1 Lista de Exerccios de lgebra Linear Espaos Vetoriais Bacharelado em Cincia da Computao Profa. Juliana de Oliveira 1.Verificarse( ) { } R y x y x R = , | ,2umespaovetorial.Define-seadioe multiplicao por um escalar assim: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1, , , y y x x y x y x + + = +( ) ( ) ay ax y x a , , = 2.Verificarse( ) { } R z y x z y x R = , , | , ,3umespaovetorial.Define-seadioe multiplicao por um escalar assim: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1, , , , , , z z y y x x z y x z y x + + + = +( ) ( ) az ay ax z y x a , , , , = 3.Verificarse( ) I C oconjuntodasfunescontnuasdefinidasnointervaloIdeRum espao vetorial. Dados( ) I C g f ,eR a , define-seg f +eafdo seguinte modo: ( )( ) ( ) ( ) t g t f t g f + = +( )( ) ( ) t af t af = 4. Sejam U e V espaos vetoriais sobre R. Mostrar que( ) { } V v U u v u V U = e | , um espao vetorial em relao ao seguinte par de operaes: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1, , , v v u u v u v u + + = +( ) ( ) av au v u a , , = 5. No conjunto( ) { } R y x y x V = , | ,define-se adio e multiplicao por escalaresassim: ( ) ( ) ( ) 0 , , ,2 1 2 2 1 1x x y x y x + = +( ) ( ) ay ax y x a , , =Nessas condies V um espao vetorial sobre R? 6. No conjunto( ) { } R y x y x V = , | ,define-se adio e multiplicao por escalaresassim: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1, , , y y x x y x y x + + = +( ) ( ) 0 , , ax y x a =Nessas condies V um espao vetorial sobre R? 7. Seja V o conjunto dos pares ordenados de nmeros reais. V no um espao vetorial em relao a nenhum dos dois seguintes pares de operaes sobre V: a-)( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 2 1 1, , , y y x x y x y x + + = +e( ) ( ) ay x y x a , , =b-)( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1, , , y x y x y x = +e( ) ( ) ay ax y x a , , =c-)( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 1, 2 2 , , y x y x y x y x + = +e( ) ( ) ax ax y x a = , 3 ,Diga em cada caso quais dos 8 axiomas no se verificam. 8. No espao vetorial() R M2 3, consideremos os vetores: |||.|

\|=00001 1A , |||.|

\|=11121 0B e |||.|

\|=10012 1Ca-) CalcularC B A 3 2 +b-) Calcular() R M X2 3tal queCB X X A=+3 2 c-) ExistemR t t 2 1,de maneira queC t B t A2 1+ = ? 9.Noespaovetorial() R P3sejamdadososvetores( ) 13 = t t f ,( ) 12 + = t t t g e ( ) 2 + = t t h . a-) Calcular( ) ( ) ( ) t h t g t f 4 3 2 +b-) ExistemR k de maneira que( ) ( ) ( ) t h t kg t f = + ? c-) ExistemR k k 2 1,de maneira que( ) ( ) ( ) t h k t g k t f2 1+ = ? 10. No 2Rconsideremos os vetores( ) 1 , 1 = u ,( ) 2 , 3 = ve( ) 2 , 3 = w . a-) resolver a equaowx v u x=+++3 2, na incgnita 2R x b-) resolver o seguinte sistema de equaes: = += + = + +w z y xv z y xu z y x22 , nas incgnitas 2, , R z y x . 11. Mostrar que o conjunto( ) { } 0 | ,2= = y R y x W um subespao vetorial do 2R . 12.Mostrarquesubespaode() R M2oseguintesubconjunto: ())` = ||.|

\|= x y R Mt zy xW |2. 13. Mostrar que so subespaos vetoriais de() R Mn os seguintes subconjuntos: a-)() { } A A R M A Utn= = |b-)() { } TA AT R M A Vn= = |onde T uma matriz dada de() R Mn. 14.Acharumconjuntodegeradores(sistemadegeradores)dosseguintessubespaosdo 4R : a-)( ) { } 0 | , , ,4= + = t z y x R t z y x Ub-)( ) { } 0 | , , ,4= + = = t z y x R t z y x V 15.Consideremosno 3R osseguintessubespaosvetoriais:( ) ( ) | | 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 = U e ( ) ( ) | | 1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 = V . Determinar um sistema de geradores deV U . 16. Dados os subespaos( ) { } 0 | , ,3= + = y x R z y x Ue( ) { } 0 | , ,3= = x R z y x Vdo 3R , determinar o subespaoV U . 17. Determine o vetor combinao linear n nu u u + + + K2 2 1 1, nos casos: a-)( ) 2 , 11 = u ;( ) 3 , 02 = u ;31 = ;52 = b-)( ) 1 , 1 , 11 = u ;( ) 0 , 2 , 12 = u ;( ) 0 , 1 , 03 = u ;11 = ;32 = ;53 = c-) ||.|

\|=1 02 11u ; ||.|

\|=3 21 12u ;31 = ;52 = 18. Escrevavcomo combinao linear dos vetores 1u , 2u , ..., nu , nos casos: a-)( ) 3 , 2 = v ;( ) 1 , 11 = u ;( ) 2 , 02 = ub-)( ) 4 , 3 , 2 = v ;( ) 1 , 1 , 11 = u ;( ) 1 , 1 , 02 = u ;( ) 1 , 0 , 03 = uc-) ||.|

\|=2 54 2v ; ||.|

\|=1 00 11u ; ||.|

\|=0 01 02u ; ||.|

\|=0 10 03u 19. Encontre um sistema de geradores para cada um dos subespaos: a-)( ) { } 0 2 | , ,3= = y x R z y x Wb-)( ) { } 0 2 , 0 | , ,3= = = y x z x R z y x Wc-)( ) { } 0 3 2 | , ,3= + = z y x R z y x W 20. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo so subespaos do 3R ? a-)( ) { } 0 | , ,3= = x R z y x Wb-)( ) { } Z x R z y x W = | , ,3 c-)( ) { } irracional | , ,3y R z y x W =d-)( ) { } 0 3 | , ,3= = z x R z y x We-)( ) { } R c b a cz by ax R z y x W = + + = , , com , 0 | , ,3 21. Verificar que no so subespaos vetoriais do 3R : a-)( ) { } 1 | , ,3= x R z y xb-)( ) { } 0 | , ,2 3= + + z y x R z y xc-)( ) { } z y x R z y x | , ,3 22.SejamU,VeWosseguintessubespaosdo 3R :( ) { } z x R z y x U = = | , ,3, ( ) { } 0 | , ,3= = = y x R z y x V e( ) { } 0 | , ,3= + + = z y x R z y x W .Verifiqueque 3R V U = + , 3R W U = +e 3R W V = + . Em algum dos casos a soma direta?