5-aritmÉtica 1ro (1 - 16)

CORPORACIN EDUCATIVA

Form

ando

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utn

tica e

duca

cin i

nteg

ral Primero de SecundariaSchools

Aritmtica

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los

mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr

alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de

uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando

una enseanza de alta calidad.

En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad

asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:

desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral

y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios

y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,

impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.

Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da

tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que

permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que

es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

Formar lderes con una autntica

educacin integral

Captulo 1. Conjuntos I ........................................................................ 9

Captulo 2. Conjuntos II ....................................................................... 17

Captulo 3. Numeracin I .................................................................... 23

Captulo 4. Numeracin II ................................................................... 33

Captulo 5. Adicin en el Conjunto Z ................................................. 41

Captulo 6. Sustraccin en el Conjunto Z .......................................... 48

Captulo 7. Multiplicacin en el Conjunto Z ..................................... 55

Captulo 8. Divisin en el Conjunto Z ............................................... 64

Captulo 9. Divisibilidad ....................................................................... 71

Captulo 10. Criterios de Divisibilidad .................................................. 79

Captulo 11. Nmeros Primos ................................................................ 88

Captulo 12. Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo ... 95

Captulo 13. Fracciones ........................................................................... 103

Captulo 14. Nmeros Decimales .......................................................... 110

Captulo 15. Razones ............................................................................... 117

Captulo 16. Proporciones ....................................................................... 124

9Aritmtica - 1ro Sec.

Formando lderes con una autntica educacin integral

Captulo

1Conjunto I

Objetivos

Tener la idea clara de conjunTo y elemenTos que le perTenecen, as como los

elemenTos de los conjunTos numricos.

Conjuntos numricos

CienCiaCONJUNTOS

elementos

Determinacin de conjuntos

Cardinalidad

1. IDEA DE CONJUNTO

Se entiende como una coleccin de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser concretos o abstractos. Los conjuntos se nombran con letras maysculas: A, B, C, ..., etc. Sus elementos van separados con comas(,) o punto y coma (;) o bien indicando una propiedad comn de ellos.

Si llamamos B al conjunto de vocales, entonces:

B = {a, e, i, o, u}

Si llamamos Z+ al conjunto de los enteros positivos, entonces:

Z+ = {1, 2, 3, 4,...}

Si llamamos M al conjunto de los nmeros naturales pares menores que 12 y mayores que cero.

M = {2, 4, 6, 8, 10}

Ejemplo:

2. CONJUNTOS NUMRICOS

2.1 Naturales (N)

n = {0; 1; 2; 3; ..}

Z = Z- {0} Z+

Z+= {2; 3; 4; 5; ...} enteros positivos.

2.2 Enteros (Z)

Z-= {-1, -2, -3, -4, -5,...} enteros negativos.

10 Formando lderes con una autntica educacin integral

Aritmtica - 1ro Sec.

Sea W = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13}, entonces n(W) = 7.

Que se lee: El cardinal de W es 7.

Sea C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, entonces n(C) = 7.

Que se lee: El cardinal de C es 7.

Sea A = {a; e; i; o; u}, entonces n(A) = 5.

Que se lee: El cardinal de A es 5.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Sea A = {m, e, m, i, n} entonces: n(A) = 4

Sea B = {4; 4; 3; 3} entonces: n(B) = 2

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

4. DETERMINACIN DE CONJUNTOS

4.1 Por Extensin

Cuando sus e lementos estn indicados explcitamente, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.

A = {7; 8; 9; 10; 11}

Se lee A es el conjunto cuyos elementos son 7; 8; 9; 10 y 11.

A = {x/x N; 6 < x < 12}

Se lee: A es el conjunto cuyos elementos x, son los valores de tal que x es un nmero natural y adems es mayor que 6 pero menor que 12.

Ejemplo:

4.2 Por Comprensin

Cuando se enuncia una propiedad comn que caracteriza a los elementos de dicho conjunto.As por ejemplo, del ejercicio anterior.

Ejemplo:

3. CARDINAL DE UN CONJUNTO

Es el nmero de elementos diferentes que posee un conjunto finito.

Pertenencia - inclusin

Conjunto potencia

Objetivos

Identificar un elemento de un conjunto.Identificar un subconjunto de un conjunto.Cuantificar o contar subconjuntos de un conjunto.

RELACIONES CONJUNTISTAS

4 A 3 A 5 A

1.1 Pertenencia

Dado A = {4; 3}se dice que:

no lo hagas de otra forma!

Se lee: A est incluido en B, si y slo si, para cualquier

x que pertenece a A, ste tambin pertenece a B.

1.2 Inclusin de Conjuntos

A B x A x B

1. RELACIONES CONJUNTISTAS

Elemento a conjunto

11



Adems: A B A est incluido en B. A est contenido en B. A es subconjunto de B.

B A B incluye a A. B contiene a A. B es un conjunto a conjunto superconjunto de A.

Dado: A = {4; 5},entonces:{4} A{5} A{4;5} A ATambin:

Donde es el conjunto vaco o nulo.

Sea A = {a, b; c}, indica V(verdadero) o F (falso).

{a} A {a; c} A b A A

Ejemplo 1:

{a} A, es falso.b A, es verdadero.{a, c} A, es verdadero. A, es falso.

Resolucin

Tambin se definen conjuntos del tipo: A = {{2}; 2; 3}, donde los elementos distintos son {2}, 2 y el 3; pues su

cardinal es n(A) = 3 y es cierto que:{2} A {{2}} A 2 A {2} A3 A {3} A A

Tambin: {{2}; 2} A {{2}; 3} A {2; 3} A {{2}; 2; 3} A

1.3 Subconjuntos de un Conjunto

Sea A = {2; 3; 4}, indica todos sus subconjuntos.

{2}; {3}; {4}, {2;3} {2; 4}; {3; 4}; {2; 3; 4};

Los subconjuntos son:

Sea B = {a, m, a, n, d, a}, seala todos sus subconjuntos.

{a}; {m}; {n}, {d}; {a, m}{a, n};.........; {a, m, n, d};

Simplificando B = {a, m, n, d} Los subconjuntos son:

Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

Resolucin

Ejemplo 1:

Resolucin

Todo elemento pertenece al conjunto.Todo grupo de elementos encerrados con llaves est

incluido en el conjunto.

Conclusin

PROPieDaD:

Si A tiene n elementos distintos, entonces tiene 2n subconjuntos de los cuales 2n - 1 son subconjuntos propios.Son subconjuntos propios todos los subconjunt os excepto el mismo conjunto.

Cuntos subconjuntos tiene A = {x/x Z 2 x



Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1) Dado: A = {5; {7}; 9; {12}} Indica verdadero (V) o falso (F), segn corresponda. i) {5} A ( ) ii) {7} A ( ) iii) {9} A ( ) iv) {5; {7}} A ( )

2) Cuntos elementos distintos posee? A = {x2 - 1 / x Z -1 x < 5}

3) Si: A = {3x + 1/x N -12 2x 12} calcula la suma de sus elementos.

4) En el grfico:

calcula n(A) + n(B) + n (C).

5) Cuntos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos?

A = {e; u; c; l; i; d; e; s} B = {g; a; u; s}

6) Si un conjunto tiene 63 subconjuntos propios, cuntos elementos tiene el conjunto?

1) Dado: Z = {4; 6; {8}: {10}} Indica verdadero (V) o falso (F), segn corresponda.

i) 4 Z ( )

ii) {8} Z ( )

iii) {{10}} Z ( )

iv) {4; {8}} Z ( )

2) El cardinal de A = {x2/x Z -3 x 3} es:

Rpta.: _______

3) Calcula la suma de los elementos de cada conjunto: N = {2x + 1 / x N -8 2x 8}

Rpta.: _______

4) En el grfico:

calcula n(A) + n(B) + n(C)Rpta.: _______

5) Cuntos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos?

P = {e, x, i, t, o} Q = {v; i; s; i; o; n}

Rpta.: _______

6) Si un conjunto tiene 31 subconjuntos propios, cuntos elementos tiene el conjunto?

Rpta.: _______

d

g

Bbc

f e

A

Ca

ab

cd

A B

e

C

f

g

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

13



Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Resolucin: Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcular: a+b+c

a) 7 b) 5 c) 11d) 20 e) 18

Dados los conjuntos unitarios,

Hallar el valor de x+y

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Si los conjuntos M y N son unitarios. Calcular a+b+c

a) 75 b) 9 c) 11d) 20 e) 24

Dados los conjuntos unitarios, = B {y 4 ; 4y 16}

Hallar el valor de x+ya) 7 b) 8 c) 10 d) 11 e) 12

= + +A {x 7 ; 2x 5}

= B {y 3 ; 5y 15}

= + A {3a 5 ; 17 ; 4b 3}

= B {4a b ; c}= + M {2a 6 ; 16 ; 5b 4}

= N {3a b ; c}

= + +A {x 8 ; 2x 5}



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que:

a) 46 b) 50 c) 100d) 80 e) 90

Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar la suma de los elementos del conjunto C, tal que:

a) 48 b) 50 c) 52d) 54 e) 58

+= a 1 b 2A {5 ; 4 }

=B {125 ; 64}

= 3C {x / x b x a}

+= a 1 b 1A {2 ; 3 }

=B {16 ; 27}

= 2C {x / x b x a}

Resolucin:

Resolucin:

Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar a2+b2

a) 121 b) 111 c) 124d) 107 e) 96

Si los conjuntos A y B son iguales. Hallar a2+b2

a) 60 b) 70 c) 76d) 80 e) 84

= + A {a b 1 ; 5}

= +B {2a b 2 ; 23}

= + +A {a b 3 ; 20}

= B {3a b ; 15}

15



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Determinar cuantos elementos tienen los conjuntos A y B sabiendo que:

a) 7 y 7 b) 7 y 6 c) 6 y 5d) 7 y 12 e) 8 y 9

Del siguiente diagrama: Hallar:

a) {1;2;3} b) {8;9} c) {9}d) {1;2} e) {3;4;9}

Determinar cuantos elementos tienen los conjuntos A y B sabiendo que:

a) 6 y 3 b) 5 y 4 c) 5 y 6d) 5 y 8 e) 4 y 7

Del siguiente diagrama: Hallar

a) {2;4;8;9} b) {2;5;8} c) {4;8;9}d) {4;8;9;10} e) {4;9;10}

=

= 3a)#P(A) 128

b)#P(B) 16

( ) ( ) A C A B

=

= 2a)#P(A) 32

b)#P(B) 8

( ) A B C



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

nOTa


Sean los conuntos:

Hallar

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Sean los conuntos:

Hallar

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

= + A {x 3 / x ;x 3}

=

17



Captulo

2Conjunto II

REPRESENTACIN gRfICA DE UN CONJUNTO

Ejemplo:

Diagramas Lineales

A = {Limeos} B = {Peruanos} C = {Argentinos} D = {Bonarenses} U = {Sudamericanos}

Ejemplo:

Diagrama de Venn - euler

A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6, 7}

Observa atentamente el siguiente ejemplo:

F = {Alumnos que practican ftbol}

G = {Alumnos que practican gimnasia}

T = {Alumnos que practican tenis}

U

B

a

C

D

.1

.2

.5

.6

.7

.3

.4

a B

a

m

b

p

c

nx

FUTBOL (F) GIMNASIA (G)

TENIS (T)

Ejemplo 1:

Donde existen:

a alumnos que slo practican ftbol

m + x alumnos que practican ftbol y tenis

m alumnos que practican ftbol y tenis

pero no gimnasia

m + n + p a l u m n o s q u e p r a c t i c a n s l o 2

deportes

m + n + p + x alumnos que practican al menos

2 deportes

a + b + c a l u m n o s q u e p r a c t i c a n 1 s o l o

deporte

n + p g imnastas que pract ican s lo 2

deportes

Diagrama de L. Carroll

Se utiliza para conjuntos que no tengan elementos comunes.

ELEMENTOS

QUE TIENEN a Y B A LA VEZ

ELEMENTOS

QUE NO TIENEN a PERO S B

ELEMENTOS

QUE TIENEN a PERO NO B

ELEMENTOS

QUE NO TIENEN a NI B

a aC

B

BC





1) En un congreso de profesionales 20 son medicos, 12 son medicos y abogados; 23 son abogados y 30 tienen otras profesiones.Cuantos profesionales asistieron al congreso?

2) De los 31 das del mes de mayo Juancho sali con Lola 18 das y con Tula sali 20 das. Cuantos das sali Juancho con las dos?

3) De un grupo de 150 jvenes se sabe que 85 gustan de ciencias y 60 gustan de letras. Si 15 jvenes gustan de ciencias y letras, cuntos jvenes no gustan de ciencias ni de letras?

5) De un total de 80 postulantes a las universidades San Marcos y Uni se sabe que:

* 47 postularon solo a la Uni * 27 postularon solo a San Marcos Cuntos postularon a la Uni y San Marcos?

6) A una fiesta criolla asistieron 150 personas de las cuales 80 cantan; 60 bailan; 30 no cantan ni bailan Cuntas personas cantan y bailan?

1) En Congreso de profesionales 18 son mdicos; 27 son abogados ;11 son mdicos y abogados; y 35 tienen otras profesiones. Cuntos profesionales asistieron al Congreso?

Rpta.: _______

2) De los 28 das del mes de febrero Santiago desayuno jugo de naranja18 das y jugo de pia 15 das.Cantos das desayuno jugo de naranja y de pia?

Rpta.: _______

3) De un grupo de 85 personas; 40 estudian; 50 trabajan ; 10 estudian y trabajan.Cuntos no estudian ni trabajan?

Rpta.: _______

5) En un vecindario donde hay 25 familias se noto que 14 familias tienen solo perros, 9 solo tienen gatos.Cuntas familias tienen perros y gatos?

Rpta.: _______

6) De un grupo de 140 personas a 80 les gusta la salsa,a 70 les gusta el Rock y a 10 no les gusta ninguno de estos dos generos.A cuantos les gusta ambos generos musicales?

Rpta.: _______

4) Sean A, B y C conjuntos ;tales que: y Entonces hallar:

=n(A B) 20=n(A) 14 =n(B) 14

n(A B)

4) Sean A; B y C conjuntos; tales que: n(A)=16 y n(B)=12 Entonces hallar:

Rpta.: _______

n(A B) 24 =

n(A B)

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

19



PROBLEMAS PARA CLASE N 2

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

En una encuesta a 35 personas se comenta que 25 prefieren Coca Cola, 20 prefieren Inca Kola y 5 no gustan de estas gaseosas. Cuntos prefieren solo Inca Cola?.

a) 5 b) 10 c) 15d) 20 e) 25

En una encuesta a 110 alumnos sobre la preferencia por los cursos de Aritmtica y Biologa; se obtuvieron los siguientes resultados:

* 60 prefieren Aritmtica; * 50 prefieren Biologa; * 20 no prefiern ninguno de estos dos cursos. Cuntos prefieren solo uno de estos cursos?

a) 20 b) 30 c) 50d) 70 e) 80

De un total de 50 personas, 3 estudian y trabajan; 13 no estudian ni trabajan y 12 estudian.cuantos trabajan unicamente?

a) 10 b) 9 c) 417d) 25 e) 20

De 200 alumnos que salen el recreo; 90 bebieron Inca Kola; 60 bebieron Coca cola y 60 no prefieren ninguna de estas bebidas.Cuntas alumnas bebieron solo de una de estas bebidas?

a) 130 b) 160 c) 210d) 170 e) 150



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


En un grupo de seoritas se observa que 40 usan aretes; 22 usan aretes y collar y 8 solo collar. Si en total hay 60 seoritas.Cuntos no usan aretes ni collar?

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

En un grupo de caballeros se observa que 30 usan sombrero; 18 sombrero y bastn y 13 solo bastn. Si en total hay 50 caballeros.Cuntos no usan baston ni sombrero?

a) 9 b) 7 c) 6d) 8 e) 3

Resolucin:

Resolucin:

En una asamblea de 70 integrantes de un club: 45 son estudiantes; 48 trabajan; 8 no trabajan ni estudian.Cuantos trabajan, pero no estudian?

a) 31 b) 14 c) 17d) 39 e) 25

Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observo que: 57 consumen mayonesa, 45 consu-men ketchup y 10 no consumen ninguna de estas salsas. Cuntos consumen mayonesa, pero no ketchup?

a) 15 b) 30 c) 42d) 52 e) 40

21



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:


De 50 alumnos de un aula : 30 tienen libro de razonamineto Matemtico 27 tienen libro de Razonamiento Verbal 5 no tienen ninguno de estos libros Cuantos alumnos tienen libro de Razonamiento

Matemtico y Razonamiento Verbal.

a) 10 b) 12 c) 16d) 18 e) 20

De 120 personas 30 conocen slo Argentina; 40 conocen Brasil. Cuntas personas no conocen ninguno de estos paises?

a) 50 b) 100 c) 120d) 180 e) 200

En un saln de 60 alumnos, se obsero que 30 alumnos tienen un libro de Aritmtica; 40 alumnos tienen un libro de lgebra; 10 no tienen ninguno de estos libros.Cuntos tienen libro de Aritmtica y lgebra?

a) 23 b) 15 c) 17d) 18 e) 20

De 100 personas 30 solo hablan ingles y 50 hablan francs.Cuntos no hablan ninguno de estos idiomas?

a) 20 b) 80 c) 60d) 90 e) 70



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa


De un grupo de 200 consumidores de pollo a la brasa: a 120 no les gusta la mostaza; a 130 no les gusta el ketchup; a 80 no les gusta ni la mostaza ni el ketchup.

A cuntas personas le gusta ambas salsas?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

De un grupo de 200 personas, a 120 no les gusta la Salsa; a 130 no les gusta el Rock y a 60 no les gusta ninguno de estos gneros.A cuntas personas les gusta ambos gneros musicales?

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

Resolucin:

Resolucin:

Se encuest a 120 alumnos sobre sus referencias por el voleibol o la natacin; se observ los siguientes resultados: A la cuarta parte no le gusta el voleibol ni la natacin. A la mitad le gusta la natacin. A los 5/12 le gusta el voleibol. A cuntos le sgusta el voleibol y la natacin?

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

De 75 alunos de un aula: * La quinta parte no usan reloj ni anteojos * Los 3/5 usan reloj * La tercera parte usan anteojos Cuntos usan anteojos y reloj?

a) 10 b) 20 c) 25d) 30 e) 40

23



Captulo

3Numeracin I

nUMeRaCin i

Formar, representar y expresar los nmeros del sistema

decimal.

OBJETIVO

Valor absoluto

Valor Relativo

Lectura y Escritura

Sistema Decimal

BaseSistemas de numeracin

nmero numeral Cifra

DEfINICIN

La numeracin es la parte de la aritmtica que estudia la formacin, representacin y expresin de los nmeros.

CONCEPTOS PREvIOS

NMERO

Ente matemtico que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

NUMERAL

Es la representacin de un nmero mediante el uso de smbolos.

Se puede representar por: 4 ; IV; III, etctera.

Ejemplo:

CIfRA

Smbolos que convencionalmente se utilizarn en la representacin de los numerales.0; 1; 2; 3; ...

Conjunto de reglas que permiten formar, expresar y representar nmeros.

Es un entero positivo mayor que la unidad que indica la cantidad de unidades que formar una unidad del orden inmediato superior.

Es aquel sistema que emplea base 10, y se le llama tambin sistema dcuplo. Segn la historia, el 10 se debe a los dedos de las manos.Este sistema emplea, al representar sus nmeros, las cifras del 0 al 9. Del 1 al 9 se les llama cifras significativas, mientras al 0 (cero) se le llama cifra auxiliar.

SISTEMA DE NUMERACIN

bASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIN POSICIONAL

LECTURA y ESCRITURA DE NMEROS ENTEROS POSITIvOS DEL SISTEMA DECIMAL

SISTEMA DECIMAL



Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque tambin se hace de izquierda a derecha. no es necesario un smbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun as a veces se supriman los corrrespondientes a las potencias de 10.

PRINCIPIOS fUNDAMENTALES

1. Al escribir un nmero, la posicin de cada cifra se llama orden y stas, de derecha a izquierda, se denominan unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, etc.

2. El numeral del sistema decimal de cada grupo de 3 cifras de derecha a izquierda se llama clase y de cada grupo de 6 cifras se llama periodo. El periodo comprende 2 clases que se llaman clase de unidades y clase de millares.

3. Lectura :

a. Menos o igual a 6 cifras : Se lee:

23 veintitrs unidades.7234 siete mil doscientas treinta y cuatro unidades.625300 seiscientos veinticinco mil trescientas unidades.

b. Ms de 6 cifras : Se les agrupa de 6 en 6, cada grupo se lee como lo anteriormente indicado seguido del nombre del periodo correspondiente.

4 3 5 7 2 9 0

1.er orden: unidades (u)

2. orden: decenas (d)

3.er orden: centenas (c)

4. orden: millares (m)

5. orden: decenas de millar (dm)

6. orden: centenas de millar (cm)

7. orden: millones (M)

Ejemplo:

Ejemplo 1:Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Se lee:

25 veinticinco unidades

325 trescientas veinticinco unidades

4257 4 mil 257 unidades



3256437 3 millones 256 mil 437 unidades



2652345238 2 mil 652 millones 345 mil 238 unidades

43257000007 43 mil 257 millones 7 unidades

20300034543256 20 billones 300 mil 34 millones 543 mil 256 unidades

c d u c d u c d u c d u c d u c d u 2 5

3 2 5

4 2 5 7

6 8 3 9 6

7 8 0 3 2 0

3 2 5 6 4 3 7

6 7 5 6 9 2 0 3

5 9 3 6 0 0 2 4 0

2 6 5 2 3 4 5 2 3 8

4 3 2 5 7 0 0 0 0 0 7

2 0 3 0 0 0 3 4 5 4 3 2 5 6

clase millares

clase unidades

clase millares

clase unidades

clase millares

clase unidades

PeRiODOTrILLOnEs

PeRiODOUniDaDeS

PeRiODOmILLOnEs

PeRiODOBILLOnEs

25



Ejemplo 5:

Cmo se denomina el orden del 5 de los numerales indicados en el esquema?

c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u 5 3 2

5 0 2 4 3

4 3 5 0 0 0 0 2 1

5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0

4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4

5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3

clase millares

clase unidades

clase millares

clase unidades

clase millares

clase unidades

TrILLOnEs UniDaDeSmILLOnEsBILLOnEs

clase millares

clase unidades

5 3 2 centena

5 0 2 4 3 decena de millar

4 3 5 0 0 0 0 2 1 milln

5 3 0 2 8 3 3 4 4 3 4 0 centena de millar de milln

4 5 3 2 1 1 1 2 6 2 3 4 3 2 4 decena de billn

5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 centena de millar de trilln

Se lee :

vALOR AbSOLUTO DE UNA CIfRA (vA)

Es el valor que representa la cifra.

Es el valor que tiene la cifra por la posicin que ocupa.

vALOR RELATIvO DE UNA CIfRA (vR)

Ejemplo 6:

Indica el VA y VR de las cifras que se indican por un .

4 3 2 VA=3 VR=30

5 6 2 7 4 VA=2 VR=200

2 1 3 4 6 7 VA=1 VR=10000

4 0 7 5 6 9 6 3 VA=7 VR=700000

4. escritura: Se efecta rpidamente un esquema con los periodos mencionados, dentro del cual se anotan las cifras en grupos de a 6, completando con ceros a la izquierda si faltan. Cada 6 cifras se deja un espacio en blanco.

Ejemplo 7:

Escribe 180 mil billones 3 millones 50 unidades

billones millones unidades

1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0

Periodos

Luego : 180000 000003 000050 un espacio libre

} }

} } } }

Ejemplo 8:

Escribe 4372 trillones 120 mil millones 174 unidades.

billones millones unidades

4 3 7 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 7 4

trillones

Luego : 4372 000000 120000 000174



nUMeRaCin ii

Sistema de numeracin

Representacin de un nmero en una base

Descomposicin Polinmica

OBJETIVO

Representar correctamente los nmeros y efectuar la

descomposicin polinmica de los mismos.

Posiblemente la maza del rey Narmer sea el primer testimonio numrico en la historia egipcia. En su parte inferior aparecen algunos animales con smbolos numricos bajo ellos. As, al toro le acompaan las figuras de cuatro renacuajos, mientras que bajo una cabra se muestran cuatro figuras como las anteriores junto a los dedos flexionados, un hombre extendiendo los brazos y dos flores de loto. En otras palabras y tras el examen anterior de los smbolos numricos, 400 000 toros y 1 422 000 cabras. De igual modo, en una estatua del rey Jasejem encontrada en Hierakmpolis han de describirse los 47 209 enemigos muertos por el faran.

Escenas de la vida cotidiana plasmadas en una obra

El sistema corriente de notacin numrica que es utilizado hoy en casi todo el mundo es la numeracin arbiga. Este sistema fue desarrollado primero por los hindes hacia el siglo III a.C. En aquella poca, los guarismos 1, 4 y 6 se escriban de forma casi igual a los que hoy se usan. La numeracin hind pas al mundo rabe alrededor del siglo VII u VIII d.C. La primera referencia escrita del uso de este tipo de numeracin en Europa data del ao 976.

El Taj Mahal fue construido en 1631 por el emperador de Mughal 1

5

10

50

100

500

1000

i

V

X

L

C

D

M

cuadro de numeracin romana

1. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIN

BaSenOmBrE DEL

SiSTeMaCiFRaS QUe Se USan

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Binario

Ternario

Cuaternario

Quinario

Senario

Septenario

Octonario

nonario

Decimal

Undecimal

Duodecimal

0, 1

0, 1, 2

0, 1, 2, 3

0, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 5

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, .......................,10

0, 1, 2, 3, .........................,11

Observacin

El primer sistema de numeracin es el

binario y emplea base 2.En base 2 se usan 2 cifras: 0 y 1

En base 3 se usan 3 cifras: 0; 1 y 2

En base 4 se usan 4 cifras: 0; 1; 2 y 3.

En base 2 la mxima cifra es 1.



En base 11 se conviene el cambio: (10)

= En base 12 se conviene el cambio: (11)

= para que se les observe que tienen 1 sola cifra.

...

...

27



Ejemplo:

2. REPRESENTACIN DE UN NMERO EN UNA bASE

CiFRaS(BaSe)

4325 (7)

1. Para enteros, la primera cifra de la izquierda no puede ser cero.

2. Cada cifra siempre ser MENOR que la base como se observar: el 4, el 3, el 2 y el 5 son menores que el 7.

3. Cuando la base es 10, no se indica. Es decir: 324 324

(10) es lo mismo

4. La lectura se hace uno a uno mencionando la base finalmente, excepto cuando la base no es 10.

235(8)

se lee 2; 3; 5 en base ocho 12

(12) se lee 1; 2 en base doce

CONSIDERACIN

3. REPRESENTACIN LITERAL DE NMEROS EN UNA bASE

1 cifra

2 cifras

3 cifras

4 cifras

numeral de

a

Representacin

abcd(n)abcd

abc(r)

mnp

(n)ab

CONSIDERACIONES

Ejemplo:

1. La primera letra no puede tomar valor cero. 2. Cada letra representa a una cifra.3. Letras iguales son las mismas cifras.4. Cada parntesis es una cifra.

Que nmeros puede tomar a ? Puede ser: 1; 2; ....... 9

Que nmeros puede tomar a(5)

? Puede ser: 1; 2; ....... 4

Por qu "a" es cifra significativa!

Cuntos nmeros hay de la forma ab(3)

?

Pueden ser: 10(3)

; 11(3)

; 12(3)

; 20(3)

; 21(3)

; 22(3)

.

Resolucin:

Qu condicin debe cumplirse para que a2(5)

sea un numeral correctamente escrito?

La nica condicin es que:

a < 5 y a 0

Es la suma indicada del valor relativo de cada cifra.

= a(n)3+b(n)2+c(n)+d(1)

valor posicional

a b c d(n)

n3 n2 n 1

D.P.

4. DESCOMPOSICIN POLINMICA

Descompn polinmicamente los numerales indicados.

= 3(10)3 + 4(10)2 + 5(10) + 6(1)

3 4 5 6

103 102 10 1

Ejemplo 1:

Son en total 6 nmeros.

En la escritura, 2a4(7)

cuntas cifras tiene y qu valores

puede tomar "a"?

* Tiene 3 cifras.

* "a" puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

Cuntas cifras tiene n(n+1)(n+2)? Tiene 3 cifras.

Cuntas cifras tiene? 5(n-1)6(n+2)

(12)

Tiene 4 cifras.

En el numeral a(a+3)2(7)

,

cuntos valores puede tomar a?

a (a+3) 2(7)

1 4 2 2 5 2 3 6 2 4 7 2 No

Luego "a" toma 3 valores: 1; 2 3





1) En cunto excede la cifra de menor orden a la cifra de mayor orden, en el numeral 236025?

2) De los enunciados, indica el o los numerales mal escritos.

I. 28(3)

II. 126(5)

III. 1111(9)

IV. 961(11)

5) Ordena de mayor a menor los siguientes nmeros.

I. 35(7)

II. 42(8)

III. 73(9)

6) Indica si son verdaderos (V) o falsos (F) los siguientes enunciados.

I. 22(7)

< 31(6)

II. 14(9)

> 11(15)

III. 27(8)

< 11(24)

1) En cunto excede la cifra de mayor orden a la cifra de menor orden en el numeral 70250?

Rpta.: _______

2) Indica el o los numerales mal escritos de los siguientes enunciados:

I. 104(3)

II. 999(9)

III. 456(7)

IV. 1088(9)

Rpta.: _______

5) Ordena de mayor a menor los siguientes nmeros. I) 44

(6) II) 41

(5) III) 43

(7)

Rpta.: _______

6) Indica si son verdaderas (V) o falsas (F), las siguientes afirmaciones.

I. 24(5)

< 23(6)

II. 30(9)

> 27

III. 23(7)

> 21(9)

Rpta.: _______

3) Cuntas cifras tienen los siguientes nmeros si estn bien escritos?

I. ab34(8)

II. 7xy(9)

III. 12(ab)ab(11)

4) Cunto suman todos los posibles valores de "m"?

72m13(8)

3) Cuntas cifras tienen los siguientes nmeros si estn bien escritos?

I. 4(12)8(13)

II. 7(16)(13)6(20)

Rpta.: _______

4) Halla la suma de todos los posibles valores de "d".

45d6(7)

Rpta.: _______

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

29




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:Resolucin:

Si a > 1 y los siguientes nmeros estn bien escritos, halla "a + b + c + d ".

2a(b)

; b3(c)

; 3c2(d)

; d1(6)

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) 18

Halla el valor de "a" si:

a7(8)

= a3(9)

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 6

Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes nmeros estn bien escritos. Da como respuesta la suma de ellos.

a1(b)

; b1(d)

; 2d3(c)

; c1(5)

a) 1 b) 10 c) 7d) 4 e) 6

Halla el valor de "b" si:

b3(6)

= b4(5)

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:

Calcula la suma en base 17: 3(17)2+ 5(17)5+ 3(17)

a) 500330(17)

b) 400339(17)

c) 500320

(17)

d) 302(17)

e) 5(17)

Calcula la suma en base 13: 10(13)+ 11(13)2+ 133

a) 1 b) 10 c) 10

d) 10 e) 10


Halla el valor de "y" si:

31(y)

+ 23(y)

= 54(6)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 9

Halla el valor de "z" si: 21

(z) + 35

(z) = 36

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

31



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



Si los nmeros estan correctamente escritos. calcular a+b?

a) 18 b) 15 c) 13d) 12 e) 9

Hallar: x+y

si: es un nmero capica.

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

Si los nmeros: estan correctamente escritos. calcular a+b?

a) 18 b) 15 c) 13d) 12 e) 9

Si el numeral es capicua,hallar m+n

a) 1 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

+ +(m 1)7a(n 2)(2m)

(a) (b) (8)351 ;4a2 ;b46

(x 1)35y7

( ) ( ) ( )a 8b545 ; 6b5 ; 7a3



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa


Hallar x,si:

a) 2 b) 3 c) 5d) 4 e) 8

Hallar x; si:

a) 1 b) 3 c) 2d) 5 e) 4

=(8)x75 25x=(6)x45 1x7


Hallar a+b+m,si:

a) 9 b) 5 c) 2d) 4 e) 6

Hallar: a+b, si se cumple:

a) 1 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

=(7)262 a4b=(6)253 amb

33



Captulo

4Numeracin II

Objetivo

CienCiaCAMbIO DE bASE

De (n) a (10)

Representar un mismo nmero en distintos sistemas de numeracin

De (10) a n

De (n) a (m)

123(4)

= 1 x 42 + 2 x 4 + 3

= 16 + 8 + 3

= 27

Entonces : 123(4)

= 27

Convierte al sistema decimal 123

(4).

CAMbIO DE bASE

Se efecta por Descomposicin Polnmica.

1. DE bASE DIfERENTE DE 10 A bASE 10

Ejemplo 1:

45(6)

= 4 x 6 + 5

= 24 + 5

= 29

Entonces : 45(6)

= 29

Convierte a base 10 : 45(6)

Ejemplo 2:

102(3)

= 1 x 32 + 0 x 3 + 2

= 9 + 0 + 2

= 11

Entonces : 102(3)

= 11

Convierte a base 10 : 102(3)

Ejemplo 3:

en el ao 773 lleg a Bagdad una caravana procedente de la india. entre los regalos suntuosos que haba para el califa al-Mansur estaba el manuscrito llamado Siddhanta, en el que se esconda un fabuloso tesoro: era un tratado de astronoma con sus tablas y las diez cifras con las que actualmente contamos, incluida la cifra del cero: eka, dva, traya, chatur, pacha, shat, sapta, ashat, nava y shunya que quiere decir vaco y se notaba por un pequeo redondel. Los

rabes lo tradujeron por sifr que los latinos tradujeron por zephirum y de ah el cero. SFR sirvi para llamar a todos los nmeros: CiFRa.

SISTEMA HIND RAbE



3. DE bASE DIfERENTE DE 10 A bASE DIfERENTE DE 10

Tambin podemos usar el mtodo de RUFFINI.

Convierte al sistema decimal.

Esquema:

3 2 1 3

4 12 56 228

3 14 57 231

231

Esquema:

205

1 2 10

13 13 195

1 15 205

Este mtodo es denominado Divisiones Sucesivas.

Convierte 327 a base 4.

327 = 11013(4)

Convierte 425 a base 3.

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

2. DE bASE 10 A bASE DIfERENTE DE 10

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

425 = 120202(3)

Expresa 210(5)

en base 4.

210(5)

= 2 x 52 + 1 x 51 + 0 = 2 x 25 + 5 = 55

425 3

3 141 3

12 12 47 3

12 21 3 15 3

005 21 17 15 5 3

3 0 15 0 3 1

2 2 2

55 4

4 13 4

15 12 3

12 1

3 210(5) = 55 = 313(4)

Expresa 213(6)

en base 5.

213(6)

= 2 x 62 + 1 x 61 + 3 = 2 x 36 + 6 + 3 = 81

81 5

5 16 5

31 15 3

30 1

1213(6) = 81 = 311(5)

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

327 4

32 81 4

007 8 20 4

4 1 20 5 4

3 0 4 1

1

Observaciones

1. Si ab(n) = xy(n) a = x ; b = y

2. Si ab(n) = pq(m)

ab > pq n < m

Si ab(7)

= 24(7)

, calcula a + b.

a = 2 y b = 4 a + b = 6

Ejemplo 10:

35



Si 2p3q(6)

= 2435(6)

, calcula p2 + q2.

p = 4, q = 5 p2 + q2 = 42 + 52 p2 + q2 = 41

Si 12(x)

= 43(y)

, cmo es x respecto de a y?

Como 12 < 43 x > y

Si 301(n)

= 15(m)

, cmo es n respecto de m?

Como 301 > 15 n < m

Ejemplo 11:

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:

Lo dijo ......Edison

El genio es un uno por ciento de inspiracin, y un noventa y nueve por ciento de

transpiracin.

PSICOANLISIS A LOS NMEROS (I)

En la mayora de las culturas, el nmero tres simboliza lo ACABADO y CULMINADO.Es, por ello, un nmero sagrado para muchas religiones que representan la divinidad como trada, manifestando la PERFECCIN, la COMPLEJIDAD y la COMPLEMENTARIDAD, lo que significa EQUILIBRIO.As los cristianos creen en la Santsima Trinidad (Dios Padre, Hijo y Espritu Santo),mientras que para los hinduistas la divinidad es expresada en Brahma, Shiva y Vishn, quienes mantienen la vida en un eterno retorno.El tres, obtenido con el 1 y el 2, se asocia a la vida y la experiencia: es nacimiento, ser y muerte o presente, pasado y futuro.Neptuno usa un tridente, Shiva lleva un tridente, Satans se representa con un tridente: el poder.





1) Relaciona ambas columnas adecuadamente.I. 23

(5) ( ) 15

II. 15(7)

( ) 13III. 33

(4) ( ) 12

2) Convierte a base 10.

I. 123(6)

II. 234(5)

3) Convierte a base 5.

I. 239 II. 347

4) Convierte: 14

(12) a base 13

1) Relaciona ambas columnas adecuadamente.I. 32

(4) ( ) 23

II. 43(5)

( ) 14III. 23

(4) ( ) 11

2) Convierte a base 10.I. 234

(6) II. 342

(5)

Rpta.: _______

3) Convierte a base 4 los nmeros:I. 304 II. 207

Rpta.: _______

4) Convierte:10

(12) a base 11

Rpta.: _______

5) Halla x si: xxx = 4210

(5)

6) Si abc(9)

= 175, halla a + b + c.

5) Halla y si: yyy = 1313

(6)

Rpta.: _______

6) Si a0a2(5)

= 132, halla a.

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

37




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Si mnp(8)

= 312(7)

, halla m + n + p.

a) 5 b) 7 c) 9d) 10 e) 12

Convierte al sistema octonario: 11101

1112(6)

a) 16 314(8)

b) 16 324(8)

c) 1 324(8)

d) 16 234(8)

e) 11 324(8)

Calcula a + b si: aab

(4) = 131

5

a) 4 b) 5 c) 3d) 6 e) 7

Convierte a base 7: 111

1211(5)

a) 45(7) b) 56(7) c) 45(7)d) 63(7) e) 121(7)



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:

Si a(4a)(2a)7 = bc

9 , halla b.

a) 4 b) 6 c) 8d) 7 e) 10

Halla b, si: 3(2b)

6 = 4b

5

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


Halla x + y a partir de:

1 244(n)

= 5xy(6)

a) 2 b) 4 c) 15d) 8 e) 10

Calcula a + b si se cumple:

451n = 3ab7

a) 4 b) 12 c) 11d) 10 e) 5

39



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:


Calcular n; si:

a) 8 b) 10 c) 14d) 16 e) 12

Hallar n + p, si:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Hallar x, si:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

Calcular n; si :

a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

=(4) (5)202 nnp

16 16

16

16 n 14 veces

= 92

=(5) (9)x13 102

12 12

12

12 n 21 veces

= 46



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa


Si : Hallar: a+b+c

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

Si: Hallar:a+n

a) 8 b) 9 c) 10d) 12 e) 13

= (6)(m)2411 1abc =(n) (8)26a 215


Calcular n; si :

a) 6 b) 8 c) 10d) 11 e) 12

Calcular n; si:

a) 2 b) 5 c) 3d) 4 e) 6

=(n) (7)ab5 1n4 = (6)(n)1xy4 n31

41



Captulo

5Adicin en elConjunto Z

S = a + b

Suma Sumandos

80(9)

+

47(9)

137(9)

Se procede de la misma manera que se suman los nmeros positivos con la nica diferencia que el signo del resultado de la suma ser (-).

S = -(15 + 13) = -28i) S = (-13) + (-8) S = - (13 + 8) = -21

ii) S = (-15) + (-6) + (-9) S = -(15 + 6 + 9) = -30

1. S = 15 + 16 + 12=2. S = (-8) + (-7) (-13)=3. S = 42 + 48 + 88=4. S = (-34) + (-12) + (-9)=5. S = (-15) + (-16) + (-11)=

Ahora practica t!!!

ADICIN

Es la operacin binaria que, dados 2 enteros a y b llamados sumandos, hace corresponder un tercer entero S llamado Suma.

CONCEPTO

Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.

Asociativa:Agrupando los sumandos de diferentes maneras se obtiene la misma suma.

Del Elemento Neutro:La suma de un nmero entero con cero da el mismo nmero.

Inverso Aditivo: Si a Z, (-a) Z / a + (-a) = 0

i) S = 25 + 13 ii) S = 23 + 45+16 S = 38 S = 84

Ahora sumemos nmeros negativos!!!

iii) S = (-15) + (-13)

PROPIEDADES:

a + b = b + a

(a+b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a

Ejemplos:

PROCEDIMIENTO:

ADICIN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIN

Ejemplos:

a) Calcula: 80(9)

+ 47(9)

En la 1. columna:7 + 0 = 7

En la 2. columna:8 + 4 = 12 = 1(9) + 3

se lleva queda

a

a



b) Calcula: 45(6)

+ 53(6)

45(6)

+

53(6)

142(6)

Naci en Leipzig, Alemania; fue diplomtico, lingista, filsofo y matemtico. Son conocidas sus contribuciones a la lgica simblica y a la filosofa; tambin perfeccion la mquina de calcular inventada unos aos antes por Pascal; pero su mayor fama se debe a que invent, igual que Newton, el clculo diferencial e integral.

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)

En la 1. columna:5 + 3 = 8 1(6) + 2

se lleva queda

En la 2. columna:4 + 5 +1 = 10 1(6) + 4

se lleva queda

a

a

SUMA DE LOS "n" NMEROS NATURALES CON-SECUTIvOS

SUMATORIAS

Donde: n es el ltimo nmero.

i = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + ni=1

n

Halla el valor de B si:B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

n = 20 trminos

ObSERvACIN:

ADICIN EN COLUMNA

i=1

n

i = n (n+1)2

Ejemplo:

B =

n (n+1)

220 (20+1)

2

B = 210

La frmula n(n+1) / 2 slo se cumplir cuando los nmeros son consecutivos y empiezan con 1. Caso contrario no se cumplir.

Halla el valor de A si: A = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 77 A =

Luego:

77 (77+1)2

Si a + b = 17, calcula:

ab + ba

Resolucin:

Si a + b + c= 15, calcula:

abc + cab + bca

Resolucin:

ab + ba 1717187

abc + cab bca 15 15 15 1665

Resolucin:

A = 3003

43





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) La suma de 3 nmeros enteros consecutivos es 120. Halla el nmero menor.

2) La suma de 2 nmeros enteros impares consecutivos es 24. Halla el nmero menor.

3) La suma de 4 nmeros enteros consecutivos es 26. Halla el nmero mayor.

4) Juan tiene 10 colores, Luis tiene 4 colores ms que Juan y Csar tiene 5 colores ms que Luis. Cuntos colores tienen entre los 3 juntos?

5) Ana tena 26 aos cuando naci su hija Lili. Si actualmente Lili tiene 18 aos, cunto suman las edades actuales de Ana y Lili?

6) Jorge camina 30m hacia el este y luego 20 m en el mismo sentido. Cul es la ubicacin de Jorge respecto a su origen?

1) La suma de 3 nmeros enteros consecutivos es 180. Halla el valor del nmero mayor.

2) La suma de 2 nmeros enteros impares consecutivos es 36. Halla el nmero mayor.

3) La suma de 4 nmeros enteros consecutivos es 46. Halla el nmero menor.

4) Manuel tena 25 aos cuando naci su hijo Benjamn. Si actualmente Benjamn tiene 10 aos, cunto suman las edades actuales de Manuel y Benjamn?

5) Julia tiene 12 caramelos, Ana tiene 6 caramelos ms que Julia y Cinthya tiene 8 caramelos ms que Ana. Cuntos caramelos tienen entre las 3 juntas?

6) Ana camina 40 m hacia el oeste y luego 60 m en el mismo sentido, cul es la ubicacin de Ana respecto a su origen?




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2




Si: A = 1+2+3+4+5+...+39halla el valor de la suma. a) 720 b) 740 c) 760d) 780 e) 800

Si: N = 1+2+3+4+5+...+26halla la suma.

a) 240 b) 351 c) 341d) 291 e) 310

Al sumar 3 nmeros se obtiene 70. Si se sabe que el segundo es el doble del primero y el tercero el cudruple del primero, halla el menor nmero. a) 20 b) 10 c) 30d) 40 e) 50

La suma de 3 nmeros es 90. Si el segundo es la mitad del primero y el tercero es el triple del primero, cul es el nmero mayor? a) 50 b) 40 c) 60d) 30 e) 70

45



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4



Calcula n si:1 + 2 +3 + ... + n = 465

a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

Calcula x si:1 + 2 +3 + ... + x = 276

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

Si:bc4 + 7a6 + 3a4 = 1c5a ,halla el valor de a + b + c.

a) 13 b) 17 c) 14d) 15 e) 16

Si se sabe que p + q + r =13, halla el valor de la siguiente suma: pqr + qrp + rpq

a) 1440 b) 1330 c) 1443d) 1331 e) 1341



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:


Resolucin:

Resolucin:

Si m + n + p = 20 , halla:mnp + npm + pmn

a) 1120 b) 2220 c) 2100d) 1220 e) 2112

Si: (a + b + c)2 = 289, y ademsabc + bca + cab =mnpqcalcula m+n+p+q. a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

Si sabemos que se cumple: mmm = nnn 333 y mmm + nnn = 1443, halla m + n. a) 18 b) 13 c) 12d) 16 e) 17

Si se cumple que: ppp = qqq 222 y ppp + qqq = 1776; halla p + q. a) 16 b) 15 c) 17d) 14 e) 18

47



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

? ? 0 2 + 8 ? 5 0 4 0? 1 5 ? 4

Cambia las interrogantes por nmeros que completen correctamente las operaciones.

Halla T + K.

a) 6 b) 5 c) 4d) 3 e) 1

T 2 T K T T+ K 4 T 7 9 9

Halla la edad de un padre que tiene 15 aos ms que la suma de las edades de sus cuatro hijos, que tienen: el cuarto tres aos, el tercero uno ms que el cuarto, el segundo tres aos ms que l tercero y el primero tanto como los otros tres juntos.

a) 39 aos b) 43 aos c) 53 aosd) 51 aos e) 45 aos

Juan tena 33 aos cuando naci su hijo Pedro. Actualmente Pedro tiene 10 aos. Cunto suman sus edades actualmente? a) 53 aos b) 63 aos c) 43 aosd) 83 aos e) 33 aos



Captulo

6Sustraccin en elConjunto Z

DEfINICIN

Es la operacin inversa a la adicin, que consiste en que dados 2 nmeros enteros llamados minuendo y sustraendo, buscamos un tercer nmero entero llamado diferencia que adicionado al sustraendo nos resulta el minuendo.

Qu fcil !Ahora practica t...

1) M = S + D2) M + S + D = 2M

i) 485 - 328

ii) 521 - 435

M - S = D

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

1) 5 2 3 - 4 8

5 9 3

2) 4 9 3 - 2 2

3 1 6

4) 7 9 - 6 9

3 5 3 2

3) 9 2 2 - 2

3 7 7 7

SUSTRACCIN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIN

PROPIEDADES:

Completa los casilleros vacos.

a) Si al minuendo de una sustraccin le quitamos 15 y al sustraendo le aumentamos 10, en cunto vara la diferencia?

b) Si los 3 trminos de una sustraccin suman 160, halla el minuendo.

Ejemplos:

Dato:45 -1233

30 -22 8

Disminuye 33 - 8 = 25

Dato:

M + S + D = 160

Luego: 2M = 160

M = 80

Ejemplos:

43(5)

- 32

(5)

11(5)

En la 1. columna:3 - 2 = 1

En la 2. columna:4 - 3 = 1

a

a

a) Calcula: 43(5)

- 32(5)

49



Ahora hazlo t!

d) Calcula: 63(8)

- 35(8)

c) Calcula: 54(7)

- 25(7)

b) Calcula: 62(7)

- 46(7)

62(7)

-

46(7)

13(7)

En la 1. columna:Se presta una base a

2 2 + 7 = 99 - 6 = 3 queda

a

En la 2. columna:Ya se prest una basede 6 6 - 1 = 55 - 4 = 1 queda

a

Naci en Alejandra, su padre era matemtico y profesor de museo y se preocup de darle una buena formacin y lo consigui pues Hipatia fue una filsofa, astrnoma y matemtica que lleg a superar a su padre.

Contribuy a la invencin de aparatos como el aermetro y construy el astrolabio. Era defensora del heliocentrismo (teora que defiende que la Tierra gira alrededor del Sol).

Hipatia de Alejandra (370 415)





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Si los 3 trminos de una sustraccin suman 400, halla la suma del sustraendo ms la diferencia.

1) Si los 3 trminos de una sustraccin suman 190, halla el minuendo.

2) Si al minuendo de una sustraccin le sumamos 130 y al sustraendo le sumamos 40, en cunto vara la diferencia?

3) Si al minuendo de una sustraccin le sumamos 230 y al sustraendo le quitamos 120, en cunto vara la diferencia?

4) Patty empez a tomar su desayuno a las 8h 35 min y acab a las 10h 8min. Cunto dur su desayuno?

5) Frank entra a un restaurante y consume una fuente de mariscos de S/. 35, luego unos chicharrones de calamar de S/. 15 y de postre un helado de S/. 12 . Si pag con un billete de S/.100 y dio de propina al mozo S/. 8, cunto recibi de vuelto Frank?

6) Calcula la diferencia entre el menor capica de 4 cifras y el mayor nmero de 3 cifras distintas.

2) Si al minuendo de una sustraccin le sumamos 73 y al sustraendo le restamos 27, en cunto vara la diferencia?

3) Si al minuendo de una sustraccin le quitamos 38 y al sustraendo le aumentamos en 20, en cunto vara la diferencia?

4) Roco se pone a dieta para bajar de peso. El primer mes subi 3 kg, el segundo mes baj 5 kg, el tercer mes aument 4 kg y el cuarto mes baj 6kg. Cuntos kilogramos subi o baj Roco?

5) Jos va al supermercado y compra S/.80 de carnes, S/.40 de verdura y frutas, y S/.20 de embutidos. Si paga con un billete de S/.200, cunto recibe de vuelto?

6) Indica la menor diferencia positiva entre 2 capicas de 3 cifras cada uno.

51




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2


Una persona deja, al morir, a cada uno de sus hijos S/.840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de ste se reparti entre los dems, recibiendo entonces cada uno S/.1120, cul es la fortuna dejada? a) S/.3360 b) S/.3300 c) S/.3630d) S/.3600 e) S/.3603

Un padre fallece y deja como herencia a cada uno de sus hijos S/.1200. Uno de los hermanos fallece y la herencia de ste se reparti entre los dems, recibiendo entonces cada hermano S/.1500, cul es la fortuna dejada? a) S/.3000 b) S/.6500 c) S/.5000d) S/.5500 e) S/.6000

Si a - b = 7, calcula 3bb - aa .

a) 227 b) 177 c) 173d) 223 e) 203

Si a - c = 6, calcula abc - cba .

a) 196 b) 594 c) 198d) 604 e) 394





Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

6 - 3 2 5

2 7

Completa los casilleros vacos e indica la cifra mayor.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Completa los casilleros vacos e indica la cifra menor.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

6 3 - 5 8

3 4

Completa los casilleros vacos e indica la suma de ellos.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 15

8 9 - 3 8

2 2

Completa los casilleros vacos e indica la dife-rencia del trmino mayor y menor.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

7 9 - 5 4 8

3



53



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Si los 3 trminos de una sustraccin suman 840, halla la suma del sustraendo ms la diferencia. a) 340 b) 420 c) 348d) 590 e) 800

Si los 3 trminos de una sustraccin suman 7856, halla la suma del sustraendo ms la diferencia. a) 5000 b) 3928 c) 3572d) 4318 e) 7431

Calcula: x + y + z + w si: 7600(8)

- 3764(8)

es igual a xyzw

(8).

a) 20 b) 23 c) 21d) 22 e) 24

Si 203(9)

- 176(9)

= xy(9)

, calcula x + y

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

Resolucin:

Resolucin:




Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa

La suma de los 3 trminos de una sustraccin es 598, halla el minuendo.

a) 300 b) 299 c) 320d) 540 e) 820

La suma de los 3 trminos de una sustraccin es 7892, halla el minuendo.

a) 3000 b) 5000 c) 3946d) 5496 e) 5789

Jorgito va al mercado y compra S/.90 de carnes, S/.80 de verduras, fruta y S/.50 de embutidos. Si paga con un billete de S/.500, cunto recibe de vuelto?

a) S/. 140 b) S/. 240 c) S/. 280d) S/. 300 e) S/. 200

Franco entra a un restaurante y consume una fuente de mariscos de S/.50, luego unos chicharrones de calamar de S/.15 y de postre un helado de S/.37. Si pag con un billete de S/.200 y dio de propina al mozo S/.8, cunto recibi de vuelto Franco?

a) S/. 50 b) S/. 60 c) S/. 80d) S/. 90 e) S/. 153


Resolucin:

Resolucin:

55



Captulo

7Multiplicacin en elConjunto Z

DEfINICIN

Es la operacin aritmtica directa que consiste en adicionar un mismo entero llamado multiplicando tantas veces como indique otro entero llamado multiplicador, a fin de obtener el producto.

Es decir:

a + a + ... + a = P

b veces

Producto

a x b = P

MultiplicadorMultiplicando

LEy DE SIgNOS

(+) (+) = +(+) () = () (+) = () () = +

Tambin:a y b se llaman "factores o divisores de P".

* 7 + 7 + ... +7 = 7 x 30 = 210

30

* m + m + ... +m = m x n = mn

n

Indica a qu es igual:

* 2 + 2 + ... +2 = 2 x 13 = 26

13

El signo x puede ser sustituido por: el punto (.) o bien por el parntesis.

2x3 = 2.3 = (2)(3) = 6Cuando hay letras no se pone nada.axb = a.b = (a)(b) = ab

Se lee: a por b

ObSERvACIN:

Ejemplos: (2)(2)(4) =16

(5)(2) = 10

(2)(7) = 14

3(2+5)= 3 (+3) = 9

(2)(3)+ (5)(2)

+6 + (+10)

6 + 10 = 16

(8)(3) (2)(5) (4)

24 (10) + 4

24 + 10 + 4

24 + 14

10

Ejemplos:

(2)(8) (5) + (3)(2)

16 + 5 + (6)

16 + 5 6

22 + 5

17

1 1 1 ... 1

33

(1) x 33

33



6. DISTRIbUTIvA: ''Un entero multiplicado por una adicin o sustraccin,

se distribuye multiplicando a los elementos de dicha operacin.''

a x (b + c) = a x b + a x c a x (b c) = a x b a x c

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN

1. CLAUSURA O CERRADURA: ''El producto de 2 enteros es otro entero''.

2. CONMUTATIvA: ''El orden de los factores no altera el producto''.

4. IDENTIDAD MULTIPLICATIvA: Existe un entero denotado por 1, tal que multiplicado

por un entero da el mismo entero.

5. ELEMENTO NULO: Existe un entero denotado por 0 (cero), tal que

multiplicado por un entero da siempre 0.

3. ASOCIATIvA: Al multiplicar enteros pueden agruparse y el resultado

ser siempre el mismo.

a x 0 = 0 x a = 0

a x 1 = 1 x a = a

(a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c

Si a x b x c = a x c x b = b x a x c

Si a b Z a x b Z

MULTIPLICACIN EN COLUMNA

Calcula: 234 x 32

o

3 2 x 2 3 4 1 2 8 9 6 6 4 7 4 8 8

(ii)

2 3 4 x 3 2 4 6 8 7 0 27 4 8 8

(i)

3 8 5 x 1 8 3 1 0 0 3 8 5 6 9 5 0

Luego: 3 1 0 0 + 3 8 53 4 8 5

Si : abc x a = 869

abc x b = 846

abc x c = 1692;

Halla abc2.

a b c x a b c . . . . . .. . . . .

TERMINACIONES

Ejemplo:

Resolucin:

Al multiplicar 385 x 18, halla la suma de sus productos parciales.

Ejemplo:

Resolucin:

Resolucin:

Si : ab x a = 265 y ab x b = 159, halla a) ab2

b) ab x ba

a b x a b 1 5 9 2 6 5 2 8 0 9

a b x b a 2 6 5 1 5 9 1 8 5 5

NOTACIN:* Nmero entero, terminado en 7 se escribe : ...7* Nmero entero, terminado en 0 se escribe : ...0* Nmero entero, terminado en 12 se escribe : ...12* Nmero de 2 cifras, terminado en 3 se escribe: a3* Nmero de 3 cifras, terminado en

5 se escribe: ab5

57



(...1)(...1) = ...1

(...5)(...5) = ...5

(...6)(...6) = ...6

(par)(par) = par

(impar)(par) = par

(impar)(impar) = impar

(nmero)(...0) = ...0

(par)(...5) = ...0

(impar)(...5) = ...5

PROPIEDADES:

Ejemplos:

1. En qu termina 222 + 33 x 29?

22 x 22 + 33 x 29 ...4 + ...7 ...1

Resolucin:

2. En qu termina 4353 + 72 x 325?

435 x 435 x 435 + 72 x 325 ...5 + ...0 ...5

3. En qu termina 639725 x 444444?

......0

4. En qu termina 552 + 332 + 662 ?

55 x 55 + 33 x 33 + 66 x 66 ...5 + ...9 + ...6 ...0

5. En qu termina un nmero formado por 18 cincos por otro formado por seis sietes?

...5 x ...7 = ...5

6. Indica en qu termina: 639 x 124 x 972 329 x 632

...9 x ...4 x ...2 ...9 x ...2 ...2 ...8 ...4

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

ALTERACIONES

7. Halla las 2 ltimas cifras de 6354 x 2367.

5 4 x 6 7 . 7 8 . 4 . . . 1 8

8. Halla las 2 ltimas cifras de 70201 x 324 - 43 x 532?

Luego:

. . . 2 4 . . . 7 6 . . . 4 8

0 1 x 2 4 0 4 2 . . . 2 4

4 3 x 3 2 8 6 9 . . . 7 6

Resolucin:

Resolucin:

9. Halla las 2 ltimas cifras de: 5 + 55 + 555 + 5555 + 55555

5 + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 2 0 . . . 2 5

Resolucin:

1. Sea 24 x 32. Si los factores disminuyen cada uno en 3, en cunto disminuye el producto inicial?

24 x 32 = 768 21 x 29 = 609 Disminuye en 768 - 609 = 159

2. Sea 35 x 29. Si al multiplicando se le aumenta 6 unidades, qu sucede con el producto?

35 x 29 = 1015 41 x 29 = 1189

Aumenta en: 1189 - 1015 = 174

Resolucin:

Resolucin:



c b b x 3 d d c 1

3 x b = ...1 b = 7, llevo 2

3 x 7 + 2 = 23 c = 3, llevo 2

3 x 3 + 2 = 11 d = 1

b + c +d = 7 + 3 + 1 =11

U

D

C

1. Halla b + c + d si cbb x 3 = ddc1

REgLA:Si el producto es menor a la base entonces se coloca el producto; y si el producto es mayor o igual a la base, entonces se divide, se coloca el residuo y se lleva el cociente.

3 2 47 x

3 17

3 2 4 1 3 0 5 1 3 4 0 4

7

Multiplica 3247 x 31

7

3 x 3 + 1 = 10 7 3 1 llevo

coloco llevo

coloco

3 x 4 = 12 7 5 1

llevo

coloco

3 x 2 + 1 = 7 7 0 1

c a 6 x a d b c 0

2. Halla a + b + c + d Si ca6 x a = dbc0

MULTIPLICACIN EN OTRAS bASES

En qu termina en el sistema octal? 54

8 x 23

8

Basta hacer: 12 8 4 1 llevo

coloco

4 x34

Rpta.: En 48

En qu termina 57 x 5

7 en base 7?

Hacemos

25 7 4 3 llevo

coloco

5 x54

Rpta.: En 47

CRIPTOARITMTICA

1. Factoriza el 6 a) En 2 factores enteros positivos: 2 x 3 6 x 1 b) En 3 factores enteros positivos: 2 x 3 x 1 6 x 1 x 12. Factoriza 12 a) En 2 factores enteros positivos consecutivos: 4 x 3 b) En 2 factores enteros positivos que se diferencian en

4: 6 x 2 c) En 2 factores enteros positivos que se diferencian en

11: 12 x 1

fACTORIZAR UN ENTERO

Ejemplo:

Ejemplo:

Resolucin:

Resolucin:

U

D

C

6 x a = ...0 a = 5, llevo 3

5 x 5 + 3 = 28 c = 8, llevo 2

5 x 8 + 2 = 42 db = 42

a +b + c +d = 5 + 2 + 8 + 4 =19

Resolucin:

Resolucin:

3. Sea P = a x b x c Si a se duplica; b se triplica y c se cuadruplica, en

cuntas veces aumenta P?

P = a x b x c nuevo P = (2a)(3b)(4c)= 24abc

Aument en 23 veces.

4. Sea P = a x b x c Si a se triplica; b se cuadruplica y c se quintuplica,

entonces. en cuntas veces aumenta P?

P = a x b x c P = (3a) x (4b x 5c) P = 60 abc

Aument en 59 veces.

Resolucin:

Resolucin:

59





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

1) Si : A= 10+10+ ... +10 B= 7+7+...+7

C=( 3)+( 3)+...+( 3);

halla A B + C.

90 30

200

2) Indica verdadero (V), falso(F), segn corresponda.

( I ) 5 (3 + 7) = 5 x 3 + 5 x 7; es la propiedad separativa.

( II ) El mdulo de la multiplicacin es 1. (III) Si 4 x 5 = 5 x 4, es la propiedad conmutativa. (IV) Si 6 x 3 = 18 x 1, es la propiedad distributiva. ( V ) Si 6 x 4 x 5 = 2 x 12 x 5, es la propiedad

distributiva.

3) Si : pq x p = 136 y pq x q = 102 ;

halla pqpq x pq.

4) Si : abc x a = 470 abc x b = 705

abc x c = 1175;

halla abc x (a + b + c)

5) Indica en qu termina la expresin:

24232728297345635

6) Halla las 2 ltimas cifras de:

163 432 - 167 23

1) Si : A= 5+5+...+ 5 B=(7)+(7)+...+(7)

C= 8+8+...+8 ;

halla A + B + C.

50 70

60

2) Indica verdadero(V)o falso(F), segn corresponda.

( I ) 6 x 8 x 3 = 8 x 3 x 6, es la propiedad conmutativa. ( II ) 12 x 2= 6 x 4 es la propiedad distributiva. (III) 6 x 4 x 3 = 24 x 3, es la propiedad asociativa. (IV) (5 x 6) x 4 = (4 x 6) x 5, es la propiedad asociativa. ( V ) 10 x (6 2) = 10 x 610 x 2 es la propiedad

distributiva.

3) Si : ab x a = 84 y ab x b = 168 ;

halla ab x abab.

4) Si : mnp x m = 1084 mnp x n = 2168

mnp x p = 2710;

halla mnp2.

5) Indica en qu termina la expresin:

435 29 +351 69 29 32

6) Halla las 2 ltimas cifras de:

1234 2653 + 625 349




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

Halla las 2 ltimas cifras de: 2 + 22 + 222 + ... + 222...2 16

a) 12 b) 02 c) 32d) 42 e) 52

Halla las 2 ltimas cifras de: 7 + 77 + 777 + ... + 77...7

15

a) 15 b) 35 c) 55d) 85 e) 05

Si 1abcde x 3 = abcde1 ;halla: a + b + c + d + e.

a) 26 b) 25 c) 24d) 23 e) 22

En la multiplicacin: b4a x a = cbb5

halla a + b+ c.

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

61



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Si: N = 9 + 9 + ... + 9

M = 5 + 5 + ... + 5

P = (2) + (2) + ... (2) ;

Calcula: N + M - P

a) 241 b) -241 c) 369d) -369 e) 269

20

25

32

Si: A = 12+12+...+12

B = (-5)+(-5)+...+(-5)

C = (-7)+(-7)+...+(-7)

Calcula: A + B - C.

a) -140 b) 140 c) 100d) -100 e) -90

20

48

(-20)

Si: abc x a = 2620 abc x b = 1048 abc x c = 2096;calcula abc2.

a) 274576 b) 242676 c) 252336

d) 224686 e) 257776

Si: ab x a = 553 y ab x b = 711;calcula ab x ba.

a) 7113 b) 7223 c) 7443

d) 7553 e) 7663



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:



El producto de 14 enteros positivos es 7. La suma de ellos es:

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

El producto de 13 enteros positivos es 5. La suma de ellos es:

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

Indica en qu cifra termina:(2+1)(22+1)(23+1)...(231+1)

a) 1 b) 4 c) 7d) 9 e) 5

Indica en qu cifra termina:(31+1)(32+1)(33+1)...(347+1)

a) 0 b) 1 c) 3d) 9 e) 7

63



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa


Resolucin:

Resolucin:

Indica en qu termina 1738

a) 1 b) 2 c) 3d) 7 e) 9

Indica en qu termina 127723

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

En qu cifra termina 2x4x6x...? (237 factores)

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 5

En qu cifra termina 17 x 19 x 21 x 23 x ...?(16 factores)

a) 1 b) 6 c) 5d) 3 e) 9



Captulo

8Divisin en elConjunto Z

DEfINICIN

Dados 2 enteros positivos, la divisin es la operacin inversa a la multiplicacin, que permite saber cuntas veces un entero llamado dividendo contiene a otro entero llamado divisor, tal que:

(cociente)(divisor)=dividendo

b) DIvISIN INExACTA: Cuando el resto no es cero. En general:

En este caso:

Propiedades: a) Resto mnimo = 1 b) Resto mximo = divisor 1

D dr q

; r < d

Completa el cuadro.

ObSERvACIN:

A) DIvISIN ExACTA:Se recomienda pasar cada nmero a base 10, y operar as. Luego al cociente y al resto hay que volverlo a la base en que fue dada.

Divide 4327 137

4327 = 4(7)2 + 3(7) + 2 = 219

137 = 1(7) + 3 = 10

219 10 19 21 9

21= 307

9 = 127

Cociente: 307

Resto: 12 7

La divisin de enteros no siempre resulta exactamente un entero, segn esto tenemos:

A) DIvISIN ExACTA: Cuando el resto es cero. En general:

Donde:

D : Dividendo d : divisor q : cociente

D = dq

= qDd

D = dq + r ; r < d

La divisin entre cero no existe.

Es decir: 4 no existe 0

Tambin: 0 indeterminado 0

=

=

Ejemplo:

DIvISIN EN OTRAS bASES

Ejemplo:

Resolucin:

60 12

40 7

8 10 5

20 1 19

D d q r

65



Divide 11235 23

5

11235= 1(5)3+1(5)2+2(5)+3=163

235= 2(5)+3=13

163 13 33 12 7

12 = 225

7 = 125

Cociente : 225

Resto : 12 5

* En una divisin exacta, si se aade el divisor al dividendo, el cociente aumenta en 1 unidad.

40 5 0 8

40 + 2 (5) 5 0 10 + 2

el cociente aumenta 2

ALTERACIONES EN UNA DIvISIN

el cociente aumenta 1

40 5 0 8

40 + 5 5 0 9 + 1

* En una divisin exacta, si al dividendo y divisor se le multiplican o dividen por un entero k, entonces el cociente no se altera.

40 5 0 8

40 x 3 5 x 3 0 8

mismo cociente

Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos:

Resolucin:

60 12 0 5

60 2 12 2 0 5

mismo cociente

* En una divisin inexacta, si al dividendo y divisor se le multiplican por k, entonces el cociente no se altera, pero el resto se multiplica por k .

* La divisin de enteros no cumple la ley de clausura o cerradura, es decir la divisin de enteros no siempre es entero.

El inverso multiplicativo de 8 es 1/8; de 6 es 1/6, etc.

LEyES DE LA DIvISIN

35 8 3 4

35x 2 8 x 2 6 4

el resto se multiplica

x 2

el cociente no se altera

Ejemplos:

a 0a x 1 ;=1a

Ejemplo:

26 4 2 6

26x 3 4 x 3 6 6

el resto se multiplica

x 3

el cociente

no se altera

* Todo entero diferente de cero tiene inverso multiplicativo tal que multiplicados dan 1.

Es decir: a su inverso multiplicativo es Luego:

1a





Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____Rpta: _____

1) En una divisin el cociente es 12, el divisor es 42 y el residuo es mnimo. Calcula el dividendo.

2) Halla el dividendo si se sabe que en una divisin el cociente result 15, el divisor es 42 y el residuo result mximo.

3) Si A + B = 380, adems al dividir A entre B se obtiene 30 de cociente y 8 de residuo.

Halla ''B''.

4) Al dividir R entre S, el cociente fue 10 y el residuo el ms grande posible. Si R + S = 219, halla

R x S.

5) En una divisin inexacta el cociente es 7 y el residuo 20. Al sumar el dividendo con el divisor, el cociente y el residuo que se obtuvo fue 336. Halla el dividendo.

6) Al realizar una divisin se not que el divisor fue el cudruple del cociente. Si el dividendo es 210, cul fue el residuo?

1) En una divisin el cociente es 98, el divisor es 15 y el residuo 12. Calcula el dividendo.

2) Calcula el dividendo si se sabe que en una divisin el cociente result 52, el divisor es 31 y el residuo result mximo.

3) Si W + R = 410, adems al dividir W entre R se obtiene 20 de cociente y 11 de residuo;

halla R.

4) Al dividirse M entre N el cociente fue 8 y el residuo el ms grande posible. Si M + N = 107;

halla M x N.

5) En una divisin inexacta el cociente es 7 y el residuo 15. Al sumar el dividendo con el divisor y el residuo se obtuvo 438. Halla el dividendo.

6) Al realizar una divisin se not que el divisor fue el triple del cociente. Si el dividendo es 261, cul fue el residuo?

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____Rpta: _____

67




Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2



Resolucin:

Resolucin:

En una divisin exacta si al dividendo se le agrega el divisor y se repite la operacin, entonces:

a) El cociente no vara.b) El cociente aumenta 1.c) El cociente aumenta 2.d) El cociente disminuye 1.e) El cociente disminuye 2.

En una divisin exacta si al dividendo se le aade 3 veces el divisor y se repite la operacin, entonces:

a) El cociente no vara.b) El cociente aumenta 3.c) El cociente aumenta 2.d) El cociente disminuye 2.e) El cociente disminuye 3.

En una divisin exacta si el dividendo y divisor se multiplica por K y se vuelven a dividir, entonces:

a) El cociente no vara.b) El cociente se multiplica por K.c) El cociente aumenta K.d) El cociente divide por K.e) El cociente disminuye K.

Se tiene una divisin inexacta, si se multiplica el dividendo y divisor por 5 y se vuelven a dividir, entonces:

a) El cociente no se altera, pero el resto tampoco.b) El cociente no se altera, pero el resto se

multiplica por 5. c) El cociente no se altera, pero el resto se divide

por 5.d) El cociente se multiplica por 5. e) El cociente se divide por 5.



Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4


Resolucin:

Resolucin:

En una divisin inexacta, el divisor es el mayor nmero de 2 cifras, el cociente es el menor nmero de 2 cifras y el resto es mnimo. Halla el dividendo.

a) 971 b) 981 c) 991d) 941 e) 951

En una divisin inexacta, el divisor es el mayor nmero de 2 cifras distintas, el cociente es igual al divisor pero escrito en orden inverso y el resto es mximo. Halla el dividendo.

a) 8819 b) 8820 c) 8821d) 8719 e) 8509

En una divisin inexacta, el divisor es el menor capica de 2 cifras, el cociente es el mayor capica de 2 cifras y el resto mximo. Halla la suma de cifras del dividendo.

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

En una divisin inexacta, el divisor termina en 7, el cociente termina en 4 y el resto termina en 9. En qu termina el dividendo?

a) 0 b) 6 c) 7d) 8 e) 5

69



5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Resolucin:

Reconstruye y da como respuesta la suma de los asteriscos.

a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

4 * * 7 * 2 * * 3 * 3 * 0 0

6 * * * 1 * * 0 * * 5 * * 4 * * * 6 * 0 0

Reconstruye y suma los valores de los asteriscos.

a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49

En una divisin de enteros positivos, el divisor y el resto son 9 y 4, respectivamente. Si el dividendo se triplica, el nuevo resto ser: a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

En una divisin de enteros positivos, el divisor y el resto son 2 y 9, respectivamente. Si el dividendo se quintuplica, entonces el nuevo resto ser: a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4



Clave:Clave:

Clave:Clave:

7


7

8 8

nOTa



En qu cifra termina el dividendo en una divisin si el divisor termina en 3, el cociente termina en 9 y el resto termina en 8?

a) 1 b) 4 c) 7d) 5 e) 9

En una divisin, el cociente acaba en 9, el divisor en 6 y el resto en 6. En qu termina el dividendo?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

En una divisin de enteros positivos, el divisor es 73 y el resto es cero. Si al dividendo se le aumenta 73, entonces:

a) El resto es 2.b) El cociente no se altera.c) El cociente es uno ms.d) El resto es 4.e) El cociente disminuye en 1.

En una divisin de enteros positivos, el divisor es 33 y el resto es cero. Si el dividendo aumenta en 33, entonces: a) El cociente no se altera.b) El cociente aumenta en 1.c) El cociente es 1.d) El resto es 5.e) El resto es 33.

71



Captulo

9Divisibilidad

60 contiene a 12; 5 veces : Luego: 60 es mltiplo de 12.

40 contiene a 5; 8 veces Luego : 40 es mltiplo de 5.

20 contiene a 20; una vez Luego : 20 es mltiplo de 20.

En general Si A contiene a B, k veces

Luego : A es mltiplo de B.

Ejemplos :

2.1 SIMbOLIZACIN A = b

Se lee : "A es mltiplo de B" "A es divisible por B"As tenemos que :

20 = 12 = 60 = 6 =

o4o

20

o3o2

Conclusiones:1. Los mltiplos de un nmero son infinitos.2. Los mltiplos de un nmero pueden ser tambin

nmeros negativos.3. Cero, es mltiplo de todo nmero pero no del mismo

cero.4. No hay mltiplos de cero.5. Todo nmero es mltiplo del 1.6. Todo nmero 0 es mltiplo de s mismo.

Recuerda

Si A = = k (divisin exacta)

AB

oB

Ejercicios:

Seala los

R = {...; -14; -7; 0; 7; 14; ... }

Seala los

R = {...; -10; -5; 0; 5; 10; 15; ... }

Seala los

R = {...; -22; -11; 0; 11; 22; 33; ... }

o7

o5

o11

1. DEfINICINParte de la aritmtica que permite saber si un entero se puede o no dividir exactamente por otro entero positivo, sobre todo sin efectuar la divisin

Se llama as a los que contienen a otros exactamente.

o6o

32o6

2. MLTIPLO DE UN NMERO

o4o5on

18 = 16 = 32 = 30 = 6 = n =



Divisor es aquel nmero que est contenido exactamente en otro.

4 est contenido en 12; 3 veces. Luego:

4 es divisor de 12.

6 est contenido en 24; 4 veces Luego : 6 es divisor de 24.

10 est contenido en 10; una vez. Luego : 10 es divisor de 10.

En general Si B est contenido en A, k veces.

Luego : B es divisor de A.

Se lee :B es divisor de A B es factor de A B divide a A

As tenemos : 2 / 6 10 / 10 7 / 14 8 / 8 5 / 20 10 / 40 n / n 1/20

3.1 SIMbOLIZACIN b / A

3. DIvISOR DE UN NMERO

Ejemplos :

Ejercicios:

Ejemplo 1:

Seala los divisores positivos de 6. R = {1; 2; 3; 6 }

Seala los divisores positivos de 8. R = {1; 2; 4; 8 }

Seala los divisores enteros positivos de 20. R = {1; 2; 4; 5; 10; 20 }

Conclusiones:

1. El 1 es divisor de todo nmero.2. Todo nmero 0 es divisor de si mismo.3. Al divisor, se le llama tambin factor, submltiplo. 4. El divisor nunca ser 0.

Si A = n.k, entonces se deduce que:

* A es mltiplo de n

* A es divisible por k

* n es divisor de A n / A

* k es divisor de A k / A

Dado A = 5 x 6 x 7, entonces se puede afirmar que :

5 es divisor de A

30 es divisor de A

A es mltiplo de 5

A es mltiplo de 6

A es mltiplo de 35

4. PROPIEDADES DE DIvISORES y MLTIPLOS

Ejemplo 2:

Si abc = 7.a.b.c, entoncesse puede afirmar que :

abc es mltiplo de 7.

abc es mltiplo de a.

a,b,c son divisores de abc

abc / 7

abc / a

abc / b.c

Recuerda

Si B = divisor A = k (divisin exacta)

AB

73



+ = ( )20 =

=

5-aritmÉtica 1ro (1 - 16)

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