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LGEBRA LINEAR

12 de Dezembro de 2015

Captulo 1

Formas Bilineares

1.1 Formas Bilineares

Definio 1. Seja A(v, w) : V V K chamamos A(v, w) de forma bilinear se aaplicao uma forma linear em cada varivel, ou seja por cada v0, w0 V fixos asA(, w0), A(v0, ) V

A precedente definio implica que dados v0, w0 fixos as

A(, w0) : V KA(v0, ) : V K so formas lineares (1.1.1)

Ento por cada forma bilinear A(v, w) podemos assim definir una transformaolinear A entre V e o dual V:

A : V 3 v0 A(v0, ) V (1.1.2)Ou seja temos uma identificao canonica entre as formas bilineares e as transforma-

es linearesA(v, w) = vT Aw A Hom(V, V) (1.1.3)

O mesmo resultado pode ser obtido com a identificao

A(v, w) = vAwT A Hom(V, V) (1.1.4)

1.1.1 Representao matricial das formas bilineares

Pela definio de forma bilinear temos que dada uma base E = {ei}1in do espaovetorial V e os vetores v =

i=1..n iei e w =

j=1..n jej

A(v, w) = A(i=1..n

iei, j=1..n

jej) = i=1..nj=1..n

i j A(ei, ej) i=1..nj=1..n

i jaij (1.1.5)

Ou seja dados v, w V e a matriz A = (aij) Mnn(K) podemos representar aforma bilinear no respeito da base E

[A(, )]E = (aij) aij = A(ei, ej) (1.1.6)

A(v, w) = vT Aw (1.1.7)

1

CAPTULO 1. FORMAS BILINEARES 2

1.1.2 Mudana de base

Seja F = {fi}1in uma nova base do espao V, e CEF = (cij), cij K a matrixcom as coordenadas dos vetores da base E no respeito da base F ou seja:

ej = i=1..n

cijfi (1.1.8)

Chamamos ento de CFE = C1EF = (dij), d

ij K a matriz

fj = i=1..n

dijei (1.1.9)

Temos ento que na nova base a forma bilinear assume uma rappresentao matri-cial

[A(, )]F = (bij) bij = A(fi, fj) (1.1.10)Que pelas propriedades de linearidade pode ser escrita como

A(fi, fj) = A( p=1..n

dpi ep, q=1..n

dqj eq) = p=1..nq=1..n

dpi dqj apq (1.1.11)

ou seja[A(, )]F = CTFE [A(v, w)]ECFE (1.1.12)

1.1.3 Formas bilineares simtricas e antisimtricas

Definition 2. (FORMA BILINEAR SIMTRICA) Seja A(, ) : V V K uma formabilinear, essa diz-se de simtrica se A(v, w) = A(w, v) por cada v, w V

Consequncia da definio que uma forma bilinear diz-se simmetrica se e solo sea representao da forma bilinear numa qualquer base uma matriz A Mnn(K) talque:

A AT = 0 (1.1.13)

(aij) = (aji) (1.1.14)

Definition 3. (FORMA BILINEAR ANTISIMTRICA) Seja A(, ) : V V K umaforma bilinear, essa diz-se de antisimtrica se A(v, w) = A(w, v) por cada v, w V

Consequncia da definio que uma forma bilinear diz-se simmetrica se e solo sea representao da forma bilinear numa qualquer base uma matriz A Mnn(K) talque:

A + AT = 0 (1.1.15)

(aij) = (aji) (1.1.16)


1.2 Formas Sesquilineares

Nessa seco iremos generalizar as formas bilineares definendo as formas sesquilinea-res. Para fazer isso preciso definir uma involuo que ser a nossa generalizao daconjugao no caso complexo:

K 3 K (1.2.1)Observao 4. Por definio de involuo temos as seguintes propriedades:

= K (1.2.2)+ = + = + (1.2.3)

no caso complexo a involuo a coniugao complexa C 3 z z C.Definio 5. Seja : K K uma involuo, sejam V um espao vetorial sobre K eA(v, w) : VV K, denomina-se forma sesquilinear uma funo tal que seja linearnuma varivel e anti-linear na outra, ou seja:

K, v, w VA((v1 + v2), w) = A(v1, w) + A(v2, w) LINEARIDADEA(v,(w1 + w2)) = A(v, w1) + A(v, w2) ANTI-LINEARIDADE

(1.2.4)

Para utilizar uma mesma notao chamamos o espao das formas bilineares T2 eo espao das formas sesquilineares o espao T1,1. A involuo : K K entodefine uma aplicao entre o espao das transformaes sesquilineares que chamamosde aplicao adjunta:

adj : T1,1 3 A(v, w) A(v, w) = A(v, w)T1,1 (1.2.5)Definio 6. (HERMITIANA) Seja A(v, w) : VV K uma forma sesquilinear, diz-se Hermitiana se

A(v, w) = A(w, v) ou seja (1.2.6)

A(v, w) = A(w, v) (1.2.7)

1.2.1 Mudana nas coordenadas

Seja F = {fi}1in uma nova base do espao V, e CEF = (cij), cij K a matrixcom as coordenadas dos vetores da base E no respeito da base F ou seja:

ej = i=1..n

cijfi (1.2.8)

Chamamos ento de CFE = C1EF = (dij), d

ij K a matriz

fj = i=1..n

dijei (1.2.9)

Temos ento que na nova base a forma sesquilinear assume uma rappresentaomatricial

[A(, )]F = (bij) bij = A(fi, fj) (1.2.10)


Que pelas propriedades de linearidade e anti-linearidade a forma pode ser escritacomo

A(fi, fj) = A( p=1..n

dpi ep, q=1..n

dqj eq) = p=1..nq=1..n

dpi dqj apq (1.2.11)

ou seja[A(, )]F = CTFE [A(v, w)]ECFE CFE [A(v, w)]ECFE (1.2.12)

onde

1.3 Formas Quadraticas

Definio 7. (FORMA QUADRATICA) Dada A(v, w) uma forma bilinear ou sesquilinear

A(v, w) : VV K (1.3.1)Resulta natural definir uma aplicao chamada de forma quadratica associada forma

dada da A : V Kv A(v) = A(v, v) (1.3.2)

Observao 8. No caso em que:

A(v, w) seja uma forma bilinear: naturalmente a aplicao definida no linear,mas homogena do segundo grau ou seja A(v) = 2A(v). E alm dissoA(v + w) = A(v) +A(w) + A(v, w) + A(w, v)

A(v, w) seja uma forma sesquilinear: nesse caso temos ento A(v) = A(v) etambm A(v + w) = A(v) +A(w) + A(v, w) + A(w, v)

1.3.1 Formulas de polarizao

A analse das formas quadraticas associadas pode tambm levar-nos s algumas for-mulas para deduzir as formas originais. Essas formulas so chamadas de formulas depolarizao. De facto o estudo de A(v + w) leva-nos enunciar as seguintes formu-las:

1. A(v) forma quadratica associada a uma forma bilinear simtrica: Dada a for-mula geral

A(v + w) = 2A(v) + 2A(w) + A(v, w) + A(w, v) (1.3.3)no caso de uma forma bilinear simtrica onde A(v, w) = A(w, v) obtemos:

A(v + w) = 2A(v) + 2A(w) + 2A(v, w) (1.3.4)Pondo = = 1 obtemos a primeira formula de polarizao:

A(v, w) =12(A(v + w)A(v)A(w)) (1.3.5)

Pondo = 1, = 1 obtemos a segunda formula de polarizao:

A(v, w) =12(A(v) +A(w)A(vw)) (1.3.6)

Observao 9. H uma correspondncia biunvoca entre forma bilinear simtrica e formasquadraticas associadas.


2. A(v) forma quadratica associada a uma forma sesquilinear: Dada a formulageral

A(v + w) = A(v) + A(w) + A(v, w) + A(w, v) (1.3.7)Pondo = = 1 obtemos

A(v, w) + A(w, v) = A(v + w)A(v)A(w) (1.3.8)Pondo = i, = 1 e subtraendo o resultado formula precedente obtemos:

A(v, w) =12

(A(v + w) + i1A(iv + w) (1 i)A(v) (1+ i1)A(w)

)(1.3.9)

Observao 10. H uma correspondncia biunvoca entre forma sesquilinear e formas qua-draticas associadas. Em particular a forma quadratica determina completamente aforma sesquilinear.

1.3.2 Bases ortogonais e Projectores

Definio 11. (BASES ORTOGONAIS E ORTONORMAIS) Supondo A(v, w) : VV Kforma bilinear e E = {ei}1in base do espao V, a base diz-se A-ortogonal se

A(ei, ej) = 0 i 6= j (1.3.10)Alm do mais a base diz-se A-ortonormal se

A(ei, ej) = ij (1.3.11)

Se a base E = {ei}1in uma base A-ortonormal, a representao da forma bilinearA no respeito da base uma matriz diagonal:

1 0 0 . . . 00 2 0 00 0 3 0... . . .

...0 0 0 . . . n

(1.3.12)Nessa base a forma quadratica A(v) com v =

i=1..n iei assume a seguinte forma:

A(v) = i=1..n

i

( i)2

(1.3.13)

Definition 12. (PROJETORES) Supondo A(v, w) : VV K forma bilinear, chamamosde projetor sobre um sub-espao W V as transformaes lineares

pW : V W V (1.3.14)onde se W = span(e1, .., em)

pW(v) = i=1..n

A(v, ei)A(ei, ei)

ei (1.3.15)

Observao 13. Seja pW uma projeo sobre um sub-espao W V, temos ento aspropriedades seguintes:

p2 = p e A(pW(v), u) = A(v, pW(u)) (1.3.16)


1.3.3 Ortogonalizao de Gram-Schmidt

En primeiro lugar vamos definir dada uma matriz A = (aij) Mnn(K) os determiantesprincipais da matriz A:

40 = 1

4j = 4j(A) det

a11 a12 . . . a1ja21 a22 a2j... . . .

...aj1 aj2 . . . ajj

(1.3.17)

Teorema 14. (PROCESSO DE ORTOGONALIZAO DE GRAM-SCHMIDT) Seja A uma formabilinear simtrica ou uma forma sesquilinear Hermitiana, seja F = {vi}1in uma base de Vonde4j(A) 6= 0 j = 1..n. Existe ento uma base ortogonal E = {ei}1in tal que:

A(ei) = 4i4i1 i = 1..n (1.3.18)

Proof. Definimos o primeiro vetor da base ortonormal e1 = v1. Agora podemos utilizaras seguintes definies por cada i = 1..n o sub-espao Ei representa o subespao geradodas vetores Ei = span(e1, .., ei) V e a projeo sobre o sub-espao encontra-se assim:

pEi : V Ei V (1.3.19)

pEi(v) = j=1..n

A(v, ej)A(ej, ej)

ej (1.3.20)

Podemos ento definir a base E = {ei}1in assim:{e1 = v1ei = vi pEi1(vi) i = 1..n

(1.3.21)

A matriz CEF = (cij) pela mudana de coordenadas entre a base F = {vi}1in ea base E = {ei}1in pode se escrita ento como uma matriz triangular superior:

CEF =

1 c12 c

13 . . . c

1n

0 1 c23 c2n

0 0 1 . . ....

... . . . cn1n0 0 0 . . . 1

(1.3.22)

Temos ento que

=

1 0 0 . . . 00 2 0 00 0 3 0... . . .

...0 0 0 . . . n

= CTEF ACEF (1.3.23)


E dado que pela regra de Binet:

det () = det(

CTEF) det (A) det (CEF ) (1.3.24)

E observando que det(CTEF

)= 1 podemos deduzir que:

1 . . . i = 4i(A) i = 1..n (1.3.25)Nessa base a forma quadratica associada forma bilinear simtrica ou forma ses-

quilinear Hermitiana assume a forma:

A(v) = 4140(0)2

+4241

(1)2

+ ...+4n4n1 (

n)2 (1.3.26)

Definio 15. Seja A(, ) : VV K uma forma bilinear simtrica, dizemos entoque a forma :

1. definida positiva se A(v, v) > 0 v V2. definida negativa se A(v, v) < 0 v V3. semidefinida positiva se A(v, v) 0 v V4. semidefinida negativa se A(v, v) 0 v V

Corolrio 16. (TEOREMA DE SYLVESTER) Porque una forma bilinear simtrica seja definidapositiva condio necessria e suficiente que numa base de V seja

4i(A) > 0 i = 1..n (1.3.27)Demonstrao. Sendo definida positiva est claro que existe uma base onde os determi-nantes 4i(A) > 0 i = 1..n, essa base exactamente uma base ortogonal. Vicev-ersa se numa base F = {vi}1in temos que

4i(A) > 0 i = 1..n (1.3.28)Podemos utilizar esta base como base de partncia por gerar uma base ortogonale

com o metodo de Gram-Schmidt.

Corolrio 17. Cada forma bilinear simtrica no singular pode ser escrita numa forma can-nica:

[A] =(

Ip 00 Iq

)(1.3.29)

1.4 Produto Interno e Espaos Euclidianos

Definio 18. (PRODUTO INTERNO) Seja V um espao vetorial e A uma forma bilinearsimtrica e definida positiva, ento A diz-se de produto interno e indica-se assim:

A(, ) =< , >: VV K (1.4.1)Observao 19. As seguintes propriedades so directas consequncias da propriedadeda forma bilinear:

- (simtria) < v, w >=< w, v >;- (positividade) < v, w >> 0 v, w 6= 0;- (bilinearidade) < u + v, w >= < u, w > + < u, w >;


Definio 20. Seja A(, ) =< , >: V V K um produto interno, ento defini-mos:

(NORMA) de norma de um vetor v V e indicamos com o smbolo ||v|| a raiz daforma quadratica associada ao produto interno ou seja

||v|| =A(v) = < v, v > K (1.4.2)

(ANGULO) de angulo entre dois vetores v, w V a quantidade vw tal que

cosvw =< v, w >||v|| ||w||

(DISTNCIA) de distncia entre dois vetores v, w V a quandidaded(v, w) = ||vw|| (1.4.3)

Teorema 21. sejam uma norma e < , > um produto interno sobre um espao vetorial V, so validas as seguintes desigualidades:

(DESIGUALDADE CAUCHY-SCHWARZ)

< v, w >||v|| ||w|| < 1 (1.4.4)

(DESIGUALDADE TRIANGULAR)

||v + w|| ||v||+ ||w||

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