algebra aritmetica8

ÁLGEBRA e ARITMÉTICA – EXERCICIOS – 8 PROFESSOR PONCE

1) (PUC) No século 20, uma pessoa tinha x anos no ano x2. Essa pessoa nasceu em: a) 1878 b) 1892 c) 1912 d) 1924 e) 1932

2) (MACK) Supondo 68,184 , o valor mais próximo de 2

09,0 é:

a) 25,2 b) 0,252 c) 0,0252 d) 2,5 e) 0,00252 3) (UFSCAR) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a

distância em centímetros percorrida pela sua extremidade em 20 minutos é : (considere = 3,14) a) 37,7 cm b) 25,1 cm c) 20 cm d) 12 cm e) 3,14 cm 4) (UFSCAR) Sejam m e n dois números reais. A desigualdade m2 + n2 2mn vale:

a) somente para m 0 e n 0. b) para todos os m e n reais. c) somente para m 0 e n 0. d) somente para m = n = o e) somente para m e n inteiros. 5) (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas,

iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então o valor de n é: a) 99 b) 112 c) 126 d) 148 e) 270 6) (FUVEST) Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em

3 minutos e 51 segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em:

a) 4 minutos e 51 segundos b) 5 minutos e 8 segundos c) 5 minutos e 28 segundos d) 5 minutos e 49 segundos e) 6 minutos e 3 segundos 7) (FUVEST) Qual desses números é igual a 0,064?

a) 2

80

1

b)

2

8

1

c)

3

5

2

d)

2

800

1

e)

3

10

8

8) (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior

valor que um desses inteiros pode assumir é: a) 16 b) 20 c) 50 d) 70 e) 100 9) (FUVEST) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos

quadrados desses dois números é: a) 29 b) 97 c) 132 d) 184 e) 252 10) (VUNESP) Sejam x = 180 e y = 100. a) Decomponha x e y em fatores primos. b) Determine o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de x e y.

ÁLGEBRA e ARITMÉTICA PROFESSOR PONCE EXERCICIOS - 8

11) (MACK) O valor de 2x0 + 2

1

4

3

x18x

, quando x = 81, é: a) 30 b) 31 c) 35 d) 36 e) 38

12) (UNICAMP) A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

13) (VUNESP) Segundo matéria publicada em ‘O Estado de São Paulo’, 09/06/96, o Instituto Nacional da Seguridade Social (INSS) gasta atualmente 40 bilhões de reais por ano, com pagamento de aposentadorias e pensões de 16 milhões de pessoas. A mesma matéria informa que o Governo Federal gasta atualmente 20 bilhões de reais por ano com o pagamento de um milhão de servidores públicos federais aposentados. Indicando por x a remuneração anual média dos beneficiários do INSS e por y a remuneração anual média dos servidores federais aposentados, então y é igual a: a) 2x b) 6x c)8x d) 10x e) 16x 14) (UNICAMP) Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 atende o terceiro e assim sucessivamente. a) Em quanto tempo será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila? b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo

cliente? 15) (UNICAMP) a) Quais são o quociente e o resto da divisão de 3.785 por 17? b) Qual o menor número natural maior que 3.785, que é múltiplo de 17? 16) (MACK) Os naturais n, n < 100, que dividimos por 4, 6 e 8 dão sempre resto 3, têm soma: a) 177 b) 201 c)255 d)276 e) 304 17) (MACK) Na igualdade 2x² + y² = 8 com x e y inteiros e positivos, se x assumir o menor valor possível, então y

x estará no intervalo: a) [1 , 2[ b) [2,3[ c) [3,4[ d) [4,5[ e) [5,6[ 18) (FUVEST) Durante uma viagem, choveu 5 vezes. A chuva cai pela manhã, ou à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou a viagem? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 19) (FUVEST) Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e)x + y + 1 20) (UNICAMP) O mundo tem atualmente , 6 bilhões de habitantes e uma disponibilidade máxima de água para consumo em todo o planeta de 9000km³ / ano. Sabendo-se que o consumo anual per capta é de 800m3, calcule:

a) o consumo mundial anual de água em km³. b) A população mundial máxima, considerando-se apenas a disponibilidade mundial máxima de água

para consumo.


21) (UNICAMP) Este ano para obter as notas da primeira fase do seu vestibular, a Unicamp está usando, da seguinte forma, a nota do ENEM: sejam U a nota da primeira fase da Unicamp, E a nota da prova de conhecimentos gerais do ENEM e NF a nota final de cada candidato. Se U E, então NF = U e

Se U < E, então 5

U4ENF

.

Suponha que algumas notas dos candidatos A, B, C, X e Y sejam as apresentadas na tabela abaixo: Estudante U E NF A 6,0 5,0 B 5,5 5,5 C 5,0 60 X 6,0 Y 6,0 a) Calcule as notas finais dos candidato A, B e C. b) Sabendo-se que as notas do candidato X são tais que E = 2U e que as notas do candidato Y são tais que U = 2E,

calcule as notas obtidas por esses dois candidatos. 22) (ENEM) Bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro são colocadas numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.

Se uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais (conforme figura), tendo assim empregado: a) 100 b) 300 c) 1000 d) 2000 e) 10.000 23) (ENEM) Bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro são colocadas numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.

Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolinhas na caixa achando que seria uma boa idéia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior (conforme figura). Deste modo, ela conseguiu fazer 12 camadas. Portanto ela conseguiu colocar na caixa um número de bolinhas igual a: a) 729 b) 984 c) 1000 d) 1068 e) 1200


24) (UNESP) Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. Então a soma do menor número ímpar de B com o maior número par de B é: a) 835 b) 855 c) 915 d) 925 e) 945 25) (UNICAMP) Após ter corrido 2/7 de um percurso e depois ter caminhado 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600m para o final do percurso.

a) Qual o comprimento total do percurso? b) Quantos metros o atleta havia corrido? c) Quantos metros o atleta havia caminhado?

26) (ENEM)Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.

Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de: a) 3 kg b) 4 kg c) 6 kg d) 8 kg e) 12 kg 27) (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único objeto disponível para pesagem é uma balança de 2 pratos, sem os pesos metálicos.

Realizando exatamente duas pesagens, os pacotes que podem ser feitos são de: a) 3 e 6 kg b) 3, 6 e 12 kg c) 6, 12 e 18 kg d) 4 e 8 kg e) 4, 6 e 8 kg

28) (UNICAMP) O volume V de uma bola de raio r é dado pela fórmula 3r 3

4V

a) Calcule o volume de uma bola de raio cm 4

3. Para facilitar os cálculos, você deve substituir pelo número

7

22 .

b) Se uma bola de raio cm 4

3 é feita com um material cuja densidade volumétrica (quociente da massa pelo volume)

é de 5,6g/cm³, qual será a sua massa?


RESPOSTAS COMENTADAS 1. Temos que: x IN* e 1901 x2 2000 Por tentativas temos que: 432 = 1849 (portanto não convém); 442 = 1936 (portanto convém); 452 = 2025 (portanto não convém). Logo x = 44 e, como ele tinha 44 anos em 1936, concluímos que ele nasceu em 1936 – 44 = 1892. E a resposta certa é a alternativa b.

2.2

09,0 = 252,0

2

68,13,0

2

83,0

22

23,0

2

3,0

4 4

4

4 34

4 3

4

Logo, a alternativa correta é a b.

3.Em 20 minutos, esse ponteiro descreve um arco de 2/3 radianos. Sendo l o comprimento desse arco e 12 centímetros o comprimento do raio, temos:

cmlr

l1,2514,3812

3

2

3

2

Logo, a alternativa correta é a b.

4. m2 + n2 2mn m2 – 2mn + n2 0 (m – n)2 0 Essa última desigualdade é verdadeira para todos os m e n reais. Logo, a alternativa correta é a b. 5. Nas páginas Número de algarismos escritos de 1 a 9 (9 páginas) 1.9 de 10 a 99 (90 páginas) 2.90 de 100 a n (n 999) 3.(n – 99) 1.9 + 2.90 + 3.(n – 99) = 270 n = 126 E a alternativa correta é a c. 6. Como 3 minutos e 51 segundos equivalem a 231 segundos, temos: metros segundos

300 231 400 x

Daí, concluímos que x = 308 segundos, ou seja, 5 minutos e 8 segundos. Logo a alternativa correta é a b.

7. 0,064 = 33

3

3

5

2

10

4

10

4

1000

64

Logo, a alternativa correta é a b. 8. Com os cinco números inteiros em questão, podemos formar a seqüência crescente (a1, a2, a3, a4, a5). Temos então que:

80aaaaa165

aaaaa54321

54321

Calculemos o valor máximo de a5 (que é o maior deles). Note que a5 será máximo quando a1 + a2 + a3 + a4 for mínimo. E isso ocorrerá para a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 e a4 = 4 (visto que esses números devem ser estritamente positivos e inteiros). Logo a1 + a2 + a3 + a4 = 10 é o valor mínimo dessa soma, o que faz com que o valor máximo de a5 seja 70. Logo, a alternativa correta é a d.


9. Sejam a e b os dois números naturais. Daí, temos que: a2 – b2 = 21, com a b. Mas: a2 – b2 = 21 (a + b)(a – b) = 21. E, daí:

1o caso: 221ba10be11a1ba

21ba 22

2o caso: 29ba2be5a3ba

7ba 22

Logo, a alternativa correta é a. 10. a) x = 180 x = 22.32.5

y = 100 y = 22.52 b) mdc(x, y) = 22.5 mdc(x, y) = 20.

mmc(x, y) = 22.32.52 mmc(x, y) = 900.

11. Sendo E = 2x0 + 2

1

4

3

18

xx , com x = 81, temos:

E = 2.1 + 2

1

4

3

)81.(18)81(

= 2 + 2

124

34 )9.(18)3(

2+ 33 + 2.9.9-1 = 2 + 27 + 2 = 31. Logo, a alternativa correta é a b. 12. Se Q é o quociente da divisão de N por 1994, então podemos escrever que: N = 1994 . Q + 148 Adicionando-se 2000 a cada membro da igualdade acima, vem: N + 2000 = 1994 . Q + 2000 + 148 Como 2000 = 1994 + 6 e 6 + 148 = 151, podemos escrever: N + 2000 = 1994 . Q + 1994 + 6 + 148 = 1994 . (Q + 1) + 154 donde concluímos que N + 2000 dividido por 1994 dá quociente (Q + 1) e resto igual a 154.

13. Sendo 40 bilhões = 40.000 milhões e 20 bilhões = 20.000 milhões, temos: x = 16

00040 e y =

1

00020

Portanto, x = 16

2

1

00020 = y

8

1 , e consequentemente y = 8x

14. a) No caixa de número cinco, serão atendidos apenas os clientes cuja ordem na fila é um múltiplo de 5. Como 65 é um múltiplo de cinco, temos que:

o 65º cliente será atendido pelo caixa 5; o 66º cliente será atendido pelo caixa 1; o 67º cliente será atendido pelo caixa 2; o 68º cliente será atendido pelo caixa 3.

Note que esse raciocínio equivale a dividir 68 por cinco: 68 5 3 13 O resto da divisão é o número do caixa que o atenderá o 68º cliente da fila.


b) O quociente 13 da divisão é o número de clientes atendidos em cada caixa, até o 65º cliente da fila. Como cada atendimento demora 3 minutos, conclui-se que até o 65º cliente transcorreram 39 minutos. Os clientes 66º, 67º, 68º, 69º e 70º são atendidos simultaneamente após 39 minutos. Resposta: 39 minutos. 15. a) 3.785 17

38 222 45 11

Resposta: O quociente é 222 e o resto é 11 b)Sendo o dividendo 3.785 e o divisor 17, obtém-se o resto 11.

Somando-se 6 unidades ao dividendo, obtém-se o número 3.791, que é o menor numero natural, maior que 3.785 que é múltiplo de 17. Resposta: 3.791.

16. n 4 n 6 n 8 3 a 3 b 3 c Sendo a, b e c, nessa ordem, os quocientes da divisão de n por 4, 6 e 8, temos:

c83n

b63n

a43n

3c8n

3a6n

3a4n

n – 3 é múltiplo comum dos números 4, 6 e 8 e, portanto, n – 3 é múltiplo do mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8. O mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8 é 24. n – 3 é múltiplo de 24 h, h Z tal que n – 3 = 24h Logo, n = 3 + 24h (hZ). Como 0 n < 100, temos 0 h 4, e daí: H 0 1 2 3 4 N 3 27 51 75 99 Portanto, a soma dos possíveis variáveis de n é 255. Logo, a alternativa correta á c. 17.

X 2x² + y² = 8 y² y (y>0)

1 2¹ + y² = 8 y² = 6 y = 6

2 2² + y² = 8 y² = 4 y = 2

Na tabela acima podemos observar que se x e y são inteiros e positivos, se x assumir o menor valor possível, então

x = 2 e y = 2. Nessas condições, y

x = 2 , que é um número pertencente ao intervalo [1,2[. Logo, a alternativa correta é a. 18. Suponhamos o dia formado por dois períodos: um de manhã e outro à tarde. Do enunciado temos: 5 períodos com chuva e 6 + 3 = 9 períodos sem chuva Como a chuva só caía de manhã ou a tarde, nunca o dia todo, concluímos que a viagem teve 9 + 5 = 14 períodos, ou seja, 7 dias. Logo, a alternativa correta é b.


19. Se x e y são números inteiros e consecutivos, então um é par e o outro é ímpar. Logo, o produto xy é par, e seu sucessor x . y + 1 será ímpar. Logo, a alternativa correta é c. 20. a) O consumo mundial de água em km³, é 6 . 109 . 800 . 10 -9, ou seja, 4800 Resposta: 4800 km3. b) Sendo x a população máxima pedida, e considerando o resultado do item anterior, devemos ter:

4800

9000

106

x9

Portanto, x = 11,25 . 109 = 11,25 bilhões de habitantes. 21. Do enunciado: a) A : NF = 6,0

B : NF = 5,5

C : NF = 2,55

0,5x40,6

Respostas: NFA = 6,0; NFB = 5,5; NFC = 5,2.

b) X : E = 2U e NF = 6,0 .

Como neste caso, U < E, então 5

U4ENF

= 0,6

5

U4U2

.

Daí, resulta 0,10Ee0,5U

Por outro lado, Y : U = 2E e NF = 6,0, Neste caso, U E, então NF = U . U = 6,0 e E = 3,0

Respostas: X

0,3E

0,6UYe

0,10E

0,5U

22. O número de bolinhas empregado é 10 . 10 . 10 = 1000 (principio fundamental da contagem)

Logo, a alternativa correta é c. 23. Se cada bolinha de uma camada se apóia em 4 da camada inferior, o conjunto das bolinhas assim distribuídas formaria uma estrutura piramidal quadrangular com 10 camadas assim organizadas: 1ª camada: 10 . 10 = 100 bolinhas 2ª camada: 9 . 9 = 81 bolinhas 3ª camada: 8 . 8 = 64 bolinhas 4ª camada: 7 . 7 = 49 bolinhas 5ª camada: 6 . 6 = 36 bolinhas 6ª camada: 5 . 5 = 25 bolinhas 7ª camada: 4 . 4 = 16 bolinhas 8ª camada: 3 . 3 = 9 bolinhas 9ª camada: 2 . 2 = 4 bolinhas 10ª camada: 1 . 1 = 1 bolinha Portanto, o número de bolinhas na caixa seria: 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 14 + 9 + 4 + 1 = 385.


24. O menor número ímpar que é múltiplo de 5, maior que 100 e cuja soma dos algarismos é igual a 9 é 135. O maior número par que é múltiplo de 5, menor que 1000 e cuja soma dos algarismos é igual a 9 é 810. Logo, pelo enunciado: 135 + 910 = 945. Portanto, a alternativa correta é e. 25.Sendo o comprimento total do percurso x metros, temos que:

Resolvendo esta equação, obtemos x = 2310 a) do percurso corresponde a b) do percurso corresponde a 26. Abrindo um saco de 24Kg e distribuindo seu conteúdo entre os dois pratos, de modo que a balança atinja o equilíbrio, podemos montar pacotes de 12Kg. Logo, a alternativa correta é e. 27. Ao usar a balança pela primeira vez, podemos separar massas de 12 kg. Ao distribuir 12kg entre os dois pratos, de modo que a balança atinja novamente o equilíbrio, podemos montar pacotes de 6 kg. Com um pacote de 12kg e outro de 6 kg, podemos montar um pacote de 18 kg. Logo, a alternativa correta é c. 28. a)

g 9,9 m

56

99m

6,5V

md )b

Nota: As resoluções destes problemas foram extraídas do Anglo Resolve.

33

3 cm 56

99 V

4

3

7

22

3

4Vr

3

4V

x600x11

5x

7

2

7

26602310x

7

2

11

510502310x

11

5


(CURIOSIDADES/DESAFIOS)

a) Demonstre que se de qualquer número, com qualquer quantidade de algarismos (quatro algarismos, por exemplo), você subtrair a soma de seus algarismos obterá um número divisível por 9.

b) Tome um número qualquer, com qualquer quantidade de algarismos. Reagrupe os algarismos desse número, em qualquer ordem. Subtraia o menos do maior. O resultado obtido certamente será um número múltiplo de 9. Pense porquê!

c) Na divisão de um número qualquer por 9, o resto da divisão é igual à soma dos algarismos desse número. Se essa soma for maior do que 9, soma-se novamente os algarismos e, se for menor do que 9, será o resto. Se a soma der um múltiplo de 9, então o resto será zero (a divisão será exata). Por exemplo:

O resto da divisão de 23 por 9 é 2 + 3 = 5.

Determinemos o resto da divisão de 67 por 9. Somemos 6 + 7 = 13; como o resultado é maior do que 9, somamos novamente os algarismos da soma 13, ou seja, 1 + 3 = 4. E este é o resto da divisão de 67 por 9.

d) Sempre que você precisar dividir por1,5 ou por 2,5 ou por 3,5, etc, você pode usar o artifício do exemplo seguinte: suponha que desejamos dividir 14 por 3,5. Multiplicando ambos por 2 temos: 28 : 7 = 4. Logo 14 : 3,5 dá 4.

e) Sempre que você precisar dividir um número por 4, basta achara metade desse número e, depois, novamente a metade. Por exemplo: 130 : 4. A metade de 130 é 65 e a metade de 65 é 32,5. Logo 130 : 4 = 32,5.

f) Se você quiser dividir qualquer número por 5, dobre esse número e divida por 10. Por exemplo: 44 : 5. Dobramos 44 e encontramos 88; dividimos 88 por 10 e encontramos 8,8. Logo 44 : 5 = 8,8.

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