Álgebra e geometria. = uma equação é do 1 o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita...

Álgebra e Geometria


=

Uma equação é do 1o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na forma ax = b, com a e b reais e a ≠ 0.

Exemplo:

2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15

2x + 9x = 2 – 6 + 15 – 10

9x – 10 + 2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15 + 9x – 10

11x = 1

2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15

Vamos resolver a equação 2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15 no conjunto .

Equações do 1o grau com uma incógnita

x =

Portanto, x = é a solução, raiz, da equação.

2


=

Equações literais do 1o grau com incógnita x

Exemplos:2bx = 8 ax + 3a = bx mx + n = p

Tais letras representam números reais conhecidos que são chamados deconstantes, coeficientes ou parâmetros. A essas equações damos o nomede equações literais do 1o grau com incógnita x.

Resolução de uma equação literal

Exemplo: 3x + 2m = x + 6m

– x – 2m + 3x + 2m = x + 6m – x – 2m

2x = + 4m

x = 2m

2

1Portanto x = 2m é a solução.

3


–==

Equações fracionárias

Equações fracionárias são aquelas que apresentam incógnita no denominador.

Exemplos:

Reduzimos ao mesmo denominador.

204 – 39 = 33x

33x = 1655

1

x = 5

9x + 24 = 4x

– 4x – 24 + 9x + 24 = 4x – 4x – 24

5x = – 24

= 11–

=–

=+

+ =

x = –

4


São equações do 1o grau com duas incógnitas, pois podem ser escritas, naforma geral, ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Soluções de equações do 1o grau com duas incógnitas

Exemplo: Vamos determinar alguns pares ordenados que sejam soluções da equação 3x + 2y = 10

Fazendo x = 0:

3 . 0 + 2y = 10

2y = 10

y = 5

Par ordenado (0, 5)

Fazendo x = 1:3 . 1 + 2y = 10

3 + 2y = 10– 3 + 3 + 2y = 10 – 3

2y = 7

Fazendo x = 2:3 . 2 + 2y = 10

6 + 2y = 10– 6 + 6 + 2y = 10 – 6

2y = 4

y = 2Par ordenado (2, 2)

Equações do 1o grau com duas incógnitas

Par ordenado

y = y =

y =

5

Álgebra e GeometriaGráficos das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas

Exemplo:

Vamos determinar algumas soluções da equações 3x + y = 1 e representar graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de eixos cartesianos.

x y

0 1

1 – 2

– 1 4

0

– 2 7

Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas estão sobre uma mesma reta.

1

2

3

4

5

6

7

8

–1

–2

–3

–4

0–1–2–3–4 1 2 3 4 5

y

x

3x + y = 1

(–2,7)

(–1,4)

(0,1)

(1,–2)

6


x + y = 72x + 4y = 22

Soluções de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas Exemplo:

Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pernas.Quantas são as galinhas? E os coelhos?

x: números de galinhas y: números de coelhos

x + y = 7 (São 7 cabeças, ou seja, 7 animais)

2x + 4y = 22 (As galinhas têm 2 pernas e os coelhos tem 4 pernas; total de 22 pernas)

Então:

Solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitasé um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.

7


Na situação temos:

• Solução da equação x + y = 7 (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); etc.

• Solução da equação 2x + 4y = 22 (1, 5); (3, 4); (5, 3); (7, 2); etc.

O par ordenado (3, 4) é a solução do sistema, pois é o único par ordenadoque é solução, ao mesmo tempo, das duas equações.

Graficamente ou geometricamente:

x + y = 7 2x + 4y = 22x y x y

0 7

7 0

1 5

5 3

x + y = 72x + 4y = 22

1

2

3

4

5

7

6

8

0

y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

x

(3,4) (solução do sistema)

2x + 4y = 22

x + y = 7

8

Álgebra e GeometriaMétodos de resolução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Método da substituição

Exemplo:

x + y = 55x + 2y = 85

III

x = 55 – y x + 2y = 85

III

“isolamos” o x na equação ISubstituímos em III

55 – y + 2y = 85

– y + 2y = 85 – 55 y = 30

Com o valor determinado de y, podemossubstituí-lo em qualquer uma das duas equações ou III

Em :I x = 55 – (30)x = 25

Em :II x + 2(30) = 85x + 60 = 85

x = 85 – 60 = 25

9

Álgebra e GeometriaMétodo da adição

Exemplo:

x + y = 59

x – y = 23 IISomamos as duas equações:

I x + y = 59

x – y = 23+

82+ 02x =2x = 82

Em :I

41 + y = 59y = 59 – 41y = 18

Em :II

41 – y = 23– y = 23 – 41– y = – 18

y = 18

x = = 41

10

Álgebra e GeometriaMétodo da comparação

Exemplo:3x – 5y = 1

2x + 3y = 7“Isolamos” a mesma incógnita

nas duas equações.

3x = 1 + 5y

2x = 7 – 3y

x =

x =

Então, comparamos as duas equações.

2 + 10y = 21 – 9y

2 + 10y = 21 – 9y y = 1

Substituímos y em qualquer uma das duas equações:

x = x = x = 2

10y + 9y = 21 – 2 19y = 19

= =

11


Sistema possível e determinado:

Exemplo: x + y = 24

y = 3x•

Resolvendo pelo método gráfico

x + y = 24 y = 3xx y

12 1210 14

x y0 03 9

Dizemos que o sistema épossível e determinado, pois

tem uma única solução.

(6, 18) é a solução do sistema.

12

Álgebra e GeometriaSistema impossível:

Exemplo:

x + y = 5

2x + 2y = 6• “Isolamos” o x na primeira equação:

x + y = 5 x = 5 – y

Substituindo na segunda equação:

2(5 – y) + 2y = 6 10 – 2y + 2y = 6 10 = 6 (sentença falsa)

Quando isso ocorre, dizemos que não existe solução para o sistema ou que o sistema é impossível.

13

Álgebra e GeometriaSistema possível e indeterminado:

Exemplo:

x + 2y = 5

2x + 4y = 10•

Ao multiplicar a primeira equação por (– 2), temos:

–2x – 4y = –10

2x + 4y = 10

Ao somarmos as duas equações: 00y =0x +

Note que qualquer par de números reais (x, y) satisfaz a equação 0x + 0y = 0.

Quando qualquer par ordenado satisfaz o sistema, dizemos que o sistema é possível e indeterminado, pois existem infinitas soluções para o sistema.

14


Exemplos:

O conjunto solução é dado por:(tal que)

• 3 – 2x ≥ x – 12, em

3 – 2x ≥ x – 12 – 2x – x ≥ – 12 – 3

(– 1) – 3x ≥ – 15 (– 1) 3x ≤ 15

x ≤

x ≤ 5

S = {x | x ≤ 5} S = {x | x > 11}

• , em– x >

– x >

9x – 3 – 6x > 2x + 8

9x – 6x – 2x > 8 + 3

x > 11

>–

15

Álgebra e GeometriaSistemas de inequaçõesExemplo:

Soluções da 1a (S1): Soluções da 2a (S2):

–x + 5 ≥ 0

A solução do sistema será a intersecção das soluções, então:

Portanto, S2 = {x | x ≤ 5}

x >

Portanto, S1 = x | x >

S = x | < x ≤ 5

3x – 4 > 0 3x > 4x ≤ 5 (–1) – x ≥ – 5 (–1)

16

3x – 4 > 0

–x + 5 ≥ 0• , para x


• Uma circunferência é formada por todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto do mesmo plano (centro) é sempre a mesma.

• Todo segmento que liga dois pontos da

circunferência e passa pelo centro é

chamado de diâmetro da

circunferência.

• O centro não faz parte da

circunferência.

• Todo segmento que liga um ponto da circunferência ao centro é chamado de raio da circunferência.

• Todo diâmetro mede o dobro

do raio.

• Todos os raios têm a mesma

medida de comprimento.

• Círculo é a região plana limitada por

uma circunferência.

Circunferência e círculo

A

B

D

O

17

Álgebra e GeometriaCircunferência, ângulo central, círculo e setor circular

CircunferênciaÂngulo central emuma circunferência

CírculoSetor circular

18


Exemplo:Foram doadas, de segunda-feira a sábado, as seguintes quantidades de livros:

• 25 livros na segunda• 20 livros na terça

• 35 livros na quarta

• 25 livros na quinta

• 45 livros na sexta• 50 livros no sábado

+

200 livros ao todo

200 livros 360º20 livros 36º5 livros 9º

: 10: 4

: 10

: 4

Segunda 25 livros 5 . 9º = 45º4 . 9º = 36º7 . 9º = 63º5 . 9º = 43º

10 . 9º = 90º

Terça 20 livrosQuarta 35 livrosQuinta 25 livros

9 . 9º = 43ºSexta 45 livrosSábado 50 livros

Gráfico de setores (ou de pizza)

19


Segunda 25 livros 5 . 9º = 45º

Terça 20 livros 4 . 9º = 36º

Quarta 35 livros 7 . 9º = 63º

Quinta 25 livros 5 . 9º = 45º

Sexta 45 livros 9 . 9º = 81º

Sábado 50 livros 10 . 9º = 90º

90º

45º

36º63º

45º

81º

Sábado

Segunda-feira

Terça-feira Quarta-feira

Quinta-feira

Sexta-feira

20

Álgebra e GeometriaGráfico de setores e porcentagem

Exemplo:

Em uma eleição participaram três candidatos A, B e C.• A recebeu 35%

• B recebeu 25%• C recebeu 30%• Votos brancos e nulos 10%

100% 360º

35% de 360º

25% de 360º

30% de 360º

35% 126ºVotos de A

25% 90ºVotos de B

30% 108ºVotos de C

A126º

B90º

C108º

36º

21


Construção de polígonos regularesExemplo:

Vamos construir um pentágono regular:

360º 57–35

102º

–10 0

Divisão da circunferência em partes iguais

72º

22


A reta u é externaà circunferência. d > rr

A reta s é secanteà circunferência. d < rr

A

B

A reta t é tangenteà circunferência. d = rr

C

Posições relativas de uma reta e de uma circunferência

23


Circunferência inscritano quadrado

Circunferência circunscritano hexágono

Circunferência inscrita e circunferência circunscrita a um polígono

24


O O O

O O O

P

O ponto P é pertencenteà circunferência

P

O ponto P é internoà circunferência

P

O ponto P é externoà circunferência

P

P pertenceà circunferência

r

d

P

P é interno

r

d

d = r d < r

Pr

d

P é externo

d > r

Posições relativas entre um ponto e uma circunferência

25


O1 ≡ O2C2

C1

r1

r2

r1 r2AO1 O2

d

O2O1

Ad

Tangentes externas:d = r1 + r2

Tangentes internas:d = r1 – r2, com r1 > r2

Circunferências com um só ponto comum

Circunferências concêntricas

Posições relativas de duas circunferências

26


O2O1

r1 – r2 < d < r1 + r2, com r1 ≥ r2

Circunferências com dois pontos comuns

Circunferências sem pontos comuns

A Br1 r2

dAB

d

O1 O2

A

B

r1r2

dO1

O2

27

Externas: d > r1 + r2 Internas: d < r1 – r2, com r1 > r2


Ângulo central• O vértice O é o centro da circunferência.

Ângulos em uma circunferência

O

x

A

B

360º – x

• (laranja): arco de medida angular 360º – x.

• : ângulo central de medida x.

• Seus lados determinam dois raios da

circunferência ( e ).

• (em azul): arco de medida angular x.

28

S

Álgebra e GeometriaÂngulo inscrito

• O vértice F é um ponto da circunferência.

F

E

G

• O arco correspondente não contém o vértice.

• Os lados determinam duas cordas na

circunferência ( e ).

29

Álgebra e GeometriaRelação entre ângulo central e ângulo inscrito de mesmo arcoSe um ângulo central e um ângulo inscrito em uma circunferência têm omesmo arco correspondente, então a medida do ângulo central é o dobroda medida do ângulo inscrito.

Demonstração:

Logo, x = y + y ou x = 2y, como queríamos demonstrar.

A

O

y

Bx

C

é um diâmetro da circunferência.

é um ângulo central de arco e medida x.

é um ângulo inscrito também de arco emedida y.

Como é um ângulo externo do , sua medida x é igual à soma dasmedidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele (y + y).

O é isósceles, pois (raios). Logo,

também mede y.

30

Álgebra e GeometriaÂngulos de segmento

Um ângulo com o vértice na circunferência, com um dos lados sobre uma tangente e o outro sobre uma secante, determinando uma corda, é chamado ângulo de segmento.

O

B

C

A

31

Álgebra e geometria. = uma equação é do 1 o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita...

Documents