Algoritmo Genetico em Problemas de Rotacao de Culturas

Helenice de O. Florentino Silva Angelo Aliano Filho

Depto de Bioestatıstica, IBB, UNESP18.618-970 , Botucatu - SP

E-mail: {angelo, helenice}@ibb.unesp.br

Palavras-chave: Otimizacao, Metaheurısticas, Rotacao de Culturas

Resumo: Nos ultimos anos, o tema Rotacoes de Culturas tem ganhado destaque devido a suaimportancia economica, ambiental e social e uma vez empregada pelos produtores rurais, podetrazer muitos benefıcios. Este trabalho propoe um modelo matematico de rotacao de culturase uma estrategia de resolucao utilizando o Algoritmo Genetico por se tratar de um problemade natureza combinatorial e provido de uma alta complexidade. O objetivo foi encontar umaprogramacao de plantio de hortalicas que leve em consideracao as restricoes de adubacao verde,perıodo de pousio, restricoes de plantio para lotes vizinhos e para sequencia de culturas que maxi-mize a lucratividade da area cultivada. No presente trabalho, os experimentos computacionaisforam feitos com 23 culturas e uma rotacao de plantio 1 ano. Os resultados mostraram queo algoritmo encontrou solucoes factıveis em um tempo computacional razoavel, mostrando suaeficacia em problemas de elevado nıvel de complexidade.

1 Introducao

O Brasil e um paıs de tradicao agrıcola e os mais diferentes cereias e hortalicas sao cultivadosem larga escala. As condicoes naturais como o clima, os solos ferteis e o relevo propiciam odesenvolvimento deste amplo setor economico.

ALTIERI (2002) descreve que a producao agrıcola convencional baseia-se principalmentena monocultura, em razao do custo operacional ser baixo e da sua maior facilidade de imple-mentacao. Mas isto acarreta uma serie de prejuızos, tais como o uso macico de capital e pesti-cidas toxicos que sao altamente prejudiciais ao meio ambiente, facilitando a acao e prevalenciade pragas e patogenos. Pontos negativos de ordem economica tambem sao originarios destapolıtica, como empobrecimento de pequenos agricultores e crescente volumes mınimos de algunsprodutos de origem agrıcola.

Para evitar estes problemas, e interessante que haja uma expansao da policultura, mas deuma forma sustentavel, levando em consideracao, ao mesmo tempo, a preservacao ambientaldas areas de plantio, o controle de pragas (e como consequente, o uso menos intensivos dosagrotoxicos) e os ganhos economicos.

E neste sentido que o tema ”Rotacao de Culturas” tem sido objeto de estudo das areasagronomicas e ecologicas. A ideia basica consiste em alternar, anualmente, diferentes famıliasbotanicas de vegetais, numa mesma area agrıcola. As especies escolhidas devem ter propositoscomerciais e de recuperacao do solo (RODRIGUES, 2009).

As vantagens da Rotacao de Culturas sao inumeras. Alem de proporcionar a producaodiversificada de alimentos e outros produtos agrıcolas, se adotada e conduzida de modo adequadoe por um perıodo suficientemente longo, essa pratica melhora as caracterısticas fısicas, quımicase biologicas do solo; auxilia no controle de doencas e pragas; repoe materia organica protegendoo solo da acao dos agentes climaticos (ALTIERI, 2002).

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2 Modelagem matematica

No modelo matematico proposto por ARENALES (2007), e necessario levar em consideracao osseguintes restricoes da rotacao:

1. Restricoes intrınsecas as culturas: Os ciclos reprodutivos de cada cultura, bem comorespeitar cada epoca de plantio.

2. Restricoes de vizinhanca para culturas de mesma famılia: Uma mesma famılia botanicade plantas nao pode ser plantada em um mesmo talhao consecutivamente.

3. Restricoes de continuidade para culturas de mesma famılia botanica: Plantas de mesmafamılia botanica nao podem ser plantadas em talhoes adjacentes.

4. Restricao de adubacao verde: Todo talhao devera uma planta de famılia leguminosa e sesujeita as condicoes (2) e (3) e uma delas e cultivada uma unica vez.

5. Restricao de perıodo de pousio: em lote, programa-se um perıodo de pousio.

Considera-se o tamanho da programacao T , divididos em M perıodos de mesma duracao, aarea de plantio dividida em L lotes. Para um conjunto de N culturas, de Nf famılias botanicas,o modelo proposto pode ser expresso por uma programacao inteira do tipo 0-1 descrita a seguir.Por conveniencia, o perıodo de pousio e representado pela cultura n = N + 1.

max

z =L∑

k=1

∑j∈Ii

N∑i=1

lixijk

(1)

sujeito a

∑i∈Fp

ti−1∑r=0

xi(j−r)k + xi(j−r)k+1 ≤ 1, j = 1..M, p = 1..Nf , k = 1..L− 1 (2)

∑i∈Fp

ti∑r=0

xi(j−r)k ≤ 1, j = 1..M, k = 1..L, p = 1..Nf (3)

N∑i=1

ti−1∑r=0

xi(j−r)k ≤ 1, j = 1..M, k = 1..L (4)

M∑j=1

∑i∈A

xijk ≥ 1, k = 1..L (5)

M∑j=1

xnjk ≥ 1, k = 1..L (6)

xnjk = {0, 1}, i = 1..N, j ∈ Ii, k = 1..L (7)

No modelo proposto anteriormente, a variavel decisoria xijk sera 1 se a cultura i tiver seuperıodo de plantio iniciada no perıodo j e for plantada no talhao k e 0 em caso contrario.

O conjunto parametrico esta definido a seguir:

• A: conjunto de culturas para adubacao verde;

• Fp conjunto de plantas da famılia p, p = 1..Nf ;

• ti: ciclo de plantio da cultura i, incluindo o preparo da terra e da colheita;

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• li: lucratividade da cultura i;

• Ii = [Ci, Ti] intervalo de plantio da cultura i, em que Ci e o perıodo mais cedo e Ti operıodo mais tarde.

A funcao objetivo (1) visa maximizar a lucratividade da rotacao realizada na dada area efora dividida nos L lotes. As restricoes (2) impedem que plantas de mesma famılia botanicasejam vizinhas. As restricoes (3) permitem que uma mesma famılia botanica de plantas sejamplantadas consecutivamente no mesmo lote k.

A restricoes indicadas em (4) impedem que duas plantas ocupem o mesmo lote no mesmointervalo de tempo. Isto quer dizer que, se a cultura i for plantada no lote k, e necessario quepasse ti perıodos ate que uma nova planta ocupe o mesmo espaco.

Finalmente, (5) e (6) garantem que em cada lote, haja pelo menos uma adubacao verde epousio, respectivamente. Observa-se que para o pousio, nao se aplicam as restricoes de vizinhan-ca e plantio consecutivo.

3 Metodologia

Nesta secao apresenta-se uma proposta alternativa e viavel para resolver o problema anterior.Varios autores modelam e propoem a utilizacao de variaveis binarias; no entanto, para o uso doAlgoritmo Genetico, e mais conveniente que as variaveis decisorias sejam inteiras e com intervalode variacao [1, N ]. Caso isto nao fosse feito, uma modelagem do tipo 0-1 acarretaria em umcromossomo mais extenso, se comparado com a abordagem que esta proposta a seguir.

Uma solucao para o problema neste caso, sera uma matriz X(L ×M), em que cada sıtio(i, j) ∈ [1, N ], i = 1, .., L e j = 1, ...,M representa que cultura esta sendo plantada no lote i eno perıodo j.

Para solucionar o problema utilizamos um Algoritmo Genetico com 100 geracoes, contendo100 indivıduos (solucoes), taxa de migracao e de mutacao igual a 5% e a taxa de crossover de80%. O metodo de selecao dos cromossomos no algoritmo foi o da Roleta Viciada e o crossoverempregado foi o Uniforme. As quebras cromossomicas foram feitas horizontalmente, de maneiraaleatoria (para nao perder a factibilidade na linha).

Com o objetivo de explorar o conjunto de solucoes de um modo mais eficaz, a populacaoinicial do algoritmo foi construıda. A solucao inicial foi feita lote por lote, de tal maneira que, assolucoes assim construıdas fossem factiveis com relacao ao plantio sequenciado de mesma famıliabotanica em um mesmo lote.

A aptidao de uma matriz foi definida como a soma de todas as lucratividades li em todosos lotes. Um metodo de penalizacao exponencial para punir as solucoes infactıveis foi utilizado.Desta forma, as penalizacoes de mesma vizinhanca, pousio e adubacao verde sao somadas, cujasoma e p e a aptidao da solucao e multiplicada pelo valor e

pK , em que K e uma constante.

Como os lotes possuem multiplos vizinhos, foi necessario mapea-lo da seguinte forma: seja amatriz A = [aij ], em que aij = 1 se o lote i e vizinho de j e 0 em caso contrario, cuja dimensaoe L. Assim, ha penalizacao para vizinhancas iguais no sıtio (i, j) se a matriz A = [aij ] = 1.

4 Resultados

Os experimentos computacionais foram realizados no software Matlab versao 7.4.0 R2007a, emmicro-computadores Core 2 Quad com 2GB de memoria de 250 GB de memoria de disco rıgido.As simulacoes levaram em consideracao uma area que apresenta 15 lotes nao paralelos, como aseguir:

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Figura 1: 15 lotes nao paralelos

Uma programacao de 1 ano de plantio foi realizada e cada perıodo foi fixado em 10 dias. Asculturas 20-23 foram selecionadas para adubacao verde (a cultura 24 foi considerada o pousio).O algoritmo foi simulado 100 vezes para este problema e o tempo medio de processamento foide 38,81 segundos. Assim, ao final das 100 simulacoes, a melhor rotacao factıvel para esta areafoi a seguinte:

Figura 2: Rotacao otima para 15 talhoes nao pararelos

5 Conclusao

Neste trabalho, a otimizacao matematica foi usada na solucao do Problema de Rotacoes de Cul-turas como uma ferramenta capaz de auxiliar o agricultor na tomada de decisao. A perspectivade sua aplicabilidade e real, tendo em vista a geometria dos lotes e as restricoes do perıodo decultivo de hortalicas.

Assim sendo, o Algoritmo Genetico forneceu uma solucao factıvel em um tempo computa-cional razoavel, mostrando ser uma alternativa viavel, simples e eficaz para tratar problemas deelevada complexidade e de natureza combinatorial, situacao esta que impede ou torna inaceitavela aplicacao por metodos exatos.

Referencias

[1] ALTIERI, M.A. Agroecologia: bases cientıficas para uma agricultura sustentavel. EditoraAgropecuaria. Guaıba.(2002).

[2] ARENALES, M.N. Um Modelo para programacao de Rotacao de Culturas. Pesquisa Op-eracional, v.27, n.3, p. 535-547, (2007).

[3] EIBEN, A.E. Coloring with Adaptive Evolutionary Algorithms. Operations Research, v.4.25-46 (1998).

[4] RODRIGUES, L.M.S Programacao de rotacao de Culturas: modelos e metodos de solucaoTese de Doutorado, ICMC - USP, Sao Carlos. (2009).

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