(t) =

2 sin( t+pi/4)+2

2 cos( t+pi/4) (3

3) cos() = 2 cos( t+pi/6)

Embora os fasores no sejam verdadeiros vetores, somam-se exatamente como se fossemvetores, somando coordenadas, ou geometricamente, como no lado direito da figura 11.5.

11.4 Tenso alternada 175

11.4. Tenso alternada

Uma tenso alternada um sinal sinusoidal dado por:

V =Vmx cos( t+) (11.14)

Nos diagramas de circuito, uma fonte ideal de tenso alternada representa-se pelo smboloindicado na figura 11.6. Junto do smbolo indica-se a tenso mxima e pode tambmindicar-se a frequncia ou a fase. Os valores apresentados na figura so os que esto emuso na rede eltrica pblica da Unio Europeia: frequncia f de 50 Hz e tenso mxima de325 V.

325 V, 50 Hz 325 0 +

325 0

Figura 11.6.: Trs formas de representar fonte ideal de tenso alternada com tensomxima de 325 V e frequncia de 50 Hz.

O instante t = 0 pode ser escolhido de forma a fazer com que a fase da tenso seja nula.Se se especifica um valor da fase no diagrama, importante indicar qual a diferena depotencial que o fasor representa: a diferena entre o potencial do terminal identificadocom o sinal + e o potencial do terminal com o sinal . Observe-se que essa diferena depotencial muda de sinal periodicamente e em alguns intervalos o potencial no terminal passa a ser maior do que no terminal +. Por vezes utiliza-se tambm uma ligao e,nesse caso, no necessrio indicar sinais e admite-se que o fasor da tenso representa adiferena de potencial entre o terminal que no est ligado terra e a terra.

11.5. Impedncia complexa

Se todas as fontes de tenso num circuito forem fontes de tenso alternada com a mesmafrequncia, em qualquer parte do circuito a tenso tambm alternada, com a mesmafrequncia, j que a regra das malhas garante que a tenso igual soma das outras tensesna mesma malha, com sinal oposto e conclui-se que se a tenso em algum segmento damalha sinusoidal, a tenso em qualquer outro segmento tambm ser sinusoidal e com amesma frequncia.

No captulo anterior deduziu-se a lei de Ohm generalizada para as transformadas deLaplace da tenso e da corrente (equao (10.28)):

V (s) = Z(s) I(s) (11.15)

176 Circuitos de corrente alternada

Como V uma funo sinusoidal, a sua transformada de Laplace (ver apndice A):

V (s) =V

s i (11.16)

e, portanto,

I(s) =V

(s i)Z(s) (11.17)

Admitindo que Z(i) no igual a zero, a expanso em fraes parciais da expresso nosegundo membro deve incluir um termo com denominador (s i)

I(s) =I

s i + Itrans(s) (11.18)

em que o termo Itrans a corrente transitria, que no tem nenhum fator (s i) nodenominador.

Substituindo essa expresso e a transformada da tenso na lei de Ohm generalizada,obtm-se:

Vs i = Z(s)

(I

s i + Itransit.)

(11.19)

Multiplicando ambos os membros da equao por (s i) e substituindo s por i obtm-se:

V= Z(i)I (11.20)

Isto , os fasores da tenso e da corrente tambm verificam a lei de Ohm generalizada,com a frequncia real s substituda por uma frequncia imaginria i , o que conduz auma impedncia complexa Z(i). Alguns autores preferem chamar Z(i) simplesmenteimpedncia; tambm pode-se usar a notao Z(), em vez de Z(i), mas Z(i) mostraem forma explcita a sua relao com a impedncia generalizada Z(s).

A impedncia complexa Z(i) uma funo complexa que pode ser dividida nas suaspartes real e imaginria:

Z(i) = R()+ iX() (11.21)

sendo a funo real R() designada de resistncia e a funo real X() designada dereatncia. A resistncia sempre positiva, independentemente da frequncia angular ,enquanto que a reatncia pode ser positiva para algumas frequncias (reatncia indutiva)e negativa para outras frequncias (reatncia capacitiva).Para um determinado valor de , o mdulo |Z| e o argumento Z da impedncia complexaZ(i) podem ser calculados usando a representao grfica de R+ iX no plano complexo,obtendo-se o tringulo de impedncia apresentado na figura 11.7. Como R no pode tervalores negativos, o ngulo Z situa-se sempre entre pi/2 e pi/2 radianos.Note-se que a impedncia complexa Z(i) no um fasor mas sim um nmero complexoordinrio, que pode ser multiplicada e somada a outras impedncias usando as regras do

11.5 Impedncia complexa 177

Re(Z)

Im(Z)

R

X|Z|

Figura 11.7.: Tringulo de impedncia, com a resistncia R e a reatncia X nos catetos.

produto e a adio de nmeros complexos. Tambm se pode multiplicar ou dividir umfasor por vrias impedncias e o resultado outro fasor com a mesma frequncia.

Se os fasores da tenso e da corrente forem VmxV e ImxI , a lei de Ohm para fasores(equao (11.20)) resulta em:

VmxV = (|Z| Imx)(Z +I) (11.22)podendo-se portanto separar a equao complexa (11.20) em duas equaes reais:

Vmx = |Z| Imx V = Z +I (11.23)

Resistncias

Numa resistncia, a impedncia generalizada independente da frequncia e igual a R;como tal, o mdulo da impedncia complexa |Z|= R e o seu argumento nulo Z = 0.As equaes (11.23) indicam que as fases de V e I so iguais e os seus valores mximosverificam a relao,

Vmx = RImx (11.24)

O lado esquerdo da figura 11.8 mostra os fasores da tenso e da corrente na resistncia;imaginando esses dois fasores a rodar no sentido anti-horrio, com a mesma velocidadeangular, as suas projees no eixo real (tenso e corrente em funo do tempo) so comoindicado no lado direito da figura. Diz-se que a tenso e a corrente esto em fase: osdois fasores tm a mesma direo e sentido, de forma que ambas as funes atingem osrespetivos valores mximo e mnimo em simultneo.

Re

Im

IIVV

t

Vmx

Vmx

Imx

Imx

V

I

Figura 11.8.: Fasores da tenso e da corrente numa resistncia.

178 Circuitos de corrente alternada

Condensadores

Nos condensadores, a impedncia generalizada 1/(C s) e a impedncia complexa ento:

Z(i) =1

iC=

1C

pi2

(11.25)

Em particular, a reatncia de um condensador negativa e inversamente proporcional frequncia angular,

XC = 1C (11.26)sendo a sua resistncia nula.

Aplicando as equaes (11.23) obtm-se

I=VmxC(V +pi/2)

e a fase da corrente pi/2 maior que a da tenso. Na representao grfica dos fasores (ladoesquerdo da figura 11.9) o fasor da corrente perpendicular ao da tenso e est adiantado(no sentido em que rodam). Imaginando os fasores a rodar no sentido anti-horrio asprojees no eixo real conduzem aos grficos representados no lado direito da figura. Oadiantamento em pi/2 do fasor da corrente traduz-se no facto de I(t) atingir os seus valoresmximos e mnimos sempre antes do que acontece a V (t) e nos instantes em que a tensoou a corrente atingem o seu valor mximo ou mnimo, a outra funo nula nesse instante.

Re

Im

IIVV

t

Vmx

Vmx

Imx

Imx

V

I

Figura 11.9.: Fasores da tenso e da corrente num condensador.

Indutores

Nos indutores a impedncia generalizada Ls, sendo a impedncia complexa:

Z(i) = i L = Lpi/2 (11.27)

A reatncia de um indutor positiva e diretamente proporcional frequncia angular:

XL = L (11.28)

11.5 Impedncia complexa 179

sendo a sua resistncia nula.

Pelas equaes (11.23) conclui-se que a fase da corrente pi/2 menor que a da tenso.Na representao grfica dos fasores (lado esquerdo da figura 11.10) o fasor da corrente perpendicular ao da tenso e est atrasado (no sentido da sua rotao). As projeesno eixo real quando os fasores rodam no sentido anti-horrio conduzem s duas funesrepresentadas no lado direito da figura. O atraso em pi/2 do fasor da corrente traduz-seem I(t) atingir os seus valores mximos e mnimos sempre a seguir a V (t) e, tal como noscondensadores, nos instantes em que a tenso ou a corrente atingem o seu valor mximoou mnimo, a outra funo nula nesse instante.

Re

Im

II

VV

t

Vmx

Vmx

Imx

Imx

V

I

Figura 11.10.: Fasores da tenso e da corrente num indutor.

Exemplo 11.2Cacule a tenso e corrente instantneas em todos os elementos do circuito representadono diagrama.

325 V, 50 Hz

3.6 F

2.5 k 7.2 H

Resoluo. Este o circuito analisado no exemplo 10.3 do captulo anterior. Usando omesmo sistema de unidades tem-se: impedncia em k, capacidade em F, indutnciaem H, tempo em ms, frequncia em kHz, tenso em V e corrente em mA. A frequnciaangular da fonte : = 2pi50 Hz, mas como deve ser convertida para kHz, tem ovalor pi/10.A impedncia da resistncia 2.5, a do condensador 10/(3.6pi) pi/2= 0.884 pi/2e a do indutor 7.2pi/10pi/2 = 2.26pi/2. Como a resistncia est em srie com oindutor, podem ser substitudos por um nico elemento com impedncia igual soma dasimpedncias:

180 Circuitos de corrente alternada0.884 pi/2

2.5 0 2.26 pi/2

0.884 pi/2

3.37 0.735

Como os dois elementos no circuito simplificado esto em paralelo, o fasor da tenso o mesmo para os dois e igual ao fasor da fonte: 3250. Dividindo esse fasor pelasimpedncias dos dois elementos calculam-se as correntes correspondentes. Em seguida,multiplicando o fasor da segunda corrente pelas impedncias da resistncia e do indutor,calculam-se os fasores das tenses:

+

368 pi/2

96.4 0.735

+

241 0.735 218 0.835+ +

A partir dos fasores podem-se exprimir as tenses e correntes instantneas:

condensador: V = 325 cos(0.1pi t) I = 368 cos(0.1pi t+pi/2)resistncia: V = 241 cos(0.1pi t0.735) I = 96.4 cos(0.1pi t0.735)indutor: V = 218 cos(0.1pi t+0.835) I = 96.4 cos(0.1pi t0.735)

Interessa mostrar a resoluo deste exemplo usando o Maxima. As impedncias docondensador, resistncia e indutor representam-se por z1, z2 e z3, respetivamente e z4representa a impedncia da associao em srie da resistncia com o indutor em srie. Paraobter maior preciso numrica, escrevem-se os valores dados no enunciado na forma denmeros racionais:(%i1) s: %i*%pi/10$(%i2) z1: 10/36/s$(%i3) z2: 5/2$(%i4) z3: 72*s/10$(%i5) z4: z2 + z3$

Os fasores da tenso e a corrente no condensador so:(%i6) V1: 325$(%i7) I1: V1/z1$

11.6 Potncia nos circuitos de corrente alternada 181

A corrente mxima e a fase so o mdulo e o argumento do nmero complexo I1, que noMaxima so obtidos com as funes cabs e carg:(%i8) float(cabs(I1));(%o8) 367.5663404700058(%i9) carg(I1);

%pi(%o9) ---

2

Os fasores da corrente e as tenses na resistncia e no indutor so:(%i10) I4: V1/z4$(%i11) float(cabs(I4));(%o11) 96.39884655483593(%i12) float(carg(I4));(%o12) - .7354489942158552(%i13) V2: I4*z2$(%i14) float(cabs(V2));(%o14) 240.9971163870898(%i15) float(carg(V2));(%o15) - .7354489942158552(%i16) V3: I4*z3$(%i17) float(cabs(V3));(%o17) 218.0490538688657(%i18) float(carg(V3));(%o18) .8353473325790414

11.6. Potncia nos circuitos de corrente alternada

Em qualquer ponto de um circuito de corrente alternada, a corrente uma funo sinusoidal;em cada perodo de oscilao, a mudana de sinal da funo sinusoidal indica que o sentidoda corrente muda. O integral da funo, em cada perodo nulo, o quer dizer que a cargatotal transferida nula; durante metade do perodo h transporte de carga num sentido e nomeio perodo seguinte a mesma carga transportada no sentido oposto.

No h transferncia efetiva de carga nos circuitos de corrente alternada. As cargas deconduo simplesmente oscilam volta de uma posio de equilbrio. Apesar de no havertransferncia efetiva de cargas, h dissipao efetiva de energia eltrica, pois a oscilao dascargas contrariada pela resistncia dos condutores e h efeito Joule, independentementedo sentido da corrente.

Em qualquer dispositivo passivo num circuito com fonte de tenso alternada, a tenso ea corrente so funes sinusoidais com a mesma frequncia da fonte, aps uma possvelresposta transitria inicial:

V (t) =Vmx cos( t+V ) I(t) = Imx cos( t+I) (11.29)

182 Circuitos de corrente alternada

A potncia instantnea, P(t), a potncia no dispositivo em qualquer instante t

P(t) =V (t) I(t) =Vmx Imx cos( t+V ) cos( t+I) (11.30)

Usando uma relao trigonomtrica para o produto de dois cossenos e o facto de ser(V I) = Z (equao (11.23)), conclui-se que a expresso anterior equivalente a:

P(t) =12

Vmx Imx [cos(2 t+V +I)+ cos(Z)] (11.31)

Note-se que o primeiro cosseno dentro dos parntesis retos em (11.31) uma funosinusoidal, com frequncia igual ao dobro da frequncia da fonte, enquanto o segundocosseno uma funo constante. Ou seja, o produto das duas funes sinusoidais (V e I)com a mesma frequncia no conduz outra funo sinusoidal com a mesma frequncia,mas a uma funo sinusoidal com o dobro da frequncia, deslocada no eixo das ordenadas.

A potncia instantnea (11.31) pode ser positiva ou negativa em alguns intervalos e nula emalguns instantes, dependendo do valor da constante cos(Z), chamada fator de potncia.Como Z est entre pi/2 e pi/2, o fator de potncia situa-se entre 0 e 1.Se a reatncia for nula (dispositivo resistivo) o argumento da impedncia (Z) nulo, ofator de potncia igual a 1 e a potncia instantnea sempre positiva, indicando que odispositivo est sempre a dissipar energia. J se a resistncia for nula (dispositivo reativo),o argumento da impedncia pi/2, o fator de potncia nulo e os intervalos em que apotncia instantnea positiva (dissipao de energia) so do mesmo comprimento que osintervalos em que negativa (fornecimento de energia); a potncia mdia nula.

No caso geral, em que o fator de potncia maior que 0 e menor que 1, os intervalosem que h dissipao de energia so mais compridos do que os intervalos em que hfornecimento de energia e, em mdia, o circuito dissipa energia.

O valor mdio da potncia, P, calcula-se integrando a funo (11.31) durante um perodo edividindo pelo valor do perodo. O integral do primeiro termo nulo, durante um perodo,enquanto que o valor mdio do termo constante igual a si prprio. Consequentemente, apotncia mdia :

P =12

Vmx Imx cosZ (11.32)

e tem valor positivo ou nulo, indicando que, em mdia o dispositivo passivo no podefornecer energia.

tambm habitual definir a tenso eficaz e a corrente eficaz:

Vef =Vmx

2Ief =

Imx2

(11.33)

e como tal, a potncia mdia igual ao produto da tenso e corrente eficazes e o fator depotncia:

P =Vef Ief cosz

11.7 Filtros de frequncia 183

A tenso mxima de 325 V usada na Unio Europeia corresponde a uma tenso eficaz de230 V. No continente americano usa-se tenso mxima de 170 V, a 60 Hz, que correspondea uma tenso eficaz de 120 V.

11.7. Filtros de frequncia

A equao (10.36), obtida no captulo anterior, vlida para qualquer sinal de entrada.Para um sinal de entrada Ve alternado, usando a expresso para a transformada de Laplacedas funes sinusoidais (apndice A) obtm-se,

V (s) =Ve H(s)s i (11.34)

Se H(i) tiver um valor finito, a expanso de V em fraes parciais conduz a

V (s) =V

s i +Vtrans(s) (11.35)

onde V um nmero complexo, que corresponde ao fasor da sada (aps a respostatransitria), e o termo Vtrans a transformada da tenso de resposta transitria, que no temo fator (s i) no denominador.Substituindo essa expanso na equao (11.34), obtm-se:

Vs i +Vtrans(s) =

Ve H(s)s i (11.36)

Multiplicando ambos os membros da equao por (s i) e substituindo s por i obtm-se:

V= R()Ve (11.37)

onde a funo complexa R() denominada resposta de frequncia:

R() = H(i) (11.38)

Assim, se a tenso de entrada for a tenso alternada Vmx cos( t+), a tenso de sada ,

V =Vmx |R()| cos( t++ arg(R())) (11.39)

onde |R()| e arg(R()) so o mdulo e o argumento da funo complexa R().Por exemplo, no caso do filtro passa-alto, mostrou-se no captulo anterior que a funo detransferncia (equao (10.38)):

H(s) =tC s

tC s+1(11.40)

184 Circuitos de corrente alternada

A funo de resposta de frequncia ento:

R() =i tC

1+ i tC(11.41)

e o mdulo e o argumento so:

|R()|= tC1+(tC)2

arg(R()) =pi2 arctan(tC) (11.42)

A figura 11.11 mostra a funo resposta de frequncia para um filtro passa-alto comfrequncia angular de corte (1/tC) igual a 0.5. Note-se que quando c = 1/tC, R temmdulo 1/

2 = 0.707 e argumento igual a pi/4.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10

|R(W)

|

W

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 2 4 6 8 10

arg

R(W

)

W

Figura 11.11.: Mdulo e argumento da funo resposta de frequncia de um filtro passa-alto com frequncia angular de corte c = 0.5.

Vrios filtros podem ser combinados, em forma sequencial, e a funo de resposta oproduto das funes de todos os filtros na sequncia. Por exemplo, o circuito na figura 11.12 a combinao de um filtro passa-alto, com frequncia angular de corte 1 = 1/(R1C1) eum filtro passa-baixo, com frequncia angular de corte 1/(R2C2).

A tenso entre os pontos A e B a sada do filtro passa-alto, que constitui a tensode entrada do filtro passa-baixo. Como tal, multiplicando as funes resposta do filtropassa-alto (equao (11.41)) e do filtro passa-baixo (problema 7 do captulo anterior)obtm-se:

R() =i tC1

(1+ i tC1 )(1+ i tC2 )(11.43)

onde as constantes de tempo so tC1 = R1C1 e tC2 = R2C2O filtro passa-alto atenua as frequncias angulares menores que 1 = 1/tC1 e o filtropassa-baixo atenua as frequncias maiores que 2 = 1/tC2 . Utilizando condensadores eresistncias com valores que verifiquem 1 < 2, o filtro atenuar as frequncias fora dabanda compreendida entre 1 e 2, deixando passar as frequncias angulares na banda[1,2]; esse tipo de filtro designado passa-banda. A figura 11.12 mostra o mdulo dafuno resposta de frequncia para o caso 1 = 2, 2 = 4.

11.8 Ressonncia 185

+

C2

C1

R1

R2

Ve+

V

A

B

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 2 4 6 8 10

|R(W)

|

W

Figura 11.12.: Filtro passa-banda e mdulo da sua funo de resposta de frequncia comfrequncias de corte de 2 e 4.

Um filtro ideal deveria ter uma funo de resposta nula, para as frequncias que se pretendeeliminar, e 1 nas outras frequncias. Com circuitos mais complicados conseguem-se obterfiltros com comportamento mais prximo do ideal. Outro fator a ter em conta a respostatransitria, que tem sido ignorada por ser nula aps algum tempo, ma num filtro de boaqualidade necessrio garantir que a resposta transitria desaparece o mais rapidamentepossvel.

11.8. Ressonncia

Nos circuitos com condensadores e indutores em srie, a reatncia equivalente X funocontnua da frequncia f . Quando f se aproxima de infinito, o limite da reatncia + equando f se aproxima de zero, o limite da reatncia . Nesses dois limites o mduloda impedncia equivalente +, que implica corrente nula no circuito.Existe uma frequncia intermdia, designada de frequncia de ressonncia, para a quala reatncia nula e o mdulo da impedncia mnimo; isso implica que o ngulo daimpedncia () nulo, o fator de potncia (cos) 1 e a corrente mxima e a potnciamdia atingem valores mximos em ordem a f . Ou seja, quando a frequncia da fonte igual frequncia de ressonncia do circuito, a tenso e a corrente oscilam em fase ediz-se que o circuito est em ressonncia com a fonte. A frequncia (ou frequncias) deressonncia um valor caraterstico de cada circuito. Nos circuitos em que os indutorese condensadores no esto em srie, a frequncia de ressonncia a que produz o valormximo possvel para Imx e nessas condies a reatncia no necessariamente nula nemo fator de potncia igual a 1.

186 Circuitos de corrente alternada

Exemplo 11.3Calcule a frequncia de ressonncia do circuito e a potncia mdia mxima que podefornecer a este circuito uma fonte com tenso mxima Vmx.

2 pF

3 M

8 H

Ve

Resoluo. Com a resistncia em M e a capacidade em pF, convm usar s para aunidade de tempo e, portanto, MHz para a frequncia e H para a indutncia.

A impedncia total do circuito a soma das 3 impedncias:

Z = 3+ i8 i2

= 3+ i(

8 12

)Observe-se que a parte real da impedncia equivalente no depende da frequncia, porqueo condensador e o indutor esto em srie e, como tal, o valor mnimo do mdulo daimpedncia obtm-se quando a parte imaginria seja igual a zero:

8 12

= 0 = = 14

= f = 2pi

= 0.0398

No sistema de unidades utilizado, a frequncia de ressonncia f = 0.0398 MHz =39.8 kHz.

Se a fonte tivesse essa frequncia, a impedncia equivalente seria real, Z = 3 M, e acorrente mxima teria o valor Imx =Vmx/3 (A, se Vmx estiver em volts). A potnciamdia mxima P =Vmx Imx/2 =V 2mx/6 (W, se Vmx estiver em volts).

No circuito do exemplo anterior, a tenso de entrada carrega e descarrega o condensador.Inicialmente, a carga no condensador oscila com a frequncia de oscilao da tensona fonte; mas quando a carga no condensador elevada, a diferena de potencial docondensador pode contrariar a tenso da fonte, impedindo a entrada de mais carga.

A situao semelhante a uma massa pendurada de uma mola elstica, na qual atua outrafora externa que tenta manter a massa oscilando para cima e para baixo. Se a fora externano oscila com a uma frequncia igual frequncia prpria de oscilao da mola elstica,h momentos em que a fora externa est a tentar fazer subir a massa, enquanto a molaelstica faz fora no sentido oposto.

No caso do circuito, se a fonte no existisse mas o condensador tivesse uma carga inicial,comearia a descarregar, produzindo corrente. No momento em que o condensador

11.8 Ressonncia 187

descarrega completamente, o indutor faz com que a corrente persista por alguns instantes,recarregando o condensador com cargas de sinais opostos carga inicial. O ciclo repete-se,com uma frequncia prpria do circuito. No entanto, a resistncia faz com que a cargado condensador seja menor em cada ciclo, at desaparecer (equilbrio estvel). Existeressonncia quando a fonte oscila com a frequncia prpria do circuito.

Se a resistncia fosse nula, quando a frequncia da fonte fosse a frequncia de ressonncia,Z seria nula e aparentemente Imx = Vmx/Z seria infinita. No entanto, a corrente noaumenta instantaneamente at esse valor, mas sim gradualmente, com as oscilaes dacarga no condensador. Quando essa carga mxima se torna muito elevada, h rutura dodieltrico no condensador ou a corrente elevada queima o indutor.

Perguntas

1. No circuito representado no diagrama,I1(t) = cos( t+2pi/3)I2(t) =

3 cos( t+pi/6)

Calcule I(t).I1

I2

I

A. 3 cos( tpi/2)B. 2 cos( tpi/3)C. 3 cos( t+pi/2)D.

3 cos( t+pi/2)E. 2 cos( t+pi/3)

2. Um condensador de 2.73 F e uma re-sistncia de 1166 esto ligados em s-rie a uma fonte de tenso alternada comfrequncia de 50 Hz e tenso mxima de325 V. Calcule a corrente eficaz na resis-tncia.

A. 247 mA

B. 139 mA

C. 99 mA

D. 212 mA

E. 170 mA

3. Um condensador de 2.73 F e uma resis-tncia de 1166 esto ligados em sriea uma fonte de tenso alternada de 50 Hz.Pode-se concluir ento que a tenso dafonte est:

A. Adiantada 90 em relao corrente.B. Adiantada 45 em relao corrente.C. Atrasada 90 em relao corrente.D. Atrasada 45 em relao corrente.E. Em fase com a corrente.

4. Qual das afirmaes seguintes verda-deira, em relao a uma bobina de 2 mHe um condensador de 5 pF?

A. O valor absoluto da reatncia da bo-bina menor.

B. O valor absoluto da reatncia do con-densador menor.

C. Se a corrente for contnua, o valorabsoluto da reatncia da bobina me-nor.

D. Se a corrente for contnua, o valor ab-soluto da reatncia do condensador menor.

E. Se a corrente for contnua, a reatnciados dois dispositivos nula.

188 Circuitos de corrente alternada

5. Num circuito RLC de corrente alternada,em srie, quando a reatncia equivalentefor nula, qual das seguintes afirmaes verdadeira:

A. A impedncia nula.

B. O fator de potncia nulo.

C. O ngulo de desfasamento nulo.

D. A corrente nula.

E. A tenso nula.

Problemas

1. A resistncia de uma bobina 150 e a sua indutncia 1.4 H. A bobina ligada rede eltrica com tenso mxima 325 V e frequncia de 50 Hz. Encontre a expressopara a corrente na bobina em funo do tempo t.

2. Uma bobina, com indutncia de 36 mH e resistncia de 40 , liga-se em paralelo comum condensador de 32 nF e com uma fonte de tenso alternada V (t) = 345cos(150pi t)(em volts, e o tempo t em segundos). Calcule: (a) A corrente mxima na bobina. (b) Acorrente eficaz no condensador. (c) A potncia mdia dissipada na bobina.

3. Demonstre que a transformada inversa da equao (11.3) conduz corrente alternadaindicada em 11.5

4. No problema 9 do captulo 9, calcule a frequncia do circuito e os valores mximos dacorrente e da carga.

5. Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tenso em todos oselementos do circuito.

3 k3 k

2 H

2 H

1 F

1 F

(a) (b)

170 V60 Hz

325 V50 Hz

6. A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequnciasangulares prximas de 1 kHz. (a)Calcule a funo de resposta R()do circuito. (b) Mostre que para = 1 kHz, R() igual a zero.(c) Calcule o mdulo de R() edesenhe o seu grfico para entre0 e 2 kHz.

+

Ve V1 k

10 F

100 mH

+

11.8 Ressonncia 189

7. Num segmento de um circuito de corrente alternada a tenso 24 cos(pi t/10+1.5) (emvolt, com t em milissegundos) e a corrente 8 cos(pi t/10+2.0) (A, com t em ms). (a)Calcule a resistncia e reatncia desse segmento. (b) O segmento do circuito avariou epretende-se substitu-lo com resistncias, condensadores ou indutores, mas o oramentos permite comprar dois dispositivos. Quais dispositivos deviam ser comprados, comque valores e como deviam ser ligados no circuito?

8. A figura mostra a tenso e a corrente numcondensador. A corrente produzida pelatenso: se no houver tenso eltrica, noh corrente. Como se explica ento que noinstante t = 0 a corrente seja diferente dezero, sendo a tenso nula?

t

Vmx

Vmx

Imx

Imx

V

I

9. A figura mostra o ecr de um oscilosc-pio onde aparecem a tenso e a correntenum elemento de um circuito. As distnciasL e d foram medidas diretamente no ecr,obtendo-se os valores L = 6 cm, d = 1 cm.O osciloscpio tambm permite determinarque a tenso mxima Vmx = 36 V e a cor-rente mxima Imx = 12 mA. Com essesdados, calcule a parte real e a parte imagin-ria da impedncia do elemento do circuito.

x

y

L

dVmx Imx

190 Circuitos de corrente alternada

Respostas

Perguntas: 1. E. 2. B. 3. D. 4. C. 5. C.Problemas

1. I(t) = 0.669 sin(314.16 t1.2421) A.2. (a) 7.94 A. (b) 3.68 mA (c) 1.261 kW.

3. A expresso para a transformada da corrente I =I0 s

s2+2= Re

(I0

s i)

, onde

=

1/(LC) e a transformada inversa a expresso (11.5).

4. f = 1.779 kHz, Imx = 20 mA, Qmx = 1.789 C.5. (a) Tenses em V, correntes em mA, tempo em ms.

condensador: V = 113 cos(0.378 t0.847) I = 42.5 cos(0.378 t+0.724)resistncia: V = 127 cos(0.378 t+0.724) I = 42.5 cos(0.378 t+0.724)indutor: V = 170 cos(0.378 t) I = 225 cos(0.378 tpi/2)

(b) Tenses em V, correntes em mA, tempo em ms.

condensador: V = 405 cos(0.314 t) I = 127 cos(0.314 t+pi/2)resistncia: V = 325 cos(0.314 t) I = 108 cos(0.314 t)indutor: V = 79.9 cos(0.314 t+pi) I = 127 cos(0.314 t+pi/2)

6. (a) R() =10210

10210 i

(c) |R()|= 10210

1004199 2+100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

|R(W)

|

W

7. (a) resistncia 2.63 M e reatncia 1.44 M. (b) Uma resistncia de 2.63 M e umcondensador de 2.21 nF, ligados em srie.

8. A tenso e corrente apresentadas no grfico apenas podero ter essas formas sinusoi-dais algum tempo aps ter sido ligada a fonte, quando a resposta transitria j tiverdesaparecido. Se a fonte de tenso fosse ligada apenas no instante t = 0, a corrente nopoderia ter nesse instante um valor diferente de zero; em vez da funo sinusoidal nogrfico, teramos uma funo que parte de zero e se aproxima gradualmente da funosinusoidal (resposta transitria mais resposta sinusoidal).

9. z = (1.5+ i2.598) k