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Análise Econômica de Investimentos
Prof. Vallim
Agenda
Objetivo do cursoObjetivo do curso
Conteúdo ProgramáticoConteúdo Programático
BibliografiaBibliografia
Critérios de NotasCritérios de Notas
Objetivo do curso
Capacitar os alunos a elaborar estudos de viabilidade econômica
de projetos de investimentos
Objetivo do curso
A Análise Econômica de Investimentos é uma técnica que possibilita quantificar monetariamente e avaliar economicamente alternativas de investimento;
Permite ao gestor a posse de um conjunto de elementos para a correta tomada de decisão
Objetivo do curso
Exemplos de tomada de decisão :
Investimentos (onde aplicar?). Produção (substituição/reforma de
equipamentos; expansão de capacidade);
Lançamento de produtos; Aquisições/fusões. Terceirização. Plano de negócios
Objetivo do curso Capitalde Terceiros
CapitalPróprio
Capital de Giro
AtivoFixo
Seleçãode
Investimentosonde
Retorno sejamaior
que a Taxa Mínima de
Atratividade
Lucro Operacional
Custo deCapital
Riqueza
Valor de Mercado da
Empresa sobe
Fontes de Financiamento
Custo doCapital =
Taxa Mínima deAtratividade
(TMA)
Conteúdo Programático
Parte 1- Matemática financeira: - Juros simples - Juros compostos - Séries uniformes de pagamentos. Parte 2- Análise Econômica de investimentos. - Inflação e correção monetária - métodos de análise de investimentos (Pay-back; VPL, TIR, VAU). - Análise de projetos
Bibliografia
Newnan, D. G. ; Lavelle, J. P. Fundamentos de Engenharia Econômica. LTC editora, Rio de Janeiro, 2000
MOTTA, Regis da Rocha; CALÔBA, Guilherme. Análise de Investimentos: tomada de decisões de projetos industriais. São Paulo : Atlas, 2002.
Pilão N. E. ; Hummel P. R. V. Matemática Financeira e Engenharia Econômica - Ed.Pioneira -Thomson, 2006
Puccini, A .L.Matemática Financeira, objetiva e aplicada. Saraiva, S.Paulo, 2002
Média = ( P1 x 0,30 ) + ( P2 x 0,70)
Critério de Notas
Média = ( P1 x 0,30 ) + ( P3 x 0,70)
Média = ( P2 x 0,50 ) + ( P3 x 0,50)
Análise Econômica de Investimentos
Matemática Financeira: Capitalização Simples
Conteúdo Programático
Conceitos básicos Juros simples Taxa proporcional Exercícios resolvidos
Conceitos básicos
Princípio fundamental
O valor do dinheiro no tempo.
Por que ?
Custo de oportunidade
Aluguel do capital Juros – remuneração do capital por período de tempo
Conceitos básicos
Observação :
O juro deve estar sempre associado ao período de tempo.
a.a. = ao ano;
a.m.= ao mês;
Exemplo :
10% a.a. = 10% ao ano;
1,5% a.m. = 1,5% ao mês.
Valor Presente (P) Juros (J) Taxa de Juros (i) Prazo (n) Valor Futuro (F)
Conceitos básicos
• Diagrama de Fluxos de Caixa:
Maneira esquemática de representar operações financeiras ao longo do tempo,demonstrando todas as “entradas” (receitas) e “saídas” (despesas) de recursos.Por convenção, as “entradas” são representadas como setas para cima, sendo oinverso para as “saídas”.
Linha do tempo
“Saída de Caixa”
“Entrada de Caixa”
0 n
Conceitos básicos
No regime de capitalização simples ou linear, a taxa de juros (i) incide apenas
sobre o capital inicial (P).
Valor Futuro
Tempo
P
Juros Simples
n P J (i = 10%)
1 R$100,00 R$10,00
2 R$100,00 R$10,00
3 R$100,00 R$10,00
Total dos juros auferidos em 03 períodos = 30
Exemplo: Consideremos a aplicação de R$100,00, por três anos, à taxa anual de 10%.
Juros Simples
J = 100 x 0,10 x 3
J = $ 30
$ 100
J = P x i x n
0
P
F
J = P x i x n
n= 3
i= 10% a .a
Juros Simples
PFJJPF
Ig u a la n d o a s e q u a ç õ e s , t e r e m o s q u e :
niPPFniPPF
F in a lm e n te
niPF 1
J = P x i x n
Juros Simples
Exercício: Quanto ganhou de juros um aplicador que depositou $ 3.000,00 por um ano à taxa de juros simples de 25% a.a.?
Solução: P = 3.000, i = 25% a.a. e queremos saber J. Pela equação (2) temos que J = P x i x n, logo:
J = 3.000 x 0,25 x 1 = $ 750
Juros Simples
Exercício: Qual o valor de resgate (montante) de uma aplicação de $ 1.600 feita por um ano à taxa de juros simples de 15% a.a.?
Solução: P = 1.600, i = 50% a.a. e queremos saber F. J = P x i x n, logo:J = 1.600 x 0,15 x 1 = $ 240F = P + J, então:F = 1.600 + 240 = $ 1.840
Poderíamos resolver o problema, ainda, utilizando a equação : F = P x (1 + i). Desta forma, teríamos:F = 1.600 x (1 + 0,15) = $ 1.840
Juros Simples
Exercício: Quanto renderia um capital de $ 10.000 aplicado por dois meses à taxa simples de 18% a.a.?
Solução: P = 10.000, n = 2 meses, i = 18% a.a. e queremos saber J.
J = P x i x n = 10.000 x (0,18/12) x 2 = $ 300
Juros Simples
Análise Econômica de Investimentos
Matemática Financeira: Capitalização Composta
Conteúdo Programático Capitalização composta - Cálculo do Valor Futuro (F) - Cálculo do Valor Presente (P) - Cálculo da taxa (i) - Cálculo do prazo (n)
Tipos de Taxas de Juros - Taxa Nominal - Taxa Efetiva
A capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior
Capitalização Composta
Cálculo do Valor Futuro (F)
Exemplo: Qual seria o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês pelo período de três meses. Nesse caso, teríamos:
0 3
PV = $ 1.000,00
FV
1 2
i= 4%
Capitalização Composta Juros por período Montante
1.000,00 x 0,04= 40,00 1.040,00 1.040,00 x 0,04= 41,60 1.081,60 1.081,60 x 0,04= 43,26 1.124,86
P = 1.000,00 F1 = 1.000,00 + (0,04 x 1.000,00) = 1.000,00 (1+ 0,04)
F2 = F1 (1 + 0,04) F2 = 1.000,00 (1 + 0,04) (1 + 0,04)
F2 = 1.000,00 (1 + 0,04)2
F3 = F2 (1 + 0,04) F3 = 1.000,00 (1 + 0,04)2 (1 + 0,04)
F3 = 1.000,00 (1 + 0,04)3
86,124.104,0100,000.1 3 FF
Cálculo do Valor Futuro (F)
F = P (1 + i)n
Cálculo do Valor Futuro (FV)
Generalizando, temos a seguinte fórmula :
Onde: F = Valor futuroP = Valor presente n = Número de períodos de capitalização i = Taxa de juros.
mês
Capital no começo de
cada período de
capitalização
Juros ao final de
cada período
Capital e juros ao final de
cada período
Capital no começo ao
final de cada
período
Juros ao final de
cada período
Capital e juros ao final de
cada período
Variação %
1 100,00 1,50 101,50 100,00 1,50 101,502 100,00 1,50 103,00 101,50 1,52 103,023 100,00 1,50 104,50 103,02 1,55 104,574 100,00 1,50 106,00 104,57 1,57 106,145 100,00 1,50 107,50 106,14 1,59 107,736 100,00 1,50 109,00 107,73 1,62 109,34 0,32%
12 100,00 1,50 118,00 117,79 1,77 119,56 1,32%
24 100,00 1,50 136,00 140,84 2,11 142,95 5,11%
60 100,00 1,50 190,00 240,71 3,61 244,32 28,59%
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Cálculo do Valor Futuro (F)
Cálculo do Valor Presente (P)
Exemplo: Uma pessoa pretende resgatar daqui a 24 meses o valor de R$ 25.000,00 para comprar um carro. Sabendo-se que essa pessoa pode obter uma taxa de 1,0% ao mês no mercado financeiro, pergunta-se: qual o valor que ela deve aplicar hoje?
15,689.1901,0100,000.25 24 PP
Exemplo: Qual é a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 5.000,00 e resgata R$ 5.788,13 no final de 3 meses.
33 100,000.513,788.5100,000.513,788.5 ii
maouiii .%505,0105,1)1(78813,1 31
Cálculo da Taxa (i)
Exemplo: Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser liquidado em um único pagamento de R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre.
nn 15,0100,000.5565,624.11015,0100,000.5565,624.110
semestresnnn 515,0log0114,2log15,10114,2
Cálculo do prazo (n)
Exercício-Uma casa está sendo oferecida por R$ 100.000,00 à vista ou R$ 30.000,00 de entrada e mais duas parcelas, sendo a primeira de R$ 50.000,00 no final de 6 meses e mais uma de R$ 28.000,00 após 12 meses da data da compra. Sabendo-se que no mercado financeiro a taxa de juros composta é de 1,53% ao mês, determinar o valor presente e a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-la.
Exercícios Resolvidos
10,646.450153,0100,000.50 6 PP
95,335.230153,0100,000.28 12 PP
Valor Presente da Primeira parcela
Valor Presente da Segunda parcela
Valor Presente Total
P = 30.000,00 + 45.646,10 + 23.335,95 = R$ 98.982,05
Para podermos comparar valores eles, necessariamente, devem estar em uma mesma data. Assim sendo, podemos concluir que a melhor opção para um interessado seria comprar parcelado.
Exercícios Resolvidos
Taxa Nominal Taxa Efetiva Taxa Equivalente
Tipos de Taxas de Juros
Definições :
Taxa de juros nominal : Em geral, é usada uma taxa proporcional (linear) da taxa nominal de juros, calculada de acordo com algum procedimento previamente estabelecido pelo mercado ou pelas partes que realizam a operação.
Taxa de juros efetiva : é taxa de juros recebida ou paga de fato (corresponde ao fator de variação obtido do diagrama de fluxo de caixa da operação).
Tipos de taxa de juros
Exemplo: Considerando uma aplicação que paga juros nominais de 6% ao ano; a taxa mensal proporcional será de 6%/12 = 0,5% a .m
Uma aplicação de R$1.000,00 ao final de um ano, considerando a capitalização mensal, renderá o montante de
68,061.1005,01000.1 12
Logo a taxa efetiva será de 0617,01000
00,000.168,061.1
Assim temos: 6% a.a. é a taxa nominal, 0,5% a.m. é a taxa proporcional e 6,17% é a taxa efetiva.
Tipos de taxa de juros
Taxa Equivalente
No regime de capitalização composta, duas taxas de juros são equivalentes quando, considerando o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, as duas taxa promovam rendimentos iguais.
Taxa Equivalente
11 TQ
TQ ii
11 12 ma ii
11 121 am ii
1212 1111 mama iiiPiP
nii )1()1( menor efetivamaior efetiva
ou
Taxa Equivalente
Exemplo: : Determine a taxa anual equivalente a 2% ao mês
Solução:
iq = 26,82% a.a.
2682,0102,01 12
11 TQ
TQ ii
Taxa Equivalente
Para comprovar que estas duas taxas são equivalentes, vamos calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.000,00 pelo prazo de 1 ano. Uma sendo aplicado à taxa de 2% ao mês, e uma outra de mesmo valor pelo mesmo prazo a uma taxa de 26,824% ao ano.
Taxa Equivalente
0 12
F = ?
1 2
i= 2% a m
P=1.000,00
...9
10
FV = 1.268,24
F = 1.000,00 (1 + 0,02)12
Taxa equivalente
01 ano
F = ?
i= 26,824% a a
P=1.000,00
FV = 1.268,24
F = 1.000,00 (1 + 0,26824)1
Taxa equivalente
Exemplo: : Determine a taxa mensal equivalente a 6% ao trimestre Solução:
iq = 1,96% a.m.
0196,0106,01 3/1
11 TQ
TQ ii
Taxa Equivalente
Exemplo : Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 24.000,00, considerando 9 meses de prazo e uma taxa efetiva de 25% ao ano.
Taxa Equivalente
0 9
F = ?
1 2
i= 1,88% a m
P=24.000,00
...7
8
Taxa equivalente
11 TQ
TQ ii
125,01 121
Qi
maiQ .%88,1
F = 24.000,00 (1 + 0,0188)9
FV = 28.372,25
Exercício - Dona Maria possui um título que vencerá no prazo de um ano. O valor de resgate desse título é de R$ 2.000,00. Foi oferecida a ela uma proposta para trocar aquele título por outro, com vencimento daqui a 7 meses, sendo o seu valor de resgate de R$ 1.600,00. Considerando que a taxa composta no mercado financeiro gira ao redor de 35% ao ano, a troca seria vantajosa para Dona Maria?
11 TQ
TQ ii
135,01 121
Qi
maiQ .%53,2
F = 1.600,00 (1 + 0,0253)5
F = 1.813,12
A troca não deveria ser feita
Taxa equivalente
Análise Econômica de Investimentos
Matemática Financeira: Séries uniformes de pagamento
Conteúdo Programático
Séries Uniformes - Séries Vencidas - Séries Antecipadas - Séries Diferidas - Amortização - Gradiente
Séries Uniformes
Uma série uniforme de pagamentos (recebimentos) implica o pagamento ininterrupto e periódico de uma prestação (U) por um período (1...n) e uma taxa i.
0
1 2 3n-1 n
Séries Vencidas
As séries vencidas são aquelas em que os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no final de cada período, isto é, as prestações são postecipadas.
0 1 2 3 4 5
P
U
Valor Presente
O pagamento ocorreno final do primeiro
período
Cálculo do Valor Futuro (F)
Exemplo: Determinar o valor futuro, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, em um fundo de renda fixa, no valor de R$ 1.000,00 cada uma, a uma taxa de 1% ao mês
0 1 2 3 4 5
F
U = 1.000,00O pagamento ocorreno final do primeiro
período
Valor Futuro
Cálculo do Valor Futuro (F)
60,040.101,011000 41 F
30,030.101,011000 32 F
10,020.101,011000 23 F
00,010.101,011000 14 F
00,000.101,011000 05 F
01,101.5TOTALF
Cálculo do Valor Futuro (F)
1
. 11
q
aqaGP
n
01,101.5
101,01
101,01100,000.1
5
F
Cálculo do Valor Futuro (F)
01,101.501,0101,0101,0101,0101,011000 43210 TOTALF
01,101.5
01,0
101,0100,000.1
5
F
i
iUF
n 11
Cálculo do Valor Futuro (F)
),( inFACUF
FAC - Fator de acumulação de capital
Cálculo do Valor Presente (P)
Exemplo: Calcular o valor a vista de um bem vendido em 5 parcelas de R$ 100,00 sabendo-se que se trata de uma série vencida e que a taxa contratada foi de 4% ao mês e que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês
0 1 2 3 4 5
P
U = 100,00O pagamento ocorreno final do primeiro
período
Cálculo do Valor Presente (P)
15,9696614,000,100
04,01
100,100 11
P
46,929256,000,100
04,01
100,100 22
P
90,888890,000,100
04,01
100,100 33
P
48,858548,000,100
04,01
100,100 44
P
19,8282193,000,100
04,01
100,100 55
P
18,445$RPTOTAL
Cálculo do Valor Presente (P)
ii
iUP n
n
1
11
Cálculo do Valor Presente (P)
18,44504,004,01
104,0100,100 5
5
x
P
),( inFVAUP
FVA - Fator de valor presente (atual)
Cálculo das Parcelas (U)
Exemplo: O Sr. Carlos deseja saber quanto ele deve aplicar mensalmente, a partir do próximo mês, para que daqui a vinte anos, ele possa sacar R$ 2.500,00 por mês, ao longo de dez anos. A taxa de juros efetiva de 1% a.m.
i = 1% a . m
0 1 2 ... 239 240 241 242 243...360
U = ?
Cálculo das Parcelas (U)
U=2.500,00
Cálculo das Parcelas (U)
ii
iUP n
n
1
11
01,001,01
101,0100,500.2 120
120
P
P= 174.251,31
U= 176,14
i
iUF
n 11
01,0
101,0131,251.174
240
U
Séries Antecipadas
Uma série é dita antecipada quando os pagamentos (ou recebimentos) são exigidos no início de cada período de tempo. Assim, a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momentos ZERO, ou seja, na data do contrato do empréstimo, do financiamento ou qualquer outra operação que implique pagamentos ou recebimentos de prestações.
ii
iUF
n
111
)1(1
11ix
ii
iUP n
n
Séries Antecipadas
Cálculo do Valor Futuro (F)
Exemplo: Marina fez cinco aplicações mensais de R$ 1.000,00 em uma aplicação que paga juros efetivos de 1% a.m. Sabendo-se que a primeira aplicação foi feita no ato, pergunta-se: quanto ela terá acumulado ao final de 5 meses?
0 1 2 3 4 5
1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00
FV
ii
iUF
n
111
02,152.501,01
01,0
101,0100,000.1
5
xF
Cálculo do Valor Futuro (F)
Exemplo: um televisor foi vendido em oito prestações mensais e iguais de R$ 515,74. Sabendo-se que a primeira parcela foi feita no ato (série antecipada) e que a taxa de juros composta cobrado foi de 5% a.m., calcule o valor presente dessa televisão.
Cálculo do Valor Presente (P)
)1(1
11ix
ii
iUP n
n
)05,01(05,005,01
105,0174,515 8
8
xxP
Cálculo do Valor Presente (P)
P= 3.500,00
Séries Diferidas
As séries diferidas são caracterizadas pela existência de um período de carência para efetuar o pagamento (ou recebimento) da primeira prestação (termo). Em outras palavras, o primeiro pagamento (ou recebimento) é efetuado em data posterior àquela do primeiro período.
0 1 2 3 4 5
P
UCarência
Exemplo: uma empresa conseguiu um financiamento no valor de R$ 50.000,00. O empréstimo deverá ser pago em 12 parcelas mensais, à taxa de juros efetivos de 8% a.m. Sabendo-se que o primeiro pagamento será realizado no final do terceiro mês (prazo de carência), calcule o valor das prestações:
Séries Diferidas
P = 50.000,00 i = 5% a.m
U = ?
0 1 2 3 4 ... 11 12 13 14
Séries Diferidas
00,320.5808,0100,000.50 2 FF
08,008,01
108,0100,320.58 12
12
xU
U= 7.738,77
Amortização
Exemplo: Elaborar a planilha de amortização de um empréstimo de R$100.000,00, à taxa mensal de 1%, a ser pago em 5 prestações mensais iguais e sucessivas.
ii
iUP n
n
1
11
01,001,01
101,0100,000.100 5
5
U
U= 20.603,98
PLANO DE AMORTIZAÇÃO N Saldo Devedor (SD) Juros (J) Amortização (A) Prestação (U) 0 100.000,00 - - - 1 80.396,02 1.000,00 19.603,98 20.603,98 2 60.596,00 803,96 19.800,02 20.603,98
3 40.597,98 605,96 19.998,02 20.603,98
4 20.399,98 405,98 20.198,00 20.603,98
5 0,00 204,00 20.399,98 20.603,98
Amortização
00,000.1000.10001,01 J
98,603.1900,000.198,603.2011 JUA
02,396.8098,603.1900,000.1001 SD
Primeira prestação Segunda prestação
96,80302,396.8001,02 J
02,800.1996,80398,603.2022 JUA
00,596.6002,800.1902,396.802 SD
E assim sucessivamente até o final das prestações
Exemplo : Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 1.000.000,00, com taxa de juros de 7% ao semestre, nas seguintes condições: prazo de 14 parcelas semestrais iguais e sucessivas, sendo 4 semestres de carência; pagamento integral dos juros devidos durante o período de carência. Elabore a planilha dessa operação:
Amortização
Período Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 R$ 1.000.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 2 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 3 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 4 R$ 1.000.000,00 R$ 70.000,00 R$ - R$ 70.000,00 5 R$ 927.622,50 R$ 70.000,00 R$ 72.377,50 R$ 142.377,50 6 R$ 850.178,57 R$ 64.933,57 R$ 77.443,93 R$ 142.377,50 7 R$ 767.313,57 R$ 59.512,50 R$ 82.865,00 R$ 142.377,50 8 R$ 678.648,01 R$ 53.711,95 R$ 88.665,55 R$ 142.377,50 9 R$ 583.775,87 R$ 47.505,36 R$ 94.872,14 R$ 142.377,50 10 R$ 482.262,68 R$ 40.864,31 R$ 101.513,19 R$ 142.377,50 11 R$ 373.643,56 R$ 33.758,39 R$ 108.619,12 R$ 142.377,50 12 R$ 257.421,11 R$ 26.155,05 R$ 116.222,45 R$ 142.377,50 13 R$ 133.063,09 R$ 18.019,48 R$ 124.358,02 R$ 142.377,50 14 R$ 0,00 R$ 9.314,42 R$ 133.063,09 R$ 142.377,50
Amortização
Exemplo : Um banco de investimento oferece um financiamento de R$ 50.000,00, com taxa de juros de 1,5% ao mês, nas seguintes condições: prazo de dezoito meses, sendo três meses de carência; capitalização dos juros devidos durante o período de carência. Elabore a planilha de amortização referente dessa operação:
Amortização
Período Saldo Devedor Juros Amortização Prestação
0 R$ 50.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 50.750,00 R$ 750,00 R$ - R$ - 2 R$ 51.511,25 R$ 761,25 R$ - R$ - 3 R$ 52.283,92 R$ 772,67 R$ - R$ - 4 R$ 49.149,79 R$ 784,26 R$ 3.134,13 R$ 3.918,38 5 R$ 45.968,66 R$ 737,25 R$ 3.181,14 R$ 3.918,38 6 R$ 42.739,80 R$ 689,53 R$ 3.228,85 R$ 3.918,38 7 R$ 39.462,51 R$ 641,10 R$ 3.277,29 R$ 3.918,38 8 R$ 36.136,07 R$ 591,94 R$ 3.326,45 R$ 3.918,38 9 R$ 32.759,72 R$ 542,04 R$ 3.376,34 R$ 3.918,38
10 R$ 29.332,73 R$ 491,40 R$ 3.426,99 R$ 3.918,38 11 R$ 25.854,34 R$ 439,99 R$ 3.478,39 R$ 3.918,38 12 R$ 22.323,77 R$ 387,82 R$ 3.530,57 R$ 3.918,38 13 R$ 18.740,24 R$ 334,86 R$ 3.583,53 R$ 3.918,38 14 R$ 15.102,96 R$ 281,10 R$ 3.637,28 R$ 3.918,38 15 R$ 11.411,12 R$ 226,54 R$ 3.691,84 R$ 3.918,38 16 R$ 7.663,90 R$ 171,17 R$ 3.747,22 R$ 3.918,38 17 R$ 3.860,48 R$ 114,96 R$ 3.803,43 R$ 3.918,38 18 R$ (0,00) R$ 57,91 R$ 3.860,48 R$ 3.918,38
Amortização
Séries : Valor Presente/Futuro da série gradiente (G)
n
n
ii
niiGP
)1(
1)1(2
Tempot = 0t = 1 t = 2 t = 3
+0 G
+2 G
3 G
+1 G
t = 4
(N-1) G
t = n
i
n
i
iGF
n
2
1)1(
Gradiente (G)
Exemplo – Calcular o valor presente da série gradiente dado que
i = 10% ao período.
Tempot = 0 t = 1 t = 2 t = 3
+40
60
+20
t = 4
n
n
ii
niiGP
)1(
1)1(2
42
4
)1,01(1,0
1,041)1,01(20P
56,8738,420 P
432 )1,01(
160
)1,01(
140
)1,01(
120
P
683,060751,040826,020 P
56,8798,4005,3053,16 P
Gradiente (G)
Tabelas