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EELT

CURSO SECUNDÁRIO

Módulo 2

ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

Símbolos usados :

Problemas/Exercícios

Para resolver no caderno da disciplina

Informação Links da internet

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Módulo 2

Conteúdos

• Lei de Ohm generalizada

• Leis de Kirchoff para análise de circuitos com resistência

• Métodos de simplificação de circuitos

• Divisor de tensão e divisor de corrente.

• Teorema de Thevnin e teorema da sobreposição

Objectivosectivo(s)

-Analisar um circuito recorrendo à lei de Ohm generalizada, fazendo os cálculos necessários para

determinar as grandezas eléctricas essenciais.

- Determinar tensões e correntes num circuito recorrendo às leis de Kirchoff.

- Montar pequenos circuitos usando placas de ensaio ou Kits didácticos adequados.

- Dimensionar pequenos circuitos, atendendo às principais características tecnológicas dos

componentes a usar.

- Analisar as medidas efectuadas num circuito, no sentido de detectar algum tipo de anomalia.

- Estimar os valores a medir, usando os conhecimentos teóricos adquiridos.

- Enunciar e aplicar os teoremas de THEVENIN e de sobreposição.

ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE CONTÍNUA

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A lei de ohm generalizada aplica-se a circuitos em que existem simultaneamente forças electromotrizes (E ),

forças contra-electromorizes ( E´ ) e ainda receptores térmicos em série, constituindo um circuito com uma só

corrente.

Aplicando a lei de ohm ao circuito simples ao lado , com um

gerador de f.e.m. E e um receptor com f.c.e.m E´ , em que E é

maior que E´ :

Lei de ohm aplicada ao gerador : U = E – r . I

Lei de Ohm aplicada ao receptor: U = E´ + r´. I

Igualando os 2ºs membros das equações obtêm-se :

E - r . I = E´ + r´ . I → E – E´ = ( r´ + r ) I

𝐼 = 𝐸 − 𝐸´

𝑟 + 𝑟´

Expressão que permite calcular a intensidade num circuito em que existe um gerador e um receptor com f.c.e.m.

LEI DE OHM GENERALIZADA

Generalizando a expressão obtida anteriormente, para um circuito mais complexo :

- As f.e.m E somam-se entre si - As f.c.e.m. E´ somam-se entre si - As resistencias eléctricas somam-se entre si

A expressão para calcular a Intensidade de corrente I será :

𝐼 = (𝐸1 + 𝐸2) − (𝐸´1 + 𝐸´2)

𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟´1 + 𝑟´2 + 𝑅1 + 𝑅2

Para um circuito constituido por n forças electromotrices e n f.c.e.m , a lei de ohm generalizada será :

𝐼 = 𝐸 – 𝐸´

𝑅

𝐼 = 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝐸 − 𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝐸´

𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠

LEI DE OHM GENERALIZADA

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1- Sabendo que E1 = 15V , r1=0.1Ω , E2=11,5V e

r2=0.08Ω , responda :

a) Qual dos elementos E1 ou E2 é gerador ou

receptor

b) Sabendo que R = 0.6Ω , calcular :

- A intensidade I , indicada pelo amperímetro.

- Indique o sentido convencional da corrente

2- O circuito apresentado tem as seguintes características : E1=13V , r1=0.15Ω , E2=11.5V , r2=0.08Ω,

E3=12V, r3=0.09Ω , E4=12.5V , r4=0.1Ω , R1=0.3Ω , R2=0.2Ω.

a) Calcule o valor da intensidade no circuito.

b) Indique o sentido da corrente.

c) Indique quais os elementos que são geradores e quais os receptores.

d) Calcular as tensões entre A e B , B e C , C e D , D e A .

EXERCÍCIOS

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LEIS DE KIRCHHOFF

Malha 3

REDES ELÉCTRICAS . LEIS DE KIRCHHOFF

As redes eléctricas são circuitos mais complexos ,

aonde pode haver vários circuitos ligados entre si.

Uma rede é formada por :

NÓS - Pontos aonde três ou mais condutores se

ligam entre si . Nó A e Nó B no exemplo.

RAMOS – Trajectos das correntes entre dois nós. As linhas verde , azul e vermelha indicam os trajectos entre

os nós , o que implica haver 3 ramos . Como em cada ramo

circula uma corrente , vamos ter 3 correntes diferentes,

indicadas pelos amperímetros.

MALHAS – Malha é o trajecto fechado , constituido

por um ou mais ramos , que nos permite sair de

um ponto do circuito e chegar ao mesmo ponto.

Temos 3 malhas .

Malha 2

I2 I1

I3

𝐼𝑐 = 𝐼𝑑 ↔ 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 = 𝑰𝟑

1ª Lei - Lei dos Nós

A soma das correntes que convergem num nó é igual à

soma das correntes que dele divergem.

Malha

𝑬 = (𝑹 ∗ 𝑰)

2ª Lei – Lei das Malhas

Ao longo de uma malha , a soma algébrica das forças

electromotrizes, é igual á soma algébrica das quedas de

tensão.

Malha 1

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APLICAÇÃO DAS LEIS DE KIRCHHOFF

Determinação das correntes nos três ramos para o exemplo do circuito ao lado.

- Como há três correntes para determinar , há três incógnitas .

- Para calcular os valores das três incógnitas são necessárias

três equações do 1º grau .

Como conseguir as três equações ?

Regras :

1- Pela lei dos nós podemos obter , uma equação .

O número de equações possiveis por esta lei é igual ao número de Nós

existentes, menos um. 2-1= 1 .

- Pela lei das malhas obtemos as outras duas equações .

As malhas deverão conter pelo menos um ramo diferente entre si.

Malha

I

𝐸1 − 𝐸2 = 𝑅1 ∗ 𝐼 + 𝑅2 ∗ 𝐼

12 − 20 = 30 ∗ 𝐼 + 100 ∗ 𝐼

−8 = 130 ∗ 𝐼 ↔ 𝐼 = −8

130= − 0.062 𝐴

Aplicação da 2ª lei de Kirchhoff ( lei das malhas ) para

determinar a corrente I numa malha .

Proceder do seguinte modo :

1- Arbitrar o sentido positivo da corrente I e assinalá-lo com

uma seta .

2 - Arbitrar um sentido de circulação ao longo de cada

malha.

3- Assinalar com setas, os sentidos das f.e.m. (a seta

deve sempre apontar do (-) para (+) , em relação

aos pólos do gerador .

4- Ter em atenção : Se as f.e.m. ou as quedas de tensão

tiverem o mesmo sentido que o da circulação da malha os

seus valores na equação entram com valor positivo . Se não

tiverem o mesmo sentido , entram com valor negativo.

𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 ∶ 𝐸 = (𝑅 ∗ 𝐼)

O valor negativo da corrente (-0.062 A) , significa que o sentido

da corrente foi arbitrado com sentido contrário.

I

I2 I1

I3

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Resolução do sistema de equações :

𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3

𝐸1 = −𝑅1 ∗ 𝐼1 + 𝑅3 ∗ 𝐼3 12 = −30 ∗ 𝐼1 + 50 ∗ 𝐼3 12 = −30 ∗ 𝐼1 + 50 ∗ 𝐼3

−𝐸2 = −𝑅3 ∗ 𝐼3 − 𝑅2 ∗ 𝐼2 −20 = −50 ∗ 𝐼3 − 100 ∗ 𝐼2 −20 = −50 ∗ 𝐼3 − 100 (𝐼1 + 𝐼3)

12 = −30 𝐼1 + 50 𝐼3 12 = −30 𝐼1 + 50 𝐼3 36 = −90 𝐼1 + 150 𝐼3

−20 = −50 𝐼3 − 100 𝐼1 − 100 𝐼3 −20 = −100 𝐼1 − 150𝐼3 −20 = −100 𝐼1 − 150𝐼3

16 = −190 𝐼1

𝐼1 = 16

−190 ↔ 𝐼1 = − 0.084 𝐴

Cálculo de I3 12 = −30 𝐼1 + 50 𝐼3 ↔ 12 = −30 −0.084 + 50 𝐼3 ↔ 12 = 2.52 + 50 𝐼3

50 𝐼3 = 12 − 2.52 ↔ 50 𝐼3 = 9.48 ↔ 𝐼3 =9.48

50 = 0.189 𝐴

Cálculo de I2 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼3 ↔ 𝐼2 = −0.084 + 0.189 = 0.105

2- Pela lei das malhas obtemos as restantes duas equações . As malhas devem ter pelo menos um ramo

não incluido em outra malha

Definição das 3 equações:

( 1ªEq ) Lei dos nós : 𝑰𝟐 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟑

Escolhidas as malhas (M1 e M2) estabelecemos as

duas equações correspondentes

(2ªEq) Malha1 𝑬𝟏 = −𝑹𝟏 ∗ 𝑰𝟏 + 𝑹𝟑 ∗ 𝑰𝟑

(3ªEq) Malha 2 −𝑬𝟐 = −𝑹𝟑 ∗ 𝑰𝟑 − 𝑹𝟐 ∗ 𝑰𝟐

Malha 2

LEIS DE KIRCHHOFF (Continuação)

I2 I1

I3

Malha 1

(x3)

+

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P1

Tendo em atenção os valores da

figura ao lado , calcular :

a) O valor indicado pelo

amperímetro.

(aplicar a lei das malhas)

b) Os valores indicados pelos

voltímetros 1,2,3 e 4 .

P2

No esquema eléctrico ao lado ,

calcular :

a) As correntes nos três ramos .

b)Indicar no esquema os sentidos

correctos das correntes.

c) Indique quais os geradores e

quais os receptores de f.c.e.m.

d) Calcule a tensão entre os

pontos A e B.

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Nas redes eléctricas simples , não é necessário utilizar um sistema de equações como nas leis de Kirchoff.

Podemos utilizar o teorema de sobreposição que diz :

“ Numa rede eléctrica com vários geradores de tensão, a corrente eléctrica em qualquer ramo é igual à soma

algébrica das correntes que seriam produzidas por cada um dos geradores, se cada um deles funcionasse

isoladamente e as restantes fontes de tensão fossem substituidas pelas suas resistências internas”.

Pretende-se calcular a corrente no

receptor R1 , ou seja , a corrente no

circuito , utilizando o teorema da

sobreposição.

Como diz o Teorema , o valor da

corrente IR1 , será a soma algébrica da :

- Corrente I1 , que é produzida só por E1,

com a

- Corrente I2 , que é produzida só por E2

As correntes I1 E I2 , são calculadas pelas

expressões :

I1 = E1 / R1 + Ri1 + Ri2

I2 = E2 / R1 + Ri1 + Ri2

IR1 terá neste caso um valor obtido pela

diferença das duas correntes , porque

elas têm sentido contrários.

IR1 = I1 - I2

Se as correntes tivessem o mesmo

sentido seria :

IR1 = I1 + I2

REDES ELÉCTRICAS . TEOREMA DA SOBREPOSIÇÃO

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Os valores nos amperímetros nos esquemas em baixo , confirmam-nos o teorema da sobreposição .

- O circuito A é o circuito inicial , aquele aonde se vai aplicar o teorema .

Verifica-se , de facto , que :

IR1 = I1 – I2 ↔ 2.53 = 8.98 – 6,45

Teorema da sobreposição (Continuação)

Circuito A

Circuito A1

Circuito A2

P3

Considere um circuito idêntico do

circuito ao lado, mas cujos

componentes têm os seguintes

valores :

E1 = 12 V ; E2= 9V , Ri1=0.3Ω ,

Ri2=0.2Ω e R1= 6Ω.

Utilizando a 2ªLei de Kirchhoff,

calcule :

a) A intensidade de corrente no

circuito.

b)As tensões UAB ; UCD ; UAC .

c) Utilizando o teorema da

sobreposição , calcule a

intensidade de corrente e

conclua.

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Tal como os teoremas anteriores o Teorema de Thévenin também permite calcular correntes em ramos de

uma rede eléctrica com um ou vários geradores .

Este método permite calcular as correntes uma a uma (como o método anterior) usando uma técnica que

consiste em dividir o circuito em duas partes.

Aplicação do Teorema de Thévenin

A aplicação deste teorema , consiste em obter um esquema equivalente mais simples , constituído por uma

só fonte de tensão (ETH) e uma resistência equivalente (RTH).

O que diz o Teorema :

“Ao removermos uma parte de um circuito, a partir de dois terminais quaisquer (A e B) , a parte do circuito

que ficou , é equivalente a um gerador, cuja f.e.m. (ETH) , é igual à tensão eléctrica entre esses terminais

(abertos) e a resistência interna (RTH) é igual á resistência medida (vista) entre os dois terminais, depois de

substituídos os geradores pelas suas resistências internas.

Este gerador equivalente chama-se Gerador de Thévenin .

Como se obtem os valores de ETH (Tensão de Thévenin ) e de RTH (Resistência Equivalente de Thévenin) ?

REDES ELÉCTRICAS . TEOREMA DE THÉVENIN

Equivalentes

ETH

RTH

R

A

B

r1 r2

E2 E1

R

B

A R1

Gerador Equivalente de Thévenin

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A f.e.m. do gerador de thévenin (ETH) - É igual à UAB com os terminais abertos , como mostra o esquema 1.

A resistência do Gerador de Thévenin (RTH) - É igual à resistência medida entre os terminais AB ,substituindo

os geradores E1 e E2 (neste caso) pelas suas resistências internas , como se vê no esquema 2.

PROBLEMA RESOLVIDO

1- Utilizando o Teorema de Thévenin calcule :

a) A intensidade em R2 (I2)

Cálculo de I2

Teremos de dar os seguintes passos :

- “Abrir” o circuito entre os terminais A e B, isto é, o ramo aonde passa a corrente I2 é desligado .

- Em seguida obter sucessivamente a f.e.m. ETH e a resistência interna RTH do Gerador de Thévenin .

- Finalmente ligar o ramo que contém R2 ao Gerador Equivalente de Thévenin e calcular o valor de I2.

Ohmímetro

R1

r1 r2

E2 E1

B

A

UAB = ETH

R1

r1

B

A

r2 Ω

RTH

ESQUEMA 1 ESQUEMA 2

A

B

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Cálculo de ETH que é igual a UAB .

UAB = R3 . I

I = E1 /RT ↔ I = 10/16 ↔ I = 0,625 A

UAB = 10 . 0,625 ↔ UAB=6,25 V

Cáluculo de RTH

RTH é igual ao paralelo da resistência de 10Ω com

uma resistência de 6Ω ( resultado da série da

resistência de 5Ω com a de 1Ω).

RTH = 6//10

RTH = 6.10 / 6+10 ↔ RTH = 60/16 =3,75Ω

Fazemos o acoplamento do Gerador de Thévenin com o ramo retirado por A e B e obtêm-se o circuito em

baixo aonde calculamos pela lei das malhas o valor de I2 desejado .

Cálculo de I2 na malha do circuito :

6,25 – 5 = (3,75+2+1) I2 ↔ 1,25 = 6,75 . I2 ↔ I2 = 1,25/6,75

I2 = 0,185 A

Malha

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Exercícios para resolver

1 - Calcular aplicando o teorema de Thévenin a corrente em R3 ( I3 ) .

2-

2.1 - Utilizando o teorema de Thévenin calcule as correntes em R1 e em R2 .

2.2 – Confirme os valores encontrados , utilizando as leis de Kirchhoff.

( Simplifique o circuito fazendo o paralelo de R3 com R4 .)