1-apostila geometria-polígonos regulares (4 páginas, 17 questões) (1)
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PROF. GILBERTO SANTOS JR
GEOMETRIA PLANA
POLÍGONOS REGULARES
1 . ELEMENTOS NOTÁVEIS DE UM POLÍGONO REGULAR
• Centro(O): é o centro comum das circunferências inscrita e circunscrita.
• Apótema(a): é o segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio do lado, o
qual é perpendicular ao lado.
Veja a figura:
O é o centro;
M é o ponto médio do lado;
OM é o apótema = a;
ac é o ângulo central;
ai é o ângulo interno;
ae é o ângulo externo.
Se o polígono regular tem n lados, valem as seguintes expressões:
1ª) Ângulo central: ac = n
360
2ª) Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2) . 180°
3ª) Ângulo interno: ai = n
Si ou ai =
n
180 . 2) - (n
4ª) Soma dos ângulos externos: Se = 360°
5ª) Ângulo externo: ae = n
Se ou ae =
n
360
6ª) ai + ae = 180°
7ª) O número de diagonais d de um polígono com n lados: d = 2
3) - n(n
2 . ÁREA DO POLÍGONO REGULAR Observe o quadrado abaixo, que é um exemplos de polígono regular.
Se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regi-ões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado ( ) e a altu-
ra é o apótema (a) do polígono regular. A área da região limitada por um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim:
A = n . 2
a ou A =
2
n.a ou A =
2
p.a
em que: : lado;
a: apótema;
n : perímetro;
p: perímetro.
2
Observação: O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos equilá-
teros. Sendo o lado do triângulo equilátero, então a área do hexágono regular será igual a:
AH = 6 . AT.E. = 6 .
4
32 =
2
33 2
3 . LADO E APÓTEMA DE POLÍGONOS REGULARES
3.1 Triângulo Inscrito Numa Circunferência
O apótema em função do raio:
sen 30° = R
a
2
1 =
R
a 2a = R a =
2
R
O lado em função do raio:
cos 30° = R
2/
2
3 =
2R
= 3R
3.2 Quadrado Inscrito Numa Circunferência
O apótema em função do raio:
sen 45° = R
a
2
2 =
R
a a =
2
2R
O lado em função do raio:
cos 45° = R
2/
2
2 =
2R
= 2R
3
3.3 Hexágono Regular Inscrito Numa Circunferência
O apótema em função do raio:
sen 60° = R
a
2
3 =
R
a a =
2
3R
O lado em função do raio:
cos 60° = R
/2
2
1 =
2R
= R
4 . GENERALIZAÇÃO DE LADO E APÓTEMA PARA QUAISQUER POLÍGONOS
REGULARES INSCRITOS:
= 2Rsen
n
180º a = Rcos
n
180º
; = lado,
R = raio,
n = número de lados.
; a= apótema,
R = raio,
n = número de lados.
5 . POLÍGONOS REGULARES CIRCUNSCRITOS
a
Triângulo 2R 3 R
quadrado 2R R
hexágono 3
32R R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS E DE VESTIBULARES
01) O lado de um triângulo eqüilátero inscrito
numa circunferência mede 18 cm. Calcule a
medida do seu apótema.
02) O apótema de um hexágono regular me-
de 7 3 cm. Determine o perímetro desse
hexágono.
03) O apótema de um quadrado inscrito nu-
ma circunferência é 25 cm. Calcule o raio
dessa circunferência.
04) Numa circunferência de raio 4 3 cm fo-
ram inscritos triângulo eqüilátero e um hexá-
gono, calcule a razão entre os apótemas do triângulo e do hexágono.
05) Num polígono regular, cada ângulo inter-no mede 108°. Quantos lados têm esse polí-
gono?
06) Na figura abaixo, o segmento AB corres-
ponde ao lado de um
hexágono regular ins-
crito, enquanto o seg-mento BC corresponde
ao lado de um quadra-
do inscrito. Conside-
rando 2 = 1,41, qual
é a distância que se
percorre indo, em linha reta, de A até C, pas-
sando por B?
07) Um hexágono regular tem lado medindo
8 cm. Calcule a diferença entre o comprimen-
to da circunferência circunscrita e o perímetro
desse hexágono.(use = 3,14)
08) Calcule a razão entre a medida do lado
de um hexágono regular e a do lado de qua-
10 cm
C
B
A
4
drado inscrito na mesma circunferência de raio
r.
09) Calcule a razão entre o apótema do qua-
drado inscrito e o apótema do quadrado cir-
cunscrito numa circunferência de raio 4 2
cm.
10)(Vunesp) o número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por:
d = 2
3x - x2
. Se o polígono possui 9 diago-
nais, seu número de lados:
(a) 10 (b) 9 (c) 8 (d) 7 (e) 6
11)(UFPI) Um polígono de 2n lados tem 18
diagonais a mais que um polígono de n lados.
O número de diagonais desses polígonos são, respectivamente:
(a) 22 e 4 (c) 24 e 6 (e) 26 e 8
(b) 21 e 3 (d) 20 e 2
12)(FUVEST) Dois ângulos internos de um
polígono convexo medem 130° cada um e os
demais ângulos internos medem 128° cada um. O número de lados do polígono é:
(a) 6 (b) 7 (c) 13 (d) 16 (e) 17
13)(Unifor-CE) Na figura abaixo tem-se dois
pentágonos regular. A medida que, em graus,
do ângulo α assinalado é:
a
14)(UFBA) Cada ângulo externo de um polí-
gono regular mede 5
1 da medida de um ângu-
lo interno. Calcule a medida do ângulo central desse polígono.
15)(Univ. Católica de Salvador) No qua-drado ABCD abai-
xo, tem-se que
AP = AQ. A me-
dida do ângulo α
é:
(a) 30° (c) 10º30’ (e) 31º30’
(b) 28º (d) 22º30’
16) Considere duas circunferências uma de
raio 10 3 cm e outra de raio 8 6 cm. De-
termine a razão, nessa ordem, entre os apó-
temas dos triângulos eqüiláteros inscritos em
cada uma dessas circunferências.
17)(UFPA) Sejam ABC os vértices de um
triângulo eqüilátero inscrito numa circunferên-cia de raio r e AE o diâmetro dessa circunfe-
rência. Determine as medidas dos lados do
triângulo AEB, em função de r.
“Você constrói a sua vitória.”
“A perseverança alimenta a esperança.”
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
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