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Mestre-de-obras

Sistemas de medidas erepresentação gráfi ca

Mestre-de-obras

Sistemas de medidas e representação gráfi ca

Trabalho editorado pela Escola SENAI “Orlando Laviero Ferraiuolo”,do Departamento Regional de São Paulo.

Coordenação geral Carlos Eduardo Cabanas

Organização do conteúdo Luís Henrique Piovezan Vânia Aparecida Caneschi

Editoração Equipe de Material didático da Escola SENAI “Orlando Laviero Ferraiuolo”

S47s SENAI - SP. Sistemas de medidas e representação gráfi ca. São Paulo, 2005. 128p. il.Mestre-de-obras.

Apostila técnica.

Escola SENAI “Orlando Laviero Ferraiuolo”Rua Teixeira de Melo, 106 – Tatuapé – São Paulo - SP – CEP 03067-000Tel.: (0xx11) 6191 6176 – Fax.: (0xx11) 295 2722e-mail: senaiconstrucaocivil@sp.senai.brhome page: www.sp.senai.br/construcaocivil

Introdução ................................................................................... 5Sistemas de medidas ................................................................. 7Sistema de numeração decimal ................................................ 8Operações fundamentais ......................................................... 12Operações com medidas de ângulo ....................................... 26Perímetro ................................................................................... 32Área ............................................................................................ 38Volume ....................................................................................... 51Formulário ................................................................................. 62Teorema de Pitágoras ............................................................. 64Grandezas proporcionais ........................................................ 73Porcentagem ............................................................................. 81Medidas de comprimento,área e volume ............................... 88Medidas de massa .................................................................... 91Massa específi ca ....................................................................... 92Linhas NBR 8403 ....................................................................... 94Projeções ................................................................................. 96Desenho de arquitetura .......................................................... 99Escala ..................................................................................... 103Cotas ........................................................................................ 107Plantas residenciais ............................................................... 111Convenções ............................................................................. 123Abreviações ............................................................................. 127Referências bibliográfi cas ...................................................... 128

Sumário

Esta apostila refere-se ao componente curricular Sistemas de medidas e representação gráfi ca que faz parte do curso Mes-tre-de-obras, formação por competências. Tem como objetivo capacitar o aluno a desenvolver raciocínio lógico e espacial; a ter conhecimentos básicos sobre geometria e sistemas de medidas aplicada à construção civil.

Para atingir esse objetivo, os conteúdos técnicos que serão estudados são: cálculos e medições; representações gráfi cas e suas simbologias; leitura de plantas arquitetônicas e de sis-temas específi cos em meios físicos e virtuais.

IntroduçãoIntrodução

Para conhecer bem os sistemas de medidas, precisa-se conhe-cer os números, as operações matemáticas, a regra de três, a porcentagem e as principais medidas. É também preciso resol-ver muitos problemas matemáticos. É por isso que esta apostila está recheada de problemas e exercícios a serem resolvidos.

Conhecendo as medidas e os sistemas de medidas, pode-se partir para conhecer os sistemas de representação gráfi ca (plantas).

Sistemas de medidasSistemas de medidas

Uma maneira de estudar os números é usar o sistema de nu-meração decimal, que tem esse nome porque foi baseado na quantidade de dedos das mãos (dez).

Os símbolos empregados para representar os números são dez e são chamados algarismos indo-arábicos. São eles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 (zero).

Leitura de números decimaisLeitura de números decimaisPara ler um número, é preciso reconhecer a ordem que ele representa.

Existem ordens para números inteiros e ordens para números decimais. Cada ordem ocupa uma casa. As casas ocupadas por ordens decimais são chamadas casas decimais.

Vamos ver essas ordens no quadro abaixo. Observe que no lado esquerdo estão as ordens dos números inteiros. E, no lado direito, estão as ordens dos números decimais.

Exemplos de leitura:• 4,50 4 é a parte inteira, antes da vírgula. 50 é a parte decimal, após a vírgula.

O número 4,50 é lido assim: quatro inteiros e cinqüenta cen-tésimos.

Sistema de numeração decimalSistema de numeração decimal

Centenas dezenas unidades décimos centésimos milésimos Décimosde milésimos

Centésimos de milésimos

3 2 1 1 2 3 4 5

Parte inteira Parte decimal

• 131,65 131 é a parte inteira, antes da vírgula. 65 é a parte decimal, após a vírgula.

O número 131,65 é lido assim: Cento e trinta e um inteiros e sessenta e cinco centésimos.

ExercícioExercício

1 Escreva a leitura dos números abaixo:

45,165 0,70

Números fracionáriosNúmeros fracionários

Quando se divide um todo em partes iguais, cada uma das partes é chamada fração.

Fração é a parte de um todo. A fração é representada assim:

2 ou 2/5 5

O número acima do traço horizontal é chamado de numerador e o número abaixo do traço horizontal é chamado de denominador.

2 numerador 5 denominador

A fração acima mostra que de um todo de 5 partes, foram to-madas 2 partes.

Vamos representá-la em uma fi gura.

Vamos dividi-la em 5 partes iguais:

Agora vamos tomar 2 partes do todo e vamos pintá-las:

Neste exemplo o todo foi dividido em cinco unidades ou partes iguais. O todo é o denominador.

Foram tomadas duas partes do todo. São as partes pintadas de preto. Essas partes são o numerador.

Dizemos então que:

= 2 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 5

2 numerador 5 denominador

ExercíciosExercícios

1 Escreva ao lado de cada fi gura, a fração que ela representa:

2 Represente nas fi guras as frações pedidas:

3 Encontre o valor de:

2/3 de 600 = ............................

1/12 de 1200 = ........................

4/5 de 270 = ............................

7/8 de 240 = ............................

21/42 de 840 = ........................

2/50 de 1000,5 = .....................

6/13 de 390 = ..........................

36/108 de 10800 = ..................

5/6 de 242 = ............................

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

= = = = = = = =

AdiçãoAdição

Os problemas que envolvem a idéia de reunir são resolvidos pela operação adição.

Veja um exemplo prático. Se juntarmos 2 pilhas de livros, uma com 3 livros e outra com 4 livros, teremos uma só pilha de 7 livros. Como a adição e indicada pelo sinal + (lê-se mais), po-demos escrever: 3 livros + 4 livros = 7 livros, ou ainda:

3 parcela+ 4 parcela 7 total ou soma

Exemplos: 129 32+ 58 219

Não confundir:

Propriedades da adiçãoPropriedades da adição

São três as propriedades da adição:• propriedade comutativa;• propriedade associativa;• propriedade do elemento neutro.

Operações fundamentaisOperações fundamentais

2 345 198+ 517 3 060

1 255 4 098 807+ 645 6 805

1 255 + 4 098 + 807 + 645

adição é a operação soma é o resultado da operação

Propriedade comutativaPropriedade comutativaA ordem das parcelas não altera a soma.

18 + 19 = 3719 + 18 = 37

Propriedade associativaPropriedade associativaEm uma adição de três ou mais parcelas podemos associar as parcelas de várias formas que a soma não se altera.

(14 + 5) + 6 = 14 + (5 + 6) == 19 + 6 = = 14 + 11 == 25 = 25

Propriedade do elemento neutroPropriedade do elemento neutroAdicionando-se zero a qualquer número natural, o resultado é o próprio número natural. O zero é chamado de elemento neutro da adição.

45 + 0 = 450 + 45 = 45

Prova real da adiçãoProva real da adição

A prova real da adição está baseada na propriedade comutativa. Consiste em refazer a operação mudando a ordem das parcelas. É efetuada para sabermos se a operação está correta.

operação prova real operação prova real 86 65 378 142+ 65 + 86 235 235 151 151 + 142 + 378 755 755

Exercícios de adiçãoExercícios de adição

1 Arme e efetue as seguintes adições:

246,5 + 138,6 =

182,33 + 234,4 =

48,2 + 272,81 =

509,7 + 398,6 =

457,9 + 643,42 =

483,6 + 588,742 =

2 Arme, efetue e tire a prova real das seguintes adições:

8568 + 6754 =

7648 + 5875 =

6866,22 + 767,8 =

578,9 + 9774,47 =

9201,4 + 89,19 =

152 + 340 + 185 =

1291 + 96 + 164 =

242,3 + 3189,05 + 30,2 =

6542,1 + 726,8 + 8,45 =

836,4 + 41,57 + 0,1686 =

SubtraçãoSubtração

Os problemas que envolvem a idéia de tirar são resolvidos pela operação subtração.

Neste caso, se de uma pilha de 7 livros tirarmos 3 livros, fi carão na pilha apenas 4 livros. Como a subtração é indicada pelo sinal (– lê-se menos), podemos escrever:

7 livros – 3 livros = 4 livros

ou ainda:

7 minuendo– 3 subtraendo 4 diferença ou resto

Não confundir:

A subtração é a operação inversa da adição. Se 3 + 4 = 7 então 7 – 3 = 4 ou 7 – 4 = 3.

Por isso, quando você quiser tirar a prova, isto é, saber se o resultado de uma adição ou subtração está correto, basta fazer a operação inversa.

Observe:

738– 543 195

Para conferir fazemos:

195+ 543 738 é o minuendo da subtração

subtração é a operação diferença é o resultado da operação

Exemplos:

238– 116 122

Exercícios de subtraçãoExercícios de subtração

394– 158 236

723– 375 348

1 200– 321 879

1 Arme, efetue e tire a prova real das seguintes subtrações:

5275 – 3167 =

2743 – 1893 =

17000 – 12378 =

4537,7 – 2659,8 =

24350,2 – 18406,7 =

2 Arme, efetue e tire a prova real das seguintes subtrações:

456 – 267 =

724 – 186 =

475 – 239 =

356 – 180 =

415 – 365 =

2743,9 – 1893,4 =

17000,5 – 12348,6 =

809 – 357 =

628,05 – 359,15 =

645,8 – 298,02 =

712,25 – 489 =

941,1 – 565,67 =

2500 – 358 =

1921 – 309,2 =

2727 – 53,8 =

3890 – 1975,83 =

5420,1 – 2485,08 =

3 Calcule as somas:

328 + 237 =

731 + 225 + 144 =

1 089 + 397 + 934 =

1 397 + 458 =

958 + 3 048 + 587 =

9 009 + 98 + 900 =

4 Determine a diferença. Faça a prova, se houver dúvidas.

1 738 – 825 =

729 – 289 =

604 - 328 =

800 – 195 =

1 000 – 495 =

1 507 – 608 =

1 003 – 75 =

40 000 – 102 =

MultiplicaçãoMultiplicação

Multiplicar é adicionar parcelas iguais.

Para saber quantos livros têm 4 pilhas iguais de 7 livros cada uma, fazemos: 7 livros + 7 livros + 7 livros + 7 livros ou 4 vezes 7 livros = 4 x 7 livros = 28 livros, ou ainda:

4 fatorx 7 fator 28 produto

Exemplo:

128x 5 640

325x 37 2275 975 + 12025

1209x 780 9672 8463 + 943020

3572 3572x 402 ou x 402 7144 7144 0000 + 14288 ++ 14288 ++ 1435944 1435944

Em matemática indica-se esta operação com o sinal de “ x ”, que se lê “multiplicado por” ou “vezes”.

Exemplo:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 3 x 5 = 153 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 3 x 5 = 153 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 3 x 5 = 153 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 ou 3 x 5 = 15 fator fator produto fator fator produto fator fator produto fator fator produto

Propriedades da multiplicaçãoPropriedades da multiplicação

São três as propriedades da adição:• propriedade comutativa;• propriedade associativa;• propriedade do elemento neutro;• propriedade distributiva.

Propriedade comutativaPropriedade comutativaA ordem dos fatores não altera o produto.

4 x 8 = 32 ou 8 x 4 = 32

Propriedade associativaPropriedade associativaNa multiplicação podemos associar dois ou mais fatores e substituí-los pelo seu produto.

2 x 3 x 4

(2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) == 6 x 4 = 2 x 12= 24 = 24

Propriedade do elemento neutroPropriedade do elemento neutroQualquer número natural multiplicado por 1, o resultado é o próprio número natural. O “1” é o elemento neutro da multi-plicação.

8000 x 1 = 80001 x 8000 = 8000

Propriedade distributivaPropriedade distributivaA multiplicação se distribui por todos os termos da adição e da subtração.

(8 + 4) x 3 = ou (8 + 4) x 3 =12 x 3 = 36 (8 x 3) + (4 x 3)= 24 + 12 = 36

1 Arme e efetue as seguintes multiplicações:

432 x 2 =

321 x 3 =

321 x 4 =

211 x 5 =

3281 x 5 =

826 x 40 =

739 x 70 =

647 x 56 =

2 Arme e efetue as seguintes multiplicações:

6202 x 18 =

8009 x 34 =

138 x 542 =

649 x 307 =

978 x 104 =

321 x 854 =

759 x 472 =

690 x 370 =

14,7 x 1,23 = 6866,22 x 767,8 =

8568 x 675,4 = 578,9 x 970,47 =

764,8 x 587,5 = 9201,4 x 89,1 =

152,15 x 12,01 =

3 Calcule os produtos

327 x 6 =

2 076 x 8 =

235 x 12 =

1278 x 64 =

394 x 132 =

5 705 x 218 =

2 576 x 207 =

7 689 x 480 =

PotenciaçãoPotenciação

Quando a operação indica multiplicação de fatores iguais, ela é chamada de potenciação.

Exemplo:

2 x 2 x 2 x 2 x 2

Este produto de cinco fatores iguais a 2 pode ser indicado por 25.

expoente

base 25 = 32 potência

Observe como se faz a leitura das potências abaixo.

25 dois elevado à quinta potência32 três elevado ao quadrado53 cinco elevado ao cubo47 quatro elevado à sétima potência

Exemplos:• 23 = 2 x 2 x 2 = 8• 132 = 13 x 13 = 169• 32 = 3 x 3 = 9• 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64• 53 = 5 x 5 x 5 = 125• 103 = 10 x 10 x 10 = 1 000

1 Escreva como se lê.

2 Determine as potências.

1022 =

Divisão exataDivisão exata

Os problemas que envolvem a idéia de repartir são resolvidos pela operação divisão.

Verifi que o seguinte problema: uma pilha de 28 livros deverá ser repartida em 4 pilhas, tendo cada uma o mesmo número de livros. Para saber quantos livros terá cada pilha, fazemos: 28 livros dividido por 4 => 28 livros : 4 = 7 livros, ou ainda:

dividendo 28 4 divisor resto 0 7 quociente

A divisão exata é a operação inversa da multiplicação, por isso, para conferir uma divisão exata, usamos a relação:

dividendo = divisor x quociente

4000 32 32 32 80 125 160 0

Observe:

144 8 8 8 64 18 0

144 dividendo 8 divisor 18 quociente

Então:

144 = 8 x 18144 = 144

Se a igualdade for verdadeira, o resultado está correto. Esta é uma forma de tirar a prova da divisão exata.

Exemplos:

7344 36 6 6 0144 204 00

4968 216 216 2160648 23 000

139425 325 325 325 0942 429 2925 000

315 7 7 7 ou 315 7 7 7 35 45 – 28 45 0 035 – 35 0

714 7 7 7 014 102 0

1 Efetue as divisões.

1 976 : 8 =

884 : 34 =

55 596 : 452 =

392 : 7 =

23 764 : 52 =

34 989 : 321 =

820 : 4 =

18 360 : 45 =

33 396 : 759 =

2 Arme e efetue as seguintes divisões:

90 : 6 =

336 : 8 =

247 : 13 =

1260 : 45 =

1092 : 26 =

32,8 : 2 =

0,80 : 2 =

248 : 2,5 =

Expressões numéricas contendo adição, subtração, multiplicação e divisãomultiplicação e divisão

Em uma expressão numérica contendo operações de adição, sub-tração, multiplicação e divisão, faça o cálculo na seguinte ordem:

1 Em primeiro lugar faça as multiplicações e divisões;

2 Depois as adições e subtrações na ordem em que aparecem.

Exemplo:

33 + 4 x 2 – 5 x 2 =

33 + 8 – 10 =

56 – 8 + 10 =

48 + 10 = 58

80 – 8 x 3 – 2 x 4 + 10 =

80 – 24 – 8 + 10 =

Exemplo:

(3 x 8) + {12 – [(3+2) x 2 – 8]} =

24 + {12 – [5 x 2 – 8]} =

24 + {12 – [10 – 8]} =

24 + {12 – 2} =

24 + 10 = 34

Se houver operações indicadas entre sinais de associação, você já sabe a ordem:

1º os parênteses ( )2º os colchetes [ ]3º as chaves { }

1 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:

12 + 3 x 8 – 10 =

4 x 5 + 2 x 20 – 16 =

18 – 2 x 3 + 3 x 3 =

40 – 12 + 4 x 7 =

13 x 2 + 12 x 3 + 5 x 4 =

13 + (4 x 3 + 8 – 12) =

(3 + 4 x 7 – 10 x 2) + 9 =

21 + [17 – (6 x 3 – 8)] =

34 – [19 – (3 x 4 + 4 x 3 – 15)] =

36 + {5 + [(3 x 2 – 5) + 7] – 6} =

19 + {16 – [(8 x 2 – 3 x 4) + (3 x 2 – 2)]} =

35 + {24 – [13 + (18 – 3 x 5) – 12] + 4} =

142 – {20 + [8 x (4 + 6)] – 22} =

2 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:

28,2 + {2,51 + 3,54 + [2,83 – (4,85 : 3,432)] + 2,57} =

12,4 + {0,86 x 30,1 + [1,48 x (1,38 : 0,83 + 1,0)] + 2,38} =

223,1 + {1,82 x 32 + [234,8 – (2,31 x 5,25)] + 1,33} =

O instrumento usual para medir um ângulo é o transferidor que tem o grau como unidade principal, cujo o símbolo é °.

A medida do ângulo a indicada na fi gura acima é cinqüenta graus (50°). Além do grau usa-se :

• o minuto cujo o símbolo é ’.

temos que: 1 minuto = 1’ = ou 1° = 60’ 60• o segundo cujo o símbolo é ”.

temos que: 1 segundo = 1” = 1’ ou 1’ = 60” 60

Observação:Apesar da coincidência de denominações, o minuto (’) e o se-gundo (”) nada têm a ver com as unidades de tempo.

Veja como se faz a leitura da unidade de medida de ângulo:30° 45’ = trinta graus e quarenta e cinco minutos.

Operações com medidas de ânguloOperações com medidas de ângulo

1 Escreva utilizando símbolos:

treze graus e quarenta e sete minutos.

cento e sete graus e trinta minutos.

2 Escreva por extenso:

25°15’

22°30’

46°40’

Para transformar em segundos uma medida que é dada em graus, minutos e segundos, seguimos os passos abaixo:

25°30’45”

1 Para transformamos graus em minu-tos, multiplicando por 60’.

25 x 60’ = 1500’

2 Somamos os minutos. 1500’ + 30’ = 1530’

3 Transformamos minutos em segun-dos, multiplicando por 60”.

1530 x 60” = 91800”

4 Somamos os segundos. 91800” + 45” = 91845”

Logo, 25°30’45” = 91845”

1 Faça as transformações indicadas.

15° para minutos

23°45’ para minutos

2°20’ para segundos

47°55” para segundos

45°25’38” para segundos

Para transformar em graus, minutos e se-gundos, seguimos os passos abaixo:

56209”

1 Dividimos a medida por 60, encon-trando os minutos. Neste caso, o resto equivale a segundos (unidade do dividendo).

56209” 60 60 60 220 936’ 409 49”

2 Se os minutos encontrados forem iguais ou maiores que 60, dividimos esses minutos por 60, encontrando os graus. Neste caso, o resto equivale a minutos.

936’ 60 60 60 336 15° 36’

Então, 56209” = 15°36’49”

1 Faça as transformações indicadas:

2 880” para minutos

3 279” para minutos e segundos

3 540” para minutos

13 500” para graus e minutos

62 934” para graus, minutos e segundos

Vamos operar com as unidades mais usuais que são o grau e o minuto:

• Adição:

5° 15’ 8°40’ 3°+ 8° + 8’ + 6°15’ + 10’ 13° 23’ 14°55’ 3°10’

Se a soma dos minutos der 60 ou mais, é necessário transfor-má-la em graus, dividindo-a por 60.

Acompanhe estes exemplos.

18°40’ + 20°50’

38°9090’ 90’ 60 60 60+ 1°30’ 30’ 1°

39°30’ 50°55’ 13°45’

+ 7°40’ 140’ 60 60 60 70°140140’ 20’ 2°

+ 2°20’ 72°20’

Calcule as somas:

17°42’ + 28°17’ =

40°30’ + 23°58’ + 19°47’ =

28°57’ + 19°26’ =

13° + 50’ =

13° + 21°50’ + 43’ + 12°56’ =

• Subtração:

35° 40’ 20°45’ – 17° – 10’ – 5°30’ 18° 30’ 15°15’

Quando não for possível subtrair os minutos, emprestamos aos minutos um grau retirado da medida; transformamos esse grau em minutos e adicionamos aos já existentes.

Exemplos:

10°20’ – 5°45’

Como não dá para tirar 45’ de 20’ transformamos 10°20’ em 9°80’, assim:

9°80’

1010°2200– 5°45’

4°35’

350 – 12°30’

Aqui trocamos 35° por 34°60’ e então:

34°60’ 3535°

– 12°30’ 22°30’

9°80’

1 Calcule as diferenças:

58°45’ – 45°38’ =

13°20’ – 8045’ =

180° – 45°30’ =

14°23’ – 54’ =

12°45’ – 3° =

• Multiplicação

12° 13’ 9°10’ 10’ 9°x 4 x 4 x 5 veja: x 5 e x 5

48° 52’ 45°50’ 50’ 45°

Se o resultado for 60’ ou mais, devemos transformá-los em graus dividindo por 60, adicionando esses graus ao produto.

Exemplo:

(3°40’) x 8

3°40’ veja: 30 x 8 = 24°x 8 40 x 8 = 320’ 24°320 320’ 60 60 60 + 5°20’ 20’ 5°

29°20’

1 Calcule os produtos:

(2°13’) x 5 =

(11°38’) x 9 =

45’ x 8 =

(12°10’) x 4 =

(8°20’) x 3 =

• Divisão:

36° 4 4 4 48’ 6 6 6 36°30’ 3 3 3 0 9° 0 8’ 06 00 12°10’ 0

Quando sobram graus na divisão, trans-formamos em minutos, adicionamos aos já existentes na medida e continu-amos a divisão.

Observe os seguintes exemplos:

(19°10’) : 2 19° 10’ 2 1 + 60’ 9°35’

x 60’ 70’ 60’ 10 0 380 : 3 38° 3 3 3 08 12°40’ 2

x 60’ 120’ 00

96° 56’ 8 8 8 16 0 12°7’ 0

70° 6 6 6 10 11°40’ 4

x 60’ 240’ 00

49° 12’ 4 4 4 09 72’ 12°18’ 1 32’

x 60’ 60’

1 Efetue as divisões:

(18°36’) : 6

64° : 3

55° : 2

(90°16’) : 4

Perímetro é a soma dos lados de qualquer fi gura geométrica.

A noção de perímetro é útil para calcular medidas de superfícies como os lados de um terreno ou a quantidade necessária de rodapé para um compartimento.

A unidade de medida usada basicamente no cálculo do perí-metro é o metro e seu submúltiplo, o centímetro.

Cálculo do perímetro do triânguloCálculo do perímetro do triângulo

Observe a fi gura a seguir. O terreno representado tem forma de triângulo.

Para saber quanto ele tem de perímetro, somamos seus lados.

Veja: P = A + B + C

A = 27,68mB = 25,30mC = 37,50

PerímetroPerímetro

Agora, substituímos as medidas:

P = 27,68 + 25,30 + 37,50

Fazemos a soma e obtemos o seguinte resultado:

P = 90,48m

Suponha que você tem um terreno em forma triangular. Você precisa construir um galpão de material como mostra a fi gura a seguir. Calcule o perímetro do terreno e do galpão.

Cálculo do perímetro dos quadriláterosCálculo do perímetro dos quadriláteros

QuadradoObserve o quadrado abaixo:

Efetuando a soma dos lados, temos:P = 12m + 12m + 12m + 12m ou P = 12 × 4 o resultado é: P = 48m

Ache o perímetro da caixa d’água representada abaixo:

RetânguloRetânguloObserve o retângulo abaixo:

Efetuando a soma dos lados, temos:

P = 14m + 4m + 14m + 4m o resultado é P = 36m.

Calcule o perímetro da sala representada abaixo:

ParalelogramoParalelogramoObserve o paralelogramo abaixo:

P = 20m + 20m + 5m + 5m o resultado é P = 50m.

Calcule o perímetro do terreno representado abaixo.

LosangoLosangoObserve o losango abaixo:

P = 9,40m + 9,40m + 9,40m + 9,40m ou P = 4 × 9,40

O resultado é: P = 37,60m

Calcule o perímetro do compartimento representado abaixo:

TrapézioTrapézioObserve o trapézio abaixo:

P = 35m + 19m + 23m + 24m o resultado é: P = 101m

Calcule o perímetro do contorno de edifício representado abaixo:

CircunferênciaA circunferência não tem lados. Por isso não podemos falar de perímetro da circunferência. Mas podemos calcular o compri-mento da circunferência.

O comprimento da circunferência é calculado pela fórmula:

Onde:C – comprimento da circunferênciaR – raio da circunferência – – é a letra grega, que se lê pi. O vale aproximadamente 3,14. vale aproximadamente 3,14.

Vamos calcular o comprimento de uma circunferência.

Nesta fi gura tem-se o diâmetro que é duas vezes o raio. O raio é, então: R = 7,10 ou 3,55m. 2

Tomamos a fórmula: C = 2 R

Substituindo, temos: C = 2 x 3,14 x 3,55

Multiplicamos e obtemos o seguinte resultado: 22,294m.

Calcule o comprimento da coluna representada na planta abaixo.

C = 2 R

Área é uma medida de superfície. A unidade de medida de uma área é metro quadrado. O símbolo do metro quadrado é o m2.

Área do quadradoÁrea do quadrado

Calculamos a área do quadrado com a seguinte fórmula:

Exemplo:

Vamos calcular a área do dormitório representado na fi gura abaixo.

A = × ou A = 2

ÁreaÁrea

Tomamos a fórmula:

A = ×

Substituindo, temos:

A = 4 × 4

Efetuando, achamos o resultado: o dormitório tem 16m2 de área.

Calcule a área do dormitório representado abaixo.

Área do triânguloÁrea do triângulo

Veja o triângulo abaixo.

Para calcular a área de um triângulo, precisamos conhecer sua base e altura. A área do triângulo é obtida com a fórmula:

b = base h = altura h = altura A = b = base A = b = baseb b = baseb b = base x h b = base x h b = base

2 h = altura 2 h = altura

A altura de um triângulo é sempre perpendicular à base. Vamos ver como calcular a área de um triângulo.

Exemplo:

Vamos calcular a área do boxe representado abaixo:

Tomando a fórmula e substituindo temos:

A = 1,80 x 1,20 2

Efetuando, encontramos o resultado. O boxe tem 1,08m2 de área.

Calcule a área do terreno representado abaixo:

Fórmula do semi-perímetroFórmula do semi-perímetro

Às vezes, o valor da altura do triângulo não é conhecido. Nesse caso, usamos a fórmula do semi-perímetro para calcular sua área. Semi-perímetro é o resultado do perímetro dividido por 2.

Exemplo:

Mas podemos calcular a área deste triângulo, assim:

Achamos primeiramente o perímetro:

P = a + b + c ou P = 9m + 21m + 14m

O valor encontrado do perímetro é: P = 44m. Com esse valor, achamos o semi-perímetro. Assim:

p = 44 2

O valor do semi-perímetro é: p = 22m.

Com o valor do semi-perímetro, podemos calcular a área do triângulo com a fórmula seguinte:

A = 22 (22 – 9) (22 – 14) (22 – 21)

Efetuando, vem:

A = 22 (13) (8) (1)

A = 2288

E temos o resultado. A área do triângulo é:

A = 47,83m2

A = p (p – a) (p – b) (p – c)

Calcule a área do telhado representado abaixo:

Área do retânguloÁrea do retângulo

A área do retângulo é calculada pela fórmula:

Exemplo:

Vamos calcular a área de um lote urbano representado abaixo:

Tomamos a fórmula:

A = b × h

Substituindo temos:

A = 20 × 5

Efetuando, encontramos o resultado: o lote tem 100m2 de área.

A = b × h

Calcule a área da sala em L representada abaixo:

Área do paralelogramoÁrea do paralelogramo

A área do paralelogramo é calculada pela fórmula:

Exemplo:

Vamos calcular a área do terreno representado abaixo.

Tomando a fórmula: A = b × h

E substituindo pelos valores dados, temos: A = 64 × 12

Efetuando, encontramos o resultado. A área do terreno é de 768m2.

A = b × h

Calcule a área da fi gura abaixo:

Área do losangoÁrea do losango

A área do losango é calculada pela fórmula:

Você deve ter observado que nesta fórmula não entra base nem altura. O cálculo da área é feito a partir da diagonal maior (D) e da diagonal menor (d) do losango.

Isto acontece porque o losango é uma fi gura que reúne quatro triângulos.

Observe:

A = D x d 2 2

Exemplo:

Vamos calcular a área do losango abaixo.

Tomando a fórmula e substituindo temos:

A = 27 x 14 2

A = 378 2

A = 189m2

Resultado: o losango acima tem 189m2 de área.

Área do trapézioÁrea do trapézio

A área do trapézio é calculada pela fórmula:

Exemplo:

Vamos calcular a área da fi gura abaixo:

Tomando a fórmula e substituindo pelos valores dados, temos:

A = B + b x h 2

A = 26 + 12 x 7,5 2

A = 38 x 7,5 2

A = 19 x 7,5

A = 142,5m2

A = B + b x h 2

Calcule a área do terreno representado abaixo:

Área do círculoÁrea do círculo

A área do círculo é calculada pela fórmula:

Onde:A = áreaR = raio = constante 3,14

Exemplo:

Calcule a área do círculo abaixo:

Tomando a fórmula e substituindo pelos valores dados temos:

A = x R2

A = 3,14 x 42

A = 3,14 x 16

A = 50,24m2

A = x R2

Calcule a área da caixa d’água representada abaixo.

Área da coroa circularÁrea da coroa circular

Observe a fi gura abaixo:

A região hachurada chama-se coroa circular. Para calcular a área da coroa circular, usamos a seguinte fórmula:

Onde: = 3,14R = raio maiorr = raio menor

Exemplo:

Vamos calcular a área da coroa circular da fi gura ao lado:

A = (R2 – r2)

A = 3,14 (112 – 72)

A = 3,14 (121 – 49)

A = 3,14 x 72

A = 226,08m2

Resultado: a coroa circular tem 226,08m2 de área.

Área do setor circularÁrea do setor circular

Observe a fi gura abaixo:

A região marcada é o setor circular. Para achar a área do setor circular, usamos a seguinte fórmula:

Onde: = 3,14r = raio = ângulo em graus

A = x r2 x 360°

Exemplo:

Calcule a área do setor circular abaixo:

A = x r2 x 360°

A = 3,14 x 62 x 30° 360°

A = 3,14 x 36 x 30° 360°

A = 3391,20 360°

A = 9,42m2

Resultado: o setor circular tem 9,42m2 de área.

Calcule a área da região pintada abaixo:

Os sólidos geométricos ocupam uma quantidade de espaço. Podemos medir o espaço ocupado por um sólido. Para isso usamos uma medida chamada volume.

Assim, dizemos que volume é a medida do espaço ocupado por um sólido geométrico.

A unidade do volume é o metro cúbico, representado por m3. O metro cúbico (m3) é o volume de um cubo com 1m de aresta. O numeral 3 representa as três dimensões da fi gura espacial: comprimento, largura e altura. Veja as fi guras a seguir.

CuboCubo

O volume do cubo é calculado pela fórmula seguinte:

Onde (a) é a aresta.

V = a3

VolumeVolume

Exemplo:

Vamos calcular o volume da caixa d’água abaixo:

Tomamos a fórmula: V = a3

Substituindo, temos: V = 63

Efetuando, achamos o resultado. A caixa d’água tem 216m3 de volume.

Calcule o volume de concreto necessário para preencher o bloco de fundação representado abaixo:

Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo

O volume do paralelepípedo retângulo é calculado pela fórmula seguinte:

Onde:a – largurab – comprimentoc – altura

V = a x b x c

Exemplo:

Vamos calcular o volume da laje representada abaixo:

Tomamos a fórmula: V = a x b x c

Substituindo, temos: V = 4,80 x 6,40 x 0,20

Efetuando, achamos o resultado:

V = 6,41m3

Resultado: a laje tem 6,14m3 de volume.

Calcule o volume de concreto necessário para executar a mar-quise representada abaixo.

PrismasPrismas

O volume dos prismas é calculado pela fórmula seguinte:

Onde:Ab – área da baseh – altura

Exemplo:

Vamos calcular o volume do pilar representado abaixo:

Tomamos a fórmula:

V = Ab x h

Como a área da base do prisma é um triângulo, temos que:

Ab = b x h 2

Substituindo, vem:

V = 120 x 0,40 x 2,80 2

V = Ab x h

Efetuando, temos:

V = 0,48 x 2,80 2

V = 0,24 x 2,80

V = 0,67m3

Resultado: o pilar tem 0,67m3 de volume.

Calcule o volume de concreto utilizado para execução da estaca pré-fabricada representada abaixo.

PirâmidesPirâmides

O volume das pirâmides é calculado pela fórmula:

Onde:Ab – área da baseh – altura

V = Ab x h 3 3

Exemplo:

Vamos calcular o volume da fi gura abaixo.

Tomamos a fórmula:

V = Ab x h 3

Como a área da base da pirâmide é um quadrado, temos que:

1 x 1 = 5 x 5

V = 5,00 x 5,00 x 12,00 3

Efetuando, vem:

V = 25 x 12,00 3

V = 100m3

Resultado: a fi gura tem 100m3 de volume.

Calcule o volume de água necessário para preencher a fi gura abaixo.

Observação: a base desta pirâmide é um hexágono (fi gura com 6 lados).

CilindroCilindro

O volume do cilindro é calculado pela fórmula seguinte:

Onde: – 3,14R – raioh – altura

Exemplo:

Vamos calcular o volume da estaca representada abaixo.

V = x R2 x h

Tomamos a fórmula:

V = x R2 x h

V = 3,14 x (0,40)2 x 15,00

Efetuando, vem:

V = 3,14 x 0,16 x 15,00

V = 7,53m3

Resultado: a aresta tem 7,53m3 de volume.

Calcule o volume de concreto necessário para executar a coluna representada abaixo.

ConeCone

O volume do cone é calculado com a fórmula seguinte:

Onde: – 3,14r – raio da baseh – altura

V = x r2 x h 3

Exemplo:

Vamos calcular o volume da fi gura abaixo.

Tomamos a fórmula:

V = x r2 x h 3

V = 3,14 x 3,502 x 7,20 3

Efetuando, vem:

V = 3,14 x 12,25 x 7,20 3

V = 92,31m3

Resultado: a fi gura tem 92,31m3 de volume.

Calcule o volume de concreto necessário para executar a es-trutura abaixo.

EsferaEsfera

O volume da esfera é calculado com a fórmula seguinte:

Onde: – 3,14R – raio da esfera

Exemplo:

Vamos calcular o volume necessário para executar a fi gura abaixo.

V = 4 R3

Se o diâmetro da esfera é 8,40, seu raio é 8,40 = 4,20 2Tomamos a fórmula:

V = 4 R3

V = 4 x 3,14 x (4,20)3

Efetuando, vem:

V = 4 x 3,14 x 74,088 3

V = 310,18m3

Resultado: a esfera tem 310,18m3 de volume.

Calcule o volume da esfera abaixo:

FormulárioFormulário

ÁreaQuadrado

A = 12

P = 4 x d = 2

Retângulo

A = b x hP = 2 (b + h)

Paralelogramo

A = b x h

Triângulo A = b x h 2

Losango

A = D x d 2

Trapézio

A = (B + b) x h 2

Polígono regular

A = P x a 2

P = Perímetro

Círculo

A = r2

C = D = 3,14

Coroa circular

A = (R2 – r2)

Setor circular

A = r2

em graus

VolumeCubo

V = a3

Paralelepípedo retângulo V = abc

Cilindro

V = r2 H

Pirâmide

V = Ab x H 3

V = H 3

Tronco do cone

V = H (R2 + r2 + R x r) 3

Tronco de pirâmide

V = H (AB + Ab + AA B x Ab) 3

Esfera

V = D R3

Lados de um triângulo retânguloLados de um triângulo retângulo

Vamos relembrar alguns conceitos importantes para o estudo de triângulos:• triângulo retângulo tem um ângulo reto, ou seja, de 90°;• AB é segmento de reta;• m (AB) quer dizer medida do segmento AB;• vértice de um triângulo é o ponto comum entre dois lados.

Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais.

O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa (lado maior).

No triângulo ABC, por exemplo, qual lado é a hipotenusa?

Note que é o ângulo reto. O lado oposto de é AB.

Então, AB é a hipotenusa:

Os lados do triângulo que formam o ângulo reto recebem o nome de catetos.

Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras

Se você observar novamente o triângulo ABC, vai verifi car que AC e CB são os lados que formam o ângulo reto.

Então, são esses os catetos do triângulo ABC.

Fórmula do teorema de PitágorasFórmula do teorema de Pitágoras

Existe uma relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo chamada teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras é a seguinte: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

O que signifi ca essa afi rmação? Vamos entendê-la através de uma fi gura.

Observe, a seguir, o triângulo BCD.

Note que a hipotenusa é BC e que os catetos são BD e CD.

Note também as medidas:• hipotenusa = 45mm• catetos = 27mm e 36mm

Pelo teorema de Pitágoras a medida da hipotenusa ao quadrado (452) é igual á medida de um cateto ao quadrado (272) mais a medida do outro cateto ao quadrado (362).

Teremos então:

452 = 272 + 362

2025 = 729 + 1296

2025 = 2025

Note que tanto no quadrado da hipotenusa como na soma dos quadrados dos catetos encontramos 2025.

Nomeando a hipotenusa e os catetos com letras, podemos escrever uma fórmula para o teorema de Pitágoras.

Veja como nomeamos o triângulo:

A letra (a) representa a cota da hipotenusa. Observe que a cota (a) está oposta ao vértice (a).

A letra (b) e (c) representam os catetos. Observe que a cota (b) está oposta ao vértice (B) e que a cota c está oposta ao vértice (C).

O teorema de Pitágoras pode então ser escrito assim:

(hip.)2 = (cat.1)2 + (cat.2)

(hip.) é a hipotenusa(cat.1) é um cateto(cat.2) é outro cateto

Ou ainda assim:

a2 = b2 + c2

1 Construa um triângulo retângulo MNP no seu caderno de maneira que m (MN) = 5cm, m (MP) = 4cm e m (NP) = 3cm.

Escreva em cima dos lados (hip.) para a hipotenusa e (cat.) para os catetos.

Construa as linhas de cotas e coloque m, n, p, nos locais apropriados.

Substitua estas letras m, n, p, corretamente na fórmula (hip.)2 = (cat.1)

2 + (cat.2)2.

Cálculo de um lado do triângulo retânguloCálculo de um lado do triângulo retângulo

1 No triângulo ABC, vamos encontrar a medida da hipotenusa:

Considerando (hip.) para hipotenusa, (cat.1) e (cat.2) para os catetos, teremos:

(hip.) = (cat.1)2 + (cat.2)

2 ou a2 = b2 + c2

Substituindo: a2 = 92 + 122

a2 = 81 + 144

a2 = 225

Como sabemos o valor de a2 e queremos o valor de (a), aplicamos a operação inversa:• se a2 = 225 (potenciação);• então a = 225 raiz quadrada).

Logo, a = 15

Observação: Nos casos em que a raiz quadrada não for exata faremos a aproximação até décimos.

2 Calcular a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 10cm e 7,5cm.

Resolução:Vamos desenhar e cotar o triângulo citado.

Dados:hip. = x;cat1. = 10;cat2. = 7,5

Fórmula:(hip.)2 = (cat.1)

2 + (cat.2)2

x2 = 102 + 7,52x2 = 100 + 56,25x2 = 156,25x = 12,5

Resposta: A medida da hipotenusa é 12,5cm.

Podemos utilizar a fórmula de Pitágoras para calcular a medida de qualquer cateto.

Se (hip.)2 = (cat.1)2 + (cat.2)

2, então (cat.1)2 = (hip.)2 – (cat.2)

Vamos ver alguns exemplos:• No triângulo FGH, vamos encontrar a medida do cateto.

Resolução: Considerando (hip.) para a hipotenusa e (cat.) para os

catetos teremos:

(cat.1)2 = (hip.)2 – (cat.2)

Fazendo as substituições teremos: g2 = (20)2 – (12)2

g2 = 400 – 144 g2 = 256 g = 16

Resposta: O cateto mede 16.

• Calcular o cateto menor de um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 13cm e o cateto maior, 12cm.

Resolução:

Vamos desenhar e cotar:

Temos a fórmula:

(cat.1)2 = (hip.)2 – (cat.2)

x2 = 132 – 122x2 = 169 – 144x2 = 25x = 25x = 5

Resposta: O cateto mede 5cm.

Resumindo:

Para resolver triângulos retângulos utilizando a relação de Pi-tágoras procedemos assim:• desenhamos e cotamos o triângulo (se necessário);• escrevemos a fórmula adequada, conforme o caso;• substituímos pelos dados do problema;• efetuamos os cálculos;• escrevemos a resposta.

1 Copie os triângulos e calcule as cotas desconhecidas.

Qual é a medida de (a)?

Em STU, (t) mede 8cm e (u), 10cm. Quanto mede (s)?

Qual é a medida de (m) no triângulo abaixo, se o mede 1,5dm e (n), 2dm?

Em PQR, (q) mede 7cm (r) 8cm. Quanto mede (p)?

No triângulo VXZ, (x) mede 6cm e (v), 5cm. Quanto mede (z)?

2 Resolva os problemas abaixo, copiando-os e desenhando as fi guras correspondentes a cada um:

Num triângulo retângulo, os catetos medem 20cm e 21cm. Quanto mede a hipotenusa?

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos, 6cm. Quanto mede o outro cateto?

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 30mm e um dos catetos, 18mm. Qual é a medida do outro cateto?

Num triângulo retângulo, os catetos medem 5m e 12m. Quanto mede a hipotenusa?

Um triângulo retângulo tem como medidas 12dm na hipote-nusa e 5dm num dos catetos. Quanto mede o outro cateto?

Constantemente estamos relacionando grandezas. Ao dizer, por exemplo, que uma barra de ferro de 60cm dá para fazer 16 parafusos, estamos relacionando a quantidade de material com o número de parafusos produzidos.

Também ao afi rmar que 2 operários levam 30 dias para fazer certo trabalho, estamos relacionando o número de operários com o tempo gasto.

Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é pos-sível manter entre elas uma proporção.

Por exemplo, dobrando a quantidade de material, também vai dobrar o número de parafusos produzidos. Assim, se a barra tiver 120cm, poderão ser produzidos 32 parafusos.

Do mesmo modo, reduzindo à metade a quantidade de material, também o número de parafusos produzidos vai fi car reduzido à metade. Tendo a barra 30cm, só serão produzidos 8 parafusos.

Note que, aumentando ou diminuindo uma grandeza (quantidade de material), a outra grandeza (número de parafusos) também aumenta ou diminui. Este aumento ou esta redução na mesma proporção nas duas grandezas é que faz as duas proporcionais.

No exemplo dos operários, você vai ver que a relação é um pouco diferente.

Se 2 operários fazem o serviço em 30 dias, 4 operários, com a mesma capacidade de trabalho, vão fazer o mesmo serviço em 15 dias. Note que 15 é a metade de 30.

Grandezas proporcionais Grandezas proporcionais

E, reduzindo à metade o número de operários, vai ser necessário o dobro de tempo para concluir o trabalho. Assim, 1 operário levará 60 dias.

Neste caso, aumentando uma grandeza (número de operários), a outra grandeza (tempo gasto) diminuiu; ou então, diminuindo uma grandeza (número de operários), a outra (tempo gasto) aumentou.

Mas, mesmo assim, podemos dizer que as grandezas são proporcionais, pois uma diminui do mesmo modo que a outra aumenta na mesma proporção.

Por esses dois exemplos, você pode ver que as grandezas proporcionais podem manter dois tipos de relação. Isso acon-tece porque as grandezas podem ser direta ou inversamente proporcionais.

1 Copie os quadrados abaixo no seu caderno e complete com os dados que faltam, calculando-os mentalmente.

número de máquinas trabalhando número de peças produzidas

velocidade tempo gasto no percurso

80km/h 5h

40km/h

2h30min

50km/h

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, au-mentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra diminui na mesma proporção.

No exemplo dos parafusos, as grandezas são diretamente proporcionais.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumen-tando uma delas, a outra diminui na mesma proporção; ou então, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.

No exemplo dos operários, as grandezas são inversamente proporcionais.

Podemos relacionar grandezas proporcionais de uma forma prática: colocando as grandezas, uma de cada lado, e ligando as duas com um traço.

Vamos relacionar desta forma as grandezas dos exemplos:

60cm ————— 16 parafusos 120cm ————— 32 parafusos

2 operários ————— 30 dias 4 operários ————— 15 dias

ou ainda:

cm parafusos operários dias 60 ——————— 16 e 2 ——————— 30 120 ——————— 32 4 ——————— 15

1 Classifi que as grandezas abaixo em direta ou inversamente proporcionais.

6 tornos ————— 1200 peças2 tornos ————— 400 peças

10 combustível ————— 100km percorridos30 combustível ————— 300km percorridos

24 dentes na engrenagem ————— 300rpm36 dentes na engrenagem ————— 200rpm

80km/h ————— 5h40km/h ————— 10h

2 Assinale com (d) as grandezas diretamente proporcionais e com (i) as inversamente proporcionais.

tempo de funcionamento de um chuveiro e energia consumida.

diâmetro de uma polia e número de rotações por mi-nuto.

número de operários trabalhando e tempo para fazer um trabalho.

quantidade de material e número de peças produzidas.

Regra de trêsRegra de três

Regra de três é uma forma de resolver problemas empregando os conhecimentos de proporção e equação.

Chama-se regra de três porque conhecemos três valores e com eles encontramos um quarto valor.

Para resolver problemas que envolvem grandezas proporcio-nais usando a regra de três, seguimos os passos abaixo.

Se com 20 litros de combustível um automóvel percorreu 160km, quantos quilômetros percorrerá com 35 litros?

1 Relacionamos as grandezas na forma prática, representan-do a grandeza desconhecida por x.

litros km 20 ————— 160 35 ————— x

2 Verifi camos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

litros km 20 ————— 160 35 ————— x

São diretamente proporcionais porque com mais combus-tível serão percorridos mais quilômetros.

3 Montamos a proporção. Como as grandezas são diretamen-te proporcionais, a proporção é montada na forma como está indicada. Neste problema, fi ca assim:

20 = 160 35 x

4 Armamos uma sentença matemática, lembrando que, numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Então:

20 • x = 35 • 160

5 Resolvendo:

20 • x = 35 • 160

20 • x = 5600

x = 5600 20

x = 280

6 Escrevemos a resposta, ou seja:

Com 35 litros o automóvel percorrerá 280km.

Viajando a uma velocidade média de 72km por hora, o percurso entre duas cidades pode ser feito em 5 horas. Qual deveria ser a velocidade média para se fazer o mesmo percurso em 4 horas?

1 Relacionamos os valores das grandezas envolvidas no problema:

km/h horas 72 ————— 5 x ————— 4

2 Verifi camos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Aumentando a velocidade, diminui o tempo gasto: as grandezas são inversamente proporcionais.

3 Montamos a proporção invertendo uma das grandezas, porque as grandezas são inversamente proporcionais:

72 = 4 ou x = 5 x 5 72 4

4 Armamos a sentença.

x • 4 = 72 • 5

5 Resolvendo:

4x = 360

x = 360 4

x = 90

6 Damos a resposta ao problema: a velocidade média deveria ser 90km por hora.

Calcular o número de rotações por minuto da polia menor.

diâmetro rpm 18 —————— 600 15 —————— x

Inversamente proporcionais (maior diâmetro, menor rpm).

15 600 18 x

15x = 18600

15x = 10800

x = 10800 15

x = 720

Resposta: A polia menor dá 720 rotações por minuto.

1 Resolva os problemas abaixo usando a regra de três, con-forme os exemplos dados.

Se 4,8m de fi o custam R$240,00, qual será o preço de 6m do mesmo fi o?

Um móvel com velocidade constante percorre 20m em 4 minutos. Quantos metros percorrerá em 6 minutos?

Num dia, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operá-rios trabalhassem no mesmo ritmo quantas peças iriam produzir?

Para construir uma casa 4 pedreiros levaram 60 dias. Em quantos dias 5 pedreiros com a mesma capacidade de tra-balho fariam a mesma casa?

Uma máquina deve trabalhar a 800rpm. Qual o diâmetro da polia a ser colocada no seu eixo se o motor que vai acioná-lo dá 1200rpm e tem uma polia de 100mm?

Uma fábrica de tecidos consumiu 1820 fardos de algodão em 13 dias. Em 8 dias quantos fardos consumiu?

Uma engrenagem de 40 dentes dá 300rpm. Qual é a rotação de uma outra de 60 dentes engrenada a ela?

2 Copie as fi guras e calcule os dados que faltam.

3 Para fazer uma laje de 17m2 são necessários 2m3 de con-creto. Quantos metros de concreto serão necessários para fazer uma laje de 27m2?

4 Para fazer 1m2 de alvenaria, utilizamos 24 tijolos. Quantos tijolos eu preciso para fazer 22,5m2?

5 Para fazer 1,25m2 de piso são necessárias 20 peças cerâmi-cas. Com 185 peças, quantos m2 consigo revestir?

6 Comprei 5 maçãs e paguei R$5,25 por elas. Qual o valor da dúzia de maçãs?

A porcentagem é uma razão especial com quociente 100.

Assim, 25% correspondem a 25 e signifi cam 25 em cada grupo de 100. 100

Se dizemos que 25% dos empregados de uma indústria são mulheres, estamos afi rmando que, em cada grupo de 100 em-pregados, 25 são mulheres.

Da mesma forma, quando falamos em 15% de desconto, estamos nos referindo a um desconto de R$15,00 a cada R$100,00.

Mas, se o número de empregados da indústria for 1000 ou a quantidade do dinheiro for R$20000,00 como saber quantos empregados são 25% ou quanto vale o desconto de 15%?

É sempre possível calcular a porcentagem de uma determinada quantidade, porque a quantidade considerada equivale a 100%.

Os 1000 empregados são o total de empregados da indústria e, por isso, 1000 correspondem a 100%.

Do mesmo modo, R$20000,00 correspondem a 100%, pois são a quantidade total do dinheiro considerado.

Para calcular a porcentagem de uma determinada quantidade, po-demos utilizar a regra de três. Para isso, é necessário saber montar a regra de três, dispondo corretamente os valores conhecidos.

PorcentagemPorcentagem

Exemplos:

• Quantos são 25% de 1000 empregados?

empregados % 1000 100 x 25

Em porcentagem, as grandezas são sem-pre diretamente proporcionais. Então:

1000 = 100 x 25

x • 100 = 1000 • 25

x • 100 = 25000

x = 25000 x = 250 100

Resposta: 25% de 1000 empregados são 250 empregados.

• Numa fi rma trabalham 20 mulheres que correspondem a 40% dos empregados. Qual é o total de empregados da fi rma?

empregados % 20 40 x 100

20 = 40 x 100

x • 40 = 20 • 100

x • 40 = 2000

x = 2000 x = 50 40

Resposta: O total de empregados da fi rma é 50.

• Num livro de 400 páginas, a quantos por cento correspondem 100 páginas?

páginas % 400 100 100 x

x • 400 = 100 • 100

x • 400 = 10000

x = 10000 x = 25 400

Resposta: 100 páginas do livro correspon-dem a 25% do total.

• Numa remessa de peças, 500 delas cor-respondem a 20%. Quantas peças corres-pondem a 80%?

peças % 500 20 x 80

x • 20 = 500 • 80

x • 20 = 40000

x = 2000 x = 2000 400

Resposta: 80% correspondem a 2000 peças.

• Uma pessoa que recebe R$6000,00 de salário vai ter um aumento de 38%. Qual será seu novo salário?

Você pode resolver este problema de duas maneiras:

R$ % 6000 100 x 38

x • 100 = 6 000 • 38

x • 100 = 228000

x = 228000 100

x = 2280 (valor do aumento)

6000 + 2280 = 8280 (novo salário)

Resposta: Seu novo salário será de R$8280,00

R$ % 6000 100 x 138 (100 + 38)

x • 100 = 6000 • 138

x • 100 = 828000

x = 828000 100

x = 8280 (novo salário)

Resposta: Seu novo salário será de R$8280,00

• Uma mercadoria que era vendida a R$5000,00 teve um desconto de 15%. Quanto fi cou custando?

R$ % 5000 100 x 15

x • 100 = 5000 • 15

x • 100 = 75000

x = 75000 100

x = 750 (desconto)

5000 – 750 = 4250 (novo preço)

Resposta: Ficou custando R$4250,00

R$ % 5000 100 x 85 (100 – 15)

x • 100 = 5000 • 85

x • 100 = 425000

x = 425000 100 x = 4250 (novo preço)

Resposta: Ficou custando R$4250,00

1 Quanto valem 15% de R$20000,00?

2 Quanto valem 30% de 240?

3 Qual é a quantia cujos 15% valem R$300,00?

4 Se 3% de uma remessa de peças são 75 peças, qual é o total da remessa?

5 Uma fábrica possui 250 empregados. Quantos por cento são 20 empregados?

6 25% de certa quantia correspondem a R$5250,00. Quantos reais eqüivalem a 70%?

7 Na quantia de R$25000,00, quantos por cento são R$750,00?

8 Uma mercadoria que valia R$6 000,00 teve aumento de 30%. Qual é seu novo preço?

9 Um operário recebe R$4000,00 mensais e tem desconto de 8% para a Previdência social. Quanto recebe líquido?

10 Preço de uma mercadoria sofreu um desconto de 15%, passando então a custar R$1700,00. Quanto custava antes do desconto?

Com a noção de porcentagem, podemos também calcular a altura de inclinações de elementos de construção e de terrenos.

Veja a ilustração abaixo. Ela representa um telhado em corte.

Agora, observe como podemos calcular a altura da cumeeira (h), sabendo que a inclinação do telhado é de 35%.

h = 0,35 x 4,20

h = 1,47m

Logo, a altura da cumeeira é igual a 1,47m.

Porcentagem aplicada na obraPorcentagem aplicada na obra

Observe a seguinte situação. O almoxari-fe de uma obra só aceita material com no máximo três peças defeituosas em cada lote de 100 peças.

A relação entre as peças com defeito e as peças fabricadas pode ser indicada assim: 3 ou 3:100 100

Esta razão é chamada porcentagem.

É possível calcular a porcentagem de qualquer quantidade. A quantidade con-siderada terá sempre o valor de 100%.

Exemplo:

Vamos supor que queremos encontrar 5% de 1500 blocos.

Sabemos que:

3% = 3 = 0,03100

Logo, para saber quanto representam 3% de 1500 blocos, basta multiplicar 1500 por 0,03. Veja:

1500x 0,03 45,00

E encontramos o resultado: 3% de 1500 blocos são iguais a 45 blocos.

1 Calcule 8% de 4250 telhas.

2 Sessenta telhas representam 5% do total de um telhado. Quantas telhas há ao todo neste telhado?

3 Qual é o valor da altura h no desenho abaixo?

18,20m

4 Calcule as porcentagens:

20% de 500,00 = 80% de 0,90 =

10% de 10,00 = 15% de 0,50 =

3% de 452,00 = 45% de 0,07 =

150% de 200,00 = 88% de 1,50 =

6% de 800,00 = 13% de 980,00 =

35% de 950,00 = 400% de 1200,00 =

95% de 1250,00 = 28% de 15500,00 =

105% de 280,00 = 33% de 10000,00 =

65,2% de 32,25 = 78,5% de 231,28 =

Dinâmica de grupoDinâmica de grupo

Os exercícios a seguir fazem parte de uma dinâmica. Para a resolução, cada aluno deverá fazer sozinho com o tempo de vinte minutos. Serão sorteados grupos pelo professor de no máximo 6 alunos. Estes grupos trabalharão por mais 30 minu-tos, discutindo a resolução dos problemas.

5 Tenho um telhado que será de 2 águas para cobrir um vão de 8,00m no total. Se a inclinação é de 28%, determine qual será a altura deste telhado?

Observação: Desenhe o que você pensou.

6 Recebi meu salário no dia 05 de julho referente a junho no valor de R$1050,00. Nesse dia meu chefe disse que no mês de julho teríamos um aumento de 4,35%. Como os negócios da empresa parecem que vão bem, no dia 05 de agosto ele anunciou mais um aumento de 3,70% para este mês.

Responda: Quanto eu vou receber no dia 05 de setembro?

7 Numa fábrica de blocos, houve a fabricação de 3 lotes em um dia com os seguintes resultados:

Sabendo-se que a tolerância desta fábrica é de 3% de erro na fabricação para os funcionários ganharem o prêmio do dia, responda:

Eles ganharam o prêmio do dia?

Qual foi a porcentagem de erro?

Lote nº Fabricados Defeituosos

1 7000 230

2 9000 304

3 10000 255

A medida principal de comprimento é o metro.

Outras medidas são:• km ............. quilômetro• hm ............. hectômetro múltiplos do metro• dam ........... decâmetro• m ............... metro• dm ............. decímetro• cm ............. centímetro submúltiplos do metro• mm ............ milímetro

Conversão entre unidadesConversão entre unidades

Metragem linear (comprimento – perímetro)Metragem linear (comprimento – perímetro)

x 10 Se for para a direita, multiplica em cada passo por 10.

Pode-se pensar: levar a vírgula 01 casa para a direita.

: 10 Se for para a esquerda, divide em cada passo por 10.

Pode-se pensar: levar a vírgula 01 casa para a esquerda.

1 Fazer a conversão das medidas:

10cm para m

km hm dam m dm cm mm

Medidas de comprimento,área e volumeárea e volume

5m para mm

8,36cm para mm

120,15cm para m

1,2km para m

18,4m para cm

10dam para m

8,2km para dm

2,54m para cm

2,875cm para m

Metragem quadrada (superfície – área)Metragem quadrada (superfície – área)

x 100 Se for para a direita, multiplica em cada passo por 100. Pode-se pensar: levar a vírgula 02 casas para a direita.

: 100 Se for para a esquerda, divide em cada passo por 100. Pode-se pensar: levar a vírgula 02 casas para a esquerda.

1 Fazer as seguintes conversões:

1m2 para cm2 1,86m2 para cm2

50cm2 para m2 2850m2 para km2

2km2 para m2 1,4dm2 para cm2

20cm2 para mm2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Metragem cúbica (sólido – volume)Metragem cúbica (sólido – volume)

x 1000 Se for para a direita, multiplica em cada passo por 1000. Pode-se pensar: levar a vírgula 03 casas para a direita.

: 1000 Se for para a esquerda, divide em cada passo por 1000. Pode-se pensar: levar a vírgula 03 casas para a esquerda.

Observação: O litro () equivale a 1dm3.

1 Fazer as seguintes conversões:

1m3 para cm3

1,5m3 para dm3

5,5dm3 para

0,2m3 para dm3

0,02m3 para

300cm3 para m3

1000cm3 para

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Unidade de massaUnidade de massa

Massa de um corpo é a quantidade de matéria que esse corpo contém. Essa quantidade de matéria é sempre a mesma em qualquer lugar da Terra. A massa de um corpo não varia, qual-quer que seja a posição que esteja ocupando.

Peso é a resultante da ação da força de gravidade sobre a massa de um corpo. Como a gravidade não é a mesma em todos os pontos da Terra, um corpo de mesma massa pode ter diferentes pesos, conforme o local em que se encontre. Portanto:

Para que se possa comparar quantitativamente as massas de dife-rentes corpos, idealizou-se um corpo feito de uma liga de platina e irídio, que se encontra em Sevres, Paris, e convencionou-se que esse corpo possui a massa de 1 quilograma (kg). Portanto, a unidade fundamental de massa é o quilograma (kg).

massa peso

Quadro de unidade de massa

Nome Símbolo Valor

Múltiplos

Tonelada t 1000 quilogramas ou 1000000 gramas

Quilograma kg 1000 gramas

Hectograma hg 100 gramas

Decagrama dag 10 gramas

Unidade Grama g 1 grama

Submúltiplos

Decigrama dg 0,1 grama

Centigrama cg 0,01 grama

Miligrama mg 0,001 grama

Medidas de massaMedidas de massa

Quando se diz que o ferro é mais pesado que a madeira, deve-se considerar o mesmo volume para as duas substâncias.

Massa específi ca de um corpo é a razão entre a massa e o vo-lume do corpo e é representada pela letra grega (rô).

Massa específi ca = massa (em kg) volume (em dm3)

A massa (em kg) de um corpo é calculada a partir de seu volume (V) e de sua massa específi ca ().

Se: = M M = M = x V V

Exemplo:

Calcular a massa (em kg) de uma barra cilíndrica de alumínio, sabendo-se que ela mede 60mm de diâmetro e seu compri-mento é de 350mm.

alumínio – = 2,7kg/dm3

Solução:

Volume do cilindro (em dm3)

M = x V

Massa específi caMassa específi ca

V = x r2 x h

V = x (30mm)2 x 350mm

V = 989601,69mm3

Uma vez que M = x V, multiplica-se o volume (sempre em dm3) pela massa específi ca do material.

M = 0,98960169dm3 x 2,7kg/dm3 = 2,672kg

A massa da barra é de 2,672kg

Conhecendo-se a massa específi ca de uma substância, pode-se calcular a massa (em kg) deste corpo, desde que se conheça o seu volume.

Veja a seguir as massas específi cas de alguns materiais:

Alguns livros trazem a unidade de massa específi ca em g/cm3 ou também em t/m3 Numericamente os valores são os mesmos:

aço = 7,85kg/dm3 = 7,85g/cm3 = 7,85 t/m3

V = 0,98960169dm3

• cobre laminado ............8,9• cobre puro ..................8,93• concreto armado .........2,4• cromo ............................6,7• diamante .......................3,5• duralumínio ..................2,8• estanho fundido ..........7,2• estanho laminado .......7,4• ferro fundido ..............7,25• gasolina ......................0,70• gelo ..............................0,92• latão fundido ................8,5• latão laminado ...........8,55• madeira (pinho) .........0,65

• aço ...............................7,85• aço rápido ...........8,4 a 9,0• água ............................1,00• álcool comum ............0,80• alumínio fundido .........2,6• alumínio laminado ......2,7• antimônio ...................6,67• argila ....................1,8 a 2,6• berílio ..........................1,85• bronze fosforoso .........8,8• cádmio ........................8,64• chumbo .....................11,34• cobalto ..........................8,8• cobre fundido ...............8,8

• magnésio ....................1,74• magnésio em liga ........1,8• manganês .....................7,3• mercúrio .....................13,6• molibdênio .................10,2• níquel ............................8,8• ouro ...........................19,33• platina .........................21,4• prata ............................10,5• tungstênio ..................19,1• vanádio .......................18,7• vidro comum ..............2,50• zinco fundido .............6,86• zinco laminado ...........7,15

As linhas são a base do desenho. Combinando-se linhas de diferente tipos e larguras, é possível descrever grafi camente qualquer objeto.

Quanto à largura, as linhas podem ser larga ou estreita. Os tipos de linha e sua utilização estão relacionados a seguir

Linhas NBR 8403Linhas NBR 8403

Tipo e largura Emprego Exemplo

Continua largaArestas e contornos de superfície de elementos seccionados e visíveis.

Contínua estreita

Aresta e contornos cujas superfície visíveis não fo-ram seccionadas e se en-contram destacadas das linhas mais próximas do observador.

Contínua estreita

Linhas de chamadas ou extensão, linhas de cota, hachuras, para represen-tarem pisos e azulejos e linhas de construção do desenho.

Tracejada estreita Arestas e contornos não visíveis.

Tipo e largura Emprego Exemplo

Traço–ponto estreita e larga na extremidade Linha de corte

Traço–ponto estreita Linhas de centro e de si-metria

Traço-dois pontos estreita Linhas de projeção

Traço–ponto estreita e larga na extremidade e nos desvios

Linhas de corte em des-vio, ou mesmo linha de corte.

Ziguezague estreita Rupturas longas

Sinuosa estreita Rupturas curtas

O desenho técnico é representado por suas projeções ortográ-fi cas (imagens) obtidas através de observações de um objeto feitas em determinadas posições. Esse método de obtenção de imagens chama-se método de projeção ortográfi ca do 1º diedro e é normalizada pela NBR 10067.

Abaixo, a representação em perspectiva isométrica de um mo-delo no espaço e as suas projeções ortográfi cas (imagens).

A observação do modelo visto de frente recebe o nome de vista frontal (VF), e a sua projeção ortográfi ca é representada no plano vertical (PV).

Olhando o modelo de cima, sua projeção ortográfi ca será repre-sentada no plano horizontal (PH), e receberá o nome de vista superior (VS).

Projeções Projeções

No modelo visto de lado esquerdo, a projeção ortográfi ca é representada no plano lateral (PL), e recebe o nome de vista lateral esquerda (VLE).

Rebatimento dos planosRebatimento dos planos

Efetua–se rebatimento dos planos para transformar a represen-tação das projeções ortográfi cas no espaço em um plano.

O plano lateral é girado até que ele coincida com plano vertical, procedendo do mesmo modo em relação ao plano horizontal.

As projeções nos planos rebatidos são mostradas em um mes-mo plano, como no quadro de giz ou numa folha de desenho.

A vista frontal é a representação em projeção ortográfi ca de objeto visto de frente. Em desenho de arquitetura é denominada elevação. A vista frontal é sempre considerada a vista principal do objeto.

A vista superior é a representação em projeção ortográfi ca do objeto visto de cima. Em desenho de arquitetura recebe o nome de planta.

A vista lateral esquerda é a projeção ortográfi ca do objeto visto da lado esquerdo.

Planta, elevação e vista lateral fi cam dispostas desse modo:

As projeções da elevação e planta devem alinhar-se vertical-mente, enquanto que as projeções da elevação e vista lateral alinham-se horizontalmente.

Desenho de arquitetura Desenho de arquitetura

Desenho de arquitetura é a representação geométrica das di-ferentes projeções, vistas ou seções de um edifício ou de parte dele. Utilizam-se convenções para uniformizar e facilitar a leitura do desenho, bem como para executar a obra.

O conjunto de projeções se resume em:• planta;• corte ou seção;• fachada;• detalhe.

Planta Planta

É a seção que se obtém fazendo passar um plano de seção paralelo ao piso, de tal maneira que corte as portas, janelas, paredes, etc., para que assim fi quem bem assinaladas todas as particularidades da construção.

Corte ou seção Corte ou seção

É um seccionamento feito no prédio por um plano vertical, per-pendicular ao piso, cujo fi m é mostrar os detalhes internos da obra, como janelas, paredes, peitoris, vergas, telhados, etc.

Os cortes são denominados corte transversal e corte longitu-dinal.

Corte transversal é o corte que se faz no sentido da largura do edifício.

Corte longitudinal é o corte que se faz no sentido do compri-mento do edifício.

FachadaFachada

É a representação gráfi ca das características externas da cons-trução.

Detalhe Detalhe

É o desenho de partes do edifício que necessitam mais atenção no momento da construção. Exemplo: detalhe do telhado.

PerspectivaPerspectiva

O desenho em perspectiva se faz necessário para que tanto o empreendedor quanto o usuário vejam como a obra fi cará de-pois de pronta. A perspectiva consegue reunir as 3 dimensões (altura, largura, profundidade) num mesmo desenho.

É a relação proporcional entre a medida do desenho e a medida do objeto.

A necessidade do uso de uma escala no desenho surgiu da impossibilidade de se representar um desenho muito grande ou muito pequeno numa folha de papel.

Dispomos de 3 tipos de escala: redução, natural e ampliação.

Escala Escala

Escala de redução Escala de redução

Os desenhos e arquitetura são quase sempre na escala de redu-ção. De acordo com NBR 8196, devem ser usadas as seguintes escalas: 1:20 (um para vinte), 1:50 ( um para cinqüenta), 1:100 (um para cem).

Observações:• Depois de se ter desenhado em escala, não importa qual, as

cotas (medidas) terão que ser as mesmas do modelo real.• As medidas angulares não sofrem transformação em escala

alguma. Assim, em ângulo de 90° permanecerá 90° seja qual for a escala.

Transformação da medida real doobjeto em desenhoobjeto em desenho

Para se saber que medida terá um objeto no desenho, basta dividir o valor (medida) do objeto pelo valor numérico da escala, valor esse que não seja 1.

Exemplo:

Querendo desenhar uma parede de 2m de comprimento na escala de 1:100, siga o roteiro.

A medida da parede é 2m, que é igual a 200cm.

Dividir 200cm pelo valor numérico da escala, que é:

100 : 200cm : 100 = 2cm

Na escala de 1:100, a parede de 2m será representada no de-senho com 2cm.

Para cada 1m do modelo real, 1cm no desenho, na escala 1:100.

a medida real do objeto e a medida no desenho 200cm 2cm

350cm 3,5cm

680cm 6,8cm

1 Preencha o quadro, fornecendo as medidas do desenho.

Escala de ampliaçãoEscala de ampliação

Transformação do desenho na medida real do objeto.

A medida real do objeto é dada multiplicando-se o valor (me-dida) do desenho pelo valor numérico da escala, valor esse que não seja 1.

Medida real Escala Medida do desenho

(cm)5,3m 1:50

12,00m 1:208,50m 1:10055cm 1:5096cm 1:2028cm 1:1001,5m 1:50

25,00m 1:10080cm 1:20

Exemplo:

Para se saber quanto corresponde 1,5cm de um desenho de uma janela, que está na escala de 1:100, é só seguir o roteiro.

A medida do desenho: 1,5cm.

Multiplicar pelo valor numérico da escala, que é 100:

1,5cm • 100 = 150cm = 1,50m

A medida representada por 1,5cm no desenho corresponde a 1,5m no objeto real.

Se cada 1cm = 100cm na escala 1:100, logo:

a medida real do objeto e a medida no desenho 200cm 2cm

220cm 2,2cm

570cm 5,7cm

1 Preencha o quadro, fornecendo as medidas reais do objeto.

Medida do desenho Escala Medida real (cm) Medida real (m)

21cm 1:10045cm 1:5060cm 1:5097cm 1:10050cm 1:201cm 1:10015cm 1:508cm 1:2015cm 1:20

Cotas são valores numéricos marcados na planta para estabe-lecer distâncias, medidas, padrões. As cotas são importantes para se dar uma noção de dimensão ao desenho.

Em arquitetura, as distâncias inferiores a 1metro são indicadas em centímetros e as superiores, em metro. As distâncias em me-tro precedem duas casas decimais: centímetros e milímetros.

Exemplo: 4,56m

Nas plantas e instalações hidráulicas, as tubulações são iden-tifi cadas com símbolos 0, colocado à esquerda da cota, signi-fi cando a seção circular do material empregado.

As cotas de altura são tomadas tendo como referencia o nível ± 0, zero que se encontra localizada na calçada.

As linhas de corte são representadas na planta por traço–pon-to, sendo colocadas nas extremidades duas letras maiúsculas voltadas para o sentido em que se vê o corte.

CotasCotas

Os possíveis tipos de indicações de cotas em arquitetura são:

Note que o valor 5,20 está escrito no centro da linha e na sua parte superior, e está escrito de forma legível. Numa cotagem vertical, o valor deverá ser colocado á esquerda da linha de cota.

As indicações das cotas de corda, arco e raio são:

Quando não for possível cotar entre as li-nhas de chamada, coloca-se a cota fora do intervalo.

A cota em desenhos com ruptura apresenta sempre a distância real, apesar de o desenho em escala não mostrar o mesmo valor.

Os vãos de portas poderão ser cotados de dois modos:

Por um traço de fração, onde o numerador representa a largura da porta e o denominador, a altura.

80cm = largura2,10m = altura

Por um sinal de multiplicação, onde o primeiro número repre-senta a largura e o segundo número, a altura.

80cm = largura2,10m = altura

Os vãos de janelas poderão ser cotados de dois modos:• Por traço de fração, onde o numerador representa a largura

da janela e o denominador, a altura.

1,20m = largura 1,50m = altura

• Por um sistema onde o número antes do sinal de multiplica-ção no numerador representa a largura. O número depois do sinal de multiplicação no numerador representa a altura, e o número no denominador representa o peitoril.

Esta série de plantas dará noções da distribuição dos comparti-mentos num edifício, e da técnica e do uso das convenções utili-zadas nos projetos, como escalas, cotagem, abreviações, etc.

Plantas residenciais Plantas residenciais

As convenções de desenho de arquitetura são representações gráfi cas de elementos de um projeto, com o objetivo de trans-mitir elementos esclarecedores da construção, quer em planta, corte, ou fachada.

Ao lado de cada símbolo, anotam-se as letras:• P – para planta;• C – para corte; • F – para fachada.

Assim, quando uma convenção tiver a letra P e C indica que ela pode ser usada tanto na planta como no corte.

Convenções

ConvençõesConvenções

Representações em detalhe

Representação de materiais de revestimento

Convenções de portas

Porta externa – 2 folhas

Porta de correr aparente – 1 folha

Porta de correr aparente – 2 folhas

Porta de correr aparente – uma fi xa ou as duas móveis

Porta de correr aparente – 4 folhas

Porta de correr embutida – 2 folhas

Porta vaivém – 1 folha

Porta sanfonada

Convenções de janelas

Janela de 1 folha

Janela de 2 folhas

Janela alta

Janela de correr aparente – 1 folha

Janela de correr aparente – 2 folhas

Janela de correr aparente – 4 folhas

Janela de correr embutida – 1 folha

Janela de correr embutida – 2 folhas

Janela guilhotina

Janela de abrir – 4 folhas (vidro-veneziana)

Convenções de vãos

Vãos em corte

AF ........................água friaAlv. ......................alvenariaArmo. ..................ArmárioAq ........................água quenteBI .........................barra impermeávelCim ......................CimentadoCM .......................casa de máquinasCob. .....................coberturaElev. ....................elevadorEsp. .....................despensaLav. ...................... lavatório, lavaboLong. ................... longitudinalNM. .....................norte magnéticoPD ........................pé-direitoP ..........................pilarS ..........................sobeSS ........................subsoloTQ ........................ tubo de quedaTrans. .................. transversalV. Basic. ..............vitrô basculanteV. Fix ...................vitrô fi xoVG .......................vigiaVP ........................ventilação permanenteWC .......................water close

AbreviaçõesAbreviações

Referências bibliográfi casReferências bibliográfi cas

SENAI-SP. Matemática básica para mecânica. São Paulo, 1981. Diversos volumes da coleção.

SENAI-SP. Curso rotativo de Química 2 – Prática de laboratório 2. São Paulo, 1987.

SENAI-SP. Pressão. São Paulo, 1990. Dario do Amaral Filho.

SENAI-SP. Leitura e interpretação de plantas. São Paulo, 1993. Carlos Eduardo Cabanas. Apostila para os treinamento Fun-damentos de supervisão para encarregado de obras civis.

SENAI-SP. Cálculo aplicado. São Paulo, 1993. Carlos Eduardo Cabanas e Marinilzes Moradillo Mello. Apostila para os treinamento Fundamentos de supervisão para encarregado de obras civis.

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