Aluna do Mestrado: Lucilene Oenning SaraivaColaboração: José Carlos Pinto leivas

2011

MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO

DE FÍSICA E MATEMÁTICA

Formação da professora:

Aluna cursando do Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e Matemática – UNIFRA, com concentração em Matemática.

Instituição: Colégio Estadual Machado de Assis- Nova Aurora, PR

Ano em que ocorreu: 2011

Série: 2ª e 3ª série do Ensino Médio

Disciplina: Oficina de Matemática

Conteúdo desenvolvido: Geometria Fractal

Número de alunos: Dois alunos. 

Proposta

Trabalhar na oficina noções básicas de Geometria fractal com alunos do Ensino Médio, de modo que conheçam e compreendam um pouco esta geometria, construindo o cartão Triângulo de Sierpinski e calculando sua dimensão.

Objetivo

Utilizar conhecimentos adquiridos nas séries anteriores, como uso de compasso, régua, conceito de logaritmo e potenciação. Compreender um novo tipo de geometria.

O matemático francês Benoit Mandelbrodt é considerado o pai dessa geometria por ter difundido seus estudos e dar nome a ela no ano de 1975. A partir disso o assunto começou a aparecer com maior freqüência na literatura.

Mandelbrodt descobriu que “muitos objetos familiares tinham dimensões fracionárias. Entre os objetos planos incluem - se os cristais de gelo e os contornos das cordilheiras montanhosas e entre os sólidos temos os radiadores de automóveis e os intestinos humanos” (GUILLEN, 1998).

As principais características dos fractais, de acordo com Borssoi (2005, p,11), são:

Auto similaridade: Ao tomarmos um trecho do fractal, percebemos que tal trecho é semelhante ao fractal, apenas com uma redução na escala, do tamanho original.

Estrutura fina: o grau de detalhamento de um fractal não diminui se examinarmos uma porção arbitrariamente pequena do mesmo.

Simplicidade da lei de formação: o alto grau de detalhamento e a complexidade da estrutura de um fractal não impedem que sejam formados por processos simples, e assim é possível construirmos fractais, aplicando algoritmos; (apud VALIM e COLUCCI, 2008)

De acordo com as orientações propostas nas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (BRASIL, 2008, p.57)

Na geometria dos fractais, pode-se explorar: o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para as suas propriedades, através da “regularidade harmoniosa nas suas próprias irregularidades” (BARBOSA, 2005, p. 14).

Ainda de acordo com estas diretrizes os

conceitos relacionados a outras geometrias, como por exemplo geometria elíptica, geometria hiperbólica e geometria fractal são fundamentais para que o aluno do Ensino Médio amplie seu conhecimento e pensamento geométrico. Porém a apresentação desses conceitos não devem reduzir-se às demonstrações geométricas em seus aspectos formais, mas devem favorecer a compreensão do objeto.

Segundo Barbosa (apud Leivas 2007, p. 3) a utilização de fractais em sala de aula é importante pelas seguintes razões:

Estabelece conexões com várias ciências;

Mostra deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo das formas da natureza;

Utiliza a difusão e acesso as tecnologias computacionais nos vários níveis de escolaridade;

Explora o belo dos fractais para o desenvolvimento do senso estético e da sensibilidade;

Desenvolve o espírito da curiosidade frente ao inesperado em cada iteração;

Para cada situação foram adotadas as seguintes etapas:

Construção do fractal;

Exploração de cada fractal e preenchimento da tabela com os dados solicitados;

Cálculo da dimensão do fractal;

Foram convidados para a oficina alunos da primeira, segunda e terceira séries do Ensino Médio do Colégio Estadual Machado de Assis, Nova Aurora – PR.

A oficina foi oferecida no período da tarde para as oito turmas (média de 30 alunos cada) do período da manhã, tendo a participação de dois alunos.

As atividades foram desenvolvidas no laboratório de informática do colégio, apenas pelo fato de não haver sala de aula disponível para o desenvolvimento do trabalho.

No papel quadriculado construa um quadrado com 8 quadradinhos de lado.

Construa um novo quadrado como o anterior e divida suas arestas em duas partes.

Construa um novo quadrado como o primeiro e divida cada aresta em quatro partes.

Construa novamente um quadrado como o primeiro e divida cada uma de suas arestas em oito parte

Deste modo obtemos as seguintes figuras:

1˚ interação

2˚ interação

3˚ interação

Considere as seguintes informações:

n = número de interações realizadas;

N(n) = número de quadradinhos formados;

d = lado de cada quadradinho;

ou seja, é igual ao lado do quadradinho elevado a D (dimensão do fractal);

, ou seja, a área total a ser determinada a dimensão do fractal é igual a multiplicação do número de quadradinhos formados pela área de cada quadradinho.

( )DnA d nA

( ). ( )T n nA N A n

Com base nas informações anteriores preencha a tabela a seguir e descubra a dimensão em que se encontra o quadrado.

Mas essa medida de área tem de fazer sentido em cada processo o que significa dizer que a área não pode ser nula e nem infinita para qualquer nível de interação. Assim se for um número maior que do que 1, implica que a área é um número infinito e se for um número menor do que 1, implica ser zero. Para que nenhuma das situações ocorra, esse valor deve ser 1.

Daí,

( ). ( )

44 . .

2 2

T n

D nn D

T n D

A N n A n

LA L

4

2D

41

2D

4 2D

A área total será:

o que leva em

Calculando o logaritmo temos que a dimensão D do quadrado é 2.

Considerações

Durante o desenvolvimento da atividade os alunos não apresentaram dificuldade, a maior foi quanto ao preenchimento da tabela e cálculo da dimensão, pois não se lembravam de como calcular o logaritmo para encontrar a dimensão. Esse é bastante demorado pois, logaritmos podem ser encontrados por aproximação de potências de 10. Porém esta dificuldade foi superada com o uso da calculadora.

Construção do cartão:

1) Pegue uma folha de tamanho A4.

2) Dobre a folha ao meio, ao longo de sua altura.

3) Com a folha dobrada ao meio, marque o ponto médio na parte dobrada de largura x e o ponto médio da altura y e faça um corte vertical até o encontro dos pontos médios na altura y.

4) Dobre um dos retângulos formado para cima, fazendo um vinco na dobra.

5) As gerações seguintes serão obtidas nos dois retângulos formados no cartão, aplicando a mesma regra do passo 3.

Deste modo obtemos as seguintes figuras:

Planificação do cartão

Com base nas informações anteriores preencha a tabela a seguir e descubra a dimensão em que se encontra o quadrado.

o que leva em . Calculando o logaritmo temos que :

Assim a dimensão D do triângulo de Sierpinski é 1,58.

Mas essa medida de área tem de fazer sentido em cada processo o que significa dizer que a área não pode ser nula e nem infinita para qualquer nível de interação. Assim se for um número maior que do que 1, implica que a área é um número infinito e se for um número menor do que 1, implica ser zero. Para que nenhuma das situações ocorra, esse valor deve ser 1. Daí,

( ). ( )

33 . .

2 2

T n

D nn D

T n D

A N n A n

LA L

3

2D

31

2D 3 2D

log3.log 2 log3 1,58

log 2D D

A área total será:

Durante o desenvolvimento da atividade a maior dificuldade encontrada foi quanto a utilização do compasso, pois os alunos não sabiam segurá-lo de maneira correta e sempre mudavam a sua abertura fazendo com que o ponto médio não fosse encontrado.

Como já havia sido realizado o preenchimento da tabela da primeira tarefa não tiveram dificuldade para o preenchimento da tabela da segunda atividade.

Apesar de haver poucos alunos em sala a interação professor – alunos foi intensa, pois estes ficaram interessados pelo assunto.

Considerações

Pela professora:Devido à quantidade de alunos que compareceu à oficina não houve dificuldade com relação ao desenvolvimento das atividades. Porém se houvesse um número maior de alunos essa dificuldade apareceria.

Pelos alunos:Dificuldade em trabalhar com régua e compasso; não sabiam encontrar ponto médio com compasso; não se lembravam do conteúdo de logaritmo.

Dificuldades encontradas:

Considerações finais

Ao fazer uso de materiais concretos para a construção do fractal, constatou-se que os alunos sentiram-se motivados, pois tiveram a oportunidade por meio da construção e investigação, de fazer o elo entre teoria e prática.

As atividades proporcionaram uma aprendizagem com significado para os alunos, que tiveram a oportunidade de usar os conhecimentos adquiridos em séries anteriores e que já estavam esquecidos para a compreensão de um novo tipo de geometria.

avisados pelo professor da escola, pela professora da oficina e pelos cartazes colocados no mural da escola. Talvez este fato tenha ocorrido pela oficina ter sido oferecida em contra turno ou até mesmo por não se interessarem por não valer nota a oficina.

Por não exercer a docência a oficina foi uma ideia que surgiu pelo envolvimento com esta escola a longo tempo e pelo desejo de ser professora.

No entanto foi bastante prazeroso trabalhar com o conteúdo e aplicar o que foi aprendido no mestrado partindo do pressuposto de que ao iniciar o mestrado não tinha grande interesse pela Geometria o que mudou a ponto de ter a vontade de aplicar isso a alunos do Ensino Médio.

Para a professora, esta foi uma experiência um pouco angustiante pelo fato dos alunos não terem comparecido, apesar de terem sido

Referências

BRASIL, Secretária de Educação Básica do Estado do Paraná – Diretrizes Curriculares da Educação Básica- Matemática, Paraná, 2008.

GUILLEN, M. Pontes para o infinito – o lado humano das matemáticas. Lisboa: Gradativa, 1998.

LEIVAS, J.C.P. Dimensão, Logaritmo, fractal: Estabelecendo conexões, In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais...

BRASIL, Secretária de Educação Básica do Estado do Paraná – Diretrizes Curriculares da Educação Básica- Matemática, Paraná, 2008.

GUILLEN, M. Pontes para o infinito – o lado humano das matemáticas. Lisboa: Gradativa, 1998.

LEIVAS, J.C.P. Dimensão, Logaritmo, fractal: Estabelecendo conexões, In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais...

VALIM. J. C. M.; COLUCCI, V. Geometria Fractal no Ensino Fundamental e Médio. In: SEMANA ACADEMICA DA MATEMÁTICA, 22., 2008, Cascavel. Anais … Cascavel: Unioeste, 2008. p. 48-57.