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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
91
CAPÍTULO 6 - INTEGRAL INDEFINIDA E TÉCNICAS DE PRIMITIZAÇÃO
6.1- Definição
Na matemática freqüentemente ocorre conhecermos a derivada de uma função, e desejarmos encontrar a
própria função. Exemplo, conhecemos a velocidade dt
dsv = de uma partícula e necessitamos encontrar a sua
posição ( )tfs = . Para resolver esse problema precisamos “desfazer” a derivação ( ou diferenciação), isto é, temos
que anti-diferenciar (ou integrar) a função.
Para achar a anti-diferencial ou integral de uma função temos efetuar a operação inversa da diferenciação. Por
exemplo, tomando a função 2xy = , sua derivada é obtida, multiplicando o x pelo expoente 2 e em seguida
subtraindo uma unidade do expoente de x , ou seja x2y =′ e a diferencial é xdx2dy= . A operação inversa (integral)
seria obtida dividindo a derivada pelo expoente e somando uma unidade no expoente, da forma: Integral (de x2 )
Cx2
x2 211
+==+
. Note que a função recuperada contém uma constante indeterminada, pois se derivarmos
( )x2
dx
Cxd 2
=+ que é a mesma derivada da qual partimos.
A operação inversa da diferenciação pode ser representada por um símbolo conhecido como integral ( )∫ que
se parece com um “ s ” alongado. Assim, dada uma diferencial de uma função, ( )dxxfdy ′= , aplicando nela a operação
inversa, isto é, a integral tem-se
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ′=→′=→′= dxxfydxxfdydxxfdy
Portanto, as operações fundamentais no cálculo integral são representadas por
( )dxxfdy ′= (diferencial de uma função)
e
∫ += cydy , que é a integral de uma diferencial da função mais uma constante.
( )∫ += cxfdy ,esta expressão é conhecida como a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. A
constante indeterminada que aparece na integração é que dá origem ao nome de “integração indefinida”.
Exercícios
1) Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ?Resposta: y = x2 + c.
2) Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ?Resposta: y = sen x + c.
3) Qual a função cuja diferencial é ex.dx ?Resposta: y = ex + c.
DisciplinaProf. Sale
ou seja
∫ +=
∫ +=
∫ +=
cxe.dxxe
csenx x.dxcos
c2x2x.dx
Definição:
Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x)
∫ =⇔+= f(x)(x)g'cg(x)f(x)dx , onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também
chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.
Exercícios
1) Determine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seuspontos é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1,3).
Determinar: y = f (x) / dx
dy= 2x
dy = 2x.dx
∫ ∫= 2x.dxdy
y = x2 + c → Família de curvasPasse pelo ponto P (1, 3)
3 = 1 + cc = 2y = x2 + 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).
6.2- Integral Indefinida de Funções de Uma Variável
Se a derivada de uma função é nxdx
dy= , sua diferencial dy será dxxdy n= e sua integral
∫ ∫ +== cdxxydy n, que resultará em
1nparac1n
xcdxx
1nn −≠+
+=+∫
+
Note-se que a expressão acima não é válida para 1−=n , pois teria-se ∞===∫ −
0
1
0
xdxx
01 , isto é, a integral fica
não definida. Porém, esta integral é definida como segue:
Observaç
e esta fun
Dentre de
escolha d
dx
de Cálculo Diferencial e Integral Ite Souza de Oliveira Buffoni
92
ão: Para resolver-se este problema foi necessário encontrar uma função cuja derivada fosse igual a ela mesma,
ção é xe .
todas as possíveis bases para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para este propósito. Na
a base a para a função xay = pesa muito a forma com a qual ela cruza o eixo Y .
( ) cxnx
+=∫ l
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6.3- Propriedade das Integrais
a) ∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dwdvdudw)dv(du .
b) ( ) ( )∫ +=+′ cxfcdxxf
c) ∫ +=+ cxcdx
d) ( ) ( )∫ ∫= xdxfadxxaf sendo a uma constante.
e) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xdxgbxdxfadxxbgxaf ∫∫ ∫ +=+ (distributiva)
Exemplo:
1) ∫ + x).dxcos(4x
∫ ∫ +++=+→
→∫ ∫ ∫ ∫+=+→
1csenxc22xcosx.dx2x.dx2aaplicando
cosx.dx2.2x.dxcosx.dx4x.dxdaplicando
(c+c1)=c2 → 2x2 + sen x + c2
Exercícios:
1) ∫ += c4
4xdx3x
2) c3
x2xc
3
3x2c
2
3
23
xdx2
1
xdxx +=+=+∫ =∫ =
3) c6
64)(2x
2
1du5u
2
12dx
54)(2x
2
1
2.dxdu
42xudx
54)(2x +
+∫ ==∫ +→
=
+=→∫ +
1. ∫ dxxx
x3x2xe
Y
1
0
( ) ( )1tan
0
===x
x
dx
edθ
θ
( ) ( )1,1
3tan
0
===x
x
dx
dθ
( ) ( )7.0
2tan
0
===x
x
dx
dθ
A função natural xe cruza o eixo y com uma inclinação igual a 1
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2. ∫ 3 x
dx
3. ∫ +− dx)1xx6( 2
4. ∫ + dx.x)4x( 32
5. c4
xc
13
xdxx
4133 +=+
+=
+
∫
6. c6
x7dxx7
65 +=∫
7. cxx3
2x
3
2
2/3
x
12/1
xdxxdxx 3
2/312/12
1+===
+==
+
∫ ∫
8. cx
2x2
15
x8dxx8dx
x
84
415
55
+−
=−=+−
== −+−
−∫ ∫
9. ( ) cx22
x4
3
x3dx2xdx4dxx3dx2x4x3
2322 +++=++=++ ∫∫∫ ∫
10. ( ) cx7xx3
2x
2
5x7
2/3
x
2
x5dx7dxxxdx5dx7xx5 2
2/322
1+−+=−+=−+=−+ ∫∫ ∫ ∫
11. cxx5
2x
5
2
2/5
xdxxdxxxdxxx 22 5
2/52
32
1+====⋅= ∫∫ ∫
12. cx
2
2/1
xdxxdxxdxxxdx
x
x 2/12
322122
1
2+−=
−===⋅=
−−−− ∫∫∫ ∫
13. ( ) ( ) cxxxxxxxxxx
dxxxxxdxxxx ++=+=+=+
++
=⋅+⋅=+++
∫∫ 3223 753/72/513/412/3
31213
7
3
5
2
7
3
5
2
3/72/513/412/3
14. cxx8
3x
8
3
3/8
xdxxdxxxdx
x
x 3 223 83/8
35312
3
2
+====⋅= ∫∫∫
todos esses exemplos só envolvem o x elevado a um expoente. Agora vamos generalizar essa fórmula para o
caso de se ter nu ao invés de só x , sendo ( )xfu = .
6.4- Integração por substituição de variáveis
Para calcular uma integral do tipo ( )∫ + dx5xx1002
, se o método convencional fosse usado, teria de
desenvolver-se o binômio ( )1002 5x + , o que resulta em 101 termos, a serem integrados termo a termo, o que seria no
mínimo enfadonho.
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Pelo método da substituição, faz-se:
5xu 2 +=x2
dudxxdx2du =⇒=⇒
que substituída na integral dá:
( ) c202
u
101
u
2
1duu
2
1
x2
duuxdx5xx
1011011001001002 +=⋅==⋅=+ ∫∫∫
voltando para x tem-se
( ) ( )c
202
5xdx5xx
10121002 ++
=+∫
6.4.1- Regra geral para integrais do tipo ( )∫ + sdxaxx qp
Outros problemas que podem ser resolvidos por substituição. Exemplo, descobrir os valores dos expoentespara que a expressão seja integrável
( )∫ + sdxaxx qp, faz 1
1−
− =⇒=⇒+=q
qx
dudxdxqxduaxu
Substituindo na integral vem
duxuq
1
x.q
duux 1qps
1qp +−
− ∫∫ =⋅ ⇒ para que x desapareça, temos duas condições:
1a ) 01qpou01qp =−==+− , então a integral para ser integrável tem que ser do tipo
( ) dxaxxsq1q∫ +−
2a ) condição é p1qp =+− (neste caso qx é obtido de axu q += ) Então, 1q2p −= que substituído na integral
resulta
( )dxaxx q1q2∫ +−
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer.
Exercícios
1- ( ) dxx4du9xudx9xx 34743 =∴+=⇒+∫
substituindo-se vem
∫∫ = duu4
1
x4
duux 7
373
32
)9x(
8
u
4
1 848 +==
( ) c32
)9x(dx9xx
84743 ++
=+∫
2- dx2x
x6
5
∫+
( ) dxx6du2xudx2xx 562
165 =∴+=⇒+= ∫
− substituindo-se tem-se
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∫∫−−
= duu6
1
x6
duux 2
1
52
15 ( )2
162
1
)2x(3
1
21
u
6
1+==
c)2x(3
1dx
2x
x 6
6
5
++=+
∫
3- ∫ + dxaxx 35 ( ) dxx3duaxudxaxx 232
135 =∴+=⇒+= ∫
2233
x3
dudxdxx3dueauxaxu =⇒=−=⇒+=
substituindo-se vem
( ) duuau3
1duux
3
1
x3
duux 2
12
132
215 ∫∫∫ −==
( ) ∫∫∫∫∫ −=−=− duu3
aduu
3
1duau
3
1duu.u
3
1duuau
3
1 2/12/32/12/121
+−+=
−=− ∫∫ 2/332/53
2/32/52/12/3 )ax(
3
a2)ax(
5
2
3
1
2/3
au
2/5
u
3
1duu
3
aduu
3
1
c)ax(9
a2)ax(
15
2dxaxx 335335 ++−+=+∫ .
4- ( ) xdx2du,axudxaxxdxax
x 22
123
2
3
=+=⇒+=+
∫∫−
x2
dudxxdx2dueauxaxu 22 =⇒=−=⇒+= ,
substituindo-se tem-se:
( ) duuau2
1duux
2
1
x2
duux 2
12
122
13 −−− ∫∫∫ −==
( ) ∫∫∫∫∫−−−−
−=−=− duu2
aduu
2
1duau
2
1duuu
2
1duuau
2
1 212/12
12
12
1
+−+=
−− ∫∫
− 2/132/332/12/3
212/1 )ax(a2)ax(
3
2
2
1
2/1
au
2/3
u
2
1duu
2
aduu
2
1
c)ax(a)ax(3
1)ax(a2)ax(
3
2
2
1 2/132/332/132/33 ++−+=
+−+
caxa)ax(3
1dx
ax
x 333
2
3
++−+=+
∫ .
5- ∫ + dx21)(3x
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∫ ++
=++
=+=
=+=
c9
31)(3xc
3
31)(3x
3
13dx21)(3x
3
1
3dxdu
13xu
6- ∫ dx3(2x)
∫ ∫ +===
∫ +=+==
==
c4
4x.32dx3x32dx3.x32
ou
c8
4(2x)c
4
4(2x)
2
12dx3(2x)
2
1
2dxdu
2xu
7- ∫ + dx24)(x
∫ +++=++=
++
=
c16x2
28x
3
3x16)dx8x2(x
ou
c3
34)(x
8- ∫ x.dx2x.sec3tan
c4
x4tan
3n
x.dx2secdu
tanxu
+=
==
=
9- ∫ dxsenx.cosx.
c2
x2cos
dxsen x du
xcosu
dx)sen x cosx.(dx.sen x x cos
ou
c2
x2sen
dx x cosdu
senxu
+−
−==
∫ −−=∫
+=
==
10- ∫ x.dx2tanx.sec
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c2
xsec
dx.xtan.x
2
+=
+=
=
=
+=
=
=
∫
∫
x x.tan x.d x.secsec
ou
c2
x2tan
x.dx2secdu
tan xu
2sec
ou
c2
x2tan
x.dx2secdu
tanxu
11- ∫+3 2x
dx
( ) c2
3 22)(x3.c
32
32
2)(xdx3
12x +
+=+
−=∫
−+=
12- ∫x
x.dx5ln
∫ +==
=
=
c6
x6lndx
x
1x.5ln
dxx
1du
lnxu
13- ∫+3 2 4x
dx.x
c4
)4x(.3c
32
)4x(
2
1
dx.x.2du
4xu
dx.x.2.)4x(2
1
3 22322
2
312
++
=++
=
=+=
+= ∫−
14- ∫ 3x
dx∫ +−=+
−==
−− c
x
1c
2
xdx.x
2
23
15- ∫ x
dxcxln +=
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16- ∫ −+
+dx
)7x5x(
)5x2(2
c)7x5xln(
dx)5x2(du
7x5xu
2
2
+−+=
+=−+=
17- ∫ dx.xtan
xsec 2
cxtanln
dx.xsecdu
xtanu2
+=
=
=
18- ∫ +dx.
e5
ex
x
c)e5ln(
dxedu
e5u
x
x
x
++=
=
+=
19- ∫ +dx
4e
ex2
x2
c)4eln(2
1
dxe.2du
4eu
dx4e
e.2
2
1
x2
x2
x2
x2
x2
++=
=
+=
+= ∫
OBS.: →∫ dx)x(Q
)x(P → ∫ ∫ ∫+=→+=
)x(Q
)x(r)x(q
)x(Q
)x(P
)x(Q
)x(r)x(q
)x(Q
)x(P
20- ∫ −+
dx4x
2x
∫ ∫ ∫ −+=
−+
→−
+=−+
4x
dx.6dxdx
4x
2x
4x
61
4x
2x
c)4xln(6x +−+=
21- ∫ −
++−dx
2x
2xx3x2
24
dx.2x
x.2
2
1dx).1x(dx
2x
2xx3x
2x
x1x
2x
2xx3x
22
2
24
22
2
24
∫ ∫ ∫ −+−=
−
++−−
+−=−
++−
c)2xln(2
1x
3
x 23
+−+−=
P (x) Q (x) r (x) q (x)
x+2 x-4-x+4 1 6
x4-3x2+x+2 x2-2-x4+2x2 x2-1 -x2+x+2 x2 -2 x
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100
22- ∫ ++
dx1x
1x 2
23- ∫−
dxx56
x23 2
6.4.2- Principais Fórmulas
1) ∫ += cudu
2) c1n
uduu
1nn +
+=
+
∫
−≠=
1n
f(x)u
3) clnuu
du+=∫
4) ∫ += cedue uu
5) clna
adua
uu +=∫
6) ∫ += csenucosu.du
7) ∫ +−= ccosusenu.du
8) ∫
++−
=clnsecu
clncosutanu.du
9) ∫ += clnsenucotu.du
10) ( )∫ ++= ctanuseculnsecu.du
11) ∫ +−= ccotu)ln(cossecucossecu.du
12) ∫ += ctanuu.du2sec
13) ∫ +−= ccotuu.ducossec2
14) ∫ +=⋅⋅ csecudutanusecu
15) ∫ +−=⋅⋅ ccossecuducotucossecu
16) ∫ +⋅=+
ca
uarctan
a
1
au
du22
17) ∫ ++−
⋅=−
cau
auln
2a
1
au
du22
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101
18) ∫ +=−
ca
uarcsen
ua
du22
19) ∫ +=−
ca
uarcsec
a
1
auu
du22
** Exercícios:
1) ∫ .2.dx2xa2
1
caln
x2a+=
==
2
1
2dxdu
2xu
2) ∫ .3.dx3xe3
1
c3xe3
1
3.dxdu
3xu
+=
==
3) ∫ dx2x
x1
e
cedx2x)..(x1
e)(
dx2xdu
1xu
x1
+−=−−−=
−−=
−=
∫
4) ∫− 2x.dx.(-6)sen 2x 3.cose6
1
cx2cos.3e6
1
dx.x2sen6dx.2.x2sen.3du
x2cos.3u
+−=
−=−==
5) ∫
dx2
1x
2
1sen2
cx2
1cos2cx
2
1cos2 +
−=+
−=
=
=
dx2
1du
x2
1u
6) ∫ dx.3.x3cos3
1
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102
cx3sen3
1
dx3du
x3u
+=
==
7) dx.x.10.)x5sen(10
1 2∫c)x5cos(
10
1 2 +−=
8) ∫ dx.2.x2tan2
1
cx2secln2
1
dx2du
x2u
+=
==
9) ∫ dxxcot.x.22
1 2
cxsenln2
1
xdx2du
xu
2
2
+=
==
10) ∫ dyycos
ysen2
cyseccycos
dy)ysen(ycos
dy.ycos.ysen
1
2
2
+=+=
=−−=
=−−=
−
−
−
∫∫
11) ∫ + dx.2).1x2sen(2
1
c)1x2cos(2
1
2du
1x2u
++−=
=+=
12) ∫ + dx)xtan1( 2
cxtanxsecln2
cxxtanxsecln2x
dxxsecxsecln2x
dx)1x(secxsecln2x
xdxtanxdxtan2dx
dx)xtanxtan21(
2
2
2
2
++==+−++=
=−++=
=−++=
=++=
=++=
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫
13) ∫ + 2x9
dx
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103
c3
xarctan
3
1
xu
9a22
2
+=
=
=
14) ∫ +
−dx
9x
7x22
c3
xarctan
3
7)9xln(
9x
dx7c)9xln(
9x
dx7
9x
xdx2
2
22
22
+−+=
=+
−++=+
−+
= ∫∫ ∫
15) ∫ −1x
dx2
cln2
1
1a
xu
1x1x
2
22
+=
=
=
+−
16) ∫ − 4x
dx2
c2x
2xln
4
1
4a
xu2
22
++−
=
=
=
6.5- Generalização da integração por substituição de variáveis
Em geral esse método funciona sempre que se tiver uma integral que possa ser escrita na forma
( )( ) ( )dxxgxgf ′∫ . Observe-se que se fF =′ , então
( )[ ] ( ) ( )[ ] CxgFdxxgxgF +=′′∫ ,
pois, pela regra da cadeia
( )[ ]{ } ( )[ ] ( )xgxgFxgFdx
d ′′=
Fazendo–se a mudança de variável ( )xgu = , obtém-se:
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′=+=+=′′ duuFCuFCxgFdxxgxgF
e voltando a Ff ′= , fica
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ =′
′=′ duufxg
duxgufdxxgxgf .
Observe-se que a Regra de Substituição de Variáveis foi provada usando a Regra da Cadeia para diferenciação,
ou seja, se ( )xgu = , então ( )[ ] ( )dxxgdxxgdx
ddu ′== . Assim, a regra geral que acabou de ser provada pode ser escrita
como segue.
DP
E
1
2
3
4
d
5
6
7
6
Regra geral da substituição de Variáveis: Se ( )xgu = for uma função diferenciável cuja variação
ocorre em um intervalo I e f for contínua em I , então
( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′ duufdxxgxgf
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104
xercício
- Encontre ( )( )∫ +++ dx6x42x3xcot 2
Solução: Fazendo ( ) ( )3x2
dudxdx3x2du2x3xu 2
+=∴+=⇒++=
( )( ) ( ) ( )( ) ( )duucot2du
3x2
6x4ucotdx6x42x3xcot 2 ∫∫∫ =
++
=+++
( ) ( ) c2x3xsenn2cusenn2 2 +++=+ ll
( )( ) ( )[ ] c2x3xsenndx6x42x3xcot 222 +++=+++∫ l .
- ( )
dux2dxx2
dxduxudx
x
xcos=⇒=∴=⇒∫
( ) ( ) ( ) cxsen2cusen2duucos2 +=+=∫
- ( ) ( )15
dudxdx15dux15udxx15tanx15sec =⇒=∴=⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) cx15sec15
1cusec
15
1duutanusec
15
1+=+=∫
- ( ) ( )
( )[ ]( ) ( ) ( )dxxcotxcscduxcsc1u
xcsc1
dxxcotxcsc4
−=∴+=⇒+∫
( ) ( ) ( ) ( )xcotxcsc
dudxdxxcotxcscu −=⇒−=
c)xcsc1(3
1
3
uduuduu
3
344 +
+−=
−−
=−=−−
−− ∫∫ .
- ( )dx4x2dux4xudx)2x)(x4xsen( 22 +=∴+=⇒++∫( ) ( ) ( ) cx4xcos
2
1cucos
2
1duusen
2
1 2 ++=+=∫
- dxx15dux5udx)x5(cscx 23322 =∴=⇒∫
- ( ) ( ) ( ) ( ) cx5cot15
1cucot
15
1duucsc
15
1
x15
duucscx 32
222 +=+== ∫∫
.6- Métodos de Integração
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
105
6.6.1- Decomposição em Frações Parciais
Integração das funções racionais dx∫Q(x)
P(x), onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). Decomposição
em funções parciais1o Passo:
Fatorar Q(x).a) Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos;b) Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos;c) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos;d) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.
2o Passo:a) Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)
naxnA
...2ax
2A
1ax1A
Q(x)
P(x)
−++
−+
−=
OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.
3o Passo:Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.
4o Passo:Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.
Exemplo:
1) Decompor em frações parciais3x
C
2x
B
x
A
x62x3x
1x
++
−+=
−+
+
6
1A
1A6
1C2B3A
)3(0CBA
A6x)C2B3A(2x)CBA(1x
Cx22CxBx32BxA6Ax2Ax1x
)3x).(2x.(x
)2x).(x(C)3x).(x(B)3x).(2x(A
x62x3x
1x
)3x).(2x.(x)6x2x.(xx62x3x
−=
=−=−+
−×=++
−−++++=+
−+++−+=+
+−−++++−
=−+
++−=−+=−+
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
106
c)3xln(15
2)2xln(
10
3xln
6
1
3x
dx
15
2
2x
dx
10
3
x
dx
6
1
x6xx
1x
3x15
2
2x10
3
x6
1
x6xx
1x
10
3B
15
2C
1C53
2
1C2B36
1
0C3B32
1
23
23
++−−+−=
+−
−+−=
−+
++
−+
−+
−=
−+
+
=
−=
=−
=−+−
=−−
∫∫∫∫
b) Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidosQ(x)=(x-a)n
n)ax(
nA...
2)ax(
2A
1)ax(
1A
)x(Q
)x(P
−++
−+
−=
Exemplo:
1) 212 )1x(
C
)1x(
B
)1x(
A
)1x).(1x(
5x3
−+
−+
+=
−++
2
1B
2
1A4C
8C2
3CA2
5CA2
5CBA
3CA2
BA0BA
CCxBBxAAx2Ax5x3
)1x).(1x(
)1x(C)1x).(1x(B)1x(A
)1x).(1x(
5x3
22
2
2
2
−===
==+−=+
=+−=+−
−=→=+
++−++−=+
−+
++−++−=
−+
+
∫∫∫∫
+−−
+−−+=
−+−
−+
=−+
+−
+−
−+
+=
−+
+
−
−
c1
)1x(4)1xln(
2
1)1xln(
2
1
dx)1x(41x
dx
2
1
1x
dx
2
1
)1x).(1x(
5x3
)1x(
4
1x2
1
1x2
1
)1x).(1x(
5x3
1
22
22
c) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintosQ(x)=(a1x
2+b1x+c1) . (a2x2+b2x+c2). ... . (anx2+bnx+cn)
nn2
n
nn
222
2
22
112
1
11
cxbxa
BXA...
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
)x(Q
)x(P
++
+++
++
++
++
+=
Exemplo:
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
107
1) )1x2x(
CBx
)1x(
A
lirredutíveforma
)1x2x().1x(
22x
++
++
−=
++−
+
43421
c
4
3
2
1x
arctan
4
3
1)1xln(
)1xx)(1x(
2x
a
uarctan
a
1
au
du:lembrar
4
3
2
1x
dx)1xln(
)1xx)(1x(
2x
)1xx(
dx
)1x(
dx
)1xx)(1x(
2x
)1xx(
1
)1x(
1
)1xx)(1x(
2x
1C0B1A
2CA
1CA2
2CA
0CBA
1BA
)1xx)(1x(
CCxBxBxAAxAx
)1xx)(1x(
2x
2
2
2222
2
22
2
22
2
2
22
2
2
+
+
−−=++−
+
=+
⇒
+
+
−−=++−
+
++−
−=
++−
+
++
−+
−=
++−
+
−===
=−=+
=−=+−
=+
++−
−+−+++=
++−
+
∫
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
d) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos
Q(x) = n
lirredutíve
c)bx2(ax44 344 21++
n2nn
2222
211
c)bx(ax
BxA...
c)bx(ax
BxA
c)bx(ax
BxA
)x(Q
)x(P
++
+++
++
++
++
+=
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
108
Exercício:
1) 22222
2
)3x2x(
DCx
)3x2x(
BAx
)3x2x(
2xx
++
++
++
+=
++
++
c1
)3x2x(
2
1
2
)1x(arctan
2
1
dx)3x2x)(1x(22
1
)3x2x(
dx
)3x2x(
2xx
)3x2x(
)1x(
)3x2x(
1
)3x2x(
2xx
1D1C1B
2DB3
1CB2A3
1BA2
0A
)3x2x(
DCxB3Bx2BxAx3Ax2Ax
)3x2x(
2xx
12
22222
2
22222
2
22
223
22
2
+++
++
=
+++−++
=++
++
++
−−+
++=
++
++
−=−==
=+=++
=+=
++
+++++++=
++
++
−
−∫ ∫∫
Exercícios:Resolva as integrais:
1) ∫+
+−dx
x32x
6x43x
2) dx2x3x24x
12x6∫
++
−
6.7- Integração das Potências Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
1)
−=
−=
u2sen1u2cos
u2cos1u2sen
2)
+=
−=
)u2cos1(2
1u2cos
)u2cos1(2
1u2sen
3)
−=
−=
1u2seccosu2cot
1u2secu2tan
4)
5)
+=
+=
u2cot1u2seccos
u2tan1u2sec
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
109
a) Integrais da forma ∫ ∫ uduncosouudunsen
i) Se n for ímpar
• ∫ − du.usen.
1identidade
u1nsen 43421
• ∫ − du.ucos.
1identidade
u1ncos 43421
Exercícios:
1) ∫ dx.x3cos
c3
x3senxsen
dx.xcos.x2sendx.xcos
dx.xcos).x2sen1(
dx.xcos.
.ident
x2cos
+−=
∫ ∫−=
∫ −=
∫= 321
2) ∫ dx.x5sen
c5
x5cos
3
x3cos2xcos
dx.xsen).(x4cos)(dx.xsen).(x2cos)(2dx.xsen
dx.xsen)x4cosx2cos21(
dx.xsen.2)x2cos1(
dx.xsen.x4sen
+−+−=
∫ −−+∫ ∫ −−−=
∫ +−=
∫ −=
∫=
3) ∫ dx.x53cos
c15
x53senx5sen
5
1
c3
x53sen
5
1x5sen
5
1
dx.x5cos.5.x52sen5
1dx.5.x5cos
5
1
dx.x5cos).x52sen1(
dx.x5cos.x52cos
+−=
+−=
∫−∫=
∫ −=
∫=
ii) Se n for par:
• ∫ du.
2identidade
unsen 321
• ∫ du.
2identidade
uncos 321
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
110
Exercícios
1) ∫ dx.x32cos
[ ]cx6sen
6
1x
2
1
dx.x6cosdx2
1
dx)x6cos1(2
1
+
+=
+=
+=
∫ ∫
∫
2) ∫ dx.
.ident
x54sen 43421
[ ]
+++−=
+
++−=
++−=
++−=
+−=
+−=
−=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
c40
x20sen
2
x
5
x10senx
4
1
c20
x20sen
2
1
2
xx10sen
10
2x
4
1
dx.x20cos2
1dx
2
1x10sen
10
2x
4
1
dx)x20cos1(2
1x10sen
10
2x
4
1
dx.x10cosdx.x10cos2dx4
1
dx)x10cosx10cos21(4
1
dx)x10cos1(2
1
2
2
2
b) Integrais da forma: ∫ du.umcos.unsen
i) Se n ou m for ímpar:• Suponha m ímpar:
∫ − du.ucos.
1identidade
u1mcos.unsen 43421
Exercício:
1) ∫ dx.x2sen.x2cos 36
∫= dx.x2sen.
.ident
x22sen.x26cos 43421
∫ ∫∫
−=
−=
dx.x2sen.x2cosdx.x2sen.x2cos 86
dx2x).sen2x.cos2x.(1cos 26
c9
x2cos
2
1
7
x2cos
2
1 97
++−=
ii) Se n e m forem pares:
• ∫ du.
2identidade
umcos.
2identidade
unsen 43421321
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
111
Exercício
1) ∫ dx.xcos.xsen 22
[ ]
cx4sen4
1x
2
1x
4
1
dx).x4cos1(2
1x
4
1
dx.x2cosdx4
1
dx).x2cos1(4
1
dx).x2cos1(2
1)x2cos1(
2
1
2
2
+
+−=
+−=
−=
−=
+⋅−=
∫
∫ ∫
∫
∫
c) Integrais da forma ∫ ∫ du.uncotoudu.untan
• ∫ − du.
3identidade
u2tan.u2ntan 321
• ∫ − du.
3identidade
u2cot.u2ncot 321
Exercícios:
1) ∫ dx.
.ident
x52tan 43421
cxx5tan5
1
dxx5sec
dx)1x5(sec
2
2
+−=
−=
−=
∫ ∫∫
2) ∫ dx.x3tan3
cx3secln3
1
2
x32tan
3
1
dx.x3tandx.x32sec.x3tan
dx)1x32(secx3tan
dx.
.ident
x32tan.x3tan
+−=
∫ ∫−=
∫ −=
∫= 43421
3) ∫ dx.xcot 4
cxxcot3
xcot
dx)1xsec(cos3
xcot
dx.xcotdx.xseccos)(xcot
dx)1xsec.(cosxcot
dx.xcot.xcot
3
23
222
22
22
+++−=
−−−=
−−−=
−=
=
∫
∫ ∫∫∫
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
112
d) Integrais da forma ∫ ∫ u.duncossecouu.dunsec
i) Se n for ímpar: (Integra por partes)
ii) Se n for par:
• ∫ − du.u2sec.
4identidade
u2nsec 43421
• ∫ − du.u2seccos.
4identidade
u2nseccos 4434421
Exercícios:
1) ∫ dx.xsec4
∫= dx.x2sec.
.ident
x2sec 321
c3
x3tanxtan
dx.x2sec.x2tandx.x2sec
dx.x2sec)x2tan1(
++=
∫ ∫+=
∫ +=
2) ∫ dx.x2seccos 6
c5
x2cot
2
1
3
x2cotx2cot
2
1
dx.2)..(x2seccos.x2cot)2
1(dx.2)..(x2seccos.x2cot)
2
2(dx.x2seccos
dx.x2seccos)x2cotx2cot21(
dx.x2seccos.)x2cot1(
dx.x2cos.x2seccos
53
24222
242
222
24
+−+−=
−−+−−−=
+−=
−=
=
∫∫ ∫
∫∫∫
e) Integrais da forma: ∫ ∫ du.ucot.useccosoudu.utan.usec mnmn
i) Se n for par:
• ∫ − du.u2sec.umtan.
4identidade
u2nsec 43421
• ∫ − du.u2seccos.umcot.
4identidade
u2nseccos 4434421
Exercícios:
1) ∫ dx.xtan.xsec 64
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
113
c9
xtan
7
xtan
dx.xsec.xtandx.xsec.xtan
dx.xsec).xtanx(tan
dx.xsec.xtan).xtan1(
dx.xsec.xtan.xsec
97
2826
286
262
262
++=
+=
+=
+=
=
∫∫∫∫∫
2) ∫ dx.x5cot.x5seccos 26
c7
x5cot
5
1
5
x5cot
5
2
3
x5cot
5
1
dx).5.(x5seccos.x5cot5
1dx).5.(x5seccos.x5cot
5
2dx).5.(x5seccos.x5cot
5
1
dx.x5seccos.x5cot).x5cotx5cot21(
dx.x5seccos.x5cot.)x5cot1(
dx.x5seccos.x5cot.x5seccos
753
262422
2242
2222
224
+−−−=
−
−+−
−+−−=
++=
+=
=
∫ ∫ ∫
∫∫∫
ii) Se m for ímpar:
• ∫ −− du.utan.usec.
3identidade
u1mtan.1nsec 43421
• ∫ −− du.ucot.useccos.
3identidade
u1mcot.u1nseccos 43421
Exercícios
1) ∫ dx.xtan.xsec 33
c3
xsec
5
xsec
dx.xtan.xsec.xsecdx.xtan.xsec.xsec
dx.xtan.xsec).1x.(secxsec
35
24
22
+−=
−=
−=
=
∫ ∫∫∫ x x.tan x.dx.secx.tansec 22
iii) Se n for ímpar e m for par:(Integração por partes)
Exercícios
1) ∫ dx.x4sen2
2) ∫ dx.x4cos3
6.7.1- Integração por Substituição Trigonométrica
Se o integrando contiver qualquer das expressões: 222222 uaouau;ua +−− onde a é constante e u é
uma função em x.
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
114
Da trigonometria temos:
Identidades:• cos 2 θ = 1 – sen 2 θ• sec 2 θ = 1 + tan 2 θ• tan 2 θ = sec 2 θ – 1
1o Caso:
θ=− cos.a2u2a
Substituição:u = a . sen θ
θ=θ=θ−=θ−=θ−=− a.cos2cos . a)2sen(1 . a)2sen(12a2.sen2a2a2u2a
du = a . cos θ. d θ
2o Caso:
θ=− tan.a2a2u Substituição:
u = a . sec θ
θ=θ=−θ=−θ=−θ=− a.tan2tan . a)12(sec . a)12(sec2a2a2.sec2a2a2u
du = a . sec θ . tan θ . d θ
3o Caso:
θ=+ sec.a2a2u
Substituição:u = a . tan θ
θ=θ=+θ=+θ=+ a.sec2sec . a12tan . a2a2.tan2a2a2u
du = a . sec 2 θ . d θ
Resumo:
• θ
θθ=θ=
− cos.ad.cos.adu
sen.au2u2a
• θ
θθθ=θ=
− tan.ad.tan.sec.adu
sec.au2a2u
• θ
θθ=
θ=+ sec.a
d.2sec.adu
tan.au2a2u
u
a2a2u −a
2u2a −
u
u
a2u2a +
θ θ θ
Disciplina de Cálculo DProf. Salete Souza de O
Exercícios
1) dxx
x42
2
⋅−
∫Subst.:
θθ=θ=θ=θ−=−
θ=
d.cos.2dx
cos.22cos.22sen442x4
sen.2x
2x4cot
−=θ
arcsx
2x4
ccot
d.2seccos
d).12sec(cos
d.2cot
2sen.4
d.cos.2.cos.2
−−
−=
+θ−θ−=∫ ∫−θθ=
∫ −θ=
∫ θθ=
∫θ
θθ=
2) ∫+ 4x
dxx2
3
Subst.:
θθ=
=+
θ=
d.2sec.2dx
2tan.442x
tan.2x
[
∫
∫∫∫∫∫
=
+
+=
−=
=
−=
=
=
=
x(8
4x
dxx
2
4xsec
sec3
sec8
t.sec.sec8
se).1(sec8
ta.sec.tan8
d.sec.tan8
sec.2
sec.2.tan.8
2
2
3
2
3
2
2
2
3
23
θ
θθ
θθ
θ
θθ
θθ
θθ
4−
x
2xx
θiferencial e Integral Iliveira Buffoni
115
2sen =θ
c2
xen
d
+
θ
θ
θ
θ=θ=+=+θ sec.22sec2)12(tan44
]∫
+
−
+
+
−
+ c24
)4
c
d.tan.secd.an
d.tan.c
d.n
d.
2)4x(
23
212
θθθθθ
θθθ
θθ
θ
θθ
2x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
116
3) dyy
9y 2
∫−
Subst.:
θθθ=
θ=−θ=−
θ=
d.tan.sec.3dy
tan.392sec.992y
sec.3y
[ ][ ]
c3
ysecarc
3
9y3
ctan3
dd.sec3
d)1(sec3
d.tan3
sec.3
d.tan.sec.3.tan.3
2
2
2
2
+
−
−=
+−=
−=
−=
=
=
∫ ∫∫∫∫
θθ
θθθ
θθ
θθ
θθθθθ
6.8- Integração por Partes
∫ ∫∫ ∫ ∫
+=
+=
du.vdv.uv.u
du.vdv.u)v.u(d
∫ ∫−= du.vv.udv.u → Fórmula da Integração por Partes
Exercícios
1) {∫ +43421
dv
dx5)4x(.
u
x
=
+=+= ∫
dx.1du6
)4x(dx)4x(v
65
c7
)4x(
6
1
6
)4x(x
dx)4x(6
1
6
)4x(x
76
66
++
−+
=
+−+
= ∫
2) {∫ 43421dv
dx.xsen.
u
x
=−=
dx.1du
xcosv
cxsenxcos.x
dx.xcosxcos.x
++−=
+−= ∫
3) {∫ 43421dv
dx.xsen.
u
2x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
117
=−=
dx.x2du
xcosv
{
( )c)xcosxsen.x.(2xcos.2x
dx.xsenxsen.x.2xcos.2x
dx.1du
xsenv
dv
dx.xcos.
u
x.2xcos.2x
+++−=
∫−+−=
==
∫+−= 43421
4) {∫ 321dv
dx.xe.u
2x
{
cxexe.x2xe.2x
dx.xexe.x2xe.2x
dx.1du
xev
dv
dx.xe.
u
x2xe.2x
dx.x2.xexe.2x
dx.x2du
xev
+
−−=
∫−−=
==
∫−=
∫−=
==
321
5) {{∫dv
dx.uxln
cxxln.x
dxx
xxln.x
dxx
1du
xv
+−=
−=
=
=
∫
6) }
∫ 43421dv
dx.uxln.2x
c3
x
3
1
3
x).x(ln
dx.x3
1
3
x).x(ln
dxx
1
3
x
3
x).x(ln
dxx
1du
3
xv
33
23
33
3
+⋅−=
−=
−=
=
=
∫
∫
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118
7) {∫dv
dx.
u
xarctan43421
c)x1(ln2
1xarctan.x
x1
dx.x2
2
1x).x(arctan
dxx1
1du
xv
2
2
2
++−=
+−=
+=
=
∫
8) ∫ 44 344 21
48476
dv
dx.
u
xarcsen.2x
{
c3
22
3
)2x1(3
1
)2x1(2x3
1
3
3x)x(arcsen
dx.x2)..(2
1
)2x1()(3
1
)2x1(2x3
1
3
3x)x(arcsen
dx.x2du
2
1
)2x1(v
dv
dx.x.21
)2x1(u
.2x3
1
3
3x)x(arcsen
2x1
dx3x
3
1
3
3x)x(arcsen
dx2x1
1du
3
3xv
+
⋅−−−−−=
∫ −−−+−−−=
=−−=
∫
−−−=
∫−
−=
−=
=
444 3444 21
9) ∫ dx.xsec3
{
[ ] c)xtanxln(secxtan.xsec2
1dx.x3sec
)xtanxln(secxtan.xsecdx.x3sec2
dx.xsecxtan.xsecdx.x3secdx.x3sec
dx.xsecdx.x3secxtan.xsec
dx.xsec).1x2(secxtan.xsec
dx.xsec.x2tanxtan.xsec
dx.xtan.xsecdu
xtanv
dv
dx.x2sec.u
xsec
+∫ ++=
++=∫
∫ ∫+=∫ +
∫ ∫+−=
∫ −−=
∫−=
==
∫= 43421
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IProf. Salete Souza de Oliveira Buffoni
119
10) {∫ 43421dv
dx.xsenu
.xe
{
∫ +
+−=
∫ +−=
∫−+−=
=
=
∫+−=
=
−=
cxsen.xexcos.xe2
1dx.xsen.xe
xsen.xexcos.xedx.xsen.xe2
dx.xe.xsenxsen.xexcos.xe
dx.xedu
xsenv
dv
dx.xcosu
.xexcos.xe
dx.xedu
xcosv
43421
6.9- A Mudança de Variável 2
xtgu =
A mudança de variável 2
xtgu = é recomendável sempre que o integrando for da forma ( )xcos,xsenQ , onde ( )v,uQ é
um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v.Antes de passarmos aos exemplos, vamos relembrar duas identidades trigonométricas importantes.
2
xcos
2
xcos
2
xsen
22
xcos
2
xsen2xsen 2==
Assim,
2
xtg1
2
xtg2
xsen2+
=
Por outro lado,
2
xtg1
2
xtg1
2
xtg2
2
xsec
2
xcos
2
xsen21xcos
2
2
2222
+
−=
−=−=
Exercícios:
1- Calcule ∫ dxxcos
1
2- Calcule dxxsenxcos1
1∫ +−
3- Calcule ∫ +dx
xcos1
x2sen
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