ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489)

MÉTODO DA BISSEÇÃO

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

f(x)

Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f

Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xiCalcular fs em xs

REPETIRx = (xi + xs)/2

Calcular f em x

Senão atualizar : xs = x : fs = f

ATÉ xs - xi

x fBISS

f (x)

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

f = x1 x2* + ln x1

x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1: = 0,1

Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f

Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi

Calcular fs em xs

REPETIR

x = (xi + xs)/2Calcular f em x

Senão atualizar : xs = x : fs = f

ATÉ xs - xi

EFICIÊNCIA DO MÉTODO

Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo

Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo

Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então:

Nt = Nm + 2

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

= 0,5Nm

ln = Nm ln 0,5

Nt = 2 + ln / ln 0,5

10% : = 0,1 N = 5,3 Nt = 6

1% : = 0,01 N = 8,6 Nt = 9

Nt = 2 – 1,4 ln

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

Um método típicoMétodo da Substituição Direta

Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente:

f(xi ) = 0 xi = F(xi)

Exemplo

x1 = e - x1

x2

*

x1 = - (1/ x2*) ln x1

F(x1)

F(x1)

x1 x2* + ln x1 = 0

f(x1)

f(xi ) = 0 xi = F(xi)

F(x)

x

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .

0,2

0,2

(x2* = 2 : x1 inicial = 0,5)

F(x1) = e - x1

x2

*

Solução: x = 0,4263

x1

x3

x2

F(x)

x

x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,302

0,479 0,383 0,199

0,383 0,464 0,210

0,464 0,395 0,149

ALGORITMO

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

Estabelecer xinicial, (tolerância)

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergir

xsolução = F

F = xinicial

Como dar a partida ?

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

Algoritmo de Ordenação de Equações

Enquanto houver equações

Enquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).

Enquanto houver variáveis de frequência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!)

(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).

SIMULAÇÃO DE PROCESSOS COMPLEXOS

Processos Complexos

1 2 3 4 5 6 7 81* 2

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

143

Abrir C3

REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)

REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)

ATÉ Convergir C8

Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)

ATÉ Convergir C3

Abrir C8

Corrente 1: única conhecida

ALGORITMO DA SEÇÃO ÁUREA

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

ALGORITMO DE HOOKE & JEEVES

ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (proximidade do ótimo):

Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

MÉTODO HEURÍSTICO PARA SÍNTESE DE REDES DE TROCADORES DE CALOR

CRITÉRIO RPS PARA A SELAÇÃO DAS CORRENTES

ALGORITMO

Se TEQ* - TSF < DTmin então limitar TSF = TEQ* - DTmin

Fixar TEQ* = To(Q) e TEF* = To(F); Metas provisórias (temperaturas de destino) : TSQ = Td(Q) e TSF = Td(F)

Selecionar um par de correntes (QMTO x FMTO ou QmTO x FmTO)

TEQ*

TEF* TSF = TEQ* - 10

TSQ?

Se TSQ - TEF* < DTmin então limitar TSQ = TEF* + DTminTEQ*

TEF* TSF

TSQ = TEF* + 10

TEQ* = ToQ

TEF*=ToF TSF = TdF ?

TSQ = TdQ?

Enquanto houver trocas viáveis, ou seja: To(Q) > To(F)

Se Q = Oferta então confirmar TSQ e calcular TSF.

Calcular Oferta e Demanda

TEQ*

TEF* TSF

TSQ calcular

TEQ*

TEF* TSF calcular

TSQ

Se Q = Demanda, então confirmar TSF e calcular TSQ.

Adotar a troca máxima: Q = Min (Oferta, Demanda).

TEQ*

TEF* TSF = TEQ* - 10

TSQ?

TEQ*

TEF* TSF

TSQ = TEF* + 10

Atualizar a Tabela

Com as metas ajustadas