MATEMÁTICAALEXSANDRO KESLLER

... MATEMÁTICA FINANCEIRA

31/03/2020...

2

Por c ent agem

Aument os e des c ont os s uc es s i vos

MATEMÁTI CA FI NANCEI RA MATEMÁTI CA FI NANCEI RA

1. Def i ni ç ão de t axa per c ent ualTaxa per c ent ual ou por c ent agem é a r azão ent r e um númer o

r eal “p” e o númer o 100, que é i ndi cada por , ou

p%.

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

3

100

p

200 de 25% 200100

25 2004

120025,0 50

60 de 120% 60100

120 606

5602,1 72

As t r ansações mer cant i s – compr a e venda – empr egam t axas per cent uai s cuj os cál cul os podem ger ar acr ésci mos, descont os, l ucr os ou pr ej uí zos.

Exempl o:Det er mi nar o val or de uma mer cador i a cuj o pr eço de R$ 100, 00 f oi acr esci do de 20%.

2. Apl i c aç ões de t axa per c ent ual

Em segui da somamos o val or i ni c i al ao acr ésci mo cal cul adoR$ 100, 00 + R$ 20, 00 = R$ 120, 00 ( Val or cor r i gi do)

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

4

100 de 20% 100100

2020

Out r o r ec ur s o par a c al c ul ar a por c ent agem é es t e:

Nesse pr ocesso o cál cul o é f ei t o de f or ma di r et a, e o r esul t ado é encont r ado de f or ma r ápi da.

sendo Vf o val or f i nal da mer cador i a, obt i do pel o acr ésci mo ou pel o descont o de uma t axa per cent ual , que é r epr esent ada por i , em deci mal , e apl i cada sobr e o val or i ni c i al , r epr esent ado por V0.

i r epr esent a a t axa per cent ual e equi val e a um númer o deci mal : 25% equi val e a i = 0, 25.

Se a var i ação per cent ual val or i z ar ou ac r es c ent ar , o f at or cor r et i vo ser á 1 + i Se a var i ação per cent ual de pr e c i ar ou de c r e s c e r , o f at or cor r et i vo ser á 1 - i

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

5

)2,01(100Vf 1, 2100 120

)i1(VV 0f

Na compr a de um f ogão, os c l i ent es podem opt ar por uma das segui nt es f or mas de pagament o:

à v i st a, no val or de R$ 860, 00. em duas par cel as f i xas de R$ 460, 00 sendo a pr i mei r a paga no at o da compr a e a segunda 30 di as depoi s.

A t axa de j ur os mensal par a pagament os não ef et uados no at o da compr a é de:

a) 10% b) 12%c) 15%d) 18%e) 25%

EXEMPLOEXEMPLO

6

A pr i mei r a par cel a de R$ 460, 00 ser á paga à vi st a, por t ant o não há i nci dênci a de j ur os.

A segunda par cel a, caso não houvesse i nci dênci a de j ur os, ser i a de R$ 400, 00, poi s o pr eço do f ogão à vi st a é de R$ 860, 00 ( 860 – 460 = 400) . No ent ant o, há um acr ésci mo de R$ 60, 00 na segunda par cel a, os quai s r epr esent am os j ur os após 30 di as.

Logo, os juros são:

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

7

%1515,0400

60

Na compr a de um f ogão, os c l i ent es podem opt ar por uma das segui nt es f or mas de pagament o:

à v i st a, no val or de R$ 860, 00. em duas par cel as f i xas de R$ 460, 00 sendo a pr i mei r a paga no at o da compr a e a segunda 30 di as depoi s.

A t axa de j ur os mensal par a pagament os não ef et uados no at o da compr a é de:

a) 10% b) 12%c) 15%d) 18%e) 25%

EXEMPLOEXEMPLO

8

( Enem) Um r apaz possui um car r o usado e desej a ut i l i zá- l o como par t e do pagament o na compr a de um car r o novo. El e sabe que, mesmo assi m, t er á que f i nanci ar par t e do val or da compr a. Depoi s de escol her o model o desej ado, o r apaz f az uma pesqui sa sobr e as condi ções de compr a em t r ês l oj as di f er ent es. Em cada uma, é i nf or mado sobr e o val or que a l oj a pagar i a por seu car r o usado, no caso de a compr a ser f ei t a na pr ópr i a l oj a. Nas t r ês l oj as são cobr ados j ur os si mpl es sobr e o val or a ser f i nanci ado, e a dur ação do f i nanci ament o é de um ano. O r apaz escol her á a l oj a em que o t ot al , em r eal , a ser desembol sado ser á menor . O quadr o r esume o r esul t ado da pesqui sa.

PRATICANDOPRATICANDO

9

A quant i a a ser desembol sada pel o r apaz, em r eal , ser á

a) 14. 000. b) 15. 000. c) 16. 800. d) 17. 255. e) 17. 700.

LojaValor oferecido

pelo carro usado (R$)

Valor do carro novo (R$)

Percentual de juros (%)

A 13.500,00 28.500,00 18 ao anoB 13.000,00 27.000,00 20 ao anoC 12.000,00 26.500,00 19 ao ano

PRATICANDOPRATICANDO

10

A l oj a em que o t ot al , em r eal , a ser desembol sado será menor .

Na l oj a A, o total a ser desembol sado é Na l oj a B, el e desembol sará

LojaValor oferecido

pelo carro usado (R$)

Valor do carro novo (R$)

Percentual de juros (%)

A 13.500,00 28.500,00 18 ao anoB 13.000,00 27.000,00 20 ao anoC 12.000,00 26.500,00 19 ao ano

Já na l oj a C, a despesa f i cará em

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

11

17. 700, 00 $R18,1500.13000.28

16. 800, 00 $R20,1000.13000.27

17. 255, 00 $R19,1000.12500.26

A quant i a a ser desembol sada pel o r apaz, em r eal , ser á

a) 14. 000. b) 15. 000. c) 16. 800. d) 17. 255. e) 17. 700.

LojaValor oferecido

pelo carro usado (R$)

Valor do carro novo (R$)

Percentual de juros (%)

A 13.500,00 28.500,00 18 ao anoB 13.000,00 27.000,00 20 ao anoC 12.000,00 26.500,00 19 ao ano

PRATICANDOPRATICANDO

12

Aument os e des c ont os s uc es s i vosÉ comum obser var mos si t uações em que o val or de uma mer cador i a se al t er a medi ant e aumentos ou descontos sucessi vos. Vamos ent ender como i sso f unci ona.

Qual o val or f i nal de uma mer cador i a que i ni c i al ment e er a R$ 100, 00, sof r eu doi s aumentos sucessi vos, um de 5% e out r o de 12%, e, em segui da, um desconto de 10%.

EXEMPLO EXEMPLO

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

13

O s egundo aument o i nc i de s obr e R$ 105, 00, e não mai s s obr e R$ 100, 00

Fi nal ment e, o des c ont o é c al c ul ado s obr e R$ 117, 60

O val or da mer c ador i a após o pr i mei r o aument o de 5%

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

14

)05,01(100V1 105)05,1(100V1

)12,01(105V2 60,117)12,1(105V2

)10,01(60,117V3 84,105)9,0(60,117V3

15

Podemos c al c ul ar e s s as var i aç ões de out r a manei r a:

Obser ve que esse cál cul o é mai s di r et o. Se o val or i ni c i al V0 sof r e var i ações sucessi vas de t axas i 1, i 2, i 3, . . . , i n, seu val or f i nal ser á det er mi nado assi m:

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

)10,01()12,01()05,01(100Vf

)90,0()12,1()05,1(100Vf 84,105Vf

)i1(. . .)i1()i1()i1(VV n3210f

Um cel ul ar que cust ava R$ 800, 00 sof r eu doi s aument os sucessi vos, um de 20% e out r o de 30%. Quant o el e passou a cust ar ?

a) R$ 850, 00. b) R$ 1. 098, 00.c) R$ 1. 200, 00.d) R$ 1. 248, 00.e) R$ 1. 314, 00.

EXEMPLO IEXEMPLO I

16

A quest ão nos i nf or ma que o cel ul ar sof r eu doi s aumentos sucessi vos, um de 20% e out r o de 30%.

Sabemos que o val or f i nal de uma mer c ador i a pode s er obt i do pel a r el aç ão:

LOGO:

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

17

)i1(. . .)i1()i1()i1(VV n3210f

)30,01()20,01(800Vf

)30,1()20,1(800Vf

248.1Vf

Um cel ul ar que cust ava R$ 800, 00 sof r eu doi s aument os sucessi vos, um de 20% e out r o de 30%. Quant o el e passou a cust ar ?

a) R$ 850, 00. b) R$ 1. 098, 00.c) R$ 1. 200, 00.d) R$ 1. 248, 00.e) R$ 1. 314, 00.

EXEMPLO IEXEMPLO I

18

Dur ant e a cr i se do abast eci ment o de ál cool , um car r o sof r eu duas desval or i zações consecut i vas de 10%. Que por cent agem do pr eço or i gi nal passou a cust ar ?

A) 90%

B) 81%

C) 80%

D) 79%

E) 0%

EXEMPLO I IEXEMPLO I I

19

A quest ão nos i nf or ma que o car r o sof r eu duas des val or i z aç ões consecut i vas de 10%.

Sabemos que o val or f i nal de uma mer c ador i a pode s er obt i do pel a r el aç ão:

LOGO:

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

20

)i1(. . .)i1()i1()i1(VV n3210f

)10,01()10,01(VV 0f

)90,0()90,0(VV 0f

0f V81,0V i ni ci al val or do %81

Dur ant e a cr i se do abast eci ment o de ál cool , um car r o sof r eu duas desval or i zações consecut i vas de 10%. Que por cent agem do pr eço or i gi nal passou a cust ar ?

A) 90%

B) 81%C) 80%

D) 79%

E) 0%

EXEMPLO I IEXEMPLO I I

21

( Enem) O Consel ho Monet ár i o Naci onal ( CMN) det er mi nou novas r egr as sobr e o pagament o mí ni mo da f at ur a do car t ão de cr édi t o, a par t i r do mês de agost o de 2011. A par t i r de ent ão, o pagament o mensal não poder á ser i nf er i or a 15% do val or t ot al da f at ur a. Em dezembr o daquel e ano, out r a al t er ação f oi ef et uada: daí em di ant e, o val or mí ni mo a ser pago ser i a de 20% da f at ur a.

Di s poní vel em: ht t p: / / g1. gl obo. c om. Ac es s o em: 29 f ev. 2012.

Um det er mi nado consumi dor possuí a no di a do venci ment o, 01/ 03/ 2012, uma dí vi da de R$ 1. 000, 00 na f at ur a de seu car t ão de cr édi t o. Se não houver pagament o do val or t ot al da f at ur a, são cobr ados j ur os de 10% sobr e o sal do devedor par a a pr óxi ma f at ur a. Par a qui t ar sua dí vi da, opt ou por pagar sempr e o mí ni mo da f at ur a a cada mês e não ef et uar mai s nenhuma compr a.

PRATICANDOPRATICANDO

22

A dí vi da desse consumi dor em 01/ 05/ 2012 ser á de

a) R$ 600, 00. b) R$ 640, 00.c) R$ 722, 50.d) R$ 774, 40.e) R$ 874, 22.

 

PRATICANDOPRATICANDO

23

Em 01/ 03 f oi real i zado pagamento mí ni mo ( 20% do total da f atura) , f i cando um sal do devedor de 80% do total .

Sal do devedor Em ( 01/ 05)

SOLUÇÃO SOLUÇÃO

24

8,01000Vf 1,1 8,0 1,1 774, 40 $R

A dí v i da desse consumi dor em 01/ 05/ 2012 ser á de

a) R$ 600, 00. b) R$ 640, 00.c) R$ 722, 50.d) R$ 774, 40.e) R$ 874, 22.

 

PRATICANDOPRATICANDO

25