abordagem histÓrica e conceitual sobre os sistemas …

ABORDAGEM HISTÓRICA E CONCEITUAL SOBRE OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E SUA RELAÇÃO COM MATRIZES E DETERMINANTES

Fabio Barros de Sousa1, Elizabeth Rego Sabino2, Elizete Rego Sabino3

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo, apresentar através de uma abordagem histórica e conceitual sobre os sistemas de equações lineares e a relação com a teoria das matrizes e dos determinantes. A razão deste trabalho foi de se tentar evidenciar a indissociabilidade que existe entre esses três assuntos que muitas das vezes são tratados separadamente no ensino fundamental e médio. Esta pesquisa foi de maneira bibliográfica, usando-se a internet, livros do ensino médio e do ensino superior. Nesse sentido está pautada em autores tais como: Boyer (1996), Eves (2004), Lipschutz (1994) e outros.

Palavras-chave: Sistemas de Equações Lineares. Matrizes. Determinantes.

1 Introdução

Tanto as matrizes quanto os sistemas de equações lineares estão presentes

em todos os ramos do conhecimento. Nesse sentido Paiva (2009) afirma que os

sistemas de equações lineares são muito úteis para a resolução de problemas do dia

a dia, como em um campeonato de futebol, no controle de estoque de um restaurante

e no teste de qualidade de um produto industrializado. Em relação as matrizes por se

tratarem de tabelas de números, afirma que elas são muito úteis, pois permitem

trabalhar de forma simplificada no cruzamento de diversas informações sobre um ou

mais objetos de estudo, isso justifica a sua utilização em circuitos elétricos, nas linhas

de transmissão, na expectativa de vida da população de um país, assim como nas

áreas da estatística e da computação gráfica.

O presente trabalho tem como principal objetivo evidenciar os ângulos

concernentes a historicidade do estudo dos sistemas de equações lineares, passando

pelos primórdios do uso dos sistemas lineares, determinantes e das matrizes, e

também alguns métodos de resolução de sistemas. O trabalho é composto por:

A Origem dos Sistemas de Equações Lineares das Tabletas aos

Papiros;

1 Mestre em Engenharia Elétrica. Email: [email protected]. 2 Mestre em Matemática. Professora Faculdade de Matemática da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará – Campus Marabá – Pará. Email: [email protected]. 3 Licenciada em Matemática. Email: [email protected]

2

Comunicação Jornada de Estudos em Matemática, 3., 2017, Marabá. ISSN 2448-4342

Abordagem Histórica sobre os Sistemas de Equações Lineares

As Contribuições dos Chineses para a Teoria dos Sistemas de Equações

Lineares;

A Relação histórica entre Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e

Determinantes;

Equações e Sistemas Lineares

Tipos de Sistemas de Equações Lineares

E por fim as conclusões e referências. As terminologias usadas no trabalho

seguirão o mesmo padrão das contidas no referencial teórico utilizado, porém com

algumas modificações necessárias.

2 A Origem dos Sistemas de Equações Lineares e o método da Falsa Posição

A história dos sistemas de equações lineares diz que os mesmos passaram por

diversas contribuições de vários matemáticos até chegar ao que se conhece hoje, as

notações, os conceitos e os teoremas foram modificados e aperfeiçoados ao longo do

tempo. O estudo de sistemas de equações lineares deu origem inicialmente ao estudo

dos determinantes e posteriormente ao das matrizes. As provas mais antigas desta

utilização são as inscrições em tabletas babilônicas feitas de argila datadas de cerca

de 300 a.C. e as representações dos coeficientes de sistemas lineares em barras de

bambu que constam no livro Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, publicado entre

200 a.C. e 100 a.C. na China. Consta nesta obra uma das mais antigas menções

sobre a ideia de matrizes.

A teoria dos determinantes surgiu simultaneamente através dos estudos de

dois grandes matemáticos: Seki Shinsuke Kowa no Japão, e Gottfried Wilhelm Leibniz

na Alemanha, ambos resolviam sistemas de equações lineares de maneiras

diferentes, porém com o mesmo propósito: encontrar as soluções através de

eliminações. O termo matriz veio com James Joseph Sylvester, em 1850, e com seu

amigo Arthur Cayley, em 1858.

Há inscrições matemáticas que também são encontradas em papiros, como por

exemplo, o papiro de Rhind ou Ahmes, que hoje está no British Museum, em Londres

e resiste ao desgaste do tempo por mais de três milênios. Ressalta Boyer (1996), que

este papiro com 85 problemas tem cerca 30 cm de altura e 5m de comprimento, o

qual traz em seu extenso tamanho uma composição do que seria a comprovação de

que os egípcios também utilizavam a matemática como sua aliada nas tarefas diárias

3



desde os tempos mais remotos. Eves (2004, p. 73), afirma que não só o papiro de

Ahmes como também o papiro de Moscou não fazem referências a objetos concretos,

específicos, que envolvem, por exemplo, cerveja ou pães, mas traz soluções de

frações unitárias, operações aritméticas e geométricas, razões trigonométricas e

também equações lineares. Os problemas de cunho algébrico diferem-se dos demais,

pois trabalham com números desconhecidos e também apontam soluções de

equações lineares, das quais hoje teriam a seguinte representação:

baxx ou cbxaxx , (2.1)

com a, b e c conhecidos e x desconhecido ou “aha”.

A título de esclarecimento, Eves (2004, p. 73) nos propõe o seguinte problema

nas notações de hoje:

24

7

xx .

(2.2)

Uma proposta para a solução é assumindo para o valor de 7x . Então

substituindo x por 7 teríamos a equação 2487

77 , o que não satisfaz a equação

sugerida no problema, porém poderemos utilizar esse falso número como mostra o

quadro 2.1:

Quadro 2.1. Método da Falsa Posição.

Número Resultado

Falso

Verdadeiro

Para resolvê-la pode-se usar a razão e proporção:

21

8

1287248

24

87 xxx

x

(2.3)

ou “[...] assume-se um valor conveniente para x , digamos 7x . Então 87

xx , em

vez de 24 . Como 8 deve ser multiplicado por 3 para se obter 24 , o valor correto de

x deve ser )7(3 ou 21”. (EVES, 2004, p. 73).

4



3 As Contribuições dos Chineses para a Teoria dos Sistemas de Equações

Lineares

As inscrições por diagramas dos coeficientes lineares em barras de bambus

marcaram uma importante contribuição dos Chineses para a álgebra. Essa é uma

maneira peculiar na representação dos sistemas de equações lineares, sendo um

marco na matemática oriental e que também merece destaque, pois se sabe que: “[...]

a cultura chinesa foi seriamente prejudicada por quebras abruptas” (BOYER, 1996,

p.135). Isso ocorreu quando o imperador da China Shi Huang-ti que em 213 a.C.,

ordenou a queima de livros, ou qualquer registro, cabendo aos chineses somente a

cópia das obras que sobraram ou a transmissão oral das que se perderam. Isso que

nos leva a crer que a matemática chinesa renasceu das cinzas.

Um dos livros mais antigo da matemática Chinesa é o Chiu-Chang Suan-Shu,

(Os Nove Capítulos da Arte da Matemática), de autor desconhecido. Foi escrito por

volta de 250 a.C. durante a dinastia Han, a obra traz em seu conteúdo representações

em barras de bambu dos coeficientes de sistemas lineares escritos sobre quadrados

em tabuleiros. Boyer (1996) define esta obra como sendo talvez o mais influente livro

da matemática chinesa, que contém 246 problemas envolvendo medidas de terras,

agricultura, sociedades, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e

propriedades dos triângulos retângulos, além disso consta também a utilização do

método da “falsa posição”, assemelhando a obra à matemática egípcia, na utilização

deste artifício, apesar da matemática chinesa parecer independente dessas

influências.

Vale destacar que o capítulo oitavo do Chiu-Chang Suan-Shu, traz soluções de

problemas de equações lineares usando tanto números positivos, quanto negativos

como também os que envolvem sistemas de equações lineares com três equações e

três incógnitas. Segue abaixo um exemplo de um problema que envolve sistema de

equações lineares do livro Kake fukudai no ho, escrito pelo matemático japonês Seki

Kowa, que utiliza o mesmo método do livro chinês:

Existem 3 tipos de milho. Três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam 39 unidades de milho. Dois pacotes do primeiro, três pacotes do segundo e um do terceiro somam 34 unidades. E um pacote do primeiro, dois do segundo e três do terceiro somam 26 unidades. Sabendo que os pacotes de milho do mesmo tipo contêm a mesma quantidade de unidades, quantas unidades de milho contém um pacote de cada tipo? (KOWA apud SÁ, 2004, p. 02).

5



Nas notações de hoje este problema se apresentaria como o seguinte sistema

do primeiro grau:

{3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 392𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 34𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 26

(3.1)

O sistema foi resolvido por meio de operações efetuadas com os elementos da

seguinte tabela, que organiza seus coeficientes:

Note que a única diferença entre o método atual para o chinês (antigo) é que

escrevemos as equações lineares como as linhas da matriz em vez de colunas. Além

disso, as equações nas colunas são escritas da direita para a esquerda. Dessa

maneira a solução do sistema linear é: 4

11z ;

4

17y e

4

37x .

Portanto foi possível determinar as unidades do terceiro tipo de milho z

existente em cada pacote. As unidades do primeiro x e do segundo tipo y são obtidas

por substituição.

A tabela utilizada no método chinês é atualmente denominada matriz e a

redução é um processo análogo à eliminação Gaussiana, isso nos remete a dizer que

o estudo das matrizes foi motivado historicamente pela necessidade de se resolver

sistemas de equações lineares.

De certa forma o uso de sistemas de equações lineares na China traz em sua

essência uma lenda, que afirma o gosto dos chineses por diagramas. Foi devido ao

primeiro que apareceu por lá, que segundo uma lenda foi trazido por uma tartaruga

no Rio Lo, este suposto diagrama que veio impresso no casco dessa tartaruga,

chamado “quadrado mágico” consistia em uma matriz quadrada, cuja soma na

horizontal, na vertical e na diagonal dos números é sempre igual a 15.

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

0 0 3

0 5 2

36 1 1

99 34 39

Reduzindo-a teremos

6



Figura 1 - Representação da tartaruga do Rio Lo. Quadrado mágico.

Fonte: http://matematicanaarea.blogspot.com.br/2009/12/v-behaviorurldefaultvml-o.html.

Isto mostra que o uso de tabelas numéricas, já era frequente entre os antigos

chineses dessa época, mesmo que de maneira lendária. Assim com o estudo desse

“quadrado mágico” o autor dos Noves Capítulos foi instigado a criar e resolver

problemas relacionados aos sistemas de equações lineares por meio de matrizes.

4 A Relação entre Sistemas de Equações Lineares, Matrizes e Determinantes

Os sistemas de equações lineares, matrizes e determinantes parecem ser

assuntos diferentes, porém a história nos prova o contrário. A primeira ideia de

determinante como polinômio que associa a um quadrado de números, surgiu em

1683, pelo matemático japonês Seki Kowa, que sistematizou o velho procedimento

chinês somente para o caso de duas equações, pois não mostrou algo que fosse

válido para casos gerais. Em sua obra escreveu vários exemplos de sistemas de

equações lineares em forma matricial.

No ocidente o uso de determinante iniciou-se também em 1683, através do

matemático alemão Leibniz (1649 - 1716), que em uma correspondência para o

matemático francês L'Hospital (1661 - 1704), usou combinações de coeficientes para

resolver sistemas de equações lineares e encontrou uma maneira de indexar tais

coeficientes com números. Em seus estudos estabeleceu a condição de

compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do

determinante de ordem 3, formado pelos coeficientes e pelos termos independentes.

Leibniz também criou formalmente uma notação com índices para os coeficientes bem

próxima da que usamos hoje 𝑎12 indicava por 12.

O matemático alemão Jacobi também se preocupou com a notação adequada

para determinantes, criou algoritmos e regras para a sua utilização, sendo

considerado um dos responsáveis pela Teoria dos Determinantes.

7



Quem também contribuiu para a teoria dos determinantes foi o escocês Colin

Maclaurin (1698 - 1746), que em 1730 escreveu “Um Tratado sobre Álgebra”. Esse

livro foi publicado postumamente em 1748, nele encontra-se o “teorema geral” para

eliminação de incógnitas de sistemas lineares, onde traz demonstrações para

matrizes de ordem 2, 3 e 4. Porém, não há comentários para os casos de matrizes de

ordem > 4. Este teorema é o que conhecemos hoje por regra de Cramer, pois o

matemático suíço Gabriel Cramer (1704 - 1752) publicou o livro “Introdução à Análise

de Curvas Algébricas”, em 1750, que apresentava resultados para matrizes de ordem

𝑛. Porém, a demonstração da regra não se encontra no livro, somente o valor das

incógnitas em forma de frações, com o numerador e denominador sendo combinações

dos coeficientes do sistema linear. Isto é, o que conhecemos, atualmente, por

determinantes, porém com notação diferente.

O matemático francês Cauchy (1789 - 1857), atribui o termo determinante no

sentido atual, em 1812 provou o teorema da multiplicação de determinantes, através

da utilização de permutações e também melhorou a notação de determinantes.

Porém, a notação de duas barras verticais ladeando um quadrado de números para

indicar determinante, só foi apresentada em 1841 pelo matemático inglês Cayley

(1821 - 1895).

O nome matriz foi instituído pelo matemático inglês James Joseph Sylvester

(1814 - 1897) em 1850, e que mais tarde recebeu grandes contribuições do seu amigo

Cayley, o qual, deu o primeiro significado da palavra Matriz, como sendo o lugar onde

algo se gera ou cria, denominou em um artigo de como sendo:

[...]um bloco retangular de termos [...] que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número “p” e escolher a vontade “p” linhas e “p” colunas[...] (CAYLEY Apud KRAIESKI, 1999, p. 03).

As matrizes, de certa forma, não eram objetos de investigação de Sylvester,

pois em seus trabalhos as concebia como um simples ingrediente dos determinantes.

Mas é com um artigo de Cayley de1855 que as matrizes saíram das sombras dos

determinantes. Logo o mérito da invenção confere a ele, apesar de que declarou ter

chegado à teoria das matrizes a partir da ideia de determinante e também salientou

que pela lógica a noção de matriz antecede a de determinante. Há controvérsias

quanto a afirmação de que Cayley foi o principal inventor dessa teoria, pois como já

mencionado os chineses séculos antes de Cristo já usavam os determinantes para

resolver sistemas de equações lineares.

Cayley introduziu a notação de matrizes para simplificar a notação de uma

transformação linear, assim como segue:

8



{𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦

escrevia (𝑥′, 𝑦′) = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] ∗ (𝑥, 𝑦) (4.1)

A partir dessas duas transformações sucessivas criou a definição de produto

de matrizes, como também a matriz inversa, a matriz identidade, a matriz nula e a

matriz idêntica. No entanto, somente três anos mais tarde introduziu o conceito de

soma e produto de matrizes por escalares, dando ênfase para as propriedades

algébricas dessas operações.

Em suma, boa parte dos resultados sobre a Teoria das Matrizes, foram

descobertos pelos matemáticos do século XVIII e XIX, dentre eles Lagrange, quando

começaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas, as quais eram escritas

escalarmente:

𝑞(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 = [𝑥, 𝑦] ∗ [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] ∗ [𝑥𝑦].

(4.2)

Contudo o que se pode afirmar é que esta teoria, como outras não teve

contribuição de somente um matemático e tão somente uma nação, ou seja, o que

conhecemos e utilizamos hoje sobre sistemas de equações lineares e seus métodos

de resolução e discussão foram desenvolvidos ao longo da história e das

necessidades da humanidade.

5. Equação Linear

Uma equação é linear nas incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, se todas de grau um,

geralmente está escrita na forma 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + … ,+𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏, onde

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛 são números reais denominados coeficientes e 𝑏 também número

real, o qual é chamado de termo independente.

5.1 Solução de uma Equação Linear

Uma sequência de 𝒏 números reais (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛), tais que substituídos

ordenadamente no lugar de 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 , tornam a igualdade verdadeira.

Assim:

𝑎1𝛼1 + 𝑎2𝛼2 + 𝑎3𝛼3 + … ,+𝑎𝑛𝛼𝑛 = 𝑏. (5.1)

Diz-se que este conjunto de valores satisfaz a equação. O conjunto de todas

as soluções é chamado conjunto solução, ou solução geral, ou simplesmente solução

da equação.

As incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 em geral aparecem como 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 … por convenção

indica-se uma solução de uma equação linear obedecendo a ordem alfabética de suas

incógnitas.

9



6 Sistema de Equações Lineares

Denomina-se sistema de equações lineares, a um conjunto (S) de duas ou mais

equações lineares. Pode-se representar um sistema de 𝒎 equações lineares nas 𝒏

incógnitas (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) de ℝ𝑛 da seguinte forma:

(𝑆)

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 𝑏3 … … …

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

.

(6.1)

Em que:

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, são as incógnitas;

𝑎𝑖𝑗 ∊ ℝ, são os coeficientes das incógnitas, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛;

𝑏𝑖 ∊ ℝ, são os coeficientes das incógnitas, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚.

O sistema linear acima é conhecido por sistema linear 𝑚 por 𝑛 e se indica por

𝑚 ∗ 𝑛.

6.1 Representação de um Sistema Linear por meio de Matrizes

Um sistema linear de 𝒎 equações com 𝒏 incógnitas poderá ser escrito na forma

matricial, para isso basta separarmos seus componentes por matrizes.

Sejam:

𝐴𝑚∗𝑛 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚∗𝑛 , 𝑋𝑛∗1 = (𝑥𝑗)𝑛∗1 e 𝐵𝑚∗1 = (𝑏𝑖)𝑚∗1. (6.2)

𝐴𝑚∗𝑛, é a matriz dos coeficientes das incógnitas;

𝑋𝑛∗1, é a matriz das incógnitas;

𝐵𝑚∗1, é a matriz dos termos independentes.

Considerando o sistema linear (𝑺) da definição anterior. Pode-se escrevê-lo de

forma matricial:

𝐴 ∗ 𝑋 = 𝐵 ⟹

[ 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛]

∗

[ 𝑥1𝑥2𝑥3⋮ 𝑥𝑛]

=

[ 𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑚]

.

(6.2)

Onde 𝑋 = 𝐴−1 ∗ 𝐵.

10



6.2 Matrizes Associadas a um Sistema Linear

Outra maneira de representar o sistema de equações lineares é pela matriz

associada ou matriz completa. Considera-se o mesmo sistema linear (𝑺) da definição

anterior e associa-se a esse sistema duas matrizes cujos elementos são os

coeficientes e os termos independentes das equações que formam o sistema:

𝑀 =


𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑚]

.

(6.3)

Denomina-se matriz associada ou matriz completa ao sistema (𝑺) que pode ser

denotada por [𝐴|𝐵].

6.3 Solução de um Sistema de Equações Lineares

A solução desse sistema será toda 𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 ordenada de números reais

(𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) se e somente se satisfazem simultaneamente a cada uma das 𝑚

equações lineares desse sistema.

(𝑆)

{

𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3 … … …

𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚

.

(6.4)

O conjunto (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é chamado conjunto solução do sistema (𝑺).

7 Tipos de Sistemas de Equações Lineares

Assim como nas equações lineares, o sistema de equações lineares também

tem seus tipos, cada um com suas especificidades e maneiras de resolução e

discussão. Vejamos os seus tipos a seguir:

7.1 Sistemas de Equações Lineares Equivalentes

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo

conjunto solução. Indica-se por 𝑆~𝑆′ ou 𝑆′~𝑆 .

11



Se 𝑆~𝑆′, a matriz associada 𝑀 e 𝑀’ são também respectivamente equivalentes

e possuem as seguintes propriedades:

1) Se 𝑀~𝑀 (Reflexiva);

2) Se 𝑀~𝑀′ , então 𝑀′~𝑀 (Simétrica);

3) Se 𝑀~𝑀′ e 𝑀′~𝑀′′, então 𝑀~𝑀′′ (Transitiva).

Teorema 1: Se aos elementos de uma linha qualquer da matriz 𝑴, associada ao

sistema (𝑺) somarem-se os elementos correspondentes de outra linha de 𝑴 , a nova

matriz 𝑴′ que se obtém é equivalente à matriz 𝑴 .

Demonstração: Seja [𝐴|𝐵] a matriz completa do sistema (𝑆) :

𝑀 =


𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 … 𝑎𝑖𝑛

𝑏1𝑏2𝑏3⋮𝑏𝑖

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚]

,

e

𝑀′ =

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛𝑎31 𝑎32 𝑎33 … 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑖1 + 𝑎𝑗1 𝑎𝑖2 + 𝑎𝑗2 𝑎𝑖3 + 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑖𝑛 + 𝑎𝑗𝑛

𝑏1𝑏2𝑏3⋮

𝑏𝑖 + 𝑏𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ]

,

Onde 𝑴’ é a matriz associada ao sistema (𝑺’) :

(𝑆′)

{

𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 + … + 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 + … + 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 + … + 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

(𝑎𝑖1𝑎𝑗1)𝛼1 + (𝑎𝑖2𝑎𝑗2)𝛼2 + (𝑎𝑖3𝑎𝑗3)𝛼3 + … + (𝑎𝑖𝑛𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 = 𝑏𝑖 + 𝑏𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑗1𝛼1 + 𝑎𝑗2𝛼2 + 𝑎𝑗3𝛼3 + … + 𝑎𝑗𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑗 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 + … + 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚

.

12



Comparando-se os sistemas 𝑺 e 𝑺’, a única diferença está na 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 linha

de 𝑺’ . Se (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é uma solução se 𝑺’, pois:

(𝑎𝑖1 + 𝑎𝑗1)𝛼1 + (𝑎𝑖2 + 𝑎𝑗2)𝛼2 + (𝑎𝑖3 + 𝑎𝑗3)𝛼3 +⋯+ (𝑎𝑖𝑛 + 𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 =

= (𝑎𝑖1𝛼1 + 𝑎𝑖2𝛼2 𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛) + (𝑎𝑗1𝛼1 + 𝑎𝑗2𝛼2 𝑎𝑗3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑗𝑛𝛼𝑛) = 𝑏𝑖 + 𝑏𝑗

A recíproca demonstra-se facilmente. Logo 𝑀′~𝑀.

Teorema 2: Multiplicando-se ou dividindo-se os elementos de uma linha qualquer da

matriz associada ao sistema por um número real, a nova matriz que se obtém é

equivalente a matriz.

Demonstração: Seja a matriz completa:

𝑀 =




⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑗1 𝑎𝑗2 𝑎𝑗3 … 𝑎𝑗𝑛 𝑏𝑗⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚]

,

e,

𝑀′ =




⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝜆𝑎𝑗1 𝜆𝑎𝑗2 𝜆𝑎𝑗3 … 𝜆𝑎𝑗𝑛 𝜆𝑏𝑗⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ]

,

Onde 𝑴’ é matriz associada do sistema (𝑺’):

(𝑆′)

{

𝑎11𝛼1 + 𝑎12𝛼2 + 𝑎13𝛼3 + … + 𝑎1𝑛𝛼𝑛 = 𝑏1𝑎21𝛼1 + 𝑎22𝛼2 + 𝑎23𝛼3 + … + 𝑎2𝑛𝛼𝑛 = 𝑏2𝑎31𝛼1 + 𝑎32𝛼2 + 𝑎33𝛼3 + … + 𝑎3𝑛𝛼𝑛 = 𝑏3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝜆(𝑎𝑖1𝑎𝑗1)𝛼1 + 𝜆(𝑎𝑖2𝑎𝑗2)𝛼2 + 𝜆(𝑎𝑖3𝑎𝑗3)𝛼3 + … + 𝜆(𝑎𝑖𝑛𝑎𝑗𝑛)𝛼𝑛 = 𝜆𝑏𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝛼1 + 𝑎𝑚2𝛼2 + 𝑎𝑚3𝛼3 + … + 𝑎𝑚𝑛𝛼𝑛 = 𝑏𝑚

13



Comparando-se os sistemas 𝑆 e 𝑆’, a única diferença é a 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 linha de 𝑆’

se (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é uma solução qualquer de , será também de , pois:

𝜆𝑎𝑖1𝛼1 + 𝜆𝑎𝑖2𝛼2 + 𝜆𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝜆𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛 =

= 𝜆(𝑎𝑖1𝛼1 + 𝑎𝑖2𝛼2 + 𝑎𝑖3𝛼3 +⋯+ 𝑎𝑖𝑛𝛼𝑛) = 𝜆𝑏𝑖

Sendo 𝜆 ≠ 0 . O sistema 𝑆’ é combinação linear de 𝑆. A recíproca demonstra-

se facilmente. Logo 𝑀’ = 𝑀.

7.2 Sistemas de Equações Lineares Homogêneas

O sistema (𝑺) de equações lineares é homogêneo se todas as constantes são

iguais a zero, isto quando é da forma:

𝐴 ∗ 𝑋 = 0

Assim, pode-se representar um sistema de equações lineares homogêneas:

(𝐻)

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 +⋯+ 𝑎3𝑛𝑥𝑛 = 0 … … …𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + 𝑎𝑚3𝑥3 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

.

A matriz 𝐵 do sistema 𝐻 é nula, ou seja, todos os termos independentes são

iguais a zero.

De modo geral, um sistema de equações lineares homogêneo sempre admite

uma solução trivial (0, 0, 0, . . . , 0), chamada também de solução zero. Por verificação

direta vê-se que:

𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0.

Porém, qualquer outra solução com pelo menos um dos valores 𝑥1 ≠ 0 chama-

se não trivial. Nesse caso, o sistema considerado pode sempre reduzir-se a um

sistema homogêneo equivalente em forma escalonada:

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎2𝑗2𝑥𝑗2 + 𝑎2𝑗2+1𝑥𝑗2+1 + 𝑎23𝑥3 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0

… … …𝑎𝑟𝑗𝑟𝑥𝑗𝑟 + 𝑎𝑟𝑗𝑟+1𝑥𝑗𝑟+1 + … + 𝑎𝑟𝑛𝑥𝑛 = 0

Um sistema linear homogêneo é sempre compatível, portanto, para encontrar

a solução bastam verificar somente as duas possibilidades:

i) 𝑟 = 𝑛 . O sistema só tem a solução trivial (SPD).

ii) 𝑟 < 𝑛 . O sistema tem uma infinidade de soluções não-triviais (SPI).

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Consequentemente, se partimos de menos equações do que incógnitas, então,

na forma escalonada, 𝑟 < 𝑛 e, portanto, o sistema tem uma solução não-nula.

Teorema 3: Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas do

que equações tem uma solução não-trivial.

Corolário:

i) Se o número de equações é igual ao número de incógnitas, uma condição

necessária e suficiente para existir uma solução não-trivial é que seja nulo

o determinante dos coeficientes, isto é |𝐴| = 0.

ii) Se existem menos equações do que incógnitas, o sistema homogêneo

sempre tem solução não trivial. Os sistemas homogêneos como são sempre

possíveis, são os únicos que podem ser classificados apenas a partir do

cálculo do determinante dos coeficientes. Como não há chances de o

sistema homogêneo ser SI, logo se o determinante for nulo o sistema será

SPI.

7.3 Sistemas de Equações Lineares Degeneradas

Seja o sistema (𝑺), cuja matriz dos coeficientes é nula, logo seu determinante

também é nulo.

Teorema 4: Seja um sistema de equações lineares degeneradas, admite as

seguintes condições:

i) Se 𝑏 ≠ 0, o sistema não tem solução.

ii) Se 𝑏 = 0, qualquer e-nupla (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛) é solução, ou seja, o

sistema tem infinitas soluções.

7.4 Sistemas De Equações Lineares Normais

É o sistema linear cujo número de equações é igual ao número de incógnitas

(𝑚 = 𝑛) e o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.

Seja o sistema:

{𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2

, é normal se, e somente se, 𝑎1 ∗ 𝑏2 − 𝑎2 ∗ 𝑏1 ≠ 0 .

Essa definição é útil para método de resolução de sistema de equações

lineares através da regra de Cramer.

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5 Conclusão

Neste trabalho foi possível constatar que os sistemas de equações lineares se

originaram da necessidade do homem para resolver os problemas do cotidiano, como

em criações de animais e plantações. Vale destacar a importância de se conhecer a

história da Matemática, para que os conteúdos desta disciplina sejam repassados aos

alunos de maneira significativa. Neste caso os sistemas de equações lineares, as

matrizes e os determinantes, que são normalmente explorados separadamente no

ensino fundamental e médio, podem sim ser trabalhados simultaneamente e

conjuntamente. Como já foi exposto neste trabalho, essa indissociabilidade já existia

muito antes da era cristã.

6 Referências

BOYER, Carl B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed. São Paulo: Blücher, 1996.

BLOG Matemática na Área. A Origem dos Quadrados Mágicos. Disponível em: < http://matematicanaarea.blogspot.com.br/2009/12/v-behaviorurldefaultvml-o.html>. Acesso em: 01/10/2017.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Volume Único: Livro do Professor. 1. ed. São Paulo: Ática, 2005.

EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.

JÄNICH, Klaus. Álgebra Linear. Trad. José Antonio e Souza. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

KRAIESKI, Protasio. ABORDAGEM DE MATRIZES NO ENSINO MÉDIO: Uma avaliação crítica através dos livros didáticos com sugestões de aplicações. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/94914>. Acesso em: 03/02/2014.

LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear: Teoria E Problemas. 3. Ed. Tradução Alfredo Alves de Farias com colaboração de Eliana Farias e Soares; revisão técnica Antonio Pertence Júnior. 3ª ed. – São Paulo: Pearson Markron Books, 1994. – (Coleção Shaum).

SÁ, Lúcia Fernanda. Estudos dos Determinantes. Disponível em: <http://www.uff.br/dalicenca/images/stories/caderno/volume5/Estudo_dos_Determinante s.pdf>. Acesso em: 02/01/ 2014.

abordagem histÓrica e conceitual sobre os sistemas …

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