A tautocrona

Eduardo Colli

A rampa tautocrona e o pendulo tautocrono

A cicloide e a curva tracada por um ponto do bordo de umacircunferencia rolando sobre uma superfcie plana. A forma destarampa corresponde exatamente a uma cicloide, e tem propriedadesbastante interessantes.

A primeira delas e que o perodo de oscilacao (desprezado oatrito e a consequente perda de energia) nao depende da amplitudedo movimento, ao contrario do pendulo simples, onde o perodo eaproximadamente constante para baixas amplitudes mas aumentaquando o angulo de oscilacao e grande. Em outras palavras, seduas bolinhas forem soltas de posicoes distintas na rampa entaoacabarao por chegar ao mesmo tempo no ponto mais baixo dela.A palavra tautocrona deriva do grego tautos (mesmo) com cro-nos (tempo).

A cicloide tambem e braquistocrona, onde braquis significarapido. Ela e a curva que proporciona o tempo mais curto detrajeto entre o topo e qualquer outro ponto da rampa, mesmo queseja preciso primeiro descer para depois subir.

No pendulo, o barbante e obrigado a seguir uma trajetoria quenao e circular, como no pendulo simples. A curva que guia obarbante e uma cicloide e, incrivelmente, a trajetoria do pendulotambem e uma cicloide, desde que o comprimento do barbante seja

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igual a` metade do comprimento da cicloide.

A cicloide

Para obter uma cicloide, posicione um disco de raio r encostadoentre as paralelas {y = 0} e {y = 2r}. O disco roda sem deslizarao longo da linha {y = 2r}.

P0y=0

y=2r

r

Um ponto P e marcado sobre o bordo do disco, de forma tal queao encostar na linha {y = 0} ele o faz para x = 0. Quando o discorola sob {y = 2r} o ponto P se desloca no plano xy. Como o discotem raio r, o centro do disco se desloca exatamente do valor rque e o angulo entre a vertical inferior e a reta que une P ao centrodo disco. E facil ver que a posicao de P e r( + sen , 1 cos ).A cicloide e a trajetoria de P , parametrizada por [pi, pi]. Elatem o aspecto da figura abaixo.

+pipi x

y

y=0

y=2r

0 rr

Tambem e facil ver que quando pi a inclinacao da curvavai a .

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Involutas

Para entender o pendulo tautocrono, precisamos antes da nocaode involuta de uma curva plana.

Intuitivamente, a definicao se inspira no seguinte experimentogeometrico. Suponha que a curva seja convexa, traduzida no mundoreal por uma peca de madeira com seu contorno. Prenda um bar-bante em algum ponto da curva (o incio) e estique-o na direcaotangente a` curva no ponto em que o barbante esta amarrado. Aoutra ponta e o incio da curva involuta, que continua sendo tracadaa` medida que o barbante contorna a curva original, mantido sempreesticado.

Seja (t) = (x(t), y(t)) uma curva no plano, definida para t [a, b]. Para facilitar, vamos supor que esteja parametrizada pelocomprimento de arco, isto e, o vetor velocidade (t) tenha semprenorma igual a 1. Com isso, o trajeto percorrido pela curva entre(a) e (t) tem comprimento

ta (s)ds = t a. Em particular,

o comprimento total da curva e igual a b a.Chamaremos de a curva involuta que sera produzida a partir de

, que pode ser parametrizada de acordo com a construcao descritaacima.

O comprimento total do barbante e um valor l arbitrario.Quando o barbante tangencia o ponto (t) ele se divide em dois

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pedacos. A parte que contorna a curva tem comprimento t a e aparte reta, esticada, tem comprimento l (t a). Entao a pontado barbante, que e o ponto (t), vale

(t) = (t) + (l (t a))(t) .Se a curva nao estiver parametrizada pelo comprimento de

arco, entao o comprimento da parte reta do barbante sera dado por

l ta

(s)ds .

E preciso tambem tomar cuidado que (t) nao e necessariamenteunitario. Portanto, neste caso,

(t) = (t) +

(l

ta

(s)ds)

(t)(t)

(desde que (t) nunca se anule).

O pendulo tautocrono

Seja () = r( + sen , 1 cos ), [pi, pi], a cicloide,como definida acima (usamos como variavel, no lugar de t). Pri-meiro calculamos o vetor tangente

() = r(1 + cos , sen )

e sua norma

() = 2r cos 2.

Portanto a curva nao esta parametrizada pelo comprimento dearco.

O comprimento da curva de (pi) a () e dado por pi(s)ds = 4r(1 + sen

2) .

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Tomando = pi verificamos que seu comprimento total e igual a8r.

Escolheremos um barbante de comprimento l = 4r, metadedo comprimento total da cicloide, que sera preso em (pi) =(pir, 2r). Contornando a cicloide, esticado, ele chegara no maximoao seu ponto inferior, que e (0), como mostra a figura abaixo.

+pipi

y

x0

y=2r

y=0rr

(pi)

(0)

barbante

Entao o intervalo [pi, 0] correspondera ao intervalo [a, b] da notacaoacima. A involuta (), com [pi, 0], e dada por

() = r( + sen , 1 cos )+

(4r 4r(1 + sen

2)

)r(1 + cos , sen )

2r cos 2.

Embora pareca complicada, a expressao e facilmente simplificadapara

() = r( sen ,1 + cos ) ,que se parece muito com a expressao de (), mas nao e exata-mente igual.

Mostraremos que () e uma cicloide, de fato meia cicloide(a outra metade deve ser obtida posicionando-se uma outra cicloide

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encostada ao lado; ou ainda considerando a continuacao da cicloide,se permitirmos que a curva tenha cuspides no meio do caminho).

Em primeiro lugar, observe que na cicloide original o ponto in-ferior corresponde a = 0, enquanto que na involuta correspondea = pi. Se definirmos a nova variavel = + pi, quando for igual a pi entao sera igual a 0, e quando for igual a zeroentao sera igual a pi. Entao = pi e sen = sen ,cos = cos , de onde a expressao da curva , na nova variavel,se torna

r(pi,2) + r( + sen , 1 + cos ) .Esta e exatamente a expressao da cicloide, transladada de (pir, 2r)!

Por que tautocrona?

A propriedade da cicloide de ser tautocrona, isto e, de funcionarcomo perfil de rampa onde o perodo nao depende da amplitude daoscilacao encontra um analogo no oscilador harmonico, fisicamenteobtido por um sistema massa-mola ideal, como o da figura abaixo.

Ideal porque supoe-se que qualquer deslocamento x em relacaoa` origem, escolhida exatamente de forma que a mola fique semtensao, provoque uma forca de reacao proporcional mas com sentidocontrario ao do deslocamento (isto e, F = kx, para k > 0). ASegunda Lei de Newton, F = ma, implica que a evolucao x(t) dapartcula obedece a` equacao diferencial de segunda ordem

mx(t) = kx(t) .E possvel mostrar que qualquer solucao desta equacao deve ser daforma

x(t) = Asen (

k

mt) +B cos(

k

mt) ,

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onde A e B dependem das condicoes iniciais x(0) e x(0). Entao

x(t) e periodica com perodo T tal que

kmT = 2pi, isto e,

T =2pik/m

.

Esse perodo e sempre o mesmo, independentemente de A e B, ouseja, independentemente das condicoes iniciais do movimento.

No sistema massa-mola ideal nao ha dissipacao de energia poratrito, portanto a energia total e preservada. Essa energia e asoma da energia cinetica, 12mv

2, com a energia potencial, 12kx2.

Para verificar que isso e verdade, precisamos mostrar que

1

2mx(t)2 +

1

2kx(t)2

nao varia com o tempo, em outras palavras, que tem derivada nulaem relacao a t. De fato, derivando essa expressao, obtemos

1

2m2x(t)x(t) +

1

2k2x(t)x(t) = x(t) (mx(t) + kx(t)) = 0 ,

esta ultima igualdade por causa da equacao diferencial.No caso da rampa (ou do pendulo), se desconsiderarmos a dis-

sipacao de energia, a energia conservada e tambem dividida emcinetica e potencial. A energia potencial e dada por mgh, onde ge a aceleracao da gravidade e h e a altura da massa em relacao aalguma altura fixa de referencia (por exemplo, o ponto mais baixoda rampa). A energia cinetica e 12mV

2, onde V e a velocidadeabsoluta de deslocamento no plano xy. Como o deslocamento seda sempre sobre a rampa, convem usar como coordenada a medidade distancia sobre seu perfil.

Chamaremos de s essa coordenada, convencionando que vale 0em = 0 (ponto inferior da cicloide). Assim, ela varia de 4r

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a +4r de uma ponta a outra da cicloide. A formula que for-nece o comprimento s entre (0) e (), com sinal, em funcaodo parametro , e

s =

0()d = 2r

0

cos

2d = 4rsen

2.

A inversao dessa relacao nos da

= 2sen 1s

4r.

Agora podemos expressar a energia potencial mgh em funcao dacoordenada s. Como a altura h e a segunda coordenada de (),entao

h = r(1 cos ) = r(1 cos(2sen 1 s

4r))

= r(1 cos2(sen 1 s

4r) + sen 2(sen 1

s

4r))

= 2rsen 2(sen 1s

4r) =

1

8rs2 .

Portanto a energia potencial e dada por

mg

8rs2

e, comparando com 12kx2, resulta que a rampa em forma de cicloide

e equivalente a um sistema massa-mola com

k =mg

4r.

Por exemplo, o perodo de oscilacao e dado por

T =2pik/m

= 4pi

r

g. (1)

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Exerccios e experimentos

1. Meca r e T no pendulo tautocrono e verifique a Formula (1).

2. Experimente calcular involutas de curvas simples, variando ocomprimento do barbante.

3. Se (x, y) = (+ sen , 1 cos ) (a cicloide), tente expressary como funcao de x, para obter a curva como grafico de y(x).Voce vera que a expressao dessa funcao depende de se obtera expressao da inversa de uma outra funcao. Qual?

4. Seja (x(t), y(t)) uma curva definida para t [a, b], com x(t) >0. Obtenha uma expressao para a integral de y(x), semmencao a y(x). Teste em casos conhecidos (a area de umsemi-crculo, por exemplo). Aplique na cicloide e descubra suaarea.

5. Obtenha as expressoes e os esbocos das curvas produzidascomo a cicloide, com a excecao de que o ponto P esteja fixoem relacao ao disco em algum ponto de seu interior ou exte-rior (neste caso, atraves de um braco) (hipocicloides e hiper-cicloides).

6. Suponha que o disco que produziu a cicloide role internamentea uma circunferencia. Obtenha a expressao da curva produ-zida (observe que o raio R do crculo maior e tambem umparametro).

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Por que a cicloide e tambem braquistocrona?Ler o livro Geometry of curves, de J. W. Rutter, ed. Chapman

& Hall/CRC, que desenvolve a bonita teoria sobre curvas planas einclui em detalhes o conceito de involuta.

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