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Capítulo 1

1. Aritmética e Expressões Algébricas O estudo de cálculo exige muito mais que o conhecimento de

limite, derivada e integral. Para que o aprendizado seja satisfatório o

domínio de tópicos de aritmética e álgebra é essencial. Soma de fração,

potenciação e até mesmo produtos notáveis podem passar despercebidos

pelos alunos que estudaram o ensino fundamental há algum tempo e não

lembram. Este capítulo aborda tais assuntos de forma sintética e com

exemplos detalhados para melhor entendimento do leitor. Ao fim do

capítulo o leitor será capaz de realizar as operações aritméticas e

algébricas, tais como potenciação e radiciação, resolver problemas de

logaritmo utilizando suas propriedades, analisar problemas com módulo

e reconhecer polinômios.

1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos

Sempre que você se deparar com uma expressão numérica para

resolver, é necessário respeitar a seguinte ordem de prioridade:

a) Agrupamentos prévios pelo uso de traço de frações, radical,

parênteses, chaves e colchetes. No caso de agrupamentos com múltiplos

por parênteses resolver do interno ao externo;

b) Potenciação e radiciação;

c) Multiplicação e divisão;

d) Adição e subtração.

Exemplos:

1) 2 + 1 × 2 −6

2 × 5 + 3 =

2 + 2 − 3 × 5 + 3 =

2 + 2 − 15 + 3 = −8

Note que neste exemplo não existem parênteses, chaves ou

colchetes, portanto a ordem de resolução deve ser primeiramente multiplicação e/ou divisão e depois as somas e subtrações. Nos exemplos 2 e 3, com a presença de parênteses, as operações dentro dos parênteses têm prioridade. De forma semelhante, no exemplo 4, com a presença do radical, este deve ser resolvido primeiro.

2) ( 2 + 1). 2 −6

2 . (5 + 3) =

3 . 2 −6

2 . 8 =

6 − 3 . 8 = 6 − 24 = −18

3) (( 2 + 1) . 2 −6

2) . (5 + 3) =

( 3 . 2 −6

2) . 8 =

( 6 − 3) . 8 = 3 . 8 = 24

4) 12

4 + 2 . √7 + 2 =

12

6 . √9 =

2 . 3 = 6 1.2.Operações com Números Fracionários 1.2.1 Soma e Subtração

Para a soma ou a subtração de duas frações deve-se observar se os denominadores são iguais ou diferentes. Os procedimentos de cálculo variam de acordo com os denominadores apresentados. 1.2.1.1. Denominadores iguais

Neste caso, os numeradores devem ser somados ou subtraídos, de acordo com os sinais operatórios, e o valor do denominador mantido. Exemplos:

1) 2

5+

4

5 =

6

5

2) 2

3 +

5

3−

4

3 = =

2 + 5 − 4

3=

3

3 = 1

3)28

10−

3

10+

5

10=

28 − 3 + 5

10=

30

10= 3

4) 9

8+

2

8−

1

8 =

9 + 2 − 1

8=

10

8

1.2.1.2. Denominadores diferentes

Neste caso, deve-se determinar com antecedência o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre todos os denominadores das frações envolvidas, de modo a igualar os denominadores e aplicar a regra acima. Exemplo:

1) 2

3+

9

4 = ?

Solução: O MMC é obtido a partir da fatoração simultânea dos denominadores, como segue abaixo:

4,3 2

2,3 2

1,3 3

1,1 2.2.3 12

O MMC então é igual a 12. Prossegue-se adotando o MMC como denominador comum para as duas frações. Novos numeradores são obtidos para ambas as frações dividindo-se o MMC pelo antigo denominador e multiplicando este resultado pelo antigo numerador, como exemplificado a seguir:

2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35

3 4 12 12 12 12

2) 2

5+

8

9−

7

12 = ?

Solução:

5,9,12 2

5,9,6 2

5,9,3 3

5,3,1 3

5,1,1 5

1,1,1 2 2 3 3 5 180

2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127

5 9 12 180 180 180 180 180 180 180

OBS: Para efetuar a soma de frações com denominadores diferentes podemos utilizar qualquer múltiplo comum. A forma mais simples de encontrar um múltiplo comum é multiplicar todos os denominadores. 3)

2

5+

8

9−

7

12 =

(9 . 12) . 2 + (5 . 12) . 8 − (5 . 9). 7

5 . 9 . 12

=108 . 2 + 60 . 8 − 45 . 7

540=

216 + 480 − 315

540 =

=381

540=

3 . 127

3 . 180=

3

3 .

127

180= 1 .

127

180=

127

180

1.2.2 Multiplicação de Frações O produto de duas ou mais frações é o produto dos seus

numeradores dividido pelo produto dos seus denominadores. Observe que, nos exemplos abaixo, nós simplesmente multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Em certos casos, é possível simplificar. Exemplos:

1) 1

10 .

3

5 =

1 . 3

10 . 5 =

3

50

2) 3

14 .

21

15=

3 . 21

14 . 15 =

63

210 =

3 . 21

10 . 21 =

3

10 .

21

21=

3

10 . 1 =

3

10

3) 10 .5

3 +

2

5−

1

4 =

50

3+

2

5−

1

4=

(5 . 4). 50 + (3 . 4 ). 2 − (3 . 5 ). 1

3 . 5 . 4

=1000 + 24 − 15

60=

1009

60

4) 10 . (5

3 +

2

5) −

1

4 = 10 (

5 . 5 + 3 . 2

3 . 5 ) −

1

4= 10. (

25 + 6

15) −

1

4=

= 10 .31

15−

1

4=

310

15−

1

4=

4 . 310 − 15 .1

15 . 4=

1240 − 15

60=

1225

60

= 245

12

1.2.3. Divisão de Frações No caso de divisão entre frações procede-se multiplicando

a primeira fração pelo inverso da segunda: 𝑎𝑏𝑐𝑑

=𝑎

𝑏 ÷

𝑐

𝑑 =

𝑎

𝑏 ×

𝑑

𝑐 =

𝑎 × 𝑑

𝑏 × 𝑐

Exemplos:

1)

1725

=1

7 ÷

2

5=

1

7 ×

5

2 =

5

14

2)

172

=1

7÷ 2 =

1

7 ∙

1

2 =

1

14

3)4

23

= 4 ÷2

3 =

4

1 ∙

3

2 =

12

2 = 6

4)2

13

−

132

= 2 ∙ 3 −1

3∙

1

2 = 6 −

1

6 =

36 − 1

6 =

35

6

Nos casos acima a primeira fração deve ser mantida e é multiplicada pela inversa da segunda fração. 1.3. Expressões Algébricas

Recebe o nome de expressão algébrica a expressão matemática na qual se faz uso de letras, números e operações aritméticas. As letras constituem a parte variável da expressão, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. Continuam válidas todas as regras da aritmética. Exemplos:

1) 2 𝑥

3−

7

𝑥 =

𝑥. (2 𝑥) − 3 . 7

3 . 𝑥 =

2 𝑥2 − 21

3 𝑥

2) 2 𝑥 + 𝑦

𝑥−

4 𝑥

𝑦=

𝑦. (2 𝑥 + 𝑦) − 𝑥 . ( 4 𝑥)

𝑥 . 𝑦=

2 𝑥 𝑦 + 𝑦2 − 4𝑥2

𝑥 𝑦

Observe nos exemplos que os denominadores são

diferentes, portanto fazemos o MMC entre eles, como estamos em um caso algébrico o MMC é, simplesmente, a multiplicação entre eles.

É comum necessitar simplificar as expressões algébricas para a resolução de problemas. Técnicas como agrupamento, evidência do fator comum, etc., são normalmente adotadas para a simplificação e/ou fatoração das expressões. Exemplos:

Utilize as técnicas de agrupamento e evidência dos fatores comuns para simplificar as expressões algébricas abaixo: 1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 − 3 . 𝑥) + (2 . 𝑦 + 𝑦) = = 𝑥(1 − 3) + 𝑦 (2 + 1) = −2 𝑥 + 3 𝑦

Nesse exemplo foram agrupados todos os termos com “x” em um parênteses e todos os termos com “y” em outro. Quando as operações são algébricas podemos somar ou subtrair termos semelhantes, nesse caso “x” e “3x” são semelhantes, logo podemos subtraí-los. 2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 + (−3). (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2 𝑦 + (−3 𝑥 − 3 𝑦) = (𝑥 − 3 𝑥) + (2 𝑦 − 3𝑦) = 𝑥(1 − 3) + 𝑦(2 − 3) = −2 𝑥 − 𝑦 3) 𝑥 − (2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 ) = 𝑥 − (2 𝑦 + 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 − (3 𝑦 − 3 𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 3 𝑦 = 4𝑥 − 3𝑦

4) 𝑥 + 2 (𝑦 − (3 𝑥 + 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−1) (3𝑥 + 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−3𝑥 − 𝑦)) =

𝑥 + 2 ( 𝑦 − 𝑦 − 3𝑥) = 𝑥 + 2(−3𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 = −5𝑥

A fatoração consiste em representar um número ou uma expressão algébrica como produto, respetivamente, de outros números ou de outras expressões algébricas. Exemplos: 1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏 = 6 ∙ 𝑏 ∙ (𝑎 − 2) 2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 = 3 ∙ 𝑥 ∙ (3 − 𝑦) 3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦 (𝑎 + 𝑏) = = (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)

1.3.1 Simplificação de Frações Algébricas Para simplificar frações algébricas devemos seguir a

seguinte regra: fatorar o numerador e o denominador e assim, dividir o numerador e denominador em seus fatores comuns.

Fique atento: Só podemos simplificar os fatores (termos) que estejam multiplicando tanto o numerador quanto o denominador. Exemplos:

1) 2𝑥 − 4𝑦

2𝑥=

2 ∙ (𝑥 − 2𝑦)

2 ∙ 𝑥=

2

2∙

𝑥 − 2𝑦

𝑥=

= 1 ∙ 𝑥 − 2𝑦

𝑥=

𝑥 − 2𝑦

𝑥

2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥

𝑎 + 𝑏=

𝑥 (𝑎 + 𝑏)

𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙

𝑎 + 𝑏

𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙ 1 = 𝑥

1.4. Potenciação A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores

iguais. Podemos dizer também que é a quantidade de vezes que o número será multiplicado por ele mesmo. De um modo geral, sendo 𝑎 um número real e 𝑛 um número natural 𝑛 ≥ 2 definimos:

𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 = 𝒑 (𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒂) 𝒂𝒏 = 𝒑

Onde: 𝑎 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑛 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝑝 = 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 Exemplos: 1) 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 2) (−2)2 = (−2) × (−2) = 4 3) 33 = 3 × 3 × 3 = 27 4) (−3)3 = (−3) × (−3) × (−3) = −27 Um erro muito comum ocorre quando o aluno confunde e ao invés de multiplicar o um número n vezes por ele mesmo acaba multiplicando a base pelo expoente. Não esqueça também de fazer o jogo de sinais. 1.4.1. Propriedades

Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos, 𝑛 e 𝑚 inteiros:

1) Potência de expoente nulo e igual a 1:

𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎

2) Potência de base igual a 1:

1𝑛 = 1

3) Potencia de expoente negativo:

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛

4) Multiplicação de potências de mesma base:

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

5) Divisão de potências de mesma base:

𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

6) Multiplicação de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

7) Divisão de potências de expoentes iguais:

𝑎𝑛

𝑏𝑛= (

𝑎

𝑏)

𝑛

8) Potência de uma potência:

(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎)𝑛.𝑚

Exemplos:

Nos exemplos a seguir, observe o uso das propriedades da potência nas expressões. 1)

24

2+

42

22+ (−3)−3 =

24−1 + (4

2)

2

+1

(−3)3=

23 + 22 +1

−27=

8 + 4 −1

27=

8.27 + 4.27 − 1

27=

216 + 108 − 1

27=

323

27

2)

(−3)−2 − (−3

7)

−3

=

1

(−3)2−

1

(−37

)3 =

1

(−3)2− (−

7

3)

3

=

1

(−3)2−

73

(−3)3=

=1

9− (−

343

27) =

346

27

3)

𝑥3 𝑦 ( 𝑥 𝑦)−2 =

𝑥3 𝑦

(𝑥 𝑦)2 =

𝑥3𝑦

𝑥2 𝑦2=

𝑥3−2 𝑦1−2 =

𝑥1 𝑦−1 = 𝑥

𝑦

4) (𝑥3 +𝑥2

𝑥−3) . 𝑥−3 =

𝑥3. 𝑥−3 +𝑥2. 𝑥−3

𝑥−3=

𝑥3−3 + 𝑥 2−3−(−3) =

𝑥0 + 𝑥2 = 𝑥2 + 1

5)

2𝑥

3𝑥 . 6𝑥 =

(2

3 . 6)

𝑥

=

(12

3)

𝑥

=

4𝑥 = (22)𝑥 = 22𝑥

6)

2𝑥

3−2𝑥=

2𝑥 . 32𝑥 =

2𝑥 . (32)𝑥 =

2𝑥 . 9𝑥 =

(2 . 9) 𝑥 = 18 𝑥

7)

(𝑎2

𝑏3)

−3

. 𝑎 + 𝑏 =

𝑎−3.2

𝑏−3.3 . 𝑎 + 𝑏 =

𝑎−6. 𝑎1

𝑏−9+ 𝑏 = =

𝑎−5

𝑏−9+ 𝑏 =

𝑏9

𝑎5+

𝑏

1=

𝑏9 + 𝑎5. 𝑏

𝑎5

8)

𝑎2. (𝑎

𝑏)

−3

.𝑎

𝑏2=

𝑎2 . 𝑎−3

𝑏−3 .

𝑎

𝑏2=

𝑎2. 𝑎−3. 𝑎

𝑏−3. 𝑏2=

𝑎2−3+1

𝑏−3+2=

𝑎0

𝑏−1=

1

𝑏−1 = 𝑏1 = 𝑏

Nos exemplos abaixo, determine o valor de 𝑥:

9) 3𝑥 = 9 → 3𝑥 = 32 ∴ 𝑥 = 2

10)

2𝑥 + 2𝑥+1 = 24 → 2𝑥 + 2𝑥 ∙ 21 = 24 → 2𝑥 ( 1 + 21) = 24 → 3 ∙ 2𝑥 = 24 →

2𝑥 =24

3 → 2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 ∴ 𝑥 = 3

11) 6𝑥−2 + 5 ∙ 6𝑥−1 = 6𝑥 − 5

6𝑥

62+ 5 ∙

6𝑥

6− 6𝑥 = −5

6𝑥 + 5. 62 ∙6𝑥

6− 62. 6𝑥 = −62 ∙ 5

6𝑥 ∙ (1 + 30 − 36) = −36 ∙ 5 6𝑥 ∙ (−5) = −36 ∙ 5 → 6𝑥 = 36 →

6𝑥 = 62 ∴ 𝑥 = 2 1.5. Radiciação

A radiciação é uma operação matemática inversa da

potenciação, ou seja,

𝒔𝒆 √𝒂𝒏 = 𝒃 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒃𝒏 = 𝒂

Onde o símbolo √ é o radical; 𝑛 ≠ 0; a = radicando; b=raiz;

n=índice.

Exemplos:

1)

√164

= 𝑏 ⇔ 𝑏4 = 16 ⇔ 𝑏4 = (2)4 ⇔ 𝑏 = 2

Logo √164

= 2

2)

√−273

= 𝑏 ⇔ 𝑏3 = −27 ⇔ 𝑏3 = (−3)3 ⇔

𝑏 = −3 𝑙𝑜𝑔𝑜 √−273

= −3

3)

√−16 = 𝑏 ⇔ 𝑏2 = −16

Como não existe um número que elevado a um expoente par seja

um número negativo então

√−16 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑖𝑎𝑠

Obs: Não existe raiz de um radicando negativo se o índice for par.

1.5.1. Propriedades Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0

1) Raiz de radicando nulo:

√0𝑛

= 0

2) Raiz de índice unitário nulo:

√𝑎1

= 𝑎

3) Produto de radicais de mesmo índice:

√𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

. √𝑐𝑛

= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

4) Divisão de radicais com mesmo índice:

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

5) Potência de uma raiz:

( √𝑎𝑛

)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛

6) Raiz elevada a expoente igual ao seu índice:

( √𝑎𝑛

)𝑛 = 𝑎

7) Raiz de uma raiz:

√ √𝑎𝑛

𝑚

= √𝑎𝑛.𝑚

8) Multiplicação de raiz por uma constante

𝑎 √𝑏𝑛

= √𝑎𝑛𝑏𝑛

A raiz é apenas uma forma de representar a potenciação

com expoente fracionário. Assim, toda raiz pode ser escrita em

forma de potência como:

√𝑎𝑚 𝑛

= 𝑎 𝑚𝑛

Exemplos: 1) Utilizando as regras da potenciação, demonstre as seguintes

regras da radiciação:

𝑎) √0𝑛

= 0

√0𝑛

= 01

𝑛⁄ = 0

𝑏) √𝑎1 = 𝑎

√𝑎1

= 𝑎1

1⁄ = 𝑎1 = 𝑎

𝑐) √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

. √𝑐𝑛

= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

𝑎1

𝑛⁄ . 𝑏1

𝑛⁄ . 𝑐1

𝑛⁄ = (𝑎. 𝑏. 𝑐)1

𝑛⁄ = √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛

𝑑) ( √𝑎𝑛

)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛

( √𝑎𝑛

)𝑚 = (𝑎1

𝑛⁄ )𝑚

= 𝑎1.𝑚

𝑛⁄ = 𝑎𝑚

𝑛⁄ = √𝑎𝑚𝑛

𝑒) √ √𝑎𝑛

𝑚

= √𝑎𝑛.𝑚

√ √𝑎𝑛

𝑚

= √𝑎1

𝑛⁄𝑚

= (𝑎1

𝑛⁄ )1

𝑚⁄

= 𝑎1

𝑛⁄ .1 𝑚⁄ =

= 𝑎1

𝑛.𝑚⁄ = √𝑎𝑛.𝑚

Nos exemplos abaixo calcule as raízes indicadas: 2)

√−273

. √108 = √(−3)33 . √22. 33 = (−3). √22. 32. 3

= (−3). 2. 3 . √3 = −18 . √3

3)

√356 ∙

√3

√33 =

35

6⁄ ∙ 31

2⁄

31

3⁄=

356

+12

31

3⁄=

38

6⁄

31

3⁄= 3

86

−13 = 3

66 = 31 = 3

Simplifique as expressões abaixo, considerando 𝑎 > 0

4) √𝑎 . √𝑎 = 𝑎1

2⁄ . 𝑎1

2⁄ = 𝑎1

2+

1

2 = 𝑎1 = 𝑎

5) √𝑎3

. √𝑎3

= 𝑎1

3⁄ . 𝑎1

3⁄ = 𝑎1

3+

1

3 = 𝑎2

3⁄ = √𝑎23

6) √𝑎3

. √𝑎23= 𝑎

13⁄ . 𝑎

23⁄ = 𝑎

1

3+

2

3 = 𝑎3

3⁄ = 𝑎

7) (√𝑎3 )3

= (𝑎3

2⁄ )3

= 𝑎3.3

2 = 𝑎9

2⁄ = √𝑎9 = √𝑎8. √𝑎 = 𝑎4√𝑎

1.6.Racionalização de denominadores

Racionalização de denominadores é o processo para a

obtenção de uma fração com denominador racional equivalente a

uma anterior que possuía um ou mais radicais no denominador.

Ou seja, é eliminação do radical do denominador.

A técnica consiste em multiplicar os termos desta fração

por uma expressão com radical, denominada fator racionalizante.

1° Caso: O denominador é um radical de incide 2

(raiz quadrada)

Neste caso o denominador tem a forma √𝑎 .

O fator racionalizante de √𝑎 é √𝑎 pois:

√𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎12 ∙ 𝑎

12 = 𝑎

12

+12 = 𝑎1 = 𝑎

Exemplos:

1) 30

√2=

30

√2 ∙

√2

√2=

30 ∙ √2

√2 ∙ √2=

30 √2

212 ∙ 2

12

= 30 √2

2 = 15 √2

2) 3

4 √6=

3

4√6 ∙

√6

√6=

3 ∙ √6

4 ∙ √6 ∙ √6=

3 √6

4 ∙ 612 ∙ 6

12

=3 √6

4 ∙ 6 =

√6

8

3) √𝑎

3

√𝑎 =

√𝑎3

√𝑎 ∙

√𝑎

√𝑎 =

𝑎13 ∙ 𝑎

12

𝑎12 ∙ 𝑎

12

= 𝑎

56

𝑎=

√𝑎56

𝑎

2° Caso: Quando no denominador há um número

somado ou diminuído à uma raiz quadrada

Neste caso o denominador tem as formas: 𝑎 + √𝑏 ou 𝑎 −

√𝑏

O fator integrante de (𝑎 + √𝑏) é (𝑎 − √𝑏) e o fator integrante

de (𝑎 − √𝑏) é (𝑎 + √𝑏) pois:

(𝑎 + √𝑏) ∙ (𝑎 − √𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ √𝑏 + 𝑎 ∙ √𝑏 − √𝑏 ∙ √𝑏 = 𝑎2 − 𝑏

Exemplos:

1) 3

4 + √5=

3

4 + √5 ∙

4 − √5

4 − √5=

3 ∙ (4 − √5)

42 − (√5 ∙ √5)=

=12 − 3 √5

16 − 5 =

12 − 3 √5

11

2) 5

2 − √3=

5

2 − √3 ∙

2 + √3

2 + √3=

5 ∙ (2 + √3)

22 − √3 ∙ √3=

=10 + 5 √3

4 − 3 =

10 + 5 √3

1 = 10 + 5 √3

3) √𝑎 − 𝑏

√𝑎 + 𝑏=

√𝑎 − 𝑏

√𝑎 + 𝑏 ∙

√𝑎 − 𝑏

√𝑎 − 𝑏=

=(√𝑎 − 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)

(√𝑎 + 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)=

=√𝑎 ∙ √𝑎 − 𝑏 √𝑎 − 𝑏√𝑎 + 𝑏2

(√𝑎)2

− 𝑏2=

𝑎 − 2 𝑏 √𝑎 + 𝑏2

𝑎 − 𝑏2

3° Caso: O denominador é um radical de índice

genérico 𝒏

Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑛

.

O fator racionalizante de √𝑎𝑛

é √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎

𝑛−1

𝑛 pois:

√𝑎𝑛

∙ √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎

1𝑛 ∙ 𝑎

𝑛−1𝑛 = 𝑎

(1𝑛

+𝑛−1

𝑛)

= 𝑎1+𝑛−1

𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1 = 𝑎

Exemplos:

1) 5

√53 =

5

513

∙ 5

23

523

=5 √5

3

513

+23

=5 √5

3

51= √5

3

2) 1

√3 √33 =

1

312 ∙ 3

13

=1

3(

3+2 6

)∙ =

1

35 6

=

=1

35 6

∙3

16

316

=3

16

35+1

6

=√36

3

3) 2 + √2

4

√34 =

2 + √24

314

∙3

34

334

=(2 + √2

4) ∙ √334

3(

1+3 4

)=

=2 ∙ √27

4+ √2

4∙ √27

4

31=

2 √274

+ √544

3

4° Caso: O denominador é um radical de incide genérico 𝒏 e radicando elevado a uma potência genérica 𝒎 Neste caso o denominador tem a forma √𝑎𝑚𝑛

com 𝒎 < 𝒏

O fator racionalizante de √𝑎𝑚𝑛 é √𝑎𝑛−𝑚 =

𝑛 𝑎

𝑛−𝑚

𝑛 pois:

√𝑎𝑚𝑛 ∙ √𝑎𝑛−𝑚𝑛

= 𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑎

𝑛−𝑚𝑛 = 𝑎

(𝑚𝑛

+𝑛−𝑚

𝑛)

= 𝑎𝑚+𝑛−𝑚

𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1

Exemplos:

1) 21

√725 = 21

725

∙ 7

35

735

=21 √735

7(

25

+35

)=

21 √735

7= 3 √735

2) 1

√373 = 1

√33 ∙ 33 ∙ 33 =

1

√333∙ √333

∙ √33

=

=1

3 ∙ 3 ∙ √33 =

1

32 ∙ √33

=

1

32 ∙ √33

=

1

32 ∙ 313

∙3

23

323

=

=3

23

32 ∙ 3(

13

+23

)=

√323

32 ∙ 31=

√323

33=

√93

27

1.7. Logaritmo

O logaritmo de um número positivo 𝑎 na base 𝑏, positiva e

diferente de 1, é o expoente 𝑐 que se deve elevar 𝑏 para obter 𝑎.

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑐 = 𝑎

onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1.

𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜; 𝑏 = 𝑏𝑎𝑠𝑒; 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜.

A notação do logaritmo decimal, de base igual a 10, é:

log 𝑎 = log10 𝑎

A notação do logaritmo natural, de base igual ao número

de Euler 𝑒 ≅ 2.71828, é:

ln 𝑎 = log𝑒 𝑎

Nota: Não devemos confundir logaritmo natural e logaritmo

neperiano. Algumas vezes ambos são tratados como sinônimos,

mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na

base 1 𝑒⁄ .

Exemplos: 1) log 100 = 𝑥 → 10𝑥 = 100 → 10𝑥 = 102 ∴ 𝑥 = 2 2) log 0,1 = 𝑥 → 10𝑥 = 0,1 → 10𝑥 = 10−1 ∴ 𝑥 = −1 3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥 → 2𝑥 = 4 → 2𝑥 = 22 ∴ 𝑥 = 2

4) 𝑙𝑜𝑔2 (1

32) = 𝑐 → 2𝑐 =

1

32→ 2𝑐 =

1

25→ 2𝑐 = 2−5

∴ 𝑐 = −5 5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥 → 3𝑥 = 1 → 3𝑥 = 30 ∴ 𝑐 = 0

6) 𝑙𝑜𝑔14

(2√2) = 𝑥 → (1

4)

𝑥

= 2 √2 →

(1

22)

𝑥

= 2 ∙ 212 → (2−2)𝑥 = 2

(1+12

)→

2−2𝑥 = 232 ∴ −2𝑥 =

3

2 → 𝑥 = −

3

2

7) ln1

𝑒= 𝑐 → 𝑒𝑐 =

1

𝑒→ 𝑒𝑐 = 𝑒−1 ∴ 𝑐 = −1

8) ln 𝑒 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒 → 𝑒𝑐 = 𝑒1 ∴ 𝑐 = 1 9) Calcule o valor de log 1,4 usando a definição de logaritmo e as

aproximações: 2 = 100,301 e 7 = 100,845. Solução:

log 1,4 = 𝑥 → 10𝑥 = 1,4 → 10𝑥 =14

10→

10𝑥 =2 ∙ 7

10 → 10𝑥 = 2 ∙ 7 ∙ 10−1 →

10𝑥 = 100,301 ∙ 100,845 ∙ 10−1 → 10𝑥 = 100,301+0,845−1 10𝑥 = 100,146 ∴ 𝑥 = 0,146 → log 1,4 = 0,146 1.7.1. Propriedades 1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.

𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0

2) Logaritmo da base é 1.

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1

3) Logaritmo de um produto

𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

4) Logaritmo de um quociente

𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎

𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐

5) Logaritmo de uma potência

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

6) Mudança da base b para a base c

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏

7) Igualdade de logaritmos de mesma base

𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥 = 𝑦

8) Relações entre potências e logaritmos de mesma base.

log𝑏 𝑏𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎

Exemplos:

1) 𝑙𝑜𝑔(0,1 ∙ √10) = 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔 √10 = 𝑙𝑜𝑔10−1 + 𝑙𝑜𝑔1012

= −1 +1

2= −

1

2

2) 𝑙𝑜𝑔2 (1

16) = 𝑙𝑜𝑔2 1 − 𝑙𝑜𝑔2 16 == 𝑙𝑜𝑔2 20 − 𝑙𝑜𝑔2 24 = 0 − 4

= −4

3) 2𝑙𝑜𝑔2 4 = 4

4) 4𝑙𝑜𝑔2 4 = (22)𝑙𝑜𝑔2 4 = 22.𝑙𝑜𝑔2 4 = 2𝑙𝑜𝑔2 42= 2𝑙𝑜𝑔2 16 = 16

5) 𝑒−3 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛 𝑥−3= 𝑥−3

6) 3 ln(𝑎) + ln(𝑏) − ln (𝑒) = ln (𝑎3 ∙ 𝑏

𝑒)

Resolva as equações abaixo: 7) log√2 𝑥 = −3

Solução:

(√2)−3

= 𝑥 → 𝑥 =1

(√2)3 → 𝑥 =

1

√23→

𝑥 =1

2 √2→ 𝑥 =

1

2 √2∙

√2

√2 → 𝑥 =

√2

4

8) 3 ln 𝑥 = 2 Solução:

ln 𝑥 =2

3 → 𝑒

23 = 𝑥 → 𝑥 = √𝑒23

9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4 Solução: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ∴ 𝑥2 = 4 ∴ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)2 = (2)2 = 4

Como o logaritmando 𝑥 não pode ser negativo, só 𝑥 = 2 é

solução da equação. 10) 3 𝑒4𝑥+8 = 1 Solução:

𝑒4𝑥+8 =1

3

Para isolar a variável 𝑥 na equação é necessário aplicar o logaritmo ln nos dois lados da equação, então:

ln(𝑒4𝑥+8) = ln (1

3) → 4𝑥 + 8 = ln 1 − ln 3 →

4𝑥 + 8 = 0 − ln 3 → 4𝑥 = −8 − ln 3 →

𝑥 = −8 − ln 3

4 ∴ 𝑥 = −2 −

1

4ln 3

1.7.2. Equação Logarítmica

A equação do tipo log𝑎 𝑓(𝑥) = 𝛼 é uma igualdade entre um

logaritmo e um número real. E para resolvê-la, basta aplicar a

definição do logaritmo.

𝑆𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝛼 ∈ ℝ, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 log𝑎 𝑓(𝑥) = 𝛼

𝑓(𝑥) = 𝑎𝛼

Exemplo:

1) Resolver a equação log2(3𝑥 + 1) = 4

Solução:

log2(3𝑥 + 1) = 4

3𝑥 + 1 = 24

3𝑥 = 16 − 1 ∴ 3𝑥 = 15 ∴ 𝑥 =15

3= 5, 𝑆 = {5}

1.8. Módulo

A todo número real 𝑥 associa-se um valor absoluto, também

chamado de módulo, representado por |𝑥| definido por:

|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

O módulo de um número positivo ou nulo é o próprio número

|4| = 4 ; |0| = 0

O módulo de um número negativo é o oposto dele mesmo

|−3| = −(−3) = 3 ; |−√5| = −(−√5 ) = √5

De acordo com a definição acima, para todo 𝑥 ∈ ℜ tem-se

|𝑥| ≥ 0, ou seja, o módulo de um número real é sempre positivo ou

nulo. Geometricamente, o módulo um número real é, na reta

numérica, a distância entre este número e a origem.

O número -2 está a 2 unidades de medida à esquerda da

origem. Assim, sua distância à origem é 2. Dizemos, então, que o

módulo ou valor absoluto de -2 é 2, indicado por |−2| = 2.

O número 3 está a 3 unidades de medida à direita da

origem. Assim, sua distância à origem é 3. Dizemos, então, que o

módulo ou valor absoluto de 3 é 3, indicado por |3| = 3.

0 -2 3

2 3

ℜ

Se considerarmos dois números reais 𝑥 e 𝑦 associados aos

pontos 𝑋 e 𝑌 na reta real, então |𝑥 – 𝑦| corresponde a distância

entre os dois pontos.

1.8.1. Propriedades 1) |𝑥| ≥ 0

2) |𝑥| = | − 𝑥|

3) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|

4) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0

5) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 = ± 𝑦

6) √𝑥𝑛𝑛= {

|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

; 𝑥 ∈ ℛ

Observação:|𝑥 ± 𝑦| ≠ |𝑥| ± |𝑦|

Exemplos:

1) De acordo com a definição e as propriedades do módulo,

calcule:

𝑎) |−3 + 5| = | 2| = 2

𝑏) √(−3)2 = |−3| = 3

𝑐) √(−3)33 = −3

𝑑) |2 𝑥 + 1

𝑥| 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3

|2 (−3) + 1

−3| = |

−5

−3| =

| − 5|

| − 3|=

5

3

Lista de Exercícios

Aqui estão questões relacionadas ao capítulo estudado. É

importante o esforço para resolver todas as questões. Em caso de

dúvidas, os monitores do programa estarão prontos para lhe

ajudar. Bons estudos!

1) Determine 2

3+ (

4

5) (

1

3)

2) Qual valor da expressão 𝐸(𝑥) =1

1+1

1+1

1+𝑥

, para 𝑥 +1

2?

3) Encontre o valor de A

𝐴 =

1 −14 +

1

1 +14

1 +14 −

1

1 +14

4) Se A =

xy

yx ,

5

2x e

2

1y , então determine o valor de

A.

5) Determine o valor numérico da expressão

ax

xaxa

2

para a=5

3 e x =

5

4.

6) Qual o valor de 𝑚 = (2√8 + 3√5 − 7√2)(√72 + √20 −

4√2)?

7) Aplicando as propriedades das potências, simplifique

as expressões:

8) Calcule o valor das expressões:

9) Simplifique os radicais

41

943

732

36

2

743

7

9

10.10.3

10.10.10.12)

25.5

25.125)

243.3

1

3.27.9)

8

4.256)

dcba

3

2

4

3

42

4

1

33

1

4

1

3

825,0)5,0(.4)

82

1168)27)2(168)

c

ba

a) √643

b) √576

c) √12

d) √273

e) √324

10) Simplifique as expressões:

a) √8 + √32 + √72 − √50

b) 5√108 + 2√243 − √27 + 2√12

c) 𝑎 √𝑎𝑏43+ 𝑏 √𝑎4𝑏

3+ √𝑎4𝑏43

− 3𝑎𝑏 √𝑎𝑏3

11) Efetue as operações:

a) √3. √12

b) √243

. √33

c) √43

√2 4

d) √

3

2

√1

2

e) (√12 − 2√27 + 3√75). √3

f) (3 + √2). (5 − 3√2)

g) (5 − 2√3)2

h) √20−√45+3√125

2√5

i) √√2 − 1. √√2 + 1

12) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5

8−3√7 de

12

√7+3?

13) Calcule o valor da expressão:

2(𝑥2𝑦). 3(𝑥2𝑦3)

𝑥²𝑦²

14) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0

a) (𝑎4..𝑏2)³

(𝑎.𝑏2)²

b) (𝑎4.. 𝑏3)3. (𝑎2. 𝑏)²

15) Calcule o valor das expressões:

a) 2−1−(−2)2+(−2)−1

22+2−2

b) 32−3−2

32+3−2

c) (

−1

2)

2.(

1

2)

3

[(−1

2)

2]

3

16) Considerando 3 1

11

1691

63

.x e

3 3

12

271

23

.y , os valores

de x e y são respectivamente:

a) 3

2

7 e 11/9

b) 2/45 e 11/25

c) 2/5 e 8/11

d) 5/8 e 11/36

e) 8/5 e 36/11

17) Seja 1

11

451

32

.m .O valor de m é igual a

a) 2/15

b) 4/15

c) 5/9

d) 10/9

18) Racionalize o denominador de cada expressão abaixo:

a) 1

√3 i)

1+√2

−√2+1

b) 2

3√3 j)

√22

√22−√21−

√21

√22−√21

c) √2

√3

d) 𝑥𝑦

√𝑥2𝑦35

e) 1

1+√2

f) 2

√5−1

g) √2

3−√2

h) √3

√3−2

19) As indicações R1 e R2, na escala Richter, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula

𝑅1 − 𝑅2 = log10

𝑀1

𝑀2

Em que M1 e M2 medem a energia liberada pelos terremotos sob a

forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois

terremotos: um correspondente a R1=8 e outro correspondente a

R2=6. Calcule a razão 𝑀1

𝑀2

20) Calcule o valor de S:

𝑆 = log4 (log3 9) + log2( log81 3) + log0,8( log16 32)

21) Determine o valor de x na equação 𝑦 = 2log3(𝑥+4) para que y seja igual a 8.

22) Calcule o valor de

a) 3log3 2

b) 31+log3 4

c) 92−log3 √2

23) Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b e c são reais positivos)

a) log22𝑎𝑏

𝑐

b) log3𝑎³𝑏²

𝑐4

24) Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais:

a) log 6 b) log 4

c) log 0,5 d) log 5

e)

25) Calcule o log24 6 em função de x e y, sabendo que o

log27 6 = 𝑥 que o log27 4 = 𝑦.

26) Resolva as equações:

a) log4(3𝑥 + 2) = log4(2𝑥 + 5)

b) log5(4𝑥 − 3) = 1

27) Sejam |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5, calcule as expressões:

𝑎) |𝑎2. 𝑏|=

𝑏) |𝑎

𝑐| =

𝑐) √𝑐22=

𝑑) √𝑐33=

GABARITO

1) 𝟏𝟒

𝟏𝟓

2) 𝟓

𝟖

3) 𝟑𝟏

𝟗

4) −𝟏

𝟐

5) 𝟏𝟗

𝟑𝟓

6) 𝟏𝟖

7) a) 𝟑𝟐, b) 𝟏

𝟐𝟏𝟖𝟕, c) 𝟔𝟐𝟓, d)

8) a) 5, b) −𝟐𝟑

𝟏𝟔, c) 1

9) a) 4, b) 24, c) 𝟐√𝟑, d) 𝟖√𝟐, e) 18

10) a) 𝟕√𝟐, b) 𝟒𝟗√𝟑, c) 0

11) a) 6, b) 𝟐√𝟗, c) 𝟐𝟓

𝟏𝟐, d) √𝟑, e) 33, f) 𝟗 − 𝟒√𝟐, g) 𝟑𝟕 −

𝟏𝟎√𝟑, h) 7, i) 1

12) −𝟐𝟐 − 𝟐√𝟕

13) 𝟔𝒙𝟐𝒚𝟐

14) a) 𝒂𝟏𝟎𝒃𝟐, b) 𝒂𝟏𝟔𝒃𝟏𝟏

15) a) −𝟏𝟔

𝟏𝟕, b)

𝟒𝟎

𝟒𝟏, c) 2

16) a)

17) 𝟓

𝟗

18) a) √𝟑

𝟑, b)

𝟐√𝟑

𝟗, c)

√𝟔

𝟑, d) √𝒙𝟑𝒚𝟐𝟓

, e) −𝟏 + √𝟐, f) 𝟏+√𝟓

𝟐, g)

𝟐+𝟑√𝟐

𝟕,

h) −𝟑 − 𝟐√𝟑, i) −𝟑 − 𝟐√𝟐, j) 𝟏

19) 𝑴𝟏

𝑴𝟐= 𝟏𝟎𝟎

20) −𝟓

𝟐

21) 𝑿 = 𝟓

22) a) 2, b) 12, c) 𝟖𝟏

𝟐

23) a) 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒄, b) 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒂 + 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒃 −𝟒 𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒄

24) 𝒂) 𝒂 + 𝒃, b) 2a, c) – 𝒂, d) 1-a

25) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟒 𝟔 = 𝒚

26) b) x=3 b) x=2

27) 𝒂) 𝟐𝟎𝟎, 𝒃) 𝟐, 𝒄) 𝟓, 𝒅) − 𝟓