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Ano: 2016

MÓDULO DE

UM NÚMERO

REAL Aulas 01 e 02

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho, Paulo Luiz

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

Sumário O Módulo de um número real ................................................................................................................................ 0

Módulo de um número real (definição formal) ...................................................................................................... 0

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 0

Propriedades de módulo......................................................................................................................................... 0

Equação envolvendo Módulo ................................................................................................................................. 0


Inequações que envolvem módulo ......................................................................................................................... 1


Funções cujas leis envolvem módulo ...................................................................................................................... 1


AULA 01 O Módulo de um número real Sabe-se, de estudos anteriores, que cada ponto da

reta real está associado a um único número real

(abscissa do ponto). Considere que, em uma reta real,

a abscissa 0 (zero) esteja associada a um ponto 𝑂

(origem) e um ponto 𝑃 qualquer tenha sua abscissa

denominada 𝑥.

O módulo ou valor absoluto do número real 𝑥,

denotado por |𝑥|, é um valor (necessariamente

positivo ou nulo) que nos diz a distância entre os

pontos 𝑃 e 𝑂.

Note que, se 𝑷 está à direita de 𝑶, então sua abscissa

𝑥 é um número real positivo e, desse modo, seu valor

absoluto é igual a ele mesmo. Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |𝑥| = 𝑥.

Exemplo 1.1

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 = 5 > 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |5| = 5 (𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜)

No entanto, se 𝑷 está à esquerda de 𝑶, então sua

abscissa 𝑥 é um número real negativo e, desse modo,

seu valor absoluto é igual ao seu oposto (que é

positivo). Em símbolos:

𝑆𝑒 𝑥 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜|𝑥| = −𝑥.

Exemplo 1.2

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 = −4 < 0, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 |−4| = 4 (𝑠𝑒𝑢 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜)

Módulo de um número real (definição

formal) O módulo ou valor absoluto do número real 𝑥,

denotado por |𝑥|, é o quanto ele dista da origem na

reta real. Temos que,

|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Exemplo 1.1:

a) |4| = 4

b) |– 4| = −(−4) = 4

c) |π − 3| = π − 3

d) |2 − 2√3| = −(2 − 2√3) = −2 + 2√3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule o valor numérico de cada expressão a

seguir.

a) 5 2 5 3

b) 2

2 3 2 3 5 2 3 5

1.2. Se 3 < 𝑥 < 5, determine o valor da expressão

|3−𝑥|

3−𝑥−

2𝑥+10

|𝑥+5|

1.3. Elimine o módulo das expressões

a) |𝑥 − 3|

b) |𝑥2 + 𝑥 − 12|.

Obs.1: A expressão |𝒂 − 𝒃| é igual a distância entre

os pontos 𝑨, de abscissa 𝒂, e 𝑩, de abscissa 𝒃.

Propriedades de módulo

Equação envolvendo Módulo Caso I - Equações do tipo |𝑥| = 𝑎, com 𝑎 real.

i. Se 𝒂 ≥ 𝟎, então

|𝑥| = 𝑎 ⇔ 𝑥 = 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑎

ii. Se 𝒂 < 0, então

|𝑥| = 𝑎 ⇒ 𝑆 = { }

𝑃 𝑂

0 𝑥

𝑃 𝑂

0 5

𝑂 𝑃

−4 0

TAREFA 1: Ler, na página 9 – algumas propriedades

do módulo de um número real e os Exercícios

resolvidos 1, 2 e 5.

FAZER os PSA 1(a,c); 2(a,c)


Pois o módulo de “algo” sempre deve ser

positivo.

CASO II – Equações do tipo |𝑥| = |𝑦|

Para 𝑥 e 𝑦 real temos que

|𝑥| = |𝑦| ⇔ 𝑥 = ±𝑦

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.4. Determine, em ℝ, o conjunto solução das

equações

a) |𝑥2 + 𝑥 − 12| = 0

b) |2 + 𝑥| = 1

c) |𝑥 − 2| = |2𝑥 − 5|

d) |𝑥 − 2| = 2𝑥 + 1

AULA 02 Inequações que envolvem módulo O módulo pode ser trabalhado junto com

desigualdades. Nesses casos, deve-se ter cautela e

atenção, pois o próprio módulo depende de uma

desigualdade.

Se 𝑎 ∈ ℝ; 𝑎 > 0, então

1. |𝑥| < 𝑎 ⟺ 𝑥2 − 𝑎2 < 0 ⇔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎

2. |𝑥| > 𝑎 ⇔ 𝑥2 − 𝑎2 > 0 ⇔ 𝑥 < −𝑎 ou 𝑥 > 𝑎

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Resolva, em ℝ, cada uma das inequações a

seguir:

a) |𝑥 + 3| < −1

b) |𝑥 + 3| < 4

c) |𝑥 + 1| ≤ |2 − 𝑥|

2.2 Resolva, em ℝ, a inequação |𝑥 − 1| ≤ 3𝑥 + 7.

AULA 03 Funções cujas leis envolvem módulo Para trabalhar com funções cujas leis envolvem

módulo, é suficiente que você faça o que foi

explicitado no quadro verde da aula de equações.

Porém, se você compreender o que está escrito na

leitura que será proposta a seguir, você terá algumas

vantagens no seu trabalho.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Por meio de reflexão construa o gráfico da

função 𝑓: ℝ → 𝐴, onde 𝐴 ⊂ ℝ, cuja lei é

expressa por:

a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4|

b) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4𝑥 − 12|

3.2 Por meio de translação construa o gráfico da

função 𝑓: ℝ → 𝐴, onde 𝐴 ⊂ ℝ, cuja lei é

expressa por 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3.

3.3 Construir os gráficos das questões 3.1 e 3.2

utilizando estudo de sinal.

TAREFA 2: Ler Exercícios resolvidos 6, 7, 8 e 9;

FAZER os PSA 8(a,b,d,h), 9(a), 10(a, b), 11(a,b), 12 e

13

Como resolver equações com módulo

Se não houver incógnita na parte da igualdade

ausente de módulo e o número for positivo, basta

separar nos casos positivo e negativo.

Se houver incógnita na parte da igualdade ausente

de módulo, faça o estudo de sinal da expressão

interna ao módulo para sua retirada do módulo; e

então resolva as duas equações oriundas da

separação.

Como resolver inequação com módulo

TAREFA 3: Ler Exercícios resolvidos 9 e 11 ; FAZER os

PSA 16(a, e, i), 20( b, c), 21 ;

Aprofundamento: 24 e 26

O processo de resolução da inequação é muito similar

ao da equação.

1) Avalie se há ou não incógnita na parte da

desigualdade sem o módulo.

2) Se necessário, faça o estudo de sinal.

3) Separe nos casos e resolva cada inequação.

Atente sempre se o conjunto solução satisfaz os

valores do estudo de sinal

TAREFA 4: Ler, a partir da página 28, Representação

de um gráfico por meio de reflexão e translação.


GABARITO:

FUNDAMENTAIS

1.1. a) 1 b) 2 3

1.2. 3

1.3. a)3, se 3

33, se 3

x xx

x x

b) 2

2

2

12, se 4 ou 312

12, se 4 3

x x x xx x

x x x

1.4. a) 4, 3S b) 1, 3S

c) 7

3,3

S

d)1

3S

2.1. a) S b) | 7 1S x x

c) 1

|2

S x x

2.2.

3|

2S x x

3.1. Gráficos

3.2. Gráficos

3.3. Gráficos

TAREFA 5: Ler os exercícios resolvidos 14 e 15; FAZER

os PROPOSTOS 28(a, c, e) e 29(a, c).

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