acuna (2009) projeto mecatrônico de uma plataforma stewart

COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ

PROJETO MECATRÔNICO DE UMA PLATAFORMA STEWART PARA SIMULAÇÃO

DOS MOVIMENTOS NOS NAVIOS.

Hernán Gonzalez Acuña

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessários à obtenção do título de Mestre em

Engenharia Mecânica.

Orientador: Max Suell Dutra

Rio de Janeiro

Março 2009

ii


DOS MOVIMENTOS NOS NAVIOS.


DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE)

DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Max Suell Dutra, Dr.-Ing.

________________________________________________ Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.

________________________________________________ Prof. Jules Ghislain Slama, D.Sc.

________________________________________________ Prof. José Luiz da Silva Neto, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2009

iii

Gonzalez Acuña, Hernán

Projeto mecatrônico de uma plataforma Stewart para

simulação dos movimentos nos navios/ Hernán Gonzalez

Acuña. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2009.

XV, 112 p.: il.; 29,7 cm.


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa

de Engenharia Mecânica, 2009.

Referências Bibliográficas: p. 108-112.

1. Projeto de Máquinas. 2. Robôs Paralelos. 3.

Análise Cinemática de robôs paralelos. 4. Análise

Dinâmica de robôs paralelos. 5. Controle de posição.

Dutra, Max Suell. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III.

Titulo.

iv

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M. Sc.)


DOS MOVIMENTOS NOS NAVIOS


Março/2009


Programa: Engenharia Mecânica

A movimentação dos navios é realizada em 6 graus de liberdade. Para conseguir

imitar esse tipo de movimentação se precisa projetar um sistema mecânico de iguais

características. A plataforma Stewart é um robô de arquitetura paralela que possui seis

graus de liberdade, características necessárias para ser utilizada na imitação dos

movimentos do navio. O objetivo deste trabalho é o estudo da cinemática, dinâmica e

projeto de uma plataforma Stewart para a simulação de movimentos. No estudo da

cinemática determinaram-se quais são as limitações de velocidade, aceleração e

espaço de trabalho que poder ter a plataforma Stewart. No estudo dinâmico se

determinou o valor dos esforços que podem ter os atuadores da plataforma na

realização de diferentes trajetórias para se levar em consideração no projeto da

plataforma Stewart. Além de realizar esses estudos, propôs-se uma estratégia de

controle de posição e sintonização do controlador que permitirá atingir ou seguir as

diferentes trajetórias desejadas.

v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

MECHATRONICS DESIGN OF STEWART PLATFORM FOR SIMULATION OF

SHIPS’ MOTION


March/2009

Advisor: Max Suell Dutra

Department: Mechanical Engineering

Ships’ movements are accomplished in 6 degrees of freedom. In order mimic this

type of movement it is necessary to design a mechanical system with similar

characteristics. The Stewart platform is a robot with parallel architecture that has six

degrees of freedom, good features to imitate ship’s movements. This work aim to study

kinematics, dynamics and to project a Stewart platform to simulate its movements. In

kinematics study will be determined which are the limitations of speed, acceleration

and workspace of the Stewart platform design. Dynamic study will determine strain that

actuators may experience in order to the platform accomplish different trajectories that

will lead the consideration in the platform’s design. In addition of these studies, is

proposed a position control strategy and tuning to achieve and follow different desired

trajectories.

vi

DEDICATÓRIA

A meus pais, Elsy Elena e Hernán, minhas irmãs Charis e Estefany, minha sobrinha

Hannah e o meu Deus por manter unida uma bela família.

vii

AGRADECIMENTOS

Inicialmente quero dedicar este logro a Deus, pelas pessoas que coloca nosso

caminho para ajudar-nos, já que todas as coisas que eu realizei foram da melhor

forma como se fossem feitas para ele.

Agradeço ao apoio financeiro fornecido pelo Conselho Nacional de

Desenvolvimento Científico e Tecnológico CNPq e pela Fundação de Amparo à

Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro durante estes anos para desenvolver esta

pesquisa.

Ao meu orientador, Prof. Dr.-Ing. Max Suell Dutra, pela confiança depositada

em mim, pela oportunidade de formar parte do seu grupo de pesquisa, pela

oportunidade que me brindou de conhecer além de um excelente profissional da área

conhecê-lo como pessoa e amigo. Obrigado chefe pelos conselhos brindados da

experiência na sua vida para contribuir na formação das outras pessoas.

Ao Omar e Magda pelo apoio e ajuda brindada antes, durante e sei que depois

do mestrado também. Obrigado pela confiança e amizade brindada.

À secretaria acadêmica da mecânica nossa querida Verinha, Maysa, Bia e Tito

que continuem sempre com toda aquela alegria. Um abraço para todos.

Aos amigos do grupo do LabRob que sempre estiveram ai para fazer crescer o

grupo: Ivan, Elkin, Liliana, Cesar, Ricardo, Camilla, Ana Mary, Alox, Fabrício, Gabriel,

Faustão, Alexandre, Fabrício, Wairy, Ronaldo e Marcos.

À Coordenação do Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e

Pesquisa de Engenharia, COPPE, ao Programa de Engenharia Mecânica, PEM, pela

oportunidade de cumprir mais uma parte do meu projeto de vida.

viii

ÍNDICE

ÍNDICE ............................................................................................................ viii

ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................... xi

ÍNDICE DE TABELAS .................................................................................... xiv

LISTA DE SÍMBOLOS..................................................................................... xv

1 INTRODUÇÃO............................................................................................ 1

1.1 ESTÁDO DA TÉCNICA DOS ROBÔS PARALELOS ................................... 2

2 ESTUDO DA MOVIMENTAÇÃO DOS NAVIOS....................................... 13

2.1 SISTEMAS DE REFERÊNCIA NOS NAVIOS. ............................................ 13 2.1.1 Sistema coordenado inercial................................................................ 14

2.1.2 Sistema coordenado do corpo. ............................................................ 14

2.1.3 Sistema coordenado hidrodinâmico. .................................................... 14

2.1.4 Sistema coordenado geométrico. ........................................................ 15

2.2 COORDENADAS USADAS PARA DESCREVER O MOVIMENTO DO NAVIO. ................................................................................................................... 16

2.2.1 Coordenadas de Manobrabilidade e sistemas de referência................ 16

2.2.2 Coordenadas de seguimento (Seakeeping) e sistemas de referência.. 18

2.3 EQUAÇÃO DINÂMICA GERAL DE MOVIMENTO EM UM NAVIO. ........... 20

2.4 ONDAS DO OCEANO. ............................................................................... 20 2.4.1 Ondas trocoidal. .................................................................................. 21

2.5 NÚMERO DE FROUDE. ............................................................................. 22 2.5.1 Escala de Froude................................................................................. 22

3 ESTUDO DOS ROBÔS PARALELOS. .................................................... 24

3.1 VANTAGEM DOS ROBÔS PARALELOS .................................................. 24

3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ROBÔS PARALELOS.......................................... 25 3.2.1 Manipuladores de 3 graus de liberdade. .............................................. 25

3.2.1.1 Manipuladores de translação:....................................................................... 25 3.2.1.2 Manipuladores de orientação........................................................................ 26 3.2.1.3 Manipuladores de graus de liberdade mistos: .............................................. 26

3.2.2 Manipuladores de 4 graus de liberdade. .............................................. 27



3.2.4.1 Robô tipo UPS .............................................................................................. 28

ix

3.2.4.2 Robô tipo PUS. ............................................................................................. 28 3.2.4.3 Robô tipo RUS. ............................................................................................. 29

3.3 A PLATAFORMA STEWART. .................................................................... 29 3.3.1 Classificação da plataforma Stewart. ................................................... 30

3.4 CÁLCULO DOS GRAUS DE LIBERDADE DA PLATAFORMA TEWART. 31 3.4.1.1 Plataforma Stewart com articulações tipo SPS. ........................................... 32 3.4.1.2 Plataforma Stewart com articulações tipo UPS. ........................................... 32

4 ANÁLISE DA CINEMATICA DO ROBÔ PARALELO. ............................. 33

4.1 CINEMÁTICA DIRETA DO ROBÔ PARALELO. ........................................ 33 4.1.1 Centróide da base da plataforma Stewart. ........................................... 33

4.1.2 Coordenadas dos vértices da base da plataforma. .............................. 36

4.1.3 Análise geométrica da plataforma........................................................ 37

4.1.4 Solução do sistema não linear de equações simultâneas. ................... 43

4.1.5 Calculo da orientação final da placa móvel. ......................................... 47

4.1.6 Resultados da cinemática direta. ......................................................... 52

4.2 CINEMÁTICA INVERSA DO ROBÔ PARALELO....................................... 55

5 ANÁLISE DINÂMICA DO ROBÔ PARALELO......................................... 58

5.1 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-EULER..................................... 59 5.1.1 Análise de posição............................................................................... 60

5.1.2 Análise de velocidade.......................................................................... 62

5.1.3 Análise da aceleração ......................................................................... 64

5.1.4 Análise dinâmica dos atuadores .......................................................... 66

5.1.5 Análise dinâmica da placa móvel. ........................................................ 68

5.1.6 Simulação da dinâmica da plataforma Stewart. ................................... 70

6 MODELAGEM DO ATUADOR DA PLATAFORMA ROBOTICA. ............ 75

6.1 MODELAGEM DO MOTOR DE CORRENTE CONTINUA. ......................... 75 6.1.1 Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento linear no

cilindro mecânico. ............................................................................................... 79

6.2 CALCULO DO TORQUE NO MOTOR........................................................ 80 6.2.1 Calculo do torque do motor para subir a carga. ................................... 80

6.2.2 Calculo do torque do motor para descer a carga. ................................ 82

6.3 PROJETO DO CONTROLADOR DE POSIÇÃO. ESTUDO DE CASO. ...... 83 6.3.1 Sintonização do controlador de posição PID........................................ 84

7 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DA PLATAFORMA STEWART. ........... 89

7.1 ESPAÇO DE TRABALHO DA PLATAFORMA STEWART. ....................... 89

7.2 LIMITES DOS GIROS DA PLATAFORMA STEWART............................... 92

7.3 ESPECIFICAÇÕES DE VELOCIDADE DA PLATAFORMA. ...................... 95

x

7.4 DETERMINAÇÃO DO VALOR MÁXIMO A SER SIMULADO..................... 96

8 CONCLUSÕES......................................................................................... 98

8.1 TRABALHOS FUTUROS............................................................................ 99

9 ANEXOS................................................................................................. 101

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................. 108

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Plataforma projetada por GWINNETT (1928).Patente 1’789.680 U.S. ......... 3

Figura 1.2 Máquina “Spray painting machine”. Patente 2’213.108 U.S. ........................ 3

Figura 1.3 Robô paralelo projetado por POLLARD W.L.V. (1942). Patente 2’286.571

U.S........................................................................................................................ 4

Figura 1.4 (a) Máquina original de GOUGH (1954). (b) Foto recente da máquina

GOUGH (Mike Beeson Dunlop Tyres 2000).......................................................... 5

Figura 1.5 “Multi-Axis Simulation Table” referenciada por GOUGH (1947) . ................. 5

Figura 1.6 Simuladores de vôo desenvoltos no auge da indústria aeronáutica. (a) Iron

Croos (1956). (b) Rendez-Vous (1962).MERLET (2006)....................................... 6

Figura 1.7. Plataforma Stewart (1965). MERLET (2006)............................................... 6

Figura 1.8 Primeiro simulador de vôo baseado na estrutura de GOUGH. CAPEL (1962)

(a) Gráfico da patente. (b) Imagem do simulador de vôo. (BONEV 2003) ............. 7

Figura 1.9. (a) Robô tipo RPRS de 6-DOF. (b) Robô tipo RRRS de 6-DOF.

(Universidade........................................................................................................ 8

Figura 1.10 Outras arquiteturas de robôs paralelos (a) Tripteron robô. (b)

Quadrupteron robô. (Universidade Laval, Canadá). KONG & GOSSELIN (2007). 8

Figura 1.11 Robôs paralelos com cabos. (a) Robô Segesta da Universidade Duisburg-

Essen (b) Protótipo do Cablev (Universidade de Rostock, Alemanha). ................. 9

Figura 1.12 Robô paralelo escalador. ........................................................................... 9

Figura 1.13 a) Nano manipulador paralelo usando atuadores piezelétricos. b) Medical

Robot. KONG & GOSSELIN (2007). ................................................................... 10

Figura 1.14 Plataforma paralela rotacional (Parallel Robotics Systems) ..................... 10

Figura 1.15 Simulador de Dirigir (Toyota). T ............................................................... 11

Figura 1.16 a) Boeing 737-800 Full Flight Simulator da FAA's. b) AW139 helicopter

flight simulator para o centro de treinamento AgustaWestland. ........................... 11

Figura 1.17 Simulador de vôo CAE 5000, que trabalha com atuadores elétricos.CAE

2008.................................................................................................................... 12

Figura 2.1 Notação e convenções de símbolos para o movimento dos navios............ 13

Figura 2.2. Sistemas de referência no navio ............................................................... 15

Figura 2.3. Ângulos no plano horizontal. ..................................................................... 18

Figura 2.4. Geração de uma onda trocoidal. ............................................................... 21

Figura 3.1. Robô de 3 graus de liberdade FlexPicker IRB 340 MERLET (2006). ........ 25

Figura 3.2. Robô usando o principio de apoio no médio com geradores tipo RRPS,

aplicado no ‘Vertical Motion Simulator (VMS)’. MERLET (2006) ......................... 26

xii

Figura 3.3. Robô de 3 DOF, translação e rotação, em uma aplicação de um simulador

de carros. MERLET (2006) ................................................................................. 26

Figura 3.4. Koevermans manipulador usado como simulador de vôo. MERLET (2006)

............................................................................................................................ 27

Figura 3.5. Robô de 5 DOF, são usados na máquinas ferramentas. MERLET (2006) 27

Figura 3.6. Robô de 6 graus de liberdade tipo UPS. MERLET (2006)......................... 28

Figura 3.7. Robô de 6 graus de liberdade tipo PUS (MERLET 2006).......................... 28

Figura 3.8. Robô tipo PUS. The Hexaglide escola politécnica federal de Zurich.

MERLET (2006) .................................................................................................. 29

Figura 3.9. a) Explicação do principio de funcionamento do Robô tipo RUS proposto

por Hunt(1983). b) Pierrot’s Hexa robô. MERLET (2006). ................................... 29

Figura 3.10 Tipos simétricos de plataformas de Stewart. ............................................ 30

Figura 3.11 Plataforma Stewart tipo 6-6...................................................................... 31

Figura 4.1 a) Sistema coordenado da plataforma Stewart. b) Plataforma Stewart

simplificada ......................................................................................................... 34

Figura 4.2 Geometria da plataforma. Base e placa superior. ...................................... 34

Figura 4.3 Vértices da base. ....................................................................................... 36

Figura 4.4 Geometria dos pontos ,i iXp Yp ................................................................ 37

Figura 4.5 Geometria para calcular as coordenadas ( )1 1,Xp Yp ............................... 38

Figura 4.6 Relação da base da plataforma com a parte superior da plataforma.......... 40

Figura 4.7 Geometria para calcular os valores de iZA ............................................... 41

Figura 4.8. Vista superior e isométrica do resultado da cinemática direta da plataforma

Stewart................................................................................................................ 52

Figura 4.9.Vista superior da plataforma com 0,5a m= . ............................................ 53

Figura 4.10. a) Vista superior da plataforma. b) Vista isométrica da plataforma.......... 54

Figura 4.11. a) Vista superior da plataforma. b) Vista isométrica da plataforma.......... 54

Figura 4.12 Geometria simplificada e real da placa superior da plataforma. ............... 55

Figura 5.1. Diagrama do manipulador paralelo. Plataforma Stewart ........................... 60

Figura 5.2 Ângulos de Euler para a posição do atuador.............................................. 61

Figura 5.3 Desenho da nomenclatura no atuador utilizado na plataforma robótica ..... 62

Figura 5.4. Diagrama de corpo livre do atuador. ......................................................... 66

Figura 5.5. Gráfico da trajetória a percorrer. ............................................................... 71

Figura 5.6. Gráfico da velocidade, aceleração e posição da placa móvel. .................. 72

Figura 5.7. Força em X do atuador. .......................................................................... 73

Figura 5.8. Força em Y do atuador. ........................................................................... 73

xiii

Figura 5.9. Força em Z do atuador............................................................................ 74

Figura 5.10. Posição dos atuadores no percorrido da trajetória. ................................. 74

Figura 6.1. Cilindros elétricos. (a) Montagem em paralelo. (b) Montagem axial. ......... 75

Figura 6.2. Esquema do motor de corrente continua................................................... 76

Figura 6.3. Esquema do motor de corrente continua com engrenagens e carga......... 77

Figura 6.4. Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento linear do

parafuso no cilindro mecânico............................................................................. 79

Figura 6.5. Diagrama de corpo livre para o dente do parafuso para a subida da carga.

............................................................................................................................ 80

Figura 6.6. Diagrama de corpo livre para o dente do parafuso para descer a carga. .. 82

Figura 6.7. Resposta do sistema em malha fechada................................................... 84

Figura 6.8. Método de oscilação permanente de Ziegler-Nichols. ............................... 84

Figura 6.9. Diagrama de Blocos aplicando o Método de oscilação permanente.......... 85

Figura 6.10. Resposta do sistema ao Kcritico. ............................................................ 85

Figura 6.11. Método de oscilação permanente de Ziegler-Nichols .............................. 86

Figura 6.12. a) Resposta do controlador PID com os parâmetros iniciais. b) Erro do

controlador. ......................................................................................................... 86

Figura 6.13. a) Resposta do controlador PID sintonizado. b) Erro do controlador

sintonizado.......................................................................................................... 87

Figura 6.14. Gráfico do curso do cilindro no tempo para a trajetória testa na dinâmica.

............................................................................................................................ 87

Figura 6.15. Desenho dos testes realizados no sistema com controlador e sem

controlador. ......................................................................................................... 87

Figura 6.16. Resposta do sistema em malha fechada sem controlador PID. .............. 88

Figura 6.17. Resposta do sistema em malha fechada com controlador PID. .............. 88

Figura 7.1. Espaço de trabalho da plataforma Stewart................................................ 90

Figura 7.2. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista superior X Y− . ............ 90

Figura 7.3. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista frontal X Z− . .............. 91

Figura 7.4. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista lateral Y Z− ................. 91

Figura 7.5. a) Giro positivo no eixo X da plataforma Stewart. b) Vista lateral Y Z− . 92

Figura 7.6. a) Giro negativo no eixo X da plataforma Stewart. b) Vista lateral Y Z− .93

Figura 7.7. a) Giro no eixo Y da plataforma Stewart. b) Vista lateral X Z− . ............. 94

Figura 7.8. a) Giro positivo no eixo Z da plataforma Stewart. b) Vista lateral X Y− . 94

Figura 7.9. Gráfico de velocidade e deslocamento do atuador.................................... 95

Figura 7.10. Gráfico de velocidade e deslocamento do centro da placa superior da

plataforma Stewart. ............................................................................................. 96

xiv

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1. Nomenclatura para descrição da movimentação do navio e sistemas

coordenados de referência.................................................................................. 17

Tabela 2.2. Classificação dos tipos de mares pelo tamanho da onda. ........................ 22

Tabela 2.3. Multiplicadores do Modelo a Protótipo para variáveis comumente usadas

em mecânica dos fluidos, considerando a escala de Froude. CHAKRABARTI

(1994). ................................................................................................................ 23

Tabela 4.1. Centros e áreas das componentes geométricas da plataforma. ............... 35

Tabela 4.2 Coordenadas dos vértices da base da plataforma..................................... 37

Tabela 4.3 Resultados do primeiro estudo de caso na simulação da cinemática direta.

............................................................................................................................ 53

Tabela 4.4 Resultados da simulação da cinemática direta.......................................... 54

Tabela 5.1 Valor de aceleração para percorrer a trajetória. ........................................ 71

Tabela 6.1 Parâmetros do ajuste pelo método de Ziegler-Nichols para o controlador

PID...................................................................................................................... 85

Tabela 6.2 Parâmetros calculados para o controlador PID. ........................................ 85

Tabela 7.1 Valores do comprimento final dos cilindros no giro máximo em X . .......... 93

Tabela 7.2 Valores do comprimento final dos cilindros no giro em Y . ........................ 94

Tabela 7.3 Valores do comprimento final dos cilindros no giro em Z . ........................ 95

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

O Sistema coordenado inercial

A Sistema coordenado da placa móvel

iA Ponta da placa móvel da plataforma 1,...,6i = .

iB Sistema coordenado da base da plataforma 1,...,6i = .

ir Comprimento do centróide da placa móvel à aresta iA .

Aψ Ângulo de rotação em X da placa móvel em relação ao sistema coordenado

inercial.

Aφ Ângulo de rotação em Y da placa móvel em relação ao sistema coordenado

inercial.

Aθ Ângulo de rotação em Z da placa móvel em relação ao sistema coordenado

inercial.

iψ Ângulo de rotação em X do atuador em relação ao sistema coordenado

inercial.

iθ Ângulo de rotação em Z do atuador em relação ao sistema coordenado

inercial.

iL Comprimento do atuador.

( )aV t Voltagem de armadura (volts).

aR Resistência de armadura (ohms).

aL Indutância de armadura (H).

( )feme t Força contra-eletromotriz (volts)

TK Constante de torque. (N-m/A)

eK Constante de força contra-eletromotriz. (V s/rad)

J Inércia do rotor do motor de corrente continua. (Kg/m2)

D Coeficiente de atrito viscoso. (N-m s/rad.)

p Passo do parafuso (m)

md Diâmetro médio do parafuso

iN Números de dentes da engrenagem i

1

1 INTRODUÇÃO

A robótica é uma que possui sinergia com varias disciplinas para seu

desenvolvimento. É uma das áreas de pesquisa que atualmente apresentam maior

crescimento em grupos e investimento. Essas características fazem que seu

desenvolvimento e resultados tecnológicos da área, tenham mais destaques em

diferentes setores como o setor industrial, o setor educativo e o setor de

entretenimento.

A aplicação da robótica em diferentes tarefas procura sempre melhores

resultados, sendo uma aplicação a replica de sistemas de movimento ou simuladores

que possuem mecanismos, sistemas elétricos, estratégias de controle, interfaces

gráficas (GONZALEZ ACUÑA & DUTRA et at. 2007) que permitem controlar e

executar movimentos como se fosse um sistema real.

Na presente dissertação se faz um estudo e análise da movimentação de

plataformas robóticas que será aplicada à simulação dos movimentos de navios. Os

navios podem ser definidos como construções maiores côncavas e compridas, feitas

de madeira, metal o qualquer outro material que consegue flutuar na água e

geralmente são usados como meio de transporte.

Além das características gerais comprimento, largura, pontal, calado e

deslocamento os navios são estruturas não holonômicas de seis graus de liberdade e

podem ter diferentes classificações feitas por sociedades como Lloyd´s Register ou

Bureau Veritas. Estas entidades realizam certificados de conformidade que garantem

que o navio se encontre dentro dos padrões da classificação exigidos para o tipo de

navegação e carga a transportar, mas também podem ser classificados pelo tipo de

carga que eles transportam.

Os movimentos que os navios apresentam, em geral são de dois tipos:

comandados ou reações às ondas do mar.

Com o intuito de obter a réplica dos movimentos do navio são implementados

simuladores baseados em robôs paralelos. Em uma definição simples, os simuladores

são estruturas que permitem reproduzir fielmente os movimentos de um modelo real e

geralmente leva à representação de comportamentos ou características fundamentais

de um sistema físico ou abstrato que se estuda ou analisa.

O desenvolvimento de simuladores faz da simulação um componente principal

nesta área, por isso o conceito literal de simulação deve ser abordado. A simulação

definida como “Uma técnica numérica para dirigir experimentos em computadores”.

Estes experimentos têm alguns tipos de relações matemáticas e lógicas, as qual são

2

necessárias para descrever o comportamento e a estrutura de sistemas complexos do

mundo real por períodos de tempo. NAYLOR & BUSTAMANTE (1971) definem a

simulação como o processo de projetar um modelo de um sistema real e fazer testes

com ele, com a finalidade de entender o comportamento do sistema. SHANNON

(1995) mostra que o conceito de simulação esta implícito no conceito de simuladores,

mas não necessariamente são recíprocos.

Na área da robótica um software de simulação é usado em aplicações virtuais

especificas sem ter que depender do robô real. Em alguns casos essas aplicações

podem ser levadas para o robô real sem fazer nenhuma modificação. Uma das

vantagens do software para simulação de robôs é que permitem reproduzir situações

que não podem ser criadas na vida real, seja pelo custo, tempo ou recursos. Alguns

simuladores têm características físicas de motores e atuadores para conseguir

representar além da cinemática a dinâmica do robô.

Para projetar a estrutura de um simulador que seja capaz de imitar movimentos

específicos, é preciso conhecer quais são suas características de velocidade,

aceleração, suas características dinâmicas e cinemáticas além de quais são seus

limitações espaciais e finalmente de que forma podem ser controlados os diferentes

atuadores para realizar as diferentes trajetórias planejadas.

1.1 ESTÁDO DA TÉCNICA DOS ROBÔS PARALELOS

A invenção dos robôs paralelos surgiu como solução de projetistas para lograr

movimentar maiores cargas e conseguir uma melhor distribuição de forças com a

utilização de um número maior de articulações, unindo a carga ao chão por meio de

cadeias fechadas que oferecem uma maior resistência. O uso desde tipo de

mecanismos foi uma solução muito interessante que na história já tinha sido usado,

mesmo antes da aparição do termo robô.

MERLET (2006) menciona que muitos problemas que tem relação com este tipo

de estruturas de cadeias fechadas na história, foram tratados por autores como

CHRISTOPHER WREN (1666), CAUCHY (1813), LEBESGUE (1867) e BRICARD

(1897).

Para BONEV (2003) o primeiro sistema robótico paralelo do qual se tem

conhecimento foi uma plataforma para cinemas (Figura 1.1) a qual se movimentaria

durante apresentação de um filme para conseguir uma maior realidade, chegou a ser

patenteada pelo projetista GWINNETT (1928) em 1931, mas não chegou a ser

construída.

3

Figura 1.1 Plataforma projetada por GWINNETT (1928).Patente 1’789.680 U.S.

POLLARD W.L.G. em 1940 começou a construção do primeiro robô paralelo o

‘spray painting machine’, que teve a sua patente solicitada em 29 de outubro de 1934.

A patente esta constituída por duas partes: um sistema de controle elétrico e um

manipulador mecânico. O sistema de controle é composto basicamente de filmes

perfurados, no qual a profundidade da perfuração é diretamente proporcional à

velocidade de cada motor. O manipulador mecânico é um robô paralelo baseado em

um pantógrafo acionado por dois motores rotativos na base (Figura 1.2), esta patente

foi concedida em 27 de agosto de 1940. Deste robô só foi construído o controle da

máquina pela empresa DeVilbiss e aplicado em outra máquina patenteada por

ROSELUND (1944).

Figura 1.2 Máquina “Spray painting machine”. Patente 2’213.108 U.S.

No ano de 1942 POLLARD W.L.V pai de POLLARD W.L.G., obtém a patente de

um robô paralelo ‘Position-Controlling Apparatus’ usado para pintar automóveis (Figura

1.3), este robô de cinco graus de liberdade é considerado como o primeiro robô

paralelo industrial. Este robô paralelo que não chego a ser construído teria três

4

articulações apoiadas por motores rotativos fixos na base e três elos distantes

conectados a três elos próximos por juntas universais. Dois elos são conectados a um

terceiro por juntas esféricas e a ponta da ferramenta é conectada a um terceiro elo por

uma junta universal. Três motores determinam a posição da ponta da ferramenta, e a

orientação da ponta da ferramenta é controlada por outros dois motores fixados na

base transmitindo o movimento à ponta da ferramenta por cabos flexíveis.

Figura 1.3 Robô paralelo projetado por POLLARD W.L.V. (1942). Patente 2’286.571 U.S.

Estes projetos não foram construídos totalmente, mas GOUGH et al. (1947)

projetou um robô paralelo com seis atuadores lineares que modificavam seu

comprimento para variar a orientação da parte superior do robô (Figura 1.4). Este robô

tinha seis graus de liberdade e foi fabricado e utilizado pela empresa DUNLOP para o

teste de pneus de aviões. Essa estrutura de robô paralelo foi apresentada pela

primeira vez em um congresso da FISITA1 em 1962.

1 International Federation of Automotive Engineering Societies. http://www.fisita.com

5

Figura 1.4 (a) Máquina original de GOUGH (1954). (b) Foto recente da máquina GOUGH (Mike

Beeson Dunlop Tyres 2000)

GOUGH et al. (1947) falava da existência de mesas chamadas MAST (‘Multi-

Axis Simulation Table’) anteriores a sua plataforma. Essas mesas são acionadas por

seis atuadores lineares: três verticais e três horizontais. (Figura 1.5).

Figura 1.5 “Multi-Axis Simulation Table” referenciada por GOUGH (1947) .

Com o crescimento da indústria aeronáutica na época, os novos equipamentos

de controle dos aviões e a necessidade de treinar os pilotos, trouxeram consigo algum

desenvolvimento de simuladores de vôo que tinham características de robôs paralelos.

MERLET (2006) menciona que foram desenvolvidos simuladores (Figura 1.6) como o

Iron Cross (1956) que é construído sobre uma junta universal e sua movimentação era

feita com nitrogênio a pressão e o Rendez-Vous (1962) o qual tinha dois graus de

liberdade. Estes dois simuladores de vôo foram desenvolvidos pela NASA.

a) b)

6

Figura 1.6 Simuladores de vôo desenvoltos no auge da indústria aeronáutica. (a) Iron Croos

(1956). (b) Rendez-Vous (1962).MERLET (2006)

Motivado pelo crescimento da indústria aeronáutica em STEWART (1965) é

proposto um novo mecanismo para ser usado como simulador de vôo. O sistema

baseado na máquina projetada por GOUGH et al. (1947), que é apresentado Figura

1.7, tinha uma parte móvel com seis graus de liberdade, os quais eram obtidos pelos

deslocamentos dos seis atuadores lineares. Essa máquina que foi chamada

plataforma de Stewart não chegou a ser construída e sua aparição se deu muito

depois da plataforma Gough. A plataforma de Gough foi muito utilizada na época, mas

na atualidade é chamada erroneamente plataforma de Stewart.

Figura 1.7. Plataforma Stewart (1965). MERLET (2006)

O autor BONEV (2003) menciona que paralelamente ou desenvolvimento das

máquinas de Gough e Stewart, no centro de pesquisa ‘The Franklin Institute Research

Laboratories’ na Filadélfia, o engenheiro CAPEL (1962) fazia melhoras em um sistema

para gerar vibrações de seis graus de liberdade da MAST ‘Multi-Axis Simulation Table’

Figura 1.5. Este sistema de vibração de 6 DOF (Degrees of freedom) tinha uma

a) b)

7

estrutura tipo hexápode, com três atuadores horizontais. Foram adicionados mais

quatro atuadores ao redor da mesa para reduzir as reações horizontais da massa, mas

a complexidade de controlar 7 atuadores e aparição de outras forças quebraria o

sistema, Capel propôs uma estrutura octahedral (Figura 1.8) similar à proposta por

Gough em 1947. Capel solicitou a patente do sistema em 7 de dezembro de 1964.

Figura 1.8 Primeiro simulador de vôo baseado na estrutura de GOUGH. CAPEL (1962) (a)

Gráfico da patente. (b) Imagem do simulador de vôo. (BONEV 2003)

Estes primeiros robôs deram inicio ao desenvolvimento dos robôs paralelos, mas

na atualidade os robôs paralelos apresentam diferentes tipos de arquiteturas e

mecanismos para sua movimentação, sem ter limitações em seus graus de liberdade.

Alguns dos diversos exemplos dessas arquiteturas são os robôs paralelos

reconfiguráveis apresentados por YANG et al. (2001a e 2001b), podendo ter estruturas

como RPRS (Rotational–Prismatic–Rotational-Spherical) ou RRRS (Rotational-

Rotational-Rotational-Spherical) que fazem referência ao seu tipo de articulação

mostrada na Figura 1.9

a) b)

8

Figura 1.9. (a) Robô tipo RPRS de 6-DOF. (b) Robô tipo RRRS de 6-DOF. (Universidade

Tecnológica de Nanyang. Singapore). YANG, CHEN et al. (2001)

Os autores KONG & GOSSELIN (2007) apresentam outras configurações de

robôs paralelos (Figura 1.10), onde se observam 3 juntas de translação e em cada

junta se acopla um braço articulado de 2 graus de liberdade, unindo-se em uma placa

móvel e fechando as cadeias cinemáticas do robô.

Figura 1.10 Outras arquiteturas de robôs paralelos (a) Tripteron robô. (b) Quadrupteron robô.

(Universidade Laval, Canadá). KONG & GOSSELIN (2007).

Outro tipo de robô paralelo é o robô Segesta apresentado em HILLER et al.

(2005). Nestes tipos de robôs a movimentação é feita pelo controle dos comprimentos

dos cabos, para conseguir manter em equilíbrio a placa móvel do robô (Figura 1.11).

a) b)

a) b)

9

Figura 1.11 Robôs paralelos com cabos. (a) Robô Segesta da Universidade Duisburg-Essen (b)

Protótipo do Cablev (Universidade de Rostock, Alemanha).

Uma aplicação diferente baseada na plataforma proposta por Gough é o robô

tipo escalador ou ‘Climbing Parallel Robot’ apresentado por ALMONACID et al.(2003)

e que tem aplicação especial na inspeção das tubulações. Este robô tem um braço

mecânico para a manipulação de objetos como se apresenta na Figura 1.12.

Figura 1.12 Robô paralelo escalador.

A precisão apresentada pelos robôs paralelos com a arquitetura proposta por

GOUGH et al. (1947) tornou este tipo de plataformas utilizaveis em outras áreas do

conhecimento como a medicina (Figura 1.13). Este sistema possui características que

facilitam a sua utilização em cirurgias de muita complexidade, tais como as realizadas

no cérebro. Também são amplamente utilizados tamanhos menores, nos casos que

10

envolvem nanotecnologia, pois essa é uma aplicação que necessita de pouca

movimentação e muita precisão.

Figura 1.13 a) Nano manipulador paralelo usando atuadores piezelétricos. b) Medical

Robot. KONG & GOSSELIN (2007).

Alguns robôs paralelos inspirados por GOUGH (1947), mostram melhorias em

alguns aspectos, na Figura 1.14 se apresenta um robô paralelo de seis graus de

liberdade com seis elos que tem nos extremos juntas esféricas e consegue ser

apoiado na base do sistema, onde utiliza se um motor para cada elo que gira sobre

uma roda dentada, permitindo rotações de ate 360º no eixo Z.

Figura 1.14 Plataforma paralela rotacional (Parallel Robotics Systems)2

Além dos diferentes tipos de arquiteturas de robôs paralelos, existem

simuladores de alta tecnologia como o simulador da TOYOTA (Figura 1.15). Este

simulador esta em uma cápsula de 7 metros de diâmetro onde se tem uma tela circular

2 Parallel Robotics Systems. http://www.prsco.com

a) b)

11

proporcionando uma vista panorâmica. Essa cápsula esta sobre um sistema hidráulico

de 4,5 metros de altura, e pode se movimentar 35 metros em uma direção e 20 metros

em outra a 90º. O simulador é utilizado para que as características de dirigir

embriagado e sonolento sejam analisadas. O custo deste simulador da Toyota foi de

86 milhões de dólares.

Figura 1.15 Simulador de Dirigir (Toyota). T

Outro dos simuladores mais avançados do mundo é o simulador de vôo do

Boeing 737-800 (Figura 1.16 (a)) projetado pela CAE no ano 2004 para o

Departamento de transporte aéreo (FAA’s) dos Estados Unidos no ‘Flight Operations

Simulations Laboratory’ (FOSL) em Oklahoma.

Figura 1.16 a) Boeing 737-800 Full Flight Simulator da FAA's. b) AW139 helicopter flight

simulator para o centro de treinamento AgustaWestland.

A CAE, que é a empresa líder do mundo na construção de simuladores de vôo e

modelagem na aviação civil e militar, construiu no ano 2006 um simulador de vôo de

a) b)

12

um helicóptero AW 139 (Figura 1.16 (b)) para o centro de treinamento Agustawestland

na Philadelphia, Pennylvania por um custo de 15 milhões de dólares.

Figura 1.17 Simulador de vôo CAE 5000, que trabalha com atuadores elétricos.CAE 2008.

O mais movo simulador de vôo desenvolvido pela CAE é o CAE 5000 que foi

apresentado em 1 de abril do 2008, no centro de treinamento de vôo em Burgess Hill,

Inglaterra (Figura 1.17). Este simulador tem como característica inovadora o uso de

cilindros elétricos trocando os sistemas hidráulicos originalmente utilizados em seus

simuladores. Isso ofereceu uma redução no custo de fabricação, um menor custo de

manutenção e ainda uma melhora na precisão dos movimentos.

13

2 ESTUDO DA MOVIMENTAÇÃO DOS NAVIOS.

Dentro da área da mecânica a dinâmica faz referência à parte que estuda o

movimento das partículas e corpos sobre a ação de forças. SHABANA (1998) divide o

estudo em duas partes a Cinemática e a Cinética.

A cinemática descreve geometricamente aspectos do movimento sem levar em

consideração a massa e as forças. A cinética estuda a influência das forças no

movimento do navio.

2.1 SISTEMAS DE REFERÊNCIA NOS NAVIOS.

Um navio no mar tem movimentação em 6 graus de liberdade (6 DOF), três

translacionais e três rotacionais: translacionais (avanço ou surge, deriva ou sway,

afundamento ou heave) e rotacionais (jogo ou roll, caturro ou pitch, guinada ou yaw).

Para descrever os movimentos do navio é preciso definir as coordenadas que definem

a translação e orientação do navio. PEREZ (2005) define essas coordenadas usando

dois tipos de referência: uma referência inercial e uma referência fixa no corpo do

navio.

Os sistemas coordenados para veículos marinhos são apresentados na Figura

2.1 e sua orientação segue a regra da mão direita.

Figura 2.1 Notação e convenções de símbolos para o movimento dos navios.

14

2.1.1 Sistema coordenado inercial.

O sistema inercial ( ), , ,n n n no x y z é fixado na Terra. O eixo nx positivo aponta

para o Norte, o eixo ny positivo aponta para o Leste e o eixo nz positivo aponta para

o centro da Terra. A origem do sistema no é localizada na superfície da água.

2.1.2 Sistema coordenado do corpo.

O sistema do corpo ( ), , ,b b b bo x y z é fixado ao casco do navio. O eixo bx

positivo aponta para a popa, o eixo by positivo aponta para o boreste (estibordo) o

eixo bz segue a regra de mão direita. A origem do sistema coordenado bo é

selecionada de modo que coincida com o eixo principal de inércia sendo matéria de

estudo da Cinética.

2.1.3 Sistema coordenado hidrodinâmico.

O sistema hidrodinâmico ( ), , ,h h h ho x y z não é fixado no casco do navio. Este se

move à velocidade média do navio que segue um caminho. O plano h hx y− coincide

com a superfície da água. O eixo positivo hx aponta para a proa sendo alinhado com

ângulo 1ψ . O eixo hy positivo aponta para o boreste (estibordo) e o eixo hz positivo

segue a regra de mão direita. A origem do sistema coordenado ho é determinada de

tal forma que o eixo hz varia no tempo da posição do centro de gravidade. Este

sistema é considerado usualmente quando o navio viaja a uma velocidade constante

e, por tanto, os movimentos induzidos pelas ondas fazem com que o navio oscile em

relação ao sistema h . Este sistema é considerado inercial.

15

2.1.4 Sistema coordenado geométrico.

O sistema geométrico ( ), , ,g g g go x y z é fixado ao casco do navio. O eixo gx

positivo aponta para a popa, o eixo gy positivo aponta para o boreste (estibordo) o

eixo gz positivo aponta para cima. A origem do sistema coordenado go é localizada

ao longo da linha do centro e da intersecção da linha de base (BL) e da popa (AP),

como se apresenta na Figura 2.2.

Figura 2.2. Sistemas de referência no navio

Na Figura 2.2 são apresentados os sistemas de referência coordenados assim:

Geométrico (origem go ); hidrodinâmico (origem ho ); Corpo (origem bo ); CG, Centro

de gravidade; LCG – Centro de gravidade lateral (comprimento); VCG- Centro de

gravidade vertical (comprimento); AP – Popa Perpendicular; FP – Proa perpendicular;

ppL distancia entre a proa e popa; T - Calado; DWL- Linha de flutuação e BL- Linha de

referência.

Cada um destes sistemas coordenados tem um uso especifico, por exemplo, o

sistema geométrico ( )g que é usado por arquitetos navais para definir a geometria do

casco ou para definir a localização da origem do corpo ( )b . O sistema coordenado

inercial ( )n é usado para definir a posição do navio e junto com o sistema ( )b define

a orientação do navio. O sistema ( )h é usado para calcular as forças e movimentos e

sua interação com o casco do navio e as ondas. Este parâmetro é importante para

calcular as acelerações induzidas pelas ondas sendo usado para calcular índices de

rendimento ou conforto dos passageiros.

16

2.2 COORDENADAS USADAS PARA DESCREVER O MOVIMENTO DO

NAVIO.

As operações do navio são realizadas em diferentes condições ambientais e

diferentes considerações são assumidas durante o estudo hidrodinâmico. Como

conseqüência deste fato, o estudo da dinâmica é separado em manobrabilidade

(manoeuvring) e seguimento.

Manobrabilidade trata do movimento do navio em ausência de excitação. O

movimento resulta da ação de dispositivos de controle, superfícies de controle e

unidades de propulsão. A manobrabilidade é associada a mudanças da trajetória,

paradas etc. Seakeeping (Seguimento) esta associado à onda de excitação do

movimento, enquanto o navio mantém sua trajetória e sua velocidade constantes.

2.2.1 Coordenadas de Manobrabilidade e sistemas de referência

Os navios precisam ser controláveis em um plano que eles possam realizar

trajetórias, giros ou dirigir em outras direções indicadas por um operador. Estas

características devem ser mantidas com as diferentes condições de vento forte ou mar

forte. Considerando que o controle de um navio deva ser realizado no plano horizontal

RAWSON & TUPPER (2001) a manobrabilidade do navio deve abarcar:

• A facilidade com que um operador pode manter a trajetória desejada. Dirigir é o

primeiro fator que afeita o navio em sua trajetória ou estabilidade dinâmica.

• A resposta do navio nos movimentos em suas superfícies de controle, os

volantes ou qualquer mudança no inicio ou finalização da trajetória.

• A resposta de outros dispositivos de controle como os motores.

• A habilidade para girar ao redor com um espaço determinado.

A posição norte-leste-sul do navio apresentada na Figura 2.1 é definida por o

sistema coordenado do corpo ( )bb o− relativo ao sistema inercial ( )n equação (2.1).

nob

n

r e

d

(2.1)

17

A altura do navio está definida pela orientação do sistema coordenado do corpo

( )b relativo a o sistema coordenado inercial ( )n . Obtendo três rotações

1. Rotação ao redor do eixo nz ; o ângulo de rotação é chamado yaw ψ

2. Rotação ao redor do eixo ny ; o ângulo de rotação é chamado pitch θ

3. Rotação ao redor do eixo nx ; o ângulo de rotação é chamado rollϕ

Estes ângulos de rotação são chamados ângulos de Euler. A generalização do

vetor de posição baseado na nomenclatura de FOSSEN (1994 & 2002) é dada pela

equação (2.2)

[ ], , , , ,

nTob

nb

rn e aη φ θ ψ

=

Θ (2.2)

Onde , ,n e a significam , ,Norte Leste Abaixo respectivamente. As velocidades

angular e linear do navio são expressas no sistema coordenado ( )b e são definidas

pela equação (2.3)

[ ], , , , ,

nTob

nob

vu v w p q r

wν

=

(2.3)

Onde [ , , ]n Tobv u v w= é a velocidade do ponto bo expresso no sistema

coordenado de b e [ , , ]n Tobw p q r= é a velocidade angular do sistema coordenado b

em relação ao sistema inercial expresso no sistema coordenado b . Na Tabela 2.1 é

apresentada a nomenclatura utilizada por FOSSEN (1994 & 2002) para a descrição da

movimentação do navio.

Tabela 2.1. Nomenclatura para descrição da movimentação do navio e sistemas coordenados

de referência.

Componente Nome Sistema coordenado

η

e

d

Posição norte

Posição Leste

Posição Sul (down)

η − Sistema coordenado



18

φ

θ

ψ

Ângulo Roll

Ângulo Pitch

Ângulo Yaw

Ângulo de euler

Ângulo de euler

Ângulo de euler

u

v

w

Velocidade Surge

Velocidade Sway

Velocidade Heave

b − Sistema coordenado



p

q

r

Variação do Roll

Variação do Pitch

Variação do Yaw




2.2.2 Coordenadas de seguimento (Seakeeping) e sistemas de referência

O seguimento em um navio pode ser um parâmetro para medir o desempenho

de um navio devido ao conforto que o passageiro pode ter. Para RAWSON & TUPPER

(2001) o termo de seguimento se relaciona com outros fatores que são os

movimentos, velocidade e potência das ondas, umidade, pancadas e trajetória do

navio.

Figura 2.3. Ângulos no plano horizontal.

Na teoria de seguimento apresentada em LLOYD (1989) o movimento do navio é

geralmente descrito pelo sistema coordenado hidrodinâmico ( )h , que é fixado em

relação ao equilíbrio de movimento. Mas, no entanto permitira seguir a

manobrabilidade do navio baixo o suposto que a manobrabilidade é mais devagar do

que muito o movimento induzido pelas onde do mar. Desde a origem do sistema

19

coordenado ( )ho que coincide com a lenta variação do ponto ( )s apresentado na

Figura 2.3, o conjunto de coordenadas generalizadas de seguimento é dado pela (2.4).

[ ]1 2 3 4 5 6, , , , ,T

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ= (2.4)

Quando as coordenadas descrevem a posição de ( )s as coordenadas lineares

são referidas como:

• 1ξ = Deslocamento Surge.

• 2ξ = Deslocamento Sway.

• 3ξ = Deslocamento Heave.

Onde as coordenadas angulares 4 5 6, ,ξ ξ ξ são ângulos de Euler e são medidos

em relação ao sistema coordenado ( )h dentro da orientação do sistema coordenado

( )b .

4

5

6

hb

ξ φ

ξ θ

ξ ψ ψ

Θ = −

(2.5)

Onde estes ângulos são:

• 4ξ = Perturbação do ângulo Roll.

• 5ξ = Perturbação do ângulo Pitch.

• 6ξ = Perturbação do ângulo Yaw.

As coordenadas de perturbação podem ser usadas para descrever a posição

oscilatória de qualquer ponto de interesse em relação ao sistema coordenado ( )h .

20

2.3 EQUAÇÃO DINÂMICA GERAL DE MOVIMENTO EM UM NAVIO.

A equação de movimento do navio é expressa no sistema coordenado ( )n e o

sistema coordenado do corpo do navio ( )b apresentado na Figura 2.1. FOSSEN

(1994 & 2002) apresenta a equação que descreve o movimento do veículo marinho.

( ) ( ) ( )b b b b b bRB AM M v C v v D v v g n τ + + + + =

( )nb nbJ vη = Θ

(2.6)

Em que as variáveis são:

bRBM = Matriz de massa e inércia do corpo rígido em relação à origem do

sistema ( )bo .

bAM = Matriz de massa adicionada.

( )bC v = Matriz total (corpo rígido e massa adicionada) de aceleração centrípeta

e de Coriolis.

( )bD v v = Matriz de amortecimento.

( )bg n = Função de restauração.

bτ = .Vetor de forças e momentos que atuam no casco originado por dispositivos

de controle.

( )nbΘ = Matriz de transformação de velocidade.

2.4 ONDAS DO OCEANO.

As ondas oceânicas são provocadas pelo vento que cria forças de pressão e

fricção que perturbam o equilíbrio da superfície dos oceanos. O vento transfere parte

da sua energia para a água através da fricção entre o vento e a água. Isso faz com

que as partículas à superfície tenham um movimento elíptico, que é uma combinação

de ondas longitudinais (para frente e para trás) e transversais (para cima e para

baixo).

21

As ondas do mar são aleatórias no tempo e no espaço. Estas características são

consideradas como estocásticas. Na pratica se assume que as variações estocásticas

do mar são mais lentas do que as variações estocásticas da superfície do mar, que é

considerado estacionário. WILSON (2003) menciona as mais importantes teorias para

o estudo de ondas não lineares como são: “The trochoidal”, “The cnoidal”, “Strokes”,

“Solitary” e teorias numéricas.

2.4.1 Ondas trocoidal.

A teoria de ondas trocoidal é usada para calcular características comuns das

ondas, como por exemplo, a força longitudinal, sendo essa só uma aproximação ao

fenômeno real. A superfície da onda trocoidal é definida matematicamente como a

trajetória traçada por um ponto fixo contido em um circulo quando o circulo gira sobre

uma superfície como se apresenta na Figura 2.4

O comprimento e altura da onda são representados por wh e λ , o raio do circulo

que produz a onda é R , onde 2 Rλ π= e o distância do ponto P ao centro do circulo

é 2wh r= , como se apresenta na Figura 2.4. (RAWSON & TUPPER (2001)).

oP

oN N

CoCR

P

θ

Rθ

λ

z

xr

Figura 2.4. Geração de uma onda trocoidal.

O cálculo da força das ondas depende de vários fatores como o período da

onda, altura da onda, comprimento, da boca e do calado da embarcação e a direção.

Estas características têm diferentes classificações como, por exemplo, os tipos de

mares que é apresentada na Tabela 2.2.

22

Tabela 2.2. Classificação dos tipos de mares pelo tamanho da onda.

Estado do mar Limite mínimo [m] Limite máximo [m] Descrição do mar

0 0 0 Calmo

1 0 0,1 Liso

2 0,1 0,5 Delgado

3 0,5 1,25 Moderado

4 1,25 2,5 Agitado

5 2,5 4 Muito Agitado

6 4 6 Alto

7 6 9 Muito Alto

8 9 14 Montanhoso

9 14 >14 Fenômeno

2.5 NÚMERO DE FROUDE.

Para CHAKRABARTI (1994) no estudo das ondas os três números

adimensionais mais usados na ordem de importância são: número de Froude, número

de Reynolds e número de Strouhal. Em alguns problemas com ondas a inércia é o

fator predominante nas forças que atuam no sistema.

O número de Froude é um número adimensional que compara forças inerciais e

forças gravitacionais. Pode ser usado para quantificar a resistência de um objeto em

movimento na água, e comparar objetos de diferentes tamanhos. O número de Froude

é baseado na relação velocidade-comprimento. O número de Froude é definido como

a relação da força de inércia para a força de gravidade desenvolvida sobre o elemento

de um fluido no meio.

A vantagem do número de Froude é a capacidade de escalar diretamente as

características mais importantes do modelo, além do amplo campo de aplicação em

procedimentos de experimentação.

2.5.1 Escala de Froude.

O numero de Froude é usado para relacionar características dinâmicas de um

protótipo com um modelo. O numero de Froude tem que ser igual para o modelo e

para o protótipo equação (2.7). Onde m=modelo e prototipop = .

23

( ) ( )modelo= prototipor r

pm

m m p p

F F

VV

g L g L=

(2.7)

As variáveis comuns da mecânica dos fluidos são apresentadas na Tabela 2.3.

Como se apresenta na Tabela 2.3 a altura de onda, o comprimento da onda a

profundidade da água possuem uma escala linear como 1

λ na escala de Froude. O

tempo e o período de onda têm escala de 1

λ. Assim como a força e momento tem

escala de 3

1

λ e

4

1

λ respectivamente.

Tabela 2.3. Multiplicadores do Modelo a Protótipo para variáveis comumente usadas em

mecânica dos fluidos, considerando a escala de Froude. CHAKRABARTI (1994).

Variável Unidades Fator de escala

Comprimento L λ

Área 2L 2λ

Volume 3L 3λ

Ângulos -o- 1

Radio de Giro L λ

Momento de inércia Área 4L 4λ

Momento de inércia massa 2ML 5λ

GEOMETRIA

Centro de gravidade L λ

Tempo T λ

Aceleração 2LT − 1

CINEMÁTICA

e DINÂMICA

Velocidade 1LT − λ

Altura da onda L λ

Período da Onda T λ ONDAS

MECÂNICAS

Comprimento de onda L λ

24

3 ESTUDO DOS ROBÔS PARALELOS.

Definidos em MERLET (2006) como um mecanismo de cadeia cinemática

fechada em que seu efetuador é unido à base por cadeias cinemáticas independentes.

Os autores KONG & GOSSELIN (2007) não oferecem uma definição de robôs

paralelos, mas definem mecanismos paralelos como sistemas de vários graus de

liberdade compostos por uma plataforma móvel conectada pelo menos duas cadeias

cinemáticas fechadas, essas cadeias cinemáticas são chamadas elos.

Inclusos em esta definição de robôs paralelos se classificam mecanismos

redundantes onde o número de atuadores é maior que o número de graus de

liberdade que controlam o efetuador(end effector) e os robôs cooperativos. Por conta

de estas características o MERLET sugere características que delimitam o estudo dos

robôs paralelos, essas características são:

• Ao menos duas cadeias cinemáticas suportam o efetuador. Cada uma

dessas cadeias cinemática deve ter ao menos um atuador.

• O número de atuadores é igual ao número de graus de liberdade do

efetuador.

• A mobilidade do manipulador é zero com os atuadores sem movimento.

As anteriores considerações permitem que o número de atuadores seja mínimo,

e que o número de sensores necessários para realizar um laço fechado de controle do

mecanismo também seja mínimo.

3.1 VANTAGEM DOS ROBÔS PARALELOS

A vantagem que têm os robôs paralelos em comparação com os robôs seriais

também são as principais características deste tipo de robôs, os robôs paralelos foram

resposta a diversas necessidades que se tinha na época.

Alguns autores como TANEV (2000), ANGELES (2003) a aparição dos robôs

paralelos é uma solução ao problema de pouca capacidade de carga e rigidez que

tinham os robôs de configuração seriais, essa baixa rigidez é sinônimo de baixa

precisão no posicionamento do robô em comparação com outro tipo de máquinas

como por exemplo máquinas de controle numérico.

25

DASGUPTA & MRUTHYUNJAYA (2000) apresenta uma recopilação bibliográfica

da plataforma Stewart onde menciona o começo do desenvolvimento dos robôs, estes

eram projetados para executar tarefas feitas pelos humanos e deviam ter uma boa

manobrabilidade e bom espaço de trabalho, mas a relação da capacidade de carga

com o seu peso é baixa. Os robôs seriais sobre condições de carga têm a tendência

apresentar vibrações e flambagem o que é uma vantagem para os robôs paralelos que

tem maior desempenho dinâmico e rigidez o que leva a maior precisão e capacidade

de posicionamento, pelo fato de ter o efetuador unido à base do robô por varias

cadeias cinemático.

3.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ROBÔS PARALELOS.

Alguns investigadores da área de robôs paralelos propõem diferentes formas

para classificar-los. MERLET (2006) realiza uma classificação dos robôs paralelos

baseado no número de graus de liberdade. KONG & GOSSELIN (2007) fazem uma

classificação dos robôs paralelos baseada no tipo de mecanismos que os robôs

paralelos apresentam. MERLET classifica os robôs paralelos da seguinte forma.

3.2.1 Manipuladores de 3 graus de liberdade.

3.2.1.1 Manipuladores de translação:

Este tipo de manipuladores é usado em aplicações de seleção e lugar em

operações de máquina. O robô mais conhecido com três graus de liberdade é o robô

Delta da Figura 3.1

Figura 3.1. Robô de 3 graus de liberdade FlexPicker IRB 340 MERLET (2006).

26

3.2.1.2 Manipuladores de orientação

São manipuladores que realizam as três rotações ao redor de um ponto

apresentando uma alternativa diferente à que utilizam os robôs seriais no efetuador. A

primeira possível aplicação de este grupo resulta na restrição do mecanismo que só

permite a rotação da plataforma.

Figura 3.2. Robô usando o principio de apoio no médio com geradores tipo RRPS, aplicado no

‘Vertical Motion Simulator (VMS)’. MERLET (2006)

3.2.1.3 Manipuladores de graus de liberdade mistos:

São manipuladores que apresentam os três graus de liberdade anteriores,

translação ao longo do eixo vertical e rotação ao longo do eixo dos ângulos de

precessão e nutação.

Figura 3.3. Robô de 3 DOF, translação e rotação, em uma aplicação de um simulador de

carros. MERLET (2006)

27


Koevermans em 1975 apresentou um simulador de vôo baseado em um sistema

de limitação passiva (Figura 3.4) com 4 graus de liberdade. A restrição passiva

existente neste sistema possibilita os graus de liberdade referentes a três rotações e

uma translação no eixo Z.

Figura 3.4. Koevermans manipulador usado como simulador de vôo. MERLET (2006)


Os manipuladores com 5 graus de liberdade apresentam uma restrição

mecânica passiva, geometria especifica ou projeto especifico. Essa configuração é de

interesse nas máquinas ferramentas ou máquinas de 5 eixos. (Figura 3.5).

Figura 3.5. Robô de 5 DOF, são usados na máquinas ferramentas. MERLET (2006)

28


Os manipuladores com 6 graus apresentam três translações e três rotações nos

eixos X, Y, Z. Este tipo de manipuladores trabalha com cadeias cinemáticas tipo

RRPS, RPRS, PRRS, RRRS. Estes tipos de robôs apresentam algumas classes que

são:

3.2.4.1 Robô tipo UPS

Na Figura 3.6 é apresentada uma configuração tipo 6-UPS, este tipo de

configuração é chamada de plataforma de Stewart, hexapodo ou robô 6-6.

Figura 3.6. Robô de 6 graus de liberdade tipo UPS. MERLET (2006)

3.2.4.2 Robô tipo PUS.

Este tipo de configuração apresenta uma junta prismática, uma junta universal e

finalmente uma junta esférica na respectiva ordem. Figura 3.7

Figura 3.7. Robô de 6 graus de liberdade tipo PUS (MERLET 2006).

29

Na Figura 3.8 é apresentado um robô tipo PUS, este robô que tem a mesma

configuração do robô da Figura 3.7, mas apresenta uma forma diferente.

Figura 3.8. Robô tipo PUS. The Hexaglide escola politécnica federal de Zurich. MERLET (2006)

3.2.4.3 Robô tipo RUS.

Este tipo de robô apresenta uma articulação de rotação seguida por uma junta

universal e finalmente uma junta esférica. Figura 3.9

Figura 3.9. a) Explicação do principio de funcionamento do Robô tipo RUS proposto por

Hunt(1983). b) Pierrot’s Hexa robô. MERLET (2006).

3.3 A PLATAFORMA STEWART.

A plataforma Stewart originalmente apresentada por STEWART (1965) é uma

estrutura cinemática paralela que pode ser usada para controlar ou gerar movimentos

em 6 graus de liberdade, tem aplicações em diferentes processos de manufatura e

tarefas de precisão. O mecanismo consiste em uma placa estacionária (Base) e uma

30

placa móvel que é conectada à base por 6 elos. Estes elos estão formados por duas

juntas posicionadas nos extremos do atuador.

A plataforma Stewart pode ter varias configurações nas articulações, essas

possíveis configurações são 6-UPS e 6-SPS, onde cada nome é dado pelas siglas em

inglês U (universal), P (prismatic) e S (spherical). Cada um dos atuadores pode se

movimentar de forma independente mudando seu comprimento, mas para obter uma

posição desejada se precisa da combinação dos comprimentos de todos os atuadores,

dessa forma se obtém a transformação dos 6 deslocamentos lineares em três

movimentos de translação e três movimentos de rotação. Devido à sua construção

mecânica o comprimento dos atuadores não pode ser mudado de forma independente

já que ocasionaria danos nos atuadores ou na estrutura mecânica.

3.3.1 Classificação da plataforma Stewart.

A plataforma Stewart poder ter variações na sua forma, estas variações

acontecem na placa móvel e na base da plataforma. A classificação da plataforma de

Stewart pode ser em feita como tipos m n− , onde m é o número de pontos

articulados que tem a placa superior e n o número de pontos articulados que tem a

base. BEN-HORIN et al. (1998) realiza a classificação da plataforma de Stewart em

três tipos de plataformas como se apresenta na Figura 3.10.

A plataforma Stewart poder ser divida em duas classes, essa classificação é feita

pela forma como são distribuídos os atuadores em cada uma das esquinas estas da

base assim:

• Classe simétrica: Nesta classe simétrica estão plataformas tipo 3-3, 3-6 e o

tipo 6-6.

• Classe não simétrica: Nesta classe estão plataformas tipo 4-4, 5-4, 5-5, 6-4,

6-5 e o tipo 6-6.

Figura 3.10 Tipos simétricos de plataformas de Stewart.

31

3.4 CÁLCULO DOS GRAUS DE LIBERDADE DA PLATAFORMA TEWART.

Dos tipos de plataforma apresentados se trabalhará com a plataforma tipo 6-6.

Este tipo de plataforma possui a base e a placa superior Top com 6 arestas. Para o

cálculo dos graus de liberdade da plataforma Stewart tipo 6-6 se escolhe as

articulações que serão usadas para construir a plataforma. Estas podem ser do tipo

UPS ou SPS e são apresentadas na Figura 3.11. Para determinar o número de graus

de liberdade que tem a plataforma Stewart deve ser feita uma analise estrutural.

Figura 3.11 Plataforma Stewart tipo 6-6.

O número de graus de liberdade está determinado pelo número mínimo de

atuadores necessários para seguir uma trajetória. Para robôs paralelos com m graus

de liberdade existem m cadeias cinemáticas suportando o efetuador. Utilizando o

critério de Grübler para determinar o numero de graus de liberdade numa plataforma

Stewart com articulações tipo UPS e em uma plataforma com articulações SPS.

1

( 1)j

i fi

m n j f Iλ=

= − − + −∑ (3.1)

Onde:

m = Número de graus de liberdade do sistema.

λ = Graus de liberdade do espaço onde o mecanismo está. λ =3, para o caso

planar e λ =6 para o caso espacial.

n = Número de elos fixos do mecanismo incluindo a base e a parte móvel (Top).

j = Número de juntas no mecanismo.

if = Graus do movimento relativo por junta.

32

fI = Número de graus de liberdade passivos do mecanismo.

3.4.1.1 Plataforma Stewart com articulações tipo SPS.

Para a plataforma os valores dos termos da equação são 6λ = , 14n = , 18j = ,

3if = (juntas esféricas) e 1if = (juntas prismáticas). Substituindo os dados na

equação (3.1) se obtém o número de graus de liberdade da plataforma com

articulações tipo SPS.

1

12 6

1 1

( 1)

6(14 18 1) 3 1

30 36 6 12

j

i fi

i i

m n j f I

m

m

λ=

= =

= − − + −

= − − + +

= − + + =

∑

∑ ∑ (3.2)

Aplicando o critério de Grübler uma plataforma Stewart com articulações tipo

SPS tem 12 graus de liberdade.

3.4.1.2 Plataforma Stewart com articulações tipo UPS.

Para a plataforma os valores dos termos da equação são 6λ = , 14n = , 18j = ,

3if = (juntas esféricas) , 1if = (juntas prismáticas) e 6fI = . Substituindo os dados

na equação (3.1) se obtém o número de graus de liberdade da plataforma com

articulações tipo UPS.

12 6

1 1

6(14 18 1) 3 1 6i i

m= =

= − − + + − =∑ ∑

30 36 6 6m = − + + −

6m =

(3.3)

Aplicando o critério de Grübler uma plataforma Stewart com articulações tipo

UPS tem 12 graus de liberdade. Nesta plataforma a diferença da plataforma SPS se á

restrito o giro sobre seu eixo dos atuadores por essa razão ele só consegue obter 6

graus de liberdade.

33

4 ANÁLISE DA CINEMATICA DO ROBÔ PARALELO.

Neste capitulo da dissertação se realizará a análise da cinemática da plataforma

robótica, abordando a cinemática direta e cinemática inversa da plataforma. Além do

estudo cinemático da plataforma é restrito o comprimento máximo e mínimo dos

atuadores se podem obter o espaço de trabalho da plataforma conhecendo dessa

forma qual são suas limitações.

4.1 CINEMÁTICA DIRETA DO ROBÔ PARALELO.

A cinemática direta do robô paralelo consiste em determinar a posição e

orientação do efetuador, baseado no valor de curso dos atuadores.

O estudo da cinemática direta em um robô paralelo tem uma maior

complexidade do que o estudo da cinemática direta em um robô serial principalmente

pela presença de cadeias cinemáticas fechadas. Alguns estudos de autores

apresentados nesta área como NANUA et al.(1998) o estudo é feito baseado em uma

formulação vetorial obtendo-se aproximadamente 30 equações, com um maior custo

computacional. Alguns outros autores como MERLET (2004), SONG & KNOW (2002),

ANGELES (2000) e HARIB & SRINIVASAN (2003) apresentam trabalhos e métodos

procurando uma eficiência no cálculo da cinemática direta.

Com base no trabalho do autor LIU et al. (1993) que apresenta uma metodologia

para simplificar a cinemática direta da plataforma Stewart de seis graus de liberdade

procura-se a solução do sistema simultâneo de equações não lineares.

4.1.1 Centróide da base da plataforma Stewart.

Na Figura 4.1 mostra-se a direção e sentido dos eixos coordenados da

plataforma Stewart, observa-se um sistema coordenado móvel ( )A e um sistema

coordenado fixo ( )B .

34

Figura 4.1 a) Sistema coordenado da plataforma Stewart. b) Plataforma Stewart simplificada

Para começar a análise da cinemática direta da plataforma Stewart se trabalhará

com um modelo geométrico da plataforma Stewart simplificado, como o apresentado

na Figura 4.1 (b) onde a placa móvel da plataforma é reduzida de seis vértices a três

vértices, simplificando os cálculos da análise.

A base da plataforma Stewart é formada pela união de formas geométricas mais

simples como são dois triângulos eqüiláteros e dois retângulos em função dos

comprimentos b, d. A placa móvel da plataforma (TOP) está representada pelo

triângulo eqüilátero de comprimento a como se representa na Figura 4.2.

aa

a A1

A2

A3

zx

y

Figura 4.2 Geometria da plataforma. Base e placa superior.

Conhecidas as dimensões da plataforma e as formas geométricas que a

compõem, se encontra o centróide da base em Y . Pela geometria simétrica que

possui a base o centróide em X está localizado na metade da plataforma. (BEER &

JOHNSTON, 1980).

a) b)

35

Tabela 4.1. Centros e áreas das componentes geométricas da plataforma.

Número de elementos

Componente Área Y

2

2

d

d2

3

2

8

3d b

6

32

1 d2

3

bd2

3 bd

2

3

4

3+

1

bd2

3 b

4

3

2

2

b

b2

3

2

2

3b bd

2

3

6

3+

Conhecidos os centros em Y de cada um dos componentes da base da

plataforma mostrados na Tabela 4.1 se acha o centro da base pela equação (4.1).

BY Áreas Y Áreas× = ×∑ ∑ (4.1)

Onde se acha o somatório das áreas dos componentes da plataforma por

2 2 2 22 3 2 3 3 4 3 33

8 8 4

b d b bd dÁreas bd

+ += + + =∑ (4.2)

O somatório da multiplicação dos centróides de cada componente com a sua

área é dado por

36

2 22 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3

8 6 2 4 4 2 8 6 2

b b bd b d b d d bY Áreas

× = + + + + +

∑ (4.3)

Obtendo o resultado de

3 2 2 3 3 2 2 36 9 2 6 9

4 8 8 8 8

b d b b d d b d b b d dY Áreas

+ + +× = + + + =∑ (4.4)

Substituindo as equações (4.2) e (4.4) na equação geral (4.1) se obtém o

centróide BY da base da plataforma Stewart (equação (4.5)) em função das variáveis b

e d que definem a geometria apresentada na Figura 4.1.

3 2 2 3

3 2 2 3

2 2 2 2

2 6 9

2 9 68

3 4 3 3 2 3 8 3 2 3

4

B

b d b b d dY Áreas b b d d b d

YÁreas b bd d b bd d

+ + +× + + +

= = =+ + + +

∑∑

(4.5)

4.1.2 Coordenadas dos vértices da base da plataforma.

Os vértices da base estão definidos pelas siglas 1 6,...,B B que estão em função

dos comprimentos b e d como se observa na Figura 4.3.

Figura 4.3 Vértices da base.

As coordenadas ( ), ,X Y Z dos vértices 1 6,...,B B da base da plataforma estão

determinadas pelas equações da Tabela 4.2

37

Tabela 4.2 Coordenadas dos vértices da base da plataforma.

X Y Z

12

x

dB = 1y BB Y= − 1 0zB =

22

x

b dB

+=

32

2y B

bB Y= − 2 0zB =

32

x

bB =

( )33

2y B

b dB Y

+= − 3 0zB =

42

x

bB = − 4 3y yB B= 4 0zB =

( )5

2x

b dB

− += 5 2y yB B= 5 0zB =

62

x

dB = − 6 1y yB B= 6 0zB =

4.1.3 Análise geométrica da plataforma.

Para achar as coordenadas ( ),X Y dos vértices iA se procuram pontos de

referência ( ),i iXp Yp os quais são uma projeção perpendicular ao ponto iA que

estão em função das distâncias dos atuadores 2iL e 2 1iL − como se mostra na

Figura 4.4.

ip

2 1iL −

2iL

ih2iB

2 1iB −

iA

,i iXp Yp

Figura 4.4 Geometria dos pontos ,i iXp Yp

Para encontrar a distância ip , (em este exemplo 1p ) se aplica a lei do cosseno

obtendo a equação (4.6)

38

2 2 2

2 1 2

2 1

cos2

i i

i

b L L

bLα −

−

+ −= (4.6)

Substituindo o valor de 2 1

cos i

i

p

Lα

−

= na equação (4.6) se obtém como resultado

a equação (4.7) que é a equação geral para encontrar as distâncias de 1p a 3

p .

2 2 2

2 1 2

2

i ii

b L Lp

b−+ −

= (4.7)

Conhecido o comprimento de ip se acham as coordenadas de ( ),i iXp Yp

representada como D para 1, 2,3i = . Na Figura 4.5 se apresentam as coordenadas

para 1i = . Essa figura está baseada na Tabela 4.1 onde se observam as geometrias

que compõem a base da plataforma.

2

b

Figura 4.5 Geometria para calcular as coordenadas ( )1 1,Xp Yp

Por semelhança de triângulos da Figura 4.5 se obtém:

1 1

31 2 1 2

1 1

bB B B A b

p YpB D B C= ⇒ =

(4.8)

39

Colocando em evidência 1Yp e subtraindo o valor de BY para manter a

referência com o centro geométrico localizado em ( )0,0,0 se obtém 1Yp

11

3

2B

pYp Y= − (4.9)

Igual que 1Yp o valor de 1Xp se acha aplicando semelhança de triângulos (4.10)

1 1

1 2 2 2

1

bB B AB b

p XpB D CD= ⇒ =

(4.10)

Obtendo o valor de 1Xp

11

2 2

pdXp = + (4.11)

Da mesma forma, por semelhança de triângulos acham-se as coordenadas

2 2 3 3, , ,Xp Yp Xp Yp obtendo como resultado as equações (4.12) e (4.13).

( )2 2 2

3

2 2B

bXp p Yp d b Y= − = + − (4.12)

( )33 3 3

3

2 2B

p d bXp Yp b p Y

− −= = − − (4.13)

Obtidas as coordenadas ( )1 1,Xp Yp , ( )2 2,Xp Yp e 3 3( , )Xp Yp que são as

projeções das coordenadas da parte superior ( ), ,i i iXA YA ZA , procura-se que as

coordenadas da parte superior da plataforma fiquem em função das coordenadas da

base da plataforma que são conhecidas pelas equações anteriores.

40

Figura 4.6 Relação da base da plataforma com a parte superior da plataforma.

Da Figura 4.6 se observa que a relação entre o ponto ( )1 1,Xp Yp e o ponto

( )1 1,XA YA é feita pelo triângulo reto que se forma entre os dois pontos equação

(4.14), assim

( ) 1 1 1 1

1 1 1 1

1tan 30

3

o YA Yp YA Yp

Xp XA Xp XA

− −= ⇒ =

− − (4.14)

Colocando em evidência o valor de 1XA se obtém a equação (4.15) que mostra

1XA em função de 1YA , que será o valor a procurar.

( )1 1 1 13XA Xp YA Yp= − − (4.15)

Da Figura 4.6 se pode observar que para o eixo X o valor de 2XA é igual ao

valor de 2Xp (equação (4.12)) e substituindo o valor de 2p se obtém a equação

(4.16)

2 2 2

3 42 2 2

2 2 2

b L Lb bXp p Xp

b

+ −= − ⇒ = −

2 2

4 32 2

2

L LXA Xp

b

−= =

(4.16)

41

Da mesma forma como se foi achado 1XA se obtém o valor de 3XA , assim

( ) 3 3 3 3

3 3 3 3

1tan 30

3

o YA Yp YA Yp

XA Xp XA Xp

− −= ⇒ =

− − (4.17)

Pondo em evidencia o valor de 3XA obtém-se

( )3 3 3 33XA Xp YA Yp= + − (4.18)

Finalmente devem-se achar os valores das alturas que são dadas pelos

comprimentos 1 2 3, ,ZA ZA ZA , a cada um dos vértices 1 2 3, ,A A A .

Figura 4.7 Geometria para calcular os valores de iZA

Na Figura 4.7 pode-se observar a geometria para calcular os valores de

1 2 3, ,ZA ZA ZA baseados no comprimento 1h e conhecendo os valores das

coordenadas de ( )1 1,XA YA e ( )1 1,Xp Yp acha-se o valor de 1ZA a equação (4.19)

apresenta a forma geral de calcular os valores de Z:

( ) ( )2 2 2

i i i i i ih XA Xp YA Yp ZA= − + − + (4.19)

Então para o valor de iZA para 1,2,3i = se obtém as seguintes equações.

42

( ) ( )2 22

i i i i i iZA h XA Xp YA Yp= − − − − (4.20)

Substituindo na equação (4.20) o valor de iXA para 1,2,3i = se obtém como

resultado a equação (4.21).

( )22 4i i i iZA h YA Yp= − − (4.21)

Conhecidas as coordenadas dos pontos 1 2 3, ,A A A que definem o triângulo

eqüilátero superior da plataforma Stewart, fecha-se a cadeia garantindo que no

triângulo eqüilátero superior o comprimento a (Figura 4.6) seja mantido constante pois

é um valor fixo do projeto da plataforma, para atender este requerimento se aplicam as

equações (4.22), (4.23) e (4.24):

( ) ( ) ( )2 2 22

1 2 1 2 1 2a XA XA YA YA ZA ZA= − + − + − (4.22)

( ) ( ) ( )2 2 22

2 3 2 3 2 3a XA XA YA YA ZA ZA= − + − + − (4.23)

( ) ( ) ( )2 2 22

3 1 3 1 3 1a XA XA YA YA ZA ZA= − + − + − (4.24)

Desenvolvendo as equações (4.22), (4.23) e (4.24) se obtém as equações

(4.25), (4.26) e (4.27) assim:

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 2

2 0

a XA XA XA XA YA YAYA YA

ZA ZA ZA ZA

− − + − − + −

− + = (4.25)

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

2 2 3 3 2 2 3 3

2 2

2 2 3 3

2 2

2 0

a XA XA XA XA YA YA YA YA

ZA ZA ZA ZA

− − + − − + −

− + = (4.26)

( ) ( )( )

2 2 2 2 2

3 3 1 1 3 3 1 1

2 2

3 3 1 3

2 2

2 0

a XA XA XA XA YA YA YA YA

ZA ZA ZA ZA

− − + − − + −

− + = (4.27)

43

Substituindo as equações (4.15), (4.16), (4.18), (4.21) nas equações (4.25),

(4.26) e (4.27) se obtém as três equações gerais em função de 1YA , 2YA e 3YA como

se observa nas equações (4.28), (4.29) e (4.30).

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2 2

1 2 1 1 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1

2 22 2

1 1 1 2 2 2

2 2 3 2

2 2 3

2 4 0

a YAYA YA Yp Xp Xp YA Yp Xp Xp

Yp Yp Xp Xp h h Yp Xp Xp

h YA Yp h YA Yp

+ − + − − − − +

+ + − + + − +

− − − − =

(4.28)

( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 2 2

1 3 3 2 3 3 2 2 2 3

2 2 2 2

3 2 2 3 2 3 3 3 2

2 22 2

2 2 2 3 3 3

2 2 3 2

2 2 3

2 4 0

a YAYA YA Xp Xp Yp YA Yp Xp Xp

Yp Yp Xp Xp h h Yp Xp Xp

h YA Yp h YA Yp

+ − − − − − − +

+ + − + + − +

− − − − =

(4.29)

( )( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

1 3 1 1 3 3 1

2 2

3 1 3 1 3 1 3

2 2

1 3 1 3 1 3 1 3 3 1

2 22 2 2 2

1 3 1 1 1 3 3 3

4 2 3 3

2 3 3

2 6 2 3

2 4 0

a YAYA YA Xp Xp Yp Yp

YA Xp Xp Yp Yp Xp Xp

Xp Xp Yp Yp Yp Yp Yp Yp Xp Xp

h h h YA Yp h YA Yp

− + − + − +

− + − − − +

+ + − + + − −

+ + − − − − =

(4.30)

4.1.4 Solução do sistema não linear de equações simultâneas.

Na analise cinemática foram encontradas três equações não lineares (4.28),

(4.29) e (4.30) contendo as variáveis 1 2 3, ,YA YA YA . Para a resolução deste sistema de

equações não lineares se tem os seguintes métodos (RICE (1983), CONTE &

BOOR.(1980)):

• Método da bissecção ou localização das raízes: É o algoritmo mais simples

de procura de raízes. Precisa-se de que a função f seja uma função contínua

e conhecer 2 aproximações iniciais de a e b tal que ( )f a e ( )f b tenham

sinal diferente.

44

• Método de Newton-Raphson: Assume que a função f seja continuamente

derivável. Este método pode não convergir se começa com um valor muito

afastado da raiz, mas se converge, é muito mais rápido que o método de

bissecção. O método é útil porque se generaliza para dimensões maiores.

• Método da secante: este método se obtém substituindo a derivada do método

de Newton por um valor incremental. Embora não se necessite do cálculo da

derivada, a ordem de convergência é baixa.

• Método da falsa posição (Regula falsi): é um método de bissecção, mas não

corta o intervalo em duas partes iguais, mas divide baseado na raiz da reta

secante. Este método combina o melhor dos métodos anteriores.

• Método do ponto fixo: O método é baseado em fazer convergir à raiz em um

ponto fixo e iterando ate que consiga o objetivo. O método é simples de

computar, mas resulta complexo encontrar uma função com um ponto fixo na

raiz.

Para resolver o sistema de equações não lineares 3x3 foi utilizado o método de

Newton-Rapshon já esse oferece uma convergência mais rápida e pode ser utilizado

em equações de maior grau. A formulação do método de Newton-Rhapson é

apresentada na equação (4.31) onde se formulam as três equações não lineares.

( )

( )

( )

, ,

, ,

, ,

U x y z

V x y z

K x y z

(4.31)

Onde as variáveis , ,x y z representam as incógnitas 1 2 3, ,YA YA YA e , ,U V K

representam as equações três equações.

Tendo como solução inicial aproximada 0 0 0, ,x y z , se realiza a expansão em

séries de Taylor ao redor dos pontos iniciais (equação (4.32)).

45

1 1 1

1 1 1

1 1 1

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0

( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0

o o oo o o o o o o o o



U U UU x y z U x y z x x y y z z

x y z

V V VV x y z V x y z x x y y z z

x y z

K K KK x y z K x y z x x y y z z

x y z

∂ ∂ ∂≈ + − + − + − =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂≈ + − + − + − =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂≈ + − + − + − =

∂ ∂ ∂

(4.32)

Desenvolvendo as equações (4.32) e pondo em evidência as incógnitas das

variáveis conhecidas se obtém as equações (4.33)

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

( , , )

( , , )

( , , )

o o o o o oo o o

o o o o o oo o o

o o o o o oo o o

U U U U U Ux y z x y z U x y z

x y z x y z

V V V V V Vx y z x y z V x y z

x y z x y z

K K K K K Kx y z x y z K x y z

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.33)

Ordenando a equação (4.33) de forma matricial (equação (4.34)) se obtém uma

matriz de 4 colunas e 3 filas, onde a coluna 4 são os valores conhecidos ou constantes

e os valores da coluna 1 a 3 são as incógnitas.

( )

( )

( )

, ,

, ,

, ,

o o o o o oo o o o o o



U U U U U Ux y z U x y z

x y z x y z

V V V V V Vx y z V x y z

x y z x y z

K K K K K Kx y z K x y z

x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(4.34)

O jacobiano (equação (4.35)) se obtém da matriz formada pelas equações em

(4.34), onde o Jacobiano são as três primeiras colunas da matriz.

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

z

K

y

K

x

Kz

V

y

V

x

Vz

U

y

U

x

U

J

ooo

ooo

ooo

(4.35)

46

O resultado das variáveis 1 1 1, ,x y z se obtém aplicando a regra de Cramer na

equação (4.34) de onde resultam as equações (4.36), (4.37) e (4.38).

( )

( )

( )1

, ,

, ,

, ,

o o o o oo o o o o o



U U U U Ux y z U x y z

x y z y z

V V V V Vx y z V x y z

x y z y z

K K K K Kx y z K x y z

x y z y zx

J

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

(4.36)

( )

( )

( )1

, ,

, ,

, ,





y x y z z


y x y z z


y x y z zy

J

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

(4.37)

( )

( )

( )1

, ,

, ,

, ,





z y x y z


z y x y z


z y x y zz

J

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

(4.38)

O método de Newton por ser um método numérico, é um processo iterativo que

deve ter um parâmetro de parada. Esse parâmetro de parada é o valor de erro que

pode ser calculado com a equação (4.39). Este processo de iterações continua até

que a soma da diferença entre os valores de entrada ( )0 0 0, ,x y z e os valores de

saída ( )1 1 1, ,x y z seja menor do que o valor do erro. A seleção do valor do erro se faz

por escolha, considerando um valor ótimo que não gere um alto custo computacional

para o processo.

47

1 0 1 0 1 0e x x y y z z= − + − + − (4.39)

Obtidos os valores ( )1 1 1, ,x y z que representam as variáveis 1 2 3, ,YA YA YA e são

a solução ao sistema de equações não linear apresentado nas equações (4.28), (4.29)

e (4.30), substituindo os valores de 1 2 3, ,YA YA YA nas equações (4.15), (4.18), (4.21)

se obtêm os valores para as coordenadas dos três vértices da parte superior da

plataforma ( ), ,i i iXA YA ZA . Com essas coordenadas do TOP se pode determinar a

posição do centróide da placa. (equação (4.40)).

( )

( )

( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

3

1

3

1

3

x

y

z

P XA XA XA

P YA YA YA

P ZA ZA ZA

= + +

= + +

= + +

(4.40)

4.1.5 Calculo da orientação final da placa móvel.

As coordenadas da posição final da placa móvel são representadas pelas

variáveis 1 2 3, ,A A A , mas a orientação da placa móvel em relação ao sistema

coordenado da base ( )BAR é dada pelos ângulos de rotação em , ,x y z . Supondo

que a rotação da placa se fez na seguinte seqüência:

( ) ( ) ( ), , ,BA A A AR R y R x R zφ ψ θ= , procura-se achar os termos desconhecidos da

matriz BAR (equação (4.41)).

1 1 1

2 2 2

3 3 3

BA

r s t

R r s t

r s t

=

(4.41)

As matrizes de rotação em , ,x y z da placa móvel são apresentadas na equação

(4.42).

48

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 0

, 0 cos sin

0 sin cos

A A A

A A

R x ψ ψ ψ

ψ ψ

= −

( )( ) ( )

( ) ( )

cos 0 sin

, 0 1 0

sin 0 cos

A A

A

A A

R y

φ φ

φ

φ φ

= −

( )( ) ( )( ) ( )

cos sin 0

, sin cos 0

0 0 1

A A

A A AR z

θ θ

θ θ θ

−

=

(4.42)

Para achar os valores dos ângulos se desenvolve a equação da seqüência de

rotação obtendo a equação (4.43).

( ) ( ) ( )1 , , ,BA A A AR R z R y R xθ φ ψ− = (4.43)

Substituindo a equação (4.41) e (4.42) na equação (4.43) e realizando a

multiplicação das matrizes se obtém a equação (4.44):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin cos

cos sin sin sin cos

0 cos sin

sin cos sin cos cos

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A A

A A

A A A A A

r s r s t

r s r s t

r s r s t

θ θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ θ

φ φ ψ φ ψ

ψ ψ

φ φ ψ φ ψ

− +

− + = − +

− −

(4.44)

Na equação (4.44) tem a igualdade que permite achar os valores dos ângulos

, ,A A Aψ φ θ , assim obtendo as equações (4.45), (4.46) e (4.47).

( ) ( )2 2cos sin 0A Ar sθ θ− = (4.45)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )1 1

1

sin cos sin sin

sin cos

A A A A

A A

r s

t

θ θ φ ψ

φ ψ

+ =

= (4.46)

49

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

3 3

sin cos sin sin

sin cos cos sin

A A A A

A A A A

r s

r s

θ θ φ ψ

θ θ φ ψ

+ =

+ = (4.47)

Colocando em evidência o valor do ângulo Aθ na equação (4.45), tem-se:

2

2

tanA

ra

sθ

=

(4.48)

Colocando em evidência o valor de ( )sin Aφ na equação (4.46), tem-se:

( ) ( )1 1

1

sin costan

A AA

r sa

t

θ θψ

+ =

(4.49)

Colocando em evidência o valor de ( )sin Aψ na equação (4.47), tem-se:

( ) ( )( ) ( )

1 1

3 3

sin costan

sin cos

A AA

A A

r sa

r s

θ θφ

θ θ

+= +

(4.50)

Para obter os valores da matriz BAR (equação (4.41)) se tem um sistema de 9

equações, dadas pelas coordenadas das posições da placa móvel , ,i i iXA YA ZA . As

coordenadas do vértice iA estão dadas em função de ( ), ,i i ir s t assim:

1 1 1

1 2 2

1 3 3

3

2 6

x

y

z

XA P r sa a

YA P r s

ZA P r s

= + −

2 1

2 2

2 3

3

3

x

y

z

XA P sa

YA P s

ZA P s

= −

(4.51)

50

3 1 1

3 2 2

3 3 3

3

2 6

x

y

z

XA P r sa a

YA P r s

ZA P r s

= − −

(4.52)

Para achar os valores das incógnitas se aplica métodos de solução de equações

lineares simultâneas como o método de eliminação.

1 1 1

3 1 1

3

2 6

3

2 6

x

x

a aXA P r s

a aXA P r s

= + −

= − −

(4.53)

Da primeira e sétima equação de

(4.51) (equação (4.53)) se obtém:

( )3 1

1

3 2

3

xP XA XAs

a

− −= (4.54)

Onde substituindo em 1s o valor de xP se obtém o resultado final para 1s :

2 1 31

2

3

XA XA XAs

a

− −= (4.55)

De forma similar se faz com a segunda e oitava e com a terceira e novena

equação de

(4.51). Substituindo os valores de yP e zP se obtém os resultado finais para 2s e

3s (equações (4.54) e (4.55)).

( )1 3

2

3 2

3

yP YA YAs

a

− −= (4.56)

( )1 3

3

3 2

3

zP ZA ZAs

a

− −= (4.57)

51

Substituindo os valores de 1 2 3,s s e s na primeira, segunda e terceira equação

(4.51) se obtém os valores de 1 2 3,r r e r . (equação (4.58))

1 31

1 32

1 33

XA XAr

aYA YA

ra

ZA ZAr

a

−=

−=

−=

(4.58)

Para achar o valor da ultima incógnita 1t se aproveita da ortogonalidade dos

eixos , ,x y z com o que se pode achar o valor de a (equação (4.59)).

1 2 3 3 2

2 3 1 1 3

3 1 2 2 1

t r s r s

t r s t r s r s

t r s r s

− = × = = − −

(4.59)

Substituindo os valores das incógnitas 1 2 3 1 2 3 1, , , , , ,r r r s s s t nas equações (4.48),

(4.49) e (4.50) se obtém os valores dos ângulos da rotação em , ,x y z mostrado nas

equações (4.60), (4.61) e (4.62)

( )1 3

2 1 3

3tan

2A

YA YARz a

YA YA YAθ

−= = − −

(4.60)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 3 2 2 1 3 3 2 1

1 3 2 1 3

2 2ZA XA XA 2ZA XA XAtan

a 3 YA YA sin a 2YA YA YA cosA

A A

ZA XA XARx aψ

θ θ

− + − + −= = − + − −

(4.61)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 3 1 3

1 3 2 1 3

2 sin 3 costan

3 XA A cos 2XA XA XA sin

A AA

A A

ZA ZA ZA ZA ZARy a

X

θ θφ

θ θ

− − − −= = − − − −

(4.62)

52

As coordenadas achadas da placa móvel ( ), ,i i iXA YA ZA para 1,2,3i = foram

baseadas no modelo geométrico simplificado apresentado na Figura 4.1.

4.1.6 Resultados da cinemática direta.

Na aplicação do procedimento para calcular a cinemática direta da plataforma

Stewart tipo 6-3, se obtém resultados aplicando o método para resolver as equações

simultâneas, este resultado depende do valor onde seja inicializado numericamente o

método. DIETMAIER (1998) apresenta no seu trabalho 40 diferentes posições que

podem ser obtidas matematicamente por meio da aplicação de diferentes métodos,

mas algumas dessas posições não podem ser representadas por uma plataforma

construída e funcionando perfeitamente por suas limitações físicas.

No primeiro estudo de caso na simulação da cinemática direta foram escolhidos

os seguintes valores para os comprimentos apresentados na Figura 4.2: 1b m= ,

0,15d m= , 0,65a m= e 0,7iL m= para 1,...,6.i = Estes valores são iguais ao

desenho do projeto da plataforma ver ANEXO 9.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Gráfico da plataforma

Deslocamento X (m)

Des

loca

men

to Y

(m

)

-0.6

-0.4-0.2

00.2

0.40.6

-0.5

0

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Deslocamento X (m)


Deslocamento Y (m)

Des

loca

men

to Z

(m

) (Px,Py,Pz)

Figura 4.8. Vista superior e isométrica do resultado da cinemática direta da plataforma Stewart.

Na Figura 4.8 se apresenta o único resultado achado neste caso por o

procedimento matemático como resposta da cinemática direta da plataforma Stewart,

este resultado foi achado iniciando as variáveis nos seguintes valores:

1 2 30,1, 0,1, 0,1YT YT YT= − = − = − . Nesta figura se encontra a vista superior da

plataforma onde se pode observar que as coordenadas iXA e iYA dos vértices da

placa superior estão localizados sobre os bordes da base da plataforma. Alem de isso

53

na vista isométrica da plataforma se observa que a placa superior não tem inclinação

com referencia ao plano X Y− da base da plataforma. Estes resultados de rotação e

as coordenadas do ponto P são resumidos na Tabela 4.3.

Tabela 4.3 Resultados do primeiro estudo de caso na simulação da cinemática direta.

Rotação [graus] Centróide da placa superior. P[ ]m

0oXR = X

P 0=

0oYR = Y

P 0=

0oZR = Pz 0,489=

No segundo estudo do caso os valores escolhidos foram: 1b m= , 0,15d m= ,

0,5a m= e 0,7iL m= para 1,...,6.i = a diferença do primeiro estudo, o valor de a

foi reduzido.

Na Figura 4.9 se apresenta o primeiro resultado obtido como resposta da

cinemática direta, na vista superior se observa que as coordenadas iXA e iYA dos

vértices da placa superior estão localizados ao interior dos bordes da plataforma

sendo esta placa menor do que no caso de estudo anterior em na vista isométrica se

observa que a placa superior não tem inclinação. Este resultado foi achado iniciando

as variáveis nos seguintes valores: 1 2 30,4, 0,4 0,4YT YT e YT= = = .

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


Deslocamento X (m)

Des

loca

men

to Y

(m

)

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Deslocamento X (m)


Deslocamento Y (m)

Des

loca

men

to Z

(m

)

Px,Py,Pz

Figura 4.9.Vista superior da plataforma com 0,5a m= .

Na Figura 4.10 se apresenta o segundo resultado obtido, no gráfico da vista

superior se observa que o ponto P só conserva a coordenada em iXA igual à

coordenada do centróide geométrico da base e na vista isométrica se observa que a

a) b)

54

placa tem uma inclinação com referencia ao plano X Y− . As variáveis para este

resultado foram iniciadas em: 1 2 30,1, 0,1 0,1YT YT e YT= − = − = − .

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


Deslocamento X (m)

Des

loca

men

to Y

(m

)

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Deslocamento X (m)


Deslocamento Y (m)D

eslo

cam

ento

Z (

m)

Px,Py,Pz

Figura 4.10. a) Vista superior da plataforma. b) Vista isométrica da plataforma.

Na Figura 4.11 se apresenta a terceira solução achada na cinemática direta da

plataforma Stewart, na vista superior se observa que as coordenadas do ponto P

mudam em ,X Y e Z em relação ao centróide da placa base, na vista isométrica se

observa a inclinação da placa superior ao plano X Y− , as variáveis para este

resultado foram iniciadas em: 1 2 30,1, 0,1 0,4YT YT e YT= = = . Estes três resultados

achados e as coordenadas de posição do ponto P são apresentados em resumo na

Tabela 4.4.

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6


Deslocamento X (m)

Des

loca

men

to Y

(m

)

-0.6-0.4

-0.20

0.20.4

0.6

-0.5

0

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Deslocamento X (m)


Deslocamento Y (m)

Des

loca

men

to Z

(m

)

Px,Py,Pz

Figura 4.11. a) Vista superior da plataforma. b) Vista isométrica da plataforma.

Tabela 4.4 Resultados da simulação da cinemática direta.

Resultado Rotação [graus] Centróide da placa superior. P[ ]m

Primeiro resultado 0oXR = X

P 0=

a) b)

a) b)

55

0oYR = Y

P 0=

0oZR = Pz 0,482=

Segundo resultado -85,7oXR = X

P 0=

0oYR = Y

P -0,133=

0oZR = Pz 0,3382=

Terceiro resultado 122,3oXR = X

P 0,1158=

146,2oYR = Y

P 0,0668=

-27,5oZR = Pz 0,337=

4.2 CINEMÁTICA INVERSA DO ROBÔ PARALELO

A cinemática inversa do robô paralelo consiste em determinar quais são os

valores de comprimento nos atuadores que satisfazem uma posição e orientação

conhecida do efetuador.

Em comparação com robôs seriais onde a cinemática inversa apresenta maior

complexidade que a cinemática direta, nos robôs paralelos a cinemática inversa é de

menor complexidade do que a cinemática direta. A cinemática inversa é utilizada na

geração de trajetórias. Alguns autores como em MERLET (2004), LIU et al. (1993),

PERNG & HSIAO (1999), SALCUDEAN et al. (1994) têm apresentado diferentes

aplicações na geração de trajetórias ou em aplicações de controle da plataforma.

Para achar a cinemática inversa da placa móvel primeiro devem-se conhecer as

coordenadas em , ,X Y Z dos pontos 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A (Figura 4.12).

x

y

z

dp dp

dp

30º

a a

a

A1

A2

A3A4

A5

A6

A2

A3 A1

Figura 4.12 Geometria simplificada e real da placa superior da plataforma.

56

Das coordenadas do modelo simplificado que são os pontos 1 2 3, ,A A A do

triângulo de linha ponteada se obtém as coordenadas dos seis pontos do modelo real

assim:

De ( )1 1 1, ,xA yA zA se obtém os pontos 1 2,A A , equações (4.63) e (4.64).

( ) ( )1 1 1 1 1 130 cos 302 2

p pd dxA xA sen yA yA zA zA= − = − = (4.63)

( ) ( )2 1 2 1 2 130 cos 302 2

p pd dxA xA sen yA yA zA zA= + = + = (4.64)


3 2 3 2 3 22

pdxA xA yA yA zA zA= + = = (4.65)

4 2 4 2 4 22

pdxA xA yA yA zA zA= − = = (4.66)


( ) ( )5 3 5 3 5 330 cos 302 2

p pd dxA xA sen yA yA zA zA= − = + = (4.67)

( ) ( )6 3 6 3 6 3s 30 cos 302 2

p pd dxA xA en yA yA zA zA= + = − = (4.68)

Essas coordenadas são achadas quando o sistema se encontra na posição

inicial de repouso. Para conhecer a posição das coordenadas de todos os vértices da

placa superior da plataforma depois de fazer um movimento se aplica a equação geral

(4.69), onde com a matriz de transformação é composta pelas rotações e as

translações nos eixos com referência à base BAT equação (4.70) e as coordenadas

57

iniciais ( ), ,i i ixA yA zA se acha o valor das coordenadas após da movimentação para

tudo 1,....,6i = .

( )

( )

1 1

i i

i iB BaseA Top

i i

XA xA

YA yAT

ZA zA

=

(4.69)

Onde o valor da matriz de transformação é igual a:

c( )c( )+s( )s( )s( ) -c( )s( )+s( )s( )c( ) s( )c( )

cos( )s( ) c( )c( ) -s( )

-s( )c( )+c( )s( )s( ) s( )s( )+c( )s( )c( ) c( )c( )

0 0 0 1

A A A A A A A A A A A A

A A A A ABA


Px

PyT

Pz

φ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ ψ

ψ θ ψ θ ψ

φ θ φ ψ θ φ θ φ ψ θ φ ψ

=

(4.70)

Onde: ,s seno c cosseno= = .

Obtidas as coordenadas dos pontos da placa móvel 1 6,...A A e conhecidos os

pontos da base da plataforma 1 6,...B B se pode determinar o valor de comprimento

necessário nos atuadores para obter a posição desejada. O comprimento dos

atuadores pode ser determinado pela equação geral (4.71) para 1,2,3, 4,5,6i = .

2 2 2( ) ( )i i i i ii XA B x YA BL y ZA− + − += (4.71)

58

5 ANÁLISE DINÂMICA DO ROBÔ PARALELO

O estudo dinâmico de robôs paralelos apresenta uma maior complexidade em

comparação com a análise dinâmica de um robô serial, principalmente pela presença

de cadeias cinemáticas fechadas. A importância do modelo dinâmico de um robô

paralelo é a informação de forças e torques que o modelo entrega ao projetista do

manipulador robótico no momento que se executa uma trajetória sem precisar de um

modelo físico.

Nos manipuladores seriais o efetuador está situado no final da cadeia

cinemática aberta dos elos e atuadores. Nos manipuladores paralelos o efetuador se

encontra na base de ao menos dois elos, braços ou atuadores os quais formam uma

cadeia cinemática fechada com os elos e as juntas (atuadas e passivas).

Na análise dinâmica de um sistema robótico se tem dois tipos de estudos

dinâmicos:

Dinâmica direta: os dados de forças e torques nos atuadores são entrada para

o sistema e calcula-se a trajetória do efetuador.

Dinâmica inversa: as entradas do sistema são a trajetória e a aceleração do

efetuador e os valores de torque e da força nos atuadores são calculados utilizando a

formulação geral (MERLET (1997)):

( ) ( )( ), ,M X W C W X Gθ τ+ + = (5.1)

Onde M é a matriz de inércia, G é o termo de gravidade, C é termo de força

centrífuga e Coriolis. Este estudo dinâmico inverso é o mais apropriado para conhecer

as forças que atuam no manipulador para projetar o sistema.

As abordagens clássicas para o cálculo da dinâmica inversa do sistema são:

Método de Newton-Euler, Método de Lagrange e o método do Principio do Trabalho

Virtual. A seguir é detalhada cada uma das abordagens.

Método de Newton-Euler: Nesse método é feito um balanço de forças e

momentos em todos os corpos, calculando as forças de reação e torques entre todas

as partes móveis do sistema, obtendo os dados necessários para o projeto mecânico.

Por conta do elevado número de equações do modelo, nesse método se tem em conta

as restrições cinemáticas para conseguir simplificar alguns termos das equações, mas

pelo número de equações no modelo se precisa de um maior tempo computacional.

59

Este método tem aplicação na dinâmica inversa e direta. (DASGUPTA &

MRUTHYUNJAYA (1998a e 1998b)).

Método de Lagrange: Nesse método eliminam-se as forças de reação que

não são importantes para um algoritmo de controle, resultando mais eficiente, mas

pelas limitações impostas nas cadeias cinemáticas fechadas, sendo complexo achar

as equações usando coordenadas independentes generalizadas. Para resolver este

problema são introduzidas coordenadas extras em adição aos multiplicadores de

Lagrange. Nessa formulação são precisos muitos cálculos simbólicos para encontrar

suas derivadas parciais (Lagrangiano). Alguns trabalhos baseados no método de

Lagrange são apresentados por LEE, J. et al. (1989) e TSAI (1999).

Método do Principio do Trabalho virtual: O método do trabalho virtual é o que

oferece melhor relação custo-benefício sem ter um alto custo computacional. Este

método obtém as equações dinâmicas baseado no principio de D’Alembert’s para

formular as equações de equilíbrio, o que significa que o trabalho feito por aplicação

de forças externas por meio de deslocamentos virtuais compatíveis com o sistema é

zero. As restrições de forças e momentos do sistema robótico são eliminadas para

esta formulação. O método de trabalho virtual é um enfoque eficiente para obter as

equações do modelo da dinâmica inversa da plataforma. Mas a aplicação deste

método na dinâmica direta não é simples pela transformação da velocidade entre o

conjunto do espaço e o espaço de trabalho. Algumas aplicações deste método são

apresentadas em WANG & GOSSELIN (1998) e ZHAO & GAO (2008).

5.1 APLICAÇÃO DO MÉTODO DE NEWTON-EULER

Baseado nos trabalhos de DASGUPTA & MRUTHYUNJAYA (1998a e 1998b),

TSAI (1999), LEE, S. H. et al.(2003), onde se apresenta a análise da dinâmica inversa

do manipulador paralelo pelo método de Newton-Euler. A Figura 5.1 apresenta a

plataforma Stewart onde se observa o sistema de referência móvel ( )A posicionado

no centróide da placa móvel ( )P , o sistema de referência fixa ( )B posicionado no

centróide da placa fixa ( )O e o sistema de referência da base ( )iB .

60

Figura 5.1. Diagrama do manipulador paralelo. Plataforma Stewart

5.1.1 Análise de posição

A placa móvel da plataforma do sistema coordenado móvel ( )A , apresenta

rotações nos eixos , ,X Y Z em relação ao sistema coordenado fixo ( )B , essas estão

determinadas pelos ângulos de Euler , ,A A Aψ φ θ , onde cada rotação é representada

pela matriz (5.1), (5.2), (5.3) respectivamente.

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 0

, 0 cos sin

0 sin cos

A A A

A A

R x ψ ψ ψ

ψ ψ

= −

(5.2)

( )( ) ( )

( ) ( )

cos 0 sin

, 0 1 0

sin 0 cos

A A

A

A A

R y

φ φ

φ

φ φ

= −

(5.3)

( )( ) ( )( ) ( )

cos sin 0

, sin cos 0

0 0 1

A A

A A AR z

θ θ

θ θ θ

−

=

(5.4)

61

A matriz de rotação da placa móvel em relação ao sistema coordenado fixo

( )B é achado pela multiplicação das matrizes de rotação na ordem mostrada na

equação (5.5).

( ) ( ) ( ), , ,BA A y A AR R x R y R zψ φ θ= (5.5)

Obtendo o seguinte resultado:

c( )c( ) c( )s( ) s( )

s( )s( )c( ) c( )s( ) s( )s( )s( ) c( )c( ) s( )c( )

c( )s( )c( ) s( )s( ) c( )s( ) ( ) s( ) ( ) c( ) ( )

A A A A A

BA A A A A A A A A A A A A


R

s c c

φ θ φ θ φ

ψ φ θ ψ θ ψ φ θ ψ θ ψ φ

ψ φ θ ψ θ ψ φ θ ψ θ ψ φ

− = + − + − − + +

(5.6)

Onde: ,s seno c cosseno= = .

A matriz de rotação do atuador i , em relação ao sistema coordenado fixo

situado na base do atuador, pode ser calculada de duas formas:

1. ( , ) ( ', )Bi i B iR R z R xθ ψ= .

2. ( , ) ( ', )Bi i B iR R z R yθ φ= .

By

iA

iB

iθ

iψ

iZ

iY

iXBx'Bx

'By

'BzBz

Figura 5.2 Ângulos de Euler para a posição do atuador.

Da primeira opção, a matriz de rotação do cilindro é dada pela matriz de rotação

BiR (equação (5.7)).

62

( ) ( )cos( ) sin cos( ) sin sin( )

sin( ) cos( )cos( ) cos( )sin( )

0 sin( ) cos( )

i i i i i

Bi i i i i i

i i

R

θ θ ψ θ ψ

θ θ ψ θ ψ

ψ ψ

−

= −

(5.7)

Onde os valores de ,i iψ θ são calculados com as equações (5.8) e (5.9) e são

calculados para cada atuador 1,...,6i = .

tan2 ix ixi

iy iy

A Ba

A Bθ

−=− −

(5.8)

cos izi

i

Aa

Lψ

=−

(5.9)

A equação do vetor unitário na direção do eixo do atuador ( )Z é dada por

[ ]0;0;1Ti

is = .

5.1.2 Análise de velocidade

iA

iL

iB

2m g

1m g

Bx

Bz y

x

z

O

By

2c

1c

Figura 5.3 Desenho da nomenclatura no atuador utilizado na plataforma robótica

63

A velocidade de cada um dos vértices da placa móvel em relação ao sistema

coordenado inercial da plataforma é dada pela soma da velocidade linear dos vértices

e a velocidade angular do centro da placa móvel (equação (5.10)).

Ai p p iV V W r= + × (5.10)

Para obter a velocidade AiV em relação ao sistema de coordenadas do cilindro

se multiplica pela matriz de rotação do cilindro em relação à base do cilindro.

i iAi B AiV R V= (5.11)

A velocidade iAiV em termos da velocidade angular e o deslocamento é dada

pela equação (5.12).

i i i iAi i i i i iV L W s L s= × + (5.12)

Obtendo a velocidade em Z do atuador, iAzi iV L= .

Fazendo o produto vetorial do vetor unitário iis com a velocidade do ponto i

AiV

se obtêm a velocidade angular (equação (5.13)).

( )i

i ii Ai

ii

s VW

L

×= (5.13)

O cálculo da velocidade do centro de massa da haste e da camisa do cilindro é

feito pelas equações (5.14) e (5.15):

1 1

i i ii i iV c W s= × (5.14)

( )2 2

i i i ii i i i i iV L c W s L s= − × + (5.15)

64

5.1.3 Análise da aceleração

A equação de aceleração do ponto AiV em relação ao sistema coordenado fixo

( )B é dada pela derivada da equação de velocidade (5.10) no tempo, obtendo a

equação (5.16):

( )Ai p p i p p iV V W r W W r= + × + × × (5.16)

A aceleração do ponto iAiV em relação ao sistema coordenado do cilindro i é

dada pela equação (5.17):

i iAi B AiV R V= (5.17)

Derivando a equação (5.12) em função do tempo, se obtém a aceleração do

ponto iA do atuador.

( )ii ii i i i i

Ai i i i i i i

d L sV L W s L W s

dt= × + × +

(5.18)

( )( )

ii i i i i

i i i i i

d L sL s L W s

dt= + ×

(5.19)

Substituindo a equação (5.19) na equação (5.18) e fazendo o desenvolvimento

matemático se obtém a equação (5.21)):

( )i i i i i i i iAi i i i i i i i i i i iV L W s L W s L s L W s= × + × + + × (5.20)

( ) 2i i i i i i i i iAi i i i i i i i i i i i iV L s L W s L W W s L W s= + × + × × + × (5.21)

Multiplicando o vetor unitário iis a equação (5.21) se obtêm a aceleração do

cilindro no sistema coordenado i (equação (5.22)).

65

2i ii Aiz i iL V L W= + (5.22)

Fazendo o produto vetorial do vetor unitário iis com a velocidade do ponto iA

no sistema coordenado i ( iAiV equação (5.21)) se obtém a equação (5.23).

( ) 2i i i i i i i i i i i i i ii Ai i i i i i i i i i i i i i i i is V s L s s L W s s L W W s s L W s× = × + × × + × × × + × × (5.23)

Restringindo o giro do atuador sobre o eixo Z e pondo em evidencia a

velocidade angular iiW do atuador se obtém a equação (5.24).

( )12i i i i

i i Ai i i

i

W s V L WL

= × − (5.24)

Aceleração do centro de massa da camisa é dada pela derivada da sua

velocidade em função do tempo. Da equação (5.14) e a equação (5.25) se obtém a

equação (5.26).

( )( )1

1 1

iii i i i i i

i i i i i i

d d sW W V W c W s

dt

×= = × × (5.25)

( )1 1 1

i i i i i ii i i i i iV c W s c W W s= × + × × (5.26)

Aceleração da haste do cilindro (equação (5.15)) derivada no tempo é

conhecendo os resultados da equação (5.27) se obtém a equação (5.28).

( )i i ii i i i i i i

dL s L s W L s

dt= + ×

( ) ( )( )2 2

i i i i i ii i i i i i i i i

dW L c s W L c W s L s

dt× − × = × − × +

(5.27)

( ) ( ) ( )2 2 2 2i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i iV L s L c W s L c W W s L W s= + − × + − × × + × (5.28)

66

5.1.4 Análise dinâmica dos atuadores

Na analise dinâmica da plataforma o sistema composto por cadeias fechadas é

decomposto em seis cadeias abertas. São encontradas as forças de reação em cada

atuador. Finalmente é feita a análise dinâmica da placa móvel da plataforma, para

encontrar a totalidade das forças que atuam no sistema e fechando dessa forma as

cadeias cinemáticas que no principio serão estudadas como abertas. TSAI (1999).

iAAizF

AiyF

AixFiL

2c

1c

iB

2m g

1m g

Bz y

x

z

O

By

Parte móvel

Figura 5.4. Diagrama de corpo livre do atuador.

Quando um corpo se translada o movimento é descrito em termos de

velocidade e aceleração e interessa as forças que produz este movimento. Quando o

corpo roda é de interesse os momentos e o movimento é descrito pela velocidade

angular e aceleração angular. Nestes movimentos rotacionais se considera o impulso

angular ou momento de impulso e o momentum angular ou momento de momentum.

SHIGLEY et al.(1995)

O momento resultante ( )iBiin atuando sobre o corpo rígido é igual à mudança

do momentum angular iB

idh

dt

no tempo. A equação (5.29) é a equação de

movimento no ponto iB .

i

i

BBi ii

dhn

dt= (5.29)

67

Onde iBih , momentum angular combinado, é dado pela equação (5.30).

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 2i i iB B Bi i i i i i i

i i i i i i i ih m c s V m L c s V h h= × + − × + + (5.30)

Onde

1 1

2 2

i

i

Bi i ii i i

Bi i ii i i

h I W

h I W

=

=

1

iiI = momento de inércia da camisa do cilindro i .

2

iiI = momento de inércia da haste do cilindro i .

Derivando a equação (5.30) em função do tempo se obtém

( ) ( ) ( )( )

( )( )

1 1 1 1 1 1 2 2 2

2 2 2 1 1 2 2

ii B

i i i i i iii i i i i i i

i i i i i ii i i i i i i i i i i

dhm c s V m c s V m L c s V

dt

m L c s V I w I w I w I w

= × + × + − × +

− × + + + +

(5.31)

O momento resultante ao redor de iB é dado pela equação

( )( )( )1 1 2 2i iB Bi i T

i i i Ai i i i vn L s F m c m L c s R g= × − + + − × (5.32)

Onde vg é o vetor de gravidade [ ]0;0;T

vg g=

Colocando os valores das forças de reação em x ( )iAixF e y ( )i

AiyF da

equação (5.29) dos atuadores se obtém (equações (5.33) e (5.34)):

( ) ( ) ( )(

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 1 1 2 2 2 1 2,1 1 2,2

1 3,1 1 3,2 2 2,1 2 2,22

2 3,1 2 3,22

1i i i i iAix x i x ix iy

i

iAiy i i i i

Aiy Aix ix iyi

iAiy i i

Aiy Aixi

F m c V m L c V I W I WL

VI V I V I W I W

L

VI V I V

L

= − + − + + +

− + + + +

− +

(5.33)

68

( )( ) ( )(

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

1 1,1 1 1,2 1 3,1 1 3,2 2 1,12

2 1,2 2 3,1 2 3,22

1sin( )i i i

Aiy i i y i yi

ii i i i iAix

ix iy Aiy Aix ixi

ii i iAix

iy Aiy Aixi

F m c m L c g m d V m L c VL

VI W I W I V I V I W

L

VI W I V I V

L

θ= − + − − − − +

+ + − + + +

+ − +

(5.34)

5.1.5 Análise dinâmica da placa móvel.

Na placa móvel se realiza o somatório de forças aplicando a equação de

Newton. (equação (5.35)).

6

1

BAi p v p p

i

F m g m V=

+ =∑ (5.35)

Onde BAiF são as forças de reação em , ,X Y Z em relação ao sistema de

coordenadas fixo da base do atuador iB . Das equações (5.33) e (5.34) se obtém as

forças em X e Y em relação ao sistema coordenado do cilindro i , por tanto, é

preciso transformar ao sistema coordenado da base do cilindro (equação (5.36)).

B B iAi i AiF R F= (5.36)

Da equação (5.35) se obtém as seguintes equações (5.37),(5.38) e (5.39):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )6

1

cos cos cosi i iAix i i Aiy i Aiz i i p px

i

F F sen F sen m Vθ ψ θ θ ψ=

− + =∑ (5.37)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )6

1

cos cosi i iAix i i Aiy i Aiz i i p py

i

F sen F F sen sen m Vθ ψ θ θ ψ=

+ + =∑ (5.38)

( ) ( )( )6

1

s cosi iAix i Aiz i p pz p

i

F en F m V m gψ ψ=

− + = +∑ (5.39)

69

Das equações (5.37), (5.38), (5.39) os valores das forças em X e Y dos

atuadores, desconhecendo só os valores das forças em Z . Para encontrar as forças

em Z se completa o sistema de 6 equações com 6 incógnitas como o momento

resultante na placa em relação ao sistema coordenado móvel ( )A (equação (5.40)).

ApA

p

d hn

dt= (5.40)

O momento resultante do centro de massa da placa referenciado ao sistema

coordenado móvel ( )A é calculado na equação (5.41).

6

1

A A Ap i Ai

i

n r F=

= ×∑ (5.41)

Onde AAiF é a força do ponto iA referenciado ao sistema coordenado fixo ( )A

e calculado pela multiplicação das matrizes de rotação com a força iAiF

A A B iAi B i AiF R R F= (5.42)

O momentum angular do centro de massa da placa expressado no sistema

coordenado móvel ( )A é:

A A Ap p ph I W= (5.43)

Derivando a equação (5.43) no tempo se tem:

Ap A A A A

p p p p

hI W W I

dt= + (5.44)

Onde os valores de velocidade angular e aceleração angular expressas no

sistema de coordenadas móvel são desconhecidos e podem ser calculadas como:

A B Tp A pW R W= (5.45)

70

A B Tp A pW R W=

Substituindo as equações de (5.45) em (5.44) se obtêm a resultante de

momento (equação (5.46)).

( )A

p A B T B T A B Tp A p A p p A p

hI R W R W I R W

dt= + × (5.46)

Substituindo as equações (5.41), (5.42) e (5.46) na equação (5.40) se obtêm a

equação (5.47).

( )6

1

A A B i A B T B T A B Ti B i Ai p A p A p p A p

i

r R R F I R W R W I R W=

× = + ×∑ (5.47)

Onde ApI é a matriz de inércia da placa móvel em referência ao sistema

coordenado móvel ( )A .

Desenvolvendo a equação (5.47) se obtêm 3 equações com 6 incógnitas

6

1

iAiZ

i

F=

∑ que são as forças em dos atuadores em Z em relação ao sistema

coordenado dos atuadores i . Essas equações junto com as equações (5.37), (5.38) e

(5.39), completam o sistema de 6 equações com 6 incógnitas para resolver.

5.1.6 Simulação da dinâmica da plataforma Stewart.

Para realizar o teste da dinâmica da plataforma é preciso determinar fatores

como trajetória, massa da placa superior, matrizes de inércia da camisa do cilindro, da

haste do cilindro, da placa móvel da plataforma e finalmente as curvas de aceleração

com que a plataforma vai realizar a trajetória.

Para uma placa superior de 100 Kg o valor da matriz de inércia da placa móvel

medido desde seu centro de massa ( )2

pI kg m× :

3,023 0 0

0 6,046 0

0 0 3,023

pI

=

71

As matrizes de inércia para a camisa do cilindro com o motor elétrico e para a

haste do cilindro, ( )2

1I kg m× e ( )2

2I kg m× respectivamente, medidas desde o centro

de massa e com massas de 3,59827 kg e 0,41127 kg são:

1

0,05945 0,00724 0,00007

0,00724 0,00673 0,00006

0,00007 0,00006 0,06404

I

− = − − −

2

0,00608 0 0

0 0,00003 0

0 0 0,00608

I

=

A direção da trajetória proposta para o primeiro teste é apresentada na Figura

5.5, onde se representa um movimento primeiro subindo e depois descendo. O ponto

do inicio e do fim da trajetória é o ponto 0 , 0 , 0.645X m Y m Z m= = = .

-0.4-0.2

00.2

0.40.6

-0.5

0

0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Deslocamento X (m)

Trajetoria da plataforma

Deslocamento Y (m)

Des

loca

men

to Z

(m

)

Figura 5.5. Gráfico da trajetória a percorrer.

As curvas de aceleração e velocidade da placa superior com que será

percorrida a trajetória estão divididas em faixas de tempo como se apresenta na

Tabela 5.1.

Tabela 5.1 Valor de aceleração para percorrer a trajetória.

Tempo ( )s Aceleração 2

m

s

Velocidadem

s

Posição[ ]m

0 0.01 0 0

3 0.01 0.03 0.045

72

9 0 0.03 0.225

12 -0.01 0 0.27

15 -0.01 -0.03 0.225

21 0 -0.03 0.045

24 0.01 0 0

Com essa aceleração se obtêm um valor de velocidade máxima de m

0.03s

e

se tem um recorrido máximo de 0,27 m, como se apresenta na Figura 5.6.

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Grafico de velocidade, aceleração e posição

Tempo (s)

Velocidade (m/s)

Aceleração (m/s2)Posição (m)

Figura 5.6. Gráfico da velocidade, aceleração e posição da placa móvel.

As forças em ,X Y e Z calculadas que experimenta cada um dos atuadores da

plataforma estão referenciadas ao sistema coordenado da base e são apresentadas

na Figura 5.7, Figura 5.8 e Figura 5.9 respectivamente. Nestes gráficos se observa

que os esforços em Z são maiores e mais importantes para a escolha do atuador.

73

0 5 10 15 20 25-2

0

2x 10

-4 Força em X do cilindro 1

Tempo (s)F

orça

(N

)0 5 10 15 20 25

-2

0

2x 10


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25-2

0

2x 10


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25-2

0

2x 10


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25-2

0

2x 10


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25-2

0

2x 10


Tempo (s)

For

ça (

N)

Figura 5.7. Força em X do atuador.

0 5 10 15 20 254

6

8Força em Y do cilindro 1

Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 254

6


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 254

6


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 254

6


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 254

6


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 254

6


Tempo (s)

For

ça (

N)

Figura 5.8. Força em Y do atuador.

Na Figura 5.9 se apresenta o valor da força no atuador no eixo Z o qual cai

quando a placa superior começa a subir e logo este valor de força no atuador volta ao

valor inicial quando a placa desce e retorna a sua posição inicial.

74

0 5 10 15 20 25170

180

190

200Força em Z do cilindro 1

Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25170

180

190


Tempo (s)

For

ça (

N)

0 5 10 15 20 25170

180

190


Tempo (s)

For

ça (N

)

0 5 10 15 20 25170

180

190


Tempo (s)

For

ça (N

)0 5 10 15 20 25

170

180

190


Tempo (s)

For

ça (N

)

0 5 10 15 20 25170

180

190


Tempo (s)

For

ça (N

)

Figura 5.9. Força em Z do atuador.

A trajetória realizada pela placa superior onde sobe e logo desce para retornar

a sua posição inicial é utilizada para obter os valores do curso dos cilindros elétricos

no tempo. As características de velocidade e aceleração dos atuadores foram iguais

obtendo os mesmos gráficos de curso como se apresenta na Figura 5.10.

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9

1Posição do cilindro 1

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9


Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9


Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9


Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9


Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 5 10 15 20 250.7

0.8

0.9


Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

Figura 5.10. Posição dos atuadores no percorrido da trajetória.

75

6 MODELAGEM DO ATUADOR DA PLATAFORMA ROBOTICA.

O atuador linear escolhido para a plataforma robótica é um cilindro

eletromecânico como se apresenta na Figura 6.1, onde se observa uma configuração

do atuador em paralelo e outra configuração serie. O atuador é composto por um

motor elétrico de corrente continua e um cilindro elétrico, por isto a modelagem do

atuador elétrico é dividido na modelagem do motor de corrente continua e na

modelagem do cilindro elétrico, etapas que são acopladas posteriormente.

Figura 6.1. Cilindros elétricos. (a) Montagem em paralelo. (b) Montagem axial.

6.1 MODELAGEM DO MOTOR DE CORRENTE CONTINUA.

Uma das características dos motores C.C. (corrente continua) é sua facilidade de

manejo em aplicações de controle de velocidade e posição como se apresenta em

GONZALEZ et al.(2007). Nesta aplicação o motor de corrente continua será usado em

um atuador linear conformado por fuso para controle de posição. Os autores KUO &

GOLNARAGHI (2002), classificam os motores C.C. pela forma de construção da

armadura em três classes: motores C.C. de núcleo de ferro, motor C.C. de induzido

superficial e motor C.C. de bobina móvel.

OGATA (1998) apresenta um modelo de controle de posição na qual utiliza um

motor de corrente continua e um potenciômetro para medir a posição. Na Figura 6.2 é

apresentado o esquema do motor de corrente continua de ímã permanente.

a) b)

76

Rotor

( )aV t

aR aL

( )feme t

++

--

ímã

permanente

( )mT t

( )m tθ

( )ai t

Figura 6.2. Esquema do motor de corrente continua.

Realizando o laço fechado na Figura 6.2 onde a voltagem aplicada é igual à

soma das voltagens nos elementos se obtém a equação (6.1).

( )( )

( ) ( ) aa a a a fem

di tV t R i t L e t

dt= + + (6.1)

A força contra-eletromotriz gerada pelo motor é proporcional à velocidade sendo

obtida pela equação (6.2), onde 1e eK K φ= é a constante da força contra-eletromotriz.

( )( )1

fem e

d te t K

dt

θ= (6.2)

A relação do torque gerado ( )mT t como o fluxo magnético φ e a corrente de

armadura ( )ai t é dada pela equação (6.3), onde 1T TK K φ= é a constante de torque.

( ) ( )m T aT t K i t= (6.3)

O torque da carga é apresentado na equação (6.4) onde J é a soma das

inércias do rotor mJ e da carga cJ e D é a soma do coeficiente de atrito viscoso no

rotor mD e na carga cD .

( )( ) ( )2

1 1

2c

d t d tT t J D

dt dt

θ θ= + (6.4)

77

Motor

cDcJ

2N

1N

,m mJ D

1θ

2θ

Figura 6.3. Esquema do motor de corrente continua com engrenagens e carga.

A Figura 6.3 apresenta um desenho do sistema que é composto por motor

elétrico, caixa de redução de velocidade e a carga a movimentar. A relação de

redução de deslocamento que se tem é dada pela equação (6.5). Onde a relação do

número de dentes das engrenagens 1 e 2 são representadas por 2

1

NN

N= .

( ) ( )1 2s s Nθ θ= (6.5)

O sistema apresenta inércias e atritos viscosos da carga e do motor os quais

podem ser achados na equação (6.6). Nesta equação não são considerados os

valores das inércias das engrenagens

2

1

2

m c

NJ J J

N

= +

2

1

2

m c

ND D D

N

= +

(6.6)

Fazendo a igualdade entre o torque gerado pelo motor e a carga que se quer

movimentar, ( ) ( )m cT t T t= , que são as equações (6.3) e (6.4), e pondo em evidência o

valor de corrente de armadura ( )ai t se obtém.

( ) ( )2

1 1

2

1( )a

T

d t d ti t J D

K dt dt

θ θ = +

(6.7)

78

Substituindo a equação (6.7) e (6.2) na equação (6.1) se obtém a voltagem

aplicada no motor em função do giro desejado no motor (equação (6.8)).

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 1 1 1 1

2 3 2

a aa e

T T

d t d t d t d t d tR LV t J D J D K

K dt dt K dt dt dt

θ θ θ θ θ = + + + +

(6.8)

Aplicando a transformada de Laplace na equação (6.8) se obtém a equação

(6.9):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

1 1 1 1 1a a

a eT T

R LV s Js s Ds s Js s Ds s K s s

K Kθ θ θ θ θ = + + + + (6.9)

Da equação (6.9) se obtém a função de transferência do motor de corrente

continua de ímã permanente que é em resumo a relação do giro do motor com a

voltagem aplicada no motor (equação (6.10)).

( )( ) ( ) ( )

1

2

T

a a a T e

s K

V s Js Ds R L s K K s

θ= + + +

(6.10)

Obtido o valor de giro no motor (equação (6.10)) e utilizando a relação de

deslocamento angular apresentada na equação (6.5) se encontra qual é o valor de

deslocamento angular que terá o parafuso ( )2 sθ . (equação (6.11)).

( )( ) ( )( )

2

2

T

a a a T e

s K

V s N Js Ds R L s K K s

θ=

+ + +

(6.11)

Baseado na simplificação feita pelos autores KUO & GOLNARAGHI (2002) no

modelo do motor de C.C. de ímã permanente onde é desprezado o valor do atrito

viscoso por seu valor insignificante (equação (6.12)).

( )( ) ( )

2

3 2

T

a a a T e

s K

V s N JL s JR s K K s

θ=

+ + (6.12)

79

6.1.1 Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento linear no

cilindro mecânico.

Conhecida a função de transferência entre a voltagem aplicada ( )aV s e o giro

do motor C.C. ( )sθ , se procura a relação que tem o avanço angular ou giro do motor

( )2 sθ com o deslocamento linear ( )x s no parafuso do cilindro. Este valor de

deslocamento linear se relaciona com o valor do passo do parafuso do cilindro

mecânico como se apresenta na Figura 6.4.

p

mdπ

λ

X(t)

Parafuso

Figura 6.4. Relação entre o deslocamento angular e o deslocamento linear do parafuso no

cilindro mecânico.

A relação entre o deslocamento angular e o deslocamento linear é achado com a

equação (6.13) onde p é o passo do parafuso e md é o diâmetro mínimo do parafuso.

( )( )

2 mt d

x t p

θ π= (6.13)

Pondo em evidência o valor do giro ( )2 tθ e aplicando transformada de Laplace

se obtém o valor do ângulo em função do deslocamento linear equação (6.14)

( ) ( )2md

s x sp

πθ = (6.14)

80

Substituindo a equação (6.14) na equação (6.12) se obtém finalmente a função

de transferência entre a voltagem aplicada ( )aV s e o deslocamento linear ( )x s dado

no cilindro eletromecânico (equação (6.15)).

( )( ) ( )3 2

T

a m a a T e

x s pK

V s d N JL s JR s K K sπ=

+ + (6.15)

6.2 CALCULO DO TORQUE NO MOTOR.

Diferentes fornecedores de cilindros elétricos oferecem para o cliente o valor de

força máximo que o cilindro pode realizar, mas em algumas ocasiones estes

fornecedores oferecem os cilindros e os motores elétricos por separado, sendo

importante saber como calcula o torque no motor para subir ou para descer uma

carga.

6.2.1 Calculo do torque do motor para subir a carga.

Para subir a carga no cilindro elétrico se realiza o diagrama de corpo livre que se

apresenta na Figura 6.5, onde se apresentam as força da carga, força de subida da

carga o força de atrito Nµ e a força normal. Faz-se a somatória de esforços em

0xF =∑ e 0yF =∑

mdπ

λ

cargaF

subidaF

N

Nµ

λ

Figura 6.5. Diagrama de corpo livre para o dente do parafuso para a subida da carga.

81

Da somatória de forças 0xF =∑ se obtém as equações (6.16) e (6.17):

subida cos 0F Nsen Nλ µ λ− − = (6.16)

( )subida cosF N senλ µ λ= + (6.17)

Da somatória de forças 0yF =∑ se obtém as equações (6.18) e (6.19):

carga cosF Nsen Nµ λ λ+ = (6.18)

carga

cos

FN

senλ µ λ=

− (6.19)

Substituindo a equação (6.19) na equação (6.17) se obtém o valor da força de

subida da carga (6.20)

( )carga

subida

cos

cos

F senF

sen

λ µ λ

λ µ λ

+=

− (6.20)

Sabendo que o torque é força pela distância T F r= × onde subidaF F= , 2

dmr =

é a metade do diâmetro meio do parafuso e se tiver um trem de engrenagens o valor

que relaciona o numero de dentes das engrenagens é 2

1

NN

N= como se apresenta na

Figura 6.3 se acha a equação (6.21) para o torque de subida.

subida

2subida

F dmT

N

×= (6.21)

Substituindo a equação (6.21) na equação (6.20) se acha o valor do torque de

subida. (equação se (6.22))

82

( )( )

carga cos

cos 2subida

F sen dmT

sen N

λ µ λ

λ µ λ

+ ×=

− (6.22)

6.2.2 Calculo do torque do motor para descer a carga.

O procedimento para achar o torque que se precisa para descer a carga é

similar ao procedimento para achar o torque para descer a carga. Realiza-se o

diagrama de corpo livre que se apresenta na Figura 6.6 e se realiza a somatória de

esforços.

mdπ

λ

cargaF

descerF

N

Nµ

λ

Figura 6.6. Diagrama de corpo livre para o dente do parafuso para descer a carga.

Da somatória de forças 0xF =∑ se obtém as equações (6.23)e (6.24):

descercosN Nsen Fµ λ λ= + (6.23)

( )descer cosF N senµ λ λ= − (6.24)

Da somatória de forças 0yF =∑ se obtém as equações (6.25) e (6.26):

carga cosF Nsen Nµ λ λ= + (6.25)

carga

cos

FN

senµ λ λ=

+ (6.26)

83

Substituindo a equação (6.26) na equação (6.24) se obtém o valor da força de

subida da carga (6.27).

( )carga

descer

cos

cos

F senF

sen

µ λ λ

µ λ λ

−=

+ (6.27)

Para calcular o torque se aplica a equação T F r= × e os valores de subidaF F= ,

2

dmr = e o numero de dentes das engrenagens 2

1

NN

N= . Aplica-se a equação (6.21)

para o torque de descida obtendo a equação (6.28).

descer

2descer

F dmT

N

×= (6.28)

Substituindo a equação (6.28) na equação (6.27) se acha o valor do torque para

descer a carga. (equação se (6.22))

( )( )

carga cos

cos 2descer

F sen dmT

sen N

µ λ λ

µ λ λ

− ×=

+ (6.29)

6.3 PROJETO DO CONTROLADOR DE POSIÇÃO. ESTUDO DE CASO.

Para o estudo de caso foram escolhidos os seguintes valores para as diferentes

variáveis:

1,2aR = Ω 0,01aL h= 20, 208 .J Kg m=

NmK 1,21 T A

= Vseg

K 1, 21 e rad= 0,010 mp =

0,024 mmd = N 2=

Substituindo os valores na equação (6.15) e normalizando a equação se obtém

a função de transferência apresentada na equação (6.30).

84

( )( ) 3 2

38,57

120 703,8942a

x s

V s s s s=

+ + (6.30)

A Figura 6.7 apresenta a resposta do sistema em malha fechada para uma

entrada tipo degrau de 0,3 m.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14Resposta do atuador em malha fechada

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

Figura 6.7. Resposta do sistema em malha fechada.

6.3.1 Sintonização do controlador de posição PID.

Alguns métodos para sintonização de controladores PID são apresentados pelos

autores ZIEGLER & NICHOLS (1942) e FANG & ASTROM et al. (1991). Aplicando o

método de Ziegler-Nichols apresentado na Figura 6.8, se deve procurar uma valor de

ganho critica ( )criticoK que faz o sistema oscilar continuamente ao longo do tempo.

Nesta resposta se mede o período critico ( )criticoP e se aplica a Tabela 6.1 para obter

os parâmetros iniciais do controlador PID.

criticoK

criticoP

( )x s( )refx s

Figura 6.8. Método de oscilação permanente de Ziegler-Nichols.

85

Tabela 6.1 Parâmetros do ajuste pelo método de Ziegler-Nichols para o controlador PID.

pK iT dT

P 0,5 criticoK -o- -o-

PI 0, 45 criticoK 1,2

criticoP -o-

PID 0,6 criticoK 0,5 criticoK 0,5 criticoK

Figura 6.9. Diagrama de Blocos aplicando o Método de oscilação permanente.

A Figura 6.10 apresenta a resposta do sistema em laço fechado ao valor de

criticoK O valor do período crítico no sinal é igual a 0,2526criticoP s= .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Resposta do sistema ao Kcritico

Tempo (seg)

Pos

ição

(m

)

Figura 6.10. Resposta do sistema ao Kcritico.

Na Tabela 6.2 são apresentados os valores das variáveis pK , iT , dT para o

controlador PID.

Tabela 6.2 Parâmetros calculados para o controlador PID.

pK iT dT

P 1095 -o- -o-

PI 985 0, 2105 -o-

PID 1314 0,1263 0,03157

86

Estes valores serão inseridos no controlador PID como será testado o sistema

em laço fechado como se apresenta na Figura 6.11. Lembrando que os valores para o

controlador PID do simulink do Matlab estão dados pela equação (6.31)

pp p d

i

KP K I D K T

T= = = (6.31)

Figura 6.11. Método de oscilação permanente de Ziegler-Nichols

A resposta do sistema ao controlador PID com os parâmetros iniciais obtidos

(Tabela 6.2) pelo método de sintonização do Ziegler-Nichols são apresentados na

Figura 6.12 onde se observa um tempo de estabilização de aproximadamente 1

segundo, mas com overshoot maior do 50% e também o gráfico da evolução do erro

no tempo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Resposta do sistema ao controlador PID. Kp=1314, Ti=0,1263 Td=0,03157

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Error da resposta do sistema com controlador PID

Tempo (seg)

Err

o de

pos

ição

(m

)

Figura 6.12. a) Resposta do controlador PID com os parâmetros iniciais. b) Erro do controlador.

Por ser um sistema de controle de posição se deseja que o sistema tenha uma

rápida resposta e que tenha com o menor valor de overshoot possível, baseado neste

critério se realiza um ajuste manual dos parâmetros iniciais do controlador PID

obtendo como resposta a Figura 6.13. Nesta figura se observa que com os valores

600pK = ,1

150iTseg

= e 0,1dT seg= se aumento na rapidez do sistema evitando o

overshoot e se observa como foi a evolução do erro da resposta do sistema.

a) b)

87

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Resposta do sistema com o controlador PID Kp=600, Ti=150, Td=0,1

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Error da resposta do sistema com controlador PID sintonizado

Tempo (seg)

Err

o de

pos

ição

(m

)

Figura 6.13. a) Resposta do controlador PID sintonizado. b) Erro do controlador sintonizado

Da trajetória realizada para validar a dinâmica da plataforma se obtiveram os

valores dos cursos dos cilindros no tempo. O comportamento do curso nos cilindros

elétricos é igual em todos eles. Este movimento é apresentado na Figura 6.14.

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Grafico do curso do cilindro 1

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

Figura 6.14. Gráfico do curso do cilindro no tempo para a trajetória testa na dinâmica.

Introduzindo a variação do curso do cilindro no tempo como sinal de entrada no

sistema de controle, se realizam dois testes para comparar a resposta do sistema em

malha fechada com controlador e sem controlador como se apresenta na Figura 6.15

Figura 6.15. Desenho dos testes realizados no sistema com controlador e sem controlador.

a) b)

88

Os resultados obtidos são apresentados na Figura 6.16, neste gráfico se

apresenta a resposta em malha fechada do sistema sim controlador e o erro da

resposta onde se observa que a resposta do atuador não tem um acompanhamento

do sinal desejado. Na Figura 6.17 se apresenta a resposta do sistema com controlador

onde se observa um melhor acompanhamento do sinal desejado e a evolução do erro.

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Comparação Entrada-Resposta do atuador em malha fechada

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

Entrada

Resposa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Error da resposta do sistema em malha fechada sem controlador PID

Tempo (seg)

Err

o de

pos

ição

(m

)

Figura 6.16. Resposta do sistema em malha fechada sem controlador PID.

0 5 10 15 20 25-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Comparação Entrada-Resposta do atuador em malha fechada com controlador

Tempo (s)

Pos

ição

(m

)

EntradaResposa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16x 10

-4 Error da resposta do sistema com controlador PID

Tempo (seg)

Err

o de

pos

ição

(m

)

Figura 6.17. Resposta do sistema em malha fechada com controlador PID.

a) b)

a) b)

89

7 ESPECIFICAÇÕES TÉCNICAS DA PLATAFORMA STEWART.

As especificações técnicas de espaço de trabalho, velocidade, aceleração,

rotações nos eixos , ,X Y Z , acelerações angulares da plataforma Stewart estão

sujeitas às características do atuador elétrico, o atuador elétrico possui as seguintes

características (ver ANEXO 9):

• Curso do cilindro: 0,4 m .

• Comprimento do atuador encolhido: 0,55 m

• Velocidade do cilindro: 0,1 m

seg.

• Passo do parafuso: 0,01 m

7.1 ESPAÇO DE TRABALHO DA PLATAFORMA STEWART.

Na análise do espaço de trabalho dos robôs paralelos se tem diferentes

enfoques. Um enfoque possível é apresentado por MERLET (1997) onde se projeta

um robô paralelo para um determinado espaço de trabalho especifico. Em PLESSIS

(2001) se apresenta um estúdo de métodos numéricos para obter melhor rendimento

computacional na determinação do espaço de trabalho da plataforma Stewart.

FIRMANI & NOKLEBY et al. (2008), POTT & HILLER (2006) apresentam resultados do

espaço de trabalho de robôs paralelos para diferentes números de graus de liberdade

o que determina as características do resultado do espaço de trabalho.

Para a análise do espaço de trabalho se tem como uma restrição que o curso

dos cilindros tem que ser maior ou igual a zero e menor ou igual do curso máximo

assim 0 iCurso curso máximo≤ ≤ . Para o estudo do caso se definiu nas especificações

técnicas que o curso do atuador elétrico cumpre a condição de 0 0, 4iCurso m≤ ≤ . Na

aplicação dessa condição no espaço de trabalho deve se ter em consideração além do

curso do cilindro o comprimento do cilindro encolhido e estendido. Estes valores são o

comprimento mínimo, min 0,55L m= e o comprimento máximo max 0,95L m= .

90

Os resultados obtidos para o espaço de trabalho são apresentados na Figura 7.1

onde se tem o gráfico em três dimensões com as características técnicas dos cilindros

elétricos.

Figura 7.1. Espaço de trabalho da plataforma Stewart.

Na Figura 7.2 é apresentada a vista superior do espaço de trabalho da

plataforma Stewart, nesta figura se pode observar o valor máximo e mínimo alcançado

pela plataforma no eixo X que são min 0,391X m= − e max 0,391X m= .

Figura 7.2. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista superior X Y− .

91

Na Figura 7.3 apresenta-se a vista frontal do espaço de trabalho da plataforma

Stewart. O valor máximo e mínimo alcançado pela plataforma no eixo Z que são

min 0,394Z m= e max 0,87Z m= .

Figura 7.3. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista frontal X Z− .

Na Figura 7.4 apresentada a vista lateral do espaço de trabalho da plataforma

Stewart. O valor máximo e mínimo alcançado pela plataforma no eixo Y que são

min 0,451Y m= − e max 0, 451Y m= .

Figura 7.4. Espaço de trabalho da plataforma Stewart. Vista lateral Y Z− .

92

7.2 LIMITES DOS GIROS DA PLATAFORMA STEWART

Os giros e deslocamentos máximos que pode realizar a plataforma nos eixos

,X Y e Z , têm como restrição o comprimento do cilindro encolhido e estendido que são

min 0,55L m= e max 0,95L m= respectivamente. As rotações máximas que a

plataforma pode realizar nos eixos ,X Y e Z estão determinadas pelo máximo

deslocamento possível que possam realizar os cilindros acoplados na placa superior

ao redor do centróide geométrico da placa superior.

Este deslocamento máximo é dado na metade do curso do cilindro isto permitirá

que o cilindro possa se encolher ou estender o mesmo curso. Pela cinemática direta

se acha o valor no qual ficaria posicionado o centróide geométrico da placa para o

valor de 0,75iL m= para 1,...,6i = que é na posição 0X m= , 0Y m= , 0,644Z m= .

A rotação da plataforma ao redor do eixo X é uma rotação diferente para o

sentido positivo e para o sentido negativo, isto pelas características não simétricas da

placa superior quando é divida pelo eixo X .

Na Figura 7.5 se apresenta o giro máximo no sentido positivo no eixo X que é

de 36,1oXpG =

36,1°

Figura 7.5. a) Giro positivo no eixo X da plataforma Stewart. b) Vista lateral Y Z− .

Na Figura 7.6 se apresenta o giro máximo no sentido negativo no eixo X que é

de 41,8oXnG = −

a) b)

93

Figura 7.6. a) Giro negativo no eixo X da plataforma Stewart. b) Vista lateral Y Z− .

Na Tabela 7.1 se apresenta o resumo dos giros no eixo X no sentido positivo e

no sentido negativo e o valor do curso dos atuadores na posição final.

Tabela 7.1 Valores do comprimento final dos cilindros no giro máximo em X .

Rotação [graus] Comprimentos [m]

36,1oXpG = 1L 0,641= 4L 0,95=

2L 0,698= 5L 0,698=

3L 0,95= 6L 0,641=

41,8oXnG = − 1L 0,949= 4L 0,558=

2L 0,791= 5L 0,791=

3L 0,558= 6L 0,949=

Na Figura 7.7 se apresenta o giro máximo no eixo Y . Por conta da simetria da

plataforma em relação ao eixo Y o valor de o giro é simétrico no sentido negativo e no

sentido positivo. O valor do giro no eixo Y é de 32,9oYG = ± .

Na Tabela 7.2 se apresenta o valor máximo do giro no eixo Y sendo um giro

simétrico e o valor do comprimento dos atuadores na posição final.

a) b)

94

Figura 7.7. a) Giro no eixo Y da plataforma Stewart. b) Vista lateral X Z− .

Tabela 7.2 Valores do comprimento final dos cilindros no giro em Y .

Rotação Comprimentos [m]

32,9oYG = ±

1L 0,618= 4L 0,814=

2L 0,604= 5L 0,949=

3L 0,706= 6L 0,869=

Na Figura 7.8 se apresenta o giro máximo no eixo Z , este giro também é

simétrico e seu valor é de 47,3oZG = ± .

Figura 7.8. a) Giro positivo no eixo Z da plataforma Stewart. b) Vista lateral X Y− .

Na Tabela 7.3 se apresenta o valor máximo do giro no eixo Z que ao igual que

o giro no eixo Y também é um giro simétrico e o valor do comprimento dos atuadores

na posição final.

a) b)

a) b)

95

Tabela 7.3 Valores do comprimento final dos cilindros no giro em Z .

Rotação Comprimentos [m]

47,3oZG = ±

1L 0,949= 4L 0,692=

2L 0,692= 5L 0,949=

3L 0,949= 6L 0,692=

7.3 ESPECIFICAÇÕES DE VELOCIDADE DA PLATAFORMA.

A velocidade máxima que pode conseguir a placa superior da plataforma

depende principalmente da velocidade e aceleração que tem os cilindros elétricos

utilizados.

Conhecendo o gráfico de velocidade do atuador, Figura 7.9, e com base na

análise da cinemática direta se pode obter o valor máximo de velocidade que pode ter

a placa superior da plataforma de Stewart.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Gráfico de velocidade e deslocamento do cilindro elétrico

Tempo (s)

Deslocamento (m)

Velocidade(m/s)

Figura 7.9. Gráfico de velocidade e deslocamento do atuador.

Para determinar a velocidade máxima que pode ter a plataforma todos os

atuadores vão se movimentar juntos da mesma forma do gráfico de deslocamento

apresentado na Figura 7.9.

Cada um dos valores de deslocamento são os valores de entrada do curso dos

cilindros obtendo os valores de posição para a plataforma. Da mesma forma a

96

variação da posição da plataforma em relação ao tempo se determina o valor máximo

de velocidade da plataforma Stewart, como se apresenta na Figura 7.10, onde tem

uma velocidade de 1,25m

s aproximadamente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9Gráfico de velocidade e deslocamento da plataforma Stewart

Tempo (s)

Deslocamento (m)

Velocidade(m/s)

Figura 7.10. Gráfico de velocidade e deslocamento do centro da placa superior da

plataforma Stewart.

7.4 DETERMINAÇÃO DO VALOR MÁXIMO A SER SIMULADO.

Obtidas as características da plataforma Stewart que representara o modelo do

navio, se podem determinar quais são valores máximos de movimentação que podem

ser testados com o modelo (Plataforma Stewart). As características de velocidade,

aceleração e deslocamento do modelo podem ser escaladas às características do

protótipo pelo número de Froude. Na Tabela 2.3 se apresentam os fatores de escala

para deferentes características.

Conhecendo que a aceleração tem como escala o valor 1 só se precisa escalar

os valores de comprimento, velocidade e tempo aplicando as equações (7.1), (7.2) e

(7.3) onde λ é o valor de escala, pL é comprimento do protótipo, mL comprimento do

modelo, obtendo os valores máximos que podem ser simulados com a plataforma

Stewart.

97

p

m

L

Lλ = (7.1)

pr

m

VV

Vλ= = (7.2)

1p p mr

m m p

T L VT

T L Vλ λ

λ= = × = × = (7.3)

Para um modelo de navio que seja 10 vezes menor só poderá ser testado para

movimentos com uma velocidade menor de 0,379m

s assim:

0,125 10 0,395p

m mV

s s= = (7.4)

98

8 CONCLUSÕES.

Neste trabalho foram apresentados alguns tipos de robôs com arquitetura

paralela e suas aplicações, sendo importante para ampliar o conhecimento nesta área

conhecer suas vantagens e características, possibilitando a escolha por um robô do

tipo plataforma de Stewart.

No trabalho foi realizada a análise cinemática e dinâmica da plataforma Stewart.

Foi apresentado também o controle de posição dos cilindros elétricos que permitem a

sua movimentação objetivando a simulação do movimento realizado pelos navios em

diferentes tipos de ondas do mar.

Para a realização do estudo da cinemática dos navios foi utilizado o número de

Froude para simulações dos modelos de navios. Este número é importante para se

calcular a escala de fatores como freqüência, período, tempo e velocidade dos

movimentos de um navio real com relação a um modelo utilizado.

Na escolha dos tipos de juntas para sujeitar os cilindros elétricos que

movimentam a plataforma de Stewart foi levado em consideração que a rotação dos

cilindros em relação ao seu próprio eixo levaria o sistema a ter 12 graus de liberdade e

não 6 como se precisa. Estes 6 graus de liberdade a mais não influenciam na

movimentação da plataforma por isto não se fixo os cilindros elétricos com 2 juntas

esféricas. Neste projeto foram utilizadas duas juntas universais obtendo para este

sistema 6 graus de liberdade.

Foi realizada a simplificação de uma plataforma tipo 6-6 para uma do tipo 3-6

visando reduzir a complexidade matemática e o número de equações não-lineares

obtendo maior rapidez na execução do programa computacional utilizado para

encontrar as soluções dos cálculos da cinemática.

Na solução da cinemática direta foram analisados três casos para o tamanho da

placa superior: quando ela é maior, menor e igual ao triângulo eqüilátero formado

pelos pontos localizados na mediatriz dos lados da base da plataforma. O maior

número de resultados, utilizando o método de Newton-Raphson, foi obtido quando a

placa superior é menor.

A cinemática inversa da plataforma Stewart tipo 6-6 foi testada implementando-

se a simulação da trajetória em Matlab. Nesta simulação se tem como entrada a

posição e a rotação da movimentação de um navio e como resultado a variação do

curso do cilindro em relação ao tempo. Este resultado é utilizado como sinal de

entrada para a malha de controle de posição do cilindro elétrico da plataforma Stewart.

99

Foi realizada a simulação dinâmica do sistema em que as forças dos atuadores

foram calculadas para diferentes trajetórias da placa superior. Esta simulação permite

a análise dos esforços exercidos sobre o cilindro, tendo como entrada a movimentação

desejada da placa superior, permitindo a sua especificação.

Na modelagem realizada do atuador elétrico composto por um motor C.C., uma

caixa de engrenagens e um parafuso, se têm como entrada do atuador um sinal de

voltagem e como saída do sistema a posição da haste do cilindro. A modelagem

permitiu verificar que, para a aplicação desejada e tendo o comportamento desejado,

se necessita da implementação de um controlador.

Na implementação do controlador PID, a sintonização foi realizada utilizando o

método de Ziegler-Nichols, obtendo-se a redução no tempo de resposta para a

estabilização do sistema a uma entrada desejada.

Na análise do espaço de trabalho se obteve que o número de graus de liberdade

em um robô paralelo influencia na forma do espaço de trabalho. Na plataforma de

Stewart, com 6 graus de liberdade, a vista superior do espaço de trabalho tem a forma

de um hexágono.

A análise do espaço de trabalho na plataforma Stewart foi realizada aplicando

como única restrição o curso dos cilindros elétricos que neste caso é de 0,4 m. Outras

restrições devem ser implementadas quando os cursos dos cilindros possibilitam maior

espaço de trabalho, como por exemplo, o diâmetro do cilindro para evitar colisões.

Das análises dimensionais da plataforma Stewart, com cilindros de 0,4m de

curso, rotações máximas em torno de X de o36,1 a o41,8− e em Y de 32,9o± e em Z de

47,3o± . Na translação vertical o valor mínimo atingido é min 0,394Z m= e o valor

máximo é max 0,87Z m= .

8.1 TRABALHOS FUTUROS.

Os diferentes cilindros elétricos do mercado são selecionados pela força e

velocidade que pode ter o atuador, mas nas especificações técnicas do cilindro elétrico

não são disponibilizadas as informações dos diferentes parâmetros do motor que são

importantes para se realizar um melhor estudo do controle de velocidade e posição no

atuador.

Este trabalho inicial propiciou o conhecimento das características de um tipo de

robô de arquitetura paralela, mas existem muitas variações nos robôs paralelos nos

100

quais podem ser feitos estudos cinemáticos, dinâmicos e do espaço de trabalho

visando uma comparação entre eles.

Estudos podem ser realizados também, utilizando a plataforma de Stewart por

ser um robô de 6 graus de liberdade e menor complexidade mecânica, visando

aplicações em sistemas de controle de posicionamento dinâmico trabalhando como

um amortecedor dinâmico de movimentos.

Do estudo da cinemática direta foi observado que existem diversas soluções de

posição para o mesmo comprimento dos atuadores que podem ser estudados

utilizando outros métodos como, por exemplo, algoritmos genéticos.

101

9 ANEXOS

108

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMONACID, M., SALTARÉN, R. J., ARACIL, R., REINOSO, O., 2003, “Motion

Planning of climbing Parallel Robot”, IEEE Transactions on Robotics and

Automation, vol. 19, Junio, pp. 485-489.

ANGELES, J., 2003, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems: Theory,

Methods, and Algorithms, 2 ed. New York, Springer.

BEER, F., JOHNSTON, E., 1980, Mecânica Vetorial para Engenheiros, Estática. 3

ed. São Paulo, McGraw-Hill.

BEN-HORIN, R., SHOHAM, M., DJERASSI, S., 1998, “Kinematics, dynamics and

construction of a planarly actuated parallel robots”, Robotics and computer

Integrated manufacturing, pp 163-172.

BONEV, I.A. 2003, “The true origins of parallel robots”, ParalleMIC - The Parallel

Mechanisms Information Center, Janeiro.

BRICARD, R. 1897, “Mémoire sur la théorie de l’octaèdre articulé”. Journal de

Mathématiques pures et appliqu´ees, Liouville, tome 3, pp.113-148.

CAPPEL, K.L., 1967, “Motion simulator," United States Patent No. 3.295.224, Janeiro

3.

CAUCHY, A. 1813, “Deuxième mémoire sur les polygones et les polyèdres”. Journal

de l’Ecole Polytechnique, Maio, pp. 87–98.

CHAKRABARTI, S. K., 1994, Offshore structure modeling, New York, World

Scientific Publishing.

CONTE, S.D., BOOR, C., 1980, Elementary numerical analysis an algorithmic

approach, McGraw-Hill.

DASGUPTA B., MRUTHYUNJAYA, T.S., 1998, “A Newton–Euler formulation for the

inverse dynamics of the Stewart platform manipulator”, Mechanical and

machinery Theory, vol. 33, n. 8, pp. 1135-1152.

DASGUPTA B., MRUTHYUNJAYA, T.S., 1998, “Closed-form dynamic equations of the

Stewart platform through the Newton–Euler approach”, Mechanical and

machinery Theory, vol. 33, n. 7, pp. 993-1012.

DASGUPTA B., MRUTHYUNJAYA, T.S., 2000, “The Stewart platform: a review”,

Mechanical and machinery Theory, vol. 35, pp. 15-40.v.

DIETMAIER, P., 1998, “The stewart–gough platform of general geometry can have 40

real postures”, Advances in Robot Kinematics: Analysis and Control. Springer,

pp. 7-16.

109

FANG, C.C., ASTROM, K.J., HO, W.K., 1991. “Refinements of the Ziegler-Nichols

tuning formula” IEE proceedings-d, vol. 138, no. 2, março.

FIRMANI, F., NOKLEBY, S. B., PODHORODESKI, R. P., ZIBIL, A., 2008, “Wrench

Capabilities of Planar Parallel Manipulators and their Effects Under Redundancy”,

Parallel Manipulators Towards New Applications, pp.109 -132.

FOSSEN, T.I, 2002, “Marine Control Systems: Guidance, Navigation and Control of

Ships”, Rigs and Underwater Vehicles,Trondheim, Marine Cybernetics.

FOSSEN, T.I., 1994, Guidance And Control Of Ocean Marine Vehicles, New York,

John Wiley And Sons Ltd.

GONZALEZ ACUÑA, H, DUTRA M.S., TAVERA, M.J.M, LENGERKE, O., 2007,

“Diseño Mecatrónico de un Controlador de Velocidad Implementado en un Robot

Móvil de Tracción Síncrona”, 8 Congreso Iberoamericano de Ingeniera Mecánica

- CIBIM8, Cusco, Perú.

GONZÁLEZ ACUÑA, H. LENGERKE, O. ; DUTRA, M. S. ; TAVERA, M. J. M. ;;

FRANCA, F. M. G., 2008, Automated Guided Vehicles (AGV): Searching a Path

in the Flexible Manufacturing Systems. In: 24th International Conference on

CARS & FOF, Robotics & Factories of the Future, 2008, Koriyama (Japan).

GONZÁLEZ ACUÑA, H., DUTRA, M. S.; DIAZ, J. F. A. ; MCNISH, L. C., SOARES, F.

B., 2008, Integral Mechatronics System for Valves Test. In: CONEM.

GONZALEZ ACUÑA, H LENGERKE, O. ; DUTRA M.S. ; FRANCA, F. M.G. ; TAVERA,

M.J.M., 2008, “Guidelines in Motion Planning for AGV with Trailers in FMS”. In:

4th IEEE Colombian Workshop on Robotics and Automation, Cali - Colombia.

GOUGH, V.E., WHITEHALL, S.G., 1962, “Universal tire test machine”. Proceedings 9th

Int. Technical Congress F.I.S.I.T.A., v. 117, Maio. pp. 117–135.

GWINNETT, J.E., 1931, Amusement device, United States Patent Nº US1789680.

HARIB, K., SRINIVASAN K., 2003, “Kinematic and dynamic analysis of Stewart

platform-based machine tool structures” Cambridge University Press, vol. 21,

Dezembro, pp. 541-554.

HILLER M., SHIGING, F., MIELCZAREK, S., et al., 2005, “Design, analysis and

realization of tendon-based parallel manipulators. Mechanism and Machine

Theory, Abril, pp. 429– 445.

KONG, X., GOSSELIN, C., 2007, Type Synthesis of Parallel Mechanisms, Springer

Tracts in Advanced Robotics, vol. 33.

KUO, B.C., GOLNARAGHI, F., 2002, Automatic Control Systems, 8 ed. New York,

Wiley.

LEBESGUE, H. 1867, “Octaèdre articulé de Bricard”. L’enseignement mathématique,

pp.150–160.

110

LEE, J., ALBUS, J., DAGALAKIS, N. G., TSAI, T., 1989, “Computer simulation of a

parallel link manipulator,” Robotics Computer Integration Manufactory, pp. 333–

342

LEE, S. H., SONG J. B., CHOI W. C.,HONG, D., 2003, “Position control of a Stewart

platform using inverse dynamics control with approximate dynamics”

Mechatronics, vol. 13, pp. 605–619.

LIU, K., FITZGERALD, J.M., LEWIS, F.L., 1993, “Kinematic Analysis of a Stewart

Platform Manipulator”, IEEE transactions on industrial electronics, v. 40, n. 2

(April), pp. 282-293.

LLOYD, A.R.J.M., 1989, Seakeeping: Ship Behaviour in Rough Weather, Ellis

Horwood Series in Marine Technology, Ellis Horwood.

MCCARTHY J. M., 2000, Geometric design of linkages, New York, Springer.

MERLET, J. P., 2004, “Solving the Forward Kinematics of a Gough-Type Parallel

Manipulator with Interval Analysis” The international Journals of robotics

Research, Março.

MERLET, J. P., 2006, Parallel Robots second edition. Netherlands. Springer.

MERLET, J.P., 1997, “Design a parallel Manipulator for a specific Workspace”, The

international Journal of Robotics Research, v. 16, n. 4, pp. 545-556, Agosto.

NANUA, P., WALDRON, K.J., MURTHY, V., 1990, “Direct Kinematic solution of a

Stewart Platform” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 6, Agosto,

pp. 438-443.

NAYLOR, T.H., BUSTAMANTE, R., 1971, “Técnicas de Simulación en Computadoras”,

México, Limusa.

OGATA, K., 1998, Ingeniería de control moderna, 3 ed. Mexico, Pearson

PEREZ, T., 2005, Ship motion control, Lodon, Springer.

PERNG, M.-H., HSIAO, L., 1999,”Inverse Kinematic Solutions for a fully parallel Robot

with singularity robustness”, The international journal of Robotics Research, v.

18, n. 6, (Jun), pp. 575-583.

PLESSIS, L. J., SNYMAN J. A., 2001, “A numerical method for the determination of

dextrous workspaces of Gough–Stewart platforms”, International Journal for

numerical methods in engineering, vol. 52, pp. 345–369.

POLLARD, W.L.G., 1942, “Position-controlling apparatus”, United States Patent e Nº

2.286.571, Junio 16.

POLLARD, W.L.V., 1940, “Spray painting machine”, United States Patent Nº

2.213.108, Agosto 27.

111

POTT, A., HILLER, M., 2006, “A framework for the analysis, synthesis and optimization

of parallel kinematic machines”, Advances in Robot Kinematics: Mechanisms and

Motion, Springer, pp. 103-112.

RAWSON, K.J., TUPPER, T.C., 2001, Basic Ship Theory, vol 1, 15 Ed, Oxford,

Butterworth Heinemann.

RAWSON, K.J., TUPPER, T.C., 2001, Basic Ship Theory, vol 2, 15 Ed, Oxford,

Butterworth Heinemann.

RICE, J. R., 1983, Numerical Methods, software and Analysis, USA, McGraw-Hill.

ROSELUND, H.A, 1944, "Means for moving spray guns or other devices through

predetermined paths," United States Patent No. 2.344.108, Março 14.

SALCUDEAN, S.E., DREXEL, P.A., BEN-DOVT, D., TAYLOR, A.J.,LAWRENCE, P.D.,

1994, “A Six Degree-of-Freedom, Hydraulic, One person Motion Simulator”, IEEE

transactions, pp. 2437-2443.

SHABANA, A.A., 1998, Dynamics of Multibody Systems, 2 Ed., Cambridge

University Press.

SHANNON, R.E., PEGDEN, C. D., SADOWSKI, R. P., 1995, ‘’Introduction to

Simulation Using SIMAN”, New York, McGraw-Hill.

SHIGLEY, J. E.,UICKER, J.J., 1995, Theory of machines and mechanisms,5 ed.

Singapore, McGraw-Hill.

SONG, S.K., KWON D.S., 2002, “New direct kinematic formulation of 6 d.o.f stewart-

gough platforms using the tetrahedron approach” IEEE Transactions on Control,

Automation, and Systems Engineering, vol. 2, n. 1, Janeiro.

STEWART, D, 1965, “A platform with 6 degrees of freedom”, Proceedings of the

Institution of mechanical engineers, vol 180, Pt. 1, n. 15, pp. 371-386.

TANEV, T. K., 2000, “Kinematics of a hybrid (parallel-serial) robot manipulator”,

Mechanical and machinery Theory, vol. 35, pp. 1183-1196.

TSAI, L. W., 1999, Robot Analysis: The Mechanics of Serial and Parallel

Manipulators, New York, JohnWiley and Sons.

WANG, J., GOSSELIN, C. M., 1998, “A new approach for the dynamic analysis of

parallel manipulators,” Multibody System Dynamics, vol. 2, pp. 317–334.

WILSON, J.F., 2003, Dynamics of offshore structure, Canada, New York, John

Wiley And Sons Ltd.

YANG, G., CHEN, I., 2001, “Kinematic Design of Modular Reconfigurable In-Parallel

Robots”, Autonomous Robots, vol. 10, pp. 83-89.

YANG, G., CHEN, I., 2001, “Self-calibration of three-legged modular reconfigurable

parallel robots based on leg-end distance errors”, Journals cambridge, vol. 19,

pp. 187–198.

112

ZHAO, Y., GAO, F., 2008, “Inverse dynamics of the 6-dof out-parallel manipulator by

means of the principle of virtual work”, Robotic Cambridge University Press, pp.

1-10.

ZIEGLER, J.G., NICHOLS, N.B., 1942, “Optimum settings for automatic controllers”,

Transactions ASME, vol. 65, pp. 433-444.

acuna (2009) projeto mecatrônico de uma plataforma stewart

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