matemática financeira aula 2 - legale.com.br · taxa nominal e efetiva. 17 profa. msc. Érica...
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1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática FinanceiraAula 2
Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira
Objetivos de aprendizagem:Depois de ler e discutir este tópicovocê será capaz entender
• Calcular valores futuros e presente em juros simplese compostos
• Entender operações com taxas
3 Profa. Msc. Érica Siqueira
Agenda do Curso
Data Horário Grande Tema Detalhado
02/09/2017
8:30 até 10:15
Juros Simples HP12C
Apresentação da Disciplina
Revisão de Porcentagens
Exercícios
10:30 até 12:30Juros Simples
Desconto de Duplicata
12:45 Até 14:15Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples
Exercícios
16/09/2017
8:30 até 10:15
Juros Compostos e TaxasHP12C
Juros Compostos
10:30 até 12:30 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Compostos
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
12:45 Até 14:15 Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Exercícios
23/09/2017
8:30 até 10:15
Fluxo de Caixa e Investimentos. HP12C e Excel
Pagamentos e Depósitos Constantes
Fluxo de Caixa
10:30 até 12:30Fórmulas Matemática Financeira Excel
Payback Simples e Descontado, VPL, TIR
12:45 Até 14:15Sistema de Amortização: SAC e PRICE
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Observações• Usar HP12C
• Para estudar: • Slides como grandes tópicos
• Livros indicados na bibliografia
• Lista de Exercícios
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Juros Compostos
Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/
6 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Enquanto no Juros Simples temos uma função linear, no juros compostos temos uma função exponencial.
• Como ser observa na fórmula do Montante
• � � � ∗ �1 � �
Cálculo do Montante em Juros Compostos
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• Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos.
Exemplo Comparativo
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• Dados: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. e n = 5 meses
• Juros Simples:• S = P(1 + in)
• S = 6.000 (1 + 0,04×5)
• S = R$ 7.200,00
• Juros Compostos• � � � ∗ �1 � �
• S = 6.000 * (1+ 0,04)⁵
• S = 6.000 * 1,04⁵
• S = 6.000 * 1,216653
• S = R$ 7.299,92
Exemplo Comparativo
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• Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros Compostos basta inverter a relação anterior, isto é:
• � �
�����
Cálculo do Valor Atual Juros Compostos
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• Para calcular a taxa também é possível deduzir a fórmula a partir da fórmula do montante:
• � � � ∗ �1 � �
•
�� �1 � �
•
�
�= 1 �
•
�
�- 1 =
• �
�
�� 1
Cálculo da Taxa em Juros Compostos
11 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Tempo em Juro Compostos
• A quantidade de períodos (n) também pode ser deduzida a partir da fórmula do montante
• � � � ∗ �1 � �
•
�� �1 � �
• Log �
� = Log �1 � �
• Log �
� = n * Log�1 �
•Log ��
�
Log���� = n
O LOG pode ser
substituído, nesse
caso, pelo LN
12 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada.
• Exemplo:
Convenção Linear
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Convenção Linear
Convenção
Exponencial
Convenção
Linear
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Exercício
• (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear.
• Resultados para Conferência:
• FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30
• FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50
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Convenção Linear na HP
• A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções.
• Quando o período n é um número fracionário, é necessário
verificar a letra C está aparecendo no visor
• A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas
STO EEX.
• Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando
os cálculos segundo a convenção exponencial.
• Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a
convenção linear.
• Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples,
a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de
juros
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• Quando uma taxa de aplicação ou empréstimo é informada em uma determinada unidade de tempo mas a capitalização ocorre em outra unidade de tempo, temos aí a distinção entre Taxa Nominal e Efetiva.
• Exemplo: Se o banco te oferece um investimento com taxa nominal de 24% a. a. mas com capitalização mensal, isso significa que a taxa nominal é 24% a.a porém a taxa efetiva, a qual seu rendimento estará sujeito é de 24/12
• Ou seja, a taxa efetiva é 2% a.m
• Para achar a taxa efetiva anual, basta achar a taxa anual equivalente a 2% a.m, no caso 26,82% a.a.
Taxa Nominal e Efetiva
17 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Você faz um empréstimo pessoal de R$5.000,00 que será liquidado em 36 parcelas mensais de R$256,35.
• O gerente do banco informa que a taxa nominal do empréstimo é de 45,33% a.a.
• Calcule a taxa efetiva mensal e anual
Exercício Taxa Nominal e Efetiva
18 Profa. Msc. Érica Siqueira
• Para calcular sucessivos aumentos, que produziram uma taxa acumulada, usa-se a formula abaixo caso a taxa já esteja em índice
Exemplo de Taxa Acumulada
• Caso contrário, é preciso dividir a taxa por 100
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Taxa Acumulada de Inflação
Mês IPCA (%)
Janeiro 0,5Fevereiro 0,4
Março 0,3Abril 0,5Maio 0,7Junho 0,4Julho -0,2
Agosto -0,5Setembro 0,3Outubro 0,7
Novembro 0,9Dezembro 1
• Qual a taxa de inflação acumulada no período de 12 meses da tabela ao lado?
• [(1,005)x(1,004)x(1,003)x(1,005)x(1,007)x(1,004)x(0,998)x(0,995)x(1,003)x(1,007)x(1,009)x(1,01) – 1] x 100.
• =5,1%
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• A taxa aparente é formada por dois componentes: a taxa real e a inflação.
• A taxa real, portanto, é a taxa aparente, descontada da inflação
• Fórmula para achar a taxa real:
• 1 +1 +1 +1 + iiiiaaaa = ( 1 += ( 1 += ( 1 += ( 1 + iiiirrrr ) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 +) * ( 1 + IIII ))))
• Onde:
• ia = taxa aparenteir = taxa realI = inflação
Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente
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• (BrasilEscola) - Um empréstimo foi realizado a uma taxa de 32% ao ano. Considerando-se que a inflação do período foi de 21%, determine a taxa real anual.
• Taxa aparente = 32% = 0,32 e Inflação = 21% = 0,21
• 1 + 0,32 = (1 + ir) * (1 + 0,21)1,32 = (1 + ir) * 1,211,32/1,21 = 1 + ir
1,09 = 1 + ir
ir = 1,0909 – 1ir = 0,0909ir = 9,09%
• A taxa real anual foi equivalente a 9,09%.
Exemplo de Taxa Real e Aparente
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Taxas Over
• É a taxa de juros de um dia útil, multiplicada por 30 (convenção de mercado, pois um mês tem 23 dias úteis).
• É uma forma de expressar a taxa de juros muito usada no mercado financeiro, mais especificamente no mercado aberto (open market)
• Muitos produtos do mercado tem sua rentabilidade ou custo expresso na taxa de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY).
• Toda taxa nominal “over’ deve informar o número número número número de dias úteisde dias úteisde dias úteisde dias úteis que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período.
23 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas Over - Exemplo
• Suponha que a taxa “over” em determinado momento esteja definida em 5,4% a.m..
• No período de referência da taxa, estão previstos 22 dias úteis.
• Qual a taxa efetiva do período?
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• Achar a taxa efetiva (diária)
• Achar a taxa efetiva para o período mensal, considerando o mês de 22 dias úteis
Taxas Over - Exemplo
25 Profa. Msc. Érica Siqueira
Bibliografia BibliografiaI. Básica:
1. Lima, Iran Siqueira; Galardi, Ney & Neubauer, Ingrid. Mercados de Investimentosfinanceiros. 2ª ed.: manual para certificação profissional ANBID Série 20 (CPA - 20).São Paulo: Atlas, 2008.
2. Neto, Alexandre Assaf. Mercado Financeiro. 12ª ed. São Paulo: Atlas, 2014.
3. Securato, José Roberto. Decisões financeiras em condições de riscos. São Paulo:Atlas, 1996.
II. Complementar1.Freund John E.; Simon, Gary A. Estatística aplicada: economia, administração econtabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000
2. LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel 5 e 7. São Paulo: LapponiTreinamento, 1997.
3. Levine, David M.; Bereson, Mark L.; Stephan, David. Estatística: teoria eaplicações, usando o Microsoft Excel em português. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
4.-MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 1. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.
5. MORETTIN, Luiz Gonzaga. Vol. 2. Estatística básica. 7.ed. São Paulo:Pearson/Makron Books, 2000.
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• Exercícios e textos do livro ASSAF NETO
• Sites de exercícios e exemplos:• http://www.bertolo.pro.br/AdminFin/HTML/OVER.htm
• www.financiamento.com.br
• http://excelplanilhasprontas.com.br
Fonte dos Slides