ex capitulo 2 stewart

5/17/2018 Ex Capitulo 2 Stewart

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22 0 CALCULO

ExerciciosAado 0 grafico de uma funcao f(a) Obtenha 0 valor de f( -I).(b) Estime 0 valor de f(2).(c) f(x) =2 para quais val ores de x?(d) Estime os valores de x para os quais f(x) =.(e) Obtenh~ 0 dornfnio e a variacao def(f) Em quais intervalos je crescente?

/ /1 I

- \ /0/ 1 ;\I-, ./2 . Sao dados os graficos de f e g.

(a) Obtenha os valores de f( -4) e g(3) .(b) f(x) = (x ) para quais valores de x?(c) Estime a solucao da equacao f(x) =-I.(d) Em quais intervalos je decrescente?(e) Estabeleca 0 domfnio e a variacao def(f) Obtenha 0 dominio e a variacao de g .

3. Use as Figuras 1, 11 e 12 para estimar as variacoes na verticalda funcao aceleracao do solo nas direcoes norte-sul eleste-oeste durante 0 terremoto de Northridge.

4. Nesta secao discutimos exemplos de funcoes do dia-a-dia, taiscomo: a populacao e uma funcao do tempo, 0 custo da franquiapostal e uma funcao do peso, a temperatura da agua e umafuncao do tempo. De tres novos exemplos de funcoescotidianas que possam ser descritas verbalmente. 0 que vocepode dizer sobre 0 domfnio e a variacao de cada uma dessasfuncoes? Se possrvel, esboce urn grafico de cada uma dasfuncoes.

5-8 0 Determine se a curva dada e 0 grafico de uma funcao de x.Se for 0 caso, obtenha 0 dominio e a variacao da funcao./. 6.

--~--r~--+--r-+~--+x

8.

x

o grafico mostra 0peso de certa pessoa como uma funcao daidade. Descreva em palavras como 0 peso dessa pessoa variacom 0 tempo. 0 que voce acha que esta acontecendo aos 30anos?

200Peso(Iibras)

150lO O50

10 20 30 40 50 60 70 Idade(anos)10. 0 grafico mostra a distancia que urn caixeiro-viajante esta de sua

casa em certo dia como uma funcao do tempo. Descreva empalavras 0 que 0 grafico indica sobre suas andancas nesse dia.

Distanciade casa(rnilhas)

6 Tempo(tarde) (horas)(rnanha) 10 2 4eio-dia


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/. Ponha cubos de gelo em urn copo, preencha-o com agua geladae deixe-o sobre uma mesa. Descreva como ira variar no tempoa temperatura da agua. Esboce entao urn grafico da temperaturada agua como uma funcao do tempo decorrido.

12. Esboce urn grafico do rnirnero de horas diarias com luz do solcomo uma fun~ao do tempo no decorrer de urn ano.

13. Esboce urn grafico da temperatura extern a como uma funcaodo tempo durante urn dia tfpico de primavera na zona tempe-rada do hemisferio norte.

14. Coloque umatorta gelada em urn fomo e asse-a por uma hora.Entao tire-a do forno e deixe-a esfriar antes de come-laoDescreva como varia no tempo a temperatura da torta. Esboceurn grafico da temperatura da torta como uma funcao dotempo.

15 . Urn homem apara seu gramado toda quarta-feira a tarde.Esboce 0 grafico da altura da grama como uma funcao dotempo no decorrer de urn perfodo de quatro semanas.

16. Urn aviao vai de urn aeroporto a outro em uma hora, sendo quea distancia entre eles e de 400 milhas. Se t representa 0 tempoem minutos desde a partida do aviao, seja x(t) a distancia hori-zontal percorrida e yet) a altura do aviao,(a) Esboce urn possfvel grafico de xCt ) .(b) Esboce urn possfvel grafico de yet).(e) Esboee urn possivel grafico da veloeidade no chao.(d) Esboce urn possfvel grafico da velocidade na vertical.fl.Os registros de temperatura T (em OF) foram tornados a cadaduas horas a partir da meia-noite ate 0 rneio-dia em Atlanta, naGe6rgia, em 18 de marco de 1996.0 tempo t foi medido emhoras apos a meia-noite,

t 0 2 4 6 8 10 12T 58 57 53 50 51 57 61

(a) Use as registros para esbocar urn grafico de T como umafuncao t.

(b) U se 0graf ico para estimar a t empera tu r a a s II horas cia manha18. A populacao P (em milhares) de uma dada cidade, de 1984 a

1994, esta mostrada na tabela. (Sao dadas estimativasintermediarias.)I 1984 1986 1988 1990 1992 1994P 695 716 733 782 800 817(a) Esboce urn grafico de P como uma funcao do tempo.(b) Use 0 grafico para estimar a populacao ern ]991.

,. Se f (x) =X2 + 3x - 4, eneontre f(O ), f(2), f(.ji),. f( I+ .ji), f( - x), f(x + I), 2f(x) e f (2x).20. Urn balao esferico com raio de r polegadas tern 0 volume

V C r ) = 5 1 T r 3 . Encontre uma funcao que represente aquantidade de ar necessaria para inflar 0 balao de urn raio rateurn raio r + 1 polegadas.

CAPiTULO 1 FUN\;:OES E MODELOS 0 23

f( x + h) - fex}21-22 [l Eneontre f( 2 + h), f( x + h) e h 'onde h # O .Tex ) = - x223-21 0 Encontre 0 dominio da funcao.

x+ 2)y. f (x) =7-=Ig(x) =/x 2 - 6x

.2. f(t) =~

x22 . f (x) =--x+1

X424 . f (x) =2 + X - 626 . hex) =/7 - 3x

28. Encontre 0 domfnio e a variacao e esboce 0 grafico da funcaohex) =. / 4 - x2.

29--40 0 Encontre 0 dominio e esboce 0 grafico da funcao.,.. f(x) = - 2xyg(x) =/x=5;J 'T. G(x) = x I + x

35. f (x) =/ I x I{X se x";;; 037. f (x) = x + se x> 0

38 . f(x) = {2 X + 3 se x < -13 - x se x;;': -1,;L f(x) =x + 2 se x ,,;;;-1x2 se x> -]

{-I sex,,;;;-]

40. f(x) = 3x + 2 se I x I < ]7 - 2x se x ~ 1

30. f (x) =x2 + 2x - 132 . g(x ) =. / 6 - 2x34. H (x) =2 x I

x2 + 5x + 636. f(x) = x + 2

41-46 0 Encontre uma expressao para funcao cujo grafico e acurva dada.41 . 0 segmento de reta unindo os pontos (-2, 1) e (4, -6)42 . 0 segmento de reta unindo os pontos (-3, -2) e (6, 3)43 . A parte de baixo da parabola x + (y - 1) 2 =44. A parte de cima do cfrculo (x - I? + y 2 =I45 . I ; Y -~ r-

V1 \ r-/ I7 \0 ------

46 .


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24 0 CALCULO

47-51 Encontre uma formula para a funcao descrita e obtenha seudomfnio.

~ Urn retangulo tern urn perimetro de 20 metros. Expresse a area doretangulo como uma funcao do comprimento de urn de seus lados.

48. Urn retangulo tern uma area de 16 m". Expresse 0 perimetro doretangulo como uma funcao do comprirnento de urn de seus lados.

, ) J I J . Expresse a area de urn triangulo equilatero como uma funcao docomprimento de urn Ido.

50 . Expresse a area superficial de urn cubo como uma funcao deseu volume.

.>1. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 rrr' tern umabase quadrada. Expresse a area superficial da caixa como umafuncao do comprimento de urn lado da base.

52. Uma janela normanda tern um formato de urn retangulo emcima do qual se coloca urn semicfrculo. Se 0 perfmetro de umajanela for de 30 pes, expresse a area A da janela como umafuncao de sua largura x.

1------x --"1)If Uma caixa sem a tampa deve ser construfda de urn pedacoretangular de papelao com dimensoes 12 por 20 polegadas.Deve-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depoisdobrar, conforme mostra a figura. Expresse 0 volume V dacaixa como uma funcao de x.

20 1I Ix xl~

-- LX-x121 x r'--,Ix xl

54 . Uma companhia de taxi cobra $ 2 pela primeira milha (oufracao deja) e 20 centavos a cada decimo de rnilha adicional (ou

fracao). Expresse 0 custo C (em $) de uma corrida comouma funcao da distancia x percorrida (em milhas) parao < x < 2, e esboce 0 grafico,

,. Em certo pais, 0 imposto de renda e cobrado da seguinteforma. Sao isentos os que tern rendimento ate $ 10.000. Paraqualquer renda acima de $ 10.000 e cobrado urn imposto de10%" ate $ 20.000. E acima de $ 20.000 0 imposto e de 15%.(a) Esboce 0 grafico do imposto de renda R como uma funcao da

renda 1.(b) Qual 0 imposto cobrado sobre urn rendimento de $ l4.000?

E sobre $ 26.000?(c) Esboce 0 grafico do imposto total cobrado T como uma

funcao da renda I.5 6 . As funcoes no Exemplo I 0 e Exercfcios 54 e 55(a) sao

chamadas de juncoes escada, em virtude do aspecto de seusgraficos. De dois outros exemplos de funcoes escada queaparecem no dia-a-dia.57 . (a) Se 0 ponto (5,3) estiver no grafico de uma funcao par, que

outro ponto tam bern devera estar no grafico?(b) Se 0 ponto (5,3) estiver no grafico de uma funcao impar,

que outro ponto devera tambern estar no grafico?58 . Uma funcao jern 0 dominio [-5,5] e e mostrada uma parte

de seu grafico.(a) Complete 0 grafico defsabendo que ela e uma funcao par.(b) Complete 0 grafico de f sabendo que ela e uma funcao Impar,

y

- s s x

59-64 ::J Determine se f e par, Impar ou nenhurn dos, dois, Se f forpar ou fmpar, use a simetria para esbocar seu grafico,?- f (x) = x- 2 60 . f (x) = x- 3Y. f (x) = x 2 + x 62 . f (x) = X4 - 4x263 . f (x) = Xl - X 64 . f (x) = 3xJ + 2X2 + 1

f.2 Modelos MatematicosUm modelo matematico e uma descricao matematica (frequentemente par meio de uma funcaoou de uma equacao) de urn fenomeno do mundo real, ta l como 0 tamanho de uma populacao, ademanda por urn produto, a velocidade de urn objeto caindo, a concentracao de urn produto em


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36 0 CALCULO

3-4 ~ Associe cada equacao a seu grafico. Explique sua escolha.(Nao use computador ou calculadora grafica.)/(a) y = x2 (b) y = x5 (c)Y = x8

x

f I

4. (a) y =3x(c) y =l (b) y =3 x(d) Y =I Xy

F

g

!II c

x

(a) Encontre uma equacao para uma familia de fungoeslineares com inclinacao 2 e esboce os graficos de variesmembros da familia.(b) Encontre uma equacao para a familia de funcoes lineares

tais que f(2) =I e esboce os graficos de varios membrosda farm1ia.(c) Quais fungoes pertencem a ambas as familiae?

6. Um administradar de mercado de pulgas sabe par experienciaque se cobra x d61ares pelo alugueJ de um espaco, entao 0mimero y de espayos que ele pode alugar e 0 dado pelaequacao y = 200 - 4x.(a) Esboce 0 grafico dessa funcao linear. (Lembre-se de que 0

aluguel cobrado pelo espaco e 0mimero de espacos aluga-dos nao podem ser quantidades negativas.)(b) 0que representam a inclinacao, 0 intercepto yeointercepto x?

A relacao entre as escalas de temperatura Fahrenheit (F) e Cel-sius (C) e dada pela funcao linear F =~C + 32.(a) Esboce 0 grafico dessa funcao.(b) 0 que represent a nesse grafico a inclinacao? 0 que repre-

senta 0 intercepto F do grafico?

8. Jose deixa Detroit as 2 da tarde e guia a uma velocidadeconstante em direcao a oeste pela rodovia 1-90. Ele passa porAnn Arbor, a 400 milhas de Detroit, as 2:50 da tarde.(a) Expresse a distancia percorrida em termos do tempo decorrido.(b) Esboce urn grafico da equacao da parte (a).(c) Qual e a inclinacao dessa reta? 0 que ela representa?

9 . Biologos notaram que a taxa de cantos de grilo de uma certaespecie esta relaeionada eom a temperatura de uma maneiraque aparenta ser linear. Um grilo canta 113 vezes por minuto a70 OFe 173 por minuto a 80 oF .(a) Encontre uma equacao linear que modele a temperatura T

como uma funcao do mimero de cantos por minuto N.(b) Qual e a inclinacao do grafico? 0que ele representa?(c) Se os grilos estiverem cantando 150 vezes por minuto,

estime a temperatura.1 0. Urn administrador de uma fabric a de m6veis deseobre que

custa $ 2200 para fabricar 100 cadeiras em urn dia e $ 4800para produzir 300 cadeiras em urn dia.(a) Expresse 0 custo como uma funcao do mimero de cadeiras

produzidas, supondo que e ela e linear. Entao esboce 0 grafico.(b) Qual a inclinacao do grafico eo que ela representa?(c) Qual 0 intercepto y do grafico e 0 que ele representa?Na superficie do oceano, a pressao da agua e igual a do aracima da agua, 15 Ib/poF. Abaixo da superffcie, a pressao daagua eresee em 4,34 lb/pol' para eada 10 pes de deseida.(a) Expresse a pressao da agua como uma funcao da profundi-

dade abaixo da superffcie do oceano.(b) A que profundidade a pressao e de 100 1b/pol'

(1lb/pol' = 0,068046 atm = 703,07 kg/m')?12. 0 custo mensal do uso de urn carro depende do rnirnero de

milhas rodadas. Lia descobriu que em maio eia gastou $ 380e guiou 480 milhas, e em junho gastou $ 460 e guiou 800milhas.(a) Expresse 0 custo mensal C como uma funcao da distancia

percorrida d, supondo que a relacao linear da urn modeloapropriado.

(b) Use a parte (a) para predizer 0 custo quando 1500milhasforam percorridas por meso

(c) Esboce 0grafico da funcao.0que a inclinacao representa?(d) 0que representa 0 intercepto y?(e) Por que uma funcao e urn modelo apropriado nessa situacao?

13-14 0 Para cada marca de dispersao, decida qual 0 tipo-de funcaoque voce escolheria como urn modelo para os dados. Explique suaescolha.'13. (a) y

x

r-".,".','

01 ',. ~ e ." ,.. . .,"

o


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46 0 C A l C U L O

1 3 possivel fazer a composicao de tres ou mais funcoes. Por exemplo, a funcao compostafa g 0 h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, entao g , e entao f como a seguir:

(f 0 9 0 h)(x) = f(g(h(x)))

E X E M P L O 1 1 0 D Encontre fo g 0h se f(x) = x/ex + 1), g(x) = X 10e hex) = x + 3 .S O L u C A o

(fo go h)(x) = f(g(h(x))) = f (g(x + 3))(x + 3)10=f x + 3)10) = ____: ___:__(x + 3 ) L O + 1 n

Ate aqui usamos a composicao para construir funcoes complicadas a partir das maissimples. Mas em calculo e frequentemente proveitoso ser capaz de decompor uma funcaocomplicada em funcoes mais simples, como no exemplo a seguir.I E X E M P L O 1 1 D Dada F(x) = cos2(x + 9), encontre funcoes f, 9 e h tais queF =a 9 0 h.S O L u C A o Uma vez que F(x) = [cos(x + 9 ) ] 2 , a formula para F estabelece que: primeiroadicionamos 9, e entao tomamos 0 cosseno do resultado e finalmente 0quadrado. Assim,fazemos

Entaohex) = + 9 g(x) = cos x f(x) =2

(fo 9 0 h)(x) =(g(h(x))) =(g(x + 9)) = f(cos(x + 9))= [cos(x + 9)]2 = F(x)

Exerdcios

./ Suponha dado 0 grafico de f Esereva equaeoes para os graficosobtidos a partir do grafico de f da seguinte forma.(a) Desloque 3 unidades para cima,(b) Desloque 3 unidades para baixo.(c) Desloque 3 unidades para direita.(d) Desloque 3 unidades para esquerda.(e) Faca uma reflexao em torno do eixo x.(f) Faca uma reflexao em torno do eixo y.(g) Estique vertiealmente por urn fator de 3.(h) Eneolha vertiealmente por urn fator de 3,

2. Explique como obter, a partir do grafico de y =(x) , osgraficos a seguir(a) y =f (x)(c) y =f (x)(e) y =(5x)

(b) y =(x - 5)(d) y = -5f(x)(f) y =f (x ) - 3

o grafico y =(x } e dado. Assode cada equacao com seu gra-fico e de razoes para suas escolhas,(a) y =(x - 4) (b) y =(x } + 3

D

(c) y =\ f(x)(e) y =f( x + 6) (d) y =-f(x + 4)

x

(J )( \-6 6

4. 0 grafico de f e dado. Esboee os graficos das seguintesfuncoes.(a) y =f(x + 4) (b) y =(x ) + 4


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(c) y =2f(x) (d) y =U(x) + 3y/1\V/ \./VV 10 X

o grafico de f e dado. Use-o para fazer 0 grafico das seguintesfuncoes.(a) y =(2x)(c) y =( -x) (b) y =O x)(d) y = fe -x)

y

V'~J -,0 ~ ./'V x

6-7 00 grafico de y =/3x - x 2 e dado. Use transformacoespara criar uma funcao cujo grafico e mostrado.

y

x

1,5 y = " l/3x-x '

o 36. y

x

3

o 5/. y

-2,5

-4 o x-I -[

CAP iTULO 1 FUN


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48 0 CALCULO

29-3D Use a adicao grafica para esbocar 0 grafico de f + g.29 . Y

30 .

__--~+_-.r---_7--+x

31- 32 Encontre f + g , f - g , f g e f ig, e estabeleca os domfnios.~ f(x) =3 + 2X2, g (x) =x2 - I32. f(x) = Jf+X, g(x) =JI=x3334 Use os graficos de f e 9 e 0 metoda da adicao grafica paraesbocar os graficos de f + g.

,., fex) =, g (x) = l/x 34. f(x) =3, g(x) =x235-40 Encontre as funcoes fog , 9 0I, 0f ego 9 e seusdominios.

)'I. f(x) =Xl - X , g (x) =x + 236 . f(x) =.JX=), g(x) = Xl;n. f(x) =1/X, g (x) =3 + 2x

1 x- I38. f(x) =~' g(x) = ~~. f(x) = sen x, g (x) =1- ,;;.:40. f(x) = #=1, g(x) = JI=x41-44 Encontre fo g 0 h.41. f(x) = x - 1 , g(x) = yix, hex) = x- I

142. f(x) = -, g(x) = x', hex) = Xl + 2x43. f(x) = X4 + 1, g(x) = x - 5, hex) = ,;;.:44 . f(x) =I X , g(x) =x_, hex) =jXx-I

45-50 0 Expresse na forma as funcoes t= g.;t{ F(x) =x - 9)5 46. F(x) =en(-IX)

x2P. G(x ) =x 2 + 449. u(t) =eos t

I48. G (x ) =--x+ 350 . u(t) = tg trt

51-53 Expresse na forma as funcoes fo g 0h.51. H(x) = - 3' " 52 . H(x) =1 '; ; ' : - I53 . H(x) =sec'(yix)54. Use a tabela para determinar 0 valor de eada expressao.

(a) f(g(1 (b) g(f(I (e) f(f(I(d) g(g(1 (e) (g 0 f)(3) (f) (f 0 g)(6)

x I 2 3 4 5 6f ( . I ' ) 3 I -+ 2 : : 5g( x ) 6 3 2 I : : .3

55. Use, os graficos dados de f e 9 para deterrninar 0 valor de eada umadas expressoes ou explique por que elas nao estao definidas.(a) f(g(2 (b) g( f (O (e) (fo g)(O)(d) (gof)(6) (e) (gog)( -2) (f) ( fof)(4)

56 . Use os graficos dados de f e 9 para estimar 0 valor de f(g(xpara x =-5, -4, -3, ... ,5.Use essas estimativas paraesbocar 0 grafico de fog .

Y


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~ queda de uma pedra em urn lago cria ondas circulares que seespalham a uma velocidade de 60 cmfs.(a) Expresse 0 raio desse cfrculo como uma funcao do tempo t

(em segundos).(b) Se A e a area do cfrculo como uma funcao do raio, encon-

tre A 0 r e interprete-a,58. Urn aviao esta voando a uma velocidade de 350 milh, a uma

altitude de 1 milha, e passa diretamente sobre uma estacao deradar no instante t =O.(a) Expresse a distancia horizontal de voo d (em milhas) como

uma funcao de t.(b) Expresse a distancia s entre 0 aviao e a estacao de radar

como uma funcao de d.(c) Use a composicao para expressar s como uma funcao de t.

~ A funr;ao de Heaviside He definida porH(t) ={ o se t < 01 se i 0

Essa funcao e usada no estudo de circuitos eletricos para repre-sentar 0 surgimento repentino de corrente eletrica, ouvoltagem, quando uma chave e instantaneamente ligada.(a) Esboce 0 grafico da funcao de Heaviside.(b) Esboce 0 grafico da voltagem Vet) no circuito se uma

chave for ligada no instante t = e 120 volts forem aplica-dos instantaneamente no circuito. Escreva uma formulapara Vet) em termos de H(t).

(c) Esboce 0 grafico da voltagem Vet) em urn circuito quandoe ligada uma chave em t = segundos e 240 volts saoaplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma for-mula para Vet) em terrnos de H(t). (Note que comecar emt =5 corresponde a uma translacao.)

60. A funcao de Heaviside definida no Exercfcio 59 pode tambem serusada para definir uma funcao rampa y = etH(t ) , que representaurn crescimento gradual na voltagem ou corrente no circuito.(a) Esboce 0 grafico da funcao rampa y =H(t).(b) Esboce 0 grafico da voltagem Vet) no circuito se uma chave

for ligada no instante t = e a voltagem crescer gradualrnenteare 120 volts em urn intervalo de 60 segundos. Escreva umaformula para VC t ) em termos de H(t) para t ~ 60.

(c) Esboce 0 grafico da voitagem Vet) em urn circuito se emt =7 s for ligada uma chave e a voltagem crescergradualmente ate 100 volts em urn perfodo de 25 s. Escrevauma formula para Vet) em terrnos de H(t) para t ,;; 32.

61. (a) Se g(x) = 2x + I e hex) = 4x2 + 4x + 7, encontre umafuncao f tal que fo g =h. (Pense sobre quais operacoesdeveriam ser feitas em 9 para chegar em h.)

(b) Se f (x) =x + 5 e hex) =x2 + 3x + 2, encontre umafuncao 9 tal que fo g =.

CAPiTULO 1 FUNC;:OES E MODELOS 0 49

62. Se f (x) = + 4 e hex) =x - 1, encontre uma funcao 9 talque go i=.

63. Suponha 9 uma funcao par e seja h == g. A funcao h e sem-pre uma funcao par?

64. Suponha 9 uma funcao frnpar e seja h =og . A funcao h esempre uma funcao par? E se f for Impar? E se f for par?

65. Suponlia dados os graficos de f e g, como na figura. Queremosentao encontrar 0 ponto sobre 0 grafico de h =o 9 que cor-responde a x =. Cornecamos no ponto (a, 0) e tracamos areta vertical que intercepta 0 grafico de 9 em P. Tracamosentao a reta horizontal por P para 0 ponto Q ate encontrar areta y =x.(a) Quais sao as coordenadas de Pede Q?(b) Se tracarrnos a reta vertical por Q ate encontrarmos 0 gra-

fico de f em R, quais as coordenadas de R?(c) Se tracarmos par R a reta horizontal ate encontrarmos a

reta x = em S, mostre que S esta no grafico de h.(d) Repetindo 0 caminho PQRS para varios valores de a,

esboce 0 grafico de h.y

g

y=x

o a x66. Sejafa funcao cujo grafico e mostrado. Use 0 metoda do

Exercfcio 65 para esbocar 0 grafico de f 0 f. Comece usando aconstrucao para a =,0,5, 1, 1,5 e 2. Esboce urn grafico parao ~ x ~ 2. Use entao 0 resultado do Exercfcio 64 paracompletar 0 grafico.

y

2 x


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C A P iT U L O 1 FUN(:OES E MODELOS D 63

E X E M P lO 5 D Useum recursograficoparaencontraros valoresde x para os quais e' > 1.000.000.S O L u C A o Na Figura 16fizemos os graficos de y =e' e da reta horizontal y = 1.000.000.Vemos que essas curvas se interceptam quando x = 13,8. Assim, e' > 106 quandox > 13,8. E realmente surpreendente que a funcao exponencial ja ultrapassou 1 milhaoquando x e somente 14.

FIGURA 16

Exercicios/' (a) Escreva uma equacao que defina a funcao exponencial com

base a> O .(b)(c)(d)

Qual e 0 dominio dessa funcao?Se a # 1, qual a variacao dessa funcao?Esboce a forma geral do grafico da funcao exponencial nosseguintes casos.(i) a > 1 (ii) a =1 (iii) 0 < a < 1

2 . (a)(b)(c)

Como e definido 0 nurnero e?Qual e urn valor aproximado de e?Qual e a funcao exponencial natural?~ =3-6 D Faca numa mesma tela os graficos das funcoes dadas. Comoestao relacionados esses graficos?

1,5 X 106 l15 c~=========C~_V

(d) refietir em tome do eixo y(e) refietir em tome do eixo x e depois em torno do eixo y

16 . Come9ando com 0 grafico de y =e", encontre as equacoes dosgraficos que resultam de(a) refietir em torno da reta y =4(b) refietir em torno da reta x =2

17-18 D Encontre a funcao exponencial f(x);f. Cd cujo grafico e dado.18.

3 . y = 2 " Y = e", Y = 5x, y = 20 X4. y = e ', y = e-X, y = S', y = 8~'5. y = 3-', y= l O X , y= 0)', y = G o Y x 0 x6. y = 0,9'0 y = 0,6-', y = 0,3" y = O,lx7-14 D Faca urn esboco do grafico de cada funcao, Nao use calcu-ladora. Use somente os graficos dados nas Figuras 3 e 14 e, senecessario, as transformacoes da Secao 1.3./- y = 2' + l- B . y = 2x+9. Y = 3 ~ X 10. y =-3"/'y=-rx 12 . y =1xlYy=3 - e' 14. y = 2 + 5(1 - e~X)~ Cornecando com 0 grafico de y =", escreva as equaeoes cor-

respondentes aos graficos que resultam de(a) deslocar 2 unidades para baixo(b) deslocar 2 unidades para a direita(c) refietir em torno do eixo x

19 . Mostre que os graficos de f(x) =2 e g(x) =2x foram traca-dos sobre uma malha coordenada com 1 polegada; entao, auma distancia de 2 pes a direita da origem a altura do graficode f e de 48 pes, enquanto a altura do grafico de g e cerca de265 rnilhas.~ = 20 . Compare as funcoes f(x) =5 e g(x) =X por meio de seusgraficos em varias janelas retangulares. Encontre todas as inter-seccoes dos graficos corretas ate uma casa decimal. Paragrandes valores de x, qual funcao cresce mais rapidamente?~ = 21 . Compare as funcoes f(x) = 10 e g(x) =X por meio dos gra-ficos f e g em varias janelas retangulares. Quando 0 grafico deg ultrapassa 0 de f?~ = 22. Use urn grafico para estimar os valores de x tais quee X > 1.000.000.000.


10/33

Exercicios(a) 0 que e uma funcao urn a urn?(b) A partir do grafico, como dizer se uma funcao urn a urn?

2. (a) Sejajuma funcao urn a urn com domfnio A e variacao B.Como e definida a funcao inversa j-I? Qual 0 dominic derQual a variacao de j-I?

(b) Se for dada uma formula paraj, como voce encontrarauma formula para j-I ?

(c) Se for dado 0 grafico de f,como voce encontrara 0 graficodeFI?

3-14 0 Uma funcao j'pode ser dada por uma tabela de valores, urngrafico, uma formula ou por meio de descricao verbal. Determineseje urn a urn.

x I 2 3 4 5 6f(x) 1,5 2,0 3,6 5,3 2,8 2,0

4. 3 5 64f(x) 164 8 32

6.

x

8 . y

o

9. I(x) =Tx - 3g (x ) =x l

10. j(x) =x2 - 2x + 51 2 . g (x ) =X

1 3. J e t ) e a altura de uma bola t segundos apos ser chutada.1 4. J e t ) e sua altura no tempo t.

~ i i i15-16 0 Use urn grafico para decidir se j urn a urn.). j(x) =x3 - X. . . . 1 6. j(x) =x3 + X/- Sej for uma funcao urn a urn tal que j(2) =9, quanta e j-I(9)?18. Se j(x) =3 + x2 + tg( 7Tx/2), onde -1< x < 1, encontre

FI(3).

CAPiTULO 1 FUNCDES E MODELOS 0 73

). Se g (x ) = + x + e ", ache g-1(4 ) .20. E dado 0 grafico de f

(a) Por que j'e urn a urn?(b) Determine 0 dominio e a variacao de j -I.(c) Estime 0 valor de j-I(1).

y2

-3 3 x

-2

x

21. A formula C =~ (F - 32), onde F ~ - 459,67, expressa a tem-peratura C em graus Celsius como uma funcao da tempe-raturaFern graus Fahrenheit. Encontre uma formula para a funcaoinversa e interprete-a. Qual 0 dominic da funcao inversa?

22 . Na teoria da relatividade, a massa de uma particula com umavelocidade v e

x

mom =(v) = v '1 _ V2/C2onde m e massa da partfcula no repouso e c e a velocidade daluz no vacuo. Encontre a funcao inversa de j e explique seusignificado.

23-28 0 Encontre uma f6rmula para a funcao inversa.() 1 + 3x.jx=--- 5 - 2x

J K . " j(x) ='2 + 5x,zt:y =n(x + 3)

24. j(x) =5 - 4x 326 . y =10 '

1 + e X28 . y =1 _ e X~i29-30 0Encontre uma formula explfcita de r' e use-a para fazer

na mesma tela os graficos de r ' . j e da reta y =. Para verificarseu trabalho, veja se seus graficos de j er sao reflexoes em tornoda reta,29. j(x) =] - 2/x2, x > 030. j(x) = ' X 2 + 2x, x> 0


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74 0 CAlCUlO

. J f . ' Use 0 grafico dado de f para esbocar 0 de t'.

x

32. Use 0 grafico dado defpara esbocar os graficos de f-I e 1/f.y

x.r (a) Como esta definida a funcao Iogantmica y =og, x '!(b) Qual 0 dorninio dessa funcao?(c) Qual a variacao dessa funcao?(d) Esboce a forma geral do grafico da funcao

y = log" x se a > 1.34 . (a) 0 que e 0 logaritmo natural?

(b) 0 que e 0 logaritmo comum?(c) Esboce os graficos no mesmo conjunto de eixos das

fungoes logaritmo natural e exponencial natural.35-38 0 Encontre 0 valor exato de cada expressao,35. (a) log26436 . (a) log82

(b) logdc;(b) In eft

37 . (a) 10gJO1,25 + loglo 80(b) logs 10 + IOg520 - 310gs2

39-40 0 Expresse a quantidade dada como urn unico logaritmo.39. 2 In 4 - In 2 40 . In x + a In y - b In z41. Use a F6rmula 10 para computar cada logaritmo correto ate a

sexta cas a decimal.(a) log25 (b) logs 26,05

42 . Encontre 0 domfnio e a variacao da funcao g(x) =n(4 - X l ) .

~; 43-44 0 Use a F6rmula IO para fazer 0 grafico das fungoes dadasnuma mesma tela. Como estao relacionados esses graficos?43 . y = log.;, Y = Inx, y = log.s x, Y = logsox44 . Y = In x, y = log 10 X, Y = e", Y = 10'45 . Suponha que 0 grafico de y =og , X e feito sobre uma malha

coord en ada onde a unidade de comprimento e I polegada.Quantas milhas it direita da origem devemos percorrer antes daaltura da curva atingir 3 pes?

~; 46. Compare as fungoes f(x) = X O , I e g(x) = In x atraves de seusgraficos f e g em varias janelas retangulares. Quandofinalmente 0 grafico de f ultrapassa 0 de g?

47-48 0 Faca 0 esboco do grafico de cada funcao, Nao use a calcu-ladora. Use somente os graficos dados nas Figuras 12 e 13 e, senecessario, as transformacoes da Secao 1.3.47. (a) y =og IO(X + 5)48 . (a) y =n( - x)

(b) y =-In x(b) y =n I x I

49-52 0 Resolva cada equacao em x./(a) e' =16 (b) lnx =-]50. (a) In(2x - 1) = 3 (b) e3x-4 = 27- (a) 2 x-5 = 3 (b) In x + In(x - 1) =152 . (a) lnfln x) = 1 (b) e ax = Ce': onde a~b

ttE 53. Faca 0 grafico da funcao f (x) =jx 3 + x 2 + X + 1 e expliquepor que ela e um a urn. Use entao urn CAS para encontrar umaexpressao explfcita para f - I (X ) , (Seu CAS ira produzir tresexpressoes possfveis, Explique por que duas delas saoirrelevantes nesse contexto.)

tm 54 . (a) Se g(x) =6 + X4, X ?o 0, use urn sistema algebrico com-putacional para encontrar uma expressao para 9 - I ( X ) .

(b) Use a expressao da parte (a) para fazer L1 m grafico namesma tela de y = (x) , y =x e y = -I(X),

55 . Se a populacao de bacterias corneca com 100 e dobra a cadatres horas, en tao 0mimero de bacterias ap6s t horas en = f ( t ) = 100 21(3 (veja Exercfcio 23 na Secao 1.5).(a) Encontre funcao inversa e explique seu significado,(b) Quando a populacao atingira 50.000 bacterias?

56. Ap6s acionado oflash de um a camera, a bateria imediatamentecomeca a recarregar 0 capacitor do flash, 0 qual armazena umacarga eletrica dada por

Q(t) =QoO - e-I/a)(A capacidade maxima de carga e Qo, e t e medido em segun-dos.)(a) Encontre a funcao inversa e explique seu significado,(b) Quanto tempo levara para 0 capacitor recarregar 90% da

capacidade se a =?


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CAPITULO 2 LlMITES E DERIVADAS 0 89

que e igual it velocidade media no intervalo de tempo [a, a + h]. Logo, a velocidade noinstante t =a (0 limite dessas velocidades medias quando h tende a 0) deve ser igual it incli-nacao da reta tangente em P (0 limite das inclinacoes das retas secantes).

FIGURA 5

Inclinacao da reta secante=elocidade media

s = 4,9t2

Inclinacao da tangente=velocidade instantanea

o a(a) (b)

Os Exemplos 1 e 3 mostram que para resolver os problemas da velocidade e da tangentedevemos ser capazes de encontrar limites. Ap6s estudarmos os metodos para 0 calculo delimites nas pr6ximas quatro secoes, vamos retornar aos problemas de encontrar tangentese velocidades na Secao 2.7.

Exercicios/. Urn tanque com capacidade para 1000 galoes de agua e

drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostramo volume V de agua remanescente no tanque (em gal5es) ap6s tminutos.

t (min) 5 10 1 5 2 0 25 3 0V (galoes) 694 4 44 2 50 11 1 28 0

(a) Se P for 0 ponto (15, 250) sobre 0 grafico de V, encontreas inclinacoes das retas secantes PQ, onde Q e 0 pontosobre 0 grafico correspondente a t = 5, 10,20,25, 30.

(b) Estime a inclinacao da reta tangente em P pela media dasinclinacoes de duas retas secantes.

(c) Use 0 grafico da funcao para estimar a inclinacao da retatangente em P. (Essa inclinacao representa a taxa segundoa qual a agua flui do tanque ap6s 15 minutos.)

2. Urn monitor e usado para medir os batimentos cardfacos de urnpaciente ap6s uma cirurgia. Ele fornece urn ruimero debatimentos cardfacos ap6s t minutos. Quando os dados natabela sao colocados em urn grafico, a inclinacao da retatangente representa a taxa de batimentos cardiacos por minuto.

t (min) 36 3 8 40 42 4 4Batimentos 2 53 0 2 661 2 80 6 29 48 3080ardiacos

o monitor estima esse valor calculando a inclinacao de umareta secante. Use os dados para estimar a taxa de batimentos

cardiacos apos 42 minutos usando a reta secante entre os pon-tos com os valores de t dados.(a) t =36 e t =42(c) t = 40 e t = 42 (b) t =38(d) t =42 e t =2t = 44Quais sao suas conclus5es?

~O ponto P(4, 2) esta sobre a curva y =y'x.(a) Se Q for 0 ponto ( x , y'x), use a ca1culadora para encontrar

a inclinacao da reta secante (PQ corretas ate a sexta casadecimal) para os seguintes valores de x :(i) 5 (ii) 4,5 (iii) 4,1(iv) 4,01 (v) 4,00 I (vi) 3(vii) 3,5 (viii) 3,9 (ix) 3,99(x) 3,999

(b) Usando 0 resultado da parte (a), encontre 0 valor da incli-nacao da reta tangente a curva em P( 4, 2).(c) Usando a inclinacao da parte (b), encontre uma equacao dareta tangente a curva em P(4, 2).

4. 0 ponto P(0,5, 2) esta sobre a curva y =1/x.(a) Se Q for 0 ponto (x, l/x), use a calculadora para encontrar

a inclinacao da [eta secante PQ (correta ate a sexta casadecimal) para os seguintes valores de x:(i) 2 (ii) 1 (iii) 0,9(iv) 0,8 (v) 0,7 (vi) 0,6(vii) 0,55 (viii) 0,51 (ix) 0,45(x) 0,49

(b) Usando 0 resultado da parte (a), encontre 0 valor da incli-nacao da reta tangente a curva em P(0,5, 2).


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90 0 cAl .cUUJ

(c) Usando a inclinacao da parte (b), encontre uma equacao dareta tangente a curva em p eQ ,5 , 2 ).

(d) Faca urn esboco da curva, de duas retas secantes e da retatangente.

Y.Uma bola e atirada no ar com uma velocidade de 40 pes/s, esua altura em pes apos t segundos e dada POf Y =0t - 16 t2(a) Encontre a velocidade media para 0 perfodo de tempo que

comeca quando t = 2 e dura de(i) 0,5 s (ii) 0,1 s(iii) 0,05 s (iv) 0,01 s

(b) Encontre a velocidade instantanea quando t = 2,6. Uma flecha e lancada para cima com uma velocidade de 58 m/s,e sua altura em metros ap6s t segundos e dada porh = 58t - 0,83r.(a) Encontre a velocidade media durante os intervalos de

tempo dados:(i) [1,2](iv) [1,1,01]

(ii) [1,1,5](v) [1,1,001]

(iii) [1,1,1](b) Encontre a velocidade instantanea ap6s 1 segundo.

7. 0 deslocamento (em pes) de uma certa partfcula movendo-seem linha reta e dado por s =3/6 , onde t e medido em segun-dos,(a) Encontre a velocidade media durante os periodos de

tempo a seguir:(i) [1,3](iii) [1,1,5]

(ii) [1,2](iv) [1,1,1]

(b) Encontre a velocidade instantanea quando t = 1.(c) Faca urn grafico de s como uma funcao de t e trace retas

secantes com inclinacoes iguais as velocidades mediasencontradas na parte (a).

(d) Trace a reta tangente cuja inclinacao e a velocidade instan-tanea da parte (b).8. A posicao de um carro e dada pelos valores mostrados na

tabela./ (segundos) 0 1 2 3 4 5s (pes) 0 10 3 2 70 119 178

(a) Eneontre a velocidade media para 0 perfodo de tempocomecando quando t = 2 e durando(i) 3 s (ii) 2 s (iii) 1 s

(b) Use 0 grafico de s como uma funcao de t para e timar avelocidade instantanea quando t = 2.

o ponto P(l, 0) esta sobre a curva y = sen(I07Tx).(a) Se Q for 0 ponto (x, sen(107T/x, encontre a inclinacao dareta seeante PQ (correta ate a quarta casa decimal) parax =2, 1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,0,5,0,6,0,7,0,8 e 0,9, E evi-dente ou nao que as inclinacoes tendem a urn limite?

(b) Use urn grafico da eurva para expliear por que asinclinacoes das retas seeantes da parte (a) nao saopr6ximas da inclinacao da reta tangente em P.

(c) Eseolhendo retas seeantes apropriadas, estime a inclinacaoda reta tangente em P.

o Limite de uma FuncaoTendo visto na secao anterior como surgem os limites quando queremos encontrar tan-gentes a uma eurva ou a velocidade de urn objeto, vamos voltar nossa atencao para limitesem geral e para os metodos de cornputa-los.Vamos investigar 0 comportamento da funcao I definida por I(x) =x2 - X + 2 para

valores de x proximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de I(x) para valores de xproxirnos de 2, mas nao iguais a 2.

x f (x) x f{x)1,0 2,000000 3,0 8,0000001,5 2,750000 2,5 5,7500001,8 3,440000 2,2 4,6400001,9 3,710000 2,1 4,3100001,95 3,852500 2,05 4,1525001,99 3,970100 2,01 4,0301001,995 3,985025 2,005 4,0150251,999 3,997001 2,001 4,003001

Da tabela e do grafico deIuma parabola) mostrado na Figura 1 vemos que quando xestiver proximo de 2 (de qualquer lado de 2), f (x) estara proximo de 4. De fato, e evidenteque podemos tornar os valores de I(x) tao proximos de 4 quanto quisermos tornando x sufi-eientemente proximo de 2. Expressamos isso dizendo que "0 limite da funcaoI(x) = x2 - X + 2 quando x tende a 2 e igual a 4".

f ix)tende a4.

o xQuando x tende a 2,

FIGURA 1


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y

x

FIGURA 15y

3 1 ] ; X2IIII

FIGURA 16Y = tg x

FIGURA 17o eixo x e uma assintota vertical dafuncao !ogaritmo natural.

Exercicios

CAPiTULO 2 LlMITES E DERIVADAS 0 99

2 2E X E M P lO 9 0 Encontre lim -- e lim --.x-->3+ X - 3 x-->r x - 3SOLU~AO Para valores de x maiores, porern pr6ximos de 3, 0 denominador x - 3 e urnmimero positivo pequeno, e 2/(x - 3) e urn mirnero positivo grande. Entao, intuitiva-mente vemos que

. 2lim --- =aJx->3+ X - 3

Da mesma forma, para valores de x menores, porern pr6ximos de 3, x - 3 e urn mimerocom pequeno valor absoluto, mas negativo, e portanto 2/(x - 3) e urn mimero com valorabsoluto grande e negativo. Portanto

2lim --- =-aJx->3- X - 3

o grafico Ciacurva y = 2/(x - 3) esta dado na Figura 15. A reta x = 3 e uma assfntotavertical.E X E M P lO 1 0 0 Encontre as assfntotas verticais def(x) = tg x.SOLUCAO Como

senxtg x cosxexistem assintotas verticais potenciais onde cos x =O. De fato, como cos x ---,'> 0+ quandox ---,'> (1T/2)- e cos x ---,'> 0- quando x ---,'> (1T/2)+, considerando que sen x e positivo quandox esta pr6ximo de nl2, temos

lim tg x = ccx->(7r/2)- lim tg x ==ccx-;'(7T/2)+eIsso mostra que a reta x =T/2 e uma assfntota vertical. Por raciocinio analogo mostra queas retas x =2n + 1)1T/2, onde n e urn inteiro, sao todas assfntotas verticais de f (x) = tg x .o grafico da Figura 16 confirma isso.Urn outro exemplo de uma funcao cujo grafico tern uma assintota vertical e a funcao

logaritmo natural y =n x. Da Figura 17 vemos quelim lnx ==cx:x~o+

e assim a reta x = 0 (0 eixo y) e uma assintota vertical. Na realidade, isso e valido paray =og a x desde que a > 1. (Veja as Figuras 11 e 12 da Secao 1.6.)

l imf(x) =x---)2

yExpJique com suas palavras 0 significado da equacaolim f (x) = 7x---",j+

2. Explique 0 que significa para voce dizer quelim f(x) =3x_,.l- e

E possive!, diante da equacao acima, que f(2) = 3? Explique. Nessa situacao e possfvel que lim,_1 f (x) exista? Explique.


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1 00 D CALCULO

YExplique 0 significado de cada uma das notacoes a seguir.(a) lim f(x) = 00 (b) lim f(x) = -co

x - - - - - > - 3 . 1 ' - - - - - > 4 +

4. Para a funcao f cujo grafico e dado, determine 0 valor da quan-tidade indicada, se ela existir. Se nao existir, explique pm que.(a) lim j'(z) (b) lim f(x)X~O x-3-(e) lim f(x) (d) limf(x)

x - -- - -> 3 + x - -- - - ' ) o 3

(e) f(3)y

r-- 4 /Vg' VI- I ' - - - I- t---II o I ~ x

I I

~ara a funcao f cujo grafico e dado, determine 0 valor da quan-tidade indicada, se ela existir. Se nao existir, explique por que.(a) limf(x) (b) lim f(x) (e) lim f(x)x-I x --3 - .< ----->3+(d) limf(x) (e) f(3) (f) lim f(x)x ~3 x -----> -2 -(g) lim f(x) (h) lim f(x) (i) f( - 2)

x----->-2+ x---2

- f- - i+f - - f-+--l--I-+-I---I+ ') Ii r-,N - - r - - v -I ~4-~+~~~-~~/1 h V

~.

6. Para a funcao g eujo grafico e dado, determine 0 valor da quanti-dade indieada, se ela existir. Se nao existir, explique por que.(a) lim g(x) (b) lim g(x) (e) lim g(x)x--2- x--2+ x--2

I I y I- II I I I1

,II, I I fli! " -H-H- i - -- - i\} \.:IIf-


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10. Um paciente recebe uma injecao de 150 mg de uma droga acada 4 horas. 0 grafico mostra a quantidade f(t) da droga nacorrente sangufnea ap6s t horas. (Posteriormente seremoscapazes de computar a dosagem e interval os de tempo quegarantam que a concentracao da droga na o atinja niveisperigosos.) Encontre

lim f ( r )1-12- ee explique 0 significado desses limites laterais.

i i i 11. Use 0 grafico da funcao f(x) =1/(1 + eli.) para estabelecer 0valor de cada limite, se existir. Se nao existir, explique par que.(a) lim f(x) (b) lim f(x) (c) limf(x)x-o- x-o+ x-o

12. Esboce 0 grafico da funcao a seguir e use-o para deterrninar osvalores de a para os quais limx-.af(x) existe:

{2 - x se ..1'< -1

f(x) = x se -1 ~ x O

Tomando-se no Teorema da Espremedura f(x) =-x2, g(x) = x2 sen (I/x), e h(x) =x2obtem-se

1Iimx? sen- =0X---: >O X c

ExerciciosKnadoque

limf(x) = -3X - - - - O ! o G

lim g(x ) = 0x-)a lim hex) = 8(c) lim ( Ih(X j

x-a

1(d) lim -(-)X(I f x

(f) lim g(x )x~ " f(x)

(h) lim 2f(x)x -r - a hex) - f(x)a) lim [j(x) + hex)]x~a (b) lim [ f ( X ) ] 2x-a

. f(x)(e) lim -( )Xll h x()I. f(x)g Im-x~ " g(x )

encontre, se existir, 0 limite. Cas a nao exista, explique par que.


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110 0 CALCUlO

2. Os graficos de f e g sao dados. Use-os para calcular cada li-mite. Caso nao exista 0 limite, explique por que.(a) lim [f(x) + g(x)] (b) lim [f(x) + g(x)]x~2 x-I(c) lim [f(x)g(x)]

x- o(d) lim lex)

~~-I g(x)(t) lim JC'3+-!=(x~)x_I

3-9 0Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis doLimite que forem usadas.. lim (5x2 - 2x + 3 )x-4

x - 2~ lim --2--------/". x~-I X + 4x - 3Y , l i . I ' l \ ( t + 1 ) 9 ( t2 - 1)Yxli_.~-,)16 - x2

4. lim (x ' + 2)(x2 - 5x)x~36.~~ (;: : ~: ~~ Y8. lim ,)u4 + 3u + 614--2

10 . (a) 0 que ha de errado com a equacao a seguir?x2 + X - 6x-2

(b) Em vista de (a), explique por que a equacao=x+3

x2 + X - 6lim = lim (x + 3)x-2 X - 2 x-2

esta correta.11-28 0Calcule 0 limite, se existir,/ x2 - X + 12-'11. lim ----------

x~-3 x + 3x+2)< f lim -2---x~-2 X - X - 6. (h - 5)2 - 2 5)Y. lim

h->O hll../iim (I + h)4 - 1Y' h ~ O h

9 - tlim---1~9 3 - Ii

12 . lim x2 - X - 12

x--3 x + 3x2 + X - 214. lim --2--------

,->1 X - 3x + 2x3 - 116 . lim---x_' I x2 - I. (2 + h ) 3 - 8

18. l~ ht2 + t - 620. lim ---::-----

1->2 t2 - 4X4 - 1622.1im----

x~2 x - 2

x2 - 817 " - V " ' 1 im r:.T';-9yx-3[ 1 1]lim --?->0 tJI+t t

24. lim [ _ 1 _ - _ 2 _ J. - 1 x - I Xl - 1_,;o x 2,21. lim---

x-2 X - 2

~ii 29. (a) Estirne 0 valor delim xx-0 . J T + " 3 x - 1

fazendo 0 grafico da funcao f(x) =x/()l+3x - 1 ) .(b) Faca uma tabela dos val o res def(x) para x proximo de 0 e

conjecture qual sera 0 valor do limite.(c) Use as Leis do Limite para mostrar que sua conjectura esta

. correta.~ii30. (a) Use o grafico de

() ~-!3! =-'------'--xpara estimar 0 valor de limx_o!(x) com duas casas deci-mais ,

(b) Use uma tabela de valores def(x) para estimar 0 limitecom quatro casas decimais.

(c) Use as Leis do Limite para encontrar 0 valor exato do li-mite.

~~Use 0Teorema do Confronto para mostrar quelimx_o x2 cos 2 0 7 T X = . I1ustre fazendo os graficos na mesmatela das funcoes jex) = _x2, g(x) = x' cos 2 TTX e hex) = x' .~ii32. Use 0Teorema do Confronto para mostrar que

. ~ 7Tlim v x3 + X 2 sen - =0x-o X

Ilustre fazendo na mesma tela os graficos de f,g e h (como noTeorema do Confronto).Se 1:::; j(x):::; x2+ 2x + 2 para todo x, encontre limx_-I!(x).

34. Se 3x:::; j(x):::; x3 + 2 para 0 ~ x ~ 2, encontre limr_I!(x).. 2~ Prove que lim X4 cos - =O .x-o X

37--42 Encontre, quando existir, 0 limite. Caso nao exista,expJique por que.

. . : d ' t : lim I x + 4 Ix--4 I x + 4 1x+438. limx--4~li I x - 2 1.) . . /~ x - 2 2x2 - 3x40. limx_15 1 2 x - 3 1


20/33

( I I )im --_.r-'>O- X I x I 42. lim ( _ ! _ _ _ 1_)x~o+ x I x IAfunr;iio sinal, denotada por sgn, esta definida por

{-I se x < 0

sgn x = 0 se x = 01 se x> 0

(a) Esboce 0 grafico dessa funcao.(b) Encontre ou explique por que nao existe cada urn dos li-

mites que se seguem.(i) lim sgn x

X----7O+

(iii) lim sgn xx----4-0

(ii) lim sgn x.)'"---+0-

(iv) lim I sgn x Ix----+O

44. Sejaf (x} = { X 2 - 2x + 2 se x < I

3-x sex~l(a) Encontre Iim x~ l- f( x} e limr-'>I+ f (x).(b) Existe l imX-'>lf(x)?(c) Esboce 0 grafico de f

x2 - 1Seja F(x) = I .x - 1(a) Encontre

(i) lim F(x)X-;Io\ +

(ii) lim F(x).\'----+]-(b) Existe limx-'>I F(x)?(c) Esboce 0 grafico de F

46 . Seja

hex) = : 28-x

se x < seO


21/33

Exercicios

/. Escreva uma equacao que expresse 0 fato de que uma funcao fe continua no numero 4.

2. Se f e continua em (-00, 00), 0 que voce pode dizer sobre seugrafico?

/ca) Do grafico def, estabeleca os mirneros nos quais jedescontfnua e explique par que.

(b) Para cada urn dos ruimeros estabelecidos na parte (a),determine se f e continua a direita ou a esquerda, ou nenhumdeles.

y\9 x11

4. Do grafico de g, estabeleca os interval os nos quais g econtinua.

y \-7 7 x

5. Esboce 0 grafico de uma funcao que e contfnua em toda parte,exceto em x = e e continua a esquerda em 3.

6. Esboce 0 grafico de uma funcao que tenha urn salto de descon-tinuidade em x = e uma descontinuidade rernovfvel em x = 4,mas e continua no resto.

7. Urn estacionamento cobra $ 3 pela primeira hora, ou parte dela,e $ 2 por hora sucessiva, ou parte, ate 0 maximo de $ 10.(a) Esboce 0 grafico do custo do estacionamento como uma

funcao do tempo decorrido.

CAPiTULO 2 LIMITES E DERIVADAS 0 131

(b) Discuta as descontinuidades da funcao e sua significanciapara alguem que use 0 estacionamento.

8. Explique por que cada funcao e continua ou descontfnua.(a) A temperatura em urn local especffico como uma funcao

do tempo(b) A temperatura em urn tempo especffico como uma funcao

da distancia em direcao a oeste a partir da cidade de NovaIorque

(c) A altitude acirna do nfvel do mar como uma funcao da distan-cia em direcao a oeste a partir da cidade de Nova Iorque

(d) 0 custo de uma corrida de taxi como uma funcao dadistancia percorrida

(e) A corrente no circuito para luzes de uma sal a como umafuncao do tempo

9t"Sefe g forem funcoes contfnuas, comfl3) = 5 eI' limx~3 [2f(x) - g (x)] =4, encontre g(3).10-12 0 Use a definicao de continuidade e propriedades dos limitespara provar que a funcao e continua em urn dado mirnero.

I1 0. f(x) =2 +~, a =4~ f(x) =(x + 2 X 3 )4 , a =-I

x + 11 2. g(x ) = 2 ' a =42x - I13-14 0Use a definicao da continuidade e propriedades de limitespara mostrar que a funcao e continua no intervalo dado.;v. f(x) =xv'16 - x2, [-4,4]14. x + 1F(x) =x _ 3' (-CX, 3)15-20 0 Explique par que a funcao e descontfnua no rnimero dado.Esboce 0 grafico da funcao,

,Jr." f (x) = In I x - 21 a =1 6. [(x) ~ { ; ~ I

x2 - I.J'}/1(x) =--;+T18. f(x) =X 6 x2 ; ,I se x = F -1

se x =-1

{

X2 - 2x - 8 se x = F 4$'f(x) = 3 x - 4

se x = 4

se x = F a =1se x =

a= -1

a = -1

a=4

20 . f(x} = 1 2 - x2- x se X " " 2se x> 2 a=2


22/33

132 D CALCULO21-2,8 D Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a fun-ao e continua em todo mimero em seu dornfnio. Estabeleca 0dornfnio.;JJ- F(x) = x f(t) = 2t + ~x 2 + 5x + 6 22 .

lY.""h(x) = .:j x-I (x2 - 2) 24 . hex) = sen x.,r x + 1( j(x) = e' sen 5x 26. F(x) = sen- '(x ' - I)rG(t) = In(t4 - 1) 28 . H(x) = c o s ( e F < )~i2.9-30 0 Localize as descontinuidades da funcao e ilustre com um

grafico.29. Y =----,-,-+ e I/x 30. Y = In(tg2x)31-34 D Use a continuidade para ca1cular 0 limite.

5 + J X3.Y. ' lim rs=::': 32 . l im sen(x + sen x )/'.. x~4 V 5 + x .r - rt34. lim arctg ( < - 4 )

x~2 3x- - 6x

YSeja{X - 1 para x < 3f (x) = 5 - x para x ~ 3

Mostre que f e continua em (-00,00).36--37 D Encontre os pontos nos quais f e descontinua, Em quaisdesses pontos f e continua a direita, a esquerda ou em nenhumdeles? Esboce 0 grafico de f

{2 X + 1 se x ~ -I

36 . f (x) = 3x se - I< x 5.

52 . (a) Urn tanque contern 5000 litros de agua pura. Salmouracontendo 30 g de sal por litro de agua e bombeada paradentro do tanque a uma taxa de 25 l/min. Mostre que a

concentracao de sal ap6s t minutos (em gramas por litro) e30tC(t) ----200 + t

(b) 0 que aeontece com a concentracao quando t ~ co?Seremos eapazes de mostrar no Capitulo 9 do Volume II que,sob certas condicoes, a velocidade vet) de uma gota de chuvaeaindo no instante t e

vet) =*(1 - e-"I")onde g e a aceleracao devida a gravidade e v* e a veloeidadefinal da gota.(a) Encontre lim,~," vCt).~I (b) Faca 0 grafico de vet) se v* =1 m/s e g =9,8 m/s'. Quanto

tempo levara para a velocidade da gota atingir 99% de suavelocidade final?

~I54. (a) Fazendo os graficos de y = e -N

~I56 . Para 0 limiteJ4X2 + 1lim = 2x + 1

ilustre a Definicao 7, encontrando os valores de N correspon-dentes a E = 0,5 e E = 0,1.~I57 . Para 0 limite

J4X2 + 1lim =-2x . ... -oo x + 1

ilustre a Definicao 8, eneontrando os val o res de N eorrespon-dentes a E = 0,5 e E = 0,1.~I58 . Para 0 limite

2x + 1lim r=";,~oo yX + 1ilustre a Definicao 9, encontrando urn valor de N correspondenteaM =00.Y . (a) De que tamanho devemos tomar x para que lIx2 < 0,0001?(b) Tomando r =2 no Teorema 5, temos a igualdade

. 1iIm'2=O.t"_OO X

=o

Prove isso diretamente usando a Definicao 7.60. (a) De que tamanho devemos tomar x para que 1/J x < 0,0001?

(b) Tomando r = no Teorema 5, temos a igualdade. 1hm r. =0

x . . .. .. . co - v xProve is so diretamente usando a Definicao 7.


27/33

~ Use a Definicao 8 para provar que lim _ ! _ = .x_-co X62. Prove, usando a Definicao 9, que lim x3 =00.x_oo63?"'tfse a Definicao 9 para provar que lim e' =00.

X~OO

64. Formule precisamente a definicao delim f(x) =00x_-oo

CAPiTULO 2 LlMITES E DERIVADAS 0 1.47

Entao use sua definicao para provar quelim (1 + x3) =-00x_-oo

65.""Prove quelim f (x) =lim fO / t).r r-e cc t-O+

e I lim f (x) = lim_f(l/f)x_-oo (-0se esses limites existirem.

Tangentes, Velocidades e Outras Taxas de VariacaoNa Secao 2.1 estimamos, com base em inforrnacoes numericas, as inclinacoes das retastangentes e as velocidades. Agora tendo ja definido limite e aprendido como calcula-los,retornamos a esses problemas com a capacidade de realmente cornputar as inclinacoes dastangentes, velocidades e outras taxas de variacao,

TangentesSe uma curva C tiver uma equacao y = f(x) e quisermos encontrar a tangente a C em urnponto pea, f(a, consideramos urn ponto vizinho Q(x, f(x, onde x -j:. a, e calculamos ainclinacao da reta secante PQ :

f(x) - f(a)x-a

Entao fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a. Se mp Qtender a urn mimero m, entao definimos a tangente t como send a a reta que passa por P etern inclinacao m. (Isso implica dizer que a reta tangente e a posicao limite da reta secantePQ quando Q tende a P Veja a Figura 1.)

y

Q (x,flx

P(a,f(a IIIIIIIIIII0 a x x xF IG UR A 1


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154 D CALCULO

.7 Exercicios1. Uma curva tern por equacao y =fix).(a) Escreva uma expressao para a inclinacao da reta secantepelos pontos P(3,f(3 e Q(x,f(x,(b) Escreva uma expressao para a inclinacao da reta tangenteem P.

2. Considere urn objeto movendo-se com uma funcao posicaos =fit).(a) Escreva uma expressao para a velocidade media dele no

intervalo de tempo desde t = a ate (';:::.a + h.(b) Escreva uma expressao para a velocidade instantanea dele

no tempo t = a.Y.Considere a inclinacao da curva em cada urn dos cinco pontosdados. Classifique-os em ardem decrescente e explique seuraciocfnio.y

xc

o= ; 4. Faca 0 grafico da curva y = e' nas janelas [-1, 1] por [0, 2],

[-0,5,0,5] por [0,5,1,5] e [-0,1,0,1] par [0,9,1,1]' Dandourn zoom em direcao ao ponto (0, 1), 0 que voce nota emJ.0, I)?

/. (a) Encontre a inclinacao da reta tangente a parabolay =2 + 2x no ponto (-3, 3)(i) usando a Definicao 1(ii) usando a Definicao 2

(b) Encontre a equacao da reta tangente da parte (a).= ~ (c) Faca os graficos da parabola e da reta tangente. Como veri-ficacao, de urn zoom em direcao ao ponto (-3, 3) ate queparabola e a reta tangente fiquem nao distingufveis.

6. (a) Encontre a inclinacao da reta tangente a curva y ;; ;;Xl noponto (-1, -1)(i) usando a Definicao 1(ii) usando a Definicao 2

(b) Encontre a equacao da reta tangente da parte (a).(c) Faca urn grafico da curva e da reta tangente em retangulos

cada vez menores centrados no ponto (-1, -1) ate que acurva e a tangente fiquem nao distingufveis.

7-10 D Encontre uma equacao da reta tangente a curva no pontodado./y =1- 2x - 3x2, (-2, -7)

8. y = 1 / J X , ( 1, 1)9 . y = 1 / x 2, (-2, n

1 0. y = x/(l - x), (0,0)Y < ~ )(b)

12 . (a)(b)

~:! (c)j (a)(b),. ~ (c)

14 . (a)(b),.~ (c)

Encontre a inclinacao da tangente a curva y =/(x + 3)no ponto onde x =a.Encontre as inclinacoes das retas tangentes nos pontoscujas coordenadas x sao (i) - 1, (ii) e (iii) 1.Encontre a inclinacao da tangente a parabolay =1 + x + x2 no pontos onde x =.Encontre as inclinacoes das retas tangentes nos pontoscujas coordenadas x sao (i) -1, (ii) -k e (iii) 1.Faca 0 grafico da curva e das tresretas tangentes em uma tela em comum.Encontre a inclinacao da tangente a curvay =3 - 4x + 1 no ponto onde x =.Encontre as equacoes das retas tangentes nos pontos(1, -2) e (2, 1).Faca 0 grafico da curva e das tangentes em uma tela emcomum.Encontre a inclinacao da tangente a curva y =1/./5 - 2.xno ponto onde x =.Encontre as equacoes das retas tangentes nos pontos (2, 1)e (-2,nFaea 0 grafico da curva e das tangentes em uma tela emcomum.

15. 0grafico ilustra a funcao posicao de urn carro. Use a forma dografico para explicar sua resposta para as seguintes questoes.(a) Qual a velocidade inicial do carro?(b) 0 carro esta mais rapido em B ou em C?(c) 0carro esta aumentando ou diminuindo a rapidez em A, B e C?(d) 0 que aconteceu entre DeE?

sD E

o16. Valeria dirige em uma auto-estrada. Esboce 0grafico da funcao

posicao do carro, se ela dirigir da seguinte maneira: no instantet = 0, 0 carro esta no ponto onde 0marcador de milhas mostra 15e viaja a uma velocidade constante de 50 rnilhas por hora.Continua com essa velocidade por exatamente 1 hora. Entao gra-dualmente 0 carro vai diminuindo a velocidade em urn periodo de2 minutos, quando Valeria para para jantar. 0jantar dura 26 minu-tos, e entao ela recomeca a viagem aumentando gradualtnente avelocidade ate 65 milhas por hora, num periodo de 2 minutos. Eladirige a 65 milhas por hora por 2 horas e entao, num periodo de 3minutos, gradualmente para completamente 0 carro.


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C A P I T U LO 2 LlMITES E DERIVADAS 0 171

Exercicios

1-3 0 Use os graficos dados para estimar 0 valor de cada derivada.Esboce entao 0 grafico de f' .. . K . " f a ) t'(I)(b) /,(2)(c) /,(3)(d) f'(4)

I y

x

y

[ ) ! _ = r e x

'-' I ' - - ., r--t-O

2. (a) /,(0)(b) f'(I)(c) f'(2)(d) f'(3)(e) /,(4)(f) f'(S)

y Iv f ( ) (/ . . . . . ./ \/-;-1 1 " -/ 0 ~

IV y

x

--0

oT5-13 0 Trace QU copie 0 grafico de! (Suponha os eixos com amesma escala.) Use entao 0metodo do Exemplo I para esbocar 0grafico de f' .: v 1 a ) /,(-3)/ . ( b ) f'(-2)

(c) f'(-1)(d) f'(0)(e) /'(l)(f)1'(2)(g) /,(3)

yy = J( )/'\ 1/ \ ~j_ 0 /\./

y 6.

x

4 . Associe 0 grafico de cada funcao em (a)-(d) com 0 grafico desua derivada em I -IV. D e razoes para suas escolhas. B . y

(a) Y (b) y x 0 x

/. y 10 .x0 x x

(c) Y Cd) y1 1 . y 12 . y

xx 0 x


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172 0 CALCULO

x

14-16 0 Faca urn esboco cuidadoso de f e esboce 0 grafico de f'como nos Exercfcios 5-13. Voce pode sugerir uma f6rmula paraf' (x ) a partir de seu grafico?14. f(x) = sen x1 6 . f(x) =n x

~I 1X Seja f(x) =2f (a) Estime as valores de f'(O), f 'm, f'(I), e f'(2) fazendouso de urn recurso grafico para urn zoom no grafico def(b) Use simetria para deduzir os valores de f'( -D, r:-1) e

f'( -2).(c) Use os resultados de (a) e (b) para conjecturar uma

f6rmula para!' (x).(d) Use a definicao de derivada para provar que sua conjectura

em (c) est! correta.~I 18. Seja f (x) =3

(a) Estime os valores de f'(O), f'm, f'(l), f'(2) e f'(3)fazendo uso de urn recurso grafico para urn zoom no gra-fico de f.

(b) Use simetria para deduzir os valores de f'( - D o f'( -1),f'(-2)ef'(-3).(c) Use os valores de (a) e (b) para para fazer 0 grafico def'.(d) Conjecture uma f6rmula para!' (x).(e) Use a definicao de derivada para provar que sua conjectura

em (d) esta correta.19-27 0 Encontre a derivada da funcao dada usando a definicao.Estabeleca os dominies da funcao e da derivada.1 9. f(x) = x + 321 . f(x) =3 - x2 + 2x

20 . f(x) =5 - 4x + 3x222. f(x) = + - I X

x + 124 . f (x) =--x-I126 . g(x) =2x

y. g(x) = JI+2X,V'" G(x) =4 - 3x/' 2+x/1. f(x) =X428. (a) Esboce 0 grafico de f (x) =~ comecando pelo gra-

fico de y =F x e usando as transformacoes da Secao 1.3.(b) Use 0 grafico da parte (a) para esbocar 0 grafico def' .(c) Use a definicao de derivada para encontrar f' (x). Quais os

dominies de f ef' ?(d) Use urn recurso grafico para fazer 0 grafico f' e compare-

o com 0 esboco de (b).

29. (a) Se f(x) =x - (2/x), encontre r e x ) .~i (b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoavel comparandoos graficos de f e f' .

30. (a) Se f(t) = 6/0 + t2), encontre f'(t).~i (b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoavel comparandoos graficos de f e f' ./- A taxa de desemprego Vet) varia com 0 tempo. A tabela (do

Bureau of Labor Statistics) da a porcentagem de desempregona forca de trabalho americana de 1988 a 1997.

I Vet ) I V(/)1 9 8 8 5,5 1 9 9 3 6 , 91 9 8 9 5 . 3 1 9 9 4 6 . 11 9 9 0 5 . 6 1 9 9 5 5 . 61 9 9 1 6 , 8 1 9 9 6 5 . 41 9 9 2 7 , 5 1 9 9 7 4 , 9

(a) Qual 0 significado de U' (t)? Quais sao suas unidades?(b) Construa a tabela de valores de U' (t).

32. Seja Set) a taxa de fumantes no final da escola secundaria noinstante t.A tabela (do Instituto de Pesquisas Sociais e da Uni-versidade do Michigan) da a porcentagem de alunos quedeclararam ter fum ado urn ou mais cigarros par dia durante osiiltimos 30 dias.

I S(/) I S(I)1 9 7 8 2 7 , 5 1 9 8 8 1 8 . 11 9 8 0 2 1 , 4 1 9 9 0 1 9 , I1 9 8 2 2 1 . 0 1 9 9 2 1 7 . 21 9 8 4 1 8 . 7 1 9 9 4 1 9 . 41 9 8 6 1 8 , 7 1 9 9 6 2 2 , 2

(a) Qual 0 significado de S' (t)? Quais sao suas unidades?(b) Construa uma tabela de valores para S'(t).(c) Faca os graficos de S e S'.(d) Como seria possfvel obter valores mais precisos para S' (t)?

33. 0 grafico de f e dado. Estabeleca, explicando, os mimeros nosquais f nao e diferenciavel.

y

6 8

34. 0grafico de g e dado.(a) Em quais mimeros g e descontfnua? Por que?(b) Em quais ruirneros g nao e diferenciavel? Por que?


31/33

y

iii35. Faca 0 grafico da funcao j(x) = x +M. De urn zoomprirneiro em direcao ao ponte (-I, 0) e eotao em direcao aorigem. Qual a diferenca entre os comportamentos dejuas vi-zinhancas desses dois pontes? 0 que voce conclui sobre adiferenciabilidade de f?Iii 36. De urn zoom em d ire9iio aos pontes (l, 0), (0. I) e (-1, 0)sobre 0 grafico da funcao g(x) =x1 -1)"13.0 que vocenola? Relate 0 que voce viu em termos da diferenciabilidade de g.

;/. Seja f(x) =;j;... (a) Se a '" 0, use a Equacao 2.8.3 para encontrar r C a ) .

(b) Mestre que 1'(0) nao existe.(c) Mestre que y =Vi tern lima reta tangente vertical em (0, 0).

(Lembre-se da forma do gni.iko de f Veja a Figura 13 naSecao 1.2.)

lB . (a) Se g(x) = xU." rnostre que g ' ( O ) nao exisre,(b) Se a # 0, encontre g'(a).(e) Mestre que y =2/3 tern urna reta tangente em (0, 0).D (d) Ilustre IIparte (e) fazendo 0grafico de y =X2!3

r.Mostre que a funcao lex) =x - 6 1 nao e diferenciavel em 6.Encontre uma formula para!' e esboee seu grafico.

4Il. Onde a funcao maior inteiro f(x) =xn nao e diferenciavel?Encontre uma formula paraj" e esboce sell grafico.j Y . (a) Esboce 0 grafico da funqao f(x) = I x I .(b) Para que valores de x e] diferenciavel?(c) Encontre lima formula para!, .

CAPiTULO 2 UMITES E DERIVADAS 0 173

42. A derivada esqnerda e a direita de f em a . s ao d efin ld as p orf'-(a) =lim lea + h) - I(a}

It~n- h. lea + 1 1 ) - f (a)j';.(a) = 1 1 m ~ . . ~ ~ ~ ~ ~"~O' h .

se esses limites existirem. Entaoj" (a) existe se e somente seessas derivadas uuilaterais existirern e foremiguais.(a) Enccntre f'-(4) e f';.(4) encontre a funqao

(

0 se x,,;: 05 - x se 0 < x < 4

j(x) = _._1_- se x;;' 45 - x(b) Esboee 0 grafico de f(c) Onde fe descontfnua?(d) Ondej'nzo e diferenciavel?7ernbre-se de que uma fUnqi!ofe chamada de par sef{-x) = = i\x)para todo x em seu domfnio, e de impar se.f\-x) = = -fl.x) paratodo x. Prove cada uma das afirmativas a seguir,(a) A derivada de uma funqiio par e uma funcao Irnpar..(b) A derivada de urna funqao Impar e urna funcao par.

44. Quando voc: abre uma torneira de agua queute, a temperaturaT da aglJa depende de quanto tempo a ngua esta correndo,(a) Esboce urn grafico possivel de T como uma funqiio de I,

que deeorreu desde que a torneira foi aberta.(b) Descreva como e a taxa de variacao de T em relw,ao a t

quando Iesta crescendo.(e) Esboce urn grafico da derivada de T.45. Seja e a reta tangente li : parabola y =:2 no ponto (J , I). 0

dng ulo de irlciinar;ii{) de Ceo anguJo rj > que C faz com adirecao positiva do eixo x. Calcule 4 > correta ate 0 grau rnaisproximo.


32/33

CAPiTULO 2 LlMITES E DERIVADAS 0 161

Assim, computamos os valores tabulados do quociente de diferencas (as tax as medias davariacao) como a seguir:

pet) - P(l992)t t - 19921988 2.625.7501990 2.781 .{)()O1994 2.645.0001996 2.544.250

o Outro metoda e plotar a tuncao popu-lacao e estimar a inclinacao da reta tan-gente quando t '" 1992 (veja 0 Exemplo5 da Secao 2.7).

Da tabela vemos que P'(1992) situa-se em algum lugar entre 2.781.000 e 2.645.000.Estimamos que a taxa de crescimento da populacao dos Estados Unidos em 1992 foi amedia desses dois mimeros, isto e

P'(l992) '" 2,7 milhoes de pessoas /ano n

Exercicios1. Sobre urn dado grafico J, marque 0 comprimento querepresentefi2),fi2 + h),fi2 + h) - fi2) e h. (Escolha h > 0.)Qual a reta que tern inclinacao f( 2 + h) - f(2) ?h .

4. Se a reta tangente a y = fix) em (4, 3) passa no ponto (0, 2),encontrej(4) e f'(4).sboce 0 grafico de uma funcao de f para 0 qual f lO) = 0,

f'(0) = 3, f'(I) = 0 e f'(2) = -1.6. Esboce 0 grafico de uma funcao g para 0 qual g(O) = 0 ,

g'(O) = 3, g'(1) = 0 e g'(2) = 1.y

o 1 ' ( 2 ) f(3) - f(2) if(4) - f(2)]r

,.~ (b):..10 . (a)

~ (b). .

ef(x) = 3x' - 5x, encontre f'(2) e use-o para achar umaequacao da reta tangente it parabola y = 3x' - 5x no ponto (2, 2).

8. Se g(x) = 1 - .r', encontre g'(O) e use-o para achar umaequacao da reta tangente a curva y = I - x'no ponto (0, I).Se F(x) = x' - 5x + I,encontre r(I)e use-o para acharuma equacao da reta tangente a curva y = Xl - 5x + 1 noponto (I, -3).I lustre a parte (a) fazendo 0 grafico da curva e a retatangente na mesma tela.

2. Para a funcao f cujo grafico esta ilustrado no Exercfcio 1,disponha os seguintes ruirneros em ordem crescente eexplique seu raciocfnio:

x

Se G(x) = x/(l + 2x), encontre G'(a) e use-o para acharuma equacao da reta tangente a curva y = x/(l + 2x) noponto (-t -D.Ilustre a parte (a) fazendo 0 grafico da curva e a retatangente na mesma tela.

11. Seja f (x) =3'. Estime 0 valor de 1 ' ( 1) de duas maneiras:(a) Use a Definicao 2 e tome valores sucessivamente menores

de h.(b) D e urn zoom sobre 0 grafico de y =3' e estime a

inclinacao.12 . Seja g(x) = tg x. Estime 0 valor de g'(n/4) de duas maneiras:

(a) Use a Definicao 2 e tome valores sucessivamente menoresde h.

3. Para a funcao g cujo grafico e dado, disponha os seguintesruimeros em ordem crescente e expJique seu raciocfnio:

o g'( - 2) g '(O ) g '(2 ) g '(4 )y


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162 0 CALCULO

(b) De urn zoom sobre 0 grafico de y = tg x e estime ainclinacao.

13-18 0 Encontre f' (a).(' J(x) = 1 +xx _ 2X21 5. J(x) =2-x---1

2r J(x) =~14. J(x) =3 + 3x

x1 6. J(x) =-., -x - _ 11 8 . J(x) =y'3X+l

19-24 0 Cada limite representa a derivada de alguma funcaojemalgum mimero a. Estabeleca f e a em cada caso.r .J 1+ h _ 1 . (2 + h)3 _ 81 lim 20 hm -'-_--'-- __"-0 h . 11-0 h

x9 _ 1lim---x-I x-I

cos x +22 . lim ----x-h x - 3 7 T3x _ I24 . lim---x-o x

25-26 0 Uma partlcula move-se ao longo de uma [eta comequacao do movimento 5 = J ( t) , onde s e medido em metros e ternsegundos. Encontre a velocidade quando t = 2.I(t ) = t2 _ 6t - 5 26. J ( t) =2t3 - t + Io custo da produeao de x oncas (1 libra = 12 oncas) de ouroprovenientes de uma nova mina e C = fix) dolares,(a) Qual 0 significado da derivada de f (z)? Quais sao suas

unidades?(b) 0 que significa i'(800) = 17?(c) Voce acha que os valores de f (x) irao crescer ou decrescer

a curto prazo? E a longo prazo? Explique.28. 0 mimero de bacteria depois de t horas em urn laborat6rio

experimental controlado e n =fit).(a) Qual 0 significado da derivada de f (5)? Quais sao suas

unidades?(b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaco e

nutrientes para a bacteria. 0 que e maior: f(5) ou f(10)?Se a oferta de nutrientes for limitada, 0 que afetaria suaconclusao? Explique,

29. 0 consumo de combustivel (medido em galoes por hora) deurn carro viajando a uma velocidade de v milhas por hora ec =fly).(a) Qual 0 significado da derivada de f(v)? Quais suas

unidades?(b) Escreva uma sentenca (em termos leigos) que explique 0significado da equacao f (20) = -0,05.

30. A quantidade (em Iibras) de cafe vendida por uma companhiapara uma lanchonete a urn preco de P d61ares por libra eQ = J(P).(a) Qual 0 significado da derivada de f (8)? Quais sao suas

unidades?(b) f (8) e positivo ou negativo? Explique.

31. Seja C(t) 0montante de moeda per capita em circulacao nosEstados Unidos em urn instante t. A tabela, fornecida peloDepartamento do Tesouro, da valores de C(t) em 30 de junhodo ana especificado. Interprete e estime os valores de C' (1980).

I 1960 1970 1980 1990C(t) $ 177 $ 265 $ 571 $ 1063

32. A expectativa de vida melhorou dramaticamente no seculo XX.A tabe1a da os valores de E(t), a expectativa de vida no nasci-mento (em anos) de urn menino no ana t nos Estados Unidos.Interprete e estime os valores de E'( 1910) e E' (1950).

f (1) f (r)1900 48.3 1950 65.61910 51,1 1960 66.61920 55.2 1970 67.11930 57.4 1980 70.01940 62,5 1990 71.8

33-34 0Determine se existe ou nao f (0) ..

{Ix sen-TJ(X) = 0 x se x ~ 0se x =0

{X2 sen _ ! _

34. J(x) = 0 x se x ~ 0se x =

Projeto Escrito Metodos Iniciais para EncontrarTangentesA primeira pessoa a formular explicitamente as ideias de limite e derivada foi sir Isaac Newton,em 1660, Mas Newton reconhecia que "Se vejo mais longe do que outros homens e porque estousobre os ombros de gigantes", Dois desses gigantes erarn Pierre Fermat (1601-1665) e seu profes-sor em Cambridge. Isaac Barrow (1630-1677). Newton estava familiarizado com os metodosdeles para encontrar retas tangentes, e esses metodos desempenharn papel importante na formu-la~ao final do calculo de Newton.

ex capitulo 2 stewart

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